大学物理竞赛辅导

麦杆以均匀的角速度旋转，甲虫沿麦杆爬行的速度 麦杆以均匀的角速度旋转， 多大？ 多大？ v 解： 以麦杆和甲虫为系统
0
o
12v0 解得： 解得：ω = 7l
碰撞过程角动量守恒，设碰后系统的角速度为ω 碰撞过程角动量守恒，
2 1 l 1 2 于是有： 于是有： mv0 = ml + m l ω 4 4 12
dω l J = mg cos θ dt 2 1 这里 J = ml 2 3 dω 3 g cos θ = 得到角加速度 2l dt 表达式可写成 dω = dω dθ = 3g cos θ 2l dt dθ dt dω 3g ω = cos θ 2l dθ 3g ωdω = cos θdθ 2l
θ
2 2
r
细杆质心C将沿着圆的渐开 细杆质心 将沿着圆的渐开 线运动 2 l 4ω0 R dvC dvC dr dθ = = 切向加速度为 aC切 = 2 2 2 (l + 3r ) dt dr dθ dt
法向加速度为
aC法
2 l 2ω0 r = rω = 2 l + 3r 2
N
2
A
l
v C r
θ
P
µ
,问 问
µ
为何值时
T2
T1
2m
m
T2
T1
2mg
mg
列方程: 列方程
对于盘2： 对于盘 ：
t
ω10
o1
N1
f
r1
N2
r2
dω 2 J2 = fr2 dt
dω 2 fr 2 = dt J2
o2
f
fr2 dω 2 = dt J2
m1 g
m2 g
fr2 dω 2 = dt 两边积分 J2
r2 ω2 = J2
ω2
r2 dω 2 = ∫ J2 0
N1
∫
0
t
fdt
∫ fdt
0
以O1点为参考点， 点为参考点， 计算系统的外力矩： 计算系统的外力矩：
o2
f
m1 g
m2 g
M = ( N 2 − m2 g )(r1 + r2 )
= − f ( r1 + r2 ) ≠ 0
作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。 作用在系统上的外力矩不为 ，故系统的角动量不守恒。 只能用转动定律做此题。 只能用转动定律做此题。 对于盘1： 对于盘 ：
dω 1 J1 = − fr1 dt dω 1 fr1
dt =− J1
阻力矩
ω10
o1
N1
f
r1
N2
r2
o2
fr1 dω 1 = − dt J1
f
m1 g
m2 g
fr1 dω 1 = − dt 两边积分 J1
r1 ∫ dω 1 = − J1 ω 10
ω1
∫
0
t
fdt
r1 ω10 − ω1 = ∫ fdt J1 0
dx 即：2mx ω = mgx cos(ωt ) dt
g 于是甲虫的速度为： v = 于是甲虫的速度为： cos(ωt ) 2ω
的固定圆环,长为 例7. 光滑水平面上有一半径为R 的固定圆环 长为 2l 的匀质细杆AB开始时绕着 点旋转,C点靠在环上 开始时绕着C点旋转 点靠在环上, 的匀质细杆 开始时绕着 点旋转 点靠在环上 且无初速度.假设而后细杆可无相对滑动地绕着 且无初速度 假设而后细杆可无相对滑动地绕着 圆环外侧运动,直至细杆的 端与环接触后彼此分离 圆环外侧运动 直至细杆的B端与环接触后彼此分离 直至细杆的 端与环接触后彼此分离, 已知细杆与圆环间的摩擦系数 µ 处处相同 试求 µ 处处相同,试求 的取值范围. 的取值范围. 解: 设初始时细杆的旋转 角速度为 ω0 ,转过θ 角后 转过 角速度为ω .由于摩擦力 由于摩擦力 并不作功,故细杆和圆环 并不作功 故细杆和圆环 构成的系统机械能守恒
力学部分主要公式：
（1). 牛顿第二定律 （2). 角动量定理
dP =F dt dL =M dt
对于质点,角动量 对于质点 角动量 对于刚体,角动量 对于刚体 角动量 (3). 保守力与势能关系
L = r ×P
L = Jω
F = −∇E p
(4). 三种势能 重力势能
(5). 保守力的特点
E p = mgz 1 2 弹性势能 E p = kx 2 Mm 万有引力势能 E p = −G r
J1r1r2 ω10 ω2 = 2 2 J1r2 + J 2 r1
例9: 质量为2m,半径为 的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为 和2m 质量为 半径为R的均质圆盘形滑轮 挂质量分别为m和 半径为 的均质圆盘形滑轮 挂质量分别为 的物体, 的物体 绳与滑轮之间的摩擦系数为 绳与滑轮之间无相对滑动. 绳与滑轮之间无相对滑动 解: 受力分析: 受力分析
l
B
列出细杆质心运动方程
maC切 = N
maC法 = f
R
不打滑的条件: 不打滑的条件
f ≤ µN
f
aC法 (l 2 + 3r 2 )r f 即 µ≥ = = N aC切 l 2R
由于
0<r <l
所以
4l µ> R
例8. 两个均质圆盘转动惯量分别为 J1 和 开始时第一个圆盘以
的角速度旋转， ω10 的角速度旋转，
fl
f r = p0
( s = 1)
例5. 质量为 m 长为 l 的匀质棒可绕固定的支点在竖直 300 角位置从静止开始 平面内运动. 平面内运动 若棒在与水平线成 下落,试计算当棒落到水平位置时 作用于支点的力. 试计算当棒落到水平位置时,作用于支点的力 下落 试计算当棒落到水平位置时 作用于支点的力 解: 由转动定理
质量为M、半径为R的光滑半球 的光滑半球， 例2. 质量为 、半径为 的光滑半球，其底面放在光 滑水平面上。有一质量为m的小滑块沿此半球面滑下 的小滑块沿此半球面滑下。 滑水平面上。有一质量为 的小滑块沿此半球面滑下。 已知小滑块初始位置与球心联线与竖直线成 α角。系 统开始时静止。 统开始时静止。求小滑块滑离半球面前绕球心的角速 度。 解：设半球面到图示 虚线位置时， 虚线位置时，小滑块 与竖直线夹角为 以地为参照系. 以地为参照系 小滑块对地的速度为υ 半球面对地的速度为V 小滑块滑离半球面前绕球心的角速度为 ω
0
f = N1 = µN2
0
N 2 = 2 Mg
l N1l sin 60 = 2Mg cos 600 2
求得： 求得：
µ=
1
N2
2Mg
2 3
f
600
B
例4：在水平地面上的一个桶内成有水，桶的侧面有个 ：在水平地面上的一个桶内成有水， 小孔， 小孔，孔与水面相距为 h 水从小孔 流出，求水从小孔流出时的速度。 流出，求水从小孔流出时的速度。 解：在孔处取单位体积的小体元 体元左侧面积为单位面积， 体元左侧面积为单位面积，受力等于 该处的压强 f l = ρgh + p0 右侧面积为单位面积，受力 f r = p0 右侧面积为单位面积， 此体元经受力 f = ρgh 此体元 运动单位距离就可以流出 按照牛顿第二定律： 按照牛顿第二定律： f 速度： 速度：v = 2as = 2 gh a = = gh ρ
3mg Rx = 4 mg Ry = 4
θ
θ0
Ry
Rx
例6.一长为 l 的细麦杆可绕通过中心 o 的水平转轴 在铅锤面内自由转动。开始时麦杆静止于水平位置 在铅锤面内自由转动。 一质量与麦杆相同的甲虫以速度 v0 垂直落到麦杆的
1 长度处，落下后甲虫立即向端点爬行。问为使 长度处，落下后甲虫立即向端点爬行。 4
l
A
C
l
B
R
1 1 2 应有: 应有 J Cω0 = J Pω 2 2 2 1 1 2 2 这里 JC = m(2l ) = ml 12 3
A
l
v C r
θ
P
l
B
1 J P = m(2l )2 + mr2 12
r = Rθ
解得: 解得 ω =
2
R
2
lω 0
l + 3r
vC = ωr =
lω 0 l + 3r
2
mg
l 2 m ω = mg sin θ + Rx cos θ − R y sin θ 2 l dω m = mg cos θ − Rx sin θ − R y cos θ 2 dt
或写成 3mg (sin θ − sin θ ) = mg sin θ + R cos θ − R sin θ 0 x y
a 沿绳的方向加速度应该相等： 沿绳的方向加速度应该相等： 1 = a2
解得： 解得： 1 = a 2 = g cot α a
1 m m1 m1 α = arccos 1 + 2 − + 4 2 m2 m2 m2 质量为M的均质重梯上端 靠在光滑的竖直 ： 质量为 的均质重梯上端A靠在光滑的竖直 的均质重梯上端 墙面上，下端 落在水平地面上 落在水平地面上， 墙面上，下端B落在水平地面上，梯子与地面夹角为 60 一质量也为M的人从 端缓慢爬梯， 的人从B端缓慢爬梯 一质量也为 的人从 端缓慢爬梯，到达梯子中点时 梯子尚未滑动，稍过中点，梯子就会滑动， 梯子尚未滑动，稍过中点，梯子就会滑动，求梯子与 地面之间的摩擦系数 A N1 解：系统力平衡 力矩平衡
m1
a1
α
a1
m2
a2.
解： 画隔离体图， 画隔离体图，受力分析
m1
m1
a1
a1
α α
T
a1
m2
T
a2.
T
a1
m2
a2.
m1
T
a1
T
α
列方程： 列方程：
a1
m2
T
a2.
T − T cos α = m1a1
T cos α = m2 (a1 − a2 cos α )
m2 g − T sin α = m2 a2 sin α
3mg cos θ = mg cos θ − Rx sin θ − R y cos θ 4
3mg (sin θ − sin θ 0 ) = mg sin θ + Rx cos θ − R y sin θ 2
3mg cos θ = mg cos θ − Rx sin θ − R y cos θ 4 当 θ = 0 时,得到 得到
V
α
θ
小球速度： 小球速度：
υ x = −V + Rω cos θ υ y = − Rω sin θ
水平方向动量守恒 系统机械能守恒： 系统机械能守恒：
V
θ
α
mυ x − MV = 0
1 1 2 2 2 m υ x + υ y + MV + mgR cos θ = mgR cos α 2 2 2 g cos α − cos θ 解得： 解得：ω = 2 R 1 − m cos θ / m + m
J2
第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近， 第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近， 求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度 当接触点处无相对滑动时，
ω10
r1
r2
受力分析： 解： 受力分析： 无竖直方向上的运动
ω10
o1
N1
f
r1
N2
r2
N1 = f + m1 g N 2 + f = m2 g
∫ F ⋅ dr = 0
L
作功与路径无关
(6).振动的微分方程 振动的微分方程
d q + Cq = 0 2 dt
圆频率: 圆频率 (7). 阻尼振动
2
ω= C
l. 水平轻绳跨过固定在质量为 1的水平物块的一个 水平轻绳跨过固定在质量为m 小圆柱棒后，斜向下连接质量为 的小物块， 小圆柱棒后，斜向下连接质量为m2的小物块，设系统 处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放， 处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放，假设两物块 的运动方向恒如图所示， 的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角 α 始终不变， 始终不变，试求 α , a1 , a2.
碰后， 碰后，当甲虫距轴心为 x 时系统的转动惯量为
1 J = ml 2 + mx 2 12 作用在系统上的重力矩为： 作用在系统上的重力矩为：
o
θ
v0
x
据转动定理： 据转动定理：
M = mgx cos θ d ( Jω ) =M
dt
应有： 应有：
dω dJ J + ω = mgx cos(ωt ) dt dt
t
于是有： 于是有： J1 J2 (ω10 − ω1 ) = ω 2 r1 r2
ω10
o1
f
r1
N2
r2
o2
不打滑条件： 不打滑条件： r1ω1 = r2ω 2 接触点处两盘的线速度相等
f
m1 g
m2 g
可解得： 可解得：
J r ω10 ω1 = 2 J r + J 2 r1
2 1 2 2 1 2
θ0
mg
3g ωdω = cos θdθ 两边积分 2l 3g 2 得到 ω = (sin θ − sin θ 0 ) l 轴反力的两个分量 Rx
ω
∫
0
3g ω dω = ∫ cosθdθ 2l θ 0
θ
Ry
θ
θ0
Rx
和 R y ,列出质心运动方程 列出质心运动方程: 列出质心运动方程 法线方向 切线方向