第8章 图与网络分析
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e2 v2
e1 v1 e4 e5 e6 e3 v3
如果边e的两个端点重合，称该边为
环，如右图中边e1为环。若两个端点
之间不止一条边，称具有多重边，如 右图中的e4和e5。对无环、也无多重
v4
e7
e8
v5
边的图称作简单图。
遇环 +1
次，奇点，偶点，孤立点，悬挂点、悬挂边
与某一个点vi相关联的边的数目称为
之间连线的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，
显的并不重要，因此，图论中的图与几何图、工程图等 本质上是不同的。
8.1.1 图及其图解
1、图的定义
• 为区别起见，把两点之间的不带箭头的连线称为边，带箭 头的连线称为弧，这样将图分为无向图和有向图。 （1）无向图 一个无向图G定义为一个有序二元组（V，E）， 记为 G =（V，E），其中： 1）V是一个有限非空集合，其元素称为G的结点或顶点，简
4）闭链：始点、终点相同 5）简单链：链中边不能重复 6）初等链：链中点不能重复 7）圈：除始点和终点外各点均不能重复
v4
v5
连通图，不连通图
1）在一个图中，任意两点之间至少存
e1 e2 v2 e5 e6 e7 e8 v1 e4 e3 v3
在一条链，则该图为连通图。
2）反之，则为不连通图。
连通图
v4
公路交通网络的合理布局等问题，都可以应用图论的方 法，简便、快捷地加以解决。
• 网络分析（Network Analysis）是图论的重要内容，网
络分析最早应用于各种电路的分析。
• 20世纪50年代以来，由于网络理论和网络计划方法等
研究成果的推广，使网络分析在工程设计和管理中得
到广泛的应用，已成为对各种系统进行分析、研究、
，
A a1 , a2 ,
【例5】 描述下列有向图D=（V，A）。
其中 V ={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}
A ={(v1,v2),(v1,v3),(v3,v2),
(v3,v4),(v2,v4),(v4,v5), (v4,v6),(v5,v3),(v5,v4),
(v5,v6),(v6,v7)}
1 v5v3v4v2 2 v5v3v4v2v3
链，开链，闭链，简单链，初等链，圈
1）图中某些点和边的交替序列，称为链，记 为μ，如
e1 e2 v2 e5 e6 e7 e8 v1 e4 e3 v3
3 v1v2v4v3v1 2 v1v2v4v3v2v1
2）链的始点、终点
3）开链：始点、终点不相同
市政管道图、航空线图等。
北京 天津 太原 石家庄 济南 青岛 郑州 徐州 连云港 重庆 上海 塘沽
武汉
南京
• 【例2】 单循环比赛 • 现有7只球队，拟进行单循环比赛，它们之间的比赛情况 ，也可以用图表示出来。下图就是用点1，2，3，4，5， 6，7分别代表7只球队，用点与点之间的连线表示之间的 比赛。
• 现在图论已经广泛应用于物理学、化学、生物学、信息
论、管理科学、销售学、工程技术、交通运输、教育学 及计算科学等各个领域。
【哥尼斯堡七桥问题】
• 1736年瑞士科学家欧拉发表了关于图论方面的第一 篇科学论文，解决了“哥尼斯堡七桥问题”。 • 哥尼斯堡城域中有一个普雷格尔河系，由新河、旧 河及其交汇而成的大河组成，它把该城分成了1岛3 岸共4块陆地，陆地之间有七座桥相互连接，如下图 所示。
称点，而V称为G的结点集或顶点集，简称点集，一般表示
为：
V v1 , v2 , , vn
2）E是由V中元素的无序对 [v
所构成的一个集合， , v ] i j ， e [vi , v j ] [v j , vi ]
其元素称为G的边，一般表示为
而将E称为G的边集，一般表示为：
E e1 , e2 ,
第8章 网络分析
• 8.1 图的基本概念与模型
• 8.1.1 图及其图解 • 8.1.2 几个基本概念 • 8.1.3 图的模型
• 8.2 最小树问题
• 8.3 最短路问题
• 8.4 最大流问题
• 图论（Theory of Graphs, Graph Theory）是运筹学中应用 十分广泛的一个分支，是建立和处理离散数学模型的一 个重要工具，其起源最早可以追溯到1736年欧拉所发表 的一篇关于解决著名的“哥尼斯堡七桥问题”的论文。 但是直到20世纪中叶，由于离散数学问题具有越来越重 要的地位，才使图论蓬勃发展起来。
个不含圈的连通图，代表了一个电话线网。
v1 v3
v2
v5 v4 v6
• 8.2.1 树
• 树：一个连通无圈的简单图 • 林：一个无圈简单图 • [性质1]树中任意两点之间有且仅有一条链。 • [性质2]在树中不相邻的两点间添上一条边，可以得到且
端点，关联边，相邻
e1
若有边e可表示为e =[vi,vj]，称vi和
e2
v1 e4 e5
e3 v3
vj是边e的端点，反之称边e为点vi或 vj的关联边。若点vi、vj与同一条边
关联，称点vi和vj相邻；若边ei和ej具
有公共的端点，称边ei和ej相邻。
v2 e6
e7
e8
v4
v5
环，多重边，简单图
当地居民热衷于这样一个问题：漫步者从某陆地出发，能
否走遍7桥且每桥只能过一次而最终回到原出发地？尽管
试验者很多，但是都没有取得成功。
为了寻找答案，1736年欧拉将这个问题抽象成下图所示的 一笔画问题。即能否从某一点开始不重复地一笔画出这个 图形，最终回到原点。欧拉在论文中证明这是不可能的， 因为这个图形中每一个顶点都与奇数条边相连接，不可能 将它一笔画出，这就是古典图论中的第一个著名问题。
点、边、弧
G =（V，E） D =（V，A）
8.1.2 几个基本概念
• 端点和关联边 • 相邻 • 环，多重边 • 简单图、多重图 • 链、开链、闭链 • 简单链、初等链 • 圈 • 连通图、不连通图
• 次、奇点、偶点
• 孤立点 • 悬挂点、悬挂边
• 子图、真子图、支撑子图
• 基础图、路、回路 • 网络、网络分析
e1
点vi的次，记作d(vi)。右图中d(v3)
＝5,d(v5)=1，d(v1)=？。次为奇数
v2
e2
v1 e4 e5
e3 v3
的点称作奇点，次为偶数的点称作
e6
偶点，次为0的点称为孤立点，次为
1的点称作悬挂点，与悬挂点相关联
的边称作悬挂边。
v4
e7
e8
v5
e1
v1
e2 e6
v2 e3
v6
e5
v4
9
①
14
网络分析 简单地讲，所谓网络分析，就是对网络进行定量和定性分 析，以便为实现某种优化目标而寻求最优方案。 如：最小树问题、最短路问题、中心问题、重心问题等
【总结】
• 环、圈、回路的区别？ • 孤立点和悬挂点的区别？ • 开链和闭链的区别？简单链和初等链的区别？
• 子图、真子图、支撑子图的区别？
e4 e8
v3 e7 v5
【定理1】任何图中，所有点的次之和等于边数的2倍。 证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的次时，每条 边均被计算了两次，所以顶点次数的总和等于边数的2倍。 【定理2】任何图中，奇点的个数必为偶数。 证明：设V1和V2分别为图G中奇点与偶点的集合。由定理1可得：
vV1
v5
e1
v1
e2 e6
v2 e3
v6
e5
v4
e4 e8
v3 e7 v5
不连通图
基础图，路，回路
1）把有向图D的方向去掉，即每一个弧都换成边，这样就得到
一个无向图，该无向图称为该有向图的基础图，记为G（D）。
2）路 VS 链
3）回路 VS 圈
区别？？？
子图，真子图、支撑子图
有图G V , E 和图G V , E
（1）V是一个有限非空的集合，其元素称为G的结点或顶
点，简称点，而V称为G的结点集或顶点集，简称点集，
一般表示为：
V v1 , v2 , , vn
（2）A是由V中元素的有序对
v , v
i j
所构成的一个集
合，其元素称为D的弧，一般表示为： 而将A称为G的弧集,弧集一般表示为：
a vi , v j
【例4】描述下列无向图 G=（V，E）。
其中 V={v1,v2,v3,v4} E={[v1,v2],[v2,v1],[v2,v3], [v3,v4],[v1,v4],[v2,v4],[v3,v3]}
v1
v2
v4
Βιβλιοθήκη Baidu
v3
2）有向图 一个有向图D定义为一个有序二元组（V，A），
记为 D =（V，A），其中：
1 7 2
6
3
5
4
【例3】 6支球队之间的胜负关系图。
B
C
A
D
F
E
• 从以上的三个例子可以看出： • A 可以用点及点与点之间的连线所构成的图去反映实际 生产和生活中的某些对象之间的特定关系。一般来说， 通常用点表示研究对象，用点与点之间的连线表示研究 对象之间的特定关系。 • B 由于在一般情况下，图中点的相对位置如何，点与点
C
A
B
D
• 在实际生活、生产和科学研究中，有很多问题可以用图 论的理论和方法来加以解决。 • 例如，在组织生产中为完成某项生产任务，各工序之间 怎样衔接才能使生产任务完成的既快又好；一个邮递员 送信，要走完他负责投递的全部街道，完成任务后回到 邮局，应该按照怎样的路线投递所走的总路程最短；再
如各种通信线路的合理架设、输油管道的铺设、铁路或
d (v) d (v) d (v) 2m
vV2 vV
vV2
2m为偶数，且偶点的次之和
d (v ) 也为偶数，所以 d (v )
vV1
必为偶数，即奇点的个数必为偶数。
Königsberg城有七座桥，能否从任一陆地出发，走遍7桥且每桥只能 过一次，最终回到原出发点。这就是著名的“哥尼斯堡七桥”难题， 欧拉1736年证明了不可能存在这样的路线。
1 A B C D + +
2
3 + +
4 +
5 + + +
6 +
7 +
8
9 +
10
+
+ +
E F G
H +
+ + +
+ +
+ + +
+
+
+
• 8.2 最小树问题
• 【例7】电话线架设问题
• 已知6个城市，它们之间要架设电话线，要求任意两个城
市之间均可以互相通话，并且所需电话线的总长度最短。 • 如果用六个点v1，v2，v3，v4，v5，v6代表这六个城市， 在任意两个城市之间架设电话线，即在相应的两个点之 间连一条边。这样，六个城市的一个电话网就作成一个 图。由于任意两个城市之间均可以通话，这个图必须是 连通图。为节约资源，这个图必须是无圈的。下图是一
• 谁有基础图？路和链的区别？回路和圈的区别？
• 有向网络、无向网络、混合网络的区别？
8.1.3 图的模型
对所关心的问题确定研究的对象及这些对象之间的某种性 质的联系，并用图及其图解的形式表示出来，这就是对问
题建立图的模型。
【例6】 节目排序问题
一场文艺演出共有8个节目，全体演员中有10人须参加
两个以上的节目，如下表所示。现要求首尾两个节目必须 为A和H，还希望每个演员不连续参加两个节目的演出，问 该怎样安排节目表。
管理的重要工具。
• 8.1 图的基本概念和模型
• 在实际的生产和生活中，人们为了反映事物及其之间的 关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。 • 【例1】下图是我国北京、上海、武汉等14个城市之间的 铁路交通图，这里各城市用点表示，用点与点之间的连 线表示两城市之间的铁路线。诸如此类的还有城市中的
v4
G=(V,E)
v5
e7
v4
v5
v4
v5
网络（有向、无向、混合网络）
设图G＝（V，E），对G的每一条边(vi,vj)相应赋予数量指标wij，
wij称为边(vi,vj)的权数，一个图连同其边上的权数一起称为网
络。权数可以代表距离、费用、通过能力(容量)等等。 无向网络，有向网络，混合网络？
② 7 10 20 ③ 19 25 15 ④ ⑤ 6 ⑥
/ / / / / / / /
e1
e2 v2 e5 e6 e7 e8
/
v1
e4
e3 v3
1 ）若V V，E E，则G 是G的子图 2）若V V，E E，则G 是G的真子图 3）若V V，E E，则G 是G的支撑子图
/ / /
v1 e4 v2 e5 e6 e8 v3 v2 e6 e2 e4 e3 v3 e8
v3
v1 v2
v5 v6
v4
v7
2、图的图解
若用平面上的点表示图G的结点，用连接相应的结点 而不经过其他结点的线表示图G的边，所画出的图形称为 图G的平面图解，简称图解。 由于对结点的位置和边的形状的选取具有随意性， 因此一个图可以有几种形状迥异的图解。
【知识点回顾】
• 图 • 无向图 • 有向图 • 图的描述 • 图的图解
e1 v1 e4 e5 e6 e3 v3
如果边e的两个端点重合，称该边为
环，如右图中边e1为环。若两个端点
之间不止一条边，称具有多重边，如 右图中的e4和e5。对无环、也无多重
v4
e7
e8
v5
边的图称作简单图。
遇环 +1
次，奇点，偶点，孤立点，悬挂点、悬挂边
与某一个点vi相关联的边的数目称为
之间连线的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，
显的并不重要，因此，图论中的图与几何图、工程图等 本质上是不同的。
8.1.1 图及其图解
1、图的定义
• 为区别起见，把两点之间的不带箭头的连线称为边，带箭 头的连线称为弧，这样将图分为无向图和有向图。 （1）无向图 一个无向图G定义为一个有序二元组（V，E）， 记为 G =（V，E），其中： 1）V是一个有限非空集合，其元素称为G的结点或顶点，简
4）闭链：始点、终点相同 5）简单链：链中边不能重复 6）初等链：链中点不能重复 7）圈：除始点和终点外各点均不能重复
v4
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连通图，不连通图
1）在一个图中，任意两点之间至少存
e1 e2 v2 e5 e6 e7 e8 v1 e4 e3 v3
在一条链，则该图为连通图。
2）反之，则为不连通图。
连通图
v4
公路交通网络的合理布局等问题，都可以应用图论的方 法，简便、快捷地加以解决。
• 网络分析（Network Analysis）是图论的重要内容，网
络分析最早应用于各种电路的分析。
• 20世纪50年代以来，由于网络理论和网络计划方法等
研究成果的推广，使网络分析在工程设计和管理中得
到广泛的应用，已成为对各种系统进行分析、研究、
，
A a1 , a2 ,
【例5】 描述下列有向图D=（V，A）。
其中 V ={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}
A ={(v1,v2),(v1,v3),(v3,v2),
(v3,v4),(v2,v4),(v4,v5), (v4,v6),(v5,v3),(v5,v4),
(v5,v6),(v6,v7)}
1 v5v3v4v2 2 v5v3v4v2v3
链，开链，闭链，简单链，初等链，圈
1）图中某些点和边的交替序列，称为链，记 为μ，如
e1 e2 v2 e5 e6 e7 e8 v1 e4 e3 v3
3 v1v2v4v3v1 2 v1v2v4v3v2v1
2）链的始点、终点
3）开链：始点、终点不相同
市政管道图、航空线图等。
北京 天津 太原 石家庄 济南 青岛 郑州 徐州 连云港 重庆 上海 塘沽
武汉
南京
• 【例2】 单循环比赛 • 现有7只球队，拟进行单循环比赛，它们之间的比赛情况 ，也可以用图表示出来。下图就是用点1，2，3，4，5， 6，7分别代表7只球队，用点与点之间的连线表示之间的 比赛。
• 现在图论已经广泛应用于物理学、化学、生物学、信息
论、管理科学、销售学、工程技术、交通运输、教育学 及计算科学等各个领域。
【哥尼斯堡七桥问题】
• 1736年瑞士科学家欧拉发表了关于图论方面的第一 篇科学论文，解决了“哥尼斯堡七桥问题”。 • 哥尼斯堡城域中有一个普雷格尔河系，由新河、旧 河及其交汇而成的大河组成，它把该城分成了1岛3 岸共4块陆地，陆地之间有七座桥相互连接，如下图 所示。
称点，而V称为G的结点集或顶点集，简称点集，一般表示
为：
V v1 , v2 , , vn
2）E是由V中元素的无序对 [v
所构成的一个集合， , v ] i j ， e [vi , v j ] [v j , vi ]
其元素称为G的边，一般表示为
而将E称为G的边集，一般表示为：
E e1 , e2 ,
第8章 网络分析
• 8.1 图的基本概念与模型
• 8.1.1 图及其图解 • 8.1.2 几个基本概念 • 8.1.3 图的模型
• 8.2 最小树问题
• 8.3 最短路问题
• 8.4 最大流问题
• 图论（Theory of Graphs, Graph Theory）是运筹学中应用 十分广泛的一个分支，是建立和处理离散数学模型的一 个重要工具，其起源最早可以追溯到1736年欧拉所发表 的一篇关于解决著名的“哥尼斯堡七桥问题”的论文。 但是直到20世纪中叶，由于离散数学问题具有越来越重 要的地位，才使图论蓬勃发展起来。
个不含圈的连通图，代表了一个电话线网。
v1 v3
v2
v5 v4 v6
• 8.2.1 树
• 树：一个连通无圈的简单图 • 林：一个无圈简单图 • [性质1]树中任意两点之间有且仅有一条链。 • [性质2]在树中不相邻的两点间添上一条边，可以得到且
端点，关联边，相邻
e1
若有边e可表示为e =[vi,vj]，称vi和
e2
v1 e4 e5
e3 v3
vj是边e的端点，反之称边e为点vi或 vj的关联边。若点vi、vj与同一条边
关联，称点vi和vj相邻；若边ei和ej具
有公共的端点，称边ei和ej相邻。
v2 e6
e7
e8
v4
v5
环，多重边，简单图
当地居民热衷于这样一个问题：漫步者从某陆地出发，能
否走遍7桥且每桥只能过一次而最终回到原出发地？尽管
试验者很多，但是都没有取得成功。
为了寻找答案，1736年欧拉将这个问题抽象成下图所示的 一笔画问题。即能否从某一点开始不重复地一笔画出这个 图形，最终回到原点。欧拉在论文中证明这是不可能的， 因为这个图形中每一个顶点都与奇数条边相连接，不可能 将它一笔画出，这就是古典图论中的第一个著名问题。
点、边、弧
G =（V，E） D =（V，A）
8.1.2 几个基本概念
• 端点和关联边 • 相邻 • 环，多重边 • 简单图、多重图 • 链、开链、闭链 • 简单链、初等链 • 圈 • 连通图、不连通图
• 次、奇点、偶点
• 孤立点 • 悬挂点、悬挂边
• 子图、真子图、支撑子图
• 基础图、路、回路 • 网络、网络分析
e1
点vi的次，记作d(vi)。右图中d(v3)
＝5,d(v5)=1，d(v1)=？。次为奇数
v2
e2
v1 e4 e5
e3 v3
的点称作奇点，次为偶数的点称作
e6
偶点，次为0的点称为孤立点，次为
1的点称作悬挂点，与悬挂点相关联
的边称作悬挂边。
v4
e7
e8
v5
e1
v1
e2 e6
v2 e3
v6
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v4
9
①
14
网络分析 简单地讲，所谓网络分析，就是对网络进行定量和定性分 析，以便为实现某种优化目标而寻求最优方案。 如：最小树问题、最短路问题、中心问题、重心问题等
【总结】
• 环、圈、回路的区别？ • 孤立点和悬挂点的区别？ • 开链和闭链的区别？简单链和初等链的区别？
• 子图、真子图、支撑子图的区别？
e4 e8
v3 e7 v5
【定理1】任何图中，所有点的次之和等于边数的2倍。 证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的次时，每条 边均被计算了两次，所以顶点次数的总和等于边数的2倍。 【定理2】任何图中，奇点的个数必为偶数。 证明：设V1和V2分别为图G中奇点与偶点的集合。由定理1可得：
vV1
v5
e1
v1
e2 e6
v2 e3
v6
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v4
e4 e8
v3 e7 v5
不连通图
基础图，路，回路
1）把有向图D的方向去掉，即每一个弧都换成边，这样就得到
一个无向图，该无向图称为该有向图的基础图，记为G（D）。
2）路 VS 链
3）回路 VS 圈
区别？？？
子图，真子图、支撑子图
有图G V , E 和图G V , E
（1）V是一个有限非空的集合，其元素称为G的结点或顶
点，简称点，而V称为G的结点集或顶点集，简称点集，
一般表示为：
V v1 , v2 , , vn
（2）A是由V中元素的有序对
v , v
i j
所构成的一个集
合，其元素称为D的弧，一般表示为： 而将A称为G的弧集,弧集一般表示为：
a vi , v j
【例4】描述下列无向图 G=（V，E）。
其中 V={v1,v2,v3,v4} E={[v1,v2],[v2,v1],[v2,v3], [v3,v4],[v1,v4],[v2,v4],[v3,v3]}
v1
v2
v4
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v3
2）有向图 一个有向图D定义为一个有序二元组（V，A），
记为 D =（V，A），其中：
1 7 2
6
3
5
4
【例3】 6支球队之间的胜负关系图。
B
C
A
D
F
E
• 从以上的三个例子可以看出： • A 可以用点及点与点之间的连线所构成的图去反映实际 生产和生活中的某些对象之间的特定关系。一般来说， 通常用点表示研究对象，用点与点之间的连线表示研究 对象之间的特定关系。 • B 由于在一般情况下，图中点的相对位置如何，点与点
C
A
B
D
• 在实际生活、生产和科学研究中，有很多问题可以用图 论的理论和方法来加以解决。 • 例如，在组织生产中为完成某项生产任务，各工序之间 怎样衔接才能使生产任务完成的既快又好；一个邮递员 送信，要走完他负责投递的全部街道，完成任务后回到 邮局，应该按照怎样的路线投递所走的总路程最短；再
如各种通信线路的合理架设、输油管道的铺设、铁路或
d (v) d (v) d (v) 2m
vV2 vV
vV2
2m为偶数，且偶点的次之和
d (v ) 也为偶数，所以 d (v )
vV1
必为偶数，即奇点的个数必为偶数。
Königsberg城有七座桥，能否从任一陆地出发，走遍7桥且每桥只能 过一次，最终回到原出发点。这就是著名的“哥尼斯堡七桥”难题， 欧拉1736年证明了不可能存在这样的路线。
1 A B C D + +
2
3 + +
4 +
5 + + +
6 +
7 +
8
9 +
10
+
+ +
E F G
H +
+ + +
+ +
+ + +
+
+
+
• 8.2 最小树问题
• 【例7】电话线架设问题
• 已知6个城市，它们之间要架设电话线，要求任意两个城
市之间均可以互相通话，并且所需电话线的总长度最短。 • 如果用六个点v1，v2，v3，v4，v5，v6代表这六个城市， 在任意两个城市之间架设电话线，即在相应的两个点之 间连一条边。这样，六个城市的一个电话网就作成一个 图。由于任意两个城市之间均可以通话，这个图必须是 连通图。为节约资源，这个图必须是无圈的。下图是一
• 谁有基础图？路和链的区别？回路和圈的区别？
• 有向网络、无向网络、混合网络的区别？
8.1.3 图的模型
对所关心的问题确定研究的对象及这些对象之间的某种性 质的联系，并用图及其图解的形式表示出来，这就是对问
题建立图的模型。
【例6】 节目排序问题
一场文艺演出共有8个节目，全体演员中有10人须参加
两个以上的节目，如下表所示。现要求首尾两个节目必须 为A和H，还希望每个演员不连续参加两个节目的演出，问 该怎样安排节目表。
管理的重要工具。
• 8.1 图的基本概念和模型
• 在实际的生产和生活中，人们为了反映事物及其之间的 关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。 • 【例1】下图是我国北京、上海、武汉等14个城市之间的 铁路交通图，这里各城市用点表示，用点与点之间的连 线表示两城市之间的铁路线。诸如此类的还有城市中的
v4
G=(V,E)
v5
e7
v4
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v4
v5
网络（有向、无向、混合网络）
设图G＝（V，E），对G的每一条边(vi,vj)相应赋予数量指标wij，
wij称为边(vi,vj)的权数，一个图连同其边上的权数一起称为网
络。权数可以代表距离、费用、通过能力(容量)等等。 无向网络，有向网络，混合网络？
② 7 10 20 ③ 19 25 15 ④ ⑤ 6 ⑥
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e1
e2 v2 e5 e6 e7 e8
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v1
e4
e3 v3
1 ）若V V，E E，则G 是G的子图 2）若V V，E E，则G 是G的真子图 3）若V V，E E，则G 是G的支撑子图
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v1 e4 v2 e5 e6 e8 v3 v2 e6 e2 e4 e3 v3 e8
v3
v1 v2
v5 v6
v4
v7
2、图的图解
若用平面上的点表示图G的结点，用连接相应的结点 而不经过其他结点的线表示图G的边，所画出的图形称为 图G的平面图解，简称图解。 由于对结点的位置和边的形状的选取具有随意性， 因此一个图可以有几种形状迥异的图解。
【知识点回顾】
• 图 • 无向图 • 有向图 • 图的描述 • 图的图解