三向量的混合积ppt课件

h
c
b
a
由数量积的定义（ab）c ab c cos S c cos， ab，c
当{O；a，b，c}成右手系时，0 ，h c cos，
2 （ab）c Sh V.
当{O；a，b，c}成左手系时，
，h c co（s ）
2
c cos，
（ab）c Sh V.
ab
h
.
c
( a b ) c ( a c ) c 0 c ( b c ) c
0 0
2 (a ( a b ) b 0) c a 2[( a a b c c ]0) a 4. 0 a ( b ( arc ) bra ) cr
四、混合积的坐标表示
定理 1.9.4 Fra Baidu bibliotek么
如果 a X1i Y1 j Z1k ， b X2i Y2 j Z2 k ， c X3i Y3 j Z3k ，
X1 Y1 Z1
abc X 2 Y2 Z2 .
X 3 Y3 Z3
证 ： 由 向 量 积 的 坐 标 表 示 知 abY1 Z1iZ1 X1 jX1 Y1k， Y2 Z2 Z2 X2 X2 Y2
（a bc） 同理可得y （adc），z （abd）.
（abc） （abc）
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记做 abc 或a,b,c 或abc .
特别地，当 a b 时，即 aa c 0 或 a,a,c 0.
二、混合积的几何意义
定理 1.9.1 三个不共面向量 a,b, c 的混合积的绝 对值等于以 a,b, c 为棱的平行六面体的体积V ，并 且当 a,b, c 构成右手系时混合积是正数；当a,b, c 构 成左手系时，混合积是负数，
所 以 （ abc） （ ab） cX3Y Y1 2
Z1 Z2
Y3 Z Z1 2
X X1 2 +Z3
X1 X2
Y1 Y2
X1 X2
X3
Y1 Z1 Y2 Z2. Y3 Z3
例 3 已知四面体 ABCD的顶点坐标 A0,0,0, B6,0,6, C 4,3,0, D2, 1,3 ,求它的体积.
解： AB {6， 0， 6}， AC {4， 3， 0}， AD {2，1， 3}， 606
b
a
三、混合积的性质
定理 1.9.2 三向量共面的充要条件是 abc 0 .
证：当a，b共线，即ab 0时，或c 0时，显然a，b，c共面且 （a，b，c） 0，
下证a，b不共线且c 0时该定理也成立. 若（a，b，c）0，即（ab）c 0，则有ab c，又有向量积 的定义知ab a，ab b，所以a，b，c共面. 若a，b，c共面，由ab a，ab b知ab c，于是（ab）c 0， 即（a，b，c） 0.
•§1.9 三向量的混合积
一、混合积的概念 二、混合积的几何意义 三、混合积的性质 四、混合积的坐标表示
数的乘法
向量的数量积 向量的向量积
abba
abba
abba
a babab a b a b a b a b a b a b
abcacbc
abcacbc
abcacbc
所 以 （ abc ） 0 ， 即 a ， b ， c共 面 .
例2 已知 (abc) 2 ，
解
计 算[( a b ) ( b c )] ( c a). [ a ( b ) ( b c ) ( c ] a )
[ a b a c b b b c ) ( c a ] )
也就是有
abc V ，
当 a, b, c 是右手系时, 1；当 a, b, c 是左手系时, 1.
证 ： 因 为 a，b，c不 共 面 ， 把 它 们 归 结 到 共同的始点O并作以它们为棱的平行
六 面 体 ， 它 的 底 面 是 以 a，b为 边 的 平 行
四边形，
ab
面积S ab，
它 的 高 为 h， 则体积V Sh，
定理 1.9.3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值， 对调任何两个因子要改变乘积符号，即
abc bca cab bac cba acb.
推论
abc a bc
例 1 设三向量 a，b，c 满足 a b b c c a 0 ，
试证三向量 a ，b ，c 共面.
证 ： 由 abbcca0 两 边 与 c作 数 量 积 得 （ abc ） （ bcc ） +（ cac ） 0 ， 而 （ bcc ） （ cac ） 0 ，
所以（AB， AC， AD） 4 3 0 6. 2 1 3
四面体ABCD的体积V 1（AB， AC， AD）1. 6
例 4 设 a，b，c 为三个不共面的向量，求向量d 对于a，b，c 的 分解式.
解：因为a，b，c不共面，故d可分解为a，b，c的线性组合 设d xa yb zc，在等式两边分别与b c作数量积， 则有（dbc） x（abc）+y（bbc）+z（cbc）. 因为（bbc）=（cbc）=0，所以（dbc） x（abc）. 又因为a，b，c不共面，所以（abc） 0，因此x （dbc），
2
aa a
2
2
aaa a
aa＝0
a b 0 a 0 或 b 0 a b 0 a 0 或 b 0a b 0 a 0 或 b 0
a ba c bc
a b a c b c a b a c b c
一、混合积的概念
定义 1.9.1 给定空间三个向量 a,b, c ，如果先作前两个 向量 a 与 b 的向量积，再作所得的向量与第三个向量 c 的 数量积，最后得到的这个数叫做三向量 a,b, c 的混合积，