专题质量评估(六)

专题质量评估(六) (时间:120分钟,满分:160分)

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)

1.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名,现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为 . 【解析】设样本容量为N ,则30670

N ?=,∴N =14,

∴高二年级所抽人数为4014870

?=.

【答案】8

2.(2011江苏南京二模)用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是 .

【解析】依题意得,用两种不同的颜色给图中的三个矩形随机涂色总的方法数共有3

28=种,其中相邻两个矩形涂不同的颜色的方法数共有2112??=种,因此所求的概率P =2184

=.

【答案】14

3.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 . 【解析】方法一:如图所示,从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点,可以看作随机选2个顶点,剩下的4个顶点构成四边形,有A 、B ,A 、C ,A 、D ,A 、E ,A 、F ,B 、C ,B 、D ,B 、E ,B 、F ,C 、D ,C 、E ,C 、F ,D 、E ,D 、F ,E 、F ,共15种.若要构成矩形,只要选相对顶点即可,有A 、D ,B 、E ,C 、F 共3种,故其概率为31155

=.

方法二:如图所示,从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点,共有C 4

615(=种)选法,其中能够构成矩形的有FECB 、AFDC 、ABDE 三种选法, 故其概率为31155

=.

【答案】15

4.(2011陕西高考,理10改编)甲、乙两人一起去游”2011西安世园会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 .

【解析】最后一个景点甲有6种选法,乙有6种选法,共有36种,他们选择相同的景点有6种,所以

61366P ==.

【答案】16

5.(2011广东高考,理6改编)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,

乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为.

【解析】由甲、乙两队每局获胜的概率相同,知甲每局获胜的概率为1

2

,甲要获得冠军有两种情

况:第一种情况是再打一局甲赢,甲获胜概率为1

2;第二种情况是再打两局,第一局甲输,第二局甲

赢.则其概率为

111

(1)

224

-?=.故甲获得冠军的概率为3

11

244

+=.

【答案】3 4

6.四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库中是危险的,没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库中是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为. 【解析】如图所示,与每条侧棱异面的棱分别为2条.

例如侧棱SB与棱CD、AD异面.

以四条侧棱为代表的化工产品分别放入四个仓库中,共A4

4

种存放方法.

从而安全存放的不同放法种数为2A4

4

=48(种).

【答案】48

7.在一次歌手大奖赛上,七位评委为某歌手打出的分数如下:

9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7

去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为、.

【解析】数据的平均值

9494969497

5

x.+.+.+.+.

==9.5.

方差21[(9 5

s=.4-9.2

5)(9

+.4-9.2

5)+(9.6-9.2

5)+(9.4-9.2

5)(9

+.7-9.2

5)]=0.016.

【答案】9.5 0.016

8.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力数据,得到频率分布

直方图如下图,由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数成等比数列,后6组的频数成等差数列,设最大频率为a,视力在4.6到5.0之间的学生数为b,则a、b的值分别为.

【解析】前4组的频数成等比,由图知:

第1组:1人;第2组:3人;第3组:9人;第4组:27人. ∴a =0.27,后6组共87人.

设公差为x ,故

65276872

x ??+=,

∴

162+15x =87.

∴x =-5.∴b =272752752275378+-+-?+-?=. 【答案】78

9.已知变量x ,y 的一组数据如下表:

则刻画y 与x 关系的线性回归方程是 .

【解析】根据线性回归方程$121

()()()n

i i i n

i i x x y y b x x a y bx ==?

--?

?=,??-??=-??∑∑$$

可得1710b =$，$3=2

a -，所以$y =173102x -.

【答案】$y =173102x -

10.在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中,含3

x 的项的系数是 .

【解析】在5678

(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中,

含3

x 的项为C 335()x -+C 336()x -+C 337()x -+C 338()x -=3121x -,系数为-121.

【答案】-121

11.(2011山东东营一模)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 个.(用数字作答)

【解析】数字2,3至少都出现一次,包括以下情况: ”2”出现1次,”3”出现3次,共可组成C 1

44(=个)四位数. ”2”出现2次,”3”出现2次,共可组成C 246(=个)四位数. ”2”出现3次,”3”出现1次,共可组成C 344(=个)四位数.

综上所述,共可组成14个这样的四位数. 【答案】14

12.(2011江西新余二模)如图,EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A 表示事件”豆子落在正方形EFGH 内”,B 表示事件”豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”,则

(1)P (A )= ; (2)P (B |A )= .

【解析】(1)由题意可得,事件A 发生的概率222()EFGH

O S P A S π?===正方形圆.

(2)事件AB 表示”豆子落在△EOH 内”,

则2

21121()21EOH O S

P AB S π

π?===?V 圆.

故P (B |1

()21

)()24

P AB A P A ππ

=

==. 【答案】2(1)π 1(2)4

13.(2011上海高考,理9)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表:

请小牛同学计算ξ的数学期望,尽管”!”处完全无法看清,且两个”?”处字迹模糊,但能断定这两个”?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E ξ= . 【解析】设(1)(3)(2)P P a P b ξξξ====,==,则2a +b =1. 【答案】2

14.(2011浙江高考,理13)设二项式6

((0)a x a x

>的展开式中3x 的系数为A ,常数项为B , 若

B =4A ,则a 的值是 .

【解析】1r T +=C 6r x

6()()r

r r a a x

-=-C 6

r

x 326r -, 所以3632r -=时,r =2,所以2315602A a r =,-=时,r =4,所以4

15B a =,

所以4215415a a =?,所以2

4a =,又a >0,得a =2.

【答案】 2

二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分14分)书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.

(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?

(2)从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不同的取法?

【解】(1)从书架上任取1本书,有3类办法:第1类办法是从第1层抽1本计算机书,有4种方法;第2类办法是从第2层抽1本文艺书,有3种方法;第3类办法是从第3层取1本体育书,有2种方法.根据分类计数原理,不同取法的种数是4+3+2=9(种).所以,从书架上任取1本书,有9种不同的取法.

(2)从书架的第1,2,3层各取1本书,可以分成3个步骤完成:第1步从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2步从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3步从第3层取1本体育书,有2种方法.根据分步计数原理,从书架的第1,2,3层各取1本书,不同取法的种数是43224(??=种).所以,从书架的第1,2,3层各取1本书,有24种不同的取法.

16.(本小题满分14分)某工厂有工人1 000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人),现用分层抽样方法(按A 类、B 类分二层)从该工厂的

工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数).

(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为A类工人,乙为B类工人;

(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如表1和表2所示.

①请先确定x,y,再作出两类工人抽查结果的频率分布直方图.就生产能力而言,A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)

②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值做代表).

【解】(1)甲、乙被抽到的概率均为

1

10

,且事件”甲工人被抽到”与事件”乙工人被抽到”相互独立,

故甲、乙两工人都被抽到的概率为

111

1010100 P=?=.

(2)①由题意知A类工人中应抽查25名,B类工人中应抽查75名. 故由4+8+x+5=25,得x=5;由6+y+36+18=75,得y=15.

频率分布直方图分别如图所示.

从直方图可以判断:B类工人中个体间的差异程度更小.

②

855 4105115125135 25252525

A

x=?+?+?+?+3

25

?145=123.

6153618

115125135145

75757575

B

x=?+?+?+?=133.8.

2575

123133

100100

x=?+?.8=131.1.

A类、B类以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.

17.(本小题满分14分)(2011江苏上饶二模)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:

(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;

(2)当产品中的微量元素x,y满足175

x≥且75

y≥时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;

(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望).

【解】(1)由分层抽样的定义可知乙厂生产的产品数量为

98535(

14

?=件).

(2)由题中表格提供的数据可知,乙厂抽取的5件产品中有2件优等品,分别是2号和5号,样品中优等品的概率为

2

5.

由(1)知乙厂共有产品35件,所以估计乙厂优等品的数量为

2

3514(

5

?=件).

(3)5件抽测品中有2件优等品,则ξ的可能取值为0,1,2.

211

332

22

55

C C C

33

(0)(1)

105

C C

P P

ξξ

?

===,===,

2

2

2

5

C1

(2)

10

C

Pξ===.

分布列为

故

3314

()012

105105

Eξ=?+?+?=.

18.(本小题满分16分)(2011北京高考,理17)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.

乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.

(1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;

(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望.

(注:方差2

1

1[(

s x x

n

=-2

2

)(x x

+-2)+…+(

n

x-x2)],其中x为

12

x x,,…

n

x,的平均数) 【解】(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,所以平均数为8891035

44

x+++

==;

方差为2222

353535

1[(8)(8)(9)(10

4444

s=-+-+-+-2

35)]

4

=11

16.

(2)当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4416

?=种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件”Y=17”等价于”甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”,所以该事件有2种可能的结果,因此P

21

(17)

168

Y===.同理可得P1

(18)

4

Y==;

P

1

(19)

4

Y==;P1

(20)

4

Y==;P(Y=21)1

8

=.

所以随机变量Y的分布列为

17(17)18(18)19(19)20

EY P Y P Y P Y

=?=+?=+?=+?P(Y=20)

1

21(21)1718

8

P Y

+?==?+?1

4

+1

1920

4

?+?1

4

+1

2119

8

?=.

19.(本小题满分16分)(2011江苏苏、锡、常、镇一模)(1)当k∈*N时,求证:(13)(13)

k k

+-

是正整数;

(2)试证明大于2

(13)n的最小整数能被1

2n+整除(n∈*N).

【解】(1)(13)1k +=+C 13k +C 22(3)k +…+C (3)k k

k ,

(13)1k -=-C 13k +C 22(3)k -…+C (1)(3)k k k k -, 因此(13)(13)2[1k k ,++-=+C 22(3)k +C 44(3)k +…],

∵3的偶数次幂均为正整数,

∴(13)(13)k k

++-是正整数.

(2)因为20(13)1n <-<,由(1)知22(13)(13)n n

++-为正整数, ∴大于2(13)n +的最小整数为22(13)(13)n n

++-.

由于2222(13)(13)[(13)][(13)]n n n n

++-=++-

2[(23)(23)]n n n =++-,

由二项式定理知(23)(23)n n

++-是偶数,

∴22(13)(13)n n

++-能被12n +整除.

20.(本小题满分16分)在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出1点,甲盒中放一球;若掷出2点或3点,乙盒中放一球;若掷出4点,5点或6点,丙盒中放一球,前后共掷3次.设x 、y 、z 分别表示甲、乙、丙3个盒中的球数.

(1)求x 、y 、z 依次成公差大于0的等差数列的概率.

(2)记x y ξ=+,求随机变量ξ的概率分布列和数学期望. 【解】(1)x 、y 、z 依次成公差大于0的等差数列, 即为甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0、1、2.

此时的概率P =C 12

3111()324

??=.

(2)方法一:依题意知ξ,的取值为0、1、2、3.

∴3

11(0)()28

P ξ===,

(1)P ξ==C 12311()62??+C 12311()32??311848

=+=, (2)P ξ==A 33111632???+C 22311()32??+C 23?211()62?311166248

=++=, 3311(3)()()63P ξ==++C 22311()63??+C 2

3

?16?21()3111112162736188

=+++=. 所以,随机变量ξ的概率分布列为

数学期望为331()012888E ξ=?+?+?+3?18=32

.

方法二:把甲、乙两盒的球数合并成一盒,则每次掷骰子后球放入该盒中的概率111632

P =+=,

且ξ~1(3)2

B ,,分布列详见方法一.

31()322

E ξ=?=.

方法三:令z η=,则η~311(3)()3222

B E η,,=?=,

∵x +y +z =3,

∴3x y ξ=+=-z . 分布列详见方法一.

33()3()322

E E ξη=-=-=.