机械原理(2015春)用解析法作机构的运动分析
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用解析法作机构的运动分析
Kinematics Analysis of mechanism with analytical method
解析法是通过建立机构各构件位置关系的位置方程， 将位置方程中的变量对时间求导，即可得到机构的速度方 程，再将机构的速度方程中的变量对时间求导，即可得到 机构的加速度方程，解上述这些方程即可得所需运动量。
将上式的实部和虚部分别相等，得：
l1 cosq1 + l2 cosq2 = l4 + l3 cosq3 ü
l1 sinq1 + l2 sinq2 = l3 sinq3
ý þ
解此方程可得
q3 = 2arctan B ±
A2 + B2 - C2 A-C
q2
=
arctan
B + l3 sinq3 A + l3 cosq3
用杆组法进行机构运动分析时，要正确拆分杆组，在调用各杆组 运动分析的子程序时，首先要根据机构的初始位置判断该杆组的装配 形式，确定位置模式系数M(+1或-1），再去调用子程序。主程序调 用子程序时注意形参与实参之间的对应关系。
学会如何把一个复杂问题转化为用计算机解决的问题，是培养解 决问题能力的锻炼机会。
（3）加速度分析
将速度方程
w w w l e + l e = l e i(q1+p 2)
11
i (q2 +p 2) 22
i(q3+p 2) 33
对时间求一次导数，得：
w w a w a l e + l e + l e = l e + l e 2 i(q1+p )
11
2 i (q2 +p ) 22
i(q2 +p 2) 22
若xA, yA, vA, aA 分别等于零，则A点固定，
B
AB即是与机架相连的连架杆。
(2)双杆组的运动分析子程序（RRR双杆组）
已知：xB, yB , xD , yD , l2 , l3 , vB , vD , aB , aD
求：xC , yC , vC , aC ,j2 ,j3,w2,w3,a2 ,a3
“+、”由机构 的初始位置决 定
A = l4 - l1 cosq1 B = -l1 sinq1
C = A2 + B2 + l32 - l22 2l3
（2）速度分析： 将位置方程 l1eiq1 + l2eiq2 = l4ei0 + l3eiq3
对时间求一次导数，得：
w w w l e + l e = l e i(q1+p 2)
2 i (q3 +p ) 33
i(q3 +p 2) 33
使上式实部和虚部分别相等，得
l1w
2
1
cos q1
+
l2a2
sin q 2
+
l2w
2
2
cos q 2
=
l3a3 sin q3
+
l3w32
cos q3
ïü
-
l1w
2
1
Biblioteka Baidu
sin
q1
+ l2a2 cos q2
-
l2w
2
2
sin
q2
= l3a3 cosq3
- l3w32 sin q3
ý ïþ
解此方程可得：
a3
=
l1w12
cos(q1
- q2 ) + w22l2 - l3w32 l3 sin(q3 - q2 )
cos(q 3
- q2 )
a2
=
-
l1w12
cos(q1
- q3 ) - w22l2 cos(q2 l3 sin(q2 - q3 )
- q3)
+
11
i(q2 +p 2) 22
i(q3+p 2) 33
使上式实部和虚部分别相等，得
l1w1 cosq1 + l2w2 cosq2 = l3w3 cosq3 ü
l1w1
sin q1
+
l2w2
sin q2
==
l3w3
sin
q
3
ý þ
解此方程可得
w3 = w1l1 sin(q1 - q2 ) [l3 sin(q3 - q2 )] w2 = - w1l1 sin(q1 - q3 ) [l2 sin(q2 - q3 )]
常用方法：
复
数
矢
量
法
矩
阵
法
杆组法
1、复数矢量法
已知机构的尺寸，原动件的方位角 q1 和等角速度 w1，进行机构的运动分析。
（1）位置分析： 建立坐标系
建立机构的封闭矢量位置方程式
l1 + l2 = l4 + l3
l1eiq1 + l2eiq2 = l4ei0 + l3eiq3
应用欧拉公式： eiq = cosq + i sinq
w32 l3
2、矩阵法 （1）位置分析：
位置方程：
整理： 解此方程可得
（2）速度分析：
将位置方程对时间求一次导数 写成矩阵形式
解此矩阵方程可 得
（3）加速度分析
速度方程： 将此速度方程对时间求一次导数，得加速度方程：
解此方程可得
3、杆组法
（1）基本原理
B
拆杆组
B+
（2）杆组法运动分析子程序
(1)单杆构件的运动分析子程序
位置分析： 双杆组的装配条件：
d £ l2 + l3和d ³ l2 - l3
d = (xD - xB )2 + ( yD - yB )2
d = arctan yD - yB
xD - xB
j2 = d ± g
g = arccos d 2 + l22 - l32 2dl2
j2 = d + Mg M为位置模式系数，M为+1或1
rC = rB + l2 求出 xC , yC
j3
=
arctan
yC xC
-
yD xD
速度、加速度分析同上 其它类型的双杆组类同
3、杆组法运动分析主程序框图
已知：xA , yA, xD, yD ,w1, 机构尺寸 求：sF , vF , aF ,w2,w3,w4,a2,a3,a4
用解析法作机构的运动分析
复数矢量法进行机构运动分析时，位置分析是关键，要正确建 立封闭矢量方程式，复杂机构要建立多个封闭矢量方程式。在位置分 析的基础上分别对时间求一阶、二阶导数，就可得到速度和加速度分 析的结果。复数矢量法是利用复数计算简便的特点，可对复杂机构进 行运动分析，可借助计算机求解。
矩阵法进行机构运动分析时，也需要建立封闭矢量方程式，得 到机构的已知参数与未知参数之间的矩阵方程组，便于用计算机求 解。
已知：xA , yA, l, vA, aA 求：xB, yB , vB , aB
位置分析： 速度分析：
rB = rA + l
xB = xA + l cosj yB = yA + l sinj
将位置方程对时间求一次导数，得速度方程，带 入已知量，求出未知量
加速度分析：
将速度方程对时间求一次导数，得加速度方程， 带入已知量，求出未知量
Kinematics Analysis of mechanism with analytical method
解析法是通过建立机构各构件位置关系的位置方程， 将位置方程中的变量对时间求导，即可得到机构的速度方 程，再将机构的速度方程中的变量对时间求导，即可得到 机构的加速度方程，解上述这些方程即可得所需运动量。
将上式的实部和虚部分别相等，得：
l1 cosq1 + l2 cosq2 = l4 + l3 cosq3 ü
l1 sinq1 + l2 sinq2 = l3 sinq3
ý þ
解此方程可得
q3 = 2arctan B ±
A2 + B2 - C2 A-C
q2
=
arctan
B + l3 sinq3 A + l3 cosq3
用杆组法进行机构运动分析时，要正确拆分杆组，在调用各杆组 运动分析的子程序时，首先要根据机构的初始位置判断该杆组的装配 形式，确定位置模式系数M(+1或-1），再去调用子程序。主程序调 用子程序时注意形参与实参之间的对应关系。
学会如何把一个复杂问题转化为用计算机解决的问题，是培养解 决问题能力的锻炼机会。
（3）加速度分析
将速度方程
w w w l e + l e = l e i(q1+p 2)
11
i (q2 +p 2) 22
i(q3+p 2) 33
对时间求一次导数，得：
w w a w a l e + l e + l e = l e + l e 2 i(q1+p )
11
2 i (q2 +p ) 22
i(q2 +p 2) 22
若xA, yA, vA, aA 分别等于零，则A点固定，
B
AB即是与机架相连的连架杆。
(2)双杆组的运动分析子程序（RRR双杆组）
已知：xB, yB , xD , yD , l2 , l3 , vB , vD , aB , aD
求：xC , yC , vC , aC ,j2 ,j3,w2,w3,a2 ,a3
“+、”由机构 的初始位置决 定
A = l4 - l1 cosq1 B = -l1 sinq1
C = A2 + B2 + l32 - l22 2l3
（2）速度分析： 将位置方程 l1eiq1 + l2eiq2 = l4ei0 + l3eiq3
对时间求一次导数，得：
w w w l e + l e = l e i(q1+p 2)
2 i (q3 +p ) 33
i(q3 +p 2) 33
使上式实部和虚部分别相等，得
l1w
2
1
cos q1
+
l2a2
sin q 2
+
l2w
2
2
cos q 2
=
l3a3 sin q3
+
l3w32
cos q3
ïü
-
l1w
2
1
Biblioteka Baidu
sin
q1
+ l2a2 cos q2
-
l2w
2
2
sin
q2
= l3a3 cosq3
- l3w32 sin q3
ý ïþ
解此方程可得：
a3
=
l1w12
cos(q1
- q2 ) + w22l2 - l3w32 l3 sin(q3 - q2 )
cos(q 3
- q2 )
a2
=
-
l1w12
cos(q1
- q3 ) - w22l2 cos(q2 l3 sin(q2 - q3 )
- q3)
+
11
i(q2 +p 2) 22
i(q3+p 2) 33
使上式实部和虚部分别相等，得
l1w1 cosq1 + l2w2 cosq2 = l3w3 cosq3 ü
l1w1
sin q1
+
l2w2
sin q2
==
l3w3
sin
q
3
ý þ
解此方程可得
w3 = w1l1 sin(q1 - q2 ) [l3 sin(q3 - q2 )] w2 = - w1l1 sin(q1 - q3 ) [l2 sin(q2 - q3 )]
常用方法：
复
数
矢
量
法
矩
阵
法
杆组法
1、复数矢量法
已知机构的尺寸，原动件的方位角 q1 和等角速度 w1，进行机构的运动分析。
（1）位置分析： 建立坐标系
建立机构的封闭矢量位置方程式
l1 + l2 = l4 + l3
l1eiq1 + l2eiq2 = l4ei0 + l3eiq3
应用欧拉公式： eiq = cosq + i sinq
w32 l3
2、矩阵法 （1）位置分析：
位置方程：
整理： 解此方程可得
（2）速度分析：
将位置方程对时间求一次导数 写成矩阵形式
解此矩阵方程可 得
（3）加速度分析
速度方程： 将此速度方程对时间求一次导数，得加速度方程：
解此方程可得
3、杆组法
（1）基本原理
B
拆杆组
B+
（2）杆组法运动分析子程序
(1)单杆构件的运动分析子程序
位置分析： 双杆组的装配条件：
d £ l2 + l3和d ³ l2 - l3
d = (xD - xB )2 + ( yD - yB )2
d = arctan yD - yB
xD - xB
j2 = d ± g
g = arccos d 2 + l22 - l32 2dl2
j2 = d + Mg M为位置模式系数，M为+1或1
rC = rB + l2 求出 xC , yC
j3
=
arctan
yC xC
-
yD xD
速度、加速度分析同上 其它类型的双杆组类同
3、杆组法运动分析主程序框图
已知：xA , yA, xD, yD ,w1, 机构尺寸 求：sF , vF , aF ,w2,w3,w4,a2,a3,a4
用解析法作机构的运动分析
复数矢量法进行机构运动分析时，位置分析是关键，要正确建 立封闭矢量方程式，复杂机构要建立多个封闭矢量方程式。在位置分 析的基础上分别对时间求一阶、二阶导数，就可得到速度和加速度分 析的结果。复数矢量法是利用复数计算简便的特点，可对复杂机构进 行运动分析，可借助计算机求解。
矩阵法进行机构运动分析时，也需要建立封闭矢量方程式，得 到机构的已知参数与未知参数之间的矩阵方程组，便于用计算机求 解。
已知：xA , yA, l, vA, aA 求：xB, yB , vB , aB
位置分析： 速度分析：
rB = rA + l
xB = xA + l cosj yB = yA + l sinj
将位置方程对时间求一次导数，得速度方程，带 入已知量，求出未知量
加速度分析：
将速度方程对时间求一次导数，得加速度方程， 带入已知量，求出未知量