第二章数学发现的基本方法分解

•
用数学中的“映射”来看，观察是由客体或已有成果 到大脑的一种“映射”. 可见，观察是认识主体通过感官对客体的认识（活动） 过程，如果说工具是人类四肢的延伸，科学仪器就是感 官的延伸。
• 例1 哥德巴赫猜想. 德国人哥德巴赫在1742年提出两个猜想：（一）每 个大于2的偶数都是两个素数之和；（二）每个大于5 的奇数都是三个素数之和.
例2 求证：正四面体内任一点到各面的距离之和为定值。
3.关系联想 关系联想是根据知识之间的从属关系、一般关系、因果 关系以及其内在联系而进行的一种联想
例3一个整系数四次多项式f ( x), 若有四个不同的整数
1， 2， 3， 4，使得f (1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) f ( 4 ) 1 求证：对任何整数 都不能使f( )=-1.
第二章 数学发现的基本方法
数学是在解决问题中产生的，并在 解决问题的过程中不断发展起来的. 美国著名数学家哈尔莫斯（Halmos） 说过：“数学的真正组成部分是问 题和解”，“数学研究主要的就是 发现问题和解决问题.”
•
数学发现是以提出问题和解决问题为主要标 志的，而这方面的能力又是衡量一个人数学水 平的重要标志。 • 数学方法源自数学思想，思想是由思维产生 的.通常把思维分为三类，即抽象（逻辑）思维、 形象（直觉）思维、灵感（顿悟）思维.根据对 思维的分类方法，数学方法就可以分为发现方 法和化归方法两大类。 • 发现方法通常包括观察、联想、尝试、实验、 归纳、猜想、类比、模拟等。
•
yzx x yz zx y 例2.已知 p x yz zx y yzx 求p p p的值.
3ห้องสมุดไป่ตู้2
• 例3 化简
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) a b a c a b d a b c 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 )(1 ) a b c d
• 例4 不解方程，判断下列方程是否有解：
1)
2)
x 1 x 4 1 0
x 1 x 4 1 0
3)
x 8 2 x 5 0
§2 联想
• 联想是思维的一种形式，也是记忆的一种表现；联想是 回忆旧知识，发现新知识的重要手段
• 一、联想的意义和作用 现代心理学认为：联想是主体和客体相互作用的过程中 产生的，它是按照一定的规律形成心理之间的一种联系， 这个联系反映着客观世界事物与现象以及各种事物之间的 联系。 产生联想的三要素：“某种概念”、“相关概念”、 “联想线路”。
• 从信息论的观点看，观察应是外部环境的信息通过感官 输送到大脑皮层，经过加工处理，感知外部世界的过程 • 从认识论上来说，观察是人类科学认识中的一种重要实 践活动，是获取感性经验的科学事实的根本途径 • 从方法论上来说，观察是人们通过感官，或借助于一定 的科学仪器，对客观对象（数学对象、自然现象、社会 现象等）在自然条件下，进行有目的、有计划、有步骤 的描述和考察的一种方法
3.运用联想把问题引申推广 不要满足于解完一道题，还应该把问题加以推广引申 拓展反思。 例8 在1到100这100个数中，任找10个数，使其倒数和为 1.
§3 尝试
• 通过对数学问题进行观察、联想，我们往往从总体 上把握问题，形成初步的策略意识。尝试就是将初步 的策略意识付诸实施，试探是否可行，是否有进展， 是否可以接近目标，是否能缩小解答所在的范围等。
• 例1 甲、乙、丙、丁四人进行一次赛跑，最后分 出了高低。但这四人都是出了名的撒谎者，他们 所说的赛跑结果是：
甲：（1）我刚好在乙之前到达；（2）我不是第一名 乙：（3）我刚好在丙之前到达；（4）我不是第二名 丙：（5）我刚好在丁之前到达；（6）我不是第三名 丁：（7）我刚好在甲之前到达；（8）我不是第四名
2.既要开展控制联想，又要开展自由联想
例7 已知x,y,z,m,n均为正实数，且x2 +y2 =z2 . mx ny 求证： z. 2 2 m n
①从代数角度考虑，可以用柯西不等式来证； ②从三角的角度考虑，用正弦余弦来换元； ③从几何方面考虑，可用托勒密定理； ④从解析几何考虑，可结合距离公式做。
• 三、联想能力的培养 1.重视基础知识，掌握知识之间的纵横联系，注意把已掌握 的知识系统化
例6 已知x,y,z R,x+y+z=xyz. 2x 2y 2z 8 xyz 求证： 2 . 2 2 2 2 2 1 x 1 y 1 z (1 x )(1 y )(1 z )
4.逆向联想 逆向联想是指从问题的正面想到问题的反面 例4 已知p,p+10,p+14是质数，求p
5.横向联想 横向联想是指数学各分支之间，乃至数学与物理，化学 等学科之间的联想
例5.求代数式 x 2 x 2 x 4 x 13
2 2
的最小值.
练习： 求f(x)= x 4 x 2 6 x 10 + x 4 3x 2 4的最小值.
• 二、联想的方法 在数学发现和解决问题的过程中，联想的主要方式有以 下五种： 1.接近联想 接近联想又称为形似联想，主要是由概念、原理、法则 的接近而产生的联想
例1 若（z x） 4( x y)( y z ) 0
2
证明： 2 y x z.
2.类比联想 类比联想又称为对比联想，主要是根据问题的具体情况， 从具有类似和相似特点的数、式、图形以及相近内容和性 质等进行联想
§1
观察
• 在心理学中，观察被看做是一种有目的、有计 划、有步骤的感知活动，是一种主动地、对思 维起积极作用的感知活动。 • 所谓感知，包括感觉和知觉.感觉是客观事物作 用于感觉器官而引起的，是人脑对直接作用于 感觉器官的客体个别属性的主观反映.知觉是在 感觉的基础上形成的，是客观事物直接作用于 感官时人脑产生的直接整体反映.