1第一章 概率论基础知识-1

性有多大？
6.每天上午10:00-11:00进入图书馆的读者数 7.咱们班有两人在同一天过生日吗？
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第1章 概率论基础知识
§1.1 事件及其运算
§1.2 概率 §1.3 随机变量及其分布函数 §1.4 随机变量的函数及其分布 §1.5 随机变量的数字特征 §1.6 大数定律和中心极限定理
2 2 4 4
1 4
解:
1)
P ( A)
2)
P(B)
C2 C3
1
1
4 4

3 8
例2 投两枚骰子，事件A=“点数之和为3”，求 答： 1/18 例3 投两枚骰子，点数之和为奇数的概率。 答： 1/2
例4(生日问题) 设每个人的生日在一年365天中的任一 天是等可能的,即均为 ,那么随机选取n(≤365)人。
5.乘法公式
由条件概率的定义： P ( A | B )
P ( AB ) P (B)
和 事 件 A B 表 示 A与 B 至 少 有 一 个 发 生 。
③事件的积
定义
A
S
B
A B x A 且 x B
称为事件A与B的积。 记为 A B 或 AB .
A B
当且仅当事件A 与事件B同时发生时 A B 发生
推广：把事件的交、并推广到有限多个和无限多个
③分配律
A (B C ) ( A B) ( A C ) A (B C ) ( A B) ( A C )
④德.摩根律
A B A B,
A B A B
例1 设A,B,C 表示三个事件,
(1) A发生,B与C不发生 (2) A与B发生,C不发生 (3) A，B，C都发生 (4) A，B，C至少有一个发生 (5) A，B，C全不发生 (6) A，B，C至少有两个发生
3.随机事件
定义2 一般我们称试验E的样本空间Ω的子集称为随
机事件，简称事件，用 A , B , C , D 等表示。
比如：掷骰子试验，点数是偶数、奇数、大于3等都 是事件。
事件的表示方法：语言定性描述，用集合描述。
比如：掷骰子试验中，掷出点数是偶数可表示为： A={2，4，6} = “点数为偶数”。
B c , d , e , f

⑤互不相容事件
定义
B A
若AB≠ ， 则称事件 A与B相容。 若AB= ，则称A与B为互不相容。
S
注1：A 与B互不相容表示事件A 与B 不能同时发生。 注2：基本事件是两两互不相容的(互斥)。
⑥对立事件
定义
A B
事件 A, B 满足
且 A B
A B
A B
则称 A 与 B为对立事件(互逆)。
Hale Waihona Puke Baidu
记为 B A
即：事件A、B 有且仅有一个发生。 ■若E只有两个互不相容的结果，那么这两个结果构 成对立事件。
(2)事件的运算规律
①交换律 ②结合律
A B B A,
A B B A
A (B C ) ( A B) C A (B C ) ( A B) C
§1.2 概率
1.频率的定义
频率 设在 n 次重复试验中 :
, 事件 A 出现了 n A 次 , ,比值
则称 n A 为事件
A 在 n 次试验中出现的频数
nA n
即
为事件
A 在 n 次试验中出现的频率
, 记为 f n A ,
fn A
nA n
.
频率的性质：
（1）
0 fn
A 1
=> Ω={1，2，3，4，5，6}
ω1 , ω 2 , , ω n ,
◆若事件A包含k个基本事件，即
其中(
表示
中的k个不同的数)
例1
将两封信随机的投入四个邮筒, 求: 1) 前两个邮筒中没有信的概率, 2) 第一个邮筒中只有一封信的概率. 设 A = “前两个邮筒中没有信” B = “第一个邮筒中只有一封信”
1 H ,T
E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。
2 = HHH , HHT , HTH ,THH , HTT ,THT ,TTH ,TTT
E3：观察一段时间内进入某商场的顾客人数
3 = 0，， ， 1 2
E4：记录一只灯泡的使用寿命
4 t t 0
(1) 他们的生日各不相同的概率为多少？ (2) 至少有两个人生日相同的概率为多少？ 解 (1) 设 A= “n个人的生日各不相同”
(2) 设 B = “n个人中至少有两个人生日相同”
n
P(A)
n
P(A)
4
16 23
0.016
0.284 0.507
32
40 56
0.753
0.891 0.988
4.条件概率
（1）事件的发生 ■在试验中, 事件A中的一个样本点出现,则称事 件A发生。 ■在掷骰子试验中， = 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 定义3个事件：
1 = 1 ,2 ,3 , 2 = 2 ,4 ,6 , 3 = 4 ,5 ,6
如果掷出数字4，则Ω2、Ω3发生
B
AB
A
S
例1 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为
0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种
动物，它能活到25岁以上的概率是多少？ 解 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求概率为P(B|A). 依题意，P(A)=0.8, P(B)=0.4
P (B | A) P ( AB ) P ( A) P (B) P ( A) 0 .4 0 .8 0 .5
试表示下列事件
( ABC ) ( ABC )
( ABC )
( A∪ B ∪ C )
( ABC )
( ABC ABC ABC ABC )
例2 从一批100件的产品中每次取出一个（取后不放 回），假设100件产品中有5件是次品，用事件Ak表示 第k 次取到次品,试用A 1 , A 2 , A 3 表示下列事件。 1.三次全取到次品。 2.只有第一次取到次品 3.三次中至少有一次取到次品 4.三次中恰有两次取到次品
（2）特殊事件 ①基本事件 ■只含有一个样本点的事件，称为基本事件。
例如：在掷骰子试验中
A 1 1 ,
A
2
2 , ,
A 6 6
为六个基本事件。
②必然事件
■在每次试验中总是发生的事件，称为必然事件。
■由于样本空间Ω包含所有的样本点，每次试验中
它总是发生的，因此样本空间Ω是必然事件。 ③不可能事件 在每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件， 记为φ，即为空集φ，其中不包含任何样本点。 例如： 掷一枚骰子1次，则{点数≥1}为必然事件 {点数 >6}为不可能事件。
引例: 取一副牌,随机的抽取一张,问: (1) 抽中的是K的概率;
(2) 若已知抽中的是红桃,问抽中的是K的概率。 解： A ——抽中的是红桃, B ——抽中的是K
(1) (2) 上述式子具有普遍性吗? 在古典概型中,
Yes!!
定义 设 A，B为两事件，且
则称
为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率。
;
（2） f n ( ) 1 ; （3） 设 A1 , A2 , , A k 两两互不相容，那么有
f n A1 A 2 A k f n A1 f n A 2 f n A k

抛掷硬币试验记录
“正面向上”次 抛币次数n 数
2084 4040 12000 1061 2048 6019
( 4 ) A1 A 2 A n

i1
④事件的差 定义 事件 A－B = { x A 且 x B }
A B
称为事件A与B的差事件。
AB
S
当且仅当“事件A 发生且事件B不发生时，事件 A－B发生.
例如
A a, b, c, d ,
A B a , b
fn ( A)
试验者
De Morgan Bufen Pearson
频率
0.518 0.5069 0.5016
Pearson
24000
12012
0.5005
定义
在相同的条件下进行大量的重复试验，随机
nA n
事件A 出现的频率
会稳定地在某个固定的数值p
的附近摆动，我们称这个稳定值 p 为随机事件A的
概率，即
P
A =
p ,
这就是概率的统计定义。
2. 概率的公理化定义 设随机试验E的样本空间为Ω，对于E 中的每一个
事件A 赋予一个实数 P(A)，称为事件A 的概率,如果
集合函数P(.)满足以下三个公理: （1）非负性 （2）规范性 （3）可列可加性 若可列个事件A1 , A 2 , , A n , 两两互不相容，则
4.事件间的关系及其运算
（1）事件间的关系 ①事件的包含与相等 定义：若事件A 发生必导致事件 B 发生， 则称 B包含A 。
A B
S
（A的每一个样本点都是B 的样本点） A B 或 B A. 记为 x A x B 即
定义：若 A B 且 B A . 则称A与B相等,
记为 A = B .
n
( 1 ) A1 A 2 A n

i1
Ai ;
——n个事件至少有一个发生

( 2 ) A1 A 2 A n
n

i1
A i ; 可列个事件的并
( 3 ) A1 A 2 A n

i1
Ai ;

n个事件同时发生
A i ; 可列个事件的积
§1 事件及其运算
自然界中的现象分为两大类：
（1）确定现象：将来可以预知，条件一定、结果一定
（2）不确定现象： 将来不可以预知，条件一定、结果不定
在一定条件下，并不总是出现相同结果，但又有一 定的统计规律的现象称为随机现象。
1.随机试验 ■随机试验应该广义理解，是对随机现象的一次观察、 一次测量、一次统计等等，简称试验，记作E。 ■具有以下三个特点的试验称为随机试验。 (1) 可以在相同情况下重复进行； （可重复性）
P A i = P A1 + P A 2 + + P A n + i

P A 0； P = 1；
(3) 概率的性质 性质1
P

0
性质2 （有限可加性）
若
两两互不相容，则
性质3 如果
，则
性质4
性质5
性质6
数理统计
周圣武 中国矿业大学 理学院
我们身边的概率统计问题
1.火车站旅客的到达流、出发流 2.儿童的身高与年龄有关吗？ 3.小麦的产量可以预报吗？ 4.假设在某地征100名新兵，应事先向该地调拨
多少套军装？
5.两人约定今晚8:00—8:30在某地会面，早到者
等候对方10分钟，请你估算他们约会成功的可能
②事件的和 定义
A
S
B
事件 A B
x A
或 x B

称为A与B的和事件。
A B
例如 A a , b , c , d
B c , d , e , f

A B a , b , c , d , e , f

事 件 A B发 生 .
■当且仅当A、B中至少有一个发生时，
A1 A 2 A 3 A1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3
A1 A2 A3
A1 A2 A 3
A1 A 2 A 3
5.三次中至多有一次取到次品
A1 A 2 A 3 A1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3
或
A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A3
(2) 每次试验可能出现的试验结果具有多种可能性， 但能事先知道试验的所有可能结果； (多样性） (3) 每次试验前不能确定会出现哪种结果； (随机性）
2.样本空间 定义1 将随机试验E的所有可能结果组成的集合，称 为E的样本空间，记作Ω。 样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。
E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
推广：
例1 已知 求 A,B,C 中至少有一个发生 的概率。 解
例2 证明 证
例3
，求
解
A
B Ω
3. 等可能概型
设Ω是随机试验 E 的样本空间，如果Ω 满足以下两 个条件： （1）有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个； （2）等可能性 每个基本事件的发生的可能性相同。 则称随机试验E为等可能概型或古典概型。 例如：E1：抛硬币,观察哪面朝上，=> Ω={H,T} E2：投一颗骰子，观察出现的点数