2021年中南大学研究生入学考试数学分析试题

中南大学-研究生考试数学分析试题

一、求下列极限

（1）lim ,(0)n n

n

n

n x x x x x --→+∞->+； （2）1lim (

)1

x

x x x →+∞+-；

（3）0

1lim sin A

A xdx A →∞⎰。

二、（共16分，每小题8分）设函数

()sin

f x x

π

=，(0,1)x ∈

（1）证明()f x 持续；

（2）()f x 与否一致持续？（请阐明理由）。 三、（共16分，每小题8分） （1）设ax by u e +=，求n 阶全微分n d u ；

（2）设cos u x e θ=，sin u y e θ=，变换如下方程

22220z z

x y

∂∂+=∂∂。 四、（共20分，每小题10分） （1）求积分1

01

ln

1dx x

-⎰； （2）求曲面22az x y =+ (0)a >

，和z =所围成体积。 五、（共12分，每小题6分）设

1

cos 21p q

n n n I n

π

∞

==+∑

，(0)q > （1）求I 条件收敛域； （2）求I 绝对收敛域。

六、证明：积分

2

()0()x a F a e dx +∞

--=⎰

是参数a 持续函数。

七、（8分）设定义于(,)-∞+∞上函数()f x 存在三阶导函数(3)()f x ，且

(1)0f -=，(1)1f =，(1)(0)0f =

证明：(3)(1,1)

sup ()3x f x ∈-≥。

一、（共27分，每小题9分）求下列极限 （1

）lim n →+∞

；

（2）1

2

20

lim[3(cos )]x

x

x

x t dt →+⎰；

（3）设()f x 在[0,1]上可积，且1

()1f x dx =⎰

，求1

121

lim ()2n n k k f n n →+∞=-∑。

二、（共24分，每小题12分）设函数()f x 在[,)a +∞上持续， （1）证明：若lim ()x f x →+∞

存在，则()f x 在[,)a +∞上一致持续；

（2）上述逆命题与否成立？（请给出证明或举出反例）。

三、（共27分，每小题9

分）设22

2222()sin 0,(,)0,

0.

x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨

⎪+=⎩

（1）求偏导数'x f 和'y f ；

（2）讨论函数'x f 和'y f 在原点(0,0)持续性； （3）讨论(,)f x y 在原点(0,0)可微性。 四、（共30分，每小题15分）

（1）求2()ln(2)f x x =+在0x =处幂级数展开式及其收敛半径；

（2）计算三重积分22()V

I x y dxdydz =+⎰⎰⎰，其中V 是由曲面22x y z +=与平面

4z =所围区域。

五、（12分）计算下列曲面积分

333S

I x dydz y dzdx z dxdy =++⎰⎰，

其中，2222:S x y z a ++=，积分是沿曲面S 外侧。 六、（共15分，每题5分）设

sin q

p x I dx x

+∞

=⎰

(0)q > （1） 求I 关于p 收敛性；

（2）在上述收敛域中I 与否一致收敛？ （3）讨论I 条件收敛性和绝对收敛性。

七、（共8分，每题4分）设0n a >，1n n a ∞

=∑发散，记1n n s a a =+

+，

证明：（1）1n n n a s ∞

=∑发散； （2）21n n n

a

s ∞

=∑收敛。

八、（8分）设定义于(,)-∞+∞实值函数()f x 在0x =右持续，且对任何实数,x y ，都满足

()()()f x y f x f y +=+ 证明：()f x ax = （a 为常数）

1．证明：若数列{}n x 收敛，则它有且只有一种极限。 （20分） 2．证明下列结论：

（a

）12

n

++>；

（10

分）（b）

序列1

n

x

n

=+++-（20分）3．设()

f x在[,]

a b上持续，且2

[()]0

b

a

f x dx=

⎰，证明：在[,]

a b上，恒有()0

f x=。

（20分）

4．在区间

1

(,)

D=-∞+∞和

2

1

[,10]

10

D=上，分别讨论级数

2

21

1

(1)n

n

x

x

∞

-

=

+

∑一致收敛性。

（20分）

5．考察函数

22

22

0,

(,)

0,0.

x y

f x y

x y

+≠

=

+=

⎩

在原点(0,0)处可微性。（20分）6．设()

f x是闭区间[,]

a b上持续函数，且()

f x在开区间(,)

a b内没有极值点，则()

f x是[,]

a b严格单调函数。（20分）

7．设

1

()

g x和

2

()

g x满足

12

()(),

x x

a a

g t dt g t dt a x b

≤≤<

⎰⎰

及

12

()()

b b

a a

g t dt g t dt

=

⎰⎰

又设()

f x可微，非增，则

12

()()()()

b b

a a

g t f x dt g t f x dt

≤

⎰⎰（20分）