组合数学 第14章

|C(52 )| = 2
53 = [03142],
|C(53 )| = 2
54 = [04321],
|C(54 )| = 2
25 4 21 N (G,C )
(
5 5
)
25
(
5 1
)
21
8
5
5
圆排列(补充)
从p色珠子中取n个均匀镶嵌圆环上, 求方案数. G = { nk : k=0,1,…,n-1 }
定义 N(G,C) = C中G产生的等价类个数. 注: |[c]| = 与c等价的方案数.
观察规律
不变偶 { (f,c) : f*c=c }(4-387,5-338,e554)
fc
|C(f)|
40 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16
41 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2
用两种颜色染色(可以旋转)
G= { 40, 41, 42, 43 }, |C(40)|=24 |C(41)|=2 |C(42)|=4 |C(43)|=2 N(G,C)=(16+2+2+4)/4=6
Burnside定理举例(补充)
用两种颜色染色(可以旋转) G= { 50, 51, 52, 53 , 54 }, |C(50)| = 25 |C(51)| = 2 |C(52)| = 2 |C(53)| = 2 |C(54)| = 2 N(G,C)=(25+42)/5=8
6
(
6 6
)
26
(
6 3
)
23
(
6 2
)
22
(
6 1
)
21
6
正五边形(补充)
用两种颜色染色(可以旋转)
G= { 50, 51, 52, 53 , 54 },
50 = [0][1][2][3][4], |C(50 )| = 25.
51 = [01234],
|C(51 )| = 2
52 = [02413],
* : f,gG, cC, f*(g*c) = (fg)*c. 等价 : 若 c,dC 且 fG 使得f*c=d,
则 称c等价于d, 记为c~d. 举例. 这是等价关系吗?
~
~ ~~
等价类(4-385,5-336,e552)
cC, [c] = { dC : d~c } 是c的等价类. = { f*c : fG }
Burnside定理(4-387,5-338,e554)
定义: C(f) = { cC : f*c = c } Burnside 设 G是X的一个变换群,
定理 C是X的一个着色集, 且对cC, fG, f*cC,
则有
N (G,C ) 1 | C( f ) | | G | f G
Burnside定理举例(补充)
44
4 4 4 4 24
怎么计算|C(42 )|? |C(42 )| = 22
循环节与Polya计数法(4-393,5-343,e563)
0 1 例: 用2色染正六边形的顶点,可旋转.
5
2 61 = [012345], |C(61 )| = 2
4
3
62 = [024][135], |C(62 )| = 22
• k, #nk = gcd(k,n) = d 找最小m>0使得 0+km 0 mod n, 即n|km
(n/d) | (k/d)m, 即m=n/d, 即n/d个1节 • d|n, 1~n中满足gcd(k,n)=d的k的个数 = 1~n/d中满足gcd(i,n/d)=1的i的个数 = (n/d)
由Polya计数法, 圆排列个数为 1 n pd
42 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 4
43 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2
44
4 4 4 4 24
0,1含义, 红蓝数字含义, 规律
fG, C(f)={cC:f*c=c}
f-不变集
N (G,C ) 1 | C( f ) | | G | f G
fc
|C(f)|
40 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16
41 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2
42 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 4
43 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2
Burnside定理(4-3ຫໍສະໝຸດ Baidu7,5-338,e554)
定义: C(f) = { cC : f*c = c } Burnside 设 G是X的一个变换群,
定理 C是X的一个着色集, 且对cC, fG, f*cC,
则有
N (G,C ) 1 | C( f ) | | G | f G
观察规律
不变偶 { (f,c) : f*c=c }(4-387,5-338,e554)
以#f记f的循环节个数, 则有
|C(f)| = p#f.
正六边形(4-393,5-343,e563)
G= { 60, 61, 62, 63 , 64 , 65 },
0
1
60 = [0][1][2][3][4][5] |C(60 )| = 26
5
2
61 = [012345],
|C(61 )| = 21
63 = [03][14][25],|C(63 )| = 222
64 = [042][153], |C(64 )| = 22
65 = [054321], |C(65 )| = 2
60 = [0][1][2][3][4][5], |C(60 )| = 26.
定理: 设对X用p种颜色染色, 且f是X上的变换,
组合数学 第14章 Pólya计数法
主要内容 1. Burnside引理 2. Pólya计数法 3. 刚体变换群 关键词: 群, 不变, 循环
设定模型(4-384,5-336,e552)
X = { } 染色对象 C = { c0, c1, …, c15 } 全体着色方案 G = { 40, 41, 42, 43 } 旋转变换, , * , (群?) 群( G, ) : (1) 封闭; (2) 么元; (3) 逆元.
4
3
62 = [024][135],
|C(62 )| = 22
63 = [03][14][25], |C(63 )| = 23
64 = [042][153],
|C(64 )| = 22
65 = [054321],
|C(65 )| = 21.
26 1 23 2 22 2 21 N (G,C )