初中数学概念有效获得的案例研究

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数学概念的发现教学模式与案例

数学概念的发现教学模式与案例分析数学概念是数学科学知识体系的重要基础之一，也是数学思维的一种形式，它是反映数学对象本质属性和特征的思维形式。

数学概念的学习与数学知识的掌握、知识结构的形成、数学能力的提高密切相关，因此，上好概念课对提高教学质量极其重要。

在教学活动中怎样实施概念课的教学呢？以下结合教学实例介绍数学概念的一种教学方法—发现式教学。

（一）概念的发现教学模式概念的发现教学是鼓励学生借助归纳推理从实例中发现数学概念的教学，其学习理论基础是概念形成，即通过对概念所反映的事物的不同例子中，让学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念。

概念的发现教学模式一般可以概括出以下四阶段：辨别和分类；假设和解释；概括；验证和调整。

第一阶段：辨别和分类在这一阶段，教师呈现给学生的应该是一些要求学生对事物进行知觉辨别或分类的任务。

这个时候，教师应更多地作为引导者，不要过多干涉学生感知事物的活动，更不要包办代替，而要为学生提供动手操作的机会，让学生充分地利用多种感觉器官参与活动，这样有利于学生全方位地感知概念，分析概念的共同特征。

第二阶段：假设和解释在这一阶段，学生需要对他们分类的事物作出假设或解释。

比如，为什么把这些事物归为一类，假定这类事物具有的共同特征是什么？这时教师应该扮演促进者的角色，通过提出一些启发性问题，激发学生的思考，引导他们把假设和解释表达得更为清晰。

第三阶段：概括在这一阶段，学生应该试着根据概念的属性对概念加以描述（也就是找到那些正例才有而反例没有的属性），甚至进一步对概念下一个定义。

不过，对这个概念的命名就不可能通过学生的独立探索能够发现，这时教师应该作为讲授者把传统上我们给这个概念赋予的名称告诉学生。

第四阶段：验证和调整在这一阶段，学生将用其他一些例子（不是自己用来归纳出概念的那些例子）来检验自己关于概念的定义或描述是否正确：把已经知道的那些属于该概念的正例拿来检验是否符合自己给出的概念的定义或描述，同时也把那些已经知道不属于该概念的反例拿来检验是否确实不符合自己给出的概念的定义或描述。

基于核心素养的数学概念教学案例设计与分析以初中《函数的概念》的教学为例

基于核心素养的数学概念教学案例设计与分析以初中《函数的概念》的教学为例一、本文概述本文旨在探讨基于核心素养的数学概念教学案例设计与分析，以初中《函数的概念》的教学为例。

在当前的教育背景下，培养学生的核心素养已成为教育改革的重要目标。

数学作为基础教育的重要学科，其核心素养的培养尤为重要。

函数是初中数学的重要概念之一，它不仅是数学学科的基础，也是培养学生逻辑思维、抽象思维、数学建模等核心素养的重要途径。

如何设计有效的函数概念教学案例，以培养学生的核心素养，成为当前数学教育研究的热点问题。

本文将首先介绍核心素养的概念及其在数学教育中的重要性，然后分析初中《函数的概念》的教学目标及其核心素养要求。

接着，将详细阐述基于核心素养的函数概念教学案例设计，包括教学内容的选择、教学方法的运用、教学评价的设计等方面。

将通过具体的教学实践案例分析，探讨如何有效地将核心素养培养融入函数概念教学中，以提高学生的数学素养和综合能力。

本文的研究旨在为初中数学教师提供有益的参考和启示，推动数学教育的改革与发展。

二、核心素养理念下的数学概念教学注重概念的形成过程。

在教授函数的概念时，我们不应仅仅停留在定义的陈述上，而应引导学生通过实例、观察、实验等方式，自己发现、总结函数的本质特征。

例如，可以通过让学生观察一些生活中的现象，如气温随时间的变化、汽车行驶距离随时间的变化等，来感受变量之间的关系，从而引出函数的概念。

强化概念的内在联系。

函数的概念与其他数学概念如方程、不等式、图象等有着密切的联系。

在教学中，我们应引导学生发现这些联系，形成完整的知识网络。

例如，可以通过对比函数与方程的关系，让学生理解函数是一种特殊的对应关系，而方程则是函数等于某个特定值时的特殊情况。

再次，注重概念的应用与拓展。

数学概念的最终目的是为了解决实际问题。

在教授函数的概念后，我们应引导学生将函数概念应用到实际生活中去，如通过函数模型预测未来的天气、规划行程等。

初中代数概念的教学实践与思考——以“平方根”为例

在正反例辨析中加深对其的理解[2].对于代数概
根认作平方根.这些现象无不在表明概念教学需
上获得对概念外延的认识.正如在学生出现相关
问题5 下列各数存在平方根吗? 若有请先
将其表示出来,再说出其结果;若没有请说明
理由.
16
(
(
1)
4;
2)
3;(
3)-1;(
4) ;(
5)
0.
09;(
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5;
81
(
7)
15.
师生活动
学生自主填写并回答结果,教师
进一步明确:在表示中的根号属于开平方运算,
如:
± 4等,能得到结果的,则一定要求出结果并
2)如何表示 x 的值?
师生活动
为解决思考(
1),教师带领学生回顾“
a2 =b”,指
明今天的运算与平方运算的联系,形成如图 1 的
思维导图.
设计意图
问题
概念背后的数学文化及其教育价值,尤其是根号
1 让学生经历生活问
题数学化的过程,提
作为一种新符号,其必然蕴含着丰富的历史文
多的例子.
问题3 以上都是一些具体的实例,你能将
其一般化得到平方根的定义吗?
设计意图
在学生经历了诸多具体实例的
示范后,易得出平方根的定义,并在教师的引导
调动学生的探究积极性.同时也让学生发现生活
下补充完善.通过问题3 培养学生的数学抽象等
揭示平方根学习的生活意义,也明确本课的研究
问题4 下列各数存在平方根吗? 若有请说
形边长是多少”出发,你能得到什么数学问题?
师生活动
学生先独立思考,教师提示:设

初中数学教学典型案例分析

初中数学教学典型案例分析案例背景：初中八年级的数学教师小王，在一次小测验中发现学生对于比例概念理解不深，且在运用比例解决问题时容易出错。

为了帮助学生更好地理解和掌握比例的概念，小王选择了一道与实际生活相关的问题进行教学，以期能够激发学生的学习兴趣并提高学生的运算能力。

教学目标：知识目标：理解比例的概念，掌握比例的运算方法，能够灵活运用比例解决实际问题。

能力目标：培养学生的分析和解决问题的能力，培养学生的团队协作精神，提高学生的计算能力。

素养目标：培养学生的实际应用能力，增强学生对数学的兴趣。

教学过程：教学设计1：激发兴趣小王首先以一个问题开始教学，将一张购物清单给学生，上面列举了几件商品的价格和数量，让学生通过计算求出每件商品的总价，然后将结果填入表格中。

教学设计2：引入比例在学生完成购物清单的表格后，小王引导学生扩展思维，提问：“如果现在我们要买两个相同的购物清单，那么两个清单的总价会是多少？”让学生自己思考解决这个问题。

然后小王向学生解释两个清单的总价之间的关系就是比例关系，并引导学生找出比例的特征，培养学生对比例的敏感度。

教学设计3：比例的计算小王将比例的计算分为三种情况来进行教学。

首先向学生讲解两个数量比例相等的两个物体数量的比，即A:B=C:D，可以通过交叉乘积法来计算。

然后教学小组将学生分为几个小组，每个小组负责解答一道练习题，以加深学生对比例计算的理解和掌握。

最后小王向学生演示如何通过比例解决一道实际的问题，并组织学生们一起解决这个问题。

教学设计4：实践应用小王将学生们分成若干小组，每组给一份小组任务：从家庭菜谱中选择一道你们喜欢的菜品，然后编写菜谱，指定有几人吃，需要的食材和数量，并计算出每个食材需要购买的数量和总价。

学生们兴致勃勃地参与到小组活动中，在小组合作中学会了互相协作和分工合作的能力，并通过实际操作提高了比例计算的能力。

教学设计5：讲解总结通过小组活动后，小王会对学生们的表现进行总结评价，并就学生们遇到的问题进行解答和澄清。

八年级数学概念教学的研究

八年级数学概念教学的研究一、课题研究的背景八年级是两级分化比较严重的年级，尤其是数学学科分化更明显，一方面是由数学学科本身的特点决定的，另一方面与教师的教学也有很大的关系，特别是对“双基”的教学的是否得当，直接影响学生对数学知识的学习和理解运用。

俗话说得好：概念不清处处担心，基础不牢地动山摇。

说的就是数学的“双基”，双基中的是基本概念在数学学习中的重要性不言而喻。

初中数学和小学数学的“双基”有着一个显著的区别，即小学侧重基本运算，而中学侧重基本概念和基本方法。

中学数学中有很多地方都需要用概念直接解题，因为“概念”是反映事物本质属性的思维形式。

如果对概念理解不清在解题时将会掉入一个又一个陷阱。

学生进入初中后往往有一种错误的认识：只要题目会做就行了，满足于一知半解。

结果很多概念模糊。

做到用概念去解的题目就做错或无从下手。

因此在初中阶段的数学教学中必须加强概念的教学，使学生能够对数学概念的外延和内涵有深刻的了解，并能从各种不同的侧面对相近的概念进行比较和鉴别。

加深学生对概念的理解，这对学生的后续学习有着非常重要的影响。

甚至于对学生的终身发展都有着很重要的意义。

二、研究目标对八年级数学中的基本概念进行有效的教学1、概念的引入：如何“创设情境”2、概念的得出：如何让学生进行“实践、操作探究”3、概念的巩固：如何设置练习让学生练就“火眼金睛”三、课题研究的内容八年级数学中的基本概念进行有效的教学四、研究假设对八年级数学概念的教学有一套完整的思路和方法，即：概念的引入：如何“创设情境”设计一些小而精的概念的引入教学片段、概念的得出：设计一些让学生进行“实践、操作探究”的小案例、概念的巩固：如何设置练习让学生练就“火眼金睛”。

设计一些巩固概念的小练习，注重知识的发生发展过程，让学生在数学学习的过程中培养他们思维的严密性、思维的深刻性和思维的批判性、提高学生的数学素养和能力。

五、预期成果形式对八年级数学概念的教学有一套完整的思路和方法，即：概念的引入：如何“创设情境”设计一些小而精的概念的引入教学片段、概念的得出：设计一些让学生进行“实践、操作探究”的小案例、概念的巩固：如何设置练习让学生练就“火眼金睛”。

数学教学的案例研究和分析

数学教学的案例研究和分析随着教育改革的深入，教师们在数学教学中面临着越来越多的挑战和机遇。

为了提高学生的数学学习效果，许多教师正在通过案例研究来探索更有效的数学教学方法。

本文将通过几个具体的案例，进行数学教学方法的研究和分析。

【案例一：多元方程组的解法】在高中数学教学中，多元一次方程组的解法是一个重要的知识点，也是学生们普遍感到困惑的内容之一。

在某高中数学课堂上，教师王老师用一个实际问题引入多元方程组的解法，让学生们通过实例来理解并应用。

案例中，王老师给学生们提出以下问题：小明和小红在一起种植了苹果树和梨树，他们一共种植了10棵树，而苹果树和梨树的数量之比为2:3。

小明共种植了6棵树，问他种植了多少棵苹果树和梨树？通过这个问题，王老师引导学生们建立了如下的方程组：苹果树数量 + 梨树数量 = 10苹果树数量 ÷梨树数量 = 2/3接着，王老师采用图解法和代入法两种方式，带领学生们解决这个方程组问题。

学生们通过观察图像和代入数值，获得了正确答案：小明种植了4棵苹果树和6棵梨树。

通过这个案例的研究和分析，我们可以看出，基于实际问题的数学案例教学能够激发学生的兴趣，帮助他们理解抽象的数学概念，同时培养学生解决实际问题的能力。

【案例二：数列的推导】数列是数学中的一个重要概念，对于学生来说，往往需要通过大量的实例才能理解和掌握。

在某初中数学课堂上，教师李老师通过一个有趣的案例，帮助学生们推导数列。

案例中，李老师提出了一个问题：一只蜗牛每天爬行的距离是前一天爬行距离的一半，而第一天爬行的距离是10米。

问第n天蜗牛的爬行距离是多少？通过这个问题，李老师引导学生们找规律，得到了如下数列：10, 5, 2.5, 1.25, ...接着，李老师鼓励学生们尝试解决这个数列问题，让学生们发现：第n天蜗牛爬行的距离等于第一天距离的二分之一的n-1次方。

通过这个案例的分析和研究，我们可以得出结论：通过有趣的案例引导学生主动探究，能够激发学生的思维能力，提高他们对数学的理解和应用能力。

初中数学核心概念教学设计案例

初中数学核心概念教学设计案例年级：初中主题：分数的概念与运算授课时间：45分钟教学目标：1. 学生能够理解分数的概念，包括分子、分母的含义。

2. 学生能够进行分数的加减乘除运算，并灵活应用于实际问题中。

3. 学生能够熟练转换分数与小数的相互转换。

教学流程：1. 导入（5分钟）教师出示两个相同的巧克力，并示意学生分成几个等分。

然后问学生如何表示每份巧克力的大小和数量。

教师出示分数的定义：“分数是由一个整体分成几等分中的若干等分组成的表示方法。

”3. 解释分子、分母的含义（10分钟）教师示意学生拿起任意一块巧克力，提问分子和分母分别表示什么含义。

学生回答后教师给予解释。

4. 分数的加减乘除运算（15分钟）教师出示示例题，例如：2/3 + 1/4 = ？学生根据之前学习的知识进行计算，并回答结果。

然后教师给予解释并讲解步骤。

然后逐步展示其他运算的示例题，如减法、乘法、除法，并与学生进行互动计算与讨论。

教师给出一道实际问题，如：小明有1/3的蛋糕，小红有1/4的蛋糕，请问他们两个一共有多少蛋糕？学生根据问题中的信息进行运算并给出答案，教师和学生一起讨论答案是否正确。

6. 分数与小数的转换（5分钟）教师出示一个分数，如2/5，然后引导学生将其转换为小数形式，并提醒学生注意循环小数的存在。

7. 小结与作业布置（5分钟）教师对本节课内容进行小结，并提醒学生对分数的概念与运算进行复习。

教师布置一定数量的练习题作为课后作业。

教学资源：- 巧克力或其他物品（用于引入概念）- 示例题与实际问题的草稿纸- 课后练习题评估方法：- 学生互动讨论- 学生的课堂表现与回答问题能力- 课后作业提交与表现。

数学概念认知的教学案例

数学概念认知的教学案例一、教学价值数学是一门需要逻辑思维和概念认知的学科，对于学生的思维发展和综合能力的培养有着重要的作用。

通过数学概念认知的教学，可以帮助学生理解和掌握数学概念，提升他们的数学思维能力和解决问题的能力。

此外，数学概念认知的教学还能培养学生的创造力和逻辑思维，对他们未来的学习和职业发展有着积极的影响。

二、教学目标通过本节课的教学，学生应能够：1. 理解并掌握数学概念的定义和特点；2. 掌握数学概念的运用方法；3. 培养学生的逻辑思维和推理能力；4. 培养学生对抽象概念的理解能力。

三、教学区域本次教学将以初中数学课堂为区域，利用教室内的黑板和投影仪等教学设备进行展示和示范。

四、教学准备1. 教师准备：制定教案、准备教学用的幻灯片、演示材料和相关练习题。

2. 学生准备：学生需要准备纸和笔，以便记录和解答问题。

五、教学介绍在本节课开始时，教师可以介绍数学概念认知的重要性以及本节课的教学目标，激发学生的学习兴趣和主动性。

六、教学重点1. 理解数学概念的定义和特点；2. 掌握数学概念的运用方法；3. 培养学生的逻辑思维和推理能力。

七、教学方法1. 演示法：通过示例演示数学概念的定义和运用方法，引导学生进行思考和讨论。

2. 互动式教学：通过提问、小组合作和讨论等方式，激发学生的思维和创造力。

3. 实践练习：提供一些实际问题和练习题，让学生运用所学的数学概念进行解答和思考。

八、教学过程1.引入：通过一个生活中的例子引入本节课的内容，激发学生的兴趣和思考。

2.讲解：教师通过幻灯片或黑板进行理论讲解，包括数学概念的定义、特点和运用方法。

3.示范：教师通过几个具体的例子演示数学概念的运用，并引导学生思考和讨论。

4.练习：教师布置一些练习题，学生通过个人、小组或全班讨论解答问题，加深对数学概念的理解和掌握。

5.总结：教师对本节课的内容进行总结，强调数学概念的重要性和学习方法。

九、教学反思教师可以对本节课的教学过程和效果进行反思和总结，包括教学方法的适用性和改进等，以便提高教学质量和效果。

类比之渔——初中数学有效类比思想培养的案例实践研究

情感态度与价值观：意在让学生乐学。

形成积极的学习态度、健康向上的人生态度，求实的科学态度三、研究指向、内容与过程（一）研究指向1、通过研究初中数学教材中知识间的联系，寻找类比思想的切入点，同时设计案例教学，使学生通过课堂能清晰、准确、轻松地掌握新知识，达到知识与技能目标。

2、通过研究初中数学教材中模块内容的研究思路，寻找类比思想的生长点，同时设计案例教学，使学生通过课堂能体验和运用类比思想的研究方法，达到过程与方法目标。

3、通过对案例教学的设计、实施、修改、反思，提炼培养学生类比思想的准则，让类比思想培养真正落到实处，让教师的课堂严谨、高效、生动，让学生学会、会学、乐学。

（二）研究内容1、研究类比的切入点——知识联系2、研究类比的生长点——方法共性图形研究：点—线—角—三角形—四边形—圆函数研究：一次函数—反比例函数—二次函数方程（组）与不等式（组）研究：概念定义表示分类解析列表图像性质应用实例3、研究类比思想的培养准则（1）以相似为基础例如很多学生在学习的过程中都会认为a> -b。

这是由于错误地类比了小学学过的自然数与有理数。

再例如学生会错误地运用完全平方公式为，这是错误类比了分配律。

这一系列的类比负迁移在学生的知识经验当中是根深蒂固的，因此类比必须以相似为基础，教师应当正确地引导学生。

（2）以学生为主体类比思想在创造性思维中居于重要地位。

因此，做为基础教育之一的初中数学，在教学中必须重视培养学生的类比推理和归纳推理。

而培养学生的类比思想必须以学生为主体，从学情出发，让学生体验类比的过程，授之以类比的研究方法，而非仅仅授之以类比知识。

（3）以实践为保障利用类比方法可以深刻地理解概念、公式、定理的实质，分清新旧知识的联系和区别，但是也要防止生搬硬套、发生定式思维的错误。

因此，在对学生进行类比思想培养时，必须以实践为保障。

教师不但要注意问题的共性，又要注意问题的个性。

教师对学生在类比过程中产生的想法，要及时评价和指导。

初中数学在实际生活中的应用案例解析

初中数学在实际生活中的应用案例解析初中数学在实际生活中的应用案例解析数学作为一门学科，被广泛认为是一种抽象的学问，很多初中生可能会认为数学只是为了考试而学习，与实际生活无关。

然而，事实并非如此。

数学在实际生活中有着广泛的应用，本文将通过一些案例来解析初中数学在实际生活中的具体运用。

1. 金融投资在金融投资领域，数学起着至关重要的作用。

初中数学中的百分数、利率、复利等概念，在金融投资中被广泛运用。

例如，某人进行股票投资，他需要计算出投资收益率，这时就需要使用到百分数的概念。

此外，利息的计算、投资的风险评估等都需要运用到初中数学中的知识。

2. 房屋购买与装修买房和装修是许多人一生中的重要决策。

初中数学中的平方根、面积、体积等知识在这个过程中发挥着重要的作用。

比如，在购买房屋时，我们会关注房屋的面积和价格，需要计算房屋的总价和每平米的价格。

在装修过程中，需要计算墙壁的面积、地板的面积以及墙壁的涂料量等。

这些都需要用到初中数学的知识。

3. 交通出行数学在交通出行中也有着广泛的应用。

初中数学中的速度、时间、距离等概念与交通出行密切相关。

例如，我们要计算从A地到B地的距离，可以运用速度与时间的关系进行计算；又或者，在选择交通工具时，我们需要计算出到目的地所需的时间和花费。

这些都需要用到初中数学中的知识。

4. 统计与概率统计与概率也是初中数学的重要内容，在日常生活中被广泛应用。

举个例子，我们经常会看到各种调查数据，比如一家公司的销售额、市场份额等。

这些数据往往需要经过统计计算，以便更好地了解市场状况和做出决策。

此外，在购物时也会遇到打折、优惠券等概率问题，我们需要计算出最划算的购买方式。

通过以上四个案例，我们可以看到初中数学在实际生活中的广泛应用。

数学并非只是为了考试而存在，它是帮助我们解决实际问题的工具。

因此，学好初中数学对我们日常生活具有重要意义。

不论是金融投资、房屋购买与装修、交通出行还是统计与概率，数学都能够提供帮助和指导。

初中数学教学案例：以《圆》的教学为例谈概念教学

以《3.1.1圆》的教学为例谈概念教学在《初中数学导学式思维课堂实践指南》一书中提到：概念课教学的基本目标是让学生经历概念的生成过程，了解概念的来龙去脉，理解概念并能运用概念表达思想和解决问题，生成概念系统，体验概念的价值。

概念课教学不能只满足于告诉学生“是什么”或“什么是”，还应该让学生了解“为什么是”。

本文以《3.1.1圆》为例，从最初的教学设计，经过三次修改最终呈现的效果为例，谈谈我对概念教学的认识。

3.1.1《圆》教学设计一、教学目标1．理解圆、弧、弦等有关概念．2．学会圆、弧、弦等的表示方法．3．掌握点和圆的位置关系及其判定方法二、重难点分析教学重点：弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系．教学难点：点和圆的位置关系及判定．三、教学过程（一）认识问题圆是我们生活中常见的几何图形，许多物体都给我们以圆的形象．（多媒体图片引入）1、情境1看了此画你有何感想？2、请画一个圆，观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？（二）认识概念1、圆的概念演示圆的形成（多媒体动画），然后总结出概念在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆.圆心，半径以及圆的表示方法：定点O 叫做圆心；线段OP 叫做圆的半径。

表示：以O 为圆心的圆，记做“⊙O ”，读做“圆O ”.2、圆的有关概念弦与直径连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图AB ．经过圆心的弦是直径，图中的AC 。

直径等于半径的2倍．弧1、直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．小于半圆的弧叫做劣弧,如记作⌒AB (用两个字母).大于半圆的弧叫做优弧,如记作⌒ACB (用三个字母).等圆与等弧半径相等的两个圆叫做等圆。

在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧（注意：等圆：圆心不同，半径相等；同心圆：圆心相同，半径不等。

）巩固练习：1.练一练：如图所示，你看到哪几条弦？哪几段弧？各如何表示？2.想一想：确定一个圆的两个必备条件是什么？圆心，半径（圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定一个圆两者缺一不可。

数学文化融入初中数学教学的案例研究

数学文化融入初中数学教学的案例研究随着我国教育理念的变化，数学课程的内涵也发生了重大变化，数学课程更加注重加强学生的知识技能，并将数学文化融入到数学教学中。

因此，本研究旨在探究通过将数学文化融入到初中数学教学中，对学生数学能力和创新能力的影响。

研究对象是一所位于北京东部的初中，数学课程9A班。

研究总体采用实证研究设计，测试前后的改革，针对研究中的具体技能，进行定性分析和定量分析，以比较学生在实验前后的变化。

具体而言，本研究采取的策略是将数学文化融入到初中数学教学中。

其中，一是数学历史，引入数学发展史，为学生提供更宽广的视野，即学生了解数学发展的历史，在这一历史长河中，学生可以知道数学在学科发展过程中所具有的价值及其在现实生活中的应用；二是数学数据，充分利用数据资源，加入数据处理，让学生在实践中掌握统计描述和推理，对数据分析；三是数学文献，将世界著名数学家的主要著作引入到数学学习中，让学生在阅读数学文献的过程中，体会到科学的活力和科学研究的乐趣。

四是数学实践，在实践教学中，让学生加强数学思维，通过实际演示，让学生亲身体验，加强理解，促进学习成效。

对于这项实证研究，研究者采取了定量分析和定性分析两种统计方法。

定量分析采用的是学生的测试成绩和创新训练的成绩，测试成绩通过比较实验前后的变化来进行分析；定性分析采取的是学生案例被采访的方式，对实验前后的变化进行分析；实施研究前后均采取了行为观察，记录每次教学情况及学生的反馈情况，以便后续进行调查和分析。

研究结果表明，在将数学文化融入到初中数学教学中后，学生的数学能力得到了显著提高，其表现在实验前后数学测试成绩中，实验后，学生的数学成绩提高了7.4分，实验前后，学生的数学综合分数在实验前为59分，实验后，学生综合分数提高到83分；学生创新能力也有了显著提高，实验前，学生的创新能力得分为49分，实验后，学生的创新能力得分提高到76分。

本研究的结论是，在实际教学中，将数学文化融入到初中数学教学中，有利于提升学生的数学能力和创新能力，针对学生的实际情况，进行有针对性的实践教学，能够较好的激发学生的学习兴趣和学习热情，提高学生的学习效果。

初中数学获奖案例

初中数学获奖案例
案例一：李华的优秀成绩
李华是一名初中生，他在数学方面展现出卓越的才能，在全校
范围内获得了数学竞赛的一等奖。

这次竞赛是由本地教育局组织的，参与者包括全市各个学校的优秀学生。

李华通过充分准备和努力研究，成功地解决了一系列复杂的数学问题，在各个环节中都表现出色。

他的获奖不仅仅是对他个人努力的认可，也是他学校教育质量
的充分体现。

案例二：王晓的创新方法
王晓是另一位初中生，他在一次数学实践活动中获得了优秀成绩。

该活动是由学校组织的，要求学生在一定时间内设计并解决一
个实际问题。

王晓通过创新的思维和独特的方法，提出了一个新颖
的解决方案。

他用数学模型分析了问题，并通过计算得出了最优解。

他的成果不仅给他个人带来了荣誉，也在学校中引起了广泛的讨论
和欣赏。

案例三：张林的团队合作
张林是一个团队合作的能手，他在一个数学团队比赛中展现出
了非凡的能力。

数学团队比赛是由区域教育局组织的，各个学校的
学生需要组队参赛，并且在限定时间内回答一系列复杂的数学题目。

张林带领他的团队协作紧密，充分发挥每个成员的才能和专长，最
终取得了第一名的好成绩。

他的团队合作精神和领导能力受到了教
育局的肯定，并在学校中产生了积极的影响。

以上是三个初中数学获奖案例，展示了不同学生在数学领域的
卓越表现。

他们的成就不仅展示了个人的努力和才能，也体现了学
校教育的质量和团队合作的重要性。

这些案例给其他学生树立了榜样，激励他们在数学学习中追求更高的目标。

“概念教学”在初中数学课堂的有效运用——教学案例分析

‘ 念教学＂初中数学课堂的有效运用 ‘ 概在
教学案例分析
周尹
（京市玄武高级中学，苏南京南江２０１）１０８
摘要：学概念是反映现实世界的空间形式和数量关数系的本质属性的思维形式。初中数学教学中，强概念课的在加
一
、
情境创设
根据篮球比赛规则：一场得２，一场得１．某次赢分输分在篮球联赛中，支球队，若干场，１场，积２分，该队一赢输０共０问
赢了多少场？如果设该队赢了ｘ，可列方程：场则
比较二元一次方程的解与一元一次方程的解的区别．设计目的：学生自主探索解二元一次方程，而发现二让从元一次方程的解的无穷性．与一元一次方程的解的唯一性进行区别。握住解的本质．把三、决问题解根据篮球比赛规则：一场得２，一场得１．某次赢分输分在篮球联赛中，支球队，了若干场后积２分，该队赢了多一赛Ｏ问少场？输了多少场？你能列出输赢的所有可能情况吗？设计目的：从一般情况下二元一次方程的解的无穷个到具体问题中的有限个．学生灵活运用所学知识解决问题．让试一试：球员在一场篮球赛比赛中共得３分（中罚球得某５其１ｆ）０．分别投中了多少个两分球？ｔ问他多少个三分球？如果设该球员投中了ｘ两分球，个三分球，可列方程为：个ｖ则．你能用表格列出该球员投中两分球和三分球的所有可能吗？根据你所列的表格，回答下列问题：（）名球员最多投中了多少个三分球？１这（）名球员最多投中了多少个球？２这（）果这名球员投中了ｌ个球，么他投中了几个两分３如０那球？几个三分球？练一练：

初中数学概念教学设计案例

初中数学概念教学设计案例篇一：初中数学概念课堂教学设计教学设计首先正确理解数学概念，是掌握数学基础知识的前提．学生如果不能正确地理解数学中的各种概念，就不能很好地掌握各种法则、定理，也就不能应用所学知识去解决实际问题．因此，抓好数学概念的教学，是提高数学教学质量的关键，学生在数学学习中有一个现象：当解决数学某一问题遇到困难时，如果追根求源，就会发现，往往是由于他们在某一个或某一些概念处产生问题，而导致思维受阻。

基于此，我们就要对数学概念的本质进行分析，并且希望找到合理的概念教学的模式，以使教师的教课与学生的数学学习轻松而有成效。

通过参与这学期的国培培训计划，对初中数学概念课堂教学有更深层次的认识，数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括，是对一类数学对象的本质属性的反映。

初中数学中有大量的概念，数学概念比较抽象，初中学生由于年龄、生活经验和智力发展等方面的限制，要接受教材中的所有概念是不容易的．况且有的教师在教学过程中，不注意结合学生心理发展特点去分析事物的本质特征，只是照本宣科地提出概念的正确定义，缺乏生动的讲解和形象的比喻，对某些概念讲解不够透彻，使得一些学生对概念常常是一知半解、模糊不清，也就无法对概念正确地理解、记忆和应用．下面就如何做好数学概念的教学谈几点体会．一、概念的引入探究数学概念产生的实际背景（其实质就是概念的引入），是进行数学概念教学的第一步，这一步走的如何，对学生学好数学概念有重要的作用。

概念的引入是概念课教学的起始步骤，是形成概念的基础。

传统教学中在教学方式上是以教师传授为主，学生被动接受学习，这显然不利于新课程背景下创造型人才的培养。

课程标准中提出“ 抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式”。

通过概念引入过程的教学，应该使学生明确：“概念在生活中的实际背景是什么？”“为什么引入这一概念”以及“将如何建立这一概念”，从而使学生明确活动目的，激发学习兴趣，提取有关知识，为建立概念的复杂智力活动做好心理准备。

初中数学中的实证研究方法与实践案例

初中数学中的实证研究方法与实践案例引言：数学是一门以逻辑、推理和证明为基础的学科，而实证研究方法在数学中的应用，旨在通过实际的数据和实践案例来验证数学理论的准确性和可行性。

本文将介绍初中数学中常用的实证研究方法，并结合实际案例进行说明，以展示实证研究在数学教学中的重要性和价值。

一、问卷调查法问卷调查法是一种常见的实证研究方法，适用于收集大量样本数据并分析其关联性。

在初中数学教学中，问卷调查法可以用于了解学生对数学学习的态度、兴趣和困难，并通过数据分析得出结论。

以“初中学生数学学习兴趣调查”为例，研究者可以设计一份问卷，包括学生对数学学习的兴趣程度、喜欢的数学题型、解题策略等内容。

通过分发并收集问卷，研究者可以统计和分析数据，得出学生对不同数学内容的兴趣程度，并根据结果调整教学策略，提高学生的学习积极性。

二、实验法实验法是一种通过实际的操作和观察来验证数学理论的方法。

在初中数学中，实验法可以用于验证数学定理、公式和规律。

以“勾股定理实验验证”为例，研究者可以设计一个实验，让学生自己制作直角三角形，测量边长并计算三边平方的和。

通过多次实验，研究者可以得出结论，验证勾股定理的准确性。

三、数据分析法数据分析法是一种通过收集和分析数学数据来推断规律和做出预测的方法。

在初中数学中，数据分析法常用于统计学习成绩、完成课堂活动和解决实际问题。

以“统计学生成绩与学习时间的关系”为例，研究者可以收集学生的学习时间和数学成绩数据，并进行数据分析。

通过绘制散点图和计算相关系数等方法，研究者可以得出学习时间与成绩之间的关系，进而制定科学合理的学习计划和方法。

四、模型建立法模型建立法是一种通过构建数学模型来解决实际问题或预测未来趋势的方法。

在初中数学中，模型建立法可以用于解决实际问题和应用数学知识。

以“数学建模竞赛案例”为例，研究者可以选择一个具体的问题，比如城市交通拥堵问题，然后使用数学知识建立相应的模型，通过调整模型参数并进行仿真实验，得出减少交通拥堵的策略和方案，提高城市交通效率。

高效初中数学教学案例分享

高效初中数学教学案例分享教学案例一：探究三角形的内角和【案例背景】学科：数学年级：初中章节：三角形与直角三角形知识点：三角形的内角和【案例描述】在初中数学课上，为了帮助学生更好地理解三角形的内角和的概念，我设计了以下教学案例。

【案例步骤】1. 导入：通过引导学生回顾三角形和角的概念，可以使用幻灯片或者黑板书写相关定义公式等。

2. 提出问题：向学生提出一个问题，如：“在一个三角形中，三个内角的和是多少？”引导学生思考。

3. 分小组讨论：将学生分成小组，让他们自行合作讨论并互相提出问题和意见。

4. 小组展示：每个小组派出代表来展示他们的讨论结果，并解释他们的推理过程。

5. 整合讨论：在小组展示后，引导学生一起整合各组的结论，比较不同组的解法。

6. 归纳总结：通过集体讨论，在学生的引导下，总结出三角形内角和的公式：“三角形的内角和等于180度。

”并通过数学证明加深学生的理解。

7. 练习巩固：以练习题的形式，供学生进行相关练习巩固掌握。

【案例总结】通过以上的案例教学，学生通过小组讨论和展示的方式主动参与了解题过程，提高了他们的学习积极性和思维能力。

此外，通过归纳总结和练习巩固，学生对三角形的内角和公式有了深入的理解和应用能力。

教学案例二：拓展二次函数的应用【案例背景】学科：数学年级：初中章节：二次函数知识点：二次函数的应用【案例描述】在初中数学课上，为了加深学生对二次函数的应用的理解，我设计了以下教学案例。

【案例步骤】1. 导入：通过引用实际生活中的例子，比如抛物线运动的物理模型或许多商品价格与销量的关系等，引导学生了解二次函数的应用场景。

2. 理解概念：向学生介绍二次函数的定义和基本形式，并通过示意图和图表等形式加深学生对概念的理解。

3. 实例分析：给学生一道二次函数应用题目，如：“某品牌手机的年销量与价格之间的关系可以用二次函数表示，根据已知数据，确定二次函数的顶点坐标和开口方向。

”引导学生分析解题步骤和思路。

初中数学教学中的数学教学案例分享

初中数学教学中的数学教学案例分享数学教育是学生发展数学能力的重要途径，而数学教学案例作为教学的重要支撑和有效工具，能够帮助学生更好地理解和应用数学知识。

本文将结合实例，分享一些初中数学教学中的数学教学案例，让我们一起来了解一下。

1. 教案例一：应用问题启发学生思考在初中数学教学中，应用问题是帮助学生将抽象的数学知识应用于实际情境的重要途径。

我们可以设计一些有趣的应用问题，通过解决问题的过程来启发学生的思考。

比如，在教授代数方程式时，可以给学生一个问题：“班级里有30个学生，男生比女生多5个，求班级里男生和女生各有多少人？”通过这个问题，学生需要从问题中提取关键信息，建立方程式，并进行求解，从而更好地理解方程式的应用。

2. 教案例二：游戏化教学提高学生兴趣在教学过程中，我们可以运用游戏化教学方式，激发学生对数学的兴趣和积极性。

例如，在教授平面几何的知识时，可以设计一个角度测量的游戏。

学生分成小组，通过测量物体之间的角度，比赛谁能得到更多的正确答案。

这种游戏化的教学方式不仅能够增加学生的参与度，还可以提高他们对角度概念的理解和记忆。

3. 教案例三：问题导向教学激发学生独立思考问题导向教学是一种鼓励学生主动提问、积极探索和解决问题的教学方法。

在数学教学中，我们可以通过提出一系列问题，引导学生进行独立思考和发现。

以教授图形的知识为例，我们可以给学生一个问题：“如何判断一个图形是正方形？”学生需要利用已学的知识，比如边长相等、对角线相等等特征，自行思考并给出答案。

通过这样的问题导向教学方式，学生能够主动参与并发散思维，提高解决问题的能力。

4. 教案例四：合作学习促进同伴互助合作学习是一种将学生聚集在一起，共同探讨和解决问题的教学方法。

在数学教学中，我们可以设计一些小组合作的活动，鼓励学生互相交流和帮助。

例如，在教授分数的知识时，可以组织学生分成小组，互相核对答案，并解释自己的思路和方法。

通过合作学习，学生可以相互启发和借鉴，加深对数学知识的理解。

初中数学教师说题概念·价值·案例--以一道中考试题的说题为例

说题源于“说数学”，“说数学”能有效实现数学地交流.《义务教育数学课程标准（2011年版）》在数学课程的总目标部分明确提出：能清晰地表达自己的想法，学会与他人合作交流，养成合作交流的学习习惯.进而，数学教育工作者把“说数学”的研究扩大到实践层面，不断把“说数学”细化，出现了教师说题的教研活动和学生说题的学习活动.本文阐述了教师说题的相关概念，即什么是教师说题，教师说题的意义与价值何在，并以2018年中考新疆乌鲁木齐卷填空压轴题为例重点阐述教师如何说题.一、什么是教师说题通俗而言，教师说题就是口述探寻解题方法的思维过程，以及所采用的数学思想方法和解题策略.例如，教师之间就某道题在办公室所做的研讨，或教师在解题过程中自言自语的思维，或师生之间就某道题展开的问答式交流等，这些都是在说题.严格而言，数学教师说题是指教师把审题、分析、解答、反思、提炼和拓展的思维过程按照一定规律和顺序说出来，并重点阐述试题的立意与背景、解题方法的思维暴露过程、解题策略的优化过程、学生的思维障碍及解决策略、变式和拓展、数学思想方法的凝练过程等方面的教研活动.与教师说题密切联系的一个概念是“解题”.解题是分析题意、寻找关系、书写整理、得到答案的过程.说题是对解题过程本源的揭示，揭示解题的思维过程，揭示蕴涵于解题过程中的数学思想方法.说题的核心在于说理，关键在于通过问题解决的过程暴露数学的思维，凝练出数学的思想方法和规律，突出数学的本质.解题是结果的呈现，而说题则注重过程展示、方法提炼、思想凝练，它们属于相互依存的结果与过程.其中，解题是说题的前提，说题是解题的升华.如果教师没有经历完整的、真实的解题探索过程，则不可能进行说题的过程展示、方法提炼、思想凝练.二、数学教师说题的意义与价值1.说题引领教师深入研究解题，进而研究数学说题是一种有效助推教师个人专业发展的教研活动，它促使参与其中的教师在研究状态下进行日常的初中数学教师说题：概念·价值·案例——以一道中考试题的说题为例徐收稿日期：2020-05-16作者简介：徐健（1970—），女，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究.摘要：文章阐述了教师说题的概念及价值，并以2018年中考新疆乌鲁木齐卷填空压轴题为例，呈现了初中数学教师说题的一则案例，希望对有效开展数学教师说题教研活动有所启迪.关键词：教师说题；解题教学；思想方法；解题，将解题从一种简单、自主的工作任务转变为自觉的学科研究行为.全国各地区历年的中考试题和模拟试题都是教师开展解题研究的丰富素材，通过说题引领教师深入研究解题，进而钻研数学，最终使得教师与学生均能受益.2.说题引导教师注重通性、通法，进而凝练数学思想方法数学思想方法是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识.数学思想方法可以分为以下三个层面.（1）基本和重大的数学思想方法.例如，形式与内容、运动与静止、偶然与必然、现象与本质、原因与结果，等等.（2）一般科学（数学）方法.例如，分析与综合（分析法是“执果索因”，体现发散思维；综合法是“由因导果”，体现集中思维）、归纳、类比、演绎、观察、联想、实验，等等.（3）数学中特有的方法.例如，数形结合、函数与方程、分类讨论、转化与化归（如将几何问题代数化和代数问题几何化）、数学不变量方法、公理化方法、概率统计，等等.如果教师在解题教学中向学生展示了若干解法，却没有引导学生领悟其中蕴涵的数学思想方法，这是解题技术层面的“解一题”，触及特殊而非一般.教师说题展示的是解题思维的暴露过程、数学思想方法和规律的揭示过程，是解题思想层面的“通一类”，揭示的是从特殊推广至一般的规律.3.说题引导教师换位思考，教学生学会解题教师说题需要展示自身解题方法的思维暴露过程和解题策略的优化过程，这种展示类似于电视节目中的“现场直播”，即教师现场直播解题过程.通过现场直播解题过程，真正实现换位思考，使教师基于思维过程的相似性，想到学生也会经历到的探索过程，从而使教师能够站在学生的视角思考如何帮助学生扫除思维障碍.高斯被称为数学“天才”.他一生发现（发明）了很多数学公式和定理，但后人都不理解高斯是怎么想出来的.历史学家通过研究发现：高斯对每一项发现和发明都做了大量的实验、猜测、演算，最后用公式或定理表示出来.但他把这些实验、猜测、演算痕迹统统都抹掉了.教师说题的过程则恰恰相反，需要现场展示解题过程，阐述解题思路和方法的动机和目的，从而教会学生解题，最终使学生受益.正如波利亚所言，聪明的学生和读者不会满足于只验证推理的各个步骤都是正确的，他们也想知道各个步骤的动机和目的.如果一条巧妙的辅助线和一个辅助图形突然出现在图形中，看不出任何动机，并且令人惊讶地解决了问题，那么聪明的学生和读者会感到很失望.三、数学教师如何说题根据前述说题的概念界定，教师说题可以从以下六个方面展开：（1）试题的立意与背景；（2）解题方法的思维暴露过程；（3）解题策略的优化过程；（4）学生的思维障碍及解决策略；（5）数学思想方法的凝练过程；（6）变式和拓展.限于篇幅，下面以2018年中考新疆乌鲁木齐卷填空压轴题为例，重点从（1）（2）（3）（4）这四个方面展示一则说题案例.题目（2018年新疆·乌鲁木齐卷第15题）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=23，AC=2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形，则AE的长为.AB CDB′E F图11.试题的立意与背景该试题以学生喜闻乐见的折纸为载体，将轴对称与图形的折叠巧妙地结合起来，让学生经历直观感知、操作确认、推理论证的过程.试题设计新颖，具有一定难度.这类试题既有趣味性，又有可操作性.学生可以通过动手实践去自主探索、认识和掌握图形的性质，这样不仅能够帮助学生积累基本活动经验，而且可以培养学生的发散思维、空间观念、几何直观、数学推理和运算能力等.2.解题方法的思维暴露过程注意到已知条件“△AB′F 为直角三角形”没有明确哪个角是直角，自然产生分类的动机.（1）分类讨论的过程.若∠AFB′=90°，利用分析法（执果索因）较容易求解（略）.进一步地，△AB′F 的另外两个角有没有可能是直角呢？若∠B′AF =90°呢？从几何直观来看，∠B′AF 不太可能等于90°，但是这需要进行严格的论证.在△BDE 沿DE 所在直线翻折到△B′DE 的过程中，发现点B 的对称点B′的运动轨迹是以点D 为圆心、DB′为半径的半圆（如图2），由此可知不存在使∠B′AF 等于90°的点B′.ABCDB′E F 图2若∠AB′F =90°呢？基于同样的考虑，在翻折过程中，点B′的运动轨迹是一个半圆.那么点B′在半圆上运动时，是否存在使∠AB′F =90°的点B′呢？从几何直观看，存在这样一个位置使∠AB′F =90°.因为点B′在半圆上运动时，∠AB′F 的大小看起来是由小变大，由锐角变成直角，直至变成钝角的过程.那么问题来了：当点B′在半圆上运动到什么位置时，∠AB′F 恰好等于90°，即如何准确定位点B′的位置？注意到点B′既要在半圆上，又需使∠AB′F 恰好等于90°，从而问题转化为使∠AB′F =90°的点B′的运动变化有什么规律.注意到B′，F ，D 三点共线，从而问题转化为使∠AB′D =90°的点B′的运动变化有什么规律.根据“直径所对的圆周角是直角”，发现使∠AB′D =90°的点B′在以AD 为直径的半圆（如图3）上运动，从而通过化归中的“交轨法”准确定位了点B′的位置，同时揭示了连接辅助线AD 的动机.ABCDB′EF图3（2）当∠AB′D =90°时，如何求目标AE 的长？首先想到把求目标AE 的长转化为求BE 的长.读者可能会想，怎么没有想到直接求目标AE 的长，进而解斜三角形AEB′呢？（该试题所附参考答案的思路即是直接求目标AE ，进而解△AEB′）之所以想到“把求目标AE 的长转化为求BE 的长，是基于BE 所在的△BDE 位于已知的Rt△ABC 中，而且最为关键的是△BDE 中边BD 的长和∠B 的度数均可求.而△AEB′中的所有元素均未直接告知.如何求BE 的长呢？思路1：试着解斜三角形BDE .如图4，由已知可以求出△BDE 中的BD =3，∠B =30°，求BE 的条件不充分，故需要进一步求边DE的长（较难）或者求∠BDE 的度数（较易）.因为∠BDE =∠B′DE ，所以只需要求∠CDB′的度数即可.又因为∠CDA 的度数（不是特殊角）可求，所以只需求∠ADB′的度数即可.ABCD B′EF图4由∠AB′D =90°，DB′=DB =3，AD =3+4=7，从而可以求得∠ADB′的度数.通过证明还可以得到△ADC ≌△ADB′.尽管可以求得∠ADB′的度数，但其不是特殊角，因而不符合初中生的认知水平（到高中阶段可以用正弦定理求解），只能放弃直接解斜三角形BDE 的思路.对初中生来说，尽管上述探究过程最终是行不通的，但这样的探究过程（弯路）却是有益的，因为发现了△ADC ≌△ADB′，即∠ADC =∠ADB′，结合∠BDE =∠B′DE ，可得∠ADE =90°.进而求得∠BDE =∠CAD .思路2：解直角三角形.既然直接解斜三角形BDE 的思路不符合初中生的认知水平，故从初中生的认知水平出发，把解斜三角形BDE 转化为解直角三角形.为此过点E 作EH ⊥BD ，垂足为点H （如图5）.这样只需解Rt△EBH 或Rt△EDH ，求出EH 的长，进而即可求出BE 的长.ABCD B′EFH 图5注意到∠HDE =∠CAD （思路1的副产品），∠DHE 和∠ACD 均为直角，故△DHE ∽△ACD .从而有EH HD =DC CA 又因为EH =12BE ，HD =3，代入上式，即得BE =65.所以AE =145.上述解题思维暴露的过程是必须要有的.如果教师不暴露自己的思维过程，而是直接给出最简单或最巧妙的解法，那么学生只能惊叹于教师的解法，却不知道解题思路从何而来，不能体会到解题思路的自然生成.3.学生的思维障碍及解决策略思维障碍1：学生可能会纠结于∠AB′F 是否有可能等于90°.如果有可能，那么点B′的位置在哪里，即如何通过准确作图定位点B′的位置？解决策略：通过由特殊到一般的直观操作，发现规律，进而借助“交轨法”定位点B′的位置.将△BDE 沿DE 所在直线翻折到△B′DE 的过程中，点B 的对称点B′的运动轨迹是以点D 为圆心、B′D 的长为半径的半圆.如果学生发现这一点有困难，那就动手操作，让学生用纸多次折一折，并且用笔尖标出每次折叠后点B′的具体位置，从而发现点B′的轨迹为半圆.同理，借助直角三角板的直角来手动作图，画出若干个满足∠AB′D 为90°的点B′，发现点B′的运动规律.思维障碍2：如何计算AE 的长？解决策略：学生发散思维，顺其自然，能想到哪一种方法，就尝试用哪一种方法解决问题.预设学生可能会想到如下的各种方法，然后逐一尝试.方法1：解斜三角形BDE ；方法2：解斜三角形AB′E ；方法3：解Rt△ADE ；方法4：如图6，过点E 作BC ，AC 的垂线，垂足分别为点H ，G ，直接求A ，E 两点之间的距离，即解Rt△AEG .AB C D B′EFH 图6G基于思维的相似性，学生可能首先想到方法1，即通过解斜三角形BDE 来计算BE 的长，但很快发现它不是直角三角形.怎么办？此时转化为直角三角形即可.如果学生想到了方法2，即解斜三角形AB′E ，为避免多余信息的干扰，可以将斜三角形AB′E 单独提取出来（如图7），进而也将其转化为解直角三角形问题.（该方法也是该试题所附参考答案提供的解法.）AB′E 2x4-x120°图7方法3和方法4是学生熟悉的直接解直角三角形问题.因此，无论学生想到哪一种方法，只需围绕解直角三角形的目标展开相关计算即可，这是常规的任务驱动和目标驱动.上述过程符合人们解决问题的一般思维特点，即（下转第37页）思维的，要经常问一个为什么，问自己是怎样达到正确的结论的.教师的工作正体现了这种精神.我想这不仅是在探究尺规作图的教学时需要思考的，也更应该是在整个中学数学教学中应该思考的.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式：对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识［J］.课程·教材·教法，2012，32（7）：92-97.［3］乐嗣康，崔雪芳，张奠宙.尺规作图教学的现代意义［J］.中学数学月刊，2005（12）：7-9.［4］刘芳.对尺规作图教学的三个思考［J］.中学数学教学，2009（6）：15-18.［5］肖霄.对初中阶段尺规作图教学的反思和建议［J］.中学数学教学，2012（4）：6-9.［6］刘克明.伏羲女娲手执矩规图的科学价值［J］.黄石理工学院学报（人文社科版），2009（4）：12-18.［7］张奠宙，沈文选.中学几何研究［M］.北京：高等教育出版社，2006.［8］汪晓勤.HPM视角下的“角平分线”教学［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2014（5）：29-32.先通过发散性思维提出各种可能的方案，然后通过集中性思维逐一尝试，最终筛选哪种方案可行，进而确定最佳方案.发散性思维是创造性思维的核心，平面几何问题是培养学生发散性思维的重要载体，故在平面几何解题教学中一定要让学生经历思维先发散、再集中的过程.4.数学思想方法的凝练过程（1）微观的解题方法层面：解斜三角形问题的“化斜为直”方法.（2）中观的数学思想方法层面，有如下几种方法.分析法（执果索因）和综合法（由因导果）：思维先发散，再集中.例如，此题中要定位点E的位置，需要先定位点B′的位置；要计算AE的长，只需要解与其有关的三角形即可.化归方法.例如，把点B′的定位转化为两条轨迹的相交问题（交轨法），而在计算环节将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题.同时还包括“形化数，数化形”的化归，即将几何图形的位置关系代数化，进而将代数运算结果几何化.归纳方法.通过由特殊到一般的直观操作，发现点B′实际上位于两条轨迹的交点处，进而借助交轨法定位点B′的位置.分类方法.对哪个角可能是直角进行讨论.方程方法.求AE的长的诸多方法均需要建立方程.（3）宏观的数学思想方法层面：透过现象，揭示本质.透过纸翻折及轴对称的表象，发现此题的本质是寻找两条轨迹交点的问题，据此可以变式出很多题目.例如，当∠AB′F=60°时，如何求AE的长，等等.四、结束语解题教学是数学教学的重要组成部分，是教会学生数学思考，培养学生思维能力的重要途径.解题教学的效果关键在于教师对题目的理解与分析水平.而说题的教研活动可以有效促进教师自身对题目及解题教学的研究与思考，进而最终达到培养与提升学生思维品质的目的.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［3］于彬，高振卿.一次区域教研说题比赛及体会［J］.中国数学教育（初中版），2017（5）：10-13.（上接第29页）。