1-2限时规范训练

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件命题要点：(1)命题及四种关系(′10年1考，′11年2考)；(2)充分条件与必要条件(′10年4考，′11年5考)．
A级
(时间：40分钟满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()．A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
答案 D
2．“x＝3”是“x2＝9”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析解方程x2＝9得x＝±3，由“范围小”⇒“范围大”，而“范围大”⇒/ “范围小”，故选A.
答案 A
3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()．A．3 B．2 C．1 D．0
解析易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中的真命题只有一个．故选C.
答案 C
4．(★)(2011·金华十校模拟)已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析(特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝1
2＜sin 60°＝
3
2，
故sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件．
答案 D
5．(2012·湛江模拟)设a ，b ∈R ，则“a ＞2，且b ＞1”是“a ＋b ＞3，且ab ＞2”的 ( )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 若“a ＞2且b ＞1”，由不等式的性质，则有“a ＋b ＞3且ab ＞2”，即“a ＞2且b ＞1”是“a ＋b ＞3且ab ＞2”的充分条件；反之，若“a ＋b ＞3且ab ＞2”，则“a ＞2
且b ＞1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12
.所以“a ＞2且b ＞1”不是“a ＋b ＞3且ab ＞2”的必要条件．
综上所述，“a ＞2且b ＞1”是“a ＋b ＞3且ab ＞2”的充分必要条件．
答案 A
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011·扬州模拟)“α＝π6”是“sin α＝12
”的________条件．(填“充分不必要”或“必要 不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)．
解析 α＝π6⇒sin α＝12；反之sin α＝12⇒/ α＝π6
. 答案 充分不必要
7．命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是________．
答案 若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1
8．(2011·厦门模拟)有下列四个命题：
①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b ≤－1，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆命题；
④“若A ∪B ＝B ，则A ⊇B ”的逆否命题．
其中真命题有________．
解析 ①正确，②③④错误．
答案 ①
三、解答题(共23分
)
9．(11分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；
(2)若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零．
解 (1)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，真命题．
否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，真命题．
逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，真命题．
(2)逆命题：若x ，y 全为零，则x 2＋y 2＝0，真命题．
否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零，真命题．
逆否命题：若x ，y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，真命题．
10．(12分)(2011·温州月考)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)·(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．
解 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5.
∴綈p ：x ＜1或x ＞5.
q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x ＜m －1或x ＞m ＋1.
又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －1≥1，m ＋1≤5，∴2≤m ≤4，即实数m 的取值范围是[2,4]． B 级
(时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．命题“若函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2＜0”的逆否命题 是 ( )．
A ．若log a 2＜0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内不是减函数
B ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内不是减函数
C ．若log a 2＜0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数
D ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数
解析 “若函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在定义域内是减函数，则log a 2＜0”其条件的否定是“在定义域内不是减函数”，结论的否定是“log a 2≥0.”
答案 B
2．(2011·临沂模拟)若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n
＝p (p 为正常数，n ∈N *)，则称{a n }为“等方比数 列”．甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则 ( )．
A ．甲是乙的充分不必要条件
B ．甲是乙的必要不充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲是乙的既不充分也不必要条件
解析 若a 2n ＋1a 2n ＝p ，则a n ＋1＝±pa n ，不能说明{a n }一定为等比数列．若a n ＋1a n ＝p 0，则a 2n ＋1a 2n
＝p 20，即{a n }是“等方比数列”．因此，由甲不能推导出乙，由乙能推导出甲．故甲是乙的必要条件但不是充分条件．
答案 B
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是
________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
否命题是___________________________________________________________________． 答案 末位数是0或5的整数，不能被5整除 末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除
4．给出以下四个条件：
①ab ＞0；
②a ＞0或b ＞0；
③a ＋b ＞2；
④a ＞0且b ＞0.
其中可以作为“若a ，b ∈R ，则a ＋b ＞0”的一个充分而不必要条件的是________． 解析 ①不是题中结论的充分条件，如a ＝－1，b ＝－2；②不是题中结论的充分条件，如a ＝1，b ＝－2；③④是题中结论的充分而不必要条件，a ＋b ＞2⇒a ＋b ＞0，但反之不成立，a ＞0且b ＞0⇒a ＋b ＞0，但反之不成立．
答案 ③④
三、解答题(共22分)
5．(10分)(2011·银川模拟)设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0， 若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
解 条件p 为：12
≤x ≤1，条件q 为：a ≤x ≤a ＋1， 綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＞1，或x ＜12， 綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1，或x ＜a }．
∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，
∴B A ，∴a ＋1＞1且a ≤12或a ＋1≥1且a ＜12
. ∴0≤a ≤12
. 6．(12分)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明 必要性：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，
∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，
∴a ＋b ＋c ＝0.
充分性：若a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－a －c ，
∴ax 2＋bx ＋c ＝0化为
ax 2－(a ＋c )x ＋c ＝0，
∴(ax －c )(x －1)＝0，
∴当x ＝1时，ax 2＋bx ＋c ＝0，
∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.。