数学：122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则-课件新人教A版选修2—289103
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-12学年高中数学122基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习新人教A版选修2-2
-12学年高中数学122基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习新人教A版选修2-2高中数学中的基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
对于这些函数，我们可以利用导数公式和导数运算法则求出它们的导数。
一、常数函数的导数公式和导数运算法则：常数函数的导数恒为零，即对于常数c，有f(x)=c，f’(x)=0。
导数运算法则：常数函数与其他函数进行加减乘除运算时，可以直接将常数提到导数的外面。
二、幂函数的导数公式和导数运算法则：幂函数的导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，f’(x)=n*x^(n-1)。
导数运算法则：1.对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，可以将n视为常数，然后按照常数倍法则进行求导。
2.若幂函数中的指数为常数，则其导数也是幂函数。
三、指数函数的导数公式和导数运算法则：指数函数的导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，f’(x)=a^x*lna。
导数运算法则：1.对于指数函数f(x)=a^x，可以将指数函数转化为自然指数函数进行求导。
2.若指数函数中的底数为常数，则其导数是指数函数乘以底数的自然对数。
四、对数函数的导数公式和导数运算法则：对数函数的导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，f’(x)=1/(x*lna)。
导数运算法则：1. 对于对数函数f(x)=log_a(x)，可以将对数函数转化为自然对数函数进行求导。
2.若对数函数中的底数为常数，则其导数是常数除以自变量的乘积再乘以底数的自然对数的相反数。
五、三角函数的导数公式和导数运算法则：1. sin函数的导数公式：(sinx)’=cosx。
2. cos函数的导数公式：(cosx)’=-sinx。
3. tan函数的导数公式：(tanx)’=sec^2(x)。
4. cot函数的导数公式：(cotx)’=-csc^2(x)。
数学：1.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件(新人教A版选修2—2)
' 3 3 '
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun
数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun
数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .
人教A版高中数学选修2-2课件1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(29张PPT)
yx ' yu 'ux ' (sin) ' ( x ) ' cos u cos( x )
复合函数求导三步曲：
第一步，分层（从外向内分解成基本函 数用到中间变量）；
第二步，层层求导（将分解所得的基本 函数进行求导）；
第三步，做积还原（将各层基本函数的 导数相乘，并将中间变量还原为原来的 自变量）。
5．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方
程是.
y=1
6．求 y 3 ax2 bx c 的导数
y
'
1
(ax2
bx
2
x) 3
(2ax
b)
3
(2ax b) 3 ax2 bx c 3(ax2 bx c)
作业：P18 A 组 T4 T5 T6 T7
三.复合函数的导数法则:
复合函数 y f (g(x)) 的导数与函数 y f (u) 和 u g(x) 的导数间关系为：
y y • u
xuxຫໍສະໝຸດ 或y f '(u) • g '(x) x
即复合函数y对x的导数等于: y对u的导数 与 u对x的导数的乘积.
当堂检测 1．函数y=(5x－4)3的导数是（）C
P16 思考:如何求 y ln(x 2) 导数?
二、复合函数的概念
一般地,对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果通 过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数,记作 y f (g(x))
复合函数 y f (g(x)) 的导数和函数 y f (u) , u g(x) 的导数间的关系为 yx ' yu 'ux ' ,即 y 对 x 的 导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
复合函数求导三步曲：
第一步，分层（从外向内分解成基本函 数用到中间变量）；
第二步，层层求导（将分解所得的基本 函数进行求导）；
第三步，做积还原（将各层基本函数的 导数相乘，并将中间变量还原为原来的 自变量）。
5．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方
程是.
y=1
6．求 y 3 ax2 bx c 的导数
y
'
1
(ax2
bx
2
x) 3
(2ax
b)
3
(2ax b) 3 ax2 bx c 3(ax2 bx c)
作业：P18 A 组 T4 T5 T6 T7
三.复合函数的导数法则:
复合函数 y f (g(x)) 的导数与函数 y f (u) 和 u g(x) 的导数间关系为：
y y • u
xuxຫໍສະໝຸດ 或y f '(u) • g '(x) x
即复合函数y对x的导数等于: y对u的导数 与 u对x的导数的乘积.
当堂检测 1．函数y=(5x－4)3的导数是（）C
P16 思考:如何求 y ln(x 2) 导数?
二、复合函数的概念
一般地,对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果通 过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数,记作 y f (g(x))
复合函数 y f (g(x)) 的导数和函数 y f (u) , u g(x) 的导数间的关系为 yx ' yu 'ux ' ,即 y 对 x 的 导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
高中数学 1.2.2 第1课时基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件 新人教A版选修22
第二十一页，共44页。
5．(2013·江西文，11)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的 切线经过(jīngguò)坐标原点，则α＝________.
[答案] 2 [解析] y′＝αxα－1，y′|x＝1＝α，则切线方程为y－2＝α(x －1)，切线方程过原点，则0－2＝α(0－1)，∴α＝2.
新知导学 1．若f(x)＝xn(n∈N*)，则f ′(x)＝___n_x_n－_1____. 若f(x)＝1x，则f ′(x)＝__－__x1_2_____. 若f(x)＝xα(α∈Q)，则f ′(x)＝αxα－1.
第八页，共44页。
2．若f(x)＝sinx，则f ′(x)＝_____c_os_x___. 若f(x)＝cosx，则f ′(x)＝____－__s_in_x__. 3．若f(x)＝ax，则f ′(x)＝____a_x_ln_a_(_a_>．0) 若f(x)＝ex，则f ′(x)＝_____ex__. 4．若f(x)＝logax，则f ′(x)＝____xl_1n_a_(_a_>_0_，__且__a_≠__1_) ． 若f(x)＝lnx，则f ′(x)＝____1x______.
第三十五页，共44页。
[解析] ①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′ ＝2x(x2－1)＋x2·2x＝4x3－2x. ③y′＝1x＋x22＋x33′＝1x＋2x－2＋3x－3′ ＝－x12－4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
第十三页，共44页。
则Fx＋ΔΔxx－Fx
＝fx＋Δx＋gx＋ΔxΔx－fx－gx
＝fx＋ΔΔxx－fx＋gx＋ΔΔxx－gx，
5．(2013·江西文，11)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的 切线经过(jīngguò)坐标原点，则α＝________.
[答案] 2 [解析] y′＝αxα－1，y′|x＝1＝α，则切线方程为y－2＝α(x －1)，切线方程过原点，则0－2＝α(0－1)，∴α＝2.
新知导学 1．若f(x)＝xn(n∈N*)，则f ′(x)＝___n_x_n－_1____. 若f(x)＝1x，则f ′(x)＝__－__x1_2_____. 若f(x)＝xα(α∈Q)，则f ′(x)＝αxα－1.
第八页，共44页。
2．若f(x)＝sinx，则f ′(x)＝_____c_os_x___. 若f(x)＝cosx，则f ′(x)＝____－__s_in_x__. 3．若f(x)＝ax，则f ′(x)＝____a_x_ln_a_(_a_>．0) 若f(x)＝ex，则f ′(x)＝_____ex__. 4．若f(x)＝logax，则f ′(x)＝____xl_1n_a_(_a_>_0_，__且__a_≠__1_) ． 若f(x)＝lnx，则f ′(x)＝____1x______.
第三十五页，共44页。
[解析] ①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′ ＝2x(x2－1)＋x2·2x＝4x3－2x. ③y′＝1x＋x22＋x33′＝1x＋2x－2＋3x－3′ ＝－x12－4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
第十三页，共44页。
则Fx＋ΔΔxx－Fx
＝fx＋Δx＋gx＋ΔxΔx－fx－gx
＝fx＋ΔΔxx－fx＋gx＋ΔΔxx－gx，
2020版高中数学1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件新人教A版选修2_2
������
数为
f'(x)=−
1 ������ 2
,
而不是f'(x)
=
1 ������ 2
.
知识梳理
【做一做1】 对于函数y=x2,其导数值等于原函数值的点
是
.
解析:y'=2x,令2x=x2,
解得x=0或x=2,
所以满足条件的点是(0,0),(2,4).
答案:(0,0),(2,4)
知识梳理
2.基本初等函数的导数公式
2239;=(log5x)'=
1.
x������������ 5
题型一
题型二
题型三
典例透析
反思求简单函数的导函数有两种基本方法: (1)利用导数的定义求导,但运算比较复杂; (2)利用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度. 在解题时,应先根据所给问题的特征,将题中的函数化为基本初 等函数,再选择合适的求导公式求解.
反思利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解
决一些与距离、面积相关的最值问题.解题的关键是正确确定所求
切线的位置,进而求出切点坐标.另外也可利用函数求最值的方法
确定点P的坐标.
知识梳理
1.几个常用函数的导数
原函数
f(x)=c(c 为常数)
f(x)=x
f(x)=x2
f(x)
=
1 x
f(x) = x
导函数
f'(x)=0
f'(x)=1
f'(x)=2x
f'(x)=−
1 x2
f'(x)
=
1 2x
名师点拨这几个常见函数都是幂函数,其导数是求解其他函数导
数为
f'(x)=−
1 ������ 2
,
而不是f'(x)
=
1 ������ 2
.
知识梳理
【做一做1】 对于函数y=x2,其导数值等于原函数值的点
是
.
解析:y'=2x,令2x=x2,
解得x=0或x=2,
所以满足条件的点是(0,0),(2,4).
答案:(0,0),(2,4)
知识梳理
2.基本初等函数的导数公式
2239;=(log5x)'=
1.
x������������ 5
题型一
题型二
题型三
典例透析
反思求简单函数的导函数有两种基本方法: (1)利用导数的定义求导,但运算比较复杂; (2)利用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度. 在解题时,应先根据所给问题的特征,将题中的函数化为基本初 等函数,再选择合适的求导公式求解.
反思利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解
决一些与距离、面积相关的最值问题.解题的关键是正确确定所求
切线的位置,进而求出切点坐标.另外也可利用函数求最值的方法
确定点P的坐标.
知识梳理
1.几个常用函数的导数
原函数
f(x)=c(c 为常数)
f(x)=x
f(x)=x2
f(x)
=
1 x
f(x) = x
导函数
f'(x)=0
f'(x)=1
f'(x)=2x
f'(x)=−
1 x2
f'(x)
=
1 2x
名师点拨这几个常见函数都是幂函数,其导数是求解其他函数导
高中数学 1.2.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件 新人教A版选修2-2
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高中数学课件
1.2.2
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
-
首页
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
学习目标 1.能利用导数的 四则运算法则求 解导函数. 2.能运用复合函 数的求导法则进 行复合函数的求 导.
探究一应用导数的运算法则求导
1 .运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数,一定要先分 析函数 y=f(x)的结构和特征,若直接求导很繁琐,一定要先进行合理的化简 变形 ,再选择恰当的求导法则和导数公式求导. 2 .若要求导的函数解析式与三角函数有关,往往需要先运用相关的三 角函数公式对解析式进行化简、整理,然后再套用公式求导.
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
思路分析:解答本题可先确定式子的形式,再用基本初等函数的导数公 式和导数的运算法则求解. 解 :(1)y'=(x2+log 3x)'=(x2)'+(log3x)'=2x+ (2)y'=
cos������ ������
思维脉络
Hale Waihona Puke 首页 1 21.导数的运算法则 设两个函数分别为 f(x)和 g(x)
两个函数的和的导数 两个函数的差的导数 两个函数的积的导数 两个函数的商的导数
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
[f(x)+g(x)]'=f'(x )+g'(x) [f(x)-g(x )]'=f'(x)-g'(x) [f(x)· g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
高中数学课件
1.2.2
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
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学习目标 1.能利用导数的 四则运算法则求 解导函数. 2.能运用复合函 数的求导法则进 行复合函数的求 导.
探究一应用导数的运算法则求导
1 .运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数,一定要先分 析函数 y=f(x)的结构和特征,若直接求导很繁琐,一定要先进行合理的化简 变形 ,再选择恰当的求导法则和导数公式求导. 2 .若要求导的函数解析式与三角函数有关,往往需要先运用相关的三 角函数公式对解析式进行化简、整理,然后再套用公式求导.
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
思路分析:解答本题可先确定式子的形式,再用基本初等函数的导数公 式和导数的运算法则求解. 解 :(1)y'=(x2+log 3x)'=(x2)'+(log3x)'=2x+ (2)y'=
cos������ ������
思维脉络
Hale Waihona Puke 首页 1 21.导数的运算法则 设两个函数分别为 f(x)和 g(x)
两个函数的和的导数 两个函数的差的导数 两个函数的积的导数 两个函数的商的导数
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
[f(x)+g(x)]'=f'(x )+g'(x) [f(x)-g(x )]'=f'(x)-g'(x) [f(x)· g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
11-12学年高中数学1222基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2课件新人教A版选修2-2
• 开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步 骤进行，待熟练后可简化步骤如下：
• y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
• (6)y′ ＝ 2cosx·(cosx)′ ＝ － 2cosx·sinx ＝ － sin2x
• [点评] 法则可简单叙述成：复合函数对 自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量对自变量的导数．
• [答案] －1.6
• [点评] 导数在实际问题中有着广泛的应 用，如物理学中，位移s对时间t的导数是 表示时刻t处的瞬时速度，而速度对时间t 的导数就是时刻t处的加速度．
设 y＝8sin3x，求曲线在点 Pπ6，1处的切线方程． [解析] y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3 3x－π6，即 6 3x－2y－ 3π＋2＝0.
练习
一、选择题
1．y＝12(ex＋e－x)的导数是
A.12(ex－e－x)
B.12(ex＋e－x)
Байду номын сангаас
C．ex－e－x
• [答案] A
[解析] ①y＝au，u＝3x＋2
③y＝log2u，u＝x2－2x＋3 ④y＝sinu，u＝x2＋1 ⑤y＝eu，u＝x2－2
[例 2] 求下列函数的导数 (1)y＝(3x－2)2 (2)y＝ln(6x＋4) (3)y＝e2x＋1 (4)y＝ 2x－1 (5)y＝sin3x－4π (6)y＝cos2x
求下列函数的导数：
(1)y＝lnsinx2x；
• y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
• (6)y′ ＝ 2cosx·(cosx)′ ＝ － 2cosx·sinx ＝ － sin2x
• [点评] 法则可简单叙述成：复合函数对 自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量对自变量的导数．
• [答案] －1.6
• [点评] 导数在实际问题中有着广泛的应 用，如物理学中，位移s对时间t的导数是 表示时刻t处的瞬时速度，而速度对时间t 的导数就是时刻t处的加速度．
设 y＝8sin3x，求曲线在点 Pπ6，1处的切线方程． [解析] y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3 3x－π6，即 6 3x－2y－ 3π＋2＝0.
练习
一、选择题
1．y＝12(ex＋e－x)的导数是
A.12(ex－e－x)
B.12(ex＋e－x)
Байду номын сангаас
C．ex－e－x
• [答案] A
[解析] ①y＝au，u＝3x＋2
③y＝log2u，u＝x2－2x＋3 ④y＝sinu，u＝x2＋1 ⑤y＝eu，u＝x2－2
[例 2] 求下列函数的导数 (1)y＝(3x－2)2 (2)y＝ln(6x＋4) (3)y＝e2x＋1 (4)y＝ 2x－1 (5)y＝sin3x－4π (6)y＝cos2x
求下列函数的导数：
(1)y＝lnsinx2x；
高中数学 1.2.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件1 新人教A版选修22
第十七页，共41页。
• [点评] 运算的准确是数学能力高低的重要 标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨、 步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而 且(ér qiě)要求对、求好的解题标准．
第十八页，共41页。
• 求下列(xiàliè)函数的导数： • (1)y＝x－2；(2)y＝cosx；(3)y＝log3x；(4)y
＝
f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)
2．由[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．立即可得
[Cf(x)]′＝Cf′(x)．
由gf((xx))
′＝g(x)f′(xg)－2(xf)(x)g′(x)，可得
1 g(x)
′
＝
－
g′(x) g2(x) .
第八页，共41页。
3．初学导数公式的同学会发现，公式(1)、(2)、(3)、 (4)、(6)、(8)好记好用，而公式(5)、公式(7)则较难记忆， 易用错．对于公式(5)，y＝ax(a＞0 且 a≠1)的导数，可结 合后面复合函数的导数用取对数法帮助记忆：两边取自然 对数得：lny＝xlna.两边对 x 求导得：y′y ＝lna.∴y′＝ axlna.(注意 y 是 x 的函数)对于公式(7)，f(x)＝logax 的导数， 可先换底 f(x)＝llnnax，再求导得：f′(x)＝xl1na.
• 本节重点：导数公式(gōngshì)和导数的运 算法则及其应用．
• 本节难点：导数公式(gōngshì)和运算法则 的应用．
第六页，共41页。
第七页，共41页。
• 1．函数和与差的导数运算法则可推广到任 意(rènyì)有限个可导函数的和(或差)．
即
：
f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)
• [点评] 运算的准确是数学能力高低的重要 标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨、 步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而 且(ér qiě)要求对、求好的解题标准．
第十八页，共41页。
• 求下列(xiàliè)函数的导数： • (1)y＝x－2；(2)y＝cosx；(3)y＝log3x；(4)y
＝
f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)
2．由[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．立即可得
[Cf(x)]′＝Cf′(x)．
由gf((xx))
′＝g(x)f′(xg)－2(xf)(x)g′(x)，可得
1 g(x)
′
＝
－
g′(x) g2(x) .
第八页，共41页。
3．初学导数公式的同学会发现，公式(1)、(2)、(3)、 (4)、(6)、(8)好记好用，而公式(5)、公式(7)则较难记忆， 易用错．对于公式(5)，y＝ax(a＞0 且 a≠1)的导数，可结 合后面复合函数的导数用取对数法帮助记忆：两边取自然 对数得：lny＝xlna.两边对 x 求导得：y′y ＝lna.∴y′＝ axlna.(注意 y 是 x 的函数)对于公式(7)，f(x)＝logax 的导数， 可先换底 f(x)＝llnnax，再求导得：f′(x)＝xl1na.
• 本节重点：导数公式(gōngshì)和导数的运 算法则及其应用．
• 本节难点：导数公式(gōngshì)和运算法则 的应用．
第六页，共41页。
第七页，共41页。
• 1．函数和与差的导数运算法则可推广到任 意(rènyì)有限个可导函数的和(或差)．
即
：
f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)
高中数学 1.2.2第2课时 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件 新人教A版选修2-2
(3)y＝－sin2x·cos2x＝－12sinx.∴y′＝－12sinx′＝－12cosx.
[点评] 较复杂函数求导过程中特别注意公式的正确运 用．
(1)在应用(sinx)′＝cosx与(cosx)′＝－sinx时，一要注意
函数名称的变化；二要注意符号的变化．
(2)对于公式(ax)′＝axlna与(logax)′＝
重点：1.导数公式和导数运算法则的应用． 2．复合函数的导数． 难点：复合函数的求导方法．
复合函数及其求导法则
思维导航
对于函数y＝cos2x，其导函数是y＝－sin2x吗？怎样求这类 复合函数的导数．
新知导学
1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量 u，y可以表示成____x____的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u ＝g(x)的复合函数，记作_y_＝__f_(_g_(x_)_)__． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间 的 关 系 为 yx′ ＝ __yu_′_·u_x_′ __. 即 y 对 x 的 导 数 等 于 __y_对__u_的__导__数__与__u_对__x_的__导__数____的乘积．
1 xlna
记忆较难，又
易混淆，我们应从以下几个方面加深公式的理解与记忆．
①区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与 (logax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与 (ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式．
②公式(logax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导： (logax)′＝llnnax′＝ln1a(lnx)′＝ln1a·x.
122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则-广东省佛山市高中数学人教A版必修2-2课件(共27张PPT)
年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有 p'(t) 1.05t ln1.05 所以 p' (10) 1.0510 ln1.05 0.08（元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上 涨． 思考?如果上式中某种商品的 p0=5，那么在第10个年头，这种商 品的价格上涨的速度大约是多少？
y |x0 2， 即k 2 又 当x 0时 ，y 0,即 切 点 为(0,0)。 切 线 方 程 为 ：y 2 x
3、商的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数与分
母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分 母的平方。即
u
v
uv uv v2
(v 0)
例3：求
y x 2 的导数。 sin x
公式5 (a x )' a x ln a
一
公式6 (e x )' e x
记
公式7 (1oga x )' 1
公式8 (1nx)' 1 x ln a
x
不需推导，但要注意符号的运算.
使用公式 选择题
（1）下列各式正确的是（ ）C
A.(sin )' cos (为常数）
B（. cos x)' sin x C .(sin x)' cos x D.( x 5 )' 1 x 6
例１:求y=x3-2x+3的导数.
y' 3 x2 2
２、积的导数
两个函数的积的导数，等于第一个函 数的导数乘第二个函数，加上第一函数乘 第二个函数的导数，即
(uv) uv uv
例2：求y=(2x2+3)(3x-2)的导数。
解：根据基本初等函数导数公式表，有 p'(t) 1.05t ln1.05 所以 p' (10) 1.0510 ln1.05 0.08（元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上 涨． 思考?如果上式中某种商品的 p0=5，那么在第10个年头，这种商 品的价格上涨的速度大约是多少？
y |x0 2， 即k 2 又 当x 0时 ，y 0,即 切 点 为(0,0)。 切 线 方 程 为 ：y 2 x
3、商的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数与分
母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分 母的平方。即
u
v
uv uv v2
(v 0)
例3：求
y x 2 的导数。 sin x
公式5 (a x )' a x ln a
一
公式6 (e x )' e x
记
公式7 (1oga x )' 1
公式8 (1nx)' 1 x ln a
x
不需推导，但要注意符号的运算.
使用公式 选择题
（1）下列各式正确的是（ ）C
A.(sin )' cos (为常数）
B（. cos x)' sin x C .(sin x)' cos x D.( x 5 )' 1 x 6
例１:求y=x3-2x+3的导数.
y' 3 x2 2
２、积的导数
两个函数的积的导数，等于第一个函 数的导数乘第二个函数，加上第一函数乘 第二个函数的导数，即
(uv) uv uv
例2：求y=(2x2+3)(3x-2)的导数。
122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件人教A版选修2-2
6 . 若 f ( x ) e x，则 f '( x ) e x；
7 . 若 f ( x ) log a x ，则
f '( x )
1； x ln a
8 . 若 f ( x ) ln x ，则
f '( x )
1 .
x
解：根据基本初等函数导数公式表，
有p’（t）=1.05tln 1.05
由复合函数求导法则有
yx' yu' ux' siun 'x'
cu o s c o x s .
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f(x)g(x)f(x)g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f(x)•g (x)f(x)g (x)f(x)g (x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
思如 考何 y l求 n x 2 的 函导 数 ? 数
若u设 x2x2,则 ylnu.从y而 lnx2可以 看成y是 lnu由 和 ux2x2经"过 复"合 得到
的 ,即 y可以通过u表 中示 间为 变 x的 自 量函 变 . 数 量
如果y与 把 u的关系y 记 fu作 ,u和x的关系记 ugx,那么"这 复个 "合 过程可表示为 yfufgxlnx2.
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
c’(x)=( 5284
)’=5284/(100-x)2
100 x
(1)因为c’（90）=52.84，所以，纯净度为
高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件 新人教A版 选修22
• 答案： B
• 3．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________. • 解析： f(x)＝4x2＋4ax＋a2， • ∵f′(x)＝8x＋4a， • ∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1. • 答案： 1
4．求下列函数的导数： (1)y＝xx2＋1x＋x13； (2)y＝1＋xc2os x； (3)y＝(4x－x)(ex＋1)．
复合函数的导数
• 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的 关__系__为___yx_′＝______________y__u′__·__u__x.．′即y对x的导数等于_______y对__u_的__导数
与u对x的导数的乘积
• 2．复合函数求导应注意的问题
• (1)简单复合函数均是由基本初等函数复合而成的，对于常用 的基本函数要熟悉．
• (2)求复合函数的导数，关键要分清函数的复合关系，特别要 注意中间变量．
• (3)要注意复合函数的求导法则与四则运算求导法则的综合运 用．
• 1．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为( )
• A．1－sin 1
B．1＋sin 1
• C．sin 1－1
D．－sin 1
解析： 因为 f′(x)＝－sin x＋1x，
x＋xcos xcos cos2x
x＋xsin2x
＝sin
xcos x＋x cos2x .
(3)y′＝x′ex－exx·2ex′ ＝1－ex x. (4)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11.
高中数学 1.2.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件3 新人教A版选修22
其 这中种商P为0品t的=0价时格的上物涨价的.假速定度某大种约商是品多的少(精=1确,那P到0么0.在01第)?10个年头,
解: p(t)=1.05tln1.05, p(10)=1.0510ln1.05≈0.08(元/年).
因此,在第10个年头,这种商品(shāngpǐn) 的价格约以0.08元/年的速度上涨.
例3
日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的 提高,所需净化费用不断(bùduàn)增加.已知将1吨水净化到 纯净度为x%时所需费用(单位:元)为
cx 5 284 80 x 100
100 x
求净化到下列(xiàliè)纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率.
(1) 90%;
(2) 98%.
第八页，共16页。
解： 净化费用的瞬时变化率就是(jiùshì)净化费用函数
c'x
5284 100 x
'
5284'100
x 5284 100 x2
100
x'
0 100 x 5284 100 x2
1
5284
100 x2
1因为c'90
5284
100 902
52.84,
所以(suǒyǐ),纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
第三页，共16页。
思考(sī如kǎ果o)上式中某中商品的p0=5,那么在第10个年
头,这种商品的价格上涨的速度大约(dàyuē)是多少?
当p0=5时,p(t)=5×1.05t 求p关于t导数可以看成(kàn chénɡ)求函数 f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数.
如何求?
第四页，共16页。
所以(suǒyǐ)，函数y=x3-2x+3的导数是 y=3x2-2.
解: p(t)=1.05tln1.05, p(10)=1.0510ln1.05≈0.08(元/年).
因此,在第10个年头,这种商品(shāngpǐn) 的价格约以0.08元/年的速度上涨.
例3
日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的 提高,所需净化费用不断(bùduàn)增加.已知将1吨水净化到 纯净度为x%时所需费用(单位:元)为
cx 5 284 80 x 100
100 x
求净化到下列(xiàliè)纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率.
(1) 90%;
(2) 98%.
第八页，共16页。
解： 净化费用的瞬时变化率就是(jiùshì)净化费用函数
c'x
5284 100 x
'
5284'100
x 5284 100 x2
100
x'
0 100 x 5284 100 x2
1
5284
100 x2
1因为c'90
5284
100 902
52.84,
所以(suǒyǐ),纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
第三页，共16页。
思考(sī如kǎ果o)上式中某中商品的p0=5,那么在第10个年
头,这种商品的价格上涨的速度大约(dàyuē)是多少?
当p0=5时,p(t)=5×1.05t 求p关于t导数可以看成(kàn chénɡ)求函数 f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数.
如何求?
第四页，共16页。
所以(suǒyǐ)，函数y=x3-2x+3的导数是 y=3x2-2.
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.2.2课时)
新知探究
例7
x+3
求y = 2
在点x = 3处的导数.
x +3
2
1
(
x
3) ( x 3) 2 x
'
解：y
( x 2 3) 2
x2 6 x 3
( x 2 3) 2
9 18 3 24
1
y |x 3
2
(9 3)
144
6
'
新知探究
2.导数的运算法则
1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′
2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′
f x f′
x g x - f x g′
x
3.
g x 0
′=
2
g x
新知探究
名词解释
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数
为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
y x′= y u′
u x′.
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即
(u v) u v
新知探究
1.和(或差)的导数
(u v) u v
证明： y f ( x) u( x) v( x)
u ( x x) u ( x) v( x x) v( x)
《1.2.2基本初等函数的导数公式(二)》课件-优质公开课-人教A版选修2-2精品
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
1．应用导数的运算法则应注意的问题 (1) 对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数 定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即 可．
(2)对于和差的导数运算法则，此法则可推广到任意有限
f x f′x gx′＝g′x这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函
数积与商的求导公式中符号的异同， 积的导数法则中是“＋”， 商的导数法则中分子上是“－”．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
2 [提示 1] f′(x)＝2x，g′(x)＝－x2.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
[问题2]
试求F(x)＝f(x)＋g(x)的导数．
2
2 2 2 x＋Δx ＋ －x ＋x x＋Δx Δy [提示 2] Δx＝ Δx
复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)， u＝g(x)的导 yu ′·u__________ 数 间 的 关 系 为 yx ′ ＝ .即y对x的y 导 等于 对数 u的导数 x′ 与u对x的导数的乘积 ____________ ____________________．
数学 选修2-2
答案：
A
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
2．函数y＝sin x· cos x的导数是( A．y′＝cos2x＋sin2x
学年高中数学1222基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2课件新人教A版选修
1.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则(二)
（复合函数的求导法则）
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1
学习目标：
• 1．了解复合函数的定义，并能写出简单 函数的复合过程；
• 2．掌握复合函数的求导方法，并运用求 导方法求简单的复合函数的导数．
编辑ppt
2
• 本节重点： • ①导数公式和导数运算法则的应用． • ②复合函数的导数．
－1 B.2x xcos x
C．－2x1
xcos
1 x
11 D.2x xcos x
• [答案] C
()
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17
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18
3．下列函数求导数，正确的个数是
()
①(e2x)′＝e2x ②[(x2＋3)8]′＝8(x2＋3)·2x
③(ln2x)′＝2x ④(a2x)′＝2a2x
A．0
B．1
C．2
B.12(ex＋e－x)
C．ex－e－x
• [答案] A
D．ex＋e－x
[解析] y′＝12(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)′＋12(e－x)′
＝12ex＋12e－x(－x)′
＝12ex－12e－x＝12(ex－e－x)编，辑p故pt 应选 A.
()
16
2．已知
f(x)＝sin
1 ，则 x
f′(x)＝
1 A.2x xcos x
编辑ppt
5
[解析] ①y＝au，u＝3x＋2
③y＝log2u，u＝x2－2x＋3 ④y＝sinu，u＝x2＋1 ⑤y＝eu，u＝x2－2
编辑ppt
6
[例 2] 求下列函数的导数 (1)y＝(3x－2)2 (2)y＝ln(6x＋4) (3)y＝e2x＋1 (4)y＝ 2x－1 (5)y＝sin3x－4π (6)y＝cos2x
（复合函数的求导法则）
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1
学习目标：
• 1．了解复合函数的定义，并能写出简单 函数的复合过程；
• 2．掌握复合函数的求导方法，并运用求 导方法求简单的复合函数的导数．
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2
• 本节重点： • ①导数公式和导数运算法则的应用． • ②复合函数的导数．
－1 B.2x xcos x
C．－2x1
xcos
1 x
11 D.2x xcos x
• [答案] C
()
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17
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18
3．下列函数求导数，正确的个数是
()
①(e2x)′＝e2x ②[(x2＋3)8]′＝8(x2＋3)·2x
③(ln2x)′＝2x ④(a2x)′＝2a2x
A．0
B．1
C．2
B.12(ex＋e－x)
C．ex－e－x
• [答案] A
D．ex＋e－x
[解析] y′＝12(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)′＋12(e－x)′
＝12ex＋12e－x(－x)′
＝12ex－12e－x＝12(ex－e－x)编，辑p故pt 应选 A.
()
16
2．已知
f(x)＝sin
1 ，则 x
f′(x)＝
1 A.2x xcos x
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5
[解析] ①y＝au，u＝3x＋2
③y＝log2u，u＝x2－2x＋3 ④y＝sinu，u＝x2＋1 ⑤y＝eu，u＝x2－2
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6
[例 2] 求下列函数的导数 (1)y＝(3x－2)2 (2)y＝ln(6x＋4) (3)y＝e2x＋1 (4)y＝ 2x－1 (5)y＝sin3x－4π (6)y＝cos2x
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我们无法用求 现函 y 有 数 ln 的 x2方 的法 导 . 数
下,面 我们先分析结 这构 个 .特 函点 数的
若 设 ux2x2,则ylnu.从 而 ylnx2 可 以 看 成 y是 lnu和 由 ux2x2经 过 "复
合"得到,即 的 y可以通过中 u表间示变为量自 x 变
的函. 数
如果 y与 把 u的关系 y记 fu,作 u和 x的关系记 ugx,那么"这 复个 "合 过程可表示为 yfufgxlnx2.
我们遇到的许多 可函 以数 看都 成是由两 经个 过函
"复合 "得到,的 例如 ,函数 y2x32由yu2和u
220x20/7/138 "复合 "而成 ,等等 .
一般,地 对于两个函 y数 fu和ugx,如果通过
变量 u,y可以表示x的 成函,数 那么称这个函数为
数yfu和ugx的复合函数 (composfuitne ctio)n,记作 yfgx. 复合 yf函 g x的 数导数 yfu 和 ,ug 函 x的数
1 90 % ; 2 98 % .
2020/7/18
解 净化费用的瞬时变 就化 是率 净化费
用函数的导 . 数
c'x150208x4'
5
2 '8 14 0 x0 52 1 80 4 x'0 10 x2 0
01
0 x0 5 28 1 4 5284
1 0 x0 2
100 x2
.
1因为c' 90
5284
0.0x5 1 的复.由合 复合函数函 求导法数 则有
y'x yu' u'x e u' 0 .0x5 1 '
2020/ 7/18 0 .0 e u 5 0 .0 e 0 .0 5 x 5 1 .
3 .若 fx sx ,i则 n f'x cx o ; s 4 .若 fx cx , o 则 f'x s sx ;in
5 .若 fx a x , 则 f'x a x la n ;
பைடு நூலகம்
6 .若 fx e x ,则 f'x e x ;
7 .若 fxloax g ,则 f'xxl1 n a;
例4 求下列函数的导数
1y2x32; 2 ye0.05x1;
3ysinπxφ其中 π,φ均为常.数
解1函y数 2x32可以看y作 u3和 函数
u2x3的复合 .由复函 合函数求数 导法则有
y'x yu' u'x u2'2x3' 4u8x1.2
2函y数 e0.0x5 1可以看 ye 作 u和 u函 数
p't1.05t ln1.05.
所 , p ' 1 1 以 . 0 0 1 l1 n 0 . 5 0 0 . 0 5 元 / 年 8 .
因此 ,在第 10个年,头 这种商品的价格约以 0.08元/年的速度上 . 涨
思考 如果上式中p 某 05 种 ,那商 么品 1 在 0 个 的 第 2年 020/7/18,头 这种商品的速 价度 格大 上约 涨 ?是 的多
1.2.2 基本初等函数的导数式公 及导数的运算法则
2020/7/18
2020/7/18
为了方便
,
今后我们
可以直接
使用下面
的基本初
等函数的
导数公式
表.
基本初等函数的导数公 式
1 .若 fx c ,则 f'x 0 ;
2 . 若 f x x n n N , 则 f ' x n n 1 ;x
100902
5 2.8 4,
所以,纯净度为 90%时,费用的瞬时变化率
是5 2020/7/18 5.84元/吨.
2因为c' 98
5284
100982
1321,
所以,纯净度为 98%时,费用的瞬时变化率
是1321元/吨.
函数 fx 在某点处的导数的大小 表示函数
在此点附近变化的快慢 .由上述 计算可知,
8. 若 fxln x,则 f'x1.
2020/7/18
x
例1 假 设 某 国 家 20在 年 期 间 的 年 通胀货 率膨 为
5%物 , 价p单 位:元与 时 t间 单 位:年有 如 下 函 数
关 系ptp015%t,其 中p0为t 0时 的 物.假 价
定 某 商 品p0的 1,那 么 在1第 0个 年,头 这 种 商 品 的 的 价 格 上 涨 的 速是度多大(少精 约确0到.01)? 解 根据基本初等函数 公导 式数 表 ,有
当p0 5时,pt51.05t.这时 ,求p关于 t的导 数可以看成求 ft函 5数 与gt1.05t 乘积
的导.数 下面"的 导数运算"法 可则 以帮助我们 决两个函数加、、减除、的乘求导. 问题
导数运算法则
1 . f x g x ' f 'x g 'x ;
2 . f x g x ' f ' x g x f x g ' x ;
2020/7/18
例 3 日常生活中的饮用水 通常是 经过 净化的 .随着水 纯净度的提高 , 所需净化费 用不断增加 .已知将 1吨水净 化到纯净度为 x %时所需费
用 单位 : 元 为
c x 5284 80 x 100 .求净化到下纯度
100 x 时 , 所需净化费用的瞬时变 化率 :
导数间 y'x 的 yu ' u 'x.关系为
y'x表示y对x的导数 即 y对 x的导数 y对 u 等 的于 导u数 对 x的 与导数. 的
由此,y可 ln 3 得 x2对 x的导数 yln 等 u对 u的 于
导数 u3 与 x2对 x的导数 ,即 的乘积
20y20'x/7/ 18 yu ' u'xln u' 3x2' 1 u33x3 2.
3 . g fx x 'f'x g x g x f2 x g 'x g x 0 .
2020/7/18
例2 根据基本初数等的函导数公式 和导数运算,求 法函 则数 yx3 2x 3的 导 .数
解因y 为 ' x32x3' x3' 2x' 3'
3x22. 所以 ,函数 yx32x3的导数是 y' 3x22.
c' 98 25c' 90.它表示纯净度为98%左
右时净 化费用的变化率 ,大约是纯 净 度为
90% 左右时净化费用变化率 的25 倍 .这说
明,水 的 纯 净 度 越 高,需 要 的 净 化 费 用 就 越,多
而 且 净 化 费 用 增 加 的 速 度 也 越 快.
2020/7/18
思如 考何 y l求 n x 2 的 函导 数 ? 数
下,面 我们先分析结 这构 个 .特 函点 数的
若 设 ux2x2,则ylnu.从 而 ylnx2 可 以 看 成 y是 lnu和 由 ux2x2经 过 "复
合"得到,即 的 y可以通过中 u表间示变为量自 x 变
的函. 数
如果 y与 把 u的关系 y记 fu,作 u和 x的关系记 ugx,那么"这 复个 "合 过程可表示为 yfufgxlnx2.
我们遇到的许多 可函 以数 看都 成是由两 经个 过函
"复合 "得到,的 例如 ,函数 y2x32由yu2和u
220x20/7/138 "复合 "而成 ,等等 .
一般,地 对于两个函 y数 fu和ugx,如果通过
变量 u,y可以表示x的 成函,数 那么称这个函数为
数yfu和ugx的复合函数 (composfuitne ctio)n,记作 yfgx. 复合 yf函 g x的 数导数 yfu 和 ,ug 函 x的数
1 90 % ; 2 98 % .
2020/7/18
解 净化费用的瞬时变 就化 是率 净化费
用函数的导 . 数
c'x150208x4'
5
2 '8 14 0 x0 52 1 80 4 x'0 10 x2 0
01
0 x0 5 28 1 4 5284
1 0 x0 2
100 x2
.
1因为c' 90
5284
0.0x5 1 的复.由合 复合函数函 求导法数 则有
y'x yu' u'x e u' 0 .0x5 1 '
2020/ 7/18 0 .0 e u 5 0 .0 e 0 .0 5 x 5 1 .
3 .若 fx sx ,i则 n f'x cx o ; s 4 .若 fx cx , o 则 f'x s sx ;in
5 .若 fx a x , 则 f'x a x la n ;
பைடு நூலகம்
6 .若 fx e x ,则 f'x e x ;
7 .若 fxloax g ,则 f'xxl1 n a;
例4 求下列函数的导数
1y2x32; 2 ye0.05x1;
3ysinπxφ其中 π,φ均为常.数
解1函y数 2x32可以看y作 u3和 函数
u2x3的复合 .由复函 合函数求数 导法则有
y'x yu' u'x u2'2x3' 4u8x1.2
2函y数 e0.0x5 1可以看 ye 作 u和 u函 数
p't1.05t ln1.05.
所 , p ' 1 1 以 . 0 0 1 l1 n 0 . 5 0 0 . 0 5 元 / 年 8 .
因此 ,在第 10个年,头 这种商品的价格约以 0.08元/年的速度上 . 涨
思考 如果上式中p 某 05 种 ,那商 么品 1 在 0 个 的 第 2年 020/7/18,头 这种商品的速 价度 格大 上约 涨 ?是 的多
1.2.2 基本初等函数的导数式公 及导数的运算法则
2020/7/18
2020/7/18
为了方便
,
今后我们
可以直接
使用下面
的基本初
等函数的
导数公式
表.
基本初等函数的导数公 式
1 .若 fx c ,则 f'x 0 ;
2 . 若 f x x n n N , 则 f ' x n n 1 ;x
100902
5 2.8 4,
所以,纯净度为 90%时,费用的瞬时变化率
是5 2020/7/18 5.84元/吨.
2因为c' 98
5284
100982
1321,
所以,纯净度为 98%时,费用的瞬时变化率
是1321元/吨.
函数 fx 在某点处的导数的大小 表示函数
在此点附近变化的快慢 .由上述 计算可知,
8. 若 fxln x,则 f'x1.
2020/7/18
x
例1 假 设 某 国 家 20在 年 期 间 的 年 通胀货 率膨 为
5%物 , 价p单 位:元与 时 t间 单 位:年有 如 下 函 数
关 系ptp015%t,其 中p0为t 0时 的 物.假 价
定 某 商 品p0的 1,那 么 在1第 0个 年,头 这 种 商 品 的 的 价 格 上 涨 的 速是度多大(少精 约确0到.01)? 解 根据基本初等函数 公导 式数 表 ,有
当p0 5时,pt51.05t.这时 ,求p关于 t的导 数可以看成求 ft函 5数 与gt1.05t 乘积
的导.数 下面"的 导数运算"法 可则 以帮助我们 决两个函数加、、减除、的乘求导. 问题
导数运算法则
1 . f x g x ' f 'x g 'x ;
2 . f x g x ' f ' x g x f x g ' x ;
2020/7/18
例 3 日常生活中的饮用水 通常是 经过 净化的 .随着水 纯净度的提高 , 所需净化费 用不断增加 .已知将 1吨水净 化到纯净度为 x %时所需费
用 单位 : 元 为
c x 5284 80 x 100 .求净化到下纯度
100 x 时 , 所需净化费用的瞬时变 化率 :
导数间 y'x 的 yu ' u 'x.关系为
y'x表示y对x的导数 即 y对 x的导数 y对 u 等 的于 导u数 对 x的 与导数. 的
由此,y可 ln 3 得 x2对 x的导数 yln 等 u对 u的 于
导数 u3 与 x2对 x的导数 ,即 的乘积
20y20'x/7/ 18 yu ' u'xln u' 3x2' 1 u33x3 2.
3 . g fx x 'f'x g x g x f2 x g 'x g x 0 .
2020/7/18
例2 根据基本初数等的函导数公式 和导数运算,求 法函 则数 yx3 2x 3的 导 .数
解因y 为 ' x32x3' x3' 2x' 3'
3x22. 所以 ,函数 yx32x3的导数是 y' 3x22.
c' 98 25c' 90.它表示纯净度为98%左
右时净 化费用的变化率 ,大约是纯 净 度为
90% 左右时净化费用变化率 的25 倍 .这说
明,水 的 纯 净 度 越 高,需 要 的 净 化 费 用 就 越,多
而 且 净 化 费 用 增 加 的 速 度 也 越 快.
2020/7/18
思如 考何 y l求 n x 2 的 函导 数 ? 数