2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件：11.3 几何概型(共52张PPT)
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2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件：7.5 直线、平面垂直的判定及其性质
命题及平行关系综合在一起考查，难度较小；
2.线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现，且
常与平行关系综合命题，难度中等；
3.通过求线面角，或与几何体的体积结合在一起命题，进而考查 学生的空间想象能力和运算能力，常以解答题的形式出现.
1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 任意 条件：直线l与平面α 内的_____一条直线都垂直. 结论：直线l与平面α 垂直.
①求证：PC⊥平面BDE；
②若点Q是线段PA上任一点，判断BD、DQ的位置关系，并证明
你的结论；
③若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.
【解题指南】(1)根据线面平行、垂直的判定定理来判断. (2)①利用线面垂直的判定定理证明；②证明BD⊥平面PAC即可； ③根据VB-CED=VC-BDE，转化为求S△BDE及CE的长度.
如图，过二面角α -l-β 的棱l上一点O在两 ∠AOB 个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l,则_______ 就叫做二面角α -l-β 的平面角. ③平面角的范围： 设二面角的平面角为θ ，则θ ∈［0,π ］.
(2)平面与平面垂直
①定义： 直二面角 条件：两相交平面所成的二面角为_________. 结论：这两平面垂直.
2
【即时应用】 (1)思考：如果两直线与一个平面所成的角相等，则这两直线 一定平行吗？ 提示：不一定.这两直线的位置关系可能平行、相交或异面.
(2)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，B1C与
平面A1B1C1D1所成的角为_______，其大小
为_____；D1B与平面ABCD所成的角的正弦 值为_____. 【解析】B1C与平面A1B1C1D1所成的角为∠CB1C1，其大小为 45°；连接BD，则D1B与平面ABCD所成的角为∠D1BD，其正弦 值为
【全程复习方略】(浙江专用)2013版高考数学 小专题复习课 热点总结与强化训练(六)配套课件 理 新人教A版
n件，其中恰有X件次品，则
PX
k
C C k nk M NM CnN
,
k
0,1,，m, m
min M,
n，其中n≤N,M≤N,M，
N∈N*.称这种形式的概率分布为超几何分布，称X服从超几何分布.
2.求离散型随机变量期望、方差的常用方法
3.条件概率：称 PB | A PAB 为在事件A发生的条件下，事件
4.(2011·湖南高考）若执行如图所示的框图，输入x1=1,x2=2, x3=3, x =2,则输出的数等于____.
【解题指南】先读懂框图的逻辑顺序，然后进行计算，其中判
断i<3是否成立是解答本题的关键,本题实质是求数据x1,x2,x3的 方差.
【解析】根据框图可知是求x1=1,x2=2,x3=3的方差，即
14 ）,
27
P(ξ=3)=
C13C24C12 34
4（或P 3
9
C24A33 34
4 ）. 9
综上知，ξ有分布列
ξ
1
2
3
P
1 27
14 27
4 9
从而有E(ξ)= 1 1 2 14 3 4 65 .
3
从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，
恰有2人申请A片区房源概率为
P
C（24
1 3
）（2
2 3
）2
8. 27
（2）ξ的所有可能值为1，2，3.又
P（ξ=1）=
3 34
1, 27
P(ξ=2)=
C32 (C12C34 C24C22 ) 34
《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习11-12章课件12-1几何证明选讲
第十二章 选考部分
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
三、不等式选讲(理) 1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式． 2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几 何意义证明以下不等式： (1)|a＋b|≤|a|＋|b|； (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；
第十二章 选考部分
夯实基础 稳固根基 一、平行线分线段成比例定理 1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上 截得线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． ⇒1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分 第三边． ⇒2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一 腰．
第十二章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
第十二章 选考部分
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
(4)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极 点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系 和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选 择适当坐标系的意义．
(5)借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬 度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方 法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会 它们的区别．
第十二章 选考部分
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
二、坐标系与参数方程 1．坐标系 (1)回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐 标系的作用． (2)通过具体例子，了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用 下平面图形的变化情况． (3)能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标 系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和 直角坐标的互化．
第十二章 选考部分
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
三、不等式选讲(理) 1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式． 2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几 何意义证明以下不等式： (1)|a＋b|≤|a|＋|b|； (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；
第十二章 选考部分
夯实基础 稳固根基 一、平行线分线段成比例定理 1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上 截得线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． ⇒1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分 第三边． ⇒2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一 腰．
第十二章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
第十二章 选考部分
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
(4)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极 点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系 和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选 择适当坐标系的意义．
(5)借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬 度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方 法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会 它们的区别．
第十二章 选考部分
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
二、坐标系与参数方程 1．坐标系 (1)回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐 标系的作用． (2)通过具体例子，了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用 下平面图形的变化情况． (3)能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标 系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和 直角坐标的互化．
第十二章 选考部分
2013版高中全程复习方略配套课件：2.10函数模型及其应用(数学文人教A版湖南专用)(共58张PPT)
16
数)，如图所示，根据图中提供的信息，求从药物释放开始， 每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关 系式为_____________.
【解题指南】(1)根据题意列出关系式，建立函数模型，然后求 解. (2)结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式. 【规范解答】 (1)选A.设售价定为x元，利润为y元，则 y=(x-80)[400-20(x-90)](x≥90)
个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒. E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点. 设AE=FB=x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值?并 求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【解题指南】解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示 成x的函数，然后根据二次函数的最值求法和导数法求解.
第十节 函数模型及其应用
三年3考 高考指数:★★ 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线 上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等 在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
1.函数模型的应用是高考考查的重点. 2.建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点，常与导数、 均值不等式、函数的单调性、最值等交汇命题，主要考查建模 能力及分析问题和解决问题的能力. 3.选择题、填空题、解答题三种题型都有所涉及，但以解答题 为主.
(4)对数函数模型:y=mlogax+n(a＞0,a≠1,m≠0)型，增长特点 是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a＞1, m＞0). (5)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0)型，其中最常见的是二次函 数模型:_y_=_a_x_2+_b_x_+_c_(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函 数值先减小，后增大(a＞0).
数)，如图所示，根据图中提供的信息，求从药物释放开始， 每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关 系式为_____________.
【解题指南】(1)根据题意列出关系式，建立函数模型，然后求 解. (2)结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式. 【规范解答】 (1)选A.设售价定为x元，利润为y元，则 y=(x-80)[400-20(x-90)](x≥90)
个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒. E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点. 设AE=FB=x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值?并 求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【解题指南】解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示 成x的函数，然后根据二次函数的最值求法和导数法求解.
第十节 函数模型及其应用
三年3考 高考指数:★★ 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线 上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等 在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
1.函数模型的应用是高考考查的重点. 2.建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点，常与导数、 均值不等式、函数的单调性、最值等交汇命题，主要考查建模 能力及分析问题和解决问题的能力. 3.选择题、填空题、解答题三种题型都有所涉及，但以解答题 为主.
(4)对数函数模型:y=mlogax+n(a＞0,a≠1,m≠0)型，增长特点 是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a＞1, m＞0). (5)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0)型，其中最常见的是二次函 数模型:_y_=_a_x_2+_b_x_+_c_(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函 数值先减小，后增大(a＞0).
高三数学,一轮复习人教A版 , 第十一章 11.3,几何概型 课件
3－1 1 P(BM<1)＝ ＝ 2 . 1＋ 3
思维升华
求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模 型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的 不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).
跟踪训练1
(1)(2016· 全国乙卷改编)某公司的班车在7：00，8：00，
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ )
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取
一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ )
答案 解析
40－15 5 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 40 ＝8.
π π 1 (2)在区间[－2， 则 cos x 的值介于 0 到2之间的概率 2]上随机取一个数 x， 1 为____. 3
答案 解析
π π 1 当－2≤x≤2时，由 0≤cos x≤2， π π π π 得－2≤x≤－3或3≤x≤2，
x－2 (2)已知集合A＝{x|－1<x<5}，B＝ x >0 3－x
，在集合A中任取一
1 6 个元素x，则事件“x∈(A∩B)”的概率是___.
8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达 1 发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是___. 2
答案 解析
如图所示，画出时间轴.
小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间 落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过 10分钟，根据 10＋10 1 几何概型得所求概率P＝ . ＝ 40 2
思维升华
求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模 型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的 不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).
跟踪训练1
(1)(2016· 全国乙卷改编)某公司的班车在7：00，8：00，
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ )
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取
一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ )
答案 解析
40－15 5 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 40 ＝8.
π π 1 (2)在区间[－2， 则 cos x 的值介于 0 到2之间的概率 2]上随机取一个数 x， 1 为____. 3
答案 解析
π π 1 当－2≤x≤2时，由 0≤cos x≤2， π π π π 得－2≤x≤－3或3≤x≤2，
x－2 (2)已知集合A＝{x|－1<x<5}，B＝ x >0 3－x
，在集合A中任取一
1 6 个元素x，则事件“x∈(A∩B)”的概率是___.
8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达 1 发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是___. 2
答案 解析
如图所示，画出时间轴.
小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间 落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过 10分钟，根据 10＋10 1 几何概型得所求概率P＝ . ＝ 40 2
2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件：6.1 不等关系与不等式(共51张PPT)
大于等于， 小于等于， 至少，不 至多，不 低于 超过
＞
＜
≥
≤
【例1】某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要
在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所 需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为 2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400 和500.写出满足上述所有不等关系的不等式. 【解题指南】这是一个二元不等关系的实际应用题，只需设出 两个变量，依据题目所述条件逐一用不等式表示，然后组成不
∴
1 1 ＞ , 10 3 11 10
故 10 3＞ 11 10. (2)∵0＜a＜b,∴ b ＞1＞ a ＞0, 又c＞0,
b 故 b c ＞1, a c ＜1， b c ＞ a c . 故 ac bc ac bc a
答案：(1) 10 3＞ 11 10 (2) b c ＞ a c
低于”、“至少”、“至多”等关键词外，还应考虑变量的实
际意义，即变量的取值范围.
比较大小
【方法点睛】比较大小的常用方法
(1)作差法 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是 变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式 或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方 再作差.
ac bc
用不等式(组)表示不等关系
【方法点睛】实际应用中不等关系与数学语言间的关系
将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关
键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换，常见的文字 语言有大于、不低于、超过、至少等.其转换关系如下表.
文字 语言 符号 语言
大于, 高于, 超过
小于, 低于, 少于
2013版高中全程复习方略配套课件：小专题复习课 热点总结与强化训练(三)(人教A版·数学理)浙江专用
(k,m是常数)
2.数列求和的常见方法 (1)直接用等差、等比数列的求和公式求和. (2)错位相减法求和：如{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求 a1b1+a2b2 +...+anbn 的和. (3)分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或 等比数列，再求和. (4)并项求和：如求1002-992+982-972+…+22-12的和.
热点总结与强化训练(三)
【热点1】线性规划在高考中的应用
1.本热点在高考中的地位 线性规划是沟通几何知识与代数知识的重要桥梁，是数形结合、 分类讨论、化归等重要思想的集中体现.尤其是它的考查联系了 解析几何、函数、不等式、方程等知识，因而线性规划问题已成 为近几年高考的热点问题，在高考中占有重要的地位.
72,
0 y 7,
x,y
N.
设每天的利润为m元，则m=450x+350y，
如图阴影部分中的整点为该不等式组表示的可行域，
作直线9x+7y=0，平移直线,当过点A（7,5）时，m取最大值，
故z=450×7+350×5=4 900.故选C.
9.(2011·陕西高考）如图所示，点(x，y)在四边形ABCD内部和边
界上运动，那么2x－y的最小值为
．
【解析】由图象知函数在点A(1,1)时，
2x－y＝1；在点B( 3, 2)时， 2x－y＝2 3- >21；在点C( ，51)时， 2x－y＝2 5－1＞1；在点D(1,0)时， 2x－y＝2－0＝2>1，故最小值为1.
答案：1
【热点2】数列通项及前n项和的公式及求法在高考中的应用
【解析】选B.可行域如图所示
【全程复习方略】(广西专用)2013版高中数学 11.1随机事件的概率配套课件 理 新人教A版
(1)“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？ (2)“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？ (3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件，它的概率是多 少？
【解题指南】判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事 件，主要是依据在一定条件下，所要求的结果是否一定出现、 不可能出现或可能出现也可能不出现．
【即时应用】 (1)思考：事件的频率与概率一样吗？ 提示:事件的频率与概率有本质上的区别，不可混为一谈.频率 是随着试验次数的改变而改变的，概率却是一个常数，它是频 率的科学抽象，不是频率的极限，只是在大量重复试验中事件 出现频率的稳定值.
(2)甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概 率为0.5，那么甲不输的概率是______. 【解析】P＝0.3＋0.5＝0.8. 答案：0.8
【即时应用】
(1)判断下列试验是否构成事件.(请在括号中填写“是”或
“否”)
①掷一次硬币
()
②标准大气压下，水烧至100℃
()
③买彩票中头奖
()
(2)判断下列事件是否是随机事件.(请在括号中填写“是”或
“否”)
①当x是实数时，x－|x|＝2；
()
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
()
③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，
mn
概率P(A)=__n_.
【即时应用】 (1)思考：随机事件确定为等可能性事件，应具备的特点是什 么？ 提示：①有限性，②等可能性．
(2)在两个袋中各装有分别写着0，1，2，3，4，5的6张卡片.
今从每个袋中任取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和恰
为7的概率为_______.
【解析】P= 4
【解题指南】判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事 件，主要是依据在一定条件下，所要求的结果是否一定出现、 不可能出现或可能出现也可能不出现．
【即时应用】 (1)思考：事件的频率与概率一样吗？ 提示:事件的频率与概率有本质上的区别，不可混为一谈.频率 是随着试验次数的改变而改变的，概率却是一个常数，它是频 率的科学抽象，不是频率的极限，只是在大量重复试验中事件 出现频率的稳定值.
(2)甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概 率为0.5，那么甲不输的概率是______. 【解析】P＝0.3＋0.5＝0.8. 答案：0.8
【即时应用】
(1)判断下列试验是否构成事件.(请在括号中填写“是”或
“否”)
①掷一次硬币
()
②标准大气压下，水烧至100℃
()
③买彩票中头奖
()
(2)判断下列事件是否是随机事件.(请在括号中填写“是”或
“否”)
①当x是实数时，x－|x|＝2；
()
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
()
③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，
mn
概率P(A)=__n_.
【即时应用】 (1)思考：随机事件确定为等可能性事件，应具备的特点是什 么？ 提示：①有限性，②等可能性．
(2)在两个袋中各装有分别写着0，1，2，3，4，5的6张卡片.
今从每个袋中任取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和恰
为7的概率为_______.
【解析】P= 4
【全程复习方略】(湖北专用)2013版高中数学 小专题复习课 热点总结与强化训练(一)课件 文 新人教A版
)
(D)既不充分也不必要条件
【解析】选A.若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题 q的充分不必要条件； 条件p:a2+a≠0，即为a≠0且a≠-1,
故条件p:a2+a≠0是条件q:a≠0的充分不必要条件.
故选A.
热点2
导数的应用
1.本热点在高考中的地位.
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而 函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数 的应用的考查都非常突出.
1.导数的几何意义： 对可导函数y=f(x)来说，f′(x0)表示(f(x)的图象)在x=x0
处的切线的斜率.
2.利用导数判断函数的单调性
在区间(a,b)上f′(x)＞0⇒f(x)在(a,b)上是单调增函数.
f′(x)＜0⇒f(x)在(a,b)上是单调减函数.
3.可导函数f(x)满足：当x＜x0时，f′(x)＞0，当x＞x0时， f′(x)＜0，则x0是函数f(x)的极大值点，f(x0)是f(x)的一个极 大值. 4.若f(x)在［a,b］上连续，则可以通过比较f(a)、f(b)及 f(x)的各个极值的大小，确定f(x)在［a,b］上的最大(最小)值.
2.本热点在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对充要条件的考查主要有以下三种方式： (1)判断条件的充要性，(2)求充要条件，(3)条件充要性的应
用，如已知充要关系，求参数的范围等.
1.判断条件充要性的关键点 若判断p是q的充要条件，就需要严谨推证两个命题： p⇒q,q⇒p;若判断p不是q的充要条件，则往往用举反例的方法. 2.充要条件的求解(证明)方法
(A)充分而不必要条件 (C)充要条件
【解析】选A.由(a-1)(a-2)=0得a=1或a=2， 所以a=2⇒(a-1)(a-2)=0，
2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件：5.3 等比数列及其前n项和(共53张PPT)
∵当x=
∴函数f(x)的解析式为f(x)=3sin(2x+ p ).
6
【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新 点拨和备考建议： 本题有以下创新点： 创 新
(1)考查内容上有所创新，等比数列和三角函数两部分知识
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c·qn(c，q均是不 为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列. (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数 且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列. 【提醒】前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选 择、填空题中的判定.
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(2)由(1)可得bn=an+1-2an=3·2n-1,
a n+ 1 a n 3 - n= , n+ 1 2 2 4 3 a ∴数列 { n } 是首项为 1 ， 公差为 的等差数列. 4 2n 2 a 1 3 3 1 \ n = + (n - 1) = n - , 2n 2 4 4 4 \
a n = (3n - 1)2n- 2.
【例2】设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列.
an (2)在(1)的条件下证明 { n }是等差数列,并求an. 2
【解题指南】(1)利用Sn+1=4an+2，寻找bn与bn-1的关系.
(2)先求bn，再证明数列 { n } 是等差数列，最后求an. n
(A)n(2n-1)
(B)(n+1)2
(C)n2
(D)(n-1)2
【解题指南】(1)利用a1·a2·a3,a4·a5·a6,a7·a8·a9成等比 数列求解. (2)根据a5·a2n-5=an2先求an，再代入求解. 【规范解答】(1)选A.∵a1·a2·a3,a4·a5·a6,a7·a8·a9成等
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点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概
率为_____________.
(2)在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD与 线段AB交于点D，则AD<AC的概率为___________. 【解题指南】(1)问题可转化为：直径上到圆心O的距离小于 1
2
的点构成的线段长与直径长之比.(2)要使AD<AC，可先找到 AD=AC时∠ACD的度数，再求出相应区域的角，利用几何概型的 概率公式求解即可.
4 16 16
13 答案： 16
【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以
得到以下误区警示和备考建议：
误 区 警 示
在解答本题时易出现以下两个错误： (1)错填
3 1 或 ，原因是不能将事件分解成两个事件 4 16
的和；
(2)把事件对应的区域误认为是长度问题，导致错误.
解决几何概型问题时，还有以下几点容易造成失分，
3
S四边形ABCD×h= 1 ,
6
又S四边形ABCD=1，∴h= 1 .
2
若体积小于 1 , 则h< 1 ，即点M在正方体的下半部分，
6 2
1 V正方体 1 ∴P= 2 . V正方体 2
答案: 1
2
【反思·感悟】对于几何图形中的几何概型问题，寻求事件构 成区域的关键是先找出符合题意的临界位置，如本例(1)中 “在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为1的直线 构成小等边三角形”；(2)中先找出满足条件时临界值M的位置， 再寻求事件构成的区域.
【规范解答】(1)记事件A为“弦长超过
圆内接等边三角形的边长”，如图，不 妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE 上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦 为CD时，就是等边三角形的边长，弦长 大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小 于OF(此时F为OE的中点)，
1 2 1 由几何概型概率公式得：P(A)= 2 . 2 2 1 答案: 2
【即时应用】 (1)有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取
0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是_______.
(2)在平面直角坐标系xOy中，设F是横坐标与纵坐标的绝对值
均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构
成的区域，向F中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是 _________. (3)在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋ 3 m ＋1＝0无实根}中
2.与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大 小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不
同的度量手段.
【提醒】有时与长度或角度有关的几何概型,题干并不直接给 出,而是将条件隐藏,与其他知识综合考查.
【例1】(1)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个
4
随机地取一元素m，恰使式子lgm有意义的概率为_______.
【解析】(1)P＝
0.1 1 ＝ ＝0.05. 2 20
(2)如图：区域F表示边长为4的正方形 ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位
12 ＝ . 圆及其内部，因此P＝ 4 4 16 (3)由于Δ＝m2－4( 3 m ＋1)<0，得－1<m<4，若使lgm有意 4
(2)判断下列概率模型，是否是几何概型(请在括号中填写“是”
或“否”)
①在区间［－10,10］内任取一个数，求取到1的概率；］内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数 的概率； ( )
③在区间［－10,10］内任取一个整数，求取到大于1而小于2的 数的概率； ( )
④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超 过1 cm的概率. ( )
面区域为M，向区域Ω 上随机投一点A，点A落在区域M内的概率 为P(M)，若0≤m≤1,则P(M)的取值范围为( (A)(0， 2 ］
2
)
(C)［ 2 ，1］
2
2 (D)［ 2 ，1］ 2
(B)(0， 2 ］
【解析】选D.已知直线y=mx+2m过半圆
【解析】①中概率模型不是几何概型，虽然区间［－10,10］ 有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长
度；
②中概率模型是几何概型，因为区间［－10,10］和［－1,1］
上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数
被取到的机会是相等的(满足等可能性). ③中概率模型不是几何概型，因为在区间［－10,10］内的整 数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；
【易错误区】对几何图形认识不清致误 【典例】(2011·江西高考)小波通过做游戏的方式来确定周末 活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大
1 1 于 ， 则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ， 则去打篮 4 2
球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为_____.
【解题指南】根据条件先求出小波周末去看电影的概率，再求
模型,简称几何概型.
(2)特点： 无限多 ①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_______个. 相等 ②等可能性：每个基本事件出现的可能性______.
【即时应用】 (1)思考：古典概型与几何概型有何区别？ 提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等 的，但古典概型的基本事件有有限个，几何概型的基本事件有 无限个.
则使四棱锥M－ABCD的体积小于 1 的概率为________.
6
【解题指南】(1)硬币落下后与格线没有公共点即表示硬币中
心到三角形各边(格线)的距离都大于1，在等边三角形内作三
条与等边三角形三边距离均为1的直线构成小等边三角形，当
硬币的中心在小三角形内时，硬币与三边都无交点，所以硬币
与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问 题. (2)先根据四棱锥M－ABCD体积等于 1 时M的位置，再找出体积
【规范解答】这是一个几何概型问题.设甲、乙两艘船到达码 头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”， 则0≤x≤24,0≤y≤24,要使两船都不需要等待码头空出，当且
仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上,即y－x≥1
或x－y≥2.故所求事件构成集合A={(x,y)|y－x≥1或x－y≥2,
出他去打篮球的概率，易得周末不在家看书的概率. 【规范解答】记“看电影”为事件A，“打篮球”为事件B， “不在家看书”为事件C.
1 1 ( ) 2 ( ) 2 2 1 1 3 ，P(B) 4 1， P(A) 1 1 4 4 1 16
∴P(C)=P(A)+P(B)= 3 1 13 .
【提醒】当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连 续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构 成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.
【例3】(2012·西安模拟)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊
两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的. 如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任 意一艘都不需要等待码头空出的概率. 【解题指南】要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比 乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上.
在备考时要高度关注： 备 考 建 议 (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致 错误； (2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误； (3)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否 等可能性导致错误.
1.(2011·福建高考)如图，矩形ABCD中， 点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随 机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概
④中概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径 为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点 都有可能被投到，故满足无限性和等可能性. 答案：①否 ②是 ③否 ④是
2.几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)=_________________________________________ 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
6
小于 1 时M的位置.
6
【规范解答】(1)记E＝“硬币落下后与格
线没有公共点”，如图所示.小三角形的
边长为 2 3.
∴P(E)＝ S△A BC
S△ABC
3 2 2 3） （ 1 4 . 4 3 2 4 3） （ 4
答案: 1
4
(2)正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M－ABCD的高为h，则 1 ×
义，必须使m>0. 在数轴上表示为 答案：(1)0.05 (2)
16
，故所求概率为 4 .
5
(3) 4
5
与长度(角度)有关的几何概型
【方法点睛】1.与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概
率的计算公式为 P(A)=
构成事件A的区域长度 . 试验的全部结果所构成的区域长度
x∈［0,24］,y∈［0,24］}.
A为图中阴影部分，全部结
果构成集合Ω为边长是24
的正方形.所求概率为
A的面积 P(A)= 的面积 1 1 2 2 24 1 24 2 2 2 2 24 506.5 1 013 . 576 1 152
【反思·感悟】解答本题的关键是把两个时间分别用x，y两个 坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段长度问 题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型几何概 型的问题.
PA 构成事件A的区域体积 . 试验的全部结果所构成的区域体积
【例2】(1)设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角
形的边长都是 4 3 cm.现用直径为2 cm的硬币投掷到此网格
率为_____________.
(2)在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD与 线段AB交于点D，则AD<AC的概率为___________. 【解题指南】(1)问题可转化为：直径上到圆心O的距离小于 1
2
的点构成的线段长与直径长之比.(2)要使AD<AC，可先找到 AD=AC时∠ACD的度数，再求出相应区域的角，利用几何概型的 概率公式求解即可.
4 16 16
13 答案： 16
【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以
得到以下误区警示和备考建议：
误 区 警 示
在解答本题时易出现以下两个错误： (1)错填
3 1 或 ，原因是不能将事件分解成两个事件 4 16
的和；
(2)把事件对应的区域误认为是长度问题，导致错误.
解决几何概型问题时，还有以下几点容易造成失分，
3
S四边形ABCD×h= 1 ,
6
又S四边形ABCD=1，∴h= 1 .
2
若体积小于 1 , 则h< 1 ，即点M在正方体的下半部分，
6 2
1 V正方体 1 ∴P= 2 . V正方体 2
答案: 1
2
【反思·感悟】对于几何图形中的几何概型问题，寻求事件构 成区域的关键是先找出符合题意的临界位置，如本例(1)中 “在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为1的直线 构成小等边三角形”；(2)中先找出满足条件时临界值M的位置， 再寻求事件构成的区域.
【规范解答】(1)记事件A为“弦长超过
圆内接等边三角形的边长”，如图，不 妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE 上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦 为CD时，就是等边三角形的边长，弦长 大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小 于OF(此时F为OE的中点)，
1 2 1 由几何概型概率公式得：P(A)= 2 . 2 2 1 答案: 2
【即时应用】 (1)有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取
0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是_______.
(2)在平面直角坐标系xOy中，设F是横坐标与纵坐标的绝对值
均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构
成的区域，向F中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是 _________. (3)在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋ 3 m ＋1＝0无实根}中
2.与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大 小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不
同的度量手段.
【提醒】有时与长度或角度有关的几何概型,题干并不直接给 出,而是将条件隐藏,与其他知识综合考查.
【例1】(1)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个
4
随机地取一元素m，恰使式子lgm有意义的概率为_______.
【解析】(1)P＝
0.1 1 ＝ ＝0.05. 2 20
(2)如图：区域F表示边长为4的正方形 ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位
12 ＝ . 圆及其内部，因此P＝ 4 4 16 (3)由于Δ＝m2－4( 3 m ＋1)<0，得－1<m<4，若使lgm有意 4
(2)判断下列概率模型，是否是几何概型(请在括号中填写“是”
或“否”)
①在区间［－10,10］内任取一个数，求取到1的概率；］内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数 的概率； ( )
③在区间［－10,10］内任取一个整数，求取到大于1而小于2的 数的概率； ( )
④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超 过1 cm的概率. ( )
面区域为M，向区域Ω 上随机投一点A，点A落在区域M内的概率 为P(M)，若0≤m≤1,则P(M)的取值范围为( (A)(0， 2 ］
2
)
(C)［ 2 ，1］
2
2 (D)［ 2 ，1］ 2
(B)(0， 2 ］
【解析】选D.已知直线y=mx+2m过半圆
【解析】①中概率模型不是几何概型，虽然区间［－10,10］ 有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长
度；
②中概率模型是几何概型，因为区间［－10,10］和［－1,1］
上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数
被取到的机会是相等的(满足等可能性). ③中概率模型不是几何概型，因为在区间［－10,10］内的整 数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；
【易错误区】对几何图形认识不清致误 【典例】(2011·江西高考)小波通过做游戏的方式来确定周末 活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大
1 1 于 ， 则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ， 则去打篮 4 2
球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为_____.
【解题指南】根据条件先求出小波周末去看电影的概率，再求
模型,简称几何概型.
(2)特点： 无限多 ①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_______个. 相等 ②等可能性：每个基本事件出现的可能性______.
【即时应用】 (1)思考：古典概型与几何概型有何区别？ 提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等 的，但古典概型的基本事件有有限个，几何概型的基本事件有 无限个.
则使四棱锥M－ABCD的体积小于 1 的概率为________.
6
【解题指南】(1)硬币落下后与格线没有公共点即表示硬币中
心到三角形各边(格线)的距离都大于1，在等边三角形内作三
条与等边三角形三边距离均为1的直线构成小等边三角形，当
硬币的中心在小三角形内时，硬币与三边都无交点，所以硬币
与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问 题. (2)先根据四棱锥M－ABCD体积等于 1 时M的位置，再找出体积
【规范解答】这是一个几何概型问题.设甲、乙两艘船到达码 头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”， 则0≤x≤24,0≤y≤24,要使两船都不需要等待码头空出，当且
仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上,即y－x≥1
或x－y≥2.故所求事件构成集合A={(x,y)|y－x≥1或x－y≥2,
出他去打篮球的概率，易得周末不在家看书的概率. 【规范解答】记“看电影”为事件A，“打篮球”为事件B， “不在家看书”为事件C.
1 1 ( ) 2 ( ) 2 2 1 1 3 ，P(B) 4 1， P(A) 1 1 4 4 1 16
∴P(C)=P(A)+P(B)= 3 1 13 .
【提醒】当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连 续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构 成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.
【例3】(2012·西安模拟)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊
两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的. 如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任 意一艘都不需要等待码头空出的概率. 【解题指南】要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比 乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上.
在备考时要高度关注： 备 考 建 议 (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致 错误； (2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误； (3)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否 等可能性导致错误.
1.(2011·福建高考)如图，矩形ABCD中， 点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随 机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概
④中概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径 为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点 都有可能被投到，故满足无限性和等可能性. 答案：①否 ②是 ③否 ④是
2.几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)=_________________________________________ 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
6
小于 1 时M的位置.
6
【规范解答】(1)记E＝“硬币落下后与格
线没有公共点”，如图所示.小三角形的
边长为 2 3.
∴P(E)＝ S△A BC
S△ABC
3 2 2 3） （ 1 4 . 4 3 2 4 3） （ 4
答案: 1
4
(2)正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M－ABCD的高为h，则 1 ×
义，必须使m>0. 在数轴上表示为 答案：(1)0.05 (2)
16
，故所求概率为 4 .
5
(3) 4
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与长度(角度)有关的几何概型
【方法点睛】1.与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概
率的计算公式为 P(A)=
构成事件A的区域长度 . 试验的全部结果所构成的区域长度
x∈［0,24］,y∈［0,24］}.
A为图中阴影部分，全部结
果构成集合Ω为边长是24
的正方形.所求概率为
A的面积 P(A)= 的面积 1 1 2 2 24 1 24 2 2 2 2 24 506.5 1 013 . 576 1 152
【反思·感悟】解答本题的关键是把两个时间分别用x，y两个 坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段长度问 题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型几何概 型的问题.
PA 构成事件A的区域体积 . 试验的全部结果所构成的区域体积
【例2】(1)设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角
形的边长都是 4 3 cm.现用直径为2 cm的硬币投掷到此网格