线性代数第11讲
线性代数教案11
逆矩阵的性质
1. 如果A可逆，则A有唯一的逆矩阵；
2. 如果A可逆，且AB＝I，则BA＝I；
如果A可逆，且BA＝I，则AB＝I；
3. 如果A，B都可逆，则AB也可逆，且 ( AB)1 B 1 A1
4. 如果A可逆，则A1可逆，且 ( A1 )1 A
5. 如果A可逆，则A的每一行每一列都不能全为零。
1.2（5） 1.6
行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵；只有一列的矩阵称为 列矩阵
A为1×4的矩阵，是个行矩阵； B为3×1的矩阵，是个列矩阵。
返回
零矩阵
矩阵中元素全为零的矩阵称为零矩阵，用 表示。
返回
n阶方阵
如果矩阵的行数m与列数n相等，即m＝n，则称矩阵 为n阶矩阵，或称n阶方阵。记为 An
矩阵的基本运算及性质
1. 矩阵加法与减法 A B B A (A B) C A (B C)
2. 矩阵的数乘运算
()A (A) ( )A A A (A B) A B
3. 矩阵的转置运算
( AT )T A
(A B)T AT BT
(A)T AT
( AB)T BT AT
由AB＝0不能推出A＝0或B＝0
由AB＝AC且A为非零矩阵不能推出B＝C
线性方程组的矩阵表示
对于线性方程组 若设
第11讲齐次线性方程组解的结构
nr 个自由变量
(2*) 的解 x1, x2 , , xr , xr1, xr2 , , xn
构成 n r 个 ( c11, c12, , c1r , 1, 0, , 0 )
线性无关的 (c21, c22, , c2r , 0, 1, , 0 )
解向量
( , )
依次取
(cnr1, cnr 2, , cnr r ,0, 0, , 1)
a11xБайду номын сангаас a12 x2 a1n xn 0 ,
a21x1 a22 x2 a2n xn 0 ,
( m n ) (2*)
am1x1 am2 x2 amnxn 0。
齐次线性方程组的全部解是否能通过 它的有限个解的线性组合表示出来?
三. 齐次线性方程组的通解
由定理 1 的证明过程可知 :
证 设 (1, 2, , n ) 是齐次线性方程组
x11 x22 xnn 0
的一个解, 则对任意实数k , 有
(k1)1 (k2 )2 (kn )n k(11 22 nn ) 0 ,
即 k(1, 2, , n ) 仍是该齐次方程组的解。
齐次线性方程组解的基本性质 性质 3
齐次线性方程组的有限个解的线性组合 仍是该齐次方程组的解。
a11x1 a12 x2 a1r xr a1r1xr1 a1r2 xr2 a1n xn ,
11齐次方程组-线性代数
线性方程组
一、齐次线性方程组
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++0
00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 称为齐次线性方程组。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A
212222111211系数
矩阵⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=
n x x x X 21O AX =方程组的矩阵形式
齐次线性方程组解的性质
T
O )0,,0,0(000 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=显然是方程组的解；称为零解。
若非零向量T
n n a a a a a a ),,,(2121 =⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=ξ是方程组的解，则称为非零解，也称为非零解向量。
性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即：
也是解向量。
是解向量，则2121,ξξξξ+性质2：也是解向量。
是解向量，则ξξk {}O A V ==ξξ令则V 构成一个向量空间。
称为方程组
的解空间。
若齐次线性方程组的解空间存在一组基,,,,21s ξξξ 则方程组的全
部解就是,2211s s k k k ξξξ+++ 这称为方程组的通解。
由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。定义：若齐次方程组的有限个解,,,,21s ξξξ 满足：
线性无关；
s i ξξξ,,,)(21 方程组的任一解都可由
)(ii 线性表示；s ξξξ,,,21 则称础解系。
是齐次方程组的一个基s ξξξ,,,21 s
s k k k ξξξ+++ 2211也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是基础解系的线性组合，即为：
线性代数11二阶与三阶行列式
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
2021/2/2
10
例 设 D 2
31
，问(1)当
为何值时，D为0；（2） 为何值时，D不为0；
2021/2/2
11
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
2021/2/2
1
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
2021/2/2
13
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
同济大学线性代数课件11
•我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.
•在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
第一章 行列式
内容提要
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列及其逆序数 •行列式的概念.
•例1 •求解二元线性方程组 •解 •因为
•所以
•
二、三阶行列式
•定义 设有9个数排成3行3列的数表
•引进记号 •主对角线 •副对角线
•原则：横行竖列
•称为三阶行列式.
•二阶行列式的对角线法则 并不适用！
•三阶行列式的计算 •(1)沙路法
•.列标 •行标
•三阶行列式的计算•——对角线法则
•实线上的三个元素的乘积冠正号， •虚线上的三个元素的乘积冠负号.
•注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
•2.•三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, •不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 •负. • 利用三阶行列式求解三元线性方程组
• 如果三元线性方程组
•的系数行列式
Biblioteka Baidu •若记 •或
•记 •即
•得
•得
•则三元线性方程组的解为:
•例2 计算行列式 •解 •按对角线法则，有
《线性代数》章节11
a11
a21
am1
a12 a22
am2
a1n
a2n
am
n
称为一个 m 行 n 列的矩阵，简记为 ( aij )m n , 通常用大写字母 A、B、C、…表示.
m 行 n 列的矩阵 A 也写成 Am n , 构成矩阵的每个数称为矩阵的元素，而 aij 表示
矩阵 第i 行第j 列的元素。A11,a22,…aii…所在斜线叫做A的主对角线。
几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶
方阵.也可记作 An .
例如
13 2
6 2
2i 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2)只有一行的矩阵
A a1,a2 ,,an ,
x1 x2 2 x3 x4 4,
2 x2 5 x2
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
0, 6,
3 x2 3 x3 4 x4 3,
1
2
3 (B2 )
4
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2
x3 x4
高等数学第11章 线性代数
x1
b2 a11
a22 a12
x2
a21 a11
b2 a12
a21 a22
a21 a22
2.定义1
我们把 a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
左端称为二阶行列式，右端为它的展开式
红线称为主对角线，绿线 称为副对角线
25Leabharlann Baidu
例1：计算二阶行列式
的值。
31
25
解：
3
21 35 13 1
a11 a12 a13 a14
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
ai1Ai1 ai2 Ai2 ai3 Ai3 ai4 Ai4
a41 a42 a43 a44
一般地，n阶行列式可以用n个n-1阶行列式来定义。
定义3 设有n2个数，构成以下n 阶行列式，其中
aij (i, j 1,2 , n) 都是数，记为：
为了便于计算，我们把 a11a22 a12a21 记为 a11 a12 a21 a22
b1a22 b2a12 记为 b1 a12 b2 a22
b1a22 b2a12记为
b1 b2
因此方程组的解为
a12 a22
，b2a11
b1a21
记为
线性代数教案_第一章_行列式
授课章节行列式§1.1 n阶行列式
目的要求理解二阶与三阶行列式,了解全排列及其逆序数。
重点二阶与三阶行列式计算，行列式的性质，克拉默法则难点n阶行列式的计算，克拉默法则
行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，是线性代数中的一个基本概念，它在线性代数、其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：
(1) 行列式的定义；
(2) 行列式的基本性质及计算方法；
(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．
本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．
计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．
行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．
§1 n阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
解方程是代数中一个基本的问题，行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．
下面考察二元一次方程组
（1.1）
当
时，由消元法知此方程组有唯一解，即
（1.2）
可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数
以及常数项
表示出来，这就是一般二元线性方程组的解公式。
线性代数习题11+
1．计算行列式0
b
a
a 0b 0
0a 0b
b 0a 0的值。
2．计算行列式 4
11
1
141111411114.
3．如
果
D=
33
32
31
232221131211
a a a a a a a a a =1,则
33
32
31
232221131211343434a a a a a a a a a ---= 。
4.行列式4
1
00
0310
00210001=
5.
1
011
1111)(-=x
x f 中，x 的一次项系数=
6.已知
33
32
31
232221131211a a a a a a a a a =3，那么
33
32
31
232221131211222222a a a a a a a a a ---=
7.若
1
2131012k =0，则k=__________.
8.三阶行列式
16
41421111=.
9. 11
11111111111111b a a +-+=
10.已知
1023
1120121112
54D -=
-，则
41
4
22A A A A ++
+= .
11. 求行列式3
1000231000
23100
023100021的值.
12. k 为何值时，齐次线性方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧00
0321321321=++=++=++kx x x x kx x x x kx 仅有零解。
13．3阶行列式
j
i a =0
1
1
101
110---中元素
21a 的代数余了式21A =（ ）
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
14. 设方程组
⎩
⎨⎧=+=+02022121kx x x x 有非零
解，则数k=__________.
15.已知矩阵
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=410110003A ，⎪⎪
线性代数 基础解系求法举例
教学目的理解齐次线性方程组的基础解系的概念与求法。掌握非齐次线性方程组通解的结构。掌握向量空间的基的概念与求法
作业
重点基础解系及其求法、向量空间的基练习册P37－40第13题
至
第19题，期中交：P37－40
难点方程组解的结构讲授方法
媒体与投影
讲授内容主线齐次解的基础解系概念－基础解系求法－举例－非齐次通解的求法－向量空间的封闭与生成性－基与坐标－向量内积与长度。
内容概括
齐次方程组的基础解系由n-r 个无关解向量组成，非齐次是齐次解加特解，向量组生成具有封闭线性运算的向量空间。向量内积实际上是矩阵运算，由施瓦茨不等式引出长度与正交。
班级：
时间：
年
月
日；星期
本次课讲第四章第四节第五节，方程组解的结构与向量空间，
下次课讲第五章第一二节，
下次上课时交作业P37～P40
二、齐次线性方程组解的结构：
1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理
2.解向量的概念n
r A R AX n n A R AX <=⇔==⇔=)(0()(0有非零解（无穷多解）齐次方程组为解向量的维数）
有唯一零解齐次方程组设有齐次线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++0
00221122221211212111n m n m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）设,21
2222111211
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m n m m n n a a a a a a a a a
A =x =,21⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛n x x x 则（1）式可写成向量方程Ax = 0（2）
线性代数11-向量组的秩
小结
把秩的概念引入向量组后，使方程组、矩阵、向量组三 者之间的转换的几何意义更加深刻. 向量组的最大无关组是把有限向量组的结论推广到无限 向量组的“桥梁”. 最大无关组的两个等价定义： 设向量组 A0 : 1 , 2 ,, r 向量组A的一个部分组，且满 足 ⑴ 向量组 A0 : 1 , 2 ,, r 线性无关； ⑵ 向量组A中任意r+1个向量都线性相关, 或者⑵` A 组的任一向量都能由 A0 组线性表示, 那么向量组 A0 就是向量组
向量线性相关．
A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大线性无关组． 矩阵 A 的列向量组的秩等于 3．
同理可证，矩阵 A 的行向量组的秩也等于 3．
一般地，
矩阵的秩等于它的列向量组的秩．
矩阵的秩等于它的行向量组的秩． 今后，向量组 a1, a2, …, am 的秩也记作 r(a1, a2, …, am ) ．
1
1 1 1 8 0 4 6 2
因此这就是 A 的一个最高阶非零子式．
结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩
是唯一的．
2 1 1 1 r 1 1 1 0 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ 4 6 2 0 3 6 7 0
结论： 矩阵的秩 = 矩阵中最高阶非零子式的阶数 = 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数
线性代数第一章 矩阵
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
二. 矩阵的乘积(matrix-multiplicative product)
例4. 某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
单价 重量
数量(箱)
产品 (元/箱) (Kg/箱) A B C
甲 20 16 200 180 190
乙 50 20 100 120 100
(kaij)mn , 记为kA或Ak.
ka11 ka12 … ka1n
即kA = Ak =
ka21 …
ka22 …
… …
ka2n …
kam1 kam2 … kamn
加法 注: 矩阵的线性运算(linear operation) 数乘
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
3. 性质
设A, B, C, O是同型矩阵, k, l是数, 则
主对角线
…
…
(leading/main/principal
an1 an2 … ann diagonal)
对角矩阵
… …
…
…
1 0 … 0 0 2 … 0 简记为 diag[1, 2, …, n].
0 0 … n
第一章 矩阵
§1.1 矩阵概念
3. 数量矩阵/纯量矩阵(scalar matrix)
diag[k, k, …, k]——数量矩阵/纯量矩阵.
线性代数下11欧氏空间与正交变换
由Cauchy-Schwarz不等式，可定义两个非零向量的夹角为 ( , ) arccos , 0 当( , ) = 0时, 称 与 正交, 记作 . ( 与任何向量正交) 定理 (Cauchy-Schwarz不等式) ( , ) . 其中等号成立当且仅当 与 线性相关.
7
度量是 神马
一、复习：内积与欧氏空间 (上册:§5.4)
几何空间R3回顾 空间向量 , 的内积定义为: = | || |cos, 其中 = < , > 表示向量 , 间的夹角. 内积 有以下重要性质: (1) = (对称性) (2) ( + ) = + (分配律) (3) (k )Baidu Nhomakorabea= (k ) = k( ) (4) 0且等号成立 = (正定性) 直角坐标系 {O; i, j, k} 下 x1i x2 j x3 k , y1i y2 j y3 k , 则 x1 y1 x2 y2 x3 y3 . 一般坐标系 {O; , ,
(1) (2) (dk ) N( A ) N( A ): N( A ) N( A ) L( xs , xs ,, xs ) (s k, k 1,,1)
s s1 s s1
k : k 1, k =0？
线性代数课后练习11详解
解：（1）设 β x1α1 x2α2 x3α3 + x4α4 ，记矩阵 A (1,2 ,3,4 , ) ，对矩阵 A 实施初等行
变换化为行最简形如下：
1 1 1 1 0
0 0 0 1 2
A (1,2 ,3,4, ) 1 1 1 0
2
r1 r2
r2 r3
0
0
1
0
2
1 1 0 0 0 r3r4 0 1 0 0 1
α1, α2, α3 线性表示？ a 为何值时， β 不能经 α1, α2, α3 线性表示？
解：设 β x1α1 x2α2 x3α3 ，，记矩阵 A (1,2 ,3, ) ，对矩阵 A 实施初等行变换化为行
阶梯阵如下：
2 3 1 7
1 4 7 9
A
(1,
2
,
3
,
)
3
5
7 8
Fra Baidu bibliotek6 1
α1, α2, α3 线性表示; 当 a 15 时， R(1,2 ,3 ) R(1,2 ,3, ),
方程组 β x1α1 x2α2 x3α3 无解，故 β 不能由 α1, α2, α3 线性表示.
A
a
a
a
0
0
0
a2 a2 a2
0 0 0
由矩阵得 x1 x2 x3 0
线性代数 基础知识11
()000,n
T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E ββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆
的列（行）向量线性无关
的特征值全不为0 只有零解 ，
0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i
A p p p p n
B AB E AB E
⎧⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪
⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵
存在阶矩阵使得 或 ()0A r A n A A A Ax A λ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩特征向量 注：全体n 维实向量构成的集合n
R 叫做n 维向量空间.
注：()()0a b r aE bA n aE bA aE bA x λ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩
0有非零解=- ⎫
⎪
≅⎪−−−
→⎬⎪
⎪⎭
具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()
√ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：
①称为n 的标准基，n
中的自然基，单位坐标向量152p 教材； ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；
⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.
12121211
12
121222()1212()n n n
n
n j j j n
j j nj j j j n n nn
a a a a a a D a a a a a a τ==
-∑
1
√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
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a-b=a+(-b)
=(a1,a2,,an)+(-b1,-b2,,-bn) =(a1-b1,a2-b2,,an-bn)
8
定义3.3 n维向量a=(a1,a2,,an)的各个分
量都乘以k(k为一实数)所组成的向量, 称
为数k与向量a的乘积, 记作ka, 即 ka=(ka1,ka2,,kan).
20
例2. 零向量是任何一组向量的线性组合. 因为
o=0a1+0a2++0as
21
例3. 向量组a1,a2,,as中的任一向量 aj(1js)都是此向量组的线性组合.
因为
aj=0a1++1aj++0as.
22
例4. 判断向量b1=(4,3,-1,11)与 b2=(4,3,0,11)是否各为向量组a1=(1, 2, -1, 5), a2=(2, -1, 1, 1)的线性组合. 若是, 写出
有解的充分必要条件是: 系数矩阵与增广
矩阵的秩相同. 这就是说b可由a1, a2 , , an线, a性n为表列示向的量充的分矩必阵要与条以件a是1,a: 2以,a,1a, na,b2,
为列向量的矩阵有相同的秩.
18
定理 3.3 也可以叙述为: 对于向量b和向量 组a1,a2,,an, 其中b=(b1,b2,,bm), aj=(a1j, a2j, , amj) (j=1, 2, , n). 向量b可由向量组 a1,a2,,an 线性表示的充分必要条件是以
线性代数第11讲
1
定义3.1 n个实数组成的有序数组称为n维
向量. 一般用a,b,g等希腊字母表示, 有时
也用a,b,c,o,u,v,x,y等拉丁字母表示.
a=(a1,a2,,an)
称为n维行向量. 其中ai称为向量a的第i
个分量;
b1
β
b
2
b
n
称为n维列向量. bi是其第i个分量.
4
要把列(行)向量写成行(列)向量可用转置
记号, 例如
b1
β
b
2
b
n
可写成 b=(b1,b2,,bn)T
5
a11 a12
矩阵
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
中的每一行(ai1,
amn
ai2, , ain)(i=1,2,,m)都是 n 维行向量, 每一
a1 j
列
(3.10)
成立, 则称称向量b是向量组a1,a2,,an
的线性组合, 或者称b可由向量组
a1,a2,,an线性表示.
15
例如, b=(2,-1,1), a1=(1,0,0), a2=(0,1,0), a3=(0,0,1), 显然b=2a1-a2+a3. 即b是 a1,a2,a3的线性组合, 或者说b可由 a1,a2,a3线性表示.
a2
j
(
j
1,
2,
, n)都是 m 维列向量.
amj
6
两个n维向量当且仅当它们各对应分量相
等时, 才是相等的. 即如果a=(a1,a2,,an), b=(b1,b2,,bn)当且仅当ai=bi (i=1, 2, , n) 时, a=b.
所有分量均为零的向量称为零向量, 记为 o=(0, 0, , 0)
式. 如果可以, 则方程组有解; 否则, 方程
组无解. b可以表示成上述关系式时, 称向 量b是向量组a1,a2,,an的线性组合, 或 者称b可由向量组a1,a2,,an线性表示.
14
定义3.5 对于给定向量b, a1,a2,,as,如
果存在一组数k1,k2,,ks, 使关系式
b=k1a1+k2a2++ksas
16
b1
a1 j
定理
3.3
设向量 β
b2
,向量αi
a2
j
(j=1,
bm
amj
2, , n), 则向量b可由向量组a1,a2,,an 线
性表示的充分必要条件是以a1,a2,,an 为列
向量的矩阵与以a1,a2,,an,b为列向量的矩
阵有相同的秩.
17
证: 线性方程组
x1a1+x2a2++xnan=b
α1T ,α2T , , αnT 为列向量的矩阵与以 α1T ,α2T , ,αnT , βT 为列向量的矩阵有相同的 秩.
19
例是n1维. 任向何量一组个e1n=维(1向,0,量a0=),(ea21=,a(20,,…1,,a0n,)都, 0), , en=(0, 0, , 0, 1)的线性组合. 因为 a=a1e1+a2e2++anen e1,e2,,en称为Rn的初始单位向量组.
向量的加, 减及数乘运算统称为向量的线 性运算.
9
定义3.4 所有n维实向量的集合记为Rn, 我
们称Rn为实n维向量空间, 它是指在
Rn中定义了加法及数乘这两种运算, 并且
这两种运算满足以下8条规律:
(1) a+b=b+a
(2) a+(b+g)=(a+b)+g
(3) a+o=a (4) a+(-a)=o (5) (k+l)a=ka+la
n维向量a=(a1,a2,,an)的各分量的相反 数组成的n维向量, 称为a的负向量, 记为 -a, 即-a=(-a1,-a2,,-an).
7
定义3.2 两个n维向量a=(a1,a2,,an)与 b=(b1,b2,,bn)的各对应分量之和所组成 的向量, 称为向量a与向量b的和, 记为 a+b. 即a+b=(a1+b1,a2+b2,,an+bn).
其中a,b,g都是n维
向量, k,l为实数
(6) k(a+b)=ka+kb
(7) (kl)a=k(la)
(8) 1a=a
10
例.
设α1 (2, -4,1, -1),α2
(-3, -1, 2, - 5),, 2
如
果向量b满足 3a1-2(b+a2)=o, 求b.
解: 由题设条件, 有
3a1-2b-2a2=o
所以
1
3
β - 2 (2α2 - 3α1) -α2 2 α1
-(-3, -1, 2, - 5) 3 (2, -4,1, -1) 22
1
(6, -5, - ,1)
2
11
§3.3 向量间的线性关系 (一) 线性组合
12
线性方程组(3.1)写成常数列向量与系数
列向量如下的线性关系
x1a1+x2a2++xnan=b
称为方程组(3.1)的向量形式.
其中 a1j
αjFra Baidu bibliotek
a2j
(j 1,2, ,n)
b1
β
b2
amj
bm
都是m维向量.
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于是, 线性方程组(3.1)是否有解, 就相当 于是否存在一组数: x1=k1, x2=k2, , xn=kn, 使线性关系式
k1a1+k2a2++knan=b 成立. 即常数列向量b是否可以表示成上 述系数列向量组a1,a2,,an的线性关系