2017年春季学期新版新人教版九年级数学下学期28.2、解直角三角形及其应用导学案20

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新人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形及其应用ppt课件

∠A＋∠B＝________ 90° ；
③边角之间的关系：
a b a sinA＝________ ，cosA＝________ ，tanA＝________. c c b
2．仰角和俯角的定义
视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做俯角，如图 28-2-2. 仰角；视线在水平线下方的角叫做________ ________
【跟踪训练】 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，a＝6
2，b＝6
6，解直
角三角形．
解：∵a＝6 ∴c＝ 6
2，b＝6 22＋6
6， 2.
62＝12
6 2 1 ∴sinA＝＝ .∴∠A＝30° . 12 2 2 ∴∠B＝90° －∠A＝60° .
2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，c＝6，解直角
28.2 解直角三角形及其应用
1．解直角三角形 (1)由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形． ________________ (2)在解直角三角形中，一般用到下面的关系：如图 28-2-1.
图 28-2-1
①三边之间的关系：
a2＋b2＝________ c2 ；
②两锐角之间的关系．
5.
a 2 15 由 tanA＝b＝＝ 3，得∠A＝60° . 2 5 ∴∠B＝90° －∠A＝30° .
图 D69
图 D70
(2)如图 D70，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，b＝12，∠A＝30°.
12 b b 由 cosA＝c ，得 c＝cosA＝cos30° ＝8 3.
已知条件两直角边(a，b)
图 D71
＝80×cos25° ≈80×0.91＝72.8(海里) 在 Rt△BPC 中，∠B＝34° ， PC ∵sinB＝PB， 72.8 72.8 PC ∴PB＝sinB＝sin34° ＝0.559≈130.23(海里)．

九年级数学下册28_2解直角三角形及其应用2教案新版新人教版

28.2 解直角三角形及其应用课题28.2 解直角三角形及其应用（2）授课类型课标依据能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。

教学目标知识与技能1.会把实际问题转化为解直角三角形问题，能运用解直角三角形的方法解决问题；2.认识仰角、俯角等概念，学会综合运用所学知识解决实际题．过程与方法经历解直角三角形的实际应用，运用转化思想，学会把实际问题转化为数学问题来解决，培养学生分析问题、解决问题的能力.情感态度与价值观渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识教学重点难点教学重点将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形元素之间的关系，从而利用所学的知识解决实际问题.教学难点将实际问题转化为数学模型教学师生活动设计意图过程一、复习引入问题1:什么是解直角三角形？直角三角形的边边、角角、边角之间有哪些关系？问题2 、3.（见PPT）这节课利用解直角三角形的知识解决实际问题，引出课题.二、应用知识问题3. 教材74页例3分析：（1）从飞船上最远能直接看到的地球上的点，应该是视线与地球相切时的切点；（2）所要求的距离应该是点P与切点之间的弧长。

（3）已知哪些条件?求弧长需要知道哪些条件？（4）如图，⊙O表示地球，点F式飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点，弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离，为了计算弧PQ的长，需要先求出∠POQ的度数.（5）如何求∠POQ的度数？（教师给出问题，引导学生阅读、思考、尝试画出几何图形，结合图形分析，小组讨论，把实际问题中的已知和求解转化为数学问题中的已知和求解。

）归纳：根据题意将实际问题转化为数学问题，该题综合运用了圆和解直角三角形的知识，关于圆的知识用到了切线的性质，弧长公式，解直角三角形用到了已知一条直角边和斜边求它们所夹的锐角.构造出解题所需的几何图形，把已知条件和所求有机的结合进行分析，是解决此类题的关键.问题4. 教材75页例4分析：（1）什么是仰角、俯角？在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角是仰角；视线在水平线下方的角是俯角.（2）如何根据题意构造几何图形？（3）怎样求出BC的长？在两个直角三角形中分别求出BD、CD，也可以先求出AB、AC的长,再运用勾股定理求出BC. 通过学生亲自探究实际问题，初步领会把实际问题转化为数学问题的方法，培养学生用数学的能力将实际问题转化为数学问题，培养其分析问题、解决问题能力的能力学生独立完成，教师巡视，选学生板书，之后，师生共同评议，达成共识（教师给出问题，学生独立思考，运用不同方法分析解题思路。

数学人教版九年级下册28.2.2 解直角三角形及其应用

28.2.2 解直角三角形及其应用 ----应用举例怎样由方向角确定三角形的继续航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？解：过A 作AE ⊥BD 于E.由题意知：∠ABE=30°,∠ADE=60°. ∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD. ∴AD=BD=12.∴AE=AD ·sin60°=12×= (海里)＞8海里. ∴无触礁的危险.2、如图所示，A 、B 两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50 km 为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据:3≈1.732,2≈1.414)3263测验题：1、已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（）A.南偏东50°B.南偏东40°C.北偏东50°D.北偏东40°2、如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？3、一轮船原在A处，它的北偏东45°方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西30°方向航行4h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为25 n mile/h，求轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）。

人教版数学九年级下册第28章28.2-解直角三角形及其应用

课堂小结
解直角三角形
依据
勾股定理两锐角互余锐角的三角函数
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素
对接中考
对接中考
H
对接中考
A
B
C
对接中考
A
B
C D
对接中考
B
CD
A
对接中考
B
C D
A
课后作业请完成课本后习题第1题.
12 、能者上，庸者下，平者让。谁砸企业的牌子，企业就砸谁的饭碗。 19 、生活中的许多事，并不是我们不能做到，而是我们不相信能够做到。 5 、当你手中抓住一件东西不放时，你只能拥有一件东西，如果你肯放手，你就有机会选择更多。（） 1 、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑;你对它哭，它也对你哭。 17 、再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。 17 、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 15 、如果你不给自己烦恼，别人也永远不可能给你烦恼。因为你自己的内心，你放不下。 19 、你不能左右天气，但可以改变心情。你不能改变容貌，但可以掌握自己。你不能预见明天，但可以珍惜今天。 7 、如果我们投一辈子石块，即使闭着眼睛，也肯定有一次击中成功。 1 、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑;你对它哭，它也对你哭。 19 、经营信为本，买卖礼当先。心态决定成败，有志者事竟成。 10 、人生有顺境也有逆境，输什么也不能输了心情;人生有进有退，输什么也不要输掉自己。 7 、成功在于好的心态与坚持，心态决定状态，心胸决定格局，眼界决定境界。 7 、喜欢一个人不是回复他每条动态，而是研究下面可疑的评论。 13 、用冷静的目光去看待人世间的一切，才能活得坦荡，活得超然。 6 、人的一生要面临许多选择，而每次选择都会带来一阵阵剧痛，而这种剧痛叫做成长。 12 、天下没有免费的午餐，一切成功都要靠自己的努力去争取。机会需要把握，也需要创造。 6 、大部分人往往对已经失去的机遇捶胸顿足，却对眼前的机遇熟视无睹。 16 、并不是先有了勇气才敢于说话，而是在说话的同时培养了勇气。 13 、不要在你的智慧中夹杂着傲慢，不要使你的谦虚心缺乏智慧。 12 、你希望别人怎样对待自己，你首先应该怎样来对待别人。

九年级数学下册28.2解直角三角形及其应用教案1新版新人教版

课题 28.2 解直角三角形（一）一、教学目标1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．三、教学步骤(一)复习引入1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.(2)三边之间关系a2 +b2 =c2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（二）教学过程1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题例 1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，，解这个三角形．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．解 ∵tanA=a b ∴ 60B ∠=∴ 9030A B ∠=-∠=∴C=2b=例 2在Rt △ABC 中， ∠B =35，b=20，解这个三角形．引导学生思考分析完成后，让学生独立完成在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．35B ∠-∠=-=解:A=909055tan b B a=2028.6tan tan 35b a B ∴==≈n 2035.1sin sin 35b si B cb c b =∴==≈完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底注意：例1中的b 和例2中的c 都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少差异，这都是正常的。

人教初中数学九年级下册28-2 解直角三角形及其应用(教学设计)

师：尝试写出∠A 的三角函数。

生：∠A 的正弦值：sin A=∠A 所对的边斜边= ac∠A 的余弦值：cos A= ∠A 所邻的边斜边= bc∠A 的正切值：tan A=∠A 所对的边邻边= ab师：将 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：生：变式1-1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a = 30， b = 20，根据条件解直角三角形.变式1-2 在△ABC 中，∠C =90∘, AB =6, cosA =13，则AC 等于（）A ．18B ．2C ．12D ．118变式1-3在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．msin35° B ．mcos35° C ．m sin35°D ．mcos35°变式1-4 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35° ，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．变式1-5 如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB ＝2米，要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC ，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（） A ．2tan70°米 B ．2sin70°米 C ．2.2tan70°米 D ．2.2cos70°米平线下方的叫做俯角。

指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 师：尝试说出A,B关于坐标原点O的位置？生：点A位于点O北偏东30°位置，点B位于点O南偏西45°位置[多媒体展示]热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）。

九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用教案新版新人教版

边”和“宁乘不除”的原则.
(5)选择关系式时要尽量利用原始数据,以防“累积误差”.
(6)遇到不是直角三角形的图形时,要适当添加辅助线,将其转化为直角三角形求解.
1.解直角三角形的概念
2.直角三角形中五个元素之间的关系:
(1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理)；
(2)两锐角之间关系:∠A+∠B=90°；
c
c
b
a
ccos B=a,btan A=a,atan B=b.故选 A.
3. 4 3 解析:∵cos B=BC= 3,BC=6,∴AB= BC =4 3.
AB 2
cosB
4.解:(1)∵∠C=90°,b=4,c=8,
∴a= c2-b2= 82-42=4 3.
∵cos B=a= 3,∴∠B=30°,
c2
；由∠B=35°及它的对边 b=20,根据
可得
c=
=
.
【追问】你还有其他方法求 c 的值吗?
【学生活动】在教师提出的问题的引导下,独立完成解答过程,小组内交流答案,组长指
出组内成员的错误,并帮助改正.教师对学生的板书进行点评,强调规范性,并鼓励学生用多
种方法求解.
【课件展示】解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°.
28.2.1 解直角三角形
1.理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形. 2.会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
1.综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 2.通过学习,发展分析、归纳、抽象、概括的能力,培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.
导入一:

九年级数学下册28.2解直角三角形及其应用教案1新版新人教版

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

2017年春季学期新版新人教版九年级数学下学期28.2、解直角三角形及其应用课件136

解：(1)在Rt△ABC中，BC＝AC· tan∠BAC＝30×tan75°≈112(米) (2)∵此车的速度为112÷8＝14(米/秒)＜16.7(米/秒)≈60(千米/时)，∴ 此车没有超过限制速度
8．如图，测量河宽 AB(假设河的两岸平行)，在 C 点测得∠ACB＝30°， D 点测得∠ADB＝60°，又 CD＝60 m，则河宽 AB 为(C ) A．30 m B．60 m
11．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个
车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这
17 个这样的停车位．个路段最多可以划出____
12．如图，小明在公园里放风筝，拿风筝线的手 B 离地面高度 AB 为 1.5 米，风筝飞到 C 处时的线长 BC 为 30 米，这时测得∠CBD＝60°，求此时风筝离地面的高度．(结果精确到 0.1 米， 3≈1.73)
14．某学校的校门是伸缩门(如图1)，伸缩门中的每一行菱形有20个，
每个菱形边长为30厘米，校门关闭时，每个菱形的锐角度数为
60°(如图2)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为 10°(如图3)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参in10°≈0.173 6，cos10°≈0.984 8)
7．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在 A 处，离解放大道的距离 AC 为 30 米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到 C 处所用的时间为 8 秒，∠BAC＝75°. (1)求 B，C 两点的距离； (2)请判断此车是否超过了解放大道 60 千米/时的限制速度． (计算时距离精确到 1 米，参考数据：sin75°≈0.965 9，cos75°≈0.258 8，tan75° ≈3.732 1， 3≈1.732，60 千米/时≈16.7 米/秒)

人教版九年级数学下册第28章28.2解直角三角形及其应用.docx

初中数学试卷桑水出品新人教版数学九年级下册第28章28.2解直角三角形及其应用课时作业一、选择题1.如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=33，则边BC的长为（）A.303cmB.203cmC.103cmD.53cm知识点：解直角三角形解析：解答：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：tan∠BAC=BCAC，又AC=30cm，tan∠BAC=33，则BC=ACtan∠BAC=30×33=103cm．故选C．分析：此题考查学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题．要求注意观察生活中的数学问题，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学来自于生活且服务于生活．因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知∠BAC的对边为BC，邻边为AC，根据∠BAC的正切值，即可求出BC的长度．2. 在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米 B. 20米 C. 16米 D. 12米答案：D知识点：解直角三角形的应用解析：解答：∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC·tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入得，AB≈24×0.51≈12米．故选D．分析：本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．直接根据锐角三角函数的定义可知，AB=BC·tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入进行计算即可．3.如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）A.503米B. 1003米C 10031+米 D.10031-米知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：在Rt△ABD中,∵∠ADB=45,°∴BD=AB.在Rt△ABC中, ∵∠ACB=30°,∴ABBC=tan30°=33.∴BC=3AB. 设AB=x（米）, ∵CD=100,∴BC=x+100. ∴x+100=3x,∴x=10031米.故选D．分析：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x（米），再利用CD=BC-BD=100的关系，进而可解即可求出答案．4.某水坝的坡度i=1：3，坡长AB=20米，则坝的高度为（）答案：A．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：如图：∵坡度i=1：3,∴设AC=x，BC=3x.根据勾股定理得AC2+BC2=AB2,则x2+（3x）2=202,解得x=10．故选A ．分析：此题考查了坡比的概念，不仅要熟悉解直角三角形的知识，还要熟悉勾股定理．画出图形，根据坡度的定义__-直角三角形中，坡角的正切值，然后利用解直角三角形的知识解答． 5. 如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（）A ．103米B ．10米C ．203米D ．2033米答案：A知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：∵在直角三角形ADB 中，∠D=30°, ∴ABBD=tan30°, ∴BD=tan 30ABo=3AB . ∴在直角三角形ABC 中，∠ACB=60°. ∴BC=tan 60ABo =33AB.∵CD=20,∴CD=BD-BC=3AB-33AB=20. 解得：AB=103．故选A ．分析：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB 及CD=DC-BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．6. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则迎水坡面AB 的长度是（）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503 m 答案：A知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3, ∴BC AC =33.∵BC=50m, ∴AC=503m. ∴AB=22AC BC =100m.故选：A ．分析：此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比．根据题意可得BCAC =33，把BC=50m ，代入即可算出AC 的长，再利用勾股定理算出AB 的长即可．7. 如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（）A ．200米B ．2003米C ．2203米D ．100（3+1）米答案：D知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100,∵CD⊥AB于点D,∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=CDAD.∴AD=tanCDA=10033=1003.在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°,∴DB=CD=100米.∴AB=AD+DB=1003+100=100（3+1）米．故选D．分析：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．8.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组知识点：解直角三角形的应用解析：解答：此题比较综合，要多方面考虑，①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③，因为△ABD∽△EFD可利用EF FDAB BD，求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选C ．分析：本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．根据三角形相似可知，要求出AB ，只需求出EF 即可．所以借助于相似三角形的性质，根据EF FDAB BD=即可解答． 9. 如图，△ABC 中，cosB=22，sinC=35，AC=5，则△ABC 的面积是（）A.212B. 12C.14D.21 知识点：解直角三角形的应用解析：解答：过点A 作AD ⊥BC ， ∵△ABC 中，cosB=22，sinC=35，AC=5，∴cosB=22=BDAB ．∴∠B=45°． ∵sinC=35=AD AC =5AD ，∴AD=3．∴CD=2253-=4． ∴BD=3．则△ABC的面积是：12×AD×BC=12×3×（3+4）=212．故选A．分析：此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．10.（2011 荆州）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A. 5714B.35C.217D.2114知识点：解直角三角形的应用解析：解答：延长BA作CD⊥BD，∵∠A=120°，AB=4，AC=2，∴∠DAC=60°，∠ACD=30°．∴2AD=AC=2，∴AD=1，CD=3，∴BD=5，∴BC=27，∴sinB=327=2114．故选：D．分析：此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，根据题意得出∠DAC=60°，∠ACD=30°是解决问题的关键．根据∠A=120°，得出∠DAC=60°，∠ACD=30°，得出AD=1，CD=3，再根据BC=27，利用解直角三角形求出．11.如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船正向东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（）A.123海里B.63海里C. 6海里D. 43海里知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：由已知得：∠BAC=90°-60°=30°，在直角三角形ABC 中， BC=ABtan30°=12×33=43（海里）．故选：D ．分析：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是先得∠BAC=30°，再解直角三角形ABC 即可．此题易得∠BAC=30°，再由直角三角形ABC 运用三角函数求得渔船与灯塔C 的距离BC ． 12. 如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB=α，那么AB 等于（）A. msin α米B.mtan α米C.mcos α米D. tan mα米知识点：解直角三角形的应用解析：解答：在直角△ABC 中，tan α=AB m，∴AB=mtan α．故选B ．分析：此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算．在直角△ABC 中，已知∠α及其邻边，求∠α的对边，根据三角函数定义即可求解．13. 如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A. (533+32)m B. (53+32)m C.533m D.4m知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：∵AD=BE=5米，∠CAD=30°，∴CD=ADtan30°=5×33=533（米）．∴CE=CD+DE=CD+AB=533+32（米）．故选A．分析：此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角三角形的综合运用能力．应先根据相应的三角函数值算出CD长，再加上AB长即为树高．14.一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A. (303-50,30)B. (30, 303-50)C. (303,30)D.(30, 303)知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：过点A作AC⊥x轴于C．在直角△OAC中，∠AOC=30°，OA=4×15=60海里，则AC=12OA=30海里，OC=303海里．因而A所在位置的坐标是（303，30）．小岛B在A的正西50海里处，因而小岛B所在位置的坐标是（303-50，30）．故选A．分析：本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．过点A作AC⊥x轴于C，根据已知可求得点A的坐标，从而根据已知求点B的坐标．15.在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（）A. 1033km B.533km C.52km D.53km知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：如图．由题意可知，AB=5km，∠2=30°，∠EAB=60°，∠3=30°．∵EF∥PQ，∴∠1=∠EAB=60°又∵∠2=30°，∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-60°-30°=90°．∴△ABC是直角三角形．又∵MN∥PQ，∴∠4=∠2=30°．∴∠ACB=∠4+∠3=30°+30°=60°．∴AC=sinABACB=532=1033（km）．故选A．分析：本题是方向角问题在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答．根据已知作图，由已知可得到△ABC是直角三角形，从而根据三角函数即可求得AC的长．1.数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是____答案：3知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：如图，根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，∵∠A=90°，∴在Rt△ABC中，AB=ACtan∠ACB=10×tan60°=10×3=103（米）．故答案为：103．分析：本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．由根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，然后再在Rt△ABC中，利用正切函数，即可求得旗杆的高度．2.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC 的长度是____答案：210cm．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：过点B作BD⊥AC于D，根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），∵斜坡BC的坡度i=1：5，∴BD：CD=1：5，∴CD=5BD=5×54=270（cm），∴AC=CD-AD=270-60=210（cm）．∴AC的长度是210cm．故答案为：210．分析：此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题．此题难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的长，继而求得答案．3.如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°=____答案：2-3．解析：解答：由已知设AB=AC=2x，∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CD=12AC=x，则AD2=AC2-CD2=（2x）2-x2=3x2，∴AD=3x，∴BD=AB-AD=2x-3x=（2-3）x，∴tan15°=BDCD=(23)xx=2-3．故答案为：2-3．分析：此题考查的知识点是解直角三角形，关键是由直角三角形中30°角的性质与勾股定理先求出CD与AD，再求出BD．此题可设AB=AC=x，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=AB-AD，从而求出tan15°．4.如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是____米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）答案：12解析：解答：由题意知BC=8，∠C=56°，故AB=BCtan56°≈8×1.483≈12米，故答案为12．分析：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系求解．在直角三角形ABC中，根据BC=8，∠ACB=56°即可求得AB的长．5.如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为____（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．答案：8.1 m．知识点：解直角三角形的应用解析：解答：如图，在Rt△ACE中，∴AE=CEtan36°=BDtan36°=9×tan36°≈6.57米，∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）．故答案为：8.1．分析：本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算AE的值是解题的关键．根据CE和tan36°可以求得AE的长度，根据AB=AE+EB即可求得AB的长度，即可解题．三、解答题1.为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，t an54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）知识点：解直角三角形解析：解答：过点C 作CD ⊥AB 于D ， ∵BC=200m ，∠CBA=30°， ∴在Rt △BCD 中，CD=12BC=100m ，BD=BCcos30°=200×32=1003≈173（m ）， ∵∠CAB=54°，在Rt △ACD 中，AD=tan 45oCD ≈1001.38≈72（m ）， ∴AB=AD+BD=173+72=245（m ）．答：隧道AB 的长为245m ．分析：此题考查了解直角三角形的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意把实际问题转化为数学问题求解．首先过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后在Rt △BCD 中，利用三角函数的知识，求得BD ，CD 的长，继而在Rt △ACD 中，利用∠CAB 的正切求得AD 的长，继而求得答案．2. 如图所示，两个建筑物AB 和CD 的水平距离为30m ，张明同学住在建筑物AB 内10楼P 室，他观测建筑物CD 楼的顶部D 处的仰角为30°，测得底部C 处的俯角为45°，求建筑物CD 的高度．（3取1.73，结果保留整数．）知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形．∴PE=BC=30．在Rt△PDE中，∵∠DPE=30°，PE=30，∴DE=PE×tan30°=30×33=103．在Rt△PEC中，∵∠EPC=45°，PE=30，∴CE=PE×tan45°=30×1=30．∴CD=DE﹢CE=30﹢103=30﹢17.3≈47（m）答：建筑物CD的高约为47 m．分析：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形，得到PE=BC=30，在Rt△PDE中，利用∠DPE=30°，PE=30，求得DE的长；在Rt△PEC中，利用∠EPC=45°，PE=30求得CE的长，利用CD=DE﹢CE即可求得结果．3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知CD⊥AB，BC=1（1）如果∠BCD=30°，求AC；10知识点：解直角三角形解析：解答：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，答案：A、C之间的距离为10.3海里．知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°，设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，在Rt△ABD中，可得BD=3x，又∵BC=20，即x+3x=20，解得：x=10(3-1)∴AC=2x≈10.3（海里）．答：A、C之间的距离为10.3海里．分析：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般．作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可得出BD，结合题意BC=CD+BD=20海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案．5.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽AD=5米，斜坡AB的坡度i=1：3（指坡面的铅直高度AE与水平宽度BE的比），斜坡DC的坡度i=1：1.5，已知该拦水坝的高为6米．（1）求斜坡AB 的长；（2）求拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）答案：（1）斜坡AB 的长为610m ；（2）拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长为（37+610 +313）m ．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：（1）∵AE BE =i =13,AE=6， ∴BE=3AE=18，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得： AB=22AE BE +=610，答：斜坡AB 的长为610m ；（2）过点D 作DF ⊥BC 于F ，可得四边形AEFD 是矩形，故EF=AD ，∵AD=5，∴EF=5， ∵DF CF =i=23， DF=AE=6， ∴CF=32DF=9， ∴BC=BE+EF+CF=18+5+9=32，在Rt △DCF 中，根据勾股定理得： DC=22DF CF + =313，∴梯形ABCD 的周长为：AB+BC+CD+DA=610+32+313+5=37+610+313，——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水。

九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用2 新人教版

更上一层楼
1.一架直升机从某塔顶Ａ测得地面C、D两点的俯角分别为30°、 45°，若C、D与塔底Ｂ共线，CD＝
200米，求塔高AB？ 2.有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为60米， AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个三角形场地的面积．
更上一层楼
3.学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后与同学在环西文化广场休息，看到濠河对岸的电视塔，他想用手中
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高
AB等于 100( 31)m（根号保留）．
图3
图4
4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°
，则折叠后重叠部分的面积为
2 2
cm
2
（根号保留）．
思考：有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为 60米，AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个三角形场地的面积．
O A
O B
α β
OA 450 450 3, tan30
450米
OB 450 450 tan45
A B O A O B (4 5 03 4 5 0 )(m )O
B
A
答：大桥的长AB为 (450 3450)m.
合作与探究
变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥 AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30° 和45 °，求飞机的高度PO .
P
答案: (2003200)米
O
45°
30°
B 400米 A
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .

人教版九年级下册28.2解直角三角形及其应用(教案)

其次，在新课讲授的案例分析环节，我发现同学们对特殊角的锐角三角函数值记忆不够熟练。这可能影响到他们在解决实际问题时，不能迅速找到答案。针对这个问题，我打算在课后增加一些针对性的练习，帮助同学们巩固记忆特殊角的三角函数值。
实践活动环节，同学们分组讨论和实验操作的表现让我感到欣慰。他们能够将所学知识运用到实际问题中，并通过合作解决问题。但在讨论过程中，我也注意到有些同学在发表观点时不够自信，这可能是因为他们对知识点的掌握还不够熟练。在今后的教学中，我会鼓励这些同学多发言，多参与，提高他们的自信心。
2.教学难点
-难点一：理解并运用锐角三角函数的定义解直角三角形；
-突破方法：通过直观图形和实际例题，帮助学生理解锐角三角函数的概念，并掌握解题步骤；
-难点二：灵活运用特殊角的锐角三角函数值；
-突破方法：通过大量练习，让学生熟练记忆特殊角的三角函数值，并能迅速准确地应用于解题；
-难点三：在实际问题中建立直角三角形的模型；
五、教学反思
在今天的教学过程中，我注意到同学们对解直角三角形这一部分的内容表现出了很大的兴趣。通过导入新课环节的实际问题，大家能够直观地感受到数学知识在生活中的应用，这有助于提高他们的学习积极性。但在教学过程中，我也发现了一些问题。
首先，理论讲解部分，有些同学对锐角三角函数的定义和互余关系理解不够透彻。在讲授过程中，我尝试通过生动的例子和实际操作来解释这些概念，但显然还需要进一步加强对这些知识点的巩固。在接下来的教学中，我会考虑增加一些互动环节，让学生亲自参与到解题过程中，以提高他们对知识点的理解和应用。
4.了解直角三角形的边角关系，并能运用勾股定理进行计算；
5.通过实际案例分析，体会解直角三角形在实际生活中的应用价值。
二、核心素养目标