2.2随机变量的数字特征

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第二章__1_随机变量及其分布

f ( x)
当x b时，由于{X x} {a X b}，于是 ba F ( x) P{ X x} P{a X b} 1 ba xa 0, xa 综上，可得X 的分布函数为 F ( x) , a xb b a xb 1,
2、分布函数的性质
为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律, 有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果. 例抛掷一枚硬币可能出现 1, =正面的两个结果 , 可以用一个 X () 0 , =反面
变量来描述.
例
{1, 2, 3,4,5,6}
．．．．
A ．
定义: X ()
0, 9 , 19 F ( x) 15 , 19 1, x1 1 x 2 2 x3 x3
1
6 19

F ( x)

4 19
9 19
o

1
2
3
x
求随机变量X的概率分布
9 6 4 解 P{ X 1} , P{ X 2} , P{ X 3} 19 19 19
为给出X取值于任意区间上的概率，实际上只要给出所有X取值于形如(- ∞,x] 区间上的概率P{X ≤ x}即可。记 F(x)=P{X ≤ x} 当x取遍(- ∞ ,+∞)上的一切实数时， F(x)便成为定义在(- ∞ ,+∞)上的函数，一旦知道了这个函数，我们便可得到相应的随机变量取值于任何区间的概率。
三、分布函数的概念
为了对随机变量r.v.（random variable）取值的统计规律性给出一种统一的描述方法，下面引进分布函数 (distribution function)的概念.

2.2随机过程的分布律和数字特征

2.2随机过程的分布律和数字特征
任意有限个时刻过程各个状态的联合概率分布 : 给定随机过程 { X (t), t T }.
对任意n (1)个不同的时刻 t1, ,tn T , 相应
的状态可由 n维随机变量 X (t1), X (t2), , X (tn)
描述 .
a cost
,t
,
其中a
0,
且P1
2 3
,
P2
1 3
,
试求随机过程 X (t)，t (,)
的数字特征。
解
mX
EX t a cos t 1 a cos t 2 1 cos t，
3
33
t (,)
RX s,t EX sX t
a coss a cost 1 a cossa cost 2
示一条固定的曲线。如图蓝色曲线
2.2随机过程的分布律和数字特征
2.称 BX(s,t) = E{[X(s) - mX(s)][X(t) - mX(t)]},s,t T
为 XT 的协方差函数；
3.称 DX (t) BX t,t E[X (t) mX (t)]2 ,t T 为 XT
的方差函数；
4.称 RX (s,t) E[X (s)X (t)]，s,t T 为 XT
2019级研究生课程
彭晓华
辽宁工大基础部数学教研室
第2章随机过程的基本概念
2.1随机过程的基本概念 2.2随机过程的分布律和数字特征 2.3 复随机过程 2.4几种重要的随机过程
本章小结思考题与作业
复习2.1 1.怎样理解随机过程？它与函数及随机变量有何不同？
2.随机过程的五个要素都是什么？

论随机变量与随机变量的数字特征

论随机变量与随机变量的数字特征
随机变量是随机试验的结果，它可以取不同的取值，并且
每个取值都有相应的概率与之对应。

随机变量的数字特征
是对其分布进行度量和描述的统计量。

常见的随机变量的数字特征包括：
1. 期望值（均值）：用于表示随机变量平均取值的数字特征。

对于离散型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为每
个取值乘以其概率的加权平均值。

对于连续型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为函数f(x)乘以其概率密度函数的加权积分。

期望值可以理解为随机变量对应分布的中心位置。

2. 方差：用于表示随机变量取值的离散程度。

方差越大，
随机变量的取值波动越大。

方差的计算公式为Var(X) =
E((X - E(X))²)，其中E表示期望值。

3. 标准差：标准差是方差的平方根，用于衡量随机变量取
值的波动程度。

标准差越大，随机变量的取值波动越大。

4. 偏度：偏度衡量随机变量的离散程度和分布的对称性。

正偏表示分布右尾比左尾重，负偏表示分布左尾比右尾重，偏度为0表示分布左右对称。

5. 峰度：峰度衡量随机变量分布的尖峰程度。

正态分布的峰度为3，大于3表示比正态分布尖峰，小于3表示比正态分布平坦。

这些数字特征可以帮助我们更好地理解和描述随机变量的分布特点，从而进行数据分析和统计推断。

浙大概率论第五版习题答案

浙大概率论第五版习题答案浙大概率论第五版习题答案概率论是数学中的一门重要学科，它研究的是随机现象的规律和性质。

在浙江大学的概率论教材中，第五版是最新的版本，它包含了许多习题供学生练习和巩固知识。

本文将为大家提供浙大概率论第五版习题的答案，帮助大家更好地理解和掌握概率论的知识。

第一章：概率论的基本概念和基本原理1.1 概率的基本概念1. 掷一颗骰子，出现1的概率是多少？答案：由于骰子有6个面，每个面出现的概率是相等的，所以出现1的概率是1/6。

2. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，从中随机取出一个球，取到红球的概率是多少？答案：袋子中一共有8个球，其中5个是红球，所以取到红球的概率是5/8。

1.2 随机事件及其概率1. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，取到红桃的概率是多少？答案：一副扑克牌中有52张牌，其中有13张红桃牌，所以取到红桃的概率是13/52，即1/4。

2. 一箱中有6个红球和4个蓝球，从中不放回地抽取2个球，取到两个红球的概率是多少？答案：第一次抽取红球的概率是6/10，第二次抽取红球的概率是5/9，所以取到两个红球的概率是(6/10)*(5/9)=30/90，即1/3。

第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率及其性质1. 一批产品中有10%的次品，现从中随机抽取一个产品，如果抽到的产品是次品，那么它是A型产品的概率是30%，那么这批产品中A型产品的比例是多少？答案：设A为抽到的产品是A型产品的事件，B为抽到的产品是次品的事件。

根据条件概率的定义，P(A|B)=0.3，P(B)=0.1，所以P(A∩B)=P(B)*P(A|B)=0.1*0.3=0.03。

又因为P(A∩B)=P(A)*P(B)，所以P(A)=P(A∩B)/P(B)=0.03/0.1=0.3。

2. 一批产品中有20%的次品，现从中随机抽取两个产品，如果第一个产品是次品，那么第二个产品也是次品的概率是多少？答案：设A为第一个产品是次品的事件，B为第二个产品是次品的事件。

随机变量的数字特征

例若随机变量X的概率密度为
f(x)(1 1x2), x
则称X服从柯西(Cauchy)分布。
但
|x|
f(x)d x (1| x|x2)dx 发散
所以柯西分布的数学期望不存在。
《医药数理统计方法》
§3.1
三、数学期望的性质
1、E(C)=C 2、E(CX)=C×E(X) 3、E(X±Y)=E(X)±E(Y)
n
n
3)设X1,X2,…,Xn相互独立，则 V(Xi)V(Xi)
i1
i1
V (1 n i n 1X i) n 1 2i n 1 V (X i) 1 n [1 n i n 1 V (X i)]
解：红细胞的变异系数为 C V(X1)4 0..1 27 98 16.965%
血红蛋白的变异系数为
10.2 C V(X2)117.68.673%
所以，血红蛋白的变异较大。
《医药数理统计方法》
§3.2
二、方差的性质
1、V(C)=0 证明：V(C)=E{[CE(C)]2} =E[(CC)2]=0
2、V(CX)=C2V(X) 证明：V(CX)=E{[CXE(CX)]2}
而 E (X 2 ) E (X X ) E (X )E (X ) 1 1 1
339
计算是错误的！！
《医药数理统计方法》
§3.2
§3.2 方差、协方差和相关系数
一、方差二、方差的性质三、其他数字特征
《医药数理统计方法》
§3.2
一、方差
例3.15 为了比较甲、乙两个专业射击运动员的技术水平，令每人各射击5次，分别以 X1,X2表示他们射击的环数，结果如下：
即
E(X) xf(x)dx

概率论与数理统计2.2

若μ k= E ( X EX ) k 存在，称之为 X 的 k 阶中心矩。
2. 矩不等式定理：
设 h(x) 是x的一个非负函数， X是一个随机变量，
且Eh(X)存在, 则对任意 > 0,有
Eh( X ) P{h( X ) }
证明：（只证 X 是连续型）

Eh( X )
1、定义
设 X 是随机变量，若E ( X EX ) 2 存在，称其为随机变量 X 的方差，记作 DX，Var(X)，即： DX=Var(X)= E ( X EX ) 2 。 DX 称为标准差。
DX E ( X EX ) ( xi EX ) 2 pi ，离散型。显然方差是
0
2 x 1 nl 1 x d 2 x 2 x d 2 x 1 x d x f x x 1 x 1 0

于由
1 1 x x f 2 x 1 为数函度密率概的 X 量变机随设
例6
三、随机变量函数的数学期望定理 1：设 Y=g(X), g(x) 是连续函数. (1) 若 X 的概率分布为 p k P{ X xk } k 1,2, 且
为什么要研究随机变量的数字特征
与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征在理论和实践上都有重要的意义。本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差和矩。
一、离散型随机变量的数学期望
例1. 一射手进行打靶练习，规定射入区域e2得2分，射入区域e1
a x0 x1 xn 1 b
则X落在区间 [xi, xi+1]中的概率为

随机变量的数字特征

1 2 3 求E(Z)
-1 0 0.1 1
0.4 0.2 0.4
解:方法一：
(1) E(X)=1*0.4+2*0.2+3*0.4=2 E(Y)=-1*0.3+0*0.4+1*0.3=0
方法二：
(1)E(X)=0.2*1+0.1*2+0*0.3+0.1*1+0*2+0.3*3+0.1*1+0.1*2+0.1*3=2
E( X ) xk pk . k 1
E( X ) 0 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 1 (元)
例题：有 5 个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk (k 1, 2,3,4,5) 服从同一指数分布，其概率密度为
f
(
x
)
1
e
x
/
,
x 0, 0.
0,
x 0,
1) 若将5个装置串联成整机，求整机寿命 N 的数学期望；
若 g(xk )pk 绝对收敛，则有
k 1
E(Y ) E[g( X )] g(xk )pk .
k 1
2). X 是连续型随机变量，概率密度为 f (x),
若 g(x) f (x)dx 绝对收敛，则有
E(Y ) E[g( X )] g(x) f (x)dx
(证明超过范围，略)
说明: 在已知Y是X的连续函数前提下,当我们求
E(Y)时不必知道Y的分布, 只需知道X的分布就可
以了.
Y x42
0
4
例: 设随机变量 X 的分布律为 X -2
0
2
求：E( X ), E( X 2 ), E(3X 2 5). P 0.4 0.3 0.3 解：(1)E(X) 2 0.4 0 0.3 2 0.3 0.2,

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征随机变量是概率论中的重要概念，描述了在一定概率分布下可能取得的不同取值。

在实际问题中，我们常常需要对随机变量的数字特征进行分析，以揭示其分布规律和潜在规律。

本文将介绍随机变量的数字特征及其应用。

1. 期望值期望值是描述随机变量平均取值的一个重要数字特征。

对于离散型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\sum_{i} x_i \\cdot P(X = x_i) $$其中，X表示随机变量，x i为X可能取得的值，P(X=x i)为X取值为x i的概率。

对于连续型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x \\cdot f(x) dx $$其中，f(x)为X的概率密度函数。

2. 方差方差是描述随机变量取值分散程度的数字特征。

对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var[X]=E[(X−E[X])2]对应连续型随机变量的方差计算公式为：$$ Var[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} (x - E[X])^2 \\cdot f(x) dx $$3. 协方差协方差描述了两个随机变量之间的线性相关性。

对于两个随机变量X和Y，其协方差的计算公式为：Cov[X,Y]=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]协方差的正负值表示了两个随机变量的相关性程度，当协方差为正时，表示两个随机变量正相关，为负时表示负相关。

4. 相关系数相关系数是协方差标准化后的结果，用以衡量两个随机变量之间的线性相关性强弱。

相关系数的计算公式为：$$ \\rho_{X,Y} = \\frac{Cov[X,Y]}{\\sigma_X \\cdot \\sigma_Y} $$其中，$\\sigma_X$和$\\sigma_Y$分别为X和Y的标准差。

相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越接近1表示相关性越强。

5. 大数定律大数定律是概率论中的一个重要定理，指出在独立重复试验中，随着试验次数的增多，样本平均值将趋近于总体期望值。

随机变量的数字特征

19
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X ) 的分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求g(X )的分布而只根据 X 的分布求得 E[g(X )] 呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的.
20
类似引入上述EX 的推理，可得如下的基本公式: 设X 是一个随机变量，Y =g(X )，则
∞ 散 ∑g(xk ) pk , X离型 EY = E[g( X )] = k=1 +∞ g(x) p(x)dx, X连型续 ∫−∞ 当X 为离散型时, P( X = xk ) = pk ;
−λ x
d(−λx) = −∫0 x de
+∞
−λ x
=
1
λ
18
∵ λ = 0.002
∴ EX = 500
小时。
三、随机变量函数的数学期望问题的提出： 1. 问题的提出：设已知随机变量X 的分布，我们需要计算的不是X 的期望，而是X 的某个函数g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X )也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X 的分布求出来. 就可以按照期望的一旦我们知道了g(X )的分布，定义把 E[g(X )] 计算出来.
E( X2 ) =8×0.1+ 9×0.5+10×0.4 = 9.3
因此乙的平均环数比甲的多，因此乙的平均环数比甲的多，即乙射手比甲射手的成绩好。即乙射手比甲射手的成绩好。
15
二、连续型随机变量的数学期望定义2 定义2 设连续型随机变量X 的概率密度为 p(x) . 如果则称
∫
x p(x)dx 绝对收敛，绝对收敛， −∞
n n
推广: E(∑Xi ) = ∑EXi

吴赣昌第五版经管类概率论与数理统计课后习题完整版

随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.现习题91.2 随机事件的概率1.3 古典概型现习题3现习题5现习题6现习题8现习题9现习题101.4 条件概率习题3 空现习题41.5 事件的独立性现习题6现习题7现习题8总习题1习题3. 证明下列等式：习题4.现习题5习题7习题9习题11现习题12习题14习题15习题17习题18习题19习题20习题21习题22现习题23现习题24第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},求λ.习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.习题3一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.习题4 (空)习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：X 10 20 30 40pi 0.15 0.25 0.45 0.15求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.习题8某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布.习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.习题10 纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005,在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.习题11设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.2.3 随机变量的分布函数习题1.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.习题4习题5习题6在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1习题2习题3习题4习题5设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.习题6习题7 (空) 习题8习题9习题10习题112.5 随机变量函数的分布习题1习题2习题3习题4习题5习题6总习题二1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布1、2、⑴⑵⑶3、⑴⑵⑶5、6、8、9、3.2 条件分布与随机变量的独立性1、2、3、5、7、3.3 二维随机变量函数的分布1、7、。

2.2-1 数学期望

x 例3 设X ~ f ( x ) 2 x 0
1
0 x 1 1 x 2 其它
2
，求EX
解：EX xf ( x )dx 0 x xdx 1 x( 2 x )dx
x x 2 (x ) 1 3 0 3 1
3 1
3
2
1.两点分布 2.二项分布 3.泊松分布 4.均匀分布 5.指数分布 6.正态分布
2 .2-1 数学期望
一、随机变量的数学期望
引例某专业有100名学生，年龄组成为 17岁的2人 , 18岁的2人，岁的30人，岁的56人，岁的10人 .求该 19 20 21 专业学生的平均年龄
解：显然不能用17，，，，这5个数的简单平均数 18 19 20 21 19 作为该专业学生的平均年龄 . 而应计算如下：

1 0 (1 x ) xdx 1 ( x 1)( 2 x )dx 3
1 2
三、随机变量数学期望的性质
(1) EC C (C为常数)
(2)设X ,Y是两个r .v .，则对实数k1 , k2 ,
E ( k1 X k2Y ) k1 EX k2 EY
( 3)若X ,Y 相互独立, 则 E ( XY ) EX EY

例1 X ~ U (a, b)，求EX 均匀分布的均值恰为区间的中点
1 a xb 解：f ( x ) b a 0 其他 2b b 1 ab 1 x EX x f ( x )dx a x dx ba 2 a ba 2
例2 X ~ E ( )，求EX
EX k pk k
k 0
n
n
k 0

2.2随机变量的数字特征

数学期望也称为均值。
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二、随机变量的函数的分布
随机变量的函数
设 X 是一随机变量，Y 是 X 的函数， g X , 则 Y Y
也是一个随机变量．当 X 取值 x时，Y 取值 y g x
本节的任务就是：
已知随机变量 X 的分布，并且已知Y g X ，要求随机变量Y 的分布．
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此时称Y 服从自由度为1的 2分布。
二、随机变量的函数的分布
例 6
设随机变量 X 的密度函数为 f X x ， X ，试 Y 求随机变量Y 的密度函数 f Y y ．
设随机变量X 的分布函数为FX y ，随机变量 Y 的分布函数为FY y
解：
FY y P y P X y Y
解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
10 由于 Y X 2 0, 故当 y 0 时 FY ( y) 0.
20 当 y 0 时, FY ( y ) P{Y y} P{ X 2 y} P{ y X y }
y y
f X ( x)dx.
Y = (X-1)2
的分布律.
1 2 X -1 0 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
解: Y 有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0，解得 X=1，所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1,
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二、随机变量的函数的分布
例 2（续） Y=(X-1)2 同理,
(1) 旅客 8:00 到站，求他侯车时间的数学期望。 (2) 旅客 8:20 到站，求他侯车时间的数学期望。
解：设旅客的候车时间为 X（以分记）

随机变量的数字特征

求 X 的数学期望 EX 。
解由连续型随机变量数学期望的定义，有
EX xf (x)dx
0
1
2
x 0dx+ x xdx+ x (2 x)dx x 0dx
0
1
2
1 x2dx+ 2 (2x x2 )dx 1.
0
1
三、随机变量函数的数学期望
定理设 X 为随机变量，y g(x)为实函数，
EX 2 2EX 2 EX 2 EX 2 EX 2.
方差的性质：（1）D(C) 0;
（2）DX C D(X );
（3）DCX C2DX ;
x,
例3.6 设随机变量 X 的密度函数为 f (x) 2 x,
0,
0 x 1 1 x 2 . otherwise
求 X 的方差D(X ).
（1）设
X 为离散型随机变量，概率分布为
PX
xi
pi ,i
1, 2,
,
若 g(xi ) pi 绝对收敛，则 Eg(X ) 存在，且
i 1
E g( X )= g(xi ) pi.
i 1
（2）设 X为连续型随机变量，密度函数为 f (x) ，若
g(x)
f
(x)dx
绝对收敛，则
Eg(X )
存在，且
机变量 X 的方差，记为 D(X ) ，或 Var(X ) ，并称 D(X )
为 X 的标准差。
方差的计算：
考虑到方差实际上为随机变量函数的数学期望：g( X ) X EX 2，因此
若 X 为离散型随机变量，概率分布为 pi PX xi , i 1,2, ，则
D( X ) EX EX 2 xi EX 2 pi. i 1

第三章随机变量的数字特征

概率论
第三章随机变量（向量）的数字特征
§3.1 随机变量的数学期望 §3.2 随机变量的方差 §3.3 协方差与相关系数
为了完整的描述随机变量的统计特性，自然应该知道其分布函数，因为随机变量的分布函数可以反映随机变量取值的规律。但是在实际问题中，一方面随机变量的分布或分布函数并不都是容易求得的，另一方面，往往也不需要知道随机变量的详尽的概率分布，而仅需要知道其某些
四、随机变量函数的数学期望 1. 一元随机变量函数的情况设Y g( X )是随机变量 X的函数，（1）离散型
如果随机变量X 的概率函数为 P{ X xk } pk k 1, 2, 则有E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk
k 1
（2）连续型
x2
1 n
Pk
n
… xi … 1 n
… xn … 1 n
E ( X ) x1 1 x2 1 ... xn 1 1 xi n n n n
i 1
2.两点分布由数学期望的定义
E( X ) p
X pi
0
1
q
p
3. 二项分布若随机变量 X ~ B(n, p) ，其概率函数为
xR
( x )2 2 2
1 E ( X ) xf ( x)dx xe 2 t2 (x ) 1 令t ( t )e 2 dt 2 t2 1 e 2 dt 2
dx
解：由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v)dv kv dv ka a 3 0
2 2 a
例3.6 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为

随机变量数字特征教学中的几点思考

随机变量数字特征教学中的几点思考1. 引言1.1 背景介绍随机变量数字特征是概率论与数理统计中重要的概念，对于理解和分析随机现象具有重要意义。

在教学中，对随机变量数字特征的理解和运用可以帮助学生更好地掌握概率统计知识，提高其数学建模能力和问题解决能力。

随机变量数字特征的应用也广泛存在于现实生活和科学研究中，如金融领域的风险评估、医学领域的疾病预测等。

随机变量数字特征的教学涉及到多个方面，包括定义、分类、应用、方法和局限性等内容。

通过对随机变量数字特征的深入探讨和分析，可以为教师在教学过程中提供更多的思考和指导，帮助学生更好地掌握相关知识。

1.2 研究意义随机变量数字特征在教学中的应用十分广泛，对于学生的数理逻辑思维能力和数据分析能力的培养具有重要意义。

通过教学中的实例和案例，可以让学生更深入地理解随机变量数字特征的概念和分类，提高他们的数学素养和解决问题的能力，培养他们的数据分析思维和创新能力。

随机变量数字特征教学还可以帮助学生更好地理解概率论和统计学的知识，并将这些知识应用到实际问题中，加深他们对数学理论的理解和应用能力。

通过教学中不断引导学生思考、分析问题，培养他们的观察思维和逻辑推理能力，提高他们的自学能力和问题解决能力。

对随机变量数字特征的教学进行深入研究和探讨，不仅有助于提高教学质量和效果，还可以促进学生数学思维的发展，为他们未来的学习和工作打下坚实的基础。

2. 正文2.1 随机变量数字特征的定义随机变量是概率论中的一个重要概念，它可以用来描述随机试验中可能发生的各种结果。

数字特征是描述随机变量的统计特征，可以帮助我们更好地理解随机变量的性质和规律。

随机变量的数字特征可以通过一些统计量来描述，比如均值、方差、标准差等。

这些数字特征可以帮助我们了解随机变量的分布情况，从而更好地应用概率论和数理统计的知识。

2.2 随机变量数字特征的分类随机变量数字特征的分类是根据随机变量的性质和特点进行划分的。

(精品)概率论课件：随机变量的数字特征

随机变量的数字特征
数学期望方差协方差、相关系数其它数字特征
1
问题的提出：
在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。
2
例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度；考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。
k 1
k 1
的值为X的数学期望，记为E(X)，即
E( X ) xk pk k 1
6
定义：设连续型随机变量X的概率密度
函数为f(x)，若积分
+
x
f (x)dx ,
则称积分
+
xf (x)dx
的值为X的数学期望，
记为E(X)，即
+
E( X ) xf (x)dx
数学期望简称期望，又称均值。
7
n
n
E(c0 ci X i ) c0 ci E( X i )
i 1
i 1
31
4.设X,Y是相互独立随机变量, 则有 E(XY)=E(X) E(Y),
推广到任意有限个相互独立随机变量之积：
n
n
E( i 1
X
i
)
i 1
E(
X
i
),
其中Xi，i 1,..., n相互独立.
32
证明：
1. C是常数，P(X C) 1, E(X ) E(C) 1C C
33
4. E(XY )
xyf (x, y)dxdy
xyfX (x) fY ( y)dxdy

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征
随机变量的数字特征包括均值、方差、标准差、偏度和峰度等。

其中，均值是衡量随机变量中心位置的指标，是所有取值的平均数；方差是随机变量离均值的距离平方的平均数；标准差是方差的算术平方根，也是随机变量离均值距离的度量，具有与随机变量相同的量纲；偏度是随机变量概率分布的偏斜程度，为其分布的非对称程度的度量；峰度则是随机变量概率分布的尖锐程度，衡量随机变量的概率分布在平均值附近的峰值高低。

可以通过计算公式来求解以上数字特征，例如均值的计算公式为所有取值的总和除以取值的数量；方差的计算公式为将每个取值与均值的差值平方后的总和除
以取值的数量；标准差的计算公式则是方差的算术平方根；偏度的计算公式为三阶中心矩与标准差的比值；峰度的计算公式为四阶中心矩与标准差的四次幂的比值。

了解随机变量的数字特征有助于描绘随机变量的特征与规律，进而分析和预测其行为。

同时，对于特定应用领域，也需要针对性地选择数字特征进行分析，以
更好地满足应用的需求。

2.2随机变量的数字特征

x f ( x ) dx
f ( x)

0dx a x f ( x ) dx 0dx b
b
a
b
EX 存在.
例已知 r .v . X ~ [ a , b ]上的均匀分布, 求 EX
解
1 , X ~ f ( x) b a 0,

a xb
n ' n x n1 ( x n )' x x 1时， n 1 n 1 n 1 2 3 n ' x ' 1 2 ( x x x ... x ...) 1 x (1 x )

二.连续型随机变量的数学期望
0
1 2 2 1 1 0 sin xdx 2 ( cos x ) 0 2 cos x 2
0 2
0
例 r .v . X ~ [ 0, 2 ]上的均匀分布, 求E (sin X ),
E ( X EX )2
1 2 ,
解 X ~ f ( x)
2
0 x 2
x2 2 EX x f ( x )dx 0dx dx 0dx a ba b
a b
1 b 2 1 x3 b 1 b 3 a 3 a 2 ab b 2 a x dx b a 3 a b a 3 ba 3
例 r .v . X ~ [ 0, 2 ]上的均匀分布, 求E (sin X ),
说明:
x x
n n n
n n
pn x1 p1 x2 p2 ... xn pn ... 收敛
EX x1 p1 x2 p2 ... xn pn ...

2.2随机变量的数字特征

第二章__1_随机变量及其分布

2.2随机过程的分布律和数字特征

论随机变量与随机变量的数字特征

浙大概率论第五版习题答案

随机变量的数字特征

概率论与数理统计2.2

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征

吴赣昌 第五版 经管类概率论与数理统计课后习题 完整版

2.2-1 数学期望

2.2随机变量的数字特征

随机变量的数字特征

第三章 随机变量的数字特征

随机变量数字特征教学中的几点思考

(精品)概率论课件：随机变量的数字特征

随机变量的数字特征

2.2随机变量的数字特征

吴赣昌第五版经管类概率论与数理统计课后习题完整版

第三章随机变量的数字特征