金太阳《十三》试题及答案

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2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十三)文科数学试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设函数y =定义域为A ，函数ln(3)y x =-的定义域为B ，则A B =（）A. (,3)-∞B. (8,3)--C. {3}D. [3,3)-【答案】D 【解析】【分析】分别求出两个函数的定义域,A B ，进而求出AB 即可.详解】由题意，对于函数y =290x -≥，解得33x -≤≤，即[]3,3A =-；对于函数ln(3)y x =-，30x ->，解得3x <，即(),3B =-∞，所以AB =[3,3)-.故选：D.【点睛】本题考查函数的定义域，考查集合的交集，属于基础题. 2.已知复数i()z a a =-∈R ，若8z z +=，则复数z =（） A. 4i + B. 4i -C.4i -+D.4i --【答案】B 【解析】【分析】求出z 的表达式，再结合8z z +=，可求出a 的值，即可求出答案.【详解】由题意，i()z a a =-∈R ，i z a =+，所以i i 8a a -++=，解得4a =，故z =4i -. 故选：B.【点睛】本题考查共轭复数，考查学生的计算求解能力，属于基础题.3.已知命题p ：0x ∀>，则31x >；命题q ：若a b <，则22a b <，下列命题为真命题的是( ) A. p q ∧ B. p q ∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】【分析】由指数函数的性质可知命题p 为真命题，则￢p 为假命题，命题q 是假命题，则￢q 是真命题．因此p ∧￢q 为真命题．【详解】命题p ：0x ∀>，则31x >，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题；取a=-1，b=-2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题．故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了全称命题的否定，训练了函数零点存在性定理的应用方法，考查复合命题的真假判断，是基础题．4.设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（）． A. 若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B. ,αβαγ⊥⊥，则βγ⊥C. 若m ∥α，m β⊥，则αβ⊥D. ,,m n m αγβγ⋂=⋂=∥n ，则α∥β 【答案】C 【解析】试题分析：A ．错，因为没说明垂直于两平面的交线，B ．错，垂直于同一平面的两个平面相交或平行，C ．正确，因为平面存在垂直于的线，D ．错，因为与有可能相交．故选C ．考点：线线，线面，面面位置关系5.郑州市2019年各月的平均气温()℃数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）A. 20B. 21C. 20.5D. 23【答案】C 【解析】【分析】根据茎叶图结合中位数的定义读出即可．【详解】解：由题意得，这组数据是：01，02，15，16，18，20，21，23，23， 28，32，34，故中位数是：202120.52+=，故选：C ．【点睛】本题考查了茎叶图的读法，考查中位数的定义，属于基础题． 6.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 的取值范围是（）A. (2,)+∞B. (4,10]C. (2,4]D. (4,)+∞【答案】B 【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：设输入x a =，第一次执行循环体后，32x a =-，1i =，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，98x a =-，2i =，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，2726x a =-，3i =，满足退出循环的条件；故9882a -，且272682a ->，解得：(4,10]a ∈，故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于中档题．7.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（）A. 58- B.18C.14D.118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线的离心率为（）A.B. 10C. 3D.3【答案】D 【解析】【分析】由题可知直线350x y -+=与渐近线b y x a =-垂直，可求出b a 的值，进而由c e a ==心率.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为by x a=±，又因为直线350x y -+=的斜率为30>，所以与该直线垂直的渐近线方程为by x a=-，则31b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即13b a =，故双曲线的离心率c e a ====故选：D.【点睛】本题考查双曲线的渐近线与离心率，考查垂直直线的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.9.函数2||()24x x f x =-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】先判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、B 选项，再根据()0,2x ∈时，()0f x <，()2,x ∈+∞时，()0f x >，可选出答案.【详解】由题意，函数2||()24x x f x =-的定义域为}{,2x x x ∈≠±R ，又()22||||()2424x x x x f x ---==--，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，可排除A 、B 选项；当()0,2x ∈时，2()024x x f x =<-；当()2,x ∈+∞时，2()024x x f x =>-，显然只有选项D 符合题意.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，常常利用函数的定义域、奇偶性、单调性及特殊值等方法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.10.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积．将aGini S=，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x>；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为1[0,1])y x =∈，则π12Gini =-；其中正确的是：（） A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】【分析】结合基尼系数曲线的特点，可判断出①正确；由劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可知②错误；再结合1[0,1])y x =∈对应的图形特征，可求出对应的,a S ，进而可求出Gini ，即可判断③是否正确.【详解】对于①，根据基尼系数公式aGini S=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x ≤，可得()1f x x≤，所以②错误；对于③，易知1[0,1])y x =∈表示圆心为()0,1，半径为1的14圆弧，则21111π111π4242a =⋅-⨯⨯=-，12S =，故11ππ421122a Gini S -===-，所以③正确. 故选：B.【点睛】本题考查新定义，考查不等式证明，考查几何图形面积的计算，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球表面积为4π，则正方体外接球的体积为( )A. B. 36πC. 3D. 6【答案】B 【解析】【分析】利用体积相等求出正四棱锥的高，从而可得正四棱锥的棱长，可求得正方体的棱长，利用正方体外接球直接就是正方体对角线长，可求外接球的半径，进而可得结果. 【详解】设正方体的棱长为a ，则BD =，因为三棱锥11A BC D -内切球的表面积为4π，所以三棱锥11A BC D -内切球的半径为1，设11A BC D -内切球的球心为O ，1A 到面1BC D 的距离为h ，则1114A BC D O BC D V V --=，11114133BC D BC D S h S ∆∆⨯=⨯⨯⨯，4h ∴=，又(23h ==，4,3a ∴== 又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，∴3=，其体积为343363ππ⨯=，故选B. 【点睛】解答多面体内切球的表面积与体积问题，求出内切球半径是解题的关键，求内切球半径的常见方法有两种：一是对特殊几何体（例如正方体，正四面体等等）往往直接找出球心，求出半径即可；二是对不规则多面体，往往将多面体分成若干个以多面体的面为底面以内切球的球心为高的棱锥，利用棱锥的体积和等于多面体的体积列方程求出内切球半径. 12.已知函数π()2f x x=-，()cos sin g x x x x =-，当[4π,4π]x ∈-，且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是（） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】【分析】分别判断两个函数的奇偶性及单调性，进而做出二者的图象，根据图象交点个数可得出答案. 【详解】由题意，函数π()2f x x=-，在[)(]4π,00,4π-上是奇函数，且是反比例函数，又()()()()cos sin cos sin g x x x x x x x g x -=----=-+=-，所以()g x 在[)(]4π,00,4π-上是奇函数.又()sin g x x x '=-，所以()0,πx ∈时，()0g x '<；()π,2πx ∈时，()0g x '>；()2π,3πx ∈时，()0g x '<；()3π,4πx ∈时，()0g x '>.所以()g x 在()0,π上单调递减；在()π,2π上单调递增；在()2π,3π单调递减；在()3π,4π上单调递增. 作出(),()f x g x 的图象，如下图所示，()00g =，()ππg =-，()1π2f =-，()()ππf g >，则()f x 与()g x 的图象在()0,πx ∈上有1个交点；()2π2πg =，()12π4f =-，()()2π2πg f >，则()f x 与()g x 的图象在()π,2πx ∈上有1个交点；()3π3πg =-，()13π6f =-，()()3π3πf g >，则()f x 与()g x 的图象在()2π,3πx ∈上有1个交点；()4π4πg =，()14π8f =-，()()4π4πg f >，则()f x 与()g x 的图象在()3π,4πx ∈上有1个交点.故()f x 与()g x 的图象在(]0,4π上有4个交点，根据对称性可知，二者图象在[)4π,0-上4个交点，故当[4π,4π]x ∈-，且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是8.故选：D.【点睛】本题考查函数图象交点问题，考查函数图象的应用，考查学生的推理能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.幂函数()2()33mf x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m =_______.【答案】2 【解析】【分析】根据幂函数的定义得到m 的值，再根据图象关于y 轴对称验证m 的值. 【详解】函数()2()33mf x m m x =-+是幂函数，2331,m m ∴-+= 解得：1m =或2m =，当1m =时，函数y x =的图象不关于y 轴对称，舍去，当2m =时，函数2y x 的图象关于y 轴对称，∴实数2m =．【点睛】幂函数y x α=，若α为偶数，则图象关于y 轴对称.14.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点的概率为________. 【答案】712【解析】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b 可得6636n =⨯=种结果，由直线与圆()2222x y -+=有公共点a b ≤≤，故满足a b ≤的结果有65432121m =+++++=种，由古典概型的计算公式可得：直线0ax by +=与圆()2222x y -+=有公共点的概率为2173612m P n ===，应填答案712．15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且b =(sin )A A b =，则ABC的面积的最大值为_______．【解析】【分析】由正弦定理边角转化，并结合()sin sin C A B =+，可得到cos sin sin A B A B =，从而可得tan 3B =，即可求出角B ，再结合余弦定理，可得到223a c ac =+-，利用基本不等式可求得3ac ≤，进而由1sin 2ABC S ac B =△，可求出答案. 【详解】由正弦定理可得，3sin (sin 3cos )sin C A A B =+，又()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，所以()3sin cos sin cos (sin 3cos )sin A B B A A A B +=+，则3sin cos sin sin A B A B =，因为sin 0A ≠，所以3cos sin B B =，即tan 3B =，故π3B =. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得223a c ac =+-，又222232a c ac a c ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立，所以3ac ≤，且11333sin 32224ABCSac B =≤⨯⨯=. 故答案为：33. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.16.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有______．①CPI 一篮子商品中权重最大的是居住 ②CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50% ③猪肉在CPI 一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI 一篮子商品中权重约为0.18% 【答案】①②③【解析】【分析】结合两个图，对四个结论逐个分析可得出答案.【详解】对于①，CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大，故①正确；对于②，CPI 一篮子商品中吃穿住所占19.9%8%23%50.9%++=，权重超过50%，故②正确；对于③，由第二个图可知，猪肉在CPI 一篮子商品中权重为2.5%，故③正确；对于④，由第二个图可知，猪肉与其他禽肉在CPI 一篮子商品中权重约为2.5% 2.1% 4.6%+=，故④错误.故答案为：①②③.【点睛】本题考查统计图的识别和应用，考查学生的分析问题、解决问题的能力，属于基础题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*11n n n b n a a +=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2,1,21, 2.n n a n n =⎧=⎨+≥⎩；（2）412030n n T n +=+【解析】【分析】（1）由1n =时，11a S =，2n ≥时，1n n n a S S -=-，可求出{}n a 的通项公式；（2）由1n =时，1121b a a =，2n ≥时，11122123n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，进而结合裂项相消求和法可求出n T . 【详解】（1）当1n =时，112a S ==．当2n ≥时，()22121(1)2(1)121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦．而12211a =≠⨯+，所以数列{}n a 的通项公式为2,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩.（2）当1n =时，1121112510b a a ===⨯，当2n ≥时，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以1,110111.,222123n n b n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪++⎝⎭⎩，当1n =时，11110T b ==，当2n ≥时，1231111111110257792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111411025232030n n n +⎛⎫=+-= ⎪++⎝⎭．又114111020130T ⨯+==⨯+，符合412030n n T n +=+，所以412030n n T n +=+()*N n ∈．【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查利用裂项相消法求数列的前n 项和n T ，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18.在改革开放40年成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表：（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+．（2）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-．（参考数据：()()612.8iii x x y y =--=∑，计算结果保留到小数点后两位）【答案】（1）0.16 6.44y x =+；（2）7.56万吨【解析】【分析】（1）先求出x 和y 的值，然后求出()621ii x x =-∑，进而由()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，a y bx =-，可求出ˆ,ba ，从而可求出y 关于x 的线性回归方程；（2）当年份为2020年时，年份代码为7x =，由（1）求得的回归方程，求出ˆy的值即可．【详解】（1）由题意可知：1234563.56x +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()622222221( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5i i x x=-=-+-+-+++=∑，所以()()()1212.8ˆ0.1617.5niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑，又70.16 3.5 6.44a y bx =-=-⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为0.16 6.44y x =+．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码为7x =，此时0.167 6.447.56y =⨯+=．所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．（1）求证：1//B C 平面1A BD ；（2）若160A AB ACB ∠=∠=︒，1AB BB =，2AC =，1BC =，求三棱锥1C AA B -的体积．【答案】（1）详见解析；（2）34【解析】【分析】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，可知1//OD B C ，进而由线面平行的判定定理可证明1//B C 平面1A BD ；（2）在ABC 中，利用余弦定理可求得3AB =222AC AB BC =+，即AB BC ⊥，再结合平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知BC ⊥平面11AA B B ，进而求出1A AB S △，从而由1113C A AB AA BV S BC -=⋅可求出答案.【详解】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD B C ，又OD ⊂平面1A BD ，1B C ⊂/平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ．（2）2AC =，1BC ∴=，60ACB ∠=︒，22212cos 4122132AB AC BC AC BC ACB ∴=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，3AB ∴=，222AC AB BC ∴=+，AB BC ∴⊥．又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B平面ABC AB =，BC ⊂平面11AA B B ，BC ∴⊥平面11AA B B ．160A AB =︒∠，1AB BB =，∴四边形11AA B B 为菱形，1ABA △为正三角形，13AA AB ∴==.11111333sin 332224A AB S AB AA A AB ∴=⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△． 1111333133C A AB AA BV SBC -∴=⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 平行于直线by x a=，且与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若AOB ∠为钝角，求直线l 在x 轴上的截距m 的取值范围．【答案】（1）22182x y +=；（2）(2,0)(0,22)-⋃ 【解析】【分析】（1）由短轴长为23,a b 的值，进而可求出椭圆的标准方程；（2）由直线l 平行于直线b y x a=，可设直线l 的方程为1(0)2y x n n =+≠，与椭圆方程联立，可得到关于x 的一元二次方程，由>0∆，可求得22n -<<，再结合AOB ∠为钝角，可得0OA OB ⋅<，且0n ≠，将该式展开，并结合韦达定理，可求出22n <，进而可求出n 的取值范围，再结合直线l 在x 轴上的截距2m n =-，可求出m 的取值范围．【详解】（1）由题意可得2b =b =c e a ===a = 所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=．（2）由于直线l 平行于直线by x a =，即12y x =，设直线l 在y 轴上的截距为n ，所以l 的方程为1(0)2y x n n =+≠．联立221,2182y x n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x nx n ++-=，因为直线l 与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，所以()22(2)4240n n ∆=-->，解得22n -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x n +=-，21224x x n =-．因为AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<，且0n ≠，所以121212121122OA OB x x y y x x x n x n ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22212125524(2)04242n nx x x x n n n n =+++=-+-+<，即22n <，且0n ≠，所以直线l 在y 轴上的截距n的取值范围：(⋃．因为直线l 在x 轴上的截距2m n =-，所以m的取值范围是：(-⋃．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21.已知函数ln ()()xf x a x a =∈+R ，曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程为1ey =．（1）求实数a 的值，并求()f x 的单调区间（2）求证：当0x >时，()1f x x ≤-．【答案】（1）单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,)+∞；（2）详见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，由(e)0f '=，可求出a 的值，进而可得()f x 解析式，求出单调性即可；（2）当0x >时，要证()1f x x ≤-即证2ln 0x x x -+≤，进而构造函数2()ln (0)g x x x x x =-+>，求导并判断单调性可知()(1)0g x g ≤=，从而可证明结论.【详解】（1）ln ()xf x x a =+，2ln ()()x axxf x x a +-'∴=+， 2e (e)(e )af a '∴=+，又曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程为1ey =，则(e)0f '=，即0a =， 21ln ()xf x x -'∴=，令()0f x '>，得1ln 0x ->，即0e x <<；令()0f x '<，得1ln 0x -<，即e x >，所以()f x 的单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,)+∞．（2）当0x >时，要证()1f x x ≤-即证2ln 0x x x -+≤，令2()ln (0)g x x x x x =-+>，则2112(1)(21)()21x x x x g x x x x x+--+'=-+==-，当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g ≤=，即当0x >时，()1f x x ≤-．【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在极坐标系中，圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程，（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B两点，且||AB ≥．求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）222:()C x y a a +-=，:4350l x y -+=；（Ⅱ）101011a ≤≤. 【解析】【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C 的标准方程，消去参数即可求直线l 的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【详解】解：（Ⅰ）因为圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>，所以圆C 的直角坐标方程为222()x y a a +-=，直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去t 得到4350x y -+=（Ⅱ）由圆的方程可得圆心(0,)C a ，半径R a =，则圆心到直线的距离|53|5a d -==，||3AB a ．3a ∴，即22234a da -，则224a d ，即2a d ，则|53|52a a -，则35252a a a --，由35253552a a a a -⎧-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩解得101110a a ⎧⎪⎨⎪⎩，解得101011a ．即实数a 的取值范围是101011a ．【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的关系，以及直线和圆相交的弦长公式的应用，考查学生的转化能力，属于中档题． 23.已知函数()11f x x a x =+--．（1）当2a =-时，解不等式()5f x >；（2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值．【答案】(1) 4(,)(2,)3-∞-⋃+∞. (2)12. 【解析】分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=﹣2时对应的不等式即可；（2）由f （x ）≤a|x+3|得a ≥131x x x +++-，利用绝对值三角不等式处理即可.详解：（1）当2a =-时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪->⎩()5f x >的解集为：()4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）由()3f x a x ≤+得：113x a x x +≥-++由1321x x x -++≥+，得：11132x x x +≤-++ 得12a ≥（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立），故a 的最小值为12.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

河北省高二年级上学期12月联考金太阳数学答案

河北省高二年级上学期12月联考金太阳数学答案河北省高二年级上学期12月联考金太阳数学答案一、选择题1. B2. B3. A4. D5. B6. C7. A8. D9. C 10. D11. A 12. C 13. B 14. D 15. A二、填空题1. 0.42. 9/23. 1/34. 155. 156256. 187. 198. 279. 32π10. 15/8三、解答题1. 解：设圆上一点为P(x, y)，圆心为O(0, 0)，半径为r。

因为P点在y轴上，所以x=0。

因为三点共线，所以直线OP过点A(-2, 0)，此时OP的斜率为2。

那么OP的斜率为k1 = (y - 0) / (x - 0) = y / x因为OP与y轴平行，所以k2 = -1 / k1 = -x / y。

对于圆上的任意一点(x, y)，根据勾股定理可得x² + y² = r²将k2带入到直线方程y = k2x + b中，再带入圆的方程可得[(1 + k2²) x² - 4k2] / (1 + k2²) + y² = r²移项整理可得[(1 + k2²) x² + (1 + k2²) y²] / (1 + k2²) = r² + 4k2即[x² + y² - 4k2] / (1 + k2²) = r²因为(x, y)在圆上，所以r² = 4k2，代入可得x² + y² = 8k²又因为k = -x / y，代入可得x² + y² = 8(x² / y²)化简可得x² = 8 - 8(y² / x²)代入圆的方程可得8 - 8(y² / x²) + y² = r²化简可得y² = (r² / 9) x²又因为斜率k1 = y / x，代入可得k1² = r² / (9x²)代入圆上的点P(x, y)可得k1² = 1 / 9所以k1 = ±1 / 3因为P点在第一象限，所以k1 = 1 / 3代入可得x = 6，y = 2\sqrt{7}或-y = 2\sqrt{7}。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十三)数学

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十三）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，若12z zz =，则z 的共复数z =（）A.1322i + B.1322i - C. 1322i -+ D. 1322i -- 【答案】A 【解析】【分析】如图，先判断出12,z z 对应的复数，然后根据复数除法计算出z 的值，即可求解出z 的值.【详解】由图可知：1212,1z i z i =+=-+，所以()()()()1212112131112i i z i i z z i i i +--+-====-+-+--，所以1322z i =+. 故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义、复数除法运算、共轭复数的求解，难度较易.注意互为共轭复数的两个复数的实部相同虚部互为相反数. 2.已知{}210A x x =-≥，{}xB y y e ==，则AB =（）A. ()0,∞+B. (],1-∞C. [)1,+∞D. (][),11,-∞-+∞【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法以及指数函数的值域求解出,A B ，再根据交集概念即可计算出A B 的结果.【详解】因为210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，所以(][),11,A =-∞-+∞，又因为0xy e =>，所以()0,B =+∞，所以[)1,A B ⋂=+∞，故选：C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、指数函数的值域、集合的交集运算，属于综合问题，难度一般. 3.若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A. c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】D 【解析】【分析】本道题结合指数,对数运算性质,结合1和对数单调性进行判断,即可.【详解】32a ==,33322222log 3log 3log 2log 1b a ==>==>13213c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,故c a b <<,故选D.【点睛】本道题考查了指数、对数比较大小，可以结合1以及对数性质进行比较，难度中等．4.2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（） A. 中位数 B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】【分析】根据中位数、平均数、方差、极差的特点进行判断即可.【详解】A ．去掉最高分、最低分后，中位数仍旧是处于中间位置（从小到大排列）的那个数，不发生改变； B ．去掉最高分、最低分后，平均数是否发生改变与去掉的分数有关，不能确定是否变化； C ．去掉最高分、最低分后，方差的确定和平均数、数据个数有关，因此方差也不确定； D ．去掉最高分、最低分后，极差可能发生改变，亦可能不改变. 故选：A.【点睛】本题考查对样本数字特征的理解，难度较易.注意：一组数据（数据个数大于等于3）的中位数不会随着这组数据去掉最大、最小值发生改变. 5.函数()1ln 1y x x =-+的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】计算导数，通过导数判断原函数的单调性，然后判断(),ln 1x x +大小关系，可得结果. 【详解】由题可知：函数定义为()()1,00,x ∈-+∞()()()'221011ln 11ln 1x x y x x x x x ⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭==-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦当()1,0x ∈-时，'0y > 当()0,x ∈+∞时，'0y <所以可知：原函数在()1,0-递增，在()0,∞+递减令()()ln 1g x x x =-+，则()'1111xg x x x =-=++ 当()1,0x ∈-时，()'0g x <当()0,x ∈+∞时，()'0g x >则()g x 在()1,0-递减，且()()00g x g >=()g x 在()0,∞+递增，()()00g x g >=所以函数()1ln 1y x x =-+在定义域中，函数值均大于0故选：A【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属中档题. 6.已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是（） 31- B. 31+C. 2D. 23-【答案】A 【解析】【分析】先确定向量a 、b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值. 【详解】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===，则由π,3a e =得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=，由2430b e b -⋅+=得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -的最小值为圆心()2,0到直线y =的距离211.选A. 【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.7.已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A.23B.12C.13D.14【答案】D 【解析】【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP斜率为6得，222tan sin cos 6PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 8.已知()|sin |f x x π=，123,,A A A 为图象的顶点，O ，B ，C ，D 为()f x 与x 轴的交点，线段3A D 上有五个不同的点125,,,Q Q Q ．记2(1,2,,5)i i n OA OQ i =⋅=，则15n n ++的值为（）A.1532B. 45C.452D.1534【答案】C 【解析】【分析】通过分析几何关系，求出230A OC ︒∠=，260A O C ︒∠=，再将i n 表示成222()=i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD =⋅=⋅+⋅，结合向量的数量积公式求解即可【详解】解：由图中几何关系可知，32OE =,23A E =,23OA =21A C =230A OC ︒∠=∴ 260A O C ︒∠=，32//A D A C ,∴23OA DA ⊥，即23OA DA ⊥．则2222()cos6i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD OA OD π=⋅=⋅+=⋅=⋅，153453352n n ++==答案选C【点睛】本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量2OA ，OD 是关键二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分.9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（） A. 12a =- B. 12a =C. 4d =D. 4d =-【答案】AC 【解析】【分析】根据已知条件，构造关于1,a d 的方程组，即可求解出1,a d 的值并完成选项的判断.【详解】因为45161272461548a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，所以124a d =-⎧⎨=⎩，故选：AC .【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及等差数列求和公式中的基本量的计算，难度较易.已知两个关于等差数列的等式，求解等差数列首项和公差的常见方法：（1）化简为关于首项1a 、公差d 的方程组求解；（2）借助等差数列的性质进行求解. 10.已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（）A. 函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B. 函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D. 函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象【答案】AC 【解析】【分析】先根据对称轴可得4πϕ=-,即()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,将12x π+代入判断函数奇偶性进而判断选项A ；先求出()f x 的单调增区间,再判断,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是否为其子集来判断B ；将问题转化为符合条件的区间至少包含一个最大值,一个最小值,即需包含半个周期,即可判断C ；根据图像变换规则判断D 即可【详解】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确；对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误；对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确；对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D错误故选：AC【点睛】本题考查正弦型函数的对称性,周期性,单调性的应用,考查转化思想,熟练掌握正弦型函数的图象与性质是解题关键11.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（）A. 沙漏中的细沙体积为3102481cm πB. 沙漏的体积是3128cm πC. 细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD. 该沙漏的一个沙时大约是1985秒（ 3.14π≈）【答案】ACD 【解析】【分析】A ．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B ．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C ．根据等体积法计算出沙堆的高度；D ．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.【详解】A ．根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径28433r cm =⨯=，所以体积23121641610243339381h V r cm πππ=⋅⋅=⋅⋅=； B ．沙漏的体积2231125622483233h V h cm πππ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭； C ．设细沙流入下部后的高度为1h ，根据细沙体积不变可知：21102418132h h ππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1102416813h ππ=，所以1 2.4h cm ≈； D ．因为细沙的体积为3102481cm π，沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，所以一个沙时为：10241024 3.14815019850.0281π⨯=⨯≈秒. 故选：ACD.【点睛】本题考查圆锥体积有关的计算，涉及到新定义的问题，难度一般.解题的关键是对于圆锥这个几何体要有清晰的认识，同时要熟练掌握圆锥体积有关的计算公式.12.在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（） A. 在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD 'B. 存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC. 若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，||104A B '= D. 在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为23【答案】ABC 【解析】【分析】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即可判断出结论.对于C ，12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+，结合余弦定理即可得出.对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确.对于C.12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：可得AM ⊥平面BCDE ，则22223111010()1()21cos12022224A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确；对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE fS λλλλ=⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得33λ=时，函数()f λ取得最大值()31231339f λ⎫=-=⎪⎝⎭，因此D 正确.综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC.【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在)5111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项等于___【答案】9 【解析】【分析】先求出二项式)51x 展开式的通项，然后根据分类讨论的方法得到常数项．【详解】二项式)51x 的展开式的通项为552155)(0,1,2,,5)r r rrr T C x C xr --+===，∴)5111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为3555(1)1019C C +-⨯=-=．故答案为9．【点睛】对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况． 14.对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件：①离心率为2；②一条渐近线的倾斜角为30；③实轴长为4，且焦点在x 轴上. 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程________.【答案】①②()2203x y λλ-=>或()2203x y λλ-=>；①③221412x y -=；②③223144x y -= 【解析】【分析】选①②：根据,,a b c 之间的比值关系确定出双曲线方程；选①③：根据离心率以及a 的值确定出双曲线的方程；选②③：根据a 以及ba的值确定出双曲线的方程. 【详解】若选①②：若双曲线的焦点在x 轴上，则设双曲线方程为22221x ya b-=，所以2tan 30c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=︒⎪⎩，所以2c a a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为()2203x y λλ-=>，若双曲线的焦点在y 轴上，则设双曲线方程为22221y xa b-=，所以2tan 30ca a b⎧=⎪⎪⎨⎪=︒⎪⎩，所以2c a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为()2203x y λλ-=>；若选①③：因为224c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以42c a =⎧⎨=⎩，所以2b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩221412x y -=；若选②③：因为tan 302b a a ⎧=︒⎪⎨⎪=⎩，所以32b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以双曲线方程为：223144x y -=.故答案为：()2203x y λλ-=>(或()2203x y λλ-=>或221412x y -=或223144x y -=). 【点睛】本题考查根据已知条件求解双曲线的方程，着重考查双曲线几何性质中的离心率、渐近线知识，难度一般.一般求解双曲线的标准方程时，注意观察双曲线的焦点位置并假设方程.15.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}n a 满足11a =，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次. 【答案】16 【解析】【分析】根据已知的数列递推公式，得到5a 与1a 的等量关系，即可计算出解下5个圆环需最少移动的次数. 【详解】因为()54332222124a a a a =+=-+=，所以()()53221144228882181616a a a a a a ==+=+=-+==，所以解下5个圆环需最少移动的次数为16. 故答案为：16.【点睛】本题考查递推数列的简单应用，难度较易.解答问题的关键是能根据n 的奇偶选择合适的递推公式进行计算.16.已知集合{}001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1nn A A φ-=对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“ϕ”(I)具有性质“ϕ”的一个一次函数的解析式可以是 _____； (Ⅱ)给出下列函数：①1y x =；②21y x =+；③cos()22y x π=+，其中具有性质“ϕ”的函数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）【答案】 (1). 1y x =+（答案不唯一） (2). ①② 【解析】【分析】(I)根据题意，只需找到满足题中条件的函数即可，如1y x =+； (Ⅱ)根据题中条件，逐个判断所给函数即可得出结果.【详解】(I)对于解析式：1y x =+，因为{}001A x x =<<，{}112A x x =<<，{}223A x x =<<…符合1n n A A φ-⋂=．(Ⅱ) 对于①{}001A x x =<<，{}11A x x =＞，{}201A x x =<<…，循环下去，符合1n n A A φ-⋂=；对于②{}001A x x =<<，{}112A x x =＜＜，{}225A x x =<<，{}3526A x x =<<…，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合1n n A A φ-⋂=，对于③，{}001A x x =<<，{}123A x x =＜＜，{}212A x x =<<，{}312A x x =<<不符合1n n A A φ-⋂=，所以，选①②【点睛】本题主要考查集合的交集以及函数值域问题，熟记交集的概念，掌握求函数值域的方法即可，属于常考题型.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，364,27a S ==. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .【答案】（1）1n a n =+；（2）5m =；【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式以及数列的求和公式，求出数列的首项以及公差，然后求解通项公式. （2）说明数列是等比数列，然后求解数列和，求解m 即可. 【详解】（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知得112461527a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩. 所以()111n a a n d n =+-=+.（2）因为2n an b =，由（1）可得12n n b +=，∴{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则()()41242112n n nT -==--.由124m T =，得()421124m-=，解得5m =.【点睛】本题考查数列的通项公式以及数列求和以及应用，考查计算能力，属于基础题.18.在平面四边形ABCD 中，ABD △中边BD 所对的角为A ，BCD 中边BD 所对的角为C ，已知2AB BC CD ===，23AD =.（13cos A C -是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；（2）记ABD △与BCD 的面积分别为1S 和2S ，求出2212S S +的最大值.【答案】（13cos A C -为定值1.（2）14 【解析】【分析】（1）由已知结合余弦定理，分别表示BD ，从而建立关于A 的三角关系，化简可求；（2）结合三角形的面积及（1）的结论进行化简可求.【详解】（1）在ABD △中，由余弦定理得2412831683BD A A =+-=-，在BCD 中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，所以168388cos A C -=-，则()83cos 8A C -=，3cos 1A C -=； 3cos A C -为定值1. （2）11223sin 232S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=，则()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C A C +=+=-+，由（1）可知3cos 1cos A C =+，代入上式得()22222121612cos 43cos 124cos 83cos 12S S A A A A +=---=-++，配方得22212324cos 146S S A ⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴当3cos A =时，2212S S +取到最大14. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数的关系在求解三角形中的应用，属于中档题.19.已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面P AD ，E,F ,G ,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）π3（Ⅲ）不存在，见解析【解析】【分析】（Ⅰ）正三角形PAD 中PO ⊥AD ，由CD ⊥平面PAD 得到PO ⊥CD ，所以得到PO ⊥面ABCD ；（Ⅱ）以O 点为原点建立空间直角坐标系，根据平面EFG 的法向量，和平面ABCD 的法向量，从而得到平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）线段PA 上存在满足题意的点M ，直线GM 与平面EFG 法向量的夹角为3π，设PM PA λ=，[]0,1λ∈，利用向量的夹角公式，得到关于λ的方程，证明方程无解，从而得到不存在满足要求的点M . 【详解】（Ⅰ）证明:因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 PO ⊥AD .又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥CD .AD CD D =，AD CD ⊂，平面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD .（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,23)O A B C D G P --，(1,3),(3)E F --，(0,2,0),(1,2,3)EF EG =-=，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =所以00EF m EG m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20,230,y x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩令1z =，则 (3,01)m =，，又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，所以()221cos 2311m n m nθ⋅===+⨯.所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为π3. （Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为6π，即直线GM 与平面EFG 法向量m 所成的角为3π，设PM PA λ=，[]0,1λ∈，,GM GP PM GP PA λ=+=+，所以)()2,1GM λλ=--所以coscos ,3GM m π==，整理得22320λλ-+=，∆<0，方程无解，所以，不存在这样的点M .【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在性问题.20.已知抛物线()2:20C y px p =>，直线:1l y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）求过点A ，B 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.【答案】（1）24y x =（2）()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=【解析】【分析】（1）联立直线与抛物线，再根据弦长公式以及8AB =即可计算出p 的值，从而C 的方程可求；（2）根据过弦的中点垂直于弦的直线过圆心、圆心到弦的距离的平方加上半弦长的平方等于半径的平方，得到关于圆心坐标的方程组，求解出圆心即可求解出圆的方程.【详解】解：（1）由221y px y x ⎧=⎨=-⎩，得()22110x p x -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()1221x x p +=+，121=x x8AB ====，8=，解得2p =，所以抛物线C 的方程24y x =；（2）由（1）得()12132x x p +=+=，312y =-=，即AB 的中点坐标为()3,2，则AB 的中垂线方程为()23y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为()00,x y ，则()()0022000511162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩，因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=【点睛】本题考查直线与圆、抛物线的综合应用，难度一般.（1）根据条件求解圆的方程时，注意借助圆的几何性质完成解答：圆心与弦中点连线垂直且平分弦、半径平方等于圆心到直线距离的平方加上半弦长的平方；（2）常见的弦长公式：12AB x =-=12AB y =-=.21.已知函数()cos sin xf x e x x x =-，()sin xg x x =，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．【答案】（Ⅰ）)1,+∞；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：第一问根据题意将问题转化为()f x 在区间[,0]2π-上的最大值小于等于()m g x +在区间[0,]2π上的最大值，之后根据函数的单调性求得相应的最值，第二问转化不等式，将问题转化为一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，从而求得结果．试题解析：（Ⅰ）由题意，12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，等价于[]1max 2max ()()f x mg x ≤+．1分()(cos sin )(sin cos )()cos (1)sin x x x f x e x x x x x e x x e x =----+'+=，当π[,0]2x ∈-时，()0f x '>，故()f x 在区间π[0,]2上单调递增，所以0x =时，()f x 取得最大值1．即max ()1f x =又当π[0,]2x ∈时，()cos xg x x ='，()sin 0xg x x ''=-<所以()g x '在π[0,]2上单调递减，所以()()010g x g ≤='<'，故()g x 在区间π[0,]2上单调递减，因此，0x =时，max ()(0)2g x g ==-．所以12m ≤-，则21m ≥+．实数m 的取值范围是)21,⎡++∞⎣．（Ⅱ）当1x >-时，要证，只要证e cos sin sin 2e 0x x x x x x --+>，即证()()ecos 21sin xx x x +>+，由于cos 20,10x x +>+>，只要证e 1cos 2x x x >++．下面证明1x >-时，不等式e 1sin 2x x x >++成立．令()()e11xh x x x =>-+，则()()()()22e 1e e 11x xxx x h x x x =+'+-=+，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以当且仅当0x =时，()h x 取最小值为1．法一：cos 2k x =+，则cos 2sin k x k x +=，即sin cos 2x k x k -=，即22sin()1k x kϕ-=+，由三角函数的有界性，2211k k≤+，即11k -≤≤，所以max 1k =，而()()min01h x h ==，但当0x =时，()010k h =<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，max min e 1cos 2x x x ⎛⎫> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即e 1cos 2x x x >++ 综上所述，当1x >-时，成立．法二：令()cos 2x x ϕ=+，其可看作点()cos ,sin A x x 与点()2,0B 连线的斜率k ，所以直线AB 的方程为：(2y k x =+，由于点A 在圆221x y +=上，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切，当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时，直线AB 取得斜率k 的最大值为1．而当0x =时，()(0)010h ϕ=<=； 0x ≠时，()1h x k >≥．所以，minmax ()()h x x ϕ>，即e sin 1cos 2x x x x >++ 综上所述，当1x >-时，成立．法三：令()cos 2x x ϕ=+，则212cos ()(cos 2)x x x ϕ'+=+，当32,()4x k k N ππ=+∈时，()x ϕ取得最大值1，而()()min 01h x h ==，但当0x =时，()()0010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，min max ()()h x x ϕ>，即e 1cos 2x x x >++ 综上所述，当1x >-时，成立．考点：等价转化的思想，恒成立问题的解决方法．22.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x 元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？2.63≈，若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）17.40千元；（2）（i ）14.77千元.（ii ）978人.【解析】【分析】（1）求解每一组数据的组中值与频率的乘积，将结果相加即可得到对应的x ；（2）（i ）根据()P x μσ>-的数值判断出年收入的取值范围，从而可计算出最低年收入；（ii ）根据()2P x μσ≥-的数值判断出每个农民年收入不少于12.14千元的概率，然后根据二项分布的概率计算公式计算出“恰有k 个农民年收入不少于12.14”中k 的最大值即可.【详解】解：（1）120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元故估计50位农民的年平均收入x 为17.40千元；（2）由题意知()17.40,6.92X N ~（i ）()10.68270.841422P x μσ>-=+≈，所以17.40 2.6314.77μσ-=-=时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元.（ii ）由()()0.954512.1420.50.97732P x P x μσ≥=≥-=+≈，每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则()1000,B P ξ，其中0.9773P =，于是恰好有k 个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为()()3310101k kk C p P k p ξ-=-=，从而由()()()()1001111P k k p P k k p ξξ=-⨯=>=-⨯- 得1001k p <，而1001978.2773p =，所以，当0978k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=-<=，当9791000k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=->=，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人.【点睛】本题考查频率分布直方图、正态分布、二项分布概率计算，属于综合题型，对于分析和数字计算的能力要求较高，难度较难.判断独立重复试验中概率的最值，可通过作商的方法进行判断.。

第3部分专题13

当的语言表述出来。“图文转换”题表面看起来是“看图说话”，其实隐
含着简明、连贯、得体，修辞等知识，实际上是对语言表达运用能力的综合考查。总结近年来的高考题，从所提供的材料角度来看，图文转换题可分为两种：图(漫画、图片和徽标)文转换题和图表文字转换题。
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一种命题形式，对考生进行单独考查。此类题是对理解、分析综合、鉴赏
评价、表达应用和探究等能力的综合考查。
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1．选材贴近生活。试题所用材料大都是选自报刊、网络中反映社会现实、生活现象的漫画、新闻图片、调查材料，以及国内外的某些节日或社团活动所采用的徽标，展现新鲜的生活内容，使学习与社会、生活紧密相连。 2．设题形式相对稳定。近年的考查主要集中在说明图案内容、揭示图案寓意、总结图表规律、提出相关建议等方面。 3．试题反映的思想较分明。图表的主题都是弘扬真、善、美，贬责假、恶、丑，考查考生对世界观和价值观的判断与认知。 4．命题者往往紧扣时代脉搏，创设考生熟知的特定情境，在一定的条件
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答案：(1)(示例)吉祥物取名为“快乐阳光——津津”，寓意阳光、快乐洒满津城。阳光既象征着光明与未来，也象征着青春和希望，与开展全国亿万学生阳光体育运动相契合，寓意中国当代大学生团结、奋进、健康、快乐地成长。取材阳光同时象征人与自然和谐相处，共建美好社会的理想与心愿。“津津”张开双臂笑迎八方来客，反映天津人民热情好客的民风，其跳跃和欢庆胜利的姿态，预祝运动员取得优异成绩并祝运动会取得圆满成功。 (2)(示例一)昨日的期待，成就今天的大运！ (示例二)大运的成功，天津的希望！

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十三)数学(文)试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十三）数学(文科)试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已如集合2|1,A x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭{3,2,1,1,2,3}B =---，则AB =（）A. {2,1,1,2,3}--B. {2,1}--C. {1,1,2,3}-D. {3,2}--【答案】B 【解析】【分析】解不等式21x≤-，从而可得{}|20A x x =-≤<，进而可求出A B . 详解】解：()2022100x x xx x x ⎧+≤+≤-⇒≤⇒⎨≠⎩ ，解得20x -≤<，则{}2|1|20A x x x x ⎧⎫=≤-=-≤<⎨⎬⎩⎭，所以{}2,1AB =--.故选:B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了分式不等式的求解.本题的易错点是，在解分式不等式时，忽略了分母不为零这一条件. 2.已知i 为虚数单位，复数12,2()iz z a i a R i-==+∈.若12z z >，则a 的取值范围是（） A. (2,2)- B. (0,2)C. (2,)+∞D. (,2)-∞【答案】A 【解析】【分析】对1z 进行整理得112z i =--，进而可求出12,z z ，结合12z z >>，进而可求出a 的取值范围.【详解】解：()122212i i i z i i i--===--，则1z ==，2z =，因为12z z >>22a -<<. 故选:A.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数的模，考查了一元二次不等式.将1z 进行整理是本题的关键. 3.函数()2x af x +=在区间()1,+∞内单调递增的一个充分不必要条件是（）A. 2a ≥-B. 2a >-C. 1a ≥-D. 1a >-【答案】D 【解析】【分析】首先求满足条件的充要条件，再求其真子集，就是满足条件的一个充分不必要条件. 【详解】函数()2x af x +=的单调递增区间是[),a -+∞，若函数()2x af x +=在区间()1,+∞单调递增，1a ∴-≤，即1a ≥-那么满足条件的一个充分不必要条件需是[)1,-+∞的真子集，只有1a >-满足条件，故选D.【点睛】本题考查复合函数给定区间的单调性，求参数取值范围，以及充分必要条件，复合函数单调性的判断方法，将函数分解为内层函数和外层函数，内层函数与外层函数的单调性一致，函数是单调递增，若相反，函数是单调递减.4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13134S π=，则222579cos cos cos a a a ++=（） A. 1 B.32C.52D. 2【答案】B 【解析】【分析】由13134S π=可得722a π=，根据余弦的二倍角公式，可得原式579cos2cos2cos2322a a a ++=+，由5972222a a a +=⨯，根据余弦函数的性质，可知579cos2cos2cos202a a a ++=，从而可求出222579cos cos cos a a a ++的值.【详解】解：()11313713131324a a S a π+===，则722a π=.设()cos f x x = 2225795795791cos21cos21cos2cos2cos2cos23cos cos cos 22222a a a a a a a a a +++++++=++=+ 因为()cos f x x =对称中心为,0,2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，且722a π=，5972222a a a +=⨯所以579cos2cos2cos202a a a ++=，即原式32=.故选:B.【点睛】本题考查了等差中项，考查了等差数列的求和公式，考查了余弦函数的性质，考查了二倍角公式.本题的难点是将所求式子进行变形.5.函数1()(3sin 2||cos2||)2f x x x =-的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由函数的奇偶性排除C ，当0x > 时，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由122f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可排除A,B ，从而可选出正确答案.【详解】解：由()1()(3sin2||cos2||)2f x x x f x -=---=，可得()f x 图像关于y 轴对称，排除C ，当0x > 时，()1()3sin 2cos2sin 226f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，排除A ，由122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 排除B ，故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了三角恒等变换.选择函数图像时，一般根据函数的奇偶性、单调性、周期性等对选项进行排除，然后可代入特殊值进行排除.6.已知某组合体的正视图和侧视图如图①所示，其俯视图的直观图如图②（粗线部分）所示，其中四边形A B C D ''''为平行四边形，B C x '''轴，O '为边A B ''的中点，则平行四边形A B C D ''''的面积为（）A. 8B. 16C. 2D. 82【答案】C 【解析】分析】由几何体的三视图可得4B C ''=， 2A B ''=，再由斜二测画法求面积即可得解.【详解】解：由正视图与题意知4B C ''=，由侧视图与题意知2A B ''=，所以平行四边形A B C D ''''的面积为2sin 454222B C A B ''''⨯︒=⨯⨯=故选C.【点睛】本题考查了三视图及斜二测画法，属基础题.7.已知函数())lnf x x =，若19log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.21.8c f =，则a 、b 、c 之间的大小关系是（） A. a b c << B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求出函数()f x 的定义域，结合函数的解析式可得()()f x f x =-，即函数()f x 为偶函数，设())lng x x =，利用复合函数单调性的判断方法分析可得()g x 在[)0,+∞上为减函数，又由()0g 的值，可得在区间[)0,+∞上，()0g x ≤，由此可得()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数())ln f x x =，其定义域为R ，则())lnlnf x x -==)()lnlnx x f x =-=+=，即函数()f x 为偶函数，设())ln g x x ==，有()0ln10g ==，设t =，则ln y t =，当0x ≥时，t 为减函数且0t >，而ln y t =在()0,∞+增函数，则())lng x x ==在[)0,+∞上为减函数，又由()00g =，则在区间[)0,+∞上，()0g x ≤，又由()()f x g x =，则()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，()199log 4log 4a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()525log 2log 4b f f ==，又由0.2259log 4log 41 1.8<<<，则有b a c <<；故选：D ．【点睛】本题考查复合函数的单调性的判定，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题．8.如图，抛物线21:2(0)C y px p =>，圆222:12p C x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，圆2C 与y 轴相切，过1C 的焦点F 的直线从上至下依此交1C ，2C 于,,,A B C D ，且||||AB BD =，O 为坐标原点，则DA 在OF 方向上的投影为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A 【解析】【分析】由相切可求出2p =，设()()1122,,,A x y D x y ，直线:AD 1x my =+，将直线与抛物线联立后由韦达定理可求出21242x x m +=+，121=x x ，124y y m +=，124y y =-，结合||||AB BD =，可得到中点B 的坐标，代入圆的方程中去，可求出2212m =，从而可求出投影12DA OF x x OF ⋅=-的大小. 【详解】解：由圆2C 与y 轴相切可知，12p = ，解得2p =，所以21:4C y x =，()222:11C x y -+=，由题意知，()1,0F ,设()()1122,,,A x y D x y ，直线:AD 1x my =+，与抛物线方程联立得214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，即2440y my --=，由韦达定理知，124y y m +=，124y y =-，则()21212242x x m y y m +=++=+，()21212116y y x x ==.因为||||AB BD =，则()221,2B m m +，代入2C 得，424410m m +-=，解得212m -=，因为()()1212,,1,0DA x x y y OF =--=，所以DA 在OF 方向上的投影为122DA OF x x OF⋅=-===，故选:A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了向量的投影问题.本题的关键是由中点求出直线的方程.注意运用韦达定理简化运算.9.已知实数,x y 满足约束条件20y x mx y m ⎧≥-⎨-+≥⎩，其中01m <<，若222x y y ++的最大值为40，则m =（）A.2B.2C.12D.13【答案】C 【解析】【分析】画出满足约束条件的可行域，由图分析可知，可行域内A 到()0,1-距离最大，即23,11m m A m m +⎛⎫⎪--⎝⎭为最优解，从而可得关于m 的方程.【详解】解：可行域如图，设()2222211z x y y x y =++=++-，由图可知，A 到()0,1-最远，则23,11m m A m m +⎛⎫⎪--⎝⎭为最优解，即22233240111m m m m m m +⎛⎫⎛⎫++⋅= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭且01m <<，解得12m =或2（舍去） .故选:C.【点睛】本题考查了线性规划问题.本题的关键是对目标式子进行分析，找出最优解.目标函数常见的形式有z ax by =+型、y b z x a-=-型、()()22z x a y b =-+-型，借助直线的截距、直线的斜率、两点间的距离等可分析出最优解.10.毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到第2代“勾股树”(如图2)，如此继续.若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（）A.116B.164C.2 D.2 【答案】B 【解析】【分析】由图可知，设第n 个图中正方形的个数为n a ，则112,n n n a a n N +*+=+∈，结合累加法可求出121,n n a n N +*=-∈，令1218191n n a +=-=，可确定第12个图形中得到8191个正方形；结合边长规律，即第n 个图中最小正方形边长为cos 45n ︒，从而可求出答案.【详解】解：设第n 个图中正方形的个数为n a ，则由图可知112,n n n a a n N +*+=+∈则221332122 (2)n n n a a a a a a -⎧-=⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩ ，将n 个式子相加可得23122...2,2,n n a a n n N *-=+++≥∈ ，所以()11412321,2,12n n na n n N -+*-=+=-≥∈-，当1n =时，2213-=，所以121,n n a n N +*=-∈.令1218191n n a +=-=，解得12n =.由题意知，第一个图中最小正方形边长为cos45︒ ，第二个图中最小正方形边长为2cos 45︒，则第n 个图中最小正方形边长为cos 45n︒，则1261211cos 452264⎛⎛⎫︒=== ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B.【点睛】本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，考查了指数值的运算，考查了推理.本题的关键是找出正方形个数及边长的规律.求数列的通项公式时，常见的思路有累加法、累乘法、构造新数列法、公式法.本题的易错点是，在进行累加法时，未能正确求出等号右侧等比数列的和.11.“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个x ，都有()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭成立，若现在已知函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+成立.若函数()()21y f f x a =--（0a ≥）都恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A. 120,42⎧⎫⎪⎪⎡⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭B. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,42⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭【答案】A 【解析】【分析】根据()f x 是“互倒函数”，得到()f x 解析式，从而画出()f x 的图像，将问题等价于等价于()()21f f x a =+有两个不等的实根，分为23171,416a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，217116a +=，21731162a <+<，2312a +=，2312a +>几种情况讨论，设()t f x =，先研究()21f t a =+的解，再研究()t f x =的解，从而得到a 的范围.【详解】函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则(]11,2x∈，因为()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+，所以()2112f x f x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以()2211,12211,122x x f x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，函数()()21y f f x a=--都恰有两个不同的零点，等价于()()21ff x a=+有两个不等的实根，作出()f x 的大致图像，如图所示，可得()max 32f x =，()min 34f x =，317218f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，317416f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设()t f x =，则 ①当23171,416a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()21f t a =+有两个解1t ，2t ，其中11324t ≤<，2312t ≤<， ()1f x t =无解，()2f x t =有两个解，符合题意；②当217116a +=时，由()21f t a =+得134t =，243t =，由图可知此时()f x t =有四个解，不符合题意；③当21731162a <+<时，()21f t a =+有两个解1t ，2t ，其中1314t <<，2413t <<，由图可知此时()f x t =有四个解，不符合题意； ④当2312a +=时，由()32f t =，得121t t ==，由图可知()1f x =有两个解，符合题意；⑤当2312a +>时，由()21f t a =+，得t 无解，不符合题意. 综上所述，2312a +=或23171416a ≤+<符合题意，而0a >，所以解得22a =或10,4a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 即实数a 的取值范围为120,42a ⎧⎫⎪⎪⎡⎫∈⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭. 故选：A.【点睛】本题考查符合函数的值域，函数与方程，根据函数的零点求参数的范围，考查了逻辑思维能力和运算能力，分类讨论的思想，属于难题.12.数列{}n a 满足1cos 2n n n a n a π+=⋅+，则数列{}n a 的前40项和为（）A. 40213-B. 4122-C.()404213- D.()402213-【答案】D 【解析】【分析】由题意知2134339403922...2a a a a a a +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩，将式子相加，结合等比数列的求和公式，即可求出数列{}n a 的前40项和.【详解】解：当n 取奇数时，cos 1n π=-，则2134339403922...2a a a a a a +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ ，将式子相加得 ()()2040353912340214221...222 (214)3a a a a ⨯--++++=++++==- .故选:D.【点睛】本题考查了数列求和，考查了等比数列的前n 项和公式.本题的难点是对已知递推公式的变形.易错点是求等比数列的和时，没能正确确定项数.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从某班,,,,A B C D E 五人中随机选取两人参加学校的问卷调查，则,A B 两人中至少有一人被选中的概率为________. 【答案】710【解析】【分析】求出总的组合数和,A B 两人中无一人被选中的组合数，结合对立事件的概率和为1，可求出,A B 两人中至少有一人被选中的概率.【详解】解：五人中随机选两人组合数有2510C =种，,A B 两人中无一人被选中的组合数有233C =种，则,A B 两人中至少有一人被选中的概率为3711010-=. 故答案为:710. 【点睛】本题考查了组合的应用，考查了古典概型概率的求解.本题的关键是结合对立事件概率的关系简化运算.14.甲、乙、丙、丁四人进行一项益智游戏，方法如下：第一步：先由四人看着平面直角坐标系中方格内的16个棋子（如图所示），甲从中记下某个棋子的坐标；第二步：甲分别告诉其他三人：告诉乙棋子的横坐标.告诉丙棋子的纵坐标，告诉丁棋子的横坐标与纵坐标相等；第三步：由乙、丙、丁依次回答.对话如下：“乙先说我无法确定.丙接着说我也无法确定.最后丁说我知道”.则甲记下的棋子的坐标为_____.【答案】(5,5) 【解析】【分析】根据题意，得出乙棋子必落在横坐标为2，5，6，7上，丙棋子必落在纵坐标为0，1，3，4，5，7上，再根据横纵坐标相等，即可求解，得到答案．【详解】由题意，乙只知道棋子的横坐标，又无法确定，所以棋子必落在横坐标为2，5，6，7上，接下来丙知道棋子的纵坐标，又无法确定，所以棋子必落在纵坐标为0，1，3，4，5，7上，这些横纵坐标相等的点只有(5,5)，所以丁说棋子的坐标为(5,5).【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理确定乙棋子必落在横坐标为2，5，6，7上，丙棋子必落在纵坐标为0，1，3，4，5，7上是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，M 在第一象限，线段MF 交双曲线于点N ，如果12MN NF =，则双曲线的离心率等于________.5【解析】【分析】由MF 与渐近线b y x a = 垂直，可得直线MF 方程为()ay x c b =--，从而可求出2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合12MN NF =可求出222,333c a ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由N 在双曲线上，代入方程即可得到关于,,a b c 的方程，进而可求出离心率.【详解】解：由题意知，MF 与渐近线b y x a =垂直，则MF 斜率为ab-，因为(),0F c ，则直线MF 方程为()a y x c b =--，与b y x a =联立得()a y x c bb y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，解得2a x c ab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由12MN NF =，可得222,333c a ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为N 在双曲线上，则 22222223331a c a ab c c b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+，整理得，225c a =，即c e a==. 故答案为:【点睛】本题考查了两直线垂直的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了向量的运算，考查了双曲线离心率的求解.本题的关键是由已知求出N 的坐标.本题由于计算量略大，应注意计算的准确性.求圆锥曲线的离心率时，关键是列出关于,,a b c 的方程.16.已知H 为ABC 的垂心，且CH xCB yCA =+，AH mAB nAC =+，31x y +=，41m n +=，则B =________.【答案】45︒ 【解析】【分析】由已知可得CA xCB yCA mAB n AC =+--,从而()()1y n m CA x m CB ---=-,进而可知100y n m x m ---=⎧⎨-=⎩,结合已知条件,可求出,,,x y m n 的值;由00AH BC CH AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得cos cos cos cos mc B nb Cxa B yb A =⎧⎨=⎩,结合余弦定理及,,,x y m n 的值,可推出22229585a b c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,由余弦定理可求B 的大小.【详解】解：()CA xCB yCA mAB nAC xCB yCA m CB CA nAC =+--=+---，整理得，()()1y n m CA x m CB ---=-，因为,CA CB 不共线，因此100y n m x m ---=⎧⎨-=⎩ ，又因为31x y +=，41m n +=，解得16121613x y m n ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. 因为H 为ABC 的垂心，所以()()0AH BC mAB nAC BC CH AB xCB yCA AB ⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩，整理得，cos cos cos cos mc B nb C xa B yb A =⎧⎨=⎩ ，结合222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩可得222222330220a b c a b c ⎧--+=⎨--=⎩ ，解得22229585a b c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则222222298255cos 2298255b b b a c b B ac b+-+-===⨯，即45B =︒.故答案:45︒.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，考查了余弦定理.本题的难点是垂心这一条件的应用.本题关键是求出参数的值.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形ABCD 区域为生活区，AC 为横穿村庄的一条道路，ADE 区域为休闲公园，200BC m =，60ACB AED ∠=∠=︒，ABC 的外接圆直径为20057m .（1）求道路AC 的长；（2）该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大值. 【答案】（1）500m ；（2）600m . 【解析】【分析】（1）由正弦定理可求出AB =，由余弦定理可知2222cos AB CA CB CA CB ACB =+-⋅⋅∠，从而可求AC .（2）结合正弦定理可求三角形的周长为l EA ED AD =++)sin sin 200EAD EDA =∠+∠+，结合辅助角公式可化简为()400sin 60200l EAD =∠+︒+，进而可求周长的最大值. 【详解】（1）解：设三角形的外接圆半径为R ，由正弦定理可知，2sin ABR ACB=∠，即sin 60AB ︒==，由余弦定理知，2222cos AB CA CB CA CB ACB =+-⋅⋅∠，则22001500000AC AC --=，解得，500AC m =.（2）解：由题意知，200AD BC m ==，在AED 中，设周长为l ，其外接圆半径为R '，则2002sin sin 603AD R E '===︒，则2sin 3ED R EAD EAD '=∠=∠ ,2sin 3EA R EDA EDA '=∠=∠，则l EA ED AD =++)()sin sin 200sin sin 120200EAD EDA EAD EAD =∠+∠+=∠+︒-∠+⎤⎦()3sin 200400sin 302002EAD EAD EAD ⎫=∠+∠+=∠+︒+⎪⎝⎭，则当30EAD =∠°时，周长最大，为600m .【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了余弦定理的应用.本题的关键是用一个变量来表示三角形的周长.本题的难点为周长最值的求解.一般地，当已知三角形的两角及一角的对边时，常用正弦定理解三角形，若已知两边及其夹角或三边时，常用余弦定理解三角形.但是若已知两边及一边的对角时，也可用余弦定理解三角形.18.已知鲜切花A 的质量等级按照花枝长度L 进行划分，划分标准如下表所示.某鲜切花加工企业分别从甲､乙两个种植基地购进鲜切花A，现从两个种植基地购进的鲜切花A中分别随机抽取30个样品，测量花枝长度并进行等级评定，所抽取样品数据如图所示.（1）根据茎叶图比较两个种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值及分散程度(不要求计算具体值，给出结论即可)；（2）若从等级为三级的样品中随机选取2个进行新产品试加工，求选取的2个全部来自乙种植基地的概率；（3）根据该加工企业的加工和销售记录，了解到来自乙种植基地的鲜切花A的加工产品的单件利润为4元；来自乙种植基地的鲜切花A的加工产品的单件成本为10元，销售率(某等级产品的销量与产量的比值)及单价如下表所示.三级花加工产品二级花加工产品一级花加工产品销售率252389单价/(元/件) 12 16 20由于鲜切花A加工产品的保鲜特点，未售出的产品均可按原售价的50%处理完毕.用样本估计总体，如果仅从单件产品的利润的角度考虑，该鲜切花加工企业应该从哪个种植基地购进鲜切花A？【答案】（1）乙种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值大于甲种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值，甲种植基地鲜切花A的花枝长度相对于乙种植基地更为集中.（2）310.（3）该鲜切花加工企业应该从乙种植基地购进鲜切花A.【解析】【分析】（1）结合茎叶图即可看出平均值的大小关系以及数据集中程度；（2）从茎叶图中求出三级的样品共5个，来自甲基地有2个，来自乙基地的有3个，则可求出基本事件总个数以及2个都来自乙基地基本事件个数，即可求出概率；（3）分别求出三种花的销售额，减去总的成本，结果除以个数即可得乙种植基地单件平均利润，与4进行比较，即可得出结论.【详解】（1）由茎叶图可以看出，乙种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值大于甲种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值，甲种植基地鲜切花A 的花枝长度相对于乙种植基地来说更为集中.（2）由题意知，三级的样品共5个，其中，来自甲基地有2个，来自乙基地的有3个，则从5个样品中随机取2个共有2510C = 种可能，2个都来自乙基地共233C =种可能，则选取的2个全部来自乙种植基地的概率为310. （3）根据茎叶图可知，乙基地中，三级花共3个，二级花共16个，一级花共11个，则三级花的销售额为231263123120.5555⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)；二级花的销售额为21640161616160.5333⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)；一级花的销售额为811870112011200.5999⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)；则乙种植基地单件平均利润为126640187030030 4.88539⎛⎫++-÷≈⎪⎝⎭(元).因为4.884>，所以该鲜切花加工企业应该从乙种植基地购进鲜切花A .【点睛】本题考查了茎叶图，考查了古典概型概率，考查了数据分析.本题的计算稍麻烦，应多加注意.求古典概型概率时，可用列举法写出所有的基本事件，再进行求解；但这样速度较慢，有时合理地结合排列组合的思想会使得做题速度加快，准确度提高. 19.如图1，在长方形ABCD 中，122AB BC ==，E ，F 分别为AD ､BC 的中点，G 为ED 的中点，点H 在线段AF 上，且满足AH AF λ=.将正方形ABFE 沿EF 折起，使得直线EF 与平面ABCD 间的距离为1，得到如图2所示的三棱柱AED BFC -.（1）求证：AF ⊥平面BED ：（2）若三棱锥G HFC -的体积为26，求λ的值.【答案】（1）证明见解析（2）12λ=.【解析】【分析】（1）过点E 作EM AD ⊥于点M ，由勾股定理可知AE ED ⊥，从而可证ED ⊥ 平面AEFB ，推出ED AF ⊥，结合AF EB ⊥，可推出线面垂直.（2）过点H 作HI EF ⊥于点I ，则()21HI λ=-，由1236G HFC H GFC GFC V V S HI --==⨯=可求出λ 的值.【详解】（1）证明：在AED 中，过点E 作EM AD ⊥于点M ，如图所示，因为//CD EF ,CD ⊂面ABCD ,则EM 为EF 与平面ABCD 间的距离，由题意知，则1,2EM AE ED ===，易知1AM MD ==，则2AD =，所以AE ED ⊥，又ED EF ⊥，EFAE E =，所以ED ⊥ 平面AEFB ，又AF ⊂平面AEFB ，所以ED AF ⊥，由题意知，AF EB ⊥，ED EB E ⋂=，则AF ⊥平面BED .（2）解：由AE ED ⊥，AE EF ⊥，EF ED E ⋂=，可知AE ⊥面EFD ，即AE ⊥面GFC ，过点H 作HI EF ⊥于点I ，则//HI AE ，所以HI ⊥平面GFC . 因为1HI FHAE AFλ==-，所以()()121HI AE λλ=-=-，则()11122221332G HFC H GFC GFCV V S HI λ--==⨯=⨯⨯⨯⨯-=，解得12λ=.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了椎体体积的求解.将三棱锥G HFC -的体积转化为三棱锥H GFC -的体积，是本题第二问的关键.证明线线垂直时，常用的思路有：等腰三角形三线合一、勾股定理、菱形的对角线、线面垂直的性质等.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，点(0,1)M 在椭圆E 上，过点(2,0)N 2的直线恰好与椭圆E 有且仅有一个公共点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点P 为椭圆E 的长轴上的一个动点，过点P 作斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，是否存在常数k ，使2221||,,||2a PA PB +成等差数列？若存在，求出k 的值：若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的常数k，2k =±.【解析】【分析】（1）由点(0,1)M 在椭圆E 上，可求出21b =，联立直线与椭圆方程，根据直线与椭圆只有一个交点可得()4224216828160a a a a a ∆=-+=-=，从而可求出2a 的值，进而可求椭圆的方程.（2）设直线与椭圆的交点()()1122,,,A x y B x y ，(),0,P m m ⎡∈⎣，写出过点P 斜率为(0)k k ≠的直线方程为()y k x m =-，与椭圆方程联立，可得2122421k m x x k +=+，221222221k m x x k -=+，122212km y y k +=-+，222122221m k k y y k -=+ ，当2221||,,||2a PA PB +成等差数列时，223PA PB +=，即()()222211223x m y x m y -++-+=，整理得()()24222442210m k m k m ++-+=，从而可求出k 的值.【详解】（1）解：因为点(0,1)M 在椭圆E 上，所以211b =，解得21b =，椭圆方程为2221x y a+=，过点(2,0)N)2y x =-，与椭圆方程进行联立，即)222221y x x y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，整理得，()22222420a x a x a +-+=，因为直线和椭圆有一个交点，此时()4224216828160a aa a a ∆=-+=-= ，解得22a =，所以E 的方程为2212x y +=.（2）设直线与椭圆的交点()()1122,,,A x y B x y ，(),0,P m m ⎡∈⎣，则过点P 斜率为(0)k k ≠的直线方程为()y k x m =-，与椭圆方程进行联立得()2212y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，整理得，()22222214220k x k mx k m +-+-=，由韦达定理知，2122421k m x x k +=+，221222221k m x x k -=+，122212km y y k +=-+，222122221m k k y y k -=+ ，当2221||,,||2a PA PB +成等差数列时，22213PA PB a +=+=，即()()222211223x m y x m y -++-+=，整理得()()()222121212121222223x x m x x x x m y y y y +-+-+++-=，则222222222222222442222222232121211221k m k m k m km m k k m m k k k k k ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫--⨯++--⨯= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得，()()24222442210m k m k m ++-+=，解得212k =或222122m m +-+（舍去）所以当2k =±时，2221||,,||2a PA PB +成等差数列.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了两点间的距离，考查了等差中项，考查了圆锥曲线中的定值问题.本题的难点在于第二问的计算. 21.己知函数2()22(1)x x f x ae a e =++. （1）当12a =-时，求()f x 的极值；（2）当(0,)a ∈+∞时，函数()f x 的图象与函数4x y e x =+的图象有唯一的交点，求a 的取值集合. 【答案】（1）函数()f x 的极大值是14，无极小值；（2）12⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【解析】【分析】（1）当12a =-时，2()x xf x e e =-+，由导数为零，解得ln2x =-，从而可知()(),f x f x ' 随x 的变化，进而可求极值；（2）设设x t e =，则()()2221f t at a t =++与4ln y t t =+ 只有一个交点，即22ln 2t ta t t+=+只有一个根，设()22ln t tg t t t+=+，结合导数可知，当1t =时，()g t 有最大值为()11g =，画出()g t 草图，可求出a 的取值集合.【详解】（1）解：当12a =-时，2()x x f x e e =-+，则2()02x x f x e e '-+==，解得ln2x =-，则()(),f x f x ' 随x 的变化如表所示所以函数()f x 的极大值是2(ln 2)ln 2111(ln 2)424f ee ---=-+=-+=，无极小值；（2）解：设x t e =，则()()2221f t at a t =++与4ln y t t =+ 只有一个交点，其中0t >，则()22214ln at a t t t ++=+只有一个根，即22ln 2t ta t t+=+ 只有一个根，设()22ln t tg t t t +=+ ，则()()22222ln 1ln t t t t t g t t t -+-+-'=+，()10g '= 令()222ln 1ln h t t t t t t =-+-+-，则()142ln 1h t t t t '=----，设12ln y t t=+，则令2212210t y t t t -'=-+==，解得12t =，则,y y ' 随t 的变化如下表则当12t =时，12ln y t t =+取最小值为()22ln221ln20-=⨯->，所以12ln 0t t--<，即()142ln 10h t t t t'=----<.所以()h t 在()0,t ∈+∞ 上单调递减，因此()0g t '=只有一个根，即1t = ，当()0,1t ∈ 时，()0g t '>，()g t 递增；当()1,t ∈+∞ 时，()0g t '<，()g t 递减，所以，当1t =时，()g t 有最大值为()11g =，则()22ln t tg t t t+=+简图如图所示，由题意知，2y a = 与()g t 图像只有一个交点，而(0,)a ∈+∞，所以21a =，即12a =，所以a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了函数的极值，考查了函数的零点与方程的根，考查了数形结合.本题的第二问的关键在于通过换元、参变分离，得到2y a = 与()22ln t tg t t t+=+图像只有一个交点.本题的难点是通过二次求导探究()22ln t tg t t t+=+图像的变化趋势. 22.在极坐标系中，圆1C 的极坐标方程为()24cos sin ρρθθ=+，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy . （1）求圆1C 的直角坐标方程；（2）已知曲线2C 的参数方程为22x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线2C 与圆1C 交于,A B 两点，求圆1C 夹在,A B 两点间的劣弧AB 的长.【答案】（1）22(2)(2)8x y -+-=.（22π. 【解析】【分析】（1）24(cos sin )4cos 4sin ρρθθρθρθ=+=+，代入222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，即可得到圆1C 的直角坐标方程；（2）通过消参可得曲线2C 的普通方程为22y x =-，则联立12,C C 方程，可求出()0,4A ，()4,4B ，由110C A C B ⋅=，可求出劣弧AB 的圆心角为12AC B π∠=，进而可求弧长.【详解】（1）解：因为24(cos sin )4cos 4sin ρρθθρθρθ=+=+，则2244x y x y +=+，整理得，22(2)(2)8x y -+-=，所以圆1C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=. （2）解：曲线2C 的普通方程为22y x =-，由题意知，当2x ≤时，12,C C 的交点为A ，即()()()2222822x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩ ，解得，04x y =⎧⎨=⎩，即()0,4A ，当2x >时，12,C C 的交点为B ，即()()()2222822x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩，解得，44x y =⎧⎨=⎩，即()4,4B ，由（1）知，圆心()12,2C ，半径22r =.()()112,2,2,2C A C B =-=，则110C A C B ⋅=，则12AC B π∠=，所以劣弧AB 的长为2222ππ⨯=.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了参数方程转化为普通方程，考查了弧长的求解，考查了直线与圆的位置关系.本题的关键是求出劣弧的圆心角. 23.已知函数()|21||5|f x x x =-++. （1）求不等式()7f x >的解集；（2）若函数()f x 的最小值为32m，求证：,(0,)p q ∀∈+∞，11m p q p q +≥+恒成立.【答案】（1）{|1x x <-或1}x >：（2）证明见解析【解析】【分析】(1)对x 的取值范围进行分情况讨论,再求解不等式即可;(2)根据解析式求出()f x 的最小值,从而得到m ,再利用分析法证明不等式即可.【详解】(1)()|21||5|f x x x =-++=34,516,52134,2x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，若()7f x >,则有5347x x <-⎧⎨-->⎩或15267x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-+>⎩或12347x x ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩,解得5x <-或51x -≤<-或1x >,因此不等式()7f x >的解集为{|1x x <-或1}x >;(2)由函数()f x 的解析式可知,()f x 在1(,)2-∞上单调递减,在1(,)2+∞上单调递增, 因此min 1113()()4222f x f m m ===+⇒=, 因此要求证:,(0,)p q ∀∈+∞,114p q p q+≥+恒成立, 即证4p q pq p q+≥+恒成立, 即证()24p q pq +≥恒成立, 即证2220p q pq +-≥恒成立,而对,(0,)p q ∀∈+∞,222p q pq +-=2()0p q -≥恒成立,因此,原不等式得证.【点睛】本题主要考查解绝对值不等式,考查不等式的证明,难度不大.。

金太阳单元同步练习十三答案

十三单元答案一、选择题：DCDDA BBDBC DBDBB DAABA BБайду номын сангаасCBC 二、非选择题： 26.（1）各年龄期的个体数目比例适中（2）人口密度越来越大出生率（3）C 越来越小（4）越来越大
27.（1）随机取样五点取样等距离取样（ 2） 8 （3）活动能力强，活动能力大标记个体与其他个体混合是否均匀、标记物是否影响动物生命活动、标记物是否脱落、是否有个体大量死亡、出生或迁入迁出等。（4）①
30.（1）种群群落（2）捕食 A 140 （3）可食的植物增加猞猁急剧下降（4）晚于（5）制约雪兔的数量，维持生态系统的稳定 31.（1）活动能力差，而且身体较小（2）记名计算法目测估计法记名计算法（3）①污染废水会降低土壤动物类群数和个体总数 ②距离污染越远（近），农药污染的浓度就越低（高），对土壤动物影响就越小（大）（4）次生森林
②可能有外来昆虫的迁入（或迁出数量较多）
28.（1）一个系统它的性质数学公式曲线图（2）Ⅱ。数学形式形式 Ⅲ。观察统计东方田鼠的数量（3）N30=3000×（1.0147）30 （4）退耕还湖、引进天敌 29.（1）②→④→①→ 1.21×107 （2）培养液中营养物质不断消耗，酵母菌缺乏营养而死亡（3）该实验在前后时间上形成对照需要减少偶然性带来的实验误差以确保实验数据的准确性（4）使酵母菌在培养液中分布均匀适当稀释酵母菌培养液

甘肃金太阳初三最新试题及答案

甘肃金太阳初三最新试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列关于光合作用的说法，正确的是：A. 光合作用只能在光照下进行B. 光合作用只能在白天进行C. 光合作用需要光和叶绿体D. 光合作用不需要水答案：C2. 根据题目内容，以下选项中不正确的是：A. 选项一B. 选项二C. 选项三D. 选项四答案：D（此处省略其他选择题，共10题）二、填空题（每空1分，共10分）1. 化学方程式书写时，需要遵循的原则是______、______、______。

答案：质量守恒、客观事实、条件明确2. 根据题目内容，空白处应填入______。

答案：（根据具体题目内容填写）（此处省略其他填空题，共5题）三、简答题（每题5分，共10分）1. 请简述牛顿第一定律的内容及其意义。

答案：牛顿第一定律，也称为惯性定律，指出物体在没有受到外力作用时，将保持静止状态或匀速直线运动状态。

这一定律揭示了物体的惯性特性，是经典力学的基础之一。

2. 请解释什么是生态系统，并简述其组成部分。

答案：生态系统是指在一定地域内，生物群落与其环境相互作用形成的一个统一整体。

它包括生物部分和非生物部分。

生物部分包括生产者（植物）、消费者（动物）和分解者（细菌、真菌等），非生物部分包括阳光、空气、水分、土壤等。

四、计算题（每题10分，共20分）1. 一个物体的质量为5kg，受到的重力为49N，请计算该物体在月球上的重力。

（月球的重力加速度约为地球的1/6）答案：首先计算物体在地球上的重力加速度：\[ g = \frac{F}{m} = \frac{49N}{5kg} = 9.8m/s^2 \]。

然后，根据月球的重力加速度是地球的1/6，计算月球上的重力：\[ F_{moon} = m \times\frac{g}{6} = 5kg \times \frac{9.8m/s^2}{6} \approx 8.17N \]。

2. 根据题目内容，计算空白处的数值。

金太阳导学案语文七年级下册13课答案

金太阳导学案语文七年级下册13课答案1、下列选项中加着重号字注音正确的一项是（）[单选题] *A、樯橹qiáng酹lèi 吟啸xiào羽扇纶巾guān(正确答案)B、笺注qiān 赤鼻矶jī蓑衣suō料峭qiāoC、针砭biǎn 粗糙cāo 差别chā创伤chuāngD、战栗zhàn炽烈chì对称chèng 万箭攒心cuán2、14. 下列文学常识表述有误的一项是（）[单选题] *A．《桃花源记》选自《陶渊明集》。

陶渊明，又名潜，字元亮，号五柳先生，是我国文学史上第一位田园诗人。

B．“唐宋八大家”，即唐代的韩愈、柳宗元、欧阳修、王安石和宋代的苏轼、苏洵、苏辙、曾巩。

(正确答案)C．“记”是古代的一种文体，可以记叙描写，也可以抒情议论，并通过记事、记物、记人、写景来抒发作者的感情或见解。

D．《诗经》是我国最早的一部诗歌总集，收录了从西周初年至春秋中叶五百多年的诗歌305篇，又称《诗三百》。

3、1韩愈和柳宗元一起倡导了古文运动。

古文运动，实际是以复古为名的文风改革运动，主张学习先秦、两汉言之有物、言贵创新的优秀散文，坚决摒弃只讲形式不重内容的华而不实的文风。

[判断题] *对错(正确答案)4、下列语句不是出自《红楼梦》的一项是( ) [单选题] *A.字字看来皆是血，十年辛苦不寻常。

B.女儿是水作的骨肉，男人是泥作的骨肉，我见了女儿，我便清爽：见了男子，便觉浊臭逼人。

C.话说天下大势，分久必合，合久必分。

(正确答案)D.世人都晓神仙好，惟有功名忘不了！5、45. 下列句子中，加双引号的成语使用正确的一项是（）[单选题] *A．春天到了，大明湖畔杨柳依依，湖中碧波荡漾，风景宜人，“美不胜收”。

(正确答案) B．大家都认为他提出的这条建议很有价值，都“随声附和”地表示赞同。

C．突然，一个影子如“白驹过隙”般一闪而过，快捷如飞。

D．孩子向家长吐露心声时，家长应“洗耳恭听”，这是家庭沟通中特别需要注意的地方。

金太阳河北初三最新试题及答案

金太阳河北初三最新试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是正确的化学方程式书写方法？A. 2H2 + O2 → 2H2OB. 2H2 + O2 → H2OC. 2H2 + O2 → 2HOD. 2H2 + O2 → 2H2O2答案：A2. 根据题目所给的物理公式，计算物体在自由落体运动中下落10秒后的速度。

公式：v = gt其中，g = 9.8 m/s²，t = 10 s答案：v = 9.8 m/s² × 10 s = 98 m/s3. 以下哪个历史事件标志着中国近代史的开端？A. 鸦片战争B. 辛亥革命C. 五四运动D. 抗日战争答案：A二、填空题1. 根据题目所给的数学公式，求解x的值。

公式：x² - 5x + 6 = 0解：(x - 2)(x - 3) = 0答案：x = 2 或 x = 32. 请写出中国共产党成立的时间。

答案：1921年7月1日三、简答题1. 请简述中国改革开放以来取得的主要成就。

答案：改革开放以来，中国取得了巨大的经济成就，国内生产总值持续增长，人民生活水平显著提高，国际地位不断提升，科技创新能力不断增强，基础设施建设取得了举世瞩目的成就。

四、论述题1. 论述信息技术在现代教育中的重要性。

答案：信息技术在现代教育中发挥着至关重要的作用。

它不仅改变了传统的教学方式，提高了教学效率，而且通过网络平台，为学生提供了更广阔的学习资源和交流空间。

信息技术的运用，使教育更加个性化、互动化，有助于培养学生的创新能力和实践能力。

结束语：本试题涵盖了初三学生在化学、物理、历史、数学和政治等学科的知识点，旨在帮助学生全面复习，提高解题能力。

希望同学们能够认真对待每一次练习，不断进步，为即将到来的中考做好准备。

12月辽宁金太阳高三联考试卷真题整理

12月辽宁金太阳高三联考试卷真题整理
一、单项选择题
1. 下列各项中，不属于社会主义核心价值观的是（）
A. 公平正义
B. 自由自主
C. 诚实守信
D. 节约爱惜
答案：B. 自由自主
2. 下列各项中，不属于社会主义市场经济的特点的是（）
A. 劳动分配
B. 价格调节
C. 市场竞争
D. 计划经济
答案：D. 计划经济
3. 下列各项中，不属于社会主义核心价值观的是（）
A. 公平正义
B. 自由自主
C. 诚实守信
D. 节约爱惜
答案：B. 自由自主
4. 下列各项中，不属于社会主义市场经济的特点的是（）
A. 劳动分配
B. 价格调节
C. 市场竞争
D. 计划经济
答案：D. 计划经济
5. 下列各项中，不属于社会主义核心价值观的是（）
B. 自由自主
C. 诚实守信
D. 节约爱惜
答案：B. 自由自主
二、多项选择题
1. 下列各项中，属于社会主义核心价值观的有（）
A. 公平正义
B. 自由自主
C. 诚实守信
D. 节约爱惜
答案：A. 公平正义 C. 诚实守信 D. 节约爱惜
2. 下列各项中，属于社会主义市场经济的特点的有（）
A. 劳动分配
B. 价格调节
D. 计划经济
答案：A. 劳动分配 B. 价格调节 C. 市场竞争
三、判断题
1. 社会主义核心价值观是指公平正义、自由自主、诚实守信、节约爱惜等价值观。

答案：√
2. 社会主义市场经济的特点是劳动分配、价格调节、市场竞争、计划经济等。

答案：×。

2023山东省金太阳23-139C4高三联考化学试题及答案

高三诊断性测试
化学参考答案
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金太阳小学试题及答案

金太阳小学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 太阳系中最大的行星是：A. 地球B. 木星C. 火星D. 金星答案：B2. 人体最大的器官是：A. 心脏B. 肝脏C. 皮肤D. 肺答案：C3. 以下哪个国家不是联合国安全理事会常任理事国？A. 中国B. 法国C. 德国D. 俄罗斯答案：C4. 世界上最长的河流是：A. 尼罗河B. 亚马逊河C. 长江D. 密西西比河答案：A5. 计算机的CPU指的是：A. 中央处理器B. 存储器C. 显示器D. 键盘答案：A6. 世界上最大的沙漠是：A. 撒哈拉沙漠B. 阿拉伯沙漠C. 戈壁沙漠D. 卡拉哈里沙漠答案：A7. 以下哪种动物不是哺乳动物？A. 鲸鱼B. 鳄鱼C. 蝙蝠D. 猫答案：B8. 地球的自转周期是：A. 一年B. 一个月C. 一天D. 一周答案：C9. 世界上最高峰是：A. 珠穆朗玛峰B. 乞力马扎罗山C. 麦金利山D. 阿空加瓜山答案：A10. 以下哪种元素是人体必需的微量元素？A. 钙B. 铁C. 钠D. 锌答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 人体需要的主要营养物质包括蛋白质、脂肪、碳水化合物、维生素和______。

答案：矿物质2. 地球的大气层由外到内依次是散逸层、热层、中间层、平流层、对流层和______。

答案：地壳3. 光年是天文学中用来表示______的单位。

答案：距离4. 人体最长的骨骼是______。

答案：股骨5. 世界上最大的哺乳动物是______。

答案：蓝鲸6. 植物通过______进行光合作用。

答案：叶绿体7. 电子计算机的工作原理基于______。

答案：二进制8. 人体中最大的淋巴器官是______。

答案：脾脏9. 世界上最深的海沟是______。

答案：马里亚纳海沟10. 人体中最大的细胞是______。

答案：卵细胞三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述地球的构造。

答案：地球主要由地壳、地幔和地核三部分组成。

2023-2024学年湖南省高三上学期10月金太阳联考数学试题及答案

高三数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：小题考查集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、数列、平面向量，大题考查高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题():0,1p x ∃∈，3x =，则p 的否定是（）A ．()0,1x ∀∈，3x ≠B ．()0,1x ∃∈，3x ≠C ．()0,1x ∀∈，3x =D ．()0,1x ∀∉，3x ≠2．定义集合,,xA xB z z A y y B ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭÷∈∈．已知集合{}4,8A =，{}1,2,4B =，则A B ÷的元素的个数为（）A ．B 3．C 4．D 5．63．已知函数()3132f x x x x=--的图象在()0x a a =>处的切线的斜率为()k a ，则（）A ．()k a 的最小值为B 6．()k a 的最大值为6C ．()k a 的最小值为D 4．()k a 的最大值为44．已知某公司第1年的销售额为a 万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的1.2倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（参考数据：取111.27.43=）A ．35.15a 万元B ．33.15a 万元C ．34.15a 万元D ．32.15a 万元5．设函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是奇函数，()23f x +是偶函数，则（）A ．()00f =B ．()40f =C ．()50f =D ．()20f -=6．设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αββ+=，则（）A ．22παβ+=B ．22παβ-=C ．22πβα-=D ．22πβα+=7．已知函数()cos 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ︒=∠，2AB =，以菱形ABCD 的四条边为直径向外作四个半圆，P是四个半圆弧上的一动点，若DP DA DC λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．52B ．3C ．5D ．32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()241lg 4f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小值为B 1．x ∃∈R ，()()12f f x +=C ．()92log 23f f ⎛⎫>⎪⎝⎭D ．0.10.18119322f f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．若正项数列{}n a 是等差数列，且25a =，则（）A ．当37a =时，715a =B ．4a 的取值范围是[)5,15C ．当7a 为整数时，7a 的最大值为29D ．公差d 的取值范围是()0,511．若函数()f x 的定义域为D ，对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x =，则称()f x 为“A 函数”，则下列说法正确的是（）A ．函数()ln f x x =是“A 函数”B ．已知函数()f x ，()1f x 的定义域相同，若()f x 是“A 函数”，则()1f x 也是“A 函数”C ．已知()f x ，()g x 都是“A 函数”，且定义域相同，则()()f x g x +也是“A 函数”D ．已知0m >，若()sin x f x m =+，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“A 函数”，则m =12．定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，()0f x >且()()()()232x x f x f x f x f x ''-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则（）A ．()()()()()()11212122f f f f f f ⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦B ．()0,a ∀∈+∞，函数()()()0f x ay x x f x =+>有极值C ．()()()()()()11212122f f f f f f ⎡⎤-<-⎢⎥⎣⎦D ．()0,a ∃∈+∞，函数()()0ay x f x =>为单调函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量(),2AB x x = 在向量()3,4AC =- 上的投影向量为15AC -，则x =________．14．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 23α=，则sin 3α=________．15．若关于x 的不等式()277x a a x +<+的解集恰有50个整数元素，则a 的取值范围是________，这50个整数元素之和为________．16．如图，已知平面五边形ABCDE 的周长为12，若四边形ABDE 为正方形，且BC CD =，则当BCD △的面积取得最大值时，AB =________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2a b b B A c -=+．（1）求tan A ；（2）若a =，ABC △的面积为，求ABC △的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，E ，F ，M 分别是PB ，CD ，PD 的中点．（1）证明：//EF 平面PAD ．（2）求平面AMF 与平面EMF 的夹角的余弦值．19．（12分）已知数列{}n a 满足12312121223n n a a a a a a a a a n n++++++++++=⋅ ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列na n⎛⎫⎪⎝⎭的前n 项和n S ．20．（12分）某商场在6月20日开展开业酬宾活动．顾客凭购物小票从6~20这15个号码中依次不放回地抽取2个号码，第1个号码为a ，第2个号码为b ．设X 是不超过ba的最大整数，顾客将获得购物金额X 倍的商场代金券（若0X =，则没有代金券），代金券可以在活动结束后使用．（1）已知某顾客抽到的a 是偶数，求该顾客能获得代金券的概率；（2）求X 的数学期望．21．（12分）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点()0,1C -，83,55D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（1）求椭圆的方程．（2）设P 是椭圆上一点（异于C ，D ），直线PC ，PD 与x 轴分别交于M ，N 两点，证明在x 轴上存在两点A ，B ，使得MB NA ⋅是定值，并求此定值．22．（12分）已知函数()1ln a xf x e a x -=+-有两个零点1x ，2x ．（1）求a 的取值范围；（2）证明：122x x a +>．高三数学试卷参考答案1．A p 的否定是()0,1x ∀∈，3x ≠．2．B 因为{}4,8A =，{}1,2,4B =，所以{}1,2,4,8A B =÷，故A B ÷的元素的个数为4．3．C ()2219224f x x x '=+-≥-=，当且仅当419x =时，等号成立，所以()k a 的最小值为4．4．D 设第()i i 1,2,,11= 年的销售额为i a 万元，依题意可得数列{}()i i 1,2,,11a = 是首项为a ，公比为1.2的等比数列，则该公司从第1年到第11年的销售总额为()()()11111 1.2 1.21102.2210.27.433.151.a a a a ---===-万元．5．C 因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，则()10f =．又()23f x +是偶函数，所以()()2323f x f x -+=+，所以()()510f f ==．6．A 因为1tan tan cos αββ+=，所以sin sin 1cos cos cos αβαββ+=，所以sin cos cos sin cos αβαβα+=，即()sin sin 2παβα⎛⎫+=-⎪⎝⎭．又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2παβα+=-，即22παβ+=或2παβαπ++-=，即2πβ=（舍去）．7．A 令()1112m k k ππ-=∈Z ，得()1112m k k ππ=+∈Z ，所以曲线()y f x =关于直线()1112x k k ππ=+∈Z 对称．令()22462m k k πππ+=+∈Z ，得()22124k m k ππ=+∈Z ，所以曲线()y g x =关于直线()22124k x k ππ=+∈Z 对称．因为()1112k m m k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 真包含于()22124m k k m ππ⎭=+∈⎧⎫⎨⎬⎩Z ，所以“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的充分不必要条件．8．A 如图，设DE k DA = ，DF k DC = ，设P 是直线EF 上一点，令DP xDE yDF =+，则1x y +=，()k x y k λμ+=+=．因为P 是四个半圆弧上的一动点，所以当EF 与图形下面半圆相切时，λμ+取得最大值．设线段AB 的中点为M ，线段AC 的中点为1O ，连接MP ，连接1DO 并延长使之与EF 交于点2O ，过M 作2MN DO ⊥，垂足为N ．因为120ABC =︒∠，2AB =，所以11DO =，1212132O O O N NO O N MP =+=+=，则252DO =．由DAC DEF △∽△，得2152DO DE k DA DO ===，故λμ+的最大值为52．9．ACD ()21lg 10lg1012f x x ⎡⎤⎛⎫=-+≥=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，A 正确．因为当且仅当12x =时，()f x 取得最小值，且最小值为1，所以()11f >，所以()()12f f x +>，B 错误．因为9lg 2lg 210log 2lg 9lg83<=<=，所以911log 226->，又211326-=，且()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()92log 23f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，C 正确．因为0.10.20.189331=>>，所以0.10.1811193222->->，所以，D 正确．10．ABC 当37a =时，公差2d =，7347815a a d =+=+=，A 正确．因为{}n a 是正项等差数列，所以150a d =->，且0d ≥，所以公差d 的取值范围是[)0,5，D 错误．因为452a d =+，所以4a 的取值范围是[)5,15，B 正确．[)7555,30a d =+∈，当7a 为整数时，7a 的最大值为29，C正确．11．BD 对于选项A ，当11x =时，()10f x =，此时不存在2x ，使得()()121f x f x =．A 不正确．对于选项B ，由()f x ，()1f x 的定义域相同，若()f x 是“A 函数”，则对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x =，则对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()12111f x f x ⋅=，所以()1f x 也是“A 函数”．B 正确．对于选项C ，不妨取()f x x =，()1g x x=，()0,x ∈+∞，令()()()12F x f x g x x x=+=+≥，则()()124F x F x ≥，故()()f x g x +不是“A 函数”．C 不正确．对于选项D ，因为()sin f x m x =+，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，是“A 函数”，所以sin 0m x +≠在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立．又0m >，所以10m ->，且()()12sin sin 1m m x x ++=，即对于任意1,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都存在唯一的2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得21sin s 1in m m x x =-+，因为11sin 1m x m m -≤+≤+，所以1n 1i 11s m m m x m m -≤-≤++，由111111m m m m ⎧-≥-⎪⎪+⎨⎪-≤⎪-⎩，解得m =．D 正确．12．AD 设函数()()()()10f x g x x x f x =+>，则()()()()()()()()()()23222220xf x f x f x x f x xf x f x f x g x x f x x f x ''--⎡⎤⎡⎤''-⎣⎦⎣⎦'=-=<⎡⎤⎣⎣⎦⎡⎤⎦，所以()g x 在()0,+∞上单调递减，B 错误，D 正确．从而()()12g g >，即()()()()12111122f f f f +>+，因为()0f x >，所以()10f >，()20f >，所以()()()()()()11212122f f f f f f ⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦，C 错误，A 正确．光速解法：取()()0f x x x =>，满足()0f x >且()()()()232xf x f x x f x f x ''-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()()()()()11212122f f f f f f ⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦，()0,a ∃∈+∞，函数()()()0f x a y x x f x =+>为单调函数．13．1 向量(),2AB x x = 在向量()3,4AC =- 上的投影向量为3825AB AC AC x x AC AC AC⋅-⋅=，则138525x x--=，解得1x =．14因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,απ∈，所以sin 2α==，因为21cos 22cos13αα=-=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α=sin α=，所以()sin 3sin 2sin 2cos cos 2sin ααααααα=+=+=15．[)(]44,4357,58-- ；925-或1625 不等式()277x a a x +<+等价于不等式()()70x a x --<．当7a =时，()()70x a x --<的解集为∅，不合题意；当7a <时，()()70x a x --<的解集为(),7a ，则50个整数解为43-，42-，…，5，6，所以4443a <-≤-，这50个整数元素之和为()436509252-+⨯=-；当7a >时，()()70x a x --<的解集为()7,a ，则50个整数解为8，9，…，56，57，所以5758a <≤，这50个整数元素之和为()8575016252+⨯=．综上，a 的取值范围是[)(]44,4357,58-- ，这50个整数元素之和为925-或1625．16 过点C 作CF BD ⊥，垂足为F ．设()0AB x x =>，则BD AE DE x ===，因为BC CD =，所以3212AB BC +=，则362BC x =-．由0BC >，BC CD BD +>，得03x <<．在BCF △中，CF ===．记BCD △的面积为S，则12S BD F C ⋅==．设函数()432918f x x x x =-+，则()()3224273642736f x x x x x x x '=-+=-+，令()0f x '=，得0x =或x =．当0x <<()0f x '>3x <<时，()0f x '<．故当x =时，()f x取得最大值，则S 取得最大值，此时AB =．17．解：（1）因为cos cos 2a b b B A c -=+，所以sin cos 2sin cos sin sin A B B A B C -=+． 2分又()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以3sin cos sin B A B -=． 3分因为sin 0B ≠，所以cos 13A =-． 4分又()0,A π∈，所以sin A =，tan A =- 5分（2）ABC △的面积n 12si A S bc ===，则6bc =． 7分由22222c 23s 2o a b c bc b c bc A =+-=++，得()224253b c a bc +=+=， 9分所以5b c +=，故ABC △的周长为5+．10分18．（1）证明：取PA 的中点N ，连接EN ，DN ，因为E 是PB 的中点，所以//EN AB ，12EN AB =．1分又底面ABCD 为正方形，F 是CD 的中点，所以//EN DF ，EN DF =，所以四边形ENDF 为平行四边形，所以//EF DN ．3分因为EF ⊂/平面PAD ，DN ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ．4分（2）解：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令2AB =，则()1,0,1E ，()1,2,0F ，()0,0,2P ，()0,2,0D ，()0,1,1M ．5分从而()1,1,0EM =- ，()1,1,1MF =- ，()1,2,0AF =．6分设平面AMF 的法向量为()111,,m x y z = ，则11111200x y x y z +=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得()2,1,1m =-- ． 8分设平面EMF 的法向量为()222,,n x y z =，则222220x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令21y =，得()1,1,2n = ．10分1cos ,2m n m n m n⋅==-．11分故平面AMF 与平面EMF 的夹角的余弦值为12． 12分19．解：（1）当1n =时，12a =． 1分当2n ≥时，()()111221212n n n na a a n n n n--+++=⋅--⋅=+⋅ ，3分即()11212n n a a a n n -+++=+⋅ ， 4分当1n =时，上式也成立，所以()()()()1221212322n n n n a n n n n n n n ---=+⋅--⋅=+⋅≥．5分当1n =时，也符合()232n n a n n -=+⋅，所以()232n n a n n -=+⋅．6分（2）由（1）知()232n na n n-=+⋅． 7分()102425232n n S n --=⨯+⨯+++⋅ ， 8分()0112425232n n S n -=⨯+⨯+++⋅ ，9分则()()()()()012111122223222132221n n n n n n S n n n ------=++++-+⋅=+--+⋅=-+⋅+ ， 11分所以()1221n n S n -=+⋅-．12分20．解：（1）当b a >时，该顾客能获得代金券．设“a 是偶数”为事件A ，，“b a >”为事件B ，则()()()()215206208201856421015P AB A -+-++-=== ， 2分()215814815P A A ⨯==， 3分所以()()()41158215P AB P B P A A ===，所以当顾客抽到的a 是偶数时，该顾客能获得代金券的概率为12． 4分（2）X 可能的取值为0，1，2，3．当0X =时，b a <，则()102P X ==． 5分当1X=时，121a b a ≤+-≤，若11a ≥，则120a b +≤≤．对每一个a ，b 有20a -种不同的取值，则(),a b 共有98145+++= 种可能的取值．6分若610a ≤≤，对每一个a ，b 有1a -种不同的取值，则(),a b 共有5678935++++=种可能的取值，所以()21545358121P X A +===． 7分当2X=时，231b a a ≤-≤．若7a ≥，则220a b ≤≤．对每一个a ，b 有212a -种不同的取值，则(),a b 共有753116+++=种情况．若6a =，则1217b ≤≤，(),a b 共有6种可能的取值．所以()215166112105P X A +===． 9分当3X =时，341b a a ≤-≤，(),a b 只有()6,18，()6,19，()6,20这3种情况，所以()31321070P X ===． 10分所以()181111331901232211057021030E X =⨯+⨯+⨯+⨯==． 12分21．（1）解：设椭圆方程为221px qy +=，1分则164912525q p q =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得141p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 3分所以椭圆的方程为2214x y +=．4分注：若直接设22221x y a b +=得到2214x y +=，扣1分．（2）证明：设()00,P x y ，(),0A m ，(),0B n ，直线003385:8555y PD y x x +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+，令0y =，得00385535N x y x y -=+． 5分直线001:1y PC y x x +=-．令0y =，得001M xx y =+． 6分()()()()00000000000038583355311535x y ny n x my y m x x MB NA n m y y y y ⎛⎫- ⎪+-++-⎛⎫⋅=--= ⎪ ⎪+++⎝⎭ ⎪+⎝⎭ ． 8分令00058333my y m ny n ++=--，令583m n +=-，33m n =-，得4n =，4m =-，10分则()()()()()()()()222220000002000000344344441258312153153583y x y y y y MB NA y y y y y y ⎡⎤⎡⎤-+--+---++⎣⎦⎣⎦⋅====-++++++ ．故存在()4,0A -和()4,0B ，使得MB NA ⋅是定值，且定值为12-． 12分22．（1）解：令()0f x =，得10ln a xex a +-=，则11ln 11ln a xx ea e x x-+-=+． 2分令函数()xg x e x =+，则11ln g a g x x ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()g x 在R 上单调递增，所以11ln a x x -=，即n 1l a x x=+．3分令函数()n 1l h x x x =+，则()21x h x x-'=，则()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ==．4分因为当0x →时，ln l 11n x x x x x ++=→+∞，当x →+∞时，1ln x x+→+∞， 5分依题意可得方程n 1l a x x=+有两个不相等的正根，所以1a >，即a 的取值范围是()1,+∞． 6分（2）证明：令函数()2ln 11x x x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()22102x x xϕ-'=<-，所以()x ϕ在()0,+∞上单调递减．7分因为()10ϕ=，所以当()0,1x ∈时，()0x ϕ>；当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ<． 8分不妨假设12x x <，则由（1）知1201x x <<<，所以()10x ϕ>，()20x ϕ<，所以111111111111l 2n 22x a x x x x x x ⎛⎫=+>+-=+ ⎪⎝⎭，则21121ax x >+， 9分222222211111l 2n 22x a x x x x x x ⎛⎫=+<+-=+ ⎪⎝⎭，则22221ax x <+， 10分所以()()()22121212122a x x x x x x x x ->-=+-， 11分因为120x x -<，所以122x x a +>．12分。

金太阳试题及答案初三

金太阳试题及答案初三【试题一】题目：请描述水在自然界中的循环过程。

答案：水在自然界中的循环过程被称为水循环。

水循环主要包括蒸发、凝结、降水和径流四个环节。

首先，太阳的热量使地表的水体（如海洋、湖泊、河流等）蒸发成水蒸气。

随后，水蒸气上升到大气中，随着温度的降低，水蒸气凝结成云。

当云中的水滴或冰晶聚集到一定程度时，它们会以雨、雪或冰雹的形式降落到地面，这就是降水。

降水后，水会通过地表径流或地下渗透回到水体中，从而完成一个循环。

【试题二】题目：请解释牛顿第三定律，并给出一个生活中的实例。

答案：牛顿第三定律，也被称为作用与反作用定律，表述为：对于任何两个相互作用的物体，它们之间的力是大小相等、方向相反的。

这意味着，当一个物体对另一个物体施加力时，另一个物体也会对第一个物体施加一个等大反向的力。

实例：当你坐在椅子上时，你的身体对椅子施加了一个向下的力（你的体重），根据牛顿第三定律，椅子也会对你的身体施加一个等大但方向相反的力，即向上的支持力。

这两个力是作用与反作用力，它们保证了你能够稳定地坐在椅子上。

【试题三】题目：请简述光合作用的过程，并说明其对生态系统的重要性。

答案：光合作用是植物、藻类和某些细菌将光能转化为化学能的过程。

在这个过程中，植物通过叶子中的叶绿体吸收太阳光，利用水和二氧化碳，通过一系列化学反应生成葡萄糖和氧气。

葡萄糖是植物生长所需的能量来源，而氧气则释放到大气中供其他生物呼吸。

光合作用对生态系统至关重要，因为它是地球上大多数生命形式能量来源的基础。

它不仅为植物自身提供能量，还为食物链中的其他生物提供食物。

同时，光合作用还有助于维持大气中的氧气和二氧化碳的平衡，对地球的气候和环境有着深远的影响。

【试题四】题目：请解释什么是遗传和变异，并举例说明。

答案：遗传是指生物体的性状通过基因从亲代传递给子代的过程。

基因是生物体内控制性状的遗传物质的基本单位，它们携带了生物体的遗传信息。

变异则是指生物体基因或染色体发生的改变，这些改变可能导致生物体性状的多样性。

数学丨金太阳2023届高三上学期11月联考23-130C数学试卷及答案

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