【文献综述】分块矩阵的性质及其应用

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分块矩阵的性质及其应用【开题报告】

阵的相关计算简单化, 而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题. 分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题, 以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上, 对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解, 所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念, 我们需要透彻的了解分块矩阵, 在此基础上较好地学会在何时应用矩阵分块, 从而研究它的性质及应用是非常必要的.根据目前国内外对矩阵应用研究的发展, 可以知道矩阵已经广泛应用到线性规划、线性代数、统计分析, 以及组合数学等.在这样的形式下, 必须要求对矩阵有一种科学的处理方式以提高应用效果.本文是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨了分块矩阵在各方面的应用.当前对分块矩阵的应用主要发展到计算和证明两大方面.证明方面: 通过对矩阵的分块证明了有关矩阵秩的定理以及其他线性代数证明问题; 计算方面,本文通过对分块矩阵的性质的研究很好的解决了求矩阵的逆矩阵问题, 求行列式, 求矩阵的秩等问题的新的快捷方式.二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题:研究的基本内容: 通过学习分块矩阵的相关的几种定义, 掌握分块矩阵的性质, 从而熟练分块矩阵的应用.解决的主要问题:1．了解分块矩阵的基本概念.2．探讨分块对角化的性质.3．研究分块矩阵的应用.三、研究步骤、方法及措施:研究步骤:1．查阅相关资料, 做好笔记;2．仔细阅读研究文献资料;3．在老师指导下, 确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;4．翻译英文资料;5．撰写毕业论文;6．上交论文初稿;7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;8．论文定稿.方法、措施:通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容. 在老师指导下, 与同组同学研究讨论, 用确定合理的方法来解决问题.四、参考文献:[1] 居余马. 线性代数[M]. 清华大学出版社,1992.[2] 穆大禄, 裴惠生. 高等代数教程[M]. 山东大学出版社, 1990.[3] 北京大学数学系. 高等代数[M]. 高等教育出版社.[4] 叶伯诚. 高等代数[M] . 青岛海洋大学出版社, 1989.[5]张敏. 分块矩阵的应用[J]. 吉林师范大学学报(自然科学版), 2003, 1(1): 120.[6] S.K.Jain. Linear Algebra: An Interactive Approach[M]. 北京: 机械工业出版社, 2003,7.[7] Hamilton J.D, “Time Series Analysis1” Princeton University Press[J].1999, 26 – 291.。

分块矩阵的应用论文

分块矩阵的应用引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，那么有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生.矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比方，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的假设干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，那么可求得A B AD BC C D =-；分块矩阵也可以在求解线性方程组应用.本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.1 分块矩阵的定义及相关运算性质1.1分块矩阵的定义矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.定义1设A 是一个m n ⨯矩阵，假设用假设干横线条将它分成r 块，再用假设干纵线条将它分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即1111...............s r rs A A A A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中ij A 表示的是一个矩阵.1.2分块矩阵的相关运算性质 1.2.1加法设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=，用同样的方法对,A B 进行分块()ij r sA A ⨯=，()ij r sB B ⨯=，其中ij A ，ij B 的级数相同，那么 ()ij ij r s A B A B ⨯+=+. 1.2.2数乘设是任()(),ij ij m n r s A a A k ⨯⨯==为任意数，定义分块矩阵()ij r s A A ⨯=与k 的数乘为()ij r skA kA ⨯=1.2.3乘法设()(),ij ij s n n m A a B b ⨯⨯==分块为()(),ij ij r l l r A A B B ⨯⨯==，其中ij A 是i j s n ⨯矩阵，ij B 是i j n m ⨯矩阵，定义分块矩阵()ij r l A A ⨯=和()ij l r B B ⨯=的乘积为()1122...,1,2,...;1,2,3,...,ij i j i j il lj C A B A B A B i t j l =+++==.、1.2.4转置设()ij s n A a ⨯=分块为()ij r s A A ⨯=，定义分块矩阵()ij r s A A ⨯=的转置为()ji s rA A ⨯''=1.2.5分块矩阵的初等变换分块矩阵A 的以下三种变换称为初等行变换： (1) 对调A 的两行(用i j r r ↔表示对调i 、j 两行)；(2) 用一个可逆阵K 左乘A 的某一行的所有子矩阵(用i K r ⨯表示用K 左乘第i 行)； (3) 将A 的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵K 再加到另一行的对应子矩阵上去(i j r K r +⨯表示将第j 行左乘K 再加到第i 行).将上述定义中的“行〞换成“列〞,“左乘〞换成“右乘〞, 即得分块矩阵的初等列变换的定义, 分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.2 分块矩阵的应用2.1用分块矩阵解决行列式的问题利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一, 但通常所用的?高等代数?教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格, 多数为形式较特殊的行列式.下面给出了一个应用范围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法.引理2.1([3])假设A 为k 阶方阵，B 为r 阶方阵，C 为r k ⨯矩阵, 那么有A ABC B= 在上述引理中,要求子块当中有一个为零矩阵, 更一般的有如下的结论. 定理2.2([3])假设n 阶方阵P 可分为A B P CD ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中A 为r 阶方阵, B 为()r n r ⨯-矩阵, C 为()n r r -⨯矩阵, D 为()n r -阶方阵, 那么有〔1〕当A 为可逆矩时1P A D CA B -=-；〔2〕当D 为可逆矩阵时1P D A BD C -=-.在进行行列式的求值运算时, 假设能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法, 就可应用定理的结论进行行列式的计算, 现举例说明如下：例2.3 计算行列式 013c ...0 (00)...0.........0...nb b b ac P ac a c =其中10,123...c i n ≠=.解设 0()A c =，()...B b b b =，()...TC a a a =130...00...0,0,1,2,,.........00 (i)n c c D c i n c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=≠=⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 那么D 为可逆矩阵，由定理1的结论〔2〕知1A BP D A BD C C D-==- ，将 1111210...00...0.........00...n c c D c ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦及,A B C D ,,代入得 1111212...((...))n n P c c c a ab c c c ---=-+++.例2.4 矩阵()ij ai j P a bi j =⎧==⎨≠⎩当时当时，求行列式P 的值.解：行列式P 的主对角线元素为a ，其余元素为b ，因此：〔1〕当a b =时，由行列式的性质知P =0；〔2〕当a b ≠时，从第一行开始，将行列式的前行减去后行得...000 (00).........000......a b b a a b b a P a b b abbbb a ----=--，令...000...000.........,, 000 000...0a b b a a b b a A B a b b a o a b b a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦()()...,,C b b b b D a ==由定理2.2可知 1P A D CA B -=-，而 ()1n A a b -=- ，()011,,,>a b i jA i j --⎧-≤⎪=⎨⎪⎩计算结果得 ()()()()()()111+1n n P a b a n b a b a n b --=---=--.假设定理中的矩阵A 和D 均为可逆矩阵时，定理的两个结论均成立，可以利用公式11D A BD C A D CA B---=-进行转换求行列式的值，举例说明如下.推论2.5 假设,,,A B C D 均为n 阶方阵，且A 可逆，AC CA =，那么 ABT AD CB C D==-. 例2.6 计算行列式 1111122310250121T -=.解对T 进行分块A B T C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中 11111025,,,,12230121A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 显然A 可逆，且AC CA =，所以T AD CB =-，而 4667AD ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1123CB ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 所以， 3510410T ==. 定理2.7 假设,A B 均为n 阶方阵，那么A BA B A B B A =+-.. 例2.8 计算行列式 1234234134124123T =.解对矩阵T 进行分块A B T C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中 1234,,2341A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由于 4664A B ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦ ，22,22A B --⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦ 所以 (20)(8)160T A B A B =+-=-⨯-=. 2.2 分块矩阵在解线性方程组中的应用例2.9设n 个未知数m 个方程的线性方程组为11112211211222221122...............n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 〔1〕记()ij m n A a ⨯=,()12X=,,...,Tn x x x 〔其中T 表示矩阵的转置〕, ()12,,...,Tm B b b b = ,那么方程〔1〕的矩阵形式为 AX B =.把方程〔1〕的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式111211212222AA XB A A X B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中 111111........................r r rr a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111121........................r n rr rn a a A a a ++⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()11112A A A =，111211........................r r r m mr a a A a a ++⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111221........................r r r n mr mn a a A a a ++++⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()22122A A A =，()112...Tr X x x x =，()212...Tr r n X x x x ++=，()112...T r B b b b =，()212...Tr r m B b b b ++=，方程组〔1〕有解时，我们解方程组〔1〕时总是把〔1〕化成简单的同解方程组，从而求出其解.定理2.10. 设方程组〔1〕有解且()()11,r A r n r A r =≤=，那么方程组()1112A A X B =与AX B =同解.例2.11．方程组1112132223243132333441424344212212330x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪--=⎪⎨+++=-⎪⎪+++=⎩ 〔2〕求此方程组的解并证明此方程组和方程组111213222324212x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩ 〔3〕同解.解：令1210011111212331A ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11121210()0111A A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，其中 111201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，121011A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，1210B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，112B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，121011210112101011120111201112112110111200000233100111200000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以此方程组的齐次线性方程组的解为1232111001c c --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又3200-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是方程组的一个特解，所以此方程组的解为 12323112100010c c ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由上可知()2r A =并且11()2r A =，所以由定理3可证方程组〔2〕和〔3〕同解. 2.3分块矩阵在相似问题中的应用定理2.12.如果方阵~A B ，方阵~C D ，那么00~00A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 证明因为方阵~A B ，方阵~C D ，所以 110000000000E A XE X Y C E Y E --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11110000000000A XB X X AXC YD Y Y CY ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，而 1110000E XY E ---⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭1100E Y --⎡⎤⎢⎥⎣⎦1100X E --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0000XE E Y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 00~00A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 2.4用分块矩阵证明矩阵秩的问题定理2.13.设0A M C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,A 为m n ⨯矩阵，B 为k l ⨯矩阵，那么有()()()r M r A r B ≥+，且0C =时，()()()0A r M r r A r B C B ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦ 证明设A 在初等变换下的标准形为1000rE D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()r r A =，又设B 在初等变换下的标准形为 2000sED ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()s r B =，那么，对M 前m 行前n 列作初等变换，对它的后k 行后l 列也作初等变换可把M 化为11120D C M D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，现在利用1D 左上角的1经列初等变换消去1C 位置中的非零元；再用2D 左上角的1经行初等变换消去它上面1C 处的非零元素，于是把1M 再化作220000000000000r s E C M E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么有 ()()()()()()122r M r M r M r s r C r s r A r B ===++≥+=+.利用这个定理及初等变换可证明一些秩的不等式.例2.14. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n l ⨯矩阵，假设0AB =，那么()()r A r B n +≤. 证明因为()()00000000n n n n A AB A r A r B r r r r r n E B E B E B E B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=≤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以 ()()r A r B n +≤.例2.15. 设A 、B 都是n 阶矩阵，求证：()()()r AB A B r A r B ++≤+.证明：因为 0A AB A B B ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)(1)E -⨯+−−−−→0A AB A B +⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1)()(2)B E ⨯--+−−−−−→00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以 0E E E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦0E B E E --⎡⎤⎢⎥⎣⎦00A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，又0E E E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，0E B E E --⎡⎤⎢⎥⎣⎦都可逆，所以 000A AB A B A r r B B ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而 ()0A AB A B r r AB A B B ++⎡⎤≥++⎢⎥⎣⎦ 又 ()()00A r r A r B B ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，所以 ()()()r AB A B r A r B ++≤+. 2.5 用分块矩阵求逆矩阵的问题分块矩阵是高等代数中的一个重要的工具，在求解高阶矩阵问题中的应用尤为广泛.求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可起到事半功倍的作用.定理2.16. 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得 AB BA I == 那么矩阵称为可逆矩阵，而B 称为A 的逆矩阵.假设,A B 都可逆，那么 100A B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦1100A B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦10A C B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦11110A A CB B ----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦,10A C B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦11110A B CAB ----⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦, 1111110000kk n k n k E A B E A B A CA E C D E D -------⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中1D 1D CA B -=-.以下举些例子具体说明分块矩阵在矩阵求逆中的具体应用.例2.17. 矩阵1200210000120025A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，求1A -. 解：可以将矩阵A 分成四块12A 00A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中1A 1221⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2A 1225-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，根据分块矩阵的性质，1A -111200A A --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而1A ，2A 为二级矩阵，其逆矩阵易求出，分别为 11A -12552155⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，12A -5221--⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，所以 1A -12005521005500520021⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦ 2.6 分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用在高等代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的内容，特征值对于线性变换的研究具有根本的重要性．而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明.定理2.18. 设A 为n 阶矩阵，λ是一个数，如方程AX X λ=,存在非零解向量，那么称λ为A 的一个特征值，相应的非零解向量X 称为与特征值λ对应的特征向量.定理2.19.设A 为n 阶矩阵，含有未知量λ的矩阵I A λ-称为A 的特征矩阵，其行列式I A λ-为λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式0I A λ-=称为A 的特征方程，λ是矩阵A 的一个特征值，那么一定是0I A λ-=的根，因此又称为特征根.假设λ是0I A λ-=的i n 重根，那么λ称为A 的i n 重特征值.引理2.20.设A 为n 阶矩阵，那么A 为幂等矩阵的充要条件()()r A E r A n -+=，这里E 为n 阶单位矩阵，()r A 表示A 的秩.引理2.21.幂等矩阵()1112A A X B = 与000rE ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 或000r E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦相似，其中()r r A =. 例2.22. 设12,,A A A 均为n 阶方阵，且12A A A =+，()()(),1,2i i r A r r A r i ===，求证：假设212,A A r r r ==+，那么12,,A A A 的特征值为1或0，且1的个数和它们的秩相等.证明：〔1〕当A 可逆时，即()r A n =，因为2A A =，所以A E =，又 12r r r =+，12E A A =+，由得()()()12r A r A r A n =+=，由引理2.20得到211A A =.同理222A A =，所以1A ，2A 是幂等矩阵，由引理2.21得10~00rEA ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，200~0r A E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 12,,A A A 和E ，000rE⎡⎤⎢⎥⎣⎦，000r E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有相同的特征根，所以12,,A A A 的特征值为1或0，且特征值1的个数和它们的秩相等.〔2〕当()0r A =时，即0A =，结论显然成立.〔3〕设0r n <<，即A 为非零由布可逆矩阵，又因为2A A =，故存在可逆矩阵P 使11112P AP P A P P A P ---=+，()r r A =，令 000rE⎡⎤⎢⎥⎣⎦1112111221222122A A B B A A B B ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦这里 ()1ij P AP A -= ()121111ij r P A P B E A B -=⇒=+，所以 ()()()()()1111111111=r r A B r A r B r A r B r +≤+≤+=，从而 ()()()()()1111111112=r r A B r A r B r A r A r +≤+≤+=，又因为 ()()()11121100r A r A A B -≥-≥， r ，从而 ()()111r A r A =，()211r A B =，这样1111Er A B =+，且()1111r A B r +=，由定理2.18的证明可知，存在可逆矩阵Q ，使11110Q=00r E Q A -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，211100Q=0r Q B E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 111112n-n-n-n-00000000000rr r r r E Q QQ Q P A P P A P E E E E ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11111112111221222122n-n-n-n-00000000r r r r A A B B Q Q Q Q A A B B E E E E ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11111112111221222122Q A Q Q A Q B Q Q B A Q A B QB ----⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，设 1111122122Q A Q Q A A Q A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦1121111222000r E C C G G A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又因为11211111222000r E C r C r G G A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以21120,0G G ==，设 211111112r 212122*********W Q B QQ B E W B QB Z Z B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，同上可得110Z =，110W = ，故111121120,0,0,0C G W Z ====，又1111112212222000000r E Q A Q Q A A Q A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，从而220A =，同理 211111221220000000r Q B QQ B E B QB --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，100n r Q T P E --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故有1210000,000rrET AT E-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12111200000000,00000000rrET AT T A T E--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，综上所述,结论成立.小结本文通过例题对分块矩阵在证明和计算中两方面的应用进行了总结分析，在证明方面涉及了矩阵秩的相关问题和矩阵列行向量线性相关性问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵的解可以很清晰动的描述线性方程组的解和相关内容，对一些具体的解与矩阵行列相关性之间的关系做出了总结；在分块矩阵计算方面我们主要解决了求逆矩阵与高级行列式的问题.通过本文的表达充分表达了分块矩阵在代数计算和证明方面的优越，也给出了分块矩阵在线性代数中所具有的重要地位，当然在分块矩阵的应用的表达中，本文并不是对所有的证明和计算都进行讨论，所以在应用的完整性上有待改进，并可以继续进行探讨和研究.参考文献[1] 蓝以中.高等代数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2007：141-149.[2] 杜之韩,刘丽,吴曦.线性代数[M].成都：西南财经大学出版社，2003：61-68.[3] 郝玉琴.利用矩阵的分块法解线性方程组[J].唐山师专学报，1999(5):37-38.[4] 王萼芳.线性代数学习指导[M].北京：清华大学出版社，2021：104-108.[5] 祁秋菊.分块矩阵的相关应用[J].科技信息，2021：1-4.[6] 孔庆兰.分块矩阵的应用[J].枣庄学院报，2006〔5〕：24-25.[7] 王秀芳.分块矩阵的应用讨论[J].连云港师范高等专科学校学报，2021〔3〕：98-99.[8] 严坤妹.分块矩阵的应用[J].福建播送电视大学学报，2006〔59〕：71-73.[9] 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浅析分块矩阵的性质和应用[1]讲解

浅析分块矩阵的性质和应用作者姓名：周甜河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2007级2班性质1：分块矩阵都是可逆的，且逆矩阵为分块初等矩阵。

性质2：分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等变换后所得到的矩阵仍为分块初等矩阵。

摘要：分块矩阵在高等代数中有着广泛的应用，矩阵的分块运算是矩阵运算的一种重要方法。

本文主要讨论了分块矩阵的运算性质，初等变换，并举例说明和分析了分块矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。

利用分块矩阵可以使阶数比较高，比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决变得简明而清晰。

关键词：分块矩阵行列式特征值初等变换矩阵的逆Tentative Analysis of Properties and Applications of BlockMatricesAuthor Name：Zhou TianClass 2 Grade 2007 of Mathematics and Applied Mathematics of College Mathematics and Information Scienceof Henan Polytechnic University SchoolSummary：Block matrices has a wide use in Advanced Algebra. Operations of block matrices play an important role in the operation of matrices. This paper mainly illustrates the operation properties and the elementary transformations of block matrices. Several examples are given in the paper to show the applications of block matrices in calculating the eigenvalues of a matrix and proving a subject in connection with matrices. It is convenient to apply block matrices to deal with questions containing matrices with high order and complex appearances and calculating the eigenvalues of abstract matrices.Keywords: block matrices determinant eigenvalues elementary transformation the inverse of a matrix§1引言在高等代数中，矩阵是一项非常重要的内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。

分块矩阵的应用研究文献综述

毕业论文文献综述数学与应用数学分块矩阵的应用研究一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）本论文的重要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来研究分块矩阵的计算方法和分块矩阵在化简行列式、行列式运算、求矩阵的特征值等方面的应用，首先我们先来介绍一些概念：分块矩阵的概念[]1：当矩阵的行数与列数较大时, 为便于运算, 有时把它分成若干个小块, 每个小块是行数与列数较小的矩阵.把一个矩阵看作是由一些小块矩阵所构成, 这就是矩阵的分块.构成分块矩阵的每个小矩阵, 称为子块.如对矩阵A 分块如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1011012100100001A 其中记⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121,0000,10011A O E ,则A 可表示为分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=E A O E A 1 矩阵的分块可以有各种不同的分法.如矩阵A 也可分块如下:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1011012100100001A 通过分块矩阵的定义和概念，我们将探讨分块矩阵的计算，并利用分块矩阵的思想把分块矩阵的应用联系到其它问题中.二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）作为解决线性方程的工具，矩阵已有不短的历史.拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究.矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的.但是追根溯源，矩阵最早出现在我国的＜九章算术＞中，在＜九章算术＞方程一章中，就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状.随后移动处筹，就可以求出这个方程的解.在欧洲，运用这种方法来解线性方程组，比我国要晚2000多年.1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德•威廉•莱布尼茨建立了行列式论(theory of determinants).1750年，加布里尔•克拉默其后又定下了克拉默法则.1800年，高斯和威廉•若尔当建立了高斯—若尔当消去法.1848年詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特首先创出matrix 一词.研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉•卢云•哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯•诺伊曼.分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在矩阵的某些运算中，对于级数比较高的矩阵，常采用分块的方法将一个矩阵分割成若干个小矩阵，在运算过程中将小矩阵看成元素来处理，对问题的解决往往起到简化的作用.本文通过一些例子来说明分块矩阵的一些应用.预备知识[][]32-分块矩阵的运算: 矩阵的分块技巧性较强，要根据不通的问题进行不同的分块，常见的方法有四种：（1）列向量分法),,2,1(),,,,(21n i a a a a A i n ΛΛ==为A 的列向量.（2）行向量分发),,2,1(21n i A i n ΛM =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ββββ为A 的行向量.（3）分成两块),,(21A A A =其中21,A A 分别为B 的若干行.（4）分成四块⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321C C C C A 对分块矩阵可以进行广义初等变换，广义初等变换分为三种：（1）交换分块阵的两行（或列）；（2）用一可逆矩阵乘以分块矩阵的某一行（或列）；（3）用某一矩阵乘以某一行（或列）加到另一行（或列）. 根据广义初等变换的类型对应三种广义初等阵（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡00nm E E ; （2）G D G E E D ,,00,00⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡均为可逆阵；（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡E H E E ME,0. 分块矩阵的加法计算B A +时，若对AB 分块,则要求用子块表出的AB 应同型且对应位置的子块也应同型.如对矩阵A 分块为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=E C O E A 1011012100100001则对B 也应予以同型的分块⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=E G O D B 1026013600020021从而按分块相加，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+O G C D E B A由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+122202211001D E 因此⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+0026003642123122B A 分块矩阵的乘法计算AB 时，若对B A ,分块，则要求用子块表出的A 的列数等于用子块表出的B 的行数且对应的子块ij A 与pq B 应满足.p j =如对矩阵A 分块如下：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=E CO E A 1011012100100001可对B 分块如下：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=E G O D B 1026013600020021则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=E GC CGDE G O D E O C E AB 由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+238125263642310221CG D 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=102601364223831125AB 分块矩阵在矩阵中是一块重要内容，它是解决许多实际问题的提供方法，下面介绍个分块矩阵在解决线性代数问题中的一些简单应用[][]153-1. 用分块矩阵解决行列式问题在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化. 而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题. 而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.这里给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.引理1：设x ，y 为任意矩阵，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡p mI x I 0与⎥⎦⎤⎢⎣⎡p mI y I 0都可分解为第三类初等矩阵的乘积.（即对单位矩阵仅仅施行第三类初等变换就可使它的右上角或左下角变成给定的任何矩阵）.证明：任取)(max ij y y =，把单位矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=p mI I I 00的第一列的11y 倍，第2列的21y 倍，……第m 列的1m y 倍，都加到第1+m 列上去；这时，I 的右上角第一列变化成y 的第一列.这相当于对单位矩阵作了m 次第三类列的初等变换.类似地，m 次列的第三类初等列变换，可使I 的右上角第二列化为y 的第二列，……因此⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=p mm I y I Q Q IQ 021Λ. 定理1（拉普拉斯定理）：设在行列式D 中任意取定了()11-≤≤n k k 行，由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D .定理2 设B A ,都是n 阶矩阵，则B A AB =证：由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-000n n nn I AB AI B I B I A，由引理⎥⎦⎤⎢⎣⎡n nI B I 0可分解为第三类初等矩阵的乘积.因此，用它右乘一个矩阵M ，相当于对M 进行一系列的第三类初等列变换.从而不改变M 的值.所以0nnI AB A BI A -=-两边均对后n 列用拉普拉斯定理，得左边==B A 右边AB I AB n nn n =--=++++++)()1(2)1()21(ΛΛ.例1 求证：()n n nnβαβαβααααβββ+++-=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112121010010001证明：由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A B BA I I I AB B A I I I 000由引理和拉普拉斯定理，两边取得列式，得B A B A A B B A -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 例2 计算下面2n 阶行列式()02≠=a bcb c d a da H n ON N O解令.,,,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=d dD c c C b bB a aA O O O O 为n 阶方阵.由于0≠a ，故A 为可逆方阵.又易知⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-----d ca b dca b d ca b D CA B 1111O从而得出()().112nnn n cd ab d ca b a D CA B A B C D A H -=-=-⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--2. 利用矩阵分块的方法求逆矩阵求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决, 而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大, 对某些矩阵可以适当分块后再进行运算, 可起到事半功倍的作用.例3 设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=6000004000001001095201473M ，求1-M .解：令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=600040001,000000,109014,3275D C B A 则很容易求得，,61000410001,327511⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--D A且.21211967454361000410001109014327511⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=---BD A .610000041000001002121193267454375011111⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴-----D BD A A M例4：求矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0043000020000045300021000M 的逆矩阵.解：设.000000,430020004,5321,000000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D C B A则,4183002100041,13251⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-C B 由定理可得，.001300025418300002100000410000111⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---BC M 3. 用分块矩阵求解非齐次线性方程组在线性代数中，我们知道：如果A 是一个n 阶非奇异阵(),,,3,2,1,,n j i a A ij Λ==将A进行分块,22211211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A A A A A 其中22211211,,,A A A A 分别是k m m k k k ⨯⨯⨯,,和m m ⨯矩阵.若22A 是非奇异方阵，那么一定可以找到一个上三角分块矩阵,012212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-m kI A A IM 使得,02221⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A AG MA 其中,211221211A A A A G --=且G 是非奇异阵.对于该结论，如果用来求解n 个方程的非齐次线性方程组是比较方便的.可按如下过程求解：设非齐次线性方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛ22112222212111212111 （1）将（1）式写成矩阵方程为B AX = （2）这里A 为系数矩阵.,2121⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n b b b B x x x X M M 若A 是非奇异阵，即,0≠A 则方程组（1）有唯一确定的解. 将阶阵A 分块：,22211211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A A A A A 并注意22A 是非奇异阶阵，同时将X 及B 进行相应的分块.可令：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121,B B B X X X ,1B 的行数等于1211,A A 的行数，2B 的行数等于1211,A A 的行数.则矩形方程（2）可写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡212122211211B B X X A A A A （3）将（3）式两端分别左乘上三角分块矩阵,012212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-m kI A A IM 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21221212122210B A A B X X A A G（4）其中211221211A A A A G --= ()0≠G .方程（4）分解成以下两个矩阵方程⎩⎨⎧=+-=-22221211221211B X A X A A A B GX （5）因()0≠G ，故(),212212111B A A B G X ---=再将1X 代入2222121B X A X A =+中，得.1212222X A B X A -= ().12121222X A B A X -=-由此，得.21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=X X X例5 已知,82593122⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=A 求一个24⨯的矩阵B ，使得0=AB ，并且秩()2=B 解：我们把矩阵B 按列分块()21,B B B ，由0=AB 即是()0,21=B B A 所以B 的每一列即是0=AX 的解，又因为秩()2=B ，所以21,B B 线性无关由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81185102321112112540232111825923211182593122⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→8118510818101 所以⎪⎩⎪⎨⎧+=-=432431811858181x x x x x x （43,x x 为自由未知量）现分别令1,043==x x 及0,143==x x 得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=018581,108118121X X 事实上21,X X 就是0=AX 方程组的基础解系，显然21,X X 线性无关.故我们方可令2211,X B X B ==,所以()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==0110858118181,21B B B例6 求解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-+---=-+++=-+-+=+-+--=-+-+332224343238243214225432154321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解将方程写成矩阵方程，并进行分块，有.212122211211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡B B X X A A A A 这里.321224121,113413,243142,122122211211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A A A A 先求出22A 的逆矩阵.21021101101211035121122⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-A 计算.10351252102512212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--A A 将方程（2）两段左乘以矩阵,03122122⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-I A A IM 得到：.32358410321112243412113000565420001654321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------x x x x x 解矩阵方程 .21245144113413323,144584105654216,584105654216121212121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---X A B x x x x 所以().137421245210211011012110351211212122543⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-X A B A x x x 所求方程组的解为.13,7,4,14,454321==-=-==x x x x x4. 用分块矩阵证明秩的问题例7 设A,B 分别是p n n m ⨯⨯,的矩阵，则()()(){}B r A r AB r m in ≤矩阵乘积的秩不超过各因子矩阵的秩.证明：先证()()B r B A r ≤⋅.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn ma in i n a L a L L La L a L L L a L a A 1111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m i B M B M B B 1 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m i C M C M C AB 1 其中n B B ,,1Λ分别表示B 的1，2，…，n 行，n C C ,,1Λ分别表示AB 的1，2，…，m 行，由分块矩阵乘法性质得()m L i B a C nj iij i ,,11==∑=，即AB 的行向量组可由B 的行向量组线性表示，在高等代数中我们知道如果向量组r i a a ,,Λ可以经向量组i i b b ,,Λ线性表出，则()()i r b L b r a L a r ,,,,11≤，所以()()B r AB r ≤.再证()()A r AB r ≤设(),,,,,1111121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==np nj n p j n n L b L b L L L L Lb L b L b B A A A A Λ ()p j D D D AB ΛΛ1=则由分块矩阵乘法规则可得()∑===ni i j p L j A b D 1,,2,1即AB的行向量组可由A 的列向量线性表出，所以()()A r AB r ≤由此得()()(){}.,m in B r A r B A r ≤⋅三、总结部分（将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测）本论文论述了分块矩阵的概念，分析了分块矩阵的性质，讨论了分块矩阵的应用问题.最后对分块矩阵的重点、难点进行归纳，给出恰当的例子.本论文重点是研究分块矩阵的应用问题.查阅各种相关文献，对各文献进行归纳总结，提取各文献中关于定积分的相关内容，系统的进行总结.其中的难点在于如何利用分块矩阵解决相关问题.相信我经过跟多的研究分块矩阵会有更多的应用.四、参考文献（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）[1]张政修，曹承宾，王尚文．经济数学基础—线性代数[M]．北京：高等教育出版社，2003．[2]王秀芳．分块矩阵的应用讨论[J]．连云港师范高等专科学校学报，2008，9：97-99．[3]张敏．分块矩阵的应用[J]．吉林师范大学学报，2003，2：118-120．[4]严坤妹．分块矩阵的应用[J]．福建广播电视大学学报,2006：71-73．[5]王莲花，李念伟，梁志新．分块矩阵在行列式计算中的应用[J]．河南教育学院学报,2005，3：12-15．[6]刘红旭．利用分块矩阵求解非齐次线性方程组[J]．辽宁师专学报,2003，6：21-22．[7]周兴建．分块矩阵及其应用[J]．科技资讯,2007：126-127．[8]孔庆兰．分块矩阵的应用[J]．枣庄学院学报,2006，10：24 -26．[9]同济大学数学系．线性代数[M]．北京：高等教育出版社,2007．[10]孙要伟，郑远平[J]．牡丹江大学学报．2008，8：104 -107．[11]陈志杰．高等代数与解析几何[M]．北京：高等教育出版社,2000．[12]王萼芳．高等代数教程[M]．北京：北京大学出版社,2001．[13]丘维声．高等代数[M] ．北京：高等教育出版社，2000．[14]David C．Lay．Linear Algebra and Its Applications Third Edition [M]．BEIJING :Publishing House ofElectronics Industry ,2004．[15]彭国华，李德琅．Linear Algebra [M]．北京：高等教育出版社，2006，5．。

分块矩阵及其应用

分块矩阵及其应用
分块矩阵是由若干个子矩阵组成的大矩阵，通常将行和列分成若干块，每块均为矩阵，因而得名。

分块矩阵在数学和工程领域有广泛应用。

一些应用包括：
1.矩阵求逆：对于大规模矩阵求逆，可以先将矩阵分成较小的块，在每个块的范围内求逆并重新组合。

2.矩阵乘法：矩阵乘法的时间复杂度与矩阵的大小有关，但矩阵块的大小也会影响乘法的效率。

分块矩阵可以提高矩阵乘法的效率。

3.矩阵分解：对于某些特定类型的矩阵，如对称正定矩阵和稀疏矩阵，分块矩阵分解可以有效地降低计算复杂度。

4.图像处理：分块矩阵可以用于图像处理中的分块压缩和离散余弦变换等算法，以提高图像处理的效率和质量。

5.结构力学：分块矩阵广泛应用于结构力学和有限元方法中，可以描述复杂的结构系统和分析结构系统的动态行为。

高等代数小论文--分块矩阵及其应用

高等代数期中论文课程高等代数专业班级数学0802 姓名徐锴学号 ******** 指导教师牛敏分块矩阵及其应用主要内容1.分块矩阵1.1. 分块矩阵的定义用纵线与横线将矩阵A 划分成若干较小的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡st s s t t A A A A A A A A A 212222111211 其中每个小矩阵 .),1;,1(t j s i A ij==叫做A 的一个子块；分成子块的矩阵叫做分快矩阵[2].1．2 运算规则()1 stij ij st ij st ij B A B A )()()(+=± ()2 tsT ji st Tij A A )()(= ()3 sp ij tp ij st ij C B A )()()(=，ij C =∑-==tk kjik t j s i B A 1),...1,,...1( ()4 stij st ij A k A k )()(=(k 是数量) 在用规则1）时，A 与B 的分块方法须完全相同；用性质3）时，A 的列的分法与B 的行的分法须相同.1.3分块矩阵的性质及其推论在行列式计算中 ,我们经常用到下面三条性质[3]:()1 若行列式中某行有公因子 ,则可提到行列式号外面;()2 把行列式中的某行乘上某一个非零数 ,加到另一行中去 ,其值不变; ()3 把行列式中的某两行互换位置 ,其值变号;利用矩阵的分块 ,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行广.性质 1 设方阵A 是由如下分块矩阵组成A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是t s ⨯矩阵 ,又M 是任一s 级方阵 .对于矩阵B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C MB MB MB A A A则B =MA证明设s E 为s 级单位矩阵 ,则B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321000000C C C B B B A A A E M E s s =A E ME s s⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000 于是B =0000ssE ME A =s E M s E A =MA性质 2 设矩阵是由如下分块矩阵组成A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是t s ⨯矩阵 ,又M 是任一s 阶方阵 .对于矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=321321321C C C MC B MC B MC B A A A D 则A =D证明由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡s s sE E E 000000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++321321321C C C MC B MC B MC B A A A 其中 s E 是s 级单位矩阵 ,对上式两边同时取行列式得A =D性质 3 设方阵A 和'A 写成如下形式A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A ,'A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C A A A B B B 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是 s ×t 矩阵，则|'A |=⎩⎨⎧-为奇数时，当为偶数时当s A s A |||,|证明 A 可由'A 中的1B ,2B ,3B 与1A ,2A ,3A 相应的两行对换而得到 ,而对换行列式的两行 , 行列式反号 ,故当s 为偶数时|'A |=A 当s 为奇时|'A |=-A可以证明 ,对于一般分块矩阵也具有类似性质.同时 ,这些性质不仅对行成立 ,对列也同样成立.下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.推论 1 设A ,都是n 阶方阵,则有AB =A B ()2.6 证明作2n 阶行列式C =EA AB由拉普拉斯展开定理得C =AB E =AB又由性质2并应用于列的情况,有E A AB0=E EB A AB AB --0=EB A -0=B A nn n --+++++++2)1(21)1( =B A 推论 2 设,A B 都是n 阶方阵,则有AB BA =B A B A -+ 证明根据定性质2并应用于列的情况,有AB BA =A AB B B A ++=B A B B A ++0=B A B A -+ 例1 计算n 2阶行列式D =ab a b a b b a b a ba 000000000000000000000000解令A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 00000a 0000a 0000aB =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000000 b b b 则 D =ABBA=B A B A -+=a b a b b a b a 00000000 ab a b b aba 00000000 ---- =n b a )(+n b a )(-=nb a )(22-推论 3 设,B ,C ,D 都是n 阶方阵 ,其中A ≠0,并且AC =CA ,则有DC BA=CB AD - ()2.8 证明根据性质2,因为1-A 存在,并注意到AC =CA ,用1C A --乘矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 的第一行后加到第二行中去得⎥⎦⎤⎢⎣⎡----B CA D B CA A 110 从而D C B A=110A C A B D C A B---- =A B CA D 1--=B ACA AD 1--B CAA AD 1--=CB AD- 把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又由这三个新的性质得到了三个结论.设A ,B ,C ,D 都是n 级方阵则有AB =A B ABBA =B A B A -+ 结论()2.6告诉我们，两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积.结论()2.7则说明，当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A ,B ,B ,A 时（即AB BA ）， 2.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用定理 1 秩()AB≤秩()A ,且秩()AB ≤秩()B ,则秩()AB ≤min{秩A ,秩B }[4]证明令s m C ⨯=n m A ⨯⋅s n B ⨯，A =()12,n aa a ,C =()12,s γγγ 则(s γγγ 21,)=()12,naa a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ns n n s s b b b b b bb b b212222111211 ∴nns s s s nn n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++=+++=+++=22112222112212211111γγγ∴s γγγ 21,()1可由n a a a 21,()2线性表示 ∴秩()I ≤秩()I I ,即秩()C =秩()AB ≤秩()A令=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n 21，Ｂ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n βββ 21 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n 21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a aa a a212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nβββ 21即nmn m m s nn n n a a a a a a a a a βββηβββηβφβη+++=+++=+++=22112222112212211111∴m ηηη 21,()3可由nβββ 21,()4线性表示 ∴秩()III ≤秩()IV ,即秩()C=秩()AB ≤秩()B即秩()AB ≤()()m i n {A B }秩，秩定理 2 设、都是n 级矩阵，若0A B =则秩()A +秩()B ≤n[5].证明对分块如下:()12nB B B B = 由于0A B =即()120nA B A B A B = 即()01,2,,i A B i n == 说明的各列B 都是0A X =的解.从而秩()12nB B B ≤基础解系=n -秩()A 即秩()A+秩()B ≤n3.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用命题1[10]设P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 是一个四分块方阵，其中B 为r 阶方阵, C 为k 阶方阵,当B 与)(1A DB C --都是可逆矩阵时，则P 是可逆矩阵，并且1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DB C DB A DB C 特例 ()1 当A =0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0011B C . ()2 当A =0，D ≠0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----01111B C DB C ()3 当A ≠0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111AC B BC 证明设P 可逆，且1-P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X，其中Y 为k 阶方阵，Z 为r 阶的方阵.则应有于是得到下面的等式(4.1)0(4.2)0(4.3)(4.4)k r X AY C E X BY D Z AW C Z BW DE +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩因为可逆，用1-B 右乘（3.2）式可得代入（3.1）式得Y -11)(---A DB C 则X =11)(----A DB C D 1-B . 用右乘（3.4）式可得=()r E W D -1-B =1-B -1W D B - 代入（3.3）式得W =1B A -11)(---A DB C则可得Z =1-B +1B A -11)(---A DB C D 1-B .所以1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DB C DB A DB C . 命题2 设Q =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 是一个四分块方阵，其中A 为r 阶方阵，D 为k 阶方阵，当A 与（B CA D 1--）都是可逆矩阵时，则Q 是可逆矩阵,并且1-Q =1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+-------------1111111111111)()()()(B CA D CA B CA D B CA D B A CA B CA D B A A特例（1）当B =0，C =0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1100D A （2）当B ≠0，C=0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110D BD A A 1X Y D B-=（3）当B =0，C ≠0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110D CA D A 此结论参考命题1.例1 设M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------6000004000001001095201473，求1-M . 解令=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5273，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014，=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--600040001.则很容易求得1-A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275，1-D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--6/10004/10001 且11---BD A =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--600040001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2/12/1196/74/543 由命题2可得，1-M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111D O BD A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------6/1000004/1000001002/12/119326/74/54375 3.2 分块矩阵在行列式计算式方面的应用在线性代数中 ,分块矩阵是一个十分重要的概念 ,它可以使矩阵的表示简单明了 ,使矩阵的运算得以简化. 而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题. 而事实上 ,利用分块矩阵方法计算行列式 ,时常会使行列式的计算变得简单 ,并能收到意想不到的效果[11]. 本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.引理设矩阵H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A OOA O A A21或H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A AO A O OA21其中sA A A ,,,21 均为方阵，则 H =s A A A 21.3.2.1矩阵A 或B 可逆时行列式|H|的计算命题 1 B A 、分别为m 与n 阶方阵. 证明 : (1)当可逆时 ,有BCD A =A D CA B 1-- (3.5) (2)当可逆时 ,有BCD A =C DB A 1--B (3.6) 证明根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D CA B D A B C D A E CA E 1100 由引理知，两边取行列式即得(3.5).()2 根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E DB E 01⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C D A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--B C C DB A 01两边取行列式即得(3.6).此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵求逆问题，但在利用命题1时,要特别注意条件有矩阵或可逆，否则此命题不适用，下面给出此命题的应用.推论1 设,,,ABCD 分别是,,m n nm ⨯和mn ⨯矩阵. 证明 B C DE m=CD B - ( 3.7) nE CD A =DC A - (3.8) 证明只需要在命题1的(3.5)中令=m E , 即得(3.7);在(3.6)中令=n E ,即得(3.8). 推论2 ,C D 分别是n m ⨯和mn ⨯矩阵.证明 nm E CD E =CD E n -=DC E m - (3.9) 证明在推论1的(3.7)中,令=n E ,在(3.8)中,令=m E ,即得（3.9)例3 计算下面2n 阶行列式n H 2=bcb c d a da()0a ≠解令=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a ,=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡b b，=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c ，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡dd为n 阶方阵.由于0a ≠,故为可逆方阵.又易知-D CA1-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------d ca b d ca b d ca b 111从而由命题1中()1得n H 2=AD C B=DCA B A 1-- =nn d ca b a )(1--=n cd ab )(-.例4 计算行列式()1);,,2,1,0(,00100100111121n i a a a a a i n=≠ ()2cb b b b a a a a nn3213211000100010001解 ()1 设=BC DA ，其中 =()0a ,=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n a a a21，=T )1,,1,1( ，D =)1,,1,1( . 因为n i a i ,,2,1,0 =≠所以是可逆矩阵.又易知 A -C DB 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i a a 10/1从而由命题1中的结论()4.2得BC D A=1A DB CB -- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i n a a a a a 1021/1 （2）设Q =BC DE n，其中 B =（c ），C =),,,(21nb b b ，D =Tn a a a ),,(21 由于C D =),,,(21nb b b Tn a a a ),,(21 =∑=ni ii ba 1从而由推论1知,=BC DEn=B CD -=c -∑=ni ii ba 1.3.2.2矩阵,A B C D==时行列式|H|的计算命题 2 ,A C 是两个n 阶方阵.则AC CA=|A+C||A-C| 证明根据行列式的性质和定理，有AC CA =A A C C C A ++=C A C C A -+0 =A CA C +-. 例1 计算行列式.D =000xyzx zy y z x z y x解这道题看似简单 ,但如果方法选择不好,做起来并不轻松. 这里设=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00x x ，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y z z y 由命题2知D =ACCA=C A C A -+ =yzx z x y++yzx z x y ----=])(][)([2222z x y z x y --+- =))()()((z y x z y x z y x z y x ++--+-+-++行列式的计算是线性代数中的一个重要内容,本节就行列式的计算问题具体就形如H =BC DA （,,,ABCD 分别是,,m n nm ⨯和mn ⨯矩阵）的类型的行列式计算进行了分析，其中将一个行列式分块成,,,ABCD 后，又细分为几种情况进行了讨论，依据不同的情况给出了不同的计算方法，在计算行列式时可根据这几种不同的情况具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程.在这一部分可见，利用分块矩阵计算行列式主要是靠分块矩阵来改变原来矩阵的级数从而达到简化计算过程，快速解决问题的目的.。

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分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩On Block Matrixes and its ApplicationsXu Jian, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content.In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc.Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix11 ⎪1 引言我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化. 考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.定义 1.1 [1] 分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把 m ⨯ n 矩阵分割为如下形式的矩阵：⎛A 11A ⎫ 1n ⎪A m ⨯n = ⎪A m 1 A m n特别地，对于单位矩阵分块：⎝ ⎭ ⎛E 0 0 ⎫ ⎪ E n ⨯n = 0 0 0 ⎪ 0 E ⎝n n ⎭ 显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的A 所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.ij依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.2.1 矩阵的相关概念2 分块矩阵在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.a 11 定义 2.1.1[2]n 级行列式a 21a 12 a 22 a 1n a 2n等于所有取自不同行不同列的a n 1 a n 2a nn 个元素的乘积a 1j a 2ja n j的代数和，这一定义又可写成:12na 11 a 21 a 12a 22a 1na 2n =(-1) (j 1j 2 j n )a aa .a n 1 a n 2a n∑j 1j 2 j n1j 1 2j 2n j n[2]定义 2.1.2向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所O I ⎪ ⎪ ⎪1谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩. 定义 2.1.3 [2] n 级方阵称为可逆的，如果有n 级方阵 B ，使得A B = A -1 .BA = E （这里 E 是n 级单位矩阵），那么B 就称为 A 的逆矩阵，记为定义 2.1.4 [3] 对分块矩阵施行下列三种初等变换： (1) 互换分块矩阵的某两行(列)；(2) 用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；(3) 用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上，分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换. 定义 2.1.5 [3] m + n 2 ⨯ 2 ⎛I m O ⎫对阶单位矩阵作分块，即I m +n = O I ⎪ ，然后⎝ n ⎭对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块矩阵具有以下形式：(1) 分块初等对换阵⎛I n O ；⎫ ⎝ m ⎭⎛P O ⎫ ⎛I m O ⎫(2) 分块初等倍乘阵 0 I ⎪ ， ⎪ ；⎝ n ⎭ (3) 分块初等倍加阵⎛I m R 1 ⎫ O I ⎝ 0 Q ⎭ ，⎛I m O ⎫ ； S I ⎝ n ⎭ ⎝ n ⎭其中 P , Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且R ∈ R m ⨯n ，S ∈ R n ⨯m为非零阵.2.2 矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质：定义 2.2.1 [4] 矩阵加法：设A = (a ) ， B = (b ) 是两个同型矩阵，ij snij sn则矩阵C = (c i j )= (a i j+ b i j )称为 A 和 B 的和，记为C = A + B .元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O s n ，可简单记为O,对于矩阵 A 、 B ，有:(1) A + O = A(2) A + ( -A ) = 0(3) A - B = A + ( -B )(4) ( A + B ) + C = A + ( B + C )snsnn11 (5)A + B = 定义 2.2.2 [4] B + A矩阵乘法：设A = (a ) ，B = (b ) 是两个不同型矩阵，i k s nk j n m那么矩阵C = A B =(c i j )，称为矩阵 A 与 B 的乘积，其中：smc i j = a i 1b 1j + a i 2b 2j+ a i n b n j= ∑a i k b k jk =1在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质：(1) A ( B + C ) = A B + A C(2) ( B + C )A = B A + C A(3) (A B )D =A (B D )⎛k a 11 k a 1k a 1 ⎫定义 2.2.3 [4] 矩阵数乘： k a 21k ak a 2n ⎪ ⎪A = (a ) 与数 22 ⎪称为矩阵 ⎪⎪ ij sn k a k a k a ⎝ s 1 s 2 s n ⎭k 的数量乘积，记为kA ，有以下性质：(1) 1 * A = A ；(2) k(l A ) = (k l )A ;(3) k ( A + B )= kA + kB ;(4) (k + l )A = kA +lA ; (5) k (A + B ) = kA +kB .2.3 分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：设 A 、 B 是m ⨯ n 矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：⎛A 11 + B A 1t + B 1t ⎫ ⎪ 加法：A + B = ⎪ . ⎪ A + B A + B ⎪ ⎝ s 1 s 1 st st ⎭乘法：C = A B , 其中：∑ ⎪ 1 C i j = A i 1B 1j + A i 2B 2j+ + A i n B n j⎛k A 11k A 1 ⎫⎪ n= A i k B k j .k =1数乘：k A =⎪ .⎪ k Ak A⎝s 1 s t ⎭总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质：定义 2.3.1 [2] 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：(1) 互换矩阵 E 的i 行与 j 行的位置; (2) 用数域 P 中的非零数c 乘 E 的i 行; (3) 把矩阵 E 的 j 行的k 倍加到i 行.定义 2.3.2 [5] 将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:(1) 对调两块同阶的块所在的行或列; (2) 某一块乘以同阶的满秩方阵;(3) 某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).如：我们对分块矩阵⎛ A B ⎫进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对⎝C D ⎭ 应分块矩阵： ⎛ O E m ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎪⎪⎛C D ⎫ ⎪ ⎝E n O ⎭ ⎝C D ⎭⎝ A B ⎭ ⎛P O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛P A = P B ⎫ O E ⎪C D ⎪ ⎪⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ C D ⎭ ⎛E m O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛ = A B⎫P E ⎪C D ⎪ ⎪C + P AD + P B⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭2.4 矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法[6] ：(1) 列向量分法，即A =(1,⎛ ⎫ ⎪, n )，其中j 为 A 的列向量.(2) 行向量分法，即A = ⎪ ，其中j 为 A 的行向量.⎪ ⎝ m ⎭=1⎪ (3)分两块，即A = (A 1, A 2 ),其中A 1 ,A 2 分别为A 的各若干列作成.或 A = ⎛B ⎫ ，其中B ，B 分别为 A 的若干行作成. B ⎪1 2 ⎝ 2 ⎭⎛C 1 C 2 ⎫(4) 分四块，即A =C C ⎪ .⎝ 3 4 ⎭我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.2.5 常见的矩阵块我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下：（1）单位矩阵：对角线元素都为1，其余元素为0 的n 阶方阵. （2）对角矩阵：对角线之外的元素都为0 的n 阶方阵. （3）三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为0 的n 阶方阵. （4）对称矩阵：满足矩阵 A 的转置和 A 相等. （5）若尔丹（Jordan ）块：形如⎛ 0 1 0 0 ⎫ 0 ⎪J ( ,t ) ⎪= ⎪0 0 ⎪ 0 0 0 1 ⎝ ⎭（6）若尔丹形矩阵：由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵, 其一般形状形如：⎛A 1 ⎫⎪ A 2⎪ ⎪ ⎪A ⎪ ⎝n ⎭在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化.3.1 行列式计算的应用3 分块矩阵及其应用定理 3.1.1 [2] 拉普拉斯（Laplace ）定理:设在行列式 D 中任意取定了k 个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D .事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取k 级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块. 然而，在行列式计算中，行列式a ⎪ a 按行或列的展开更为常用. 这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.例 3.1.1 [7] ：（爪形行列式）计算行列式：a 01 1 1 1 a 10 0 1 0 a 2 0 ,其中a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) .1 0 0 a n解:设Q =A D ,其中A = (a )C B a 1 B =，C = ( 1, 1, , 1)T ，D = ( 1, 1, , 1) .a n因为a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) ，所以 B 是可逆矩阵.-1⎛n 1 ⎫又易知: A - D B C = a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭根据分块矩阵乘法： ⎛ E0 ⎫ ⎛ A D ⎫ --1 ⎪ ⎪= ⎛A D ⎫-1 ⎝ C A E ⎭ ⎝C B ⎭ ⎝ 0 B - C A D ⎭A D -1 -1 ⎛ n 1 ⎫则：= AB - C A D =B A - D BC = a a a a-∑ a ⎪C B⎛n 1 ⎫ 12n 0⎝i =1 i ⎭故：原行列式=a 1a 2 a n a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭例 3.1.2 [7] ：(对角行列式)计算行列式：adH 2n= a d.c bcb解：令⎪ a x A =⎛a ⎫⎪ ，B = ⎛b ⎫⎪ ，C = ⎛ c ⎫ ⎛ ，D = d ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ b ⎪ c ⎪ d ⎪ ⎝ ⎭ 为n 阶方阵. 由于a ≠ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0,故 A 为可逆方阵.⎛ b - c a -1d⎫⎪ 又易知：B - C A -1D =⎝ b - c a -1d ⎪ b - -1 ⎪ ca d ⎭故 H 2n= A D = C BAB - C A -1D = a n (b - c a -1d )n= (a b - c d )n .例 3.1.3 [8] ：设 A 、 B 、C 、 D 都是n 阶矩阵，证明当 AC = CA 时， A 可逆时，有A D= A B - C DC B⎛ A D ⎫ ⎛E -A 1D-⎛ A 0 ⎪ ⎫,证明：若 A 可逆，⎪ ⎪ =-1 ⎝C B ⎭ ⎝OE ⎭ ⎝C B - C A D ⎭A D故：=C BAB - C A -1D = A B - A C A-1D = A B - C D .注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的a d c b= a b - c d ，其矩阵块限制条件有所加强. 所以本例告诉我们，在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.3.2 线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述：（1）标准型：⎧a 11x 1 + a 12x 2+ + ax = b ⎪ 1nn 1⎨ax + ax + + a x = b ; ⎪a 21 x 1+ 22 2 + + 2n n a x = b ⎩ m1 1 m2 2 m n n m （2）矩阵型：令A = ⎣a i j ⎦m ⨯n，x = (x 1, x 2, , x n )' ，B = (b 1, b 2, b m )' 方程组可以表述为： Ax = B ;（3）列向量型：令2⎢a ⎥ ⎝O O⎪ ⎪ ⎪ ⎡a 11 ⎤ ⎢21 ⎥⎡a 12 ⎤⎥ 22 ⎡a 1n ⎤ ⎢ ⎥ = ， 1 ⎢ ⎥ 2 = ，， ⎢ ⎥= ⎢a 2n ⎥ n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m 1 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m 2 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m n ⎦则方程组又可以表述为：x 11 + x22+ + x nn = B ;（4）行向量型： x ' + x ' + + x' = B ' .1 12 2n n可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理应用，使得问题解决更加便捷、明了.例 3.2.1：（齐次线性方程组）求解方程组：⎧ x 1 + 2x 2 2x ⎪ + x + 2x 3 - 2x + x 4 = 0 - 2x = 0 ⎨ 1 x -2x - 4x 3 - 3x 4=0 ⎩ 1 2 3 4 解：对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示：⎛1 0 -25 ⎫ - 3⎪ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫4 ⎪ ⎛E C ⎫ A = 2 1 -2 -2 0 -3 -6 -4 0 1 2 ⎪ = 2 ⎪ ⎪1 -1 -4 -3⎪ 0 -3 -6 -4⎪ 3 ⎪ 12 ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0 0 0 0 ⎪⎪ ⎝ ⎭R ( A ) = 2，基础解系含4 - 2 = 2 个.而方程又满足：相应的可以取：⎛E 2 C ⎫ ⎛1 ⎫ = ⎛ 0⎫⎪ ,⎝O 1 O 2 ⎭ ⎝2 ⎭⎝ 0⎭⎛ 5 ⎫ 2 3 ⎪ ⎛ -C ⎫⎪⎝ E 2 ⎭⎪ = -2 4 ⎪3 ⎪1 0 ⎪ ⎝ 0 1 ⎭-⎪ 0 3 ⎪⎭⎛ 2 ⎫ ⎛ 5 ⎫3 ⎪有通解： = k + k，其中= -2⎪1， =- ⎪ 4 ⎪ . 1 12 21 ⎪2 ⎪ ⎪ ⎝ 0 ⎭⎪ 1 ⎪ ⎝ ⎭例 3.2.2 [9] ：（非齐次线性方程组）求解方程组：⎧⎪ x 1 + 2x 2- 3x 4 + 2x 5 = 1 x - x - 3x + x - 3x = 2 ⎪ ⎨ 1 2 3 4 52x - 3x + 4x - 5x + 2x = 7 ⎪ 9x ⎩ 1= 25 解：我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：r ( A ) = 3，而r ( A ) = 4 , 故r ( A ) ≠ r ( A) . 从而方程组无解. ⎛ Λ45 -b ⎫事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：经对分块矩阵 ⎝ E变换，都不能把最后一列变成0 ,所以该方程组无解.例 3.2.3：证明： n 阶方阵 A 的秩为n- 1，则r a n k ( A* )=1首先证明此例需要利用的一个引理： 4进行行列0 引理：A = (a i j )n ⨯n ，B = (b i j )n ⨯n ，r( A ) = r ，A B =0 ，则r ( B ) ≤ n - r证明：对矩阵 B 进行列向量的分块，B = (B 1, B 2, B n ) ,A B = 0 则有：A B i= 0 ，B i 是AX = 0 的解. 而A X =0 基础解系有n - r 个解.故：r ( B ) ≤ n - r 再证明本例：因为r ( A )= n - 1，则 A = 0 ，A 至少有一个n -1级子式不为零,r a n k ( A* ) ≥ 1.而：A * =AE = 0 .利用引理得：r a n k ( A * ) ≤ 1，故r a n k ( A )=*.51 - 9 x +2 6x - 163 x4 + 2x 52 3 4 5⎝⎪ 1 2= ⎪ ⎪ 得证.3.3 求矩阵逆的应用我们在求矩阵逆的时候包括很多方法：利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.例 3.3.1 [6] ：设 A 、 B 是n 阶方阵，若 A + B 与 A - B 可逆，试证明： ⎛ A B ⎫可逆，并求其逆矩阵. B A ⎭ ⎪ 解：令D = ⎛ A B ⎫，由假设知 A + B ≠ 0 , A - B ≠ 0B A ⎪ .那么：D =A B⎝ ⎭A +B B =A + BB= A + B A - B ≠ 0 .B AB + A AA - B即 D 可逆. 再令D -1 ⎛D 1= D 2⎫ , 由D -1 = E ，即：可得：D D ⎝ 3 4 ⎭⎛ A B ⎫ ⎛D D ⎫ ⎛E 0 ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎝B A ⎭ ⎝D 3D 4 ⎭ ⎝ 0E ⎭⎪⎧A D 1 + B D 3 = E B D + A D = 0⎪12⎨A D +B D = 0 B D 2 + A D 4 = E ⎩ 2 4将第一行和第二行相加、相减，得：⎪D + D = ( A + B )-1 ⎨1 3⎩D 1 - D 3= ( A - B )-1 解之得：D = 1 ⎡( A + B )-1 + ( A - B )-1 ,D = 1⎡( A + B )-1 - ( A - B )-11 2 ⎣⎦ 2 2 ⎣⎦类似地：D 2所以： = D 3 ,D 4= D 1 .⎛ A B ⎫-11 ⎛( A + B )-1 + ( A - B )-1 ( A + B )-1 - ( A - B )-1 ⎫⎪ = 2 -1 -1 -1-1 ⎪ . ⎝B A ⎭ ⎝( A + B ) - ( A - B )( A + B ) + ( A - B ) ⎭ =⎝⎭ ⎝ - ⎪⎪ ⎪0 例 3.3.2 [6] ：已知分块形矩阵M = ⎛ A B ⎫可逆，其中 B 为p ⨯ p 块， C 为C 0 ⎪ ⎝ ⎭q ⨯ q 块，求证： B 与C 都可逆，并求M-1 . 解：由0 ≠M = (-1)p qBC ，则： B ≠0 , C ≠ 0 ,即证 B 、C 都可逆.这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆： ⎛ A B E p0 ⎫ → ⎛ A B E 0 ⎫ → ⎛ 0B E -AC -1 ⎫⎪ ⎪ -1 ⎪ -1⎝C 0 0 Eq ⎭ ⎝E 0 0 C ⎭ ⎝E 0 0 E ⎭→ ⎛ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎫ → ⎛E 0 0 C-1 ⎫E 0 0 C-1⎪ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎪ ⎭-1⎛C -1 ⎫故：M = B -1-B -1A C-1 ⎪ . ⎝⎭备注：本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法.值得注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造:⎛ 1 0 1 ⎫ 例 3.3.3 [10] ：求矩阵A = 2 1 0 ⎪的逆矩阵.⎝ ⎭ 解：构造矩阵：⎛ 10 1 1 00⎫⎪⎛ 1 0 1 1 0 0⎫⎪2 0 0 1 -2 -2 1 0 D = ⎛ A E ⎫= -3 1 0 0 1 2 -5 0 0 1⎪ → 0 2 -2 3 0 1⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎝E O ⎭6⨯6 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0⎪ 1 0 0 0 0 0⎪ 0⎪ 0 1 0 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 0⎫⎪ 00 1⎪ →1 0⎪ ⎛ 1 0 1 1 0 0⎫ 0 1 -2 -2 1 0 0 1⎪ → 1 0⎪⎪ ⎪ 0 0⎪ 0 0⎪ 00⎪ 0 0⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭ 0 1 1 0 1 -2 -2 1 0 2 7 -2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 00 2 7 -2 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0- - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 ⎛ 1 0 0 1 0 0⎫⎪0 1 0 2 1 0 ⎛ 10 0 1 0 0⎪⎫ 0 1 0 2 1 0 0 0 17 -2 1⎪0 0 2 7 -2 1⎪1 ⎪→ ⎪ → 10 - 0 0 0⎪ .1 0 -1 0 0 0⎪2⎪ 0 1 2 0 0 0⎪ 00 10 01 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0⎪⎝所以;⎭⎪⎝2⎭⎛1 0 1 ⎫ ⎛ 5 1 ⎫- 2 ⎪⎛ 1 0 0⎫ - 2 -1 - 2 ⎪ A -1 = 0 1 1 ⎪ -2 1 0⎪ = 5 -1 1 ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ 7 -2 17 1 ⎪ 0 0 2 ⎪ ⎝ ⎭ 2 -1 2 ⎪ 此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，有时比较简单.3.4 矩阵秩基本不等式矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵的秩往往与原矩阵的秩有一定关系. 现把高等代数书中有关矩阵秩最基本的不等式总结如下：（1）矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设 A 、 B 均为m ⨯ n 矩阵，则：r ( A + B ) ≤ r(A ) + r ( B ) .（2）矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：设 A 是m ⨯ n 矩阵 , B 是n ⨯ s 矩（3）r ⎛A B ⎫阵，则：r ( A B ) ≤≥ r ( A ) + r ( B ) . m i n {r ( A ) , r ( B )}.（4）r ⎝ 0 C ⎭ ⎪ ⎛A ⎫ ⎪⎪ ≥ A i j .A ⎪ ⎝ m ⎭再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式例 3.4.1[11] ：（薛尔弗斯特不等式）设A = (a ) ，B = (b ) ，证明：ij s ⨯nij n ⨯mr a n k ( A B ) ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - n⎪ 证明：由分块矩阵的乘积⎛ E n 0⎪ ⎫ ⎛E B ⎫ ⎪⎛E n -B ⎫⎛E n 0 ⎫ -A E A n0 0 E ⎪ = ⎪0 - ⎝ s ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ 知：m ⎭⎝ A B ⎭ r a n k⎛E n B⎫ = r a n k (E ) + r a n k ( -A B ) = n + r a n k ( A B )A 0 ⎪n.⎝ ⎭但,r a n k⎛E nB ⎫ A 0⎪= r a n k⎛B E n ⎫ ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) ⎪故：得证.⎝⎭ ⎝ 0 A ⎭.n + r a n k ( A B )≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B )备注：在矩阵秩不等式的证明过程中，我们往往会构造如下的分块矩阵： (1) 矩阵不等式中含两个不同矩阵：构造 ⎛A 0 ⎫⎪;⎝ 0 B ⎭(2) 矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：构造⎛ A E ⎫ ⎪ 或者 ⎛ A 0 ⎫ ⎪.⎝ 0 B ⎭ ⎝E B ⎭具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.例 3.4.2 [6] ：（Frobenius 不等式）设 A 、 B 、C 是任意3 个矩阵，乘积ABC 有意义，证明：r ( A B C ) ≥ r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B )证明：设 B 是n ⨯ m 矩阵，r ( B ) = r那么存在n 阶可逆阵 P ， m 阶可逆阵Q ，使B = ⎛Er0⎫ P ⎪ Q .⎝ 0 0⎭把 P 、Q 适当分块：P = (M , S ),Q =⎛N ⎫, 由上式有： T ⎝ ⎭故：r ( A B C )= r ( A M N C ) B = (M , S )⎛E r0⎫ ⎛N ⎫ = M N .⎪ ⎪ ⎝ 0 0⎭ ⎝T ⎭≥ r ( A M ) + r ( N C ) - r0 ≥ r ( A M N ) + r ( M N C ) - r ( B )得证.= r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B ) .3.5 矩阵秩不等式证明的应用矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到，以下例题是对矩阵秩不等式的推广及其应用：例 3.5.1[11] ：设 A 为m ⨯ k 矩阵， B 为k ⨯ n 矩阵，则证明：r a n k ( A )+r ank( B ) - k≤ r ank( AB) ≤ m i n {r a n k ( A ) , r a n k ( B )}证明：先证明右边的不等式，由：(A 0)(E k0 B ) = ( A A B ) ;E n可得：⎛E k A E 0⎪ ⎫ ⎛B ⎪⎫ = ⎛ B A B ⎫⎪ ,⎝m ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭r a n k ( A ) =r ank( A 0) = r a n k ( A A B ) ≥ r a n k ( A B ) ;r a n k ( B ) = r a n k ⎛ B ⎫ = r a n k ⎛ B ⎫≥ r a n k ( A B ) .⎪ ⎪⎝ 0 ⎭ ⎝AB ⎭ 再证左边的不等式.注意到下列事实：⎛E m -A ⎫ ⎛ A 0 ⎫ ⎛E ⎪k -B ⎫ = ⎛ 0 -A B ⎫⎪ 0 E ⎪E B 0E⎪ E 0 ⎝k ⎭ ⎝ k 则：⎭ ⎝ n ⎭⎝ k ⎭0 ⎫⎛ 0r a n k ⎛ A ⎪ = r a n k-A B ⎫ ⎪于是：⎝E kB ⎭ ⎝E k0 ⎭⎛ A 0 ⎫r a n k ( A ) + r ank ( B ) ≤r ank ⎪ = r a n k ( -A B ) + r a n k (E k )= r a n k ( A B ) + k⎝E kB ⎭ 从而: r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - k ≤ r a n k ( A B ) .这里也是用到构造矩阵的方法.例 3.5.2 [6] ：设n 阶矩阵 A 、 B 可交换，证明：r a n k ( A + B ) ≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B )→ → , ⎝ ⎭ 解：利用分块初等变换，有：⎛A O ⎫ ⎛A B ⎫ ⎛A + B B ⎫⎪ ⎪⎪ ⎝O B ⎭ ⎝O B ⎭ ⎝ B B ⎭ 因为 AB = BA ，所以：⎛ E O ⎫ ⎛A + B B ⎫ = ⎛A + B B ⎫ .B -A - ⎪ B ⎪ O- ⎪B B A B ⎝ 于是，有：⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭r a n k ( A ) + r a n k ( B )= r a n k⎛A + B B ⎫≥ r a n k ⎛A + B B ⎫B ⎪⎝ B ⎭ ⎝ ⎪O-A B ⎭即：r a n k ( A + B )得证.≥ r a n k ( A + B ) + r a n k ( A B ) .≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B ) .例 3.5.3：设 A 是n 阶方阵，且r ( A ) = r ( A 2 ,证明：对任意自然数k ,有r ( A k ) = r ( A )⎛A 2O ⎫证：构造分块矩阵 O A 2 ⎪，由 Frobenius 不等式： 2 2 2 ⎛A O ⎫ ⎛A 2 -A 3 ⎫ ⎛O -A 3 ⎫ 3 r ( A )+r( A ) ≤ r ⎪ = r A A 2 A O ⎪ = r A O ⎪ = r ( A ) + r ( A ) . 由：r ( A ) = r ( A 2 ) ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以，r ( A3 ) = r ( A 2 * A )≤ r ( A2 ) .故： r(A 2 ) = r ( A 3 .由此可推得：r ( A3) = r ( A 4) , r ( A4) = r ( A5 ) , .故：对任意自然数k , 有：r ( A k ) = r ( A ) .3.6 综合应用在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：特征多项式的降阶定理，以下主要讨论该定理及其结论的应用.例 3.6.1 [6] ：（特征多项式的降阶定理）设 A 是m ⨯n 矩阵， B 是n ⨯ m 矩阵. 证明: AB 的特征多项式f A B ( ) 与 BA 的特征多项式f B A( ) 有如下的关系：nm1 2 s证：先要把上式改写为：n f () =m f () .A BB AnE -m A B =mEE 1 Bn - B A .用构造法，设 ≠ 0 ，令： H =n.A E m⎛1 ⎫ ⎛E 1 B ⎫对 ⎛E n 0⎪ ⎫ E n B ⎪= n ⎪ ⎝ -A E⎪⎪ 1 ⎪ 两边取行列式得： n ⎭ A E⎝ m ⎭ 0 E - ⎝A B ⎪⎭ H = E -1 A B = 1 m E - A B .⎛E 1 B ⎫ ⎛E nm 0 ⎫⎛ 1( ) m1 B ⎫ 再对 n ⎪ -A E ⎪ E - B A ⎪ 两边取行列式得： ⎪ ⎪ = n⎪⎝ A E m ⎭⎝ n ⎭ ⎝ H = E -0 1B A = E m ⎭ 1 n E - B A .故： 1nE n- B A =1Em mn- A B() nmE n - B A = nE m - A B .上述等式是假设了 ≠ 0 ，但是两边均为的n + m 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0）≠ ，从而一定是恒等式，即证.这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester ）公式. 以下例题是定理的应用. 例 3.6.2 [6] ：设 A 为m ⨯ n 矩阵， B 为n ⨯ m 矩阵，证明： AB 与 BA 有相同的非零特征值.证：由定理：m E - B A = n E - A B .设 E m- A B = m -s (- ) ( - ) ( - ) ,其中12 m ≠么有：0 ，即 AB 有s 个非零特征值：1, 2, , s , 由上面两式,那nE - B A = ( - 1) ( - ) 2 (- )n- s s即证 BA 也只有s 个非零特征值：1, 2, , s .m∑ 例 3.6.3 [6] ：设 A 、 B 分别是m ⨯n 和n ⨯ m 矩阵，证明：t r A B = t r B A .解：由上例知，若E - A B = m -s ( - a ) ( - a )m1s其中a 1a 2 a s ≠ 0. 则 AB 的全部特征值为1 = a 1, , s= a s , s +1= = m = 0 ,且：E - B A = n -s ( - a ) ( - a ) .n1s即 BA 的全部特征值为:1 = a 1,2 = a2, ,s +1= = n = 0 .从而 t r A B =sa ii=1=t r B A .可见，在一些问题中，直接利用特征多项式的降阶定理会更加方便处理，这里则要求我们对分块矩阵的了解更加深刻.结论本文主要通过“分块矩阵、分块矩阵及其应用”两个部分，分别简单介绍了分块矩阵的性质概念、导出的定理结论和相关应用.主要是将分块矩阵的技巧和推广做了一个内容的总结.本文简单的将矩阵工具应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明矩阵秩的相关定理等，对应不同问题也举了几个重要的应用以及它们的综合应用.将以前出现的矩阵思想整体化，并对相关知识也做了一个系统的复习.最后，本文还有一些不足之处，有待于进一步的改善和提高.参考文献[1] 上海交通大学线性代数编写组. 线性代数[M]. 高等教育出版社, 1982. [2] 北京大学. 高等代数{M}. 高等教育出版社, 1998.[3] 高百俊. 分块矩阵的初等变换及其应用[J]. 伊犁师范学院学报, 2007(4):14-18.[4]张红玉, 魏慧敏. 矩阵的研究[M]. ft 西人民出版社, 2010.[5]雷英果. 分块初等方阵及其应用[J].工科数学, 1998, 14(4):150-154. [6]钱吉林. 高等代数题解精粹(第二版)[M]. 中央民族大学出版社, 2010.[7] 王莲花, 李念伟, 梁志新. 分块矩阵在行列式计算中的应用[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2005, 14(3):12-15.[8] 张贤科, 许甫华. 高等代数学[M]. 清华大学出版社, 1998:91-96.[9]杨子胥. 高等代数习题集[M]. ft东科学技术出版社, 1981.[10]鲁翠仙. 分块矩阵在求矩阵逆的应用[D]. 云南:云南大学数学系数学研究所,2009：14-15.[11]刘丁酉. 高等代数习题精解[M].中国科学技术大学出版社, 1999.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

分块矩阵的原理和应用

分块矩阵的原理和应用1. 原理分块矩阵是一种特殊的矩阵结构，将大型矩阵分割成更小的块状矩阵，以便进行更高效的运算和存储。

分块矩阵的原理主要包括以下几个方面：1.1 分块矩阵的定义分块矩阵由多个块状子矩阵组成，每个子矩阵都是相对较小的矩阵。

这些子矩阵可以是任意维度的矩阵，但通常都是方阵。

分块矩阵的维度取决于它所包含的子矩阵的维度和排列方式。

1.2 分块矩阵的运算分块矩阵可以进行各种矩阵运算，例如加法、减法和乘法等。

在进行这些运算时，可以利用分块矩阵的特殊结构，将运算过程分解为对各个子矩阵的运算，从而提高计算效率。

1.3 分块矩阵的存储分块矩阵的存储方式也与普通矩阵存储方式有所不同。

在分块矩阵中，每个子矩阵都被存储在一个相邻的内存块中，而各个子矩阵之间的存储空间可以是非连续的。

这种存储方式可以提高数据的局部性，进而提高计算效率。

2. 应用分块矩阵在科学计算和工程领域有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用领域：2.1 计算机图形学在计算机图形学中，分块矩阵常用于表示和处理三维图形中的几何变换矩阵。

通过分块矩阵的运算，可以实现旋转、缩放和平移等常见的几何变换操作。

2.2 信号处理在信号处理中，分块矩阵常用于表示和处理信号的频谱信息。

通过分块矩阵的乘法运算，可以实现信号的卷积和相关等基本操作，进而实现滤波和频谱分析等应用。

2.3 优化算法在优化算法中，分块矩阵常用于表示优化问题的约束矩阵。

通过分块矩阵的运算，可以将大规模的优化问题分解为小规模的子问题，从而提高求解效率。

2.4 数据压缩在数据压缩领域，分块矩阵常用于表示和处理图像和视频数据。

通过分块矩阵的变换和压缩算法，可以实现图像和视频数据的无损或有损压缩，从而减小存储空间和传输带宽的需求。

3. 总结分块矩阵作为一种特殊的矩阵结构，在科学计算和工程领域有着广泛的应用。

它的原理包括定义、运算和存储等方面，通过合理利用分块矩阵的结构，可以提高计算效率和存储效率。

浅谈分块矩阵的性质及应用doc

浅谈分块矩阵的性质及应用doc分块矩阵是由几个矩阵块组成的矩阵，它的出现主要是为了更好地解决某些复杂的数学问题。

在实际应用中，分块矩阵既可以用于表示线性系统，也可以用于表示迭代算法的计算过程。

本文将从性质和应用两个方面对分块矩阵进行浅谈。

1. 分块矩阵的性质分块矩阵的一些性质能够帮助我们更好的理解它的本质。

下面将介绍几个较为常见的性质。

(1) 直和分块矩阵：如果一个分块矩阵的所有矩阵块都是对角矩阵，那么我们称这个分块矩阵为直和分块矩阵。

直和分块矩阵与对角矩阵非常相似，都具有稳定的性质和巨大的计算优势。

(2) 块矩阵的转置：对于一个分块矩阵A，通常有以下转置公式：(A^T)_i,j=A_j,i。

也就是说，分块矩阵的转置相当于交换原矩阵的每一块。

(3) 块矩阵的乘法：设A和B是两个分块矩阵，当且仅当A的列数等于B的行数时，我们才可以进行矩阵乘法AB。

具体方法是将A中的每一块分别与B中的每一列乘起来，然后对结果进行相加。

另外还有两个性质需要注意。

首先，如果A和B都是直和分块矩阵，则它们的乘积也是直和分块矩阵。

其次，如果A和B都是分块对称矩阵，那么它们的乘积也是分块对称矩阵。

(1) 线性系统求解：分块矩阵可以用于求解大规模的线性系统，它的基本思想是将系统分成若干个小规模的子系统，利用线性代数中的基本定理，通过求解小系统的逆矩阵逐步求解全局矩阵的逆矩阵。

具体而言，我们可以将原矩阵A分解为A=BCD，其中B和D都是对角矩阵，C是一般的矩阵。

然后，我们可以将原始线性系统Ax=b转化为一个新的线性系统(D^-1CB)x=D^-1b。

由于B和D都是对角矩阵，所以它们的逆矩阵很容易求得。

接下来，我们只需要在新的线性系统中解x即可。

(2) 特征值计算：分块矩阵也可以用于特征值问题的求解，尤其是在计算大规模稀疏矩阵的特征值时特别有效。

具体而言，我们可以采用分块对角化的方法，将原矩阵A分解为A=BCD，其中B和D都是对角矩阵，C是一般的矩阵。

分块矩阵的性质及其应用

分块矩阵的性质及其应用依宇天（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南吉首 416000）摘要：矩阵分块是解决矩阵问题的常用方法,矩阵分块适当可为解决问题带来极大方便。

关键词：分块矩阵、矩阵的分块、矩阵的计算、证明、应用Block matrix and its applicationYi Yu Tian(College of mathematics and computer science, jishou university,jishou hunan,416000)Abstract : Block matrix is a matrix to solve problem of the commonly used methods,block matrix suitable for solve the problem bring great convenience.Keywords: Block matrix, block matrix, matrix calculation, proof, application引言：本文详细、全面论述证明了矩阵的分块在《高等代数》中的应用。

包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题，用分块矩阵求逆矩阵问题，用分块矩阵求矩阵的行列式问题，用分块矩阵求矩阵的秩的问题，利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵的问题。

1.分块矩阵1.1分块矩阵的定义令A 为m ⨯n 矩阵，把A 分成如下形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=st s s t t A A A A A A A A A A 212222111211 其中A ij （i=1、2…S ，j=1、2…t ）为m i ⨯n j 矩阵，且m 1+m 2+…+m s =m ，n 1+n 2+…+n t =n ，称其中的每一个小矩阵为A 的一个分块。

1.2分块矩阵的计算令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=st s t A A A A A 1111，=B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡st s t B B B B 1111这里A 、B 的行列数相同，且分法一致，那么⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=+st st s s t t B A B A B A B A 11111111B A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=st s t aA aA aA aA aA 1111.分块矩阵乘法运算复杂一些，但只要做到A 的列的分法与B 的行的分发一致，即设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=rs r s A A A A A 1111，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=st s t B B B B B 1111 那么⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=•rt r t i C C C C B A 111。

分块矩阵在行列式计算中的应用

分块矩阵在行列式计算中的应用一、分块矩阵的定义和性质分块矩阵是将一个矩阵按照行和列进行分块的一种表示方式。

假设有一个m×n的矩阵A可以被分成k行l列的分块矩阵，则可表示为：A=[A₁₁A₁₂…A₁lA₂₁…A₂l...Ak₁ Ak₂ … Akl]其中，每个Aij都是一个子矩阵。

分块矩阵有以下重要性质：1.行列式的乘积可以转化为分块矩阵的行列式之积。

例如，设有两个分块矩阵A和B，它们的行列式分别为，A，和，B，则有：AB，=，A，B2.分块矩阵可以简化行列式的计算。

将一个大矩阵按照一定规则分为几个子矩阵后，可以通过计算子矩阵的行列式来获得原矩阵的行列式，从而简化了计算过程。

1.初等行列变换2.求逆矩阵对于分块矩阵，其逆矩阵的计算也可以通过分块的方式进行。

设A为可逆矩阵，其分块矩阵表示为：A=[A₁₁A₁₂A₂₁A₂₂]若A₁₁为可逆矩阵，则其逆矩阵可以表示为：A^(-1)=[A₁₁^(-1)-A₁₁^(-1)A₁₂A₂₂^(-1)A₂₁^(-1)A₁₁^(-1)A₁₂A₂₂^(-1)A₂₂^(-1)]其中A₁₁^(-1)、A₂₂^(-1)和A₁₁^(-2)A₁₂A₂₂^(-1)都是子矩阵的逆矩阵。

3.计算特殊类型的行列式在计算特定类型的行列式时，分块矩阵的应用可以简化计算过程。

例如，计算拟对角行列式时，可以使用分块矩阵的方式将矩阵分解成多个对角块，然后分别计算每个对角块的行列式之积。

4.计算特定型的行列式分块矩阵的应用还可以用于计算特定型的行列式。

例如，计算置换矩阵的行列式时，可以将矩阵按行、列进行分块，然后计算每个子矩阵的行列式，最后通过乘法和加法运算得到最终的行列式。

以上仅是分块矩阵在行列式计算中的一些常见应用，实际上分块矩阵在线性代数的其他领域也有广泛的应用，如特征值和特征向量的计算、线性方程组的求解等。

熟练掌握分块矩阵的定义、性质和应用可以提高行列式计算的效率，并且对于理解线性代数中的其他概念和方法也具有重要意义。

浅谈分块矩阵的性质及应用

浅谈分块矩阵的性质及应用摘要：本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。

解线性方程组，矩阵得知逆及矩阵的逆，和初等变换中的应用。

关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换On the nature of block matrix and its applicationAbstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of other relative matrix rank and elementary matrix.Key word s: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言：矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。

1.预备知识：1.1分块矩阵的定义：将分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。

1.2分块矩阵的运算：1.2.1分块矩阵的加法：设分块矩阵 A 与 B 的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有A=1111n m mn A A A A ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭，1111n m mn B B B B B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中ij A 与ij B 的行数相同，列数相同，那么A+B=111111111n n m m n mn A B A B A BA B ++⎛⎫⎪⎪ ⎪++⎝⎭1.2.2分块矩阵与数的乘法：A=1111n m mn A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭,1111n m mn A A A A A λλλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1.2.3设A 为m l ⨯矩阵，B 为l n ⨯矩阵，分块成11111111t r s st t tr A A B B A B A A B B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中1i A ，2i A ……，it A 的列数分别等于1j B ，2j B ……，tj B 的行数，那么1111r s sr C C AB C C ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，其中1tij ik ik k C A B ==∑(i=1……s ；j=1，……，r)1.2.4设1111t s st A A A A A ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，则1111T T t TT T s st A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2. 分块矩阵的性质及应用：2.1 分块矩阵的性质：设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即A=100n A A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中i A （i=1，2……，s ）都是方阵，那么称A 为分块对角矩阵，分块矩阵的行列式一般据有下列性质12s A A A A =，由此性质可知，若i A ≠0(1,2i s =)则A 0≠，并有11110s A A A ---⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭例：设A=500031021⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 求1A -解：500031021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=1100A A ⎛⎫⎪⎝⎭，其中()11115,5A A -⎛⎫== ⎪⎝⎭，23121A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，121123A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以11005011023A -⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 2.2 将分块矩阵与初等变换结合在矩阵运算及球逆矩阵中具有重要作用：现将某个单位矩阵如下进行分块：00mn EE ⎛⎫⎪⎝⎭对其进行行（列）对换等作用，可得到如下类型一些矩阵：0000,,,,0000n m mmm n n n E P E P E E E E E P E P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭用这些矩阵左乘或右乘任一个分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭，只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换，如0mn EA B A B PE C D C PA D PB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，适当选择P 可使C PA +=0，例如A 可逆时，选1P CA -=-则0C PA +=，于是上式的右端可成为10A B D CA B -⎛⎫⎪-⎝⎭，其在求逆矩阵方面是非常有用的，例1：0A T C D ⎛⎫=⎪⎝⎭，A D 可逆，求1T -解：由10000mn E A A CA E C D D -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭及1110000A A D D ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易知11100A TD ---⎛⎫= ⎪⎝⎭10m n E CA E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭=11110A D CA D ----⎛⎫⎪-⎝⎭例2：1A B T C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设T 可逆，D 可逆，试证11()A BD C ---存在，并求11T -解：由10mn A B E BD C D E -⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10A BD CCD -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而又端仍可逆故11()A BD C ---存在再由上题例1可知11111111()0()A BD C T D C A BD C D -------⎛⎫-= ⎪--⎝⎭10m n E BD E -⎛⎫- ⎪⎝⎭=111111111111()()()()m m A BD C E A BD C BD D C A BD C E D C A BD C BD D ------------⎛⎫---= ⎪---+⎝⎭2．3分块矩阵在证明关于矩阵乘积的秩的定理中的作用：例：设A 是数域P 上n m ⨯矩阵，B 是数域P m s ⨯上矩阵，于是秩（ＡＢ）min ≤秩（Ａ），秩（Ｂ），即乘积的秩不超过各因子的秩证明：只需证明秩()AB ≤秩()B ，同时秩()AB ≤秩()A ，分别证明这两个不等式设1112121222123m m n n n a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，111212122212s s m m ms b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭令12,,,m B B B 表示Ｂ的行向量（即对Ｂ进行分块）12,,,n C C C 表示AB 的行向量，由计算可知，i C 的第j 个分量和1122i i im m a B a B a B +++的第j 的分量都等于1mik kj k a b =∑，因而()11221,2,,i i i im m C a B a B a B i n =+++=即矩阵AB 的行向量组12,,,n C C C 可经由B 的行向量组线性表示出所以AB 的秩不能超过B 的秩，即秩()AB ≤秩()B同样，令12,,,m A A A 表示A 的列向量，12,,,s D D D 表示AB 的列向量，由计算可知，()11221,2,,i i i mi m D b A b A b A i s =+++=这个式子表明，矩阵AB 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示出，因而前者的秩不仅＼可能超过后者的秩，这就是说秩()AB ≤秩()A（注：在此证明中用分块矩阵的方法，即12m B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭这就是B 的一种分块，按分块相乘就有111122121122221122m m m m n n nm m a B a B a B a B a B a B AB a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪= ⎪⎪+++⎝⎭很容易看出AB 的行向量是B 的行向量的线性组合）２.４分块矩阵在线性方程组方面的应用对于线性方程组11112211211222221112n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 记()ij A a =，12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12m b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，11121112n m m mnm a a a b B a a a b ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，A 为系数矩阵，X 为未知向量，b 为常数项向量，B 为增广矩阵按分块矩阵记法可记为()B A b =或(),B A b =此方程也可记为AX b =，把系数矩阵A 按行分成m 块，则AX b =可记做12m A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭X ＝12m b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭把系数矩阵A 按列分成n 块，则与相乘的X 对应按行分成n 块，记作()12,,,n ααα 12n x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭b =，即1122n n x x x b ααα+++=，其都为线性方程组的各种变形形式，在求解过程中变形以更方便快捷例：利用分块矩阵证明克拉默法则：对于n 个变量n 个方程线性方程组11112211211222221112n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩如果他的系数行列式0D ≠，则它有唯一解，即()()1122111,2,,j j j j n nj x D b A b A b A j n D D==+++=证明把方程组改写成矩阵方程AX b =，这里()ijn nA a ⨯=为n 阶矩阵，因0A D =≠，故1A -存在，令1X A b -=，有1AX AA b -=表明1X A b -=是方程组的解向量，由Ax b = ，有11A AX A b --= ，即1X A b -=，根据逆矩阵的唯一性，知1X A b -=是方程的唯一解向量，由逆矩阵公式11A A A-*=，有11x A b A b D-*==即111211111122112122222112222212112211n n n n n n n n nnn n n n n nn x A A A b b A b A b A x A A A b b A b A b A D D x A A A b b A b A b A +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪+++ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()()1122111,2,,j j j n nj j x b A b A b A D j n D D=+++==结束语：矩阵得分快不算是一个抽象的概念，我们能够清楚的了解知道并掌握它的概念及性质，进而能够灵活的运用，这样对我们今后的学习与研究都会有很大的帮助。

分块矩阵及其应用

分块矩阵及其应用【摘要】矩阵论是代数学中是一个重要的组成部分和主要的研究对象。

而分块矩阵可以降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更加清晰，从而使矩阵的相关计算简化，并且可以证明一些与矩阵有关的问题。

本文详细且全面论述了分块矩阵阵的概念、分块矩阵的运算和其初等变换，而且证明了矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵秩的问题，用分块矩阵求行列式问题，用分块矩阵求逆矩阵的问题,分块矩阵相似的问题。

【关键词】：分块矩阵；矩阵的秩；逆矩阵；行列式目录1引言 (2)2矩阵分块的定义和性质 (2)2.1 矩阵分块的定义 (2)2.2 分块矩阵的运算 (2)2.3 分块矩阵的初等变换 (3)2.4 n阶准对角矩阵的性质 (3)3分块矩阵在高等代数中的应用 (4)3.1 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 (4)3.2 利用分块矩阵计算行列式 (7)3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 (11)3.4 分块矩阵在解线性方程组方面的应用 (16)4总结 (19)参考文献 (20)1 引言矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。

在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，从而使问题的解决更简明。

比如当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。

利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。

本文就分块矩阵的加法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在证明矩阵相关秩的问题、矩阵求逆、行列式展开计算等方面的应用作了较为深入的研究。

矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于理解和掌握，而且能开拓思维，提高灵活应用知识解决问题的能力。