第33讲 数列模型及应用

第33讲 数列模型及应用
【考点解读】
1.认识数列的函数特性，能结合方程、不等式、解析几何、算法等知识解决一些数列问题.
2.掌握与等差数列、等比数列有关的实际应用问题的解法.
【知识扫描】
1．解答数列应用题的步骤
(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．
(2) 建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．
(3)求解——求出该问题的数学解．
(4) 还原——将所求结果还原到原实际问题中．
2、数列实际应用题常见的数学模型
(1)复利公式:按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ,存期为x 期，则本利和y = .
(2)单利公式:利用按单利计算,本金为a 元,每期利率为r ,存期为x ,则本利和y = . (3)分期付款模型：设贷款总额为a ，年利率为r,等额还款数为b,分n 期还完，则b=
【考计点拨】
牛刀小试：
1．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书公元年代之和为14028，则出齐这套书的年份是( D )
A ．2007
B ．2008
C ．2009
D ．2010
2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( B )
A ．6秒钟
B ．7秒钟
C ．8秒钟
D ．9秒钟
5.在一个凸多边形中，最小内角为120°，各内角度数成等差数列，公差为5°，则这一凸多边形的边数为( A )
A.9
B.16
C.9或16
D.9或10
4．已知三个数a 、b 、c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴公共点的个数为________．
答案：0
5．某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率(1).(1)1n
n r r a r ++-
为________．
答案：25%
典例分析： 题型一：产值模型，原来产值的基数为N ，平均增长率为P ，对于时间的总产值(1)x y N P =+ 例1．某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材的存量，
（1）求n a 的表达式；
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于79a ，如果1972a b =，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg 20.3=）
解：（1）设第一年的森林的木材存量为1a ，第n 年后的森林的木材存量为n a ，则
115(144
a a
b a b =+-=-， 221555()(1)444
a a
b a b =-=-+， 32325555()[(1]4444
a a
b a b =-=-++， ………
12*55555()[((1](4[()1]()44444
n n n n n n a a a b n N --=-+++=--∈ ． （2）当1972b a =时，有79n a a <得55197(4[()1]44729n n a a a --⨯<即5()54
n >， 所以，lg51lg 27.2lg52lg 213lg 2
n ->=≈--． 答：经过8年后该地区就开始水土流失．
例2．轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的10%，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为5%，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？
解：第一个月月底余
1(120%)10000(120%)1000010%30010500a =+⨯-+⨯⨯-=元，
设第n 个月月底余n a ，第1n +个月月底余1n a +，
则1(120%)(120%)10%300 1.08300(1)n n n n a a a a n +=+-+⨯-=-≥，
从而有13750 1.08(3750)n n a a +-=-，
设13750,6750n n b a b =-=，∴{}n b 是等比数列11 1.08
n n b b -=⨯， ∴16750 1.083750n n a -=⨯+，11126750 1.0837*******.6a =⨯+≈，
还贷后纯收入为1210000(15%)8988.60a -+=元．
题型二：复利公式，按复利计算利息的一种储蓄，本金为a ，每期利率为r,存期为x ，则本利和为(1)x
y a r =+
例3．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润； 乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． 两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：10101.1 2.594,1.313.796==） 解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和： 1029
1.311(130%)(130%)(130%)4
2.621.31-+++++++==- （万元） 到期时银行的本息和为10
10(110%)10 2.59425.94⨯+=⨯=（万元）
∴甲方案扣除本息后的净获利为：42.6225.9416.7-≈（万元）
乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利： 10(1 5.5)1(10.5)(120.5)(190.5)32.502
+++++⨯+++⨯== （万元） 贷款的本利和为：109 1.111.1[1(110%)(110%)] 1.117.531.11
-+++++=⨯=- （万元） ∴乙方案扣除本息后的净获利为：32.5017.5315.0-=（万元）
所以，甲方案的获利较多．
例4．(湖南省重点中学2012届高三第一次月考理) (本小题满分13分)
为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆．
（1）求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )；
（2）若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值．
归纳小结
1．解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答；2．在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确；
3．在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系；
4．在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程度的要求．。