数列模型及数列的综合应用
2015届高三数学(文)第一轮总复习课件 第35讲 数列模型及综合应用
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文数
(2)由(1)得，当 n＝10 时，An＝38n＝380，Bn＝2n2＋2n ＝220，Cn＝0.4(210－1)＝409.2. 所以 B10<A10<C10. 答：应该选择第三种付酬方案．
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文数
【拓展演练 1】 某公司一下属企业从事某种高科技产品的 生产．该企业第一年年初有资金 2000 万元，将其投入生产， 到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第 一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资 金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 n 年年 底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元．
4
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文数
2．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝4π，则 cos(a2＋a12)＝( D ) 3 A. 2 1 C.2 3 B．－ 2 1 D．－2
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文数
4π 解析：由 a1＋a7＋a13＝4π，得 3a7＝4π，a7＝ ， 3 8π 2π 1 所以 cos(a2＋a12)＝cos 2a7＝cos ＝cos ＝－ ， 3 3 2 故选 D.
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文数
(1)用 d 表示 a1，a2，并写出 an＋1 与 an 的关系式； (2) 若公司希望经过 m(m≥3) 年使企业的剩余资金为 4000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示)．
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文数
解析：(1)由题意得 a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d, 3 5 a2＝a1(1＋50%)－d＝ a1－d＝4500－ d, 2 2 3 an＋1＝an(1＋50%)－d＝ an－d. 2 3 (2)由(1)得 an＝ an－1－d 2 33 ＝ ( an－2－d)－d 22 32 3 ＝( ) an－2－ d－d 2 2 ＝„„ 3 n－1 3 32 3 n－2 ＝( ) a1－d[1＋ ＋( ) ＋„＋( ) ]. 2 2 2 2
数列与等差数列的综合运用(四)
数列与等差数列的综合运用（四）数列和等差数列是数学中常见的概念，其在不同领域中的运用广泛而深入。
本文将介绍数列与等差数列在金融、物理、计算机科学和生物学中的应用，通过这些实际问题的探讨，我们可以更好地理解和应用数列与等差数列的知识。
一、金融领域的应用在金融领域中，数列与等差数列经常被用于计算利息、投资回报以及指数增长等问题。
一个常见的例子是贷款利息的计算。
假设某人向银行借了一笔钱，银行规定每月按照固定的利率计算利息。
此时，借款人每月的还款金额可以看作是一个等差数列，等差为本金加上利息。
通过计算等差数列的和，我们可以得到借款人在还完所有款项之前需要支付的总利息。
另外，等差数列还可以用于计算投资回报。
假设某人每年向某基金公司投资一定金额，并且该基金有一个固定的年回报率。
如果我们用等差数列来表示每年的投资额，并根据年回报率得到等差数列的公差，那么通过计算数列的和，我们可以得到多年后投资的总回报。
二、物理领域的应用在物理学中，等差数列用于描述运动的速度、距离和时间之间的关系。
例如，当一个物体做匀速直线运动时，其速度是恒定的，可以用等差数列来表示。
等差数列的项数即为运动所经过的时间，公差表示单位时间内所运动的距离。
通过计算等差数列的和，我们可以得到物体在特定时间内所运动的总距离。
类似地，如果我们已知物体在一段时间内的总距离和总时间，可以应用等差数列公式来推算出物体的平均速度。
三、计算机科学领域的应用在计算机科学中，数列与等差数列的运用几乎无处不在。
比如，在编写代码时，我们常常需要利用等差数列和数列的知识来解决问题。
例如，假设我们需要编写一个程序，计算从1到n的所有整数的和。
我们可以使用等差数列的和公式来快速计算这个和，避免使用循环结构逐个相加的方法。
此外，在算法设计中，我们经常需要对数据进行排序。
其中一种常见的排序算法是冒泡排序，如果我们将排序的过程中的中间结果作为数列，那么这个数列就是一个等差数列。
通过分析等差数列的特点，我们可以更好地理解和优化排序算法。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案第一章：数列的概念与应用1.1 数列的定义与表示方法引导学生了解数列的概念，理解数列的表示方法，如通项公式、列表法等。
通过实际例子，让学生掌握数列的性质，如项数、公差、公比等。
1.2 数列的求和公式介绍等差数列和等比数列的求和公式，让学生理解其推导过程。
通过例题，让学生学会运用求和公式解决实际问题，如计算数列的前n项和等。
第二章：数列的性质与应用2.1 数列的单调性引导学生了解数列的单调性，包括递增和递减。
通过实际例子，让学生学会判断数列的单调性，并运用其解决相关问题。
2.2 数列的周期性介绍数列的周期性概念，让学生理解周期数列的性质。
通过例题，让学生学会运用周期性解决实际问题，如解数列的方程等。
第三章：数列的极限与应用3.1 数列极限的概念引导学生了解数列极限的概念，理解数列极限的含义。
通过实际例子，让学生掌握数列极限的性质，如保号性、夹逼性等。
3.2 数列极限的计算方法介绍数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
通过例题，让学生学会运用极限计算方法解决实际问题，如求数列的极限值等。
第四章：数列的级数与应用4.1 数列级数的概念引导学生了解数列级数的概念，理解级数的特点和分类。
通过实际例子，让学生掌握级数的基本性质，如收敛性和发散性等。
4.2 数列级数的计算方法介绍数列级数的计算方法，如比较法、比值法、根值法等。
通过例题，让学生学会运用级数计算方法解决实际问题，如判断级数的收敛性等。
第五章：数列的应用举例5.1 数列在数学建模中的应用引导学生了解数列在数学建模中的应用，如人口增长模型、存货管理模型等。
通过实际例子，让学生学会运用数列建立数学模型，并解决实际问题。
5.2 数列在物理学中的应用介绍数列在物理学中的应用，如振动序列、量子力学中的能级等。
通过例题，让学生学会运用数列解决物理学中的问题，如计算振动序列的周期等。
第六章：数列在经济管理中的应用6.1 数列在投资组合中的应用引导学生了解数列在投资组合中的作用，如资产收益的序列分析。
数列综合题和应用性问题教案
数列综合题和应用性问题教案章节一：数列的概念和性质教学目标：1. 理解数列的定义及其基本性质。
2. 能够识别和表示不同类型的数列。
3. 掌握数列的通项公式和求和公式。
教学内容：1. 数列的定义及表示方法。
2. 数列的性质，如单调性、周期性等。
3. 数列的通项公式和求和公式。
教学活动：1. 通过实例介绍数列的定义和表示方法。
2. 引导学生探索数列的性质，如单调性、周期性等。
3. 讲解数列的通项公式和求和公式，并通过例题进行解释。
章节二：等差数列和等比数列教学目标：1. 理解等差数列和等比数列的定义及其性质。
2. 能够识别和表示等差数列和等比数列。
3. 掌握等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。
教学内容：1. 等差数列和等比数列的定义及表示方法。
2. 等差数列和等比数列的性质，如单调性、周期性等。
3. 等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。
教学活动：1. 通过实例介绍等差数列和等比数列的定义和表示方法。
2. 引导学生探索等差数列和等比数列的性质，如单调性、周期性等。
3. 讲解等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，并通过例题进行解释。
章节三：数列的极限教学目标：1. 理解数列极限的概念及其性质。
2. 能够求解数列极限的问题。
3. 掌握数列极限的运算规则。
教学内容：1. 数列极限的定义及其性质。
2. 数列极限的求解方法。
3. 数列极限的运算规则。
教学活动：1. 通过实例介绍数列极限的定义和性质。
2. 引导学生学习数列极限的求解方法，如直接求解、夹逼定理等。
3. 讲解数列极限的运算规则，并通过例题进行解释。
章节四：数列的综合题型教学目标：1. 理解数列综合题型的概念及其解题方法。
2. 能够解决数列综合题型的问题。
3. 掌握数列综合题型的解题策略。
教学内容：1. 数列综合题型的概念及其解题方法。
2. 数列综合题型的常见类型和解题技巧。
3. 数列综合题型的解题策略。
教学活动：1. 通过实例介绍数列综合题型的概念和解题方法。
高中数学-数列综合应用
数列综合应用知识精要一、数列求和数列求和的常用方法1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n 项公式求和；①等差数列的前n 项和公式：②等比数列的前n 项和公式：（2）一些常见的数列的前n 项和：○1(1)12342n n n ++++++=； ○22222(1)(21)1236n n n n ++++++=； ○32462(1)n n n ++++=+； ○4213521n n ++++-=； ○52233332(1)(1)123[]24n n n n n ++++++==。
2、倒序相加法如果一个数列{}n a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的。
3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的；4、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n 项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。
5、分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；6、并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。
形如(1)()n n a f n =-类型，可采用两项合并求解。
二、数列的综合应用1、解答数列应用题的步骤：（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意；（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；（3）求解——求出该问题的数学解；（4）还原——将所求结果还原到实际问题中。
2、数列应用题常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比数列：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比。
数列的综合运用新
解析：对于A，即若{an}>M，an与an＋1中至少有一个 不小于M，则数列{an}的各项不一定都大于M，错误；对于 B，若{an}>M，an与an＋1中至少有一个不小于M，{bn}>M， bn与bn＋1中至少有一个不小于M，但它们不一定是同一个n 值，则{an＋bn}>2M不成立；对于C，若{an}>M，数列各项 的正负及M的正负不确定，则{a}>M2不成立；则只有D成立，
(4)数列的实际应用：现实生活中涉及利率，产品利润， 工作效率，人口增长，常常考虑用数列知识加以解决．
1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分
裂成2个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成 ( )
A．511个
B．512个
C．1023个
D．1024个
解析：由题意知，细菌繁殖过程可以看作一个首项为
1，公比为2的等比数列模型，所以a10＝a1q9＝29＝512.故应 选B.
答案：B
2 ． 数 列 {an} 的 通 项 公 式 是 关 于 x 的 不 等 式 x2 －
x<nx(n∈N*)的解集中的整数个数，则数列{an}的前n项和Sn
＝
()
A．n2
B．n(n＋1)
C.
D．(n＋1)(n＋2)
解析：由x2－x<nx，得0<x<n＋1(n∈N*)， 因此an＝n， Sn＝
故选D.
答案：D
1．在解决数列综合问题时要注意以下方面 (1)用函数的观点和思想认识数列，将数列的通项公式 与求和公式都看作自变量为正整数的函数． (2)用方程思想去处理数列问题，把通项公式与求和公 式 看作列方程的等量关系． (3)用转化思想去处理数学问题，将实际问题转化为等 差数列或等比数列问题． (4)用猜想与递推的思想去解决数学问题．
数列的综合应用
数列的综合应用数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。
数列的综合是数列中各个数值的求和运算，可以帮助我们解决很多实际问题。
本文将探讨数列的综合应用，从数学角度分析其在现实生活中的具体应用。
一、数列的定义和性质在介绍数列的综合应用之前，我们首先需要了解数列的基本定义和性质。
数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
根据数列的性质，我们可以将数列分为等差数列和等比数列两种常见类型。
1. 等差数列：等差数列中的任意两个相邻项之差都相等，这个固定的差值称为公差。
等差数列的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等比数列：等比数列中的任意两个相邻项之比都相等，这个固定的比值称为公比。
等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
二、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于日常生活和各个学科领域中，下面将从几个具体问题场景中介绍数列的应用。
1. 汽车里程计算假设一辆汽车从起点出发，每小时行驶的里程数分别是12公里、15公里、18公里、21公里...... 如果想知道5个小时内总共行驶了多少公里，我们可以使用等差数列的综合公式来计算。
首先确定首项a1=12，公差d=3（每小时增加3公里），然后带入数列综合公式Sn =(n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=5进行计算得出结果为75公里。
因此，这辆汽车在5个小时内共行驶了75公里。
2. 学生成绩评估假设某学生在数学考试中的成绩分别是80分、85分、90分、95分......，如果想知道前10次考试的总分，我们可以使用等差数列的综合公式进行计算。
首先确定首项a1=80，公差d=5（每次考试分数增加5分），然后带入数列综合公式Sn = (n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=10进行计算得出结果为875分。
因此，这名学生前10次数学考试的总分为875分。
6.5 数列的综合应用
n( n 1) ×50=25n2+225n≥4 750. 2 (2)an＞0.85bn,bn=400×1.08n-1.
问题:Sn=250n+ 解
（1）设中低价房的面积形成的数列为{an}，
由题意可知{an}是等差数列， 其中a1=250,d=50, 则an=250+(n-1)·50=50n+200
是 等 比 数 列 ， 其 中 b1=400,q=1.08, 则 bn=400·(1.08)n-1.
由题意可知an＞0.85bn,
即50n+200＞400·(1.08)n-1·0.85. 当n=5时，a5＜0.85b5,
当n=6时，a6＞0.85b6,
因此满足上述不等式的最小正整数n为6. 因此到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年 建造住房面积的比例首次大于85%.
∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0,
n( n 1) ∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+ ×2=n2+2n. 2
探究提高
对等差、等比数列的综合问题的分析，
应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析
等差、等比数列项之间的关系.往往用到转化与化归
的思想方法. 知能迁移1 （2009·全国Ⅰ文，17）设等差数列{an}
题型二
数列与函数的综合应用Fra bibliotek【例2】 （12分）已知f(x)=logax(a＞0且a≠1)，设 f(a1),f(a2),„,f(an) (n∈N*)是首项为4，公差为
2的等差数列.
（1）设a为常数，求证：{an}是等比数列； （2）若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,当a= 2 时, 求Sn. 思维启迪 利用函数的有关知识得出an 的表达式，
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2021/3/1
12
(1)设从今年起的前 n 年，若该企业不进行技术改造 的累计纯利润为 An 万元，进行技术改造的累计纯利 润为 Bn 万元(需扣除技术改造资金)，求 An、Bn 的 表达式；
(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年， 进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改
造的累计纯利润？
2021/3/1
6
5．如图，n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列方阵．符号 aij(1≤i≤n,1≤j≤n，i、j∈N*)表示位于第 i 行第 j 列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的
数成等比数列，且各列数的公比都等于
1
a24＝1，a32＝14，则 q＝ 2 ，aij＝
q.若
j(1
a11＝12，
2021/3/1
8
【知识要点】
1．数列综合问题中应用的数学思想
(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式 和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1,2，… ，n}上的函数．
(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基 本量的方程．
(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等 差、等比数列的研究．
第37讲 数列模型及数列的综合应用
2021/3/1
1
【学习目标】
能灵活运用数列知识解决数列与学科内其他章节 知识的综合问题，能恰当地依据实际问题的情境 将实际应用问题转化为数列问题，并综合应用数 列与其他相关知识解决实际应用问题．
2021/3/1
2
【基础检测】
1．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒 钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在有 一个这样的细菌和 100 个这样的病毒，问细菌将病 毒全部杀死至少需要( B )
பைடு நூலகம்
A．6秒钟 C．8秒钟
B．7秒钟 D．9秒钟
2021/3/1
3
2．某气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测 仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，
第 n 天的维修保养费为n＋1049元(n∈N*)，使用它直 至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪 器的平均耗资最少)为止，一共使用了( B ) A．600 天 B．800 天 C．1 000 天 D．1 200 天
)i
2.
a11
a12
a13
…
a1n
a21
a22
a23
…
a2n
… … ………
an1
an2
an3
…
ann
2021/3/1
7
【解析】设第一行的公差为 d， a14＝21＋3d，a12＝21＋d，
则14＝21＋dq2 1＝12＋3dq
，解得 d＝q＝12
于是 aij＝[12＋(j－1)d]·qi－1＝j(12)i.
2021/3/1
10
3．数列应用问题的解决
数列应用问题的处理方法与函数应用问题处理的方法及 步骤基本一致．数列应用题的解法一般是根据题设条件 ，建立目标函数关系(即等差数列或等比数列模型)，然 后利用相关的数列知识定型解模．建模是关键，首先要 分析研究实际问题的对象的结构特点，其次要找出所含 元素的数量关系，从而确定为何种数学模型．建模的过 程也是一个把文字语言翻译成数学符号语言的过程．解 模的过程就是运算的过程，首先判断是等差数列还是等 比数列，确定首项、公差(比)、项数是什么，能分清an ，Sn，然后选用适当的方法求解．最后的程序是回验， 即把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合 理修正，使其成为实际问题的解．
2021/3/1
5
4．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第 一位同学首次报出的数为 1，第二位同学首次报出 的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位 同学所报出的数之和；②若报出的数为 3 的倍数， 则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报 数，当五位同学依序循环报到第 100 个数时，甲同 学拍手的总次数为__5__.
2021/3/1
4
3．函数 y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak＋1(其中 k∈N*)，若 a1＝16， 则 a1＋a3＋a5 的值是_2_1__.
【解析】∵y′＝2x，∴k＝y |x＝ak＝2ak，
∴切线方程：y－a2k＝2ak(x－ak) 令 y＝0 得 x＝12ak，即 ak＋1＝12ak， ∴{ak}是首项为 16，公比为12的等比数列， ∴ak＝16·(21)k－1， ∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
2021/3/1
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一、数列模型及应用 例 1 某企业 2011 年的纯利润为 500 万元，因设备老 化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行 技术改造，预测从今年(2012 年)起每年比上一年纯 利润减少 20 万元．今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资 金的情况下，第 n 年(今年为第一年)的利润为 500(1 ＋21n)万元(n 为正整数)．
2021/3/1
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【解析】(1)依题设，An＝(500－20)＋(500－40)＋… ＋(500－20n)＝490n－10n2；
Bn＝500[(1＋12)＋(1＋212)＋…＋(1＋21n)]－600 ＝500n－520n0－100.
2021/3/1
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(2)Bn－An＝(500n－520n0－100)－(490n－10n2) ＝10n2＋10n－520n0－100 ＝10[n(n＋1)－520n－10] 因为函数 y＝x(x＋1)－520x－10 在(0，＋∞)上为增函 数，当 1≤n≤3 时，n(n＋1)－520n－10≤12－580－10 ＜0；当 n≥4 时，n(n＋1)－520n－10≥20－5106－10 ＞0，所以仅当 n≥4 时，Bn＞An.
(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般 思想、类比联想思想、归纳猜想思想等．
2021/3/1
9
2．数列应用问题
利用数列模型解决的实际问题称为数列应用问题．在 实际问题中，有很多问题都可转化为数列问题进行处 理，如经济上涉及的利润、成本、效益的增减问题， 在人口数量的研究中涉及的增长率问题以及金融中涉 及的利率问题，都与数列问题相联系．处理数列应用 问题的基本思想与处理函数应用问题的基本思想是一 致的．
2021/3/1