数列模型及数列的综合应用
2015届高三数学(文)第一轮总复习课件 第35讲 数列模型及综合应用
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文数
(2)由(1)得，当 n＝10 时，An＝38n＝380，Bn＝2n2＋2n ＝220，Cn＝0.4(210－1)＝409.2. 所以 B10<A10<C10. 答：应该选择第三种付酬方案．
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文数
【拓展演练 1】 某公司一下属企业从事某种高科技产品的 生产．该企业第一年年初有资金 2000 万元，将其投入生产， 到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第 一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资 金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 n 年年 底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元．
4
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文数
2．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝4π，则 cos(a2＋a12)＝( D ) 3 A. 2 1 C.2 3 B．－ 2 1 D．－2
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4π 解析：由 a1＋a7＋a13＝4π，得 3a7＝4π，a7＝ ， 3 8π 2π 1 所以 cos(a2＋a12)＝cos 2a7＝cos ＝cos ＝－ ， 3 3 2 故选 D.
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文数
(1)用 d 表示 a1，a2，并写出 an＋1 与 an 的关系式； (2) 若公司希望经过 m(m≥3) 年使企业的剩余资金为 4000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示)．
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文数
解析：(1)由题意得 a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d, 3 5 a2＝a1(1＋50%)－d＝ a1－d＝4500－ d, 2 2 3 an＋1＝an(1＋50%)－d＝ an－d. 2 3 (2)由(1)得 an＝ an－1－d 2 33 ＝ ( an－2－d)－d 22 32 3 ＝( ) an－2－ d－d 2 2 ＝„„ 3 n－1 3 32 3 n－2 ＝( ) a1－d[1＋ ＋( ) ＋„＋( ) ]. 2 2 2 2
数列与等差数列的综合运用(四)
数列与等差数列的综合运用（四）数列和等差数列是数学中常见的概念，其在不同领域中的运用广泛而深入。
本文将介绍数列与等差数列在金融、物理、计算机科学和生物学中的应用，通过这些实际问题的探讨，我们可以更好地理解和应用数列与等差数列的知识。
一、金融领域的应用在金融领域中，数列与等差数列经常被用于计算利息、投资回报以及指数增长等问题。
一个常见的例子是贷款利息的计算。
假设某人向银行借了一笔钱，银行规定每月按照固定的利率计算利息。
此时，借款人每月的还款金额可以看作是一个等差数列，等差为本金加上利息。
通过计算等差数列的和，我们可以得到借款人在还完所有款项之前需要支付的总利息。
另外，等差数列还可以用于计算投资回报。
假设某人每年向某基金公司投资一定金额，并且该基金有一个固定的年回报率。
如果我们用等差数列来表示每年的投资额，并根据年回报率得到等差数列的公差，那么通过计算数列的和，我们可以得到多年后投资的总回报。
二、物理领域的应用在物理学中，等差数列用于描述运动的速度、距离和时间之间的关系。
例如，当一个物体做匀速直线运动时，其速度是恒定的，可以用等差数列来表示。
等差数列的项数即为运动所经过的时间，公差表示单位时间内所运动的距离。
通过计算等差数列的和，我们可以得到物体在特定时间内所运动的总距离。
类似地，如果我们已知物体在一段时间内的总距离和总时间，可以应用等差数列公式来推算出物体的平均速度。
三、计算机科学领域的应用在计算机科学中，数列与等差数列的运用几乎无处不在。
比如，在编写代码时，我们常常需要利用等差数列和数列的知识来解决问题。
例如，假设我们需要编写一个程序，计算从1到n的所有整数的和。
我们可以使用等差数列的和公式来快速计算这个和，避免使用循环结构逐个相加的方法。
此外，在算法设计中，我们经常需要对数据进行排序。
其中一种常见的排序算法是冒泡排序，如果我们将排序的过程中的中间结果作为数列，那么这个数列就是一个等差数列。
通过分析等差数列的特点，我们可以更好地理解和优化排序算法。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案第一章：数列的概念与应用1.1 数列的定义与表示方法引导学生了解数列的概念，理解数列的表示方法，如通项公式、列表法等。
通过实际例子，让学生掌握数列的性质，如项数、公差、公比等。
1.2 数列的求和公式介绍等差数列和等比数列的求和公式，让学生理解其推导过程。
通过例题，让学生学会运用求和公式解决实际问题，如计算数列的前n项和等。
第二章：数列的性质与应用2.1 数列的单调性引导学生了解数列的单调性，包括递增和递减。
通过实际例子，让学生学会判断数列的单调性，并运用其解决相关问题。
2.2 数列的周期性介绍数列的周期性概念，让学生理解周期数列的性质。
通过例题，让学生学会运用周期性解决实际问题，如解数列的方程等。
第三章：数列的极限与应用3.1 数列极限的概念引导学生了解数列极限的概念，理解数列极限的含义。
通过实际例子，让学生掌握数列极限的性质，如保号性、夹逼性等。
3.2 数列极限的计算方法介绍数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
通过例题，让学生学会运用极限计算方法解决实际问题，如求数列的极限值等。
第四章：数列的级数与应用4.1 数列级数的概念引导学生了解数列级数的概念，理解级数的特点和分类。
通过实际例子，让学生掌握级数的基本性质，如收敛性和发散性等。
4.2 数列级数的计算方法介绍数列级数的计算方法，如比较法、比值法、根值法等。
通过例题，让学生学会运用级数计算方法解决实际问题，如判断级数的收敛性等。
第五章：数列的应用举例5.1 数列在数学建模中的应用引导学生了解数列在数学建模中的应用，如人口增长模型、存货管理模型等。
通过实际例子，让学生学会运用数列建立数学模型，并解决实际问题。
5.2 数列在物理学中的应用介绍数列在物理学中的应用，如振动序列、量子力学中的能级等。
通过例题，让学生学会运用数列解决物理学中的问题，如计算振动序列的周期等。
第六章：数列在经济管理中的应用6.1 数列在投资组合中的应用引导学生了解数列在投资组合中的作用，如资产收益的序列分析。
数列综合题和应用性问题教案
数列综合题和应用性问题教案章节一：数列的概念和性质教学目标：1. 理解数列的定义及其基本性质。
2. 能够识别和表示不同类型的数列。
3. 掌握数列的通项公式和求和公式。
教学内容：1. 数列的定义及表示方法。
2. 数列的性质，如单调性、周期性等。
3. 数列的通项公式和求和公式。
教学活动：1. 通过实例介绍数列的定义和表示方法。
2. 引导学生探索数列的性质，如单调性、周期性等。
3. 讲解数列的通项公式和求和公式，并通过例题进行解释。
章节二：等差数列和等比数列教学目标：1. 理解等差数列和等比数列的定义及其性质。
2. 能够识别和表示等差数列和等比数列。
3. 掌握等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。
教学内容：1. 等差数列和等比数列的定义及表示方法。
2. 等差数列和等比数列的性质，如单调性、周期性等。
3. 等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。
教学活动：1. 通过实例介绍等差数列和等比数列的定义和表示方法。
2. 引导学生探索等差数列和等比数列的性质，如单调性、周期性等。
3. 讲解等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，并通过例题进行解释。
章节三：数列的极限教学目标：1. 理解数列极限的概念及其性质。
2. 能够求解数列极限的问题。
3. 掌握数列极限的运算规则。
教学内容：1. 数列极限的定义及其性质。
2. 数列极限的求解方法。
3. 数列极限的运算规则。
教学活动：1. 通过实例介绍数列极限的定义和性质。
2. 引导学生学习数列极限的求解方法，如直接求解、夹逼定理等。
3. 讲解数列极限的运算规则，并通过例题进行解释。
章节四：数列的综合题型教学目标：1. 理解数列综合题型的概念及其解题方法。
2. 能够解决数列综合题型的问题。
3. 掌握数列综合题型的解题策略。
教学内容：1. 数列综合题型的概念及其解题方法。
2. 数列综合题型的常见类型和解题技巧。
3. 数列综合题型的解题策略。
教学活动：1. 通过实例介绍数列综合题型的概念和解题方法。
高中数学-数列综合应用
数列综合应用知识精要一、数列求和数列求和的常用方法1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n 项公式求和；①等差数列的前n 项和公式：②等比数列的前n 项和公式：（2）一些常见的数列的前n 项和：○1(1)12342n n n ++++++=； ○22222(1)(21)1236n n n n ++++++=； ○32462(1)n n n ++++=+； ○4213521n n ++++-=； ○52233332(1)(1)123[]24n n n n n ++++++==。
2、倒序相加法如果一个数列{}n a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的。
3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的；4、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n 项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。
5、分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；6、并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。
形如(1)()n n a f n =-类型，可采用两项合并求解。
二、数列的综合应用1、解答数列应用题的步骤：（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意；（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；（3）求解——求出该问题的数学解；（4）还原——将所求结果还原到实际问题中。
2、数列应用题常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比数列：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比。
数列的综合运用新
解析：对于A，即若{an}>M，an与an＋1中至少有一个 不小于M，则数列{an}的各项不一定都大于M，错误；对于 B，若{an}>M，an与an＋1中至少有一个不小于M，{bn}>M， bn与bn＋1中至少有一个不小于M，但它们不一定是同一个n 值，则{an＋bn}>2M不成立；对于C，若{an}>M，数列各项 的正负及M的正负不确定，则{a}>M2不成立；则只有D成立，
(4)数列的实际应用：现实生活中涉及利率，产品利润， 工作效率，人口增长，常常考虑用数列知识加以解决．
1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分
裂成2个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成 ( )
A．511个
B．512个
C．1023个
D．1024个
解析：由题意知，细菌繁殖过程可以看作一个首项为
1，公比为2的等比数列模型，所以a10＝a1q9＝29＝512.故应 选B.
答案：B
2 ． 数 列 {an} 的 通 项 公 式 是 关 于 x 的 不 等 式 x2 －
x<nx(n∈N*)的解集中的整数个数，则数列{an}的前n项和Sn
＝
()
A．n2
B．n(n＋1)
C.
D．(n＋1)(n＋2)
解析：由x2－x<nx，得0<x<n＋1(n∈N*)， 因此an＝n， Sn＝
故选D.
答案：D
1．在解决数列综合问题时要注意以下方面 (1)用函数的观点和思想认识数列，将数列的通项公式 与求和公式都看作自变量为正整数的函数． (2)用方程思想去处理数列问题，把通项公式与求和公 式 看作列方程的等量关系． (3)用转化思想去处理数学问题，将实际问题转化为等 差数列或等比数列问题． (4)用猜想与递推的思想去解决数学问题．
数列的综合应用
数列的综合应用数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。
数列的综合是数列中各个数值的求和运算，可以帮助我们解决很多实际问题。
本文将探讨数列的综合应用，从数学角度分析其在现实生活中的具体应用。
一、数列的定义和性质在介绍数列的综合应用之前，我们首先需要了解数列的基本定义和性质。
数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
根据数列的性质，我们可以将数列分为等差数列和等比数列两种常见类型。
1. 等差数列：等差数列中的任意两个相邻项之差都相等，这个固定的差值称为公差。
等差数列的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等比数列：等比数列中的任意两个相邻项之比都相等，这个固定的比值称为公比。
等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
二、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于日常生活和各个学科领域中，下面将从几个具体问题场景中介绍数列的应用。
1. 汽车里程计算假设一辆汽车从起点出发，每小时行驶的里程数分别是12公里、15公里、18公里、21公里...... 如果想知道5个小时内总共行驶了多少公里，我们可以使用等差数列的综合公式来计算。
首先确定首项a1=12，公差d=3（每小时增加3公里），然后带入数列综合公式Sn =(n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=5进行计算得出结果为75公里。
因此，这辆汽车在5个小时内共行驶了75公里。
2. 学生成绩评估假设某学生在数学考试中的成绩分别是80分、85分、90分、95分......，如果想知道前10次考试的总分，我们可以使用等差数列的综合公式进行计算。
首先确定首项a1=80，公差d=5（每次考试分数增加5分），然后带入数列综合公式Sn = (n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=10进行计算得出结果为875分。
因此，这名学生前10次数学考试的总分为875分。
6.5 数列的综合应用
n( n 1) ×50=25n2+225n≥4 750. 2 (2)an＞0.85bn,bn=400×1.08n-1.
问题:Sn=250n+ 解
（1）设中低价房的面积形成的数列为{an}，
由题意可知{an}是等差数列， 其中a1=250,d=50, 则an=250+(n-1)·50=50n+200
是 等 比 数 列 ， 其 中 b1=400,q=1.08, 则 bn=400·(1.08)n-1.
由题意可知an＞0.85bn,
即50n+200＞400·(1.08)n-1·0.85. 当n=5时，a5＜0.85b5,
当n=6时，a6＞0.85b6,
因此满足上述不等式的最小正整数n为6. 因此到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年 建造住房面积的比例首次大于85%.
∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0,
n( n 1) ∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+ ×2=n2+2n. 2
探究提高
对等差、等比数列的综合问题的分析，
应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析
等差、等比数列项之间的关系.往往用到转化与化归
的思想方法. 知能迁移1 （2009·全国Ⅰ文，17）设等差数列{an}
题型二
数列与函数的综合应用Fra bibliotek【例2】 （12分）已知f(x)=logax(a＞0且a≠1)，设 f(a1),f(a2),„,f(an) (n∈N*)是首项为4，公差为
2的等差数列.
（1）设a为常数，求证：{an}是等比数列； （2）若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,当a= 2 时, 求Sn. 思维启迪 利用函数的有关知识得出an 的表达式，
第26讲-数列求和及数列的综合应用(解析版)
第26讲-数列求和及数列的综合应用(解析版)第26讲-数列求和及数列的综合应用(解析版)数列是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将讨论数列求和的方法以及数列在各个领域中的综合应用。
一、数列求和方法介绍1.1 等差数列求和公式等差数列是数列中最常见的一种类型，它的每一项与前一项之差都相等。
对于一个等差数列a，其中首项为a1，公差为d，一共有n项。
那么等差数列的求和公式为：Sn = (n/2) * (2a1 + (n-1)d)其中Sn表示等差数列的前n项和。
1.2 等比数列求和公式等比数列是另一种常见的数列类型，它的每一项与前一项的比值都相等。
对于一个等比数列b，其中首项为b1，公比为q，一共有n项。
那么等比数列的求和公式为：Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中Sn表示等比数列的前n项和。
1.3 平方数列求和公式平方数列是指数列中每一项都是前一项的平方。
对于平方数列c，其中首项为c1，一共有n项。
那么平方数列的求和公式为：Sn = (2^(n+1) - 1) * c1其中Sn表示平方数列的前n项和。
二、数列的综合应用2.1 数列在几何问题中的应用数列在几何问题中有着广泛的应用。
比如，在计算几何中，我们经常需要计算等差数列的前n项和来求解某些图形的周长或面积。
在解答这类问题时，我们可以先通过观察找到数列的公差和首项，然后利用等差数列的求和公式求解。
2.2 数列在金融问题中的应用数列在金融问题中也有着重要的应用。
比如，在投资领域，我们经常需要计算等比数列的前n项和来求解复利问题或者计算某种投资的总收益。
同样地，我们可以通过观察数列的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式来进行计算。
2.3 数列在自然科学中的应用数列在自然科学中也扮演着重要的角色。
在物理学中，等差数列的前n项和可以用来计算运动物体的位移和速度。
在化学中，平方数列可以用来计算物质的化学计量位移。
三、总结数列求和方法为我们解决各类实际问题提供了有效的工具。
第五章 第五节 数列的综合应用
一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站(包括起点站A 和终点站B)，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮
袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，
设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列 {ak}(k＝1,2,3，„，n)． 试求：(1)a1，a2，a3. (2)邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋多少个？
解：(1)由题意得 a1＝n－1，a2＝(n－1)＋(n－2)－1＝2n－4， a3＝(n－1)＋(n－2)＋(n－3)－1－2＝3n－9. (2)在第 k 站出发时，放上的邮袋共(n－1)＋(n－2)＋„＋(n－ k)个，而从第二站起，每站放下的邮袋共 1＋2＋3＋„＋(k－ 1)个， ak＝(n－1)＋(n－2)＋„＋(n－k)－[1＋2＋…＋(k－1)] 故 1 1 ＝kn－ k(k＋1)－ k(k－1)＝kn－k2(k＝1,2，„，n)， 2 2 即邮政车从第 k 站出发时，车内共有邮袋个数为 kn－k2(k＝ 1,2，„，n)．
(2)由(1)知an＝2n 1，∴Sn＝2n－1， 2an＋1 2n＋1 2 ∴ S ＝ n ＝1＋ n . 2 －1 2 －1 n 2 ∵n≥1，∴2 －1≥1，∴1＋ n ≤3， 2 －1
n
－
2an＋1 ∴当n＝1时， S 的最大值为3. n
[归纳领悟]
1．等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的 重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和 公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点． 2．利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时 对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好 性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件
[究 疑 点] 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期
2023年新高考数学一轮复习7-5 数列的综合应用(知识点讲解)含详解
专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ） A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______． 例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规． 题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（ ）A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（ ） A ．258B ．264C ．642D ．636例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）； (2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-．【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解. 题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ） A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.题型六：数列与传统文化例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ） A ．10B ．14C ．23D ．26例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金n T几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（ ）A ．5-B ．7C ．13D ．26例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【总结提升】理解题意，构造数列，应用数列模型解题．专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ） A ．13n - B ．12n -C ．21n -D ．32n -【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由此可确定唯一零点为0x =，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到n a . 【详解】()()()()()()4411cos 221cos221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+=，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x ∴的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x ∴的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+，又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列. 例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______． 【答案】2n n 1-+ 【解析】 【分析】由题设11()()4n f f n n-+=，讨论n 的奇偶性求{}n a 的通项公式，再求n S . 【详解】由题设，111()()4ln(1)ln 41n f f n n n n -+=+-+=-， 所以()()**14121,2,N 221421,21,N 2n n f n n k k a n n n k k ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+=-=∈ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎨-⎪⨯=-=+∈⎪⎩，即2(1)n a n =-且n ≥ 2， 当1n =时，11S =，当2n ≥时，21242(1)1n S n n n =+++⋅⋅⋅+-=+-，所以21n S n n =-+，n *∈N故答案为：2n n 1-+.例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）计算{}n a 和{}n b 的前4项和的差即可得出答案；（2）令n n a b ≥得出42n ≤，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论. 试题分析：（1）()()1234123496530935a a a a b b b b +++-+++=-=（2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大()()()()12341234420503864742965878222a a a ab b b b ⎡⎤+⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=⎢⎥⎣⎦()2424424688008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规． 题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-， 当2n ≥时，由1439n n S S +=-①， 得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=， 又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-， 所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-； 所以31λ-≤≤.【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n λ-+≥恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】 【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k-==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去）， 所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nnn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--， 所以数列{}22nn c c -是等比数列； （ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k k-==， 设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑， 则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--， 所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫-<⎪⎭ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可. 【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ⑧ 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--， 211213333n n nn n T --=++++，①231112133333n n n n nT +-=++++，② ①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n nn n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法 设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（ ） A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法” 【答案】BD 【解析】 【分析】因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法”，所以利用等比数列前n 项和公式求出X ，再设小郭第3年还款的现值为y ，根据复利规则求出y ． 【详解】解：小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，∴小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D 正确，C 错误， 设每年应还X 元，还款10次，则该人10年还款的现金与利息和为29[1(1)(1)(1)]X r r r +++++⋯++， 银行贷款A 元10年后的本利和为10(1)A r +．2910[1(1)(1)(1)](1)X r r r A r ∴+++++⋯++=+， ∴10101[1(1)](1)1(1)r X A r r ⨯-+⋅=+-+， 即1010(1)(1)1Ar r X r +=+-，故A 错误．设小郭第三年还款的现值为y ，则3(1)y r X ⋅+=，所以()31Xy r =+，故B 正确；例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【答案】BC 【解析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-，第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误；第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确；因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+，所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t t a a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-， 因为800t <，所以7280002t->， 所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确；当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误；【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据n A 与n a 的关系求出n a ，再根据等差数列的求和公式求出n T ，将5≤n T T 化为216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，分类讨论n 可求出结果. 【详解】 由1112222n n n n A a a a n -+=+++=⋅，∴2n ≥时,212122(1)2n n n a a a n --+++=-⋅，∴1122(1)2-+⋅=⋅--⋅n n n n a n n ，∴22n a n =+，1n =时，14a =也成立，∴22n a n =+，∴数列{}+n a pn 的前n 项和为：12(12)n n T a a a p n =+++++++2(422)(1)(1)3222++++=+⋅=++⋅n n n n n n p n n p ，∵5≤n T T 对任意的n *∈N 恒成立，∴225(1)56353522+⨯++⋅≤=+⨯+⨯n n n n p T p ， 即225335(1)5(51)022p pn n n n -+-⨯++-⨯⨯+≤， 即22225335(5)(5)022p p n n n n -+-⨯+-+-≤，即5(5)(53)0222pn p p n n -+++++≤， 即(6)(5)(8)02p n n n +-++≤， 即216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，当14n ≤≤时，2164266+-≤=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立， 因为4412226465n +≥+=++，∴125-≤p ，所以125p ≥-，当5n =时，216(5)06n n p n +⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭恒成立，R p ∈，当6n ≥时，2164266+-≥=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立， 因为447226663n +≤+=++，∴73-≥p ，所以73p ≤-，综上可得：实数p 的取值范围为127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．故选：A ．例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（ ） A ．32B ．33C ．34D ．35【答案】B 【解析】 【分析】根据分裂数的定义，求出从32到()31m -、从32到3m 分裂数个数，再根据所有分裂数成等差数列求出1111对应的位置，进而根据不等式求m 值. 【详解】由题意，对于332,...,m ，它们依次对应2、3、…、m 个分裂数，则从32到()31m -各分裂数个数的和为(2)(1)2m m -+，从32到3m 各分裂数个数和为(1)(2)2m m -+，又332,...,m 的分裂数{}n a ，构成首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+，令211111n +=，可得555n =，所以(2)(1)(1)(2)55522m m m m -+-+<≤，当32m =时，(1)(2)5275552m m -+=<不符合； 当33m =时，(1)(2)5605552m m -+=>，(2)(1)5275552m m -+=<符合； 当34m =时，(2)(1)5605552m m -+=>不符合； 综上，33m =. 故选：B例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（ ） A ．258 B ．264 C ．642 D ．636【答案】A 【解析】 【分析】分析可知对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣，满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，进而可求得63S 的值.【详解】因为562632<<，由题中定义，对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣， 满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，当1m =时，0m b =，当)122,2m ⎡∈⎣时，1m b =，此时满足条件的m 的个数为12，当)232,2m ⎡∈⎣时，2m b =，此时满足条件的m 的个数为22，当)562,2m ⎡∈⎣时，5m b =，此时满足条件的m 的个数为52， 因此，01234563021222324252258S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：A.例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）；(2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-． 【答案】(1)21263=+⨯S ，()12312633=+⨯+S ，133n n S +=+ (2)1122=-+n T n ，证明见解析 【解析】【分析】(1)根据定义求出{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，由此归纳出n S ，(2)由(1)化简n c ，再由裂项相消法求其前n 项和，并完成证明.(1)由题意得，116512S =++=，217611512181263S =++++=+=+⨯，()2123187136171116512185412636312633S =++++++++=++=+⨯+⨯=+⨯+，41981572013196231728112716215S =++++++++++++++++121854162=+++2312636363=+⨯+⨯+⨯()123126333=+⨯++， …()12311263333(1)n n S n -=+⨯++++≥，由等比数列的前n 项和公式可得，()113131263313n n n S -+-=+⨯=+-， 所以{}n S 的通项公式133n n S +=+．(2)由于133n n S +=+，所以()()33111111log 3log 31221n n n c S S n n n n +⎛⎫=-=--=- ⎪-⋅-++++⎝⎭， 则1111111132432122n T n n n =-+-++-=-+++， 因为n *∈N ，所以102n >+，所以111222n ->-+， 又n T 随n 的增大而减小，所以当1n =时，n T 取得最大值16-，故1126n T -<≤-． 【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解.题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线【答案】C 【解析】【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b ⎡⎤⎡⎤-+++=+⎣⎦⎣⎦， 对其进行整理变形：()()()22222222asat ast b as at ast b as b +-++++=+， ()()222222(2)0as at b ast as b++--+=， ()2222222240as at b at a s t ++-=， 222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或0=t ，其中2212s t b b a a-=为双曲线，0=t 为直线.故选：C.例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【答案】(I)（II ）（II ）过……向轴作垂线，垂足分别为……, 由(I)得记梯形的面积为.由题意， 所以 ……+n T 12.n n x -=(21)21.2n n n T -⨯+=123,,,P P P 1n P +x 123,,,Q Q Q 1n Q +111222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯123n T b b b =+++n b=……+ ①又……+ ②①-②得= 所以题型六：数列与传统文化 例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ）A ．10B ．14C ．23D ．26【答案】D【解析】【分析】设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次构成等差数列{}n a ，根据217a =，前5项和为100求解.【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列{}n a ．由题意可知，等差数列{}n a 中217a =，前5项和为100，设公差为(0)d d >，前n 项和为n S ，则535100S a ==，解得320a =，所以323d a a ， 所以公士出的钱数为532202326a a d =+=+⨯=，故选：D ．例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金101325272-⨯+⨯+⨯+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯0122325272n T =⨯+⨯+⨯+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-(21)21.2n n n T -⨯+=几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（ ） A ．5-B ．7C ．13D ．26【答案】C 【解析】【分析】 根据题意求得每次收的税金，结合题意得到111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯，求得a 的值，代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意知：这个人原来持金为a 斤，第1关收税金为：12a 斤；第2关收税金为111(1)3223a a ⋅-⋅=⋅⨯斤； 第3关收税金为1111(1)42634a a ⋅--⋅=⋅⨯斤， 以此类推可得的，第4关收税金为145a ⋅⨯斤，第5关收税金为156a ⋅⨯斤， 所以111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯， 即1111111111(1)(1)12233445566a a -+-+-+-+-⋅=-⋅=，解得65a =， 又由()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，所以66()1011355f =⨯+=. 故选：C.例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】【详解】。
初中数学教案数列与函数的综合应用
初中数学教案数列与函数的综合应用初中数学教案：数列与函数的综合应用一、引言数学中的数列与函数是学生们在初中阶段学习的重要内容之一。
本教案旨在通过综合应用数列与函数的知识，帮助学生们更好地理解和应用这些概念。
教案将涵盖数列与函数的定义、数列的性质、函数的图像及其应用等内容。
二、数列的定义与性质数列是一系列按特定顺序排列的数字。
不同的数列由不同的公式或规律确定。
既然数列是按顺序排列的，我们可以通过找到数列的通项公式来计算数列的任意一项。
1. 等差数列等差数列指的是每一项与它的前一项之差都相等的数列。
一个等差数列可以由首项和公差来确定。
常见的等差数列有算术数列。
2. 等比数列等比数列指的是每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
一个等比数列可以由首项和公比来确定。
常见的等比数列有几何数列。
3. 裴列裴列是一种既不是等差数列也不是等比数列的数列。
它是通过前两项之和与后一项的差来确定的。
三、函数的图像与性质函数是一个数值之间的关系，其中每个输入值（自变量）都对应一个唯一的输出值（因变量）。
函数可以通过图像、公式或映射表达。
1. 函数图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表现形式，将自变量的取值映射到对应的函数值，并以点的形式展示出来。
根据函数图像的特征，我们可以判断函数的性质，如增减性、奇偶性等。
2. 函数的性质函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
这些性质对于我们理解函数的特征和应用有着重要的指导作用。
四、综合应用综合应用是数列与函数教学的重要环节，通过综合应用，学生可以将所学的数列与函数的知识应用到实际问题中，培养解决实际问题的能力。
1. 数据分析通过分析实际情境中的数据，学生可以将其转化为数列或函数。
例如，分析某地区的人口增长情况，可以将年份作为自变量，人口数量作为因变量，建立相应的函数关系。
2. 函数的应用函数在实际生活中的应用非常广泛。
通过分析问题，学生可以建立函数模型，并通过求解函数方程的方法解决实际问题。
高考数学专题复习 数列的综合应用教案 文 教案
福建省漳浦县道周中学2014年高考数学专题复习数列的综合应用教案文1.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题.2.数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等.3.解答数列应用题的基本步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.4.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则b ＝r1＋r n 1＋r n－1a.[难点正本疑点清源]1.用函数的观点理解等差数列、等比数列(1)对于等差数列，由a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，a n是关于n的一次函数，对应的点(n，a n)是位于直线上的若干个离散的点.当d>0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常函数，对应的数列是常数列；d<0时，函数是减函数，对应的数列是递减数列. 若等差数列的前n项和为S n，则S n＝pn2＋qn (p、q∈R).当p＝0时，{a n}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.(2)对于等比数列：a n＝a1q n－1.可用指数函数的性质来理解.①当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时，等比数列是递增数列；②当a1>0,0<q<1或a1<0，q>1时，等比数列{a n}是递减数列.③当q＝1时，是一个常数列.④当q<0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.2.解答数列综合问题的注意事项(1)要重视审题、精心联想、沟通联系；(2)将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来.题型一等差数列与等比数列的综合应用例1在等比数列{a n} (n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设b n＝log2a n，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)求{b n}的前n项和S n及{a n}的通项a n ；(3)试比较a n与S n的大小.探究提高在解决等差数列和等比数列综合题时，恰当地运用等差数列和等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度和准确度，如本例中就合理地应用了等差中项.已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n＋1＝(1＋q)a n－qa n－1 (n≥2，q≠0).(1)设b n＝a n＋1－a n (n∈N*)，证明：{b n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，a n是a n＋3与a n＋6的等差中项. 题型二数列与函数的综合应用例2已知函数f(x)＝log2x－log x2(0<x<1)，数列{a n}满足f(2a n)＝2n (n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)判断数列{a n}的单调性.探究提高本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查学生的逻辑分析能力.已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直线g(x)＝4(x －1)的图象被f(x)的图象截得的弦长为417，数列{a n}满足a1＝2，(a n＋1－a n)g(a n)＋f(a n)＝0 (n∈N*).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)设b n＝3f(a n)－g(a n＋1)，求数列{b n}的最值及相应的n.题型三 数列与不等式的综合应用例3 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝14，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n1－a 2n .(1)求b 1，b 2，b 3，b 4； (2)求数列{b n }的通项公式；(3)设S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1，求实数a 为何值时，4aS n <b n .探究提高 由a n ＋b n ＝1得到a n 的表达式，然后利用裂项相消法求得S n ，将4aS n <b n 转化为(a －1)n2＋(3a －6)n －8<0对任意n ∈N *恒成立.利用二次函数的性质进行分析，设f (x )＝(a －1)x 2＋3(a －2)x －8，对x 2的系数分a ＝1，a >1及a <1三种情况进行分类讨论，从而求得使不等式成立的a 的取值范围.已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，n ∈N *，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n ； (3)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0032对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .题型四 数列的实际应用例4 某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)探究提高 解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这恰好是数学实际应用的具体体现.从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2010年投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(2010年为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ (参考数据：lg 2＝0.301 0)15.用构造新数列的思想解题试题：(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1 (n ≥2).(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n.审题视角 (1)从求证内容来看，首先要求出S n .(2)从S n 与S n －1的递推关系看，可考虑构造新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n .(3)可考虑用放缩法证明. 规范解答(1)解 ∵a n ＝－2S n ·S n －1 (n ≥2)，∴S n －S n －1＝－2S n ·S n －1.两边同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝2 (n ≥2)，[2分]∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以d ＝2为公差的等差数列，[3分]∴1S n ＝1S 1＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n.[5分]将S n ＝12n 代入a n ＝－2S n ·S n －1，得a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12n ＝1，12n －2n 2n ≥2.[6分](2)证明 ∵S 2n ＝14n 2<14n n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n (n ≥2)，S 21＝14， ∴当n ≥2时，S 21＋S 22＋…＋S 2n ＝14＋14×2×2＋…＋14·n ·n<14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋…＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝12－14n；[10分]当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1.综上，S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n.[12分]批阅笔记 (1)在数列的解题过程中，常常要构造新数列，使新数列成为等差或等比数列.构造新数列可以使题目变得简单，而构造新数列要抓住题目信息，不能乱变形.(2)本题首先要构造新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n ，其次应用放缩法，并且发现只有应用放缩法才能用裂项相消法求和，从而把问题解决.事实上：14n 2<14n n －1，也可以看成一个新构造：b n ＝14n n －1. (3)易错分析：构造不出新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n ，从而使思维受阻.不会作不等式的放缩.方法与技巧1.深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列性质既有相似之处，又有区别，要在应用中加强记忆.同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错.2.在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程组时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处.3.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度.解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等.4.在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题. 失误与防范1.等比数列的前n 项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1.最容易忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习.2.数列的应用还包括实际问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求解.专题四 数列的综合应用(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组 一、选择题1.(2011·安徽)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A.15B.12C.－12D.－152.(2010·福建)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A.6B.7C.8D.93.设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.nn －1D.n ＋1n二、填空题4.(2011·江苏)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________.5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为_____________.6.在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝________. 三、解答题7.已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的最小正整数n 的值.8.某人有人民币1万元，若存入银行，年利率为6%；若购买某种股票，年分红利为24%，每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行.(1)问买股票多少年后，所得红利才能和原来的投资款相等？(2)经过多少年，买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等？(精确到整年) (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.06≈0.025 3)B 组 专项能力提升题组 一、选择题1.{a n }是等差数列，a 2＝8，S 10＝185，从{a n }中依次取出第3项，第9项，第27项，…，第3n项，按原来的顺序排成一个新数列{b n }，则b n 等于 ( )A.3n ＋1＋2 B.3n ＋1－2C.3n＋2D.3n－22.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2 (n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n( )A.有最小值63B.有最大值63C.有最小值31D.有最大值313.已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4 (n ∈N *)且a 1＝9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小正整数n 是 ( )A.5B.6C.7D.8二、填空题4.(2011·陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米.5.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为__________.6.对正整数n ，若曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为____________. 三、解答题7.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n －1n n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ·2n，求数列{b n }的前n 项和S n .8.已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1na n ＋3 (n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有S n >t 36总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由. 答案题型分类·深度剖析例1 (1)证明 ∵b n ＝log 2a n ，∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q 为常数，∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)S n ＝9n －n 22 a n ＝25－n (n ∈N *)(3)解 显然a n ＝25－n>0， 当n ≥9时，S n ＝n 9－n2≤0，∴n ≥9时，a n >S n .∵a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7，S 8＝4，∴当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n <S n ； 当n ＝1,2或n ≥9时，a n >S n .变式训练1 (1)证明 由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1 (n ≥2)， 得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2.由b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0， 所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列.(2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1－q n －11－q ， q ≠1n ， q ＝1(3)解 由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1. 由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8， 由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2或q 3＝1(舍去).于是q ＝－32. 另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q(1－q 6).由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ， 即2a n ＝a n ＋3＋a n ＋6，n ∈N *.所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项.例2 解 (1)由已知得log 22a n －1log 22a n ＝2n ，∴a n －1a n ＝2n ，即a 2n －2na n －1＝0.∴a n ＝n ±n 2＋1.∵0<x <1，∴0<2a n <1，∴a n <0.∴a n ＝n －n 2＋1.(2)∵a n ＋1a n ＝n ＋1－n ＋12＋1n －n 2＋1＝n ＋n 2＋1n ＋1＋n ＋12＋1<1， 又∵a n <0，∴a n ＋1>a n ， ∴{a n }是递增数列.变式训练2 (1)f (x )＝(x －1)2(2)a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＋1(3)解 b n ＝3(a n －1)2－4(a n ＋1－1)，令b n ＝y ，u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，则y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫u －122－14＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫u －122－34. ∵n ∈N *，∴u 的值分别为1，34，916，2764，…，经比较916距12最近，∴当n ＝3时，b n 有最小值是－189256，当n ＝1时，b n 有最大值是0. 例3 (1)b 1＝34，b 2＝45，b 3＝56，b 4＝67(2)b n ＝n ＋2n ＋3(3)解 a n ＝1－b n ＝1n ＋3，∴S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝14×5＋15×6＋…＋1n ＋3n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－16＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋3－1n ＋4＝14－1n ＋4＝n 4n ＋4. ∴4aS n －b n ＝an n ＋4－n ＋2n ＋3＝a －1n 2＋3a －6n －8n ＋3n ＋4.由条件可知(a －1)n 2＋(3a －6)n －8<0在[1，＋∞)上恒成立即可满足条件. 设f (x )＝(a －1)x 2＋3(a －2)x －8， 则a ＝1时，f (x )＝－3x －8<0，恒成立；a >1时，由二次函数的性质知不可能成立； a <1时，对称轴x ＝－32·a －2a －1＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a －1<0.f (x )在[1，＋∞)上为单调递减函数. f (1)＝(a －1)＋(3a －6)－8＝4a －15<0.∴a <154，∴a <1时，4aS n <b n 恒成立.综上知，a ≤1时，4aS n <b n 恒成立.变式训练3 (1)a n ＝23n ＋13(2)－49(2n 2＋3n ) (3)2 012例4 解 (1)设中低价房面积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50， 则S n ＝250n ＋n n －12×50＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×(1.08)n －1.由题意可知a n >0.85b n ， 有250＋(n －1)×50>400×(1.08)n －1×0.85.当n ＝5时，a 5<0.85b 5，当n ＝6时，a 6>0.85b 6，∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 变式训练4 (1)a n ＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ，b n ＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1(2)解 设经过n 年，旅游业的总收入超过总投入，由此b n －a n >0，即1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1－4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n >0，令x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ，代入上式得5x 2－7x ＋2>0，解此不等式，得x <25，或x >1(舍去)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫45n <25，由此得n ≥5. 答 至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. 课时规范训练 A 组1.A2.A3.A4.33 5.－10 6.97.解 (1)设此等比数列为a 1，a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，…，其中a 1≠0，q ≠0.由题意知：a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28，① a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2).②②×7－①得6a 1q 3－15a 1q 2＋6a 1q ＝0， 即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.∵等比数列{a n }单调递增，∴a 1＝2，q ＝2， ∴a n ＝2n.(2)由(1)得b n ＝－n ·2n，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n). 设T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n， ③ 则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1.④由③－④，得－T n ＝1×2＋1×22＋…＋1·2n－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，∴－T n ＝－(n －1)·2n ＋1－2.∴S n ＝－(n －1)·2n ＋1－2.要使S n ＋n ·2n ＋1>50成立， 即－(n －1)·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1>50，即2n>26.∵24＝16<26,25＝32>26，且y ＝2x是单调递增函数，∴满足条件的n 的最小值为5. 8.解 设该人将1万元购买股票，x 年后所得的总红利为y 万元，则y ＝24%＋24%(1＋6%)＋24%(1＋6%)2＋…＋24%(1＋6%)x －1＝24%(1＋1.06＋1.062＋…＋1.06x －1)＝4(1.06x－1).(1)由题意，得4(1.06x－1)＝1， ∴1.06x＝54.两边取常用对数，得x lg 1.06＝lg 54＝lg 5－lg 4＝1－3lg 2.∴x ＝1－3lg 2lg 1.06≈1－3×0.301 00.025 3≈4.(2)由题意，得4(1.06x－1)＝(1＋6%)x，∴1.06x＝43.解得x ≈5.答 (1)买股票4年后所得的红利才能和原来的投资款相等； (2)经过大约5年，买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等. B 组1.A2.A3.C4.2 0005.n 2－n ＋626.2n ＋1－27.(1)a n ＝n ＋1n，n ∈N * (2)S n ＝n ·2n ＋18.解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2. ∵a 1＝1，解得d ＝2，d ＝0(舍). ∴a n ＝2n －1 (n ∈N *). (2)b n ＝1na n ＋3＝12n n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1] ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n2n ＋1. 假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12n ＋2－n2n ＋1 ＝12n ＋2n ＋1>0，∴数列{S n }是单调递增的.∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.。
数列综合题和应用性问题教案
数列综合题和应用性问题教案一、教学目标1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生解决数列综合题的能力，提高逻辑思维和运算能力。
3. 培养学生将数列知识应用于实际问题中，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 数列的基本概念和性质2. 等差数列的通项公式和求和公式3. 等比数列的通项公式和求和公式4. 数列的极限概念5. 数列综合题的解法及应用三、教学重点与难点1. 重点：数列的基本概念、性质、通项公式和求和公式。
2. 难点：数列综合题的解法和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究数列的知识点。
2. 通过案例分析，让学生了解数列在实际问题中的应用。
3. 利用数列软件或板书演示数列的性质和规律，帮助学生直观理解。
4. 组织小组讨论，培养学生合作学习和解决问题的能力。
五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如级数求和、存贷款等问题，引发学生对数列的兴趣。
2. 讲解数列的基本概念和性质，引导学生掌握数列的基础知识。
3. 讲解等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，让学生熟练运用。
4. 引入数列的极限概念，引导学生理解数列的极限性质。
5. 解析数列综合题，培养学生解决实际问题的能力。
6. 课堂练习：布置相关数列综合题，让学生巩固所学知识。
7. 总结与反馈：对学生的学习情况进行总结，及时调整教学策略。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对数列基本概念、性质、通项公式和求和公式的掌握程度，以及解决数列综合题的能力。
2. 评价方法：课堂提问、作业批改、小组讨论、笔试考试等。
3. 评价内容：数列的基本概念和性质、等差数列和等比数列的通项公式和求和公式、数列综合题的解法及应用。
七、教学资源1. 教材：数列相关教材或教学辅导书。
2. 课件：数列知识点、案例分析、数列软件演示等。
3. 习题库：数列综合题及应用性问题。
4. 教学板书：用于演示数列性质和规律。
八、教学进度安排1. 数列的基本概念和性质：2课时2. 等差数列的通项公式和求和公式：2课时3. 等比数列的通项公式和求和公式：2课时4. 数列的极限概念：1课时5. 数列综合题的解法及应用：3课时6. 教学评价：1课时九、教学作业布置1. 课后习题：数列综合题和应用性问题。
数列综合题和应用性问题教案
数列综合题和应用性问题教案一、教学目标1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生解决数列综合题的能力，提高逻辑思维和运算能力。
3. 培养学生将数列知识应用于实际问题的能力，提高解决问题的综合素质。
二、教学内容1. 等差数列的性质及求和公式2. 等比数列的性质及求和公式3. 数列的通项公式及其应用4. 数列的极限概念及数列极限的计算5. 数列综合题的解题策略三、教学重点与难点1. 重点：等差数列和等比数列的性质、求和公式，数列极限的计算。
2. 难点：数列综合题的解题方法，数列知识在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用案例教学法，以典型例题引导学生掌握数列知识。
2. 运用问题驱动法，激发学生思考，培养学生解决实际问题的能力。
3. 利用数列软件工具，直观展示数列的变化规律，增强学生的直观感受。
4. 组织小组讨论，引导学生相互交流，提高团队合作能力。
五、教学安排1. 第一课时：等差数列的性质及求和公式2. 第二课时：等比数列的性质及求和公式3. 第三课时：数列的通项公式及其应用4. 第四课时：数列的极限概念及数列极限的计算5. 第五课时：数列综合题的解题策略及应用教案内容依次展开，包括每个章节的具体教学目标、教学内容、教学步骤、课堂练习、课后作业等。
请根据实际教学需求进行调整和完善。
六、教学目标1. 让学生掌握数列的通项公式的推导和应用，能够利用通项公式解决实际问题。
2. 培养学生解决数列极限问题的能力，理解数列极限的概念和计算方法。
3. 培养学生运用数列知识分析和解决实际问题的能力，提高解决问题的综合素质。
七、教学内容1. 数列的通项公式的推导和应用2. 数列极限的概念和计算方法3. 数列极限在实际问题中的应用4. 数列综合题的解题策略5. 数列知识在实际问题中的应用案例分析八、教学重点与难点1. 重点：数列通项公式的推导和应用，数列极限的计算方法。
2. 难点：数列极限的理解和应用，数列综合题的解题策略。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案第一章：数列的概念与性质1.1 数列的定义引导学生理解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数。
通过实例让学生了解数列的基本形式，如等差数列、等比数列等。
1.2 数列的性质引导学生学习数列的基本性质，如数列的项数、首项、末项、公差、公比等。
通过实例让学生掌握数列的性质，并能够运用性质解决实际问题。
第二章：数列的求和2.1 等差数列的求和引导学生学习等差数列的求和公式，理解公差、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等差数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。
2.2 等比数列的求和引导学生学习等比数列的求和公式，理解公比、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等比数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。
第三章：数列的极限3.1 数列极限的概念引导学生理解数列极限的概念，理解数列极限与数列收敛的关系。
通过实例让学生了解数列极限的性质，如保号性、单调性等。
3.2 数列极限的计算引导学生学习数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
通过实例让学生掌握数列极限的计算方法，并能够运用极限的概念解决实际问题。
第四章：数列的应用4.1 数列在数学分析中的应用引导学生学习数列在数学分析中的应用，如级数、积分等。
通过实例让学生了解数列在数学分析中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。
4.2 数列在其他学科中的应用引导学生学习数列在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。
通过实例让学生了解数列在不同学科中的作用，并能够运用数列解决实际问题。
第五章：数列的综合应用5.1 数列在经济管理中的应用引导学生学习数列在经济管理中的应用，如库存管理、成本分析等。
通过实例让学生了解数列在经济管理中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。
5.2 数列在工程科技中的应用引导学生学习数列在工程科技中的应用，如信号处理、结构分析等。
通过实例让学生了解数列在工程科技中的作用，并能够运用数列解决实际问题。
第5课时数列的综合应用
名师预测
1．已知数列{an}的前n项和Sn ＝2n2 －3n，数
列{bn}是各项为正的等比数列，满足a1＝－b1,
a2＋a4＝34 a2＋a4＝34 ⇒ A4＝60 a1＋a3＝26
∴①－②可得：2d＝8， ∴d＝4，a1＝9， * ∴an＝4n＋5(n∈N )．
B4＝120 由题意知：对数列{bn}， ， b2＋b4＝90
b1＋b3＝30 ∴ b2＋b4＝90
③ ， ④
④÷ ③可得：q＝3，则 b1＝3， ∴bn＝3×3n－1＝3n(n∈N*)． (2)由 cn＝an·n＝(4n＋5)·n， b 3 ∴Sn＝9· 3＋13·2＋17·3＋„＋(4n＋5)·n.① 3 3 3 两边同乘以 3 得： 3Sn＝9·2＋13·3 ＋17·4＋„＋(4n＋1)·n＋(4n 3 3 3 3 ＋5)· 3
数列的实际应用问题 解数列应用题，要充分运用观察、归纳、猜想
等手段，建立等差数列、等比数列、递推数列
等模型(比较典型的问题是存款的利息计算问题,
通常的储蓄问题与等差数列有关，而复利计算
则与等比数列有关)．
例2
从社会效益和经济效益出发， 某地投入资
金进行生态环境建设， 并以此发展旅游产业， 根 据规划， 本年度投入 800 万元， 以后每年投入将 1 比上年减少 ，本年度当地旅游业收入估计为 5 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用， 1 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4
的推导过程是解题的关键．两类数列性质既
有相似之处，又有区别，要在应用中加强记 忆．同时，用好性质也会降低解题的运算量, 从而减少差错．
2．在等差数列与等比数列中，经常要根据条
件列方程(组)求解，在解方程组时，仔细体会
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12
(1)设从今年起的前 n 年，若该企业不进行技术改造 的累计纯利润为 An 万元，进行技术改造的累计纯利 润为 Bn 万元(需扣除技术改造资金)，求 An、Bn 的 表达式；
(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年， 进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改
造的累计纯利润？
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6
5．如图，n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列方阵．符号 aij(1≤i≤n,1≤j≤n，i、j∈N*)表示位于第 i 行第 j 列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的
数成等比数列，且各列数的公比都等于
1
a24＝1，a32＝14，则 q＝ 2 ，aij＝
q.若
j(1
a11＝12，
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8
【知识要点】
1．数列综合问题中应用的数学思想
(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式 和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1,2，… ，n}上的函数．
(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基 本量的方程．
(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等 差、等比数列的研究．
第37讲 数列模型及数列的综合应用
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1
【学习目标】
能灵活运用数列知识解决数列与学科内其他章节 知识的综合问题，能恰当地依据实际问题的情境 将实际应用问题转化为数列问题，并综合应用数 列与其他相关知识解决实际应用问题．
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【基础检测】
1．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒 钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在有 一个这样的细菌和 100 个这样的病毒，问细菌将病 毒全部杀死至少需要( B )
பைடு நூலகம்
A．6秒钟 C．8秒钟
B．7秒钟 D．9秒钟
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2．某气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测 仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，
第 n 天的维修保养费为n＋1049元(n∈N*)，使用它直 至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪 器的平均耗资最少)为止，一共使用了( B ) A．600 天 B．800 天 C．1 000 天 D．1 200 天
)i
2.
a11
a12
a13
…
a1n
a21
a22
a23
…
a2n
… … ………
an1
an2
an3
…
ann
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【解析】设第一行的公差为 d， a14＝21＋3d，a12＝21＋d，
则14＝21＋dq2 1＝12＋3dq
，解得 d＝q＝12
于是 aij＝[12＋(j－1)d]·qi－1＝j(12)i.
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3．数列应用问题的解决
数列应用问题的处理方法与函数应用问题处理的方法及 步骤基本一致．数列应用题的解法一般是根据题设条件 ，建立目标函数关系(即等差数列或等比数列模型)，然 后利用相关的数列知识定型解模．建模是关键，首先要 分析研究实际问题的对象的结构特点，其次要找出所含 元素的数量关系，从而确定为何种数学模型．建模的过 程也是一个把文字语言翻译成数学符号语言的过程．解 模的过程就是运算的过程，首先判断是等差数列还是等 比数列，确定首项、公差(比)、项数是什么，能分清an ，Sn，然后选用适当的方法求解．最后的程序是回验， 即把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合 理修正，使其成为实际问题的解．
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4．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第 一位同学首次报出的数为 1，第二位同学首次报出 的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位 同学所报出的数之和；②若报出的数为 3 的倍数， 则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报 数，当五位同学依序循环报到第 100 个数时，甲同 学拍手的总次数为__5__.
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3．函数 y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak＋1(其中 k∈N*)，若 a1＝16， 则 a1＋a3＋a5 的值是_2_1__.
【解析】∵y′＝2x，∴k＝y |x＝ak＝2ak，
∴切线方程：y－a2k＝2ak(x－ak) 令 y＝0 得 x＝12ak，即 ak＋1＝12ak， ∴{ak}是首项为 16，公比为12的等比数列， ∴ak＝16·(21)k－1， ∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
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一、数列模型及应用 例 1 某企业 2011 年的纯利润为 500 万元，因设备老 化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行 技术改造，预测从今年(2012 年)起每年比上一年纯 利润减少 20 万元．今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资 金的情况下，第 n 年(今年为第一年)的利润为 500(1 ＋21n)万元(n 为正整数)．
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【解析】(1)依题设，An＝(500－20)＋(500－40)＋… ＋(500－20n)＝490n－10n2；
Bn＝500[(1＋12)＋(1＋212)＋…＋(1＋21n)]－600 ＝500n－520n0－100.
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(2)Bn－An＝(500n－520n0－100)－(490n－10n2) ＝10n2＋10n－520n0－100 ＝10[n(n＋1)－520n－10] 因为函数 y＝x(x＋1)－520x－10 在(0，＋∞)上为增函 数，当 1≤n≤3 时，n(n＋1)－520n－10≤12－580－10 ＜0；当 n≥4 时，n(n＋1)－520n－10≥20－5106－10 ＞0，所以仅当 n≥4 时，Bn＞An.
(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般 思想、类比联想思想、归纳猜想思想等．
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2．数列应用问题
利用数列模型解决的实际问题称为数列应用问题．在 实际问题中，有很多问题都可转化为数列问题进行处 理，如经济上涉及的利润、成本、效益的增减问题， 在人口数量的研究中涉及的增长率问题以及金融中涉 及的利率问题，都与数列问题相联系．处理数列应用 问题的基本思想与处理函数应用问题的基本思想是一 致的．
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