初一数学七年级数学提取公因式3
湘教版数学七年级下3.2提公因式法教案
32 提公因式法第2课时提公因式法（1）教学目标：1.知识与能力：让学生了解公因式的意义，初步学会用提公因式法因式分解.2.过程与方法通过找公因式，培养学生的观察能力.3.情感态度与价值观在用提公因式法因式分解时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.教学难点：让学生识别多项式的公因式.教学过程：一、快乐启航1.什么叫做因式分解？2.请写出一个因式分解的例子.3.下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？（1）2x2+4=2（x2+2）；（2）2t2－3t+1=1t（2t3－3t2+t）；（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2；（4）m（x+y）=mx+my.二、我会自主学习4.矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m （a+b+c），可以用等号来连接.ma+mb+mc=m（a+b+c）从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是因式分解.由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.即：几个多项式的公共的因式它们的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法.5.写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb（m）（2）4kx－8ky（4k）（3）5y3+20y2（5y2）（4）a2b－2ab2+ab（ab）三、我会合作交流探究6.例1： 将下列各式因式分解：（1）x xy x +-352 （2）x x 642-（3）z xy y x 242128- （4）－24x 3－12x 2+28x .分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.7.议一议：①怎样找出多项式的公因式？总结出找公因式的一般步骤.首先找各项系数绝对值的最大公因数；如8和12的最大公约数是4.其次找各项中因式含有的相同的字母的最低次幂；如（3）中相同的字母有ab . ②想一想从例1中能否看出提公因式法因式分解与单项式乘以多项式有什么关系？ 提公因式法因分解式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.8.试一试：（1）把下列各式分解因式①8x －72=8（x －9）②a 2b －5ab =ab （a －5）③4m 3－6m 2=2m 2（2m －3）④a 2b －5ab +9b =b （a 2－5a +9）⑤－a 2+ab －ac =－（a 2－ab +ac ）=－a （a －b +c ）⑥－2x 3+4x 2－2x =－（2x 3－4x 2+2x ）=－2x （x 2－2x +1）（2）把3x 2－6xy +x 分解因式［生］解：3x 2－6xy +x =x （3x －6y ）［师］大家同意他的做法吗？［生］不同意.改正：3x 2－6xy +x =x （3x －6y +1）［师］后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.在分解因式时应如何减少上述错误呢？将x 写成x ·1,这样可知提出一个因式x 后，另一个因式是1.四、我会归纳总结1.提公因式法分解因式的一般形式，如：ma +mb +mc =m （a +b +c ）.这里的字母a 、b 、c 、m 可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法因式分解，关键在于观察、发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤（1）各项系数绝对值的最大公因数；（2）因式中相同的字母的最低次幂.4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.5.公因式相差符号的，如（x －y ）与（y －x ）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.五、快乐摘星台：1．下列各式的公因式为a 的是 ( )A.ax+ay+5B.3ma －6ma 2C.4 a 2 +10abD.a 2 －2a+ma2.（·邵阳）把22-4a a 因式分解的最终结果是（ ）A ．()2-2a aB ．()22-2a aC ．()2-4a aD ．()()-2+2a a3.（·泉州）因式分解：x x 52-= 。
七年级数学下册《提取公因式》教案、教学设计
3.解答与反馈：学生完成后，教师挑选部分答案进行讲解，分析解题过程中的误区和注意事项。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课学习的公因式概念、提取方法、应用等进行总结。
2.教学活动：引导学生从知识、方法和情感态度三个方面进行自我评价，反思学习过程中的收获和不足。
1.教学内容：设计具有讨论性的问题，让学生在小组内共同探讨提取公因式的方法。
2.教学活动：分组讨论，每组挑选一道具有代表性的题目进行讨论，总结提取公因式的规律。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。
（四）课堂练习
1.教学内容：布置具有梯度性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
二、学情分析
七年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了整式的加减、乘法等基本运算，能够解决一些简单的实际问题。在此基础上，学生对提取公因式的学习具备了一定的认知基础，但在实际操作中可能还存在以下问题：1.对公因式的概念理解不够深入，容易混淆；2.提取公因式的方法掌握不够熟练，容易出错；3.在解决实际问题时，不能灵活运用提取公因式的方法。因此，在教学过程中，教师应关注学生的这些问题，通过针对性的教学设计，帮助学生克服困难，提高提取公因式的能力。同时，注重培养学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力，使学生在掌握知识的同时，提升数学素养。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：以生活中的实际例子作为导入，例如“小明去超市购物，购买了3件物品，每件物品的价格分别是6元、12元和18元。如果小明给了售货员50元，那么售货员应该找给小明多少钱？”通过这个例子，引导学生运用已学的数学知识解决问题。
七年级数学提取公因式法
代数方程
求解一元一次方程
01
在一元一次方程中，提取公因式法可以帮助我们化简方程，使
其更容易求解。
化简多元一次方程组
02
在多元一次方程组中，提取公因式法可以用于化简方程，简化
计算过程。
证明代数恒等式
03
在证明代数恒等式时，提取公因式法可以帮助我们化简等式两
边，使其更易于验证。
几何图形
计算面积和周长
特点
提取公因式法是一种简化多项式 的有效方法，它可以将多项式中 的相似项合并，使多项式更易于 理解和计算。
提取公因式法的重要性
01
02
03
提高计算效率
提取公因式法可以简化多 项式的计算过程，提高计 算效率。
培养数学思维
通过提取公因式法，可以 培养学生的数学思维和逻 辑推理能力，提高数学素 养。
应用广泛
出现。
在提取公因式后，应注意剩余部 分的符号变化，确保结果与原多
项式相等。
掌握基本代数规则
掌握基本的代数规则是正确使用提取公因式法的前提。 了解代数式的展开、合并同类项、乘法分配律等基本规则。
熟悉代数式的化简和变形技巧，能够灵活运用代数规则进行多项式的简化。
05 提取公因式法练习题与解 析
练习题一
解析
首先观察多项式$x^2 - 2x - 3x + 6$，可以发现$x$是所有项的公因式。然后提取 公因式$x$，得到$x(x - 2 - 3 + 6)$。
答案
提取公因式后，多项式变为$x(x - 1)$。
练习题二
解析
首先观察多项式$(x + y)^2 - (x - y)^2$，可以发现这是一个平方差公式，即$(a+b)(a-b)$。根据平方差公式， $(x + y)^2 - (x - y)^2$可以化简为$(x + y + x - y)(x + y - x + y)$。
七年级数学下册第3章因式分解提公因式法说课稿新版湘教版20210428258
提公因式法一、教材分析：（一）教材所处的地位与作用这节课是七年级下册第三章第二节《提公因式法》第一课时。
学习因式分解一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。
它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。
本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用（二）目标分析：A：知识与技能目标：了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解.B：过程与方法目标：经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式;进一步了解分解因式的意义,并渗透化归的思想方法C：情感与价值观目标：培养学生独立思考的习惯，同时又要培养大家合作交流意识。
二、本课内容及重点、难点分析：，本章教材介绍了最基本的分解因式的方法：提公因式法和应用公式法．每一节课的引入，立足渗透类比这种重要的思想方法．通过如类比因数分解的意义导入因式分解的意义等．另外本章的设计多以问题串的形式创设问题情境，如观察多项式x2- 25和9x2- y2，它们有什么共同特征？能否将它们分别写成两个因式的乘积？与同伴交流你的想法等，让学生经历观察、发现、类比、归纳、总结、反思的过程，感受整式乘法与因式分解之间的互逆变形关系，发展学生有条理的思考及语言表达能力.本章在呈现形式上力求突出：通过因数分解与因式分解的类比，让学生体会、理解、认识因式分解的意义；设置了对比整式的乘法来探索因式分解方法的相关活动，让学生感受整式乘法与因式分解之间的这种逆向恒等变形的价值；通过设置恰当的有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次学生的学习需要.学习分解因式的作用主要是为后继学习方程与多项式的恒等变形作准备，虽然内容简单，课时也较少，但是，分解因式问题的提出，实际上是对整式乘法的逆过程的思考并运用，逆向思考的方法也是我们处理一般问题的一个重要方法，而且也是人们发现问题的重要方法（发现问题比解决一个问题更重要）.教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。
提取公因式法 课件 2022—2023学年浙教版数学七年级下册
注意 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
典例2 把下列各式分解因式：
（1） ；
解:(1)6x3y28xy3z=2xy2·3x2
（2） ；
(2) .
（3） .
(3) .
例题点拨与公因式相同的项，提取公因式后，此项的剩余项为“1”，切勿遗漏致错.
知识点3 添括号法则
第4章 因式分解
4.2 提取公因式法
学习目标
1.了解公因式的概念，会找出多项式中的公因式.
2.能用提取公因式法分解因式.
3.理解添括号法则.
知识点1 公因式
1.公因式：一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.如 是多项式 各项的公因式.
括号前的符号
变号情况
括号前面是“+”号
括到括号里的各项都不变号
括号前面是“-”号
括到括号里的各项都变号
典例3 下面添括号正确的是( )
A. B. C. D.
A
[解析]
选项
添括号Biblioteka 结论A√B
×
C
×
D
×
本节知识归纳
中考常考考点
难度
常考题型
考点：利用提取公因式法分解因式.
2.确定公因式的方法：
公因式是各项系数（当系数是整数时）的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.
示例
确定公因式
典例1 指出下列多项式中各项的公因式:
（1） ；
解：(1) 各项的公因式是 .
（2） ；
（3） ．
(3) 各项的公因式是 .
(2) 各项的公因式是 .
知识点2 提取公因式法分解因式重点
数学提取公因式
数学提取公因式数学中，提取公因式是一种常见的运算方法。
它在代数表达式中起到化简的作用，使得复杂的表达式可以简化为较为简单的形式。
本文将介绍提取公因式的概念、方法和应用。
一、概念提取公因式是指从一个代数表达式中找出多个项的公因子，并将其提取出来，使得原表达式可以被简化。
公因子是指能够同时整除多个项的因子，通常是其中的最高次项。
二、方法提取公因式的方法是通过因式分解来实现的。
具体步骤如下：1. 观察代数表达式中各项的系数和字母部分，找出它们的最大公因子。
2. 将最大公因子提取出来，放在括号外面。
3. 将原表达式中的每一项除以最大公因子，得到括号内的新表达式。
三、示例下面通过几个示例来说明提取公因式的方法。
示例1：将表达式2x+4y提取公因式。
观察到2x和4y的最大公因子是2，因此将2提取出来，得到2(x+2y)。
示例2：将表达式3a^2b-6ab^2提取公因式。
观察到3a^2b和6ab^2的最大公因子是3ab，因此将3ab提取出来，得到3ab(a-2b)。
示例3：将表达式5x^2-20xy+15y^2提取公因式。
观察到5x^2、20xy和15y^2的最大公因子是5，因此将5提取出来，得到5(x^2-4xy+3y^2)。
四、应用提取公因式在数学中有广泛的应用。
它可以简化代数表达式，使得计算更加简便和高效。
同时，提取公因式也是解决代数方程和不等式的重要步骤之一。
例如，在解二次方程时，首先需要将方程化简为标准形式(ax^2+bx+c=0)，其中提取公因式的方法可以用来化简方程。
通过提取公因式，可以将方程变为a(x^2+bx/a+c/a)=0，进一步化简为(x^2+bx/a+c/a)=0。
这样，原方程可以被简化为一个更加简单的形式，从而更方便地进行求解。
除了解方程外，提取公因式还可以应用于因式分解、求导、积分等数学问题的解决过程中。
它不仅可以使得计算更加简单，还可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
提取公因式是一种重要的数学运算方法，它可以简化代数表达式，使得计算更加简便和高效。
9.13 提取公因式法课件(共45张PPT)七年级数学上册(沪教版)
a1ຫໍສະໝຸດ 指数： 相同字母的字母： 最低次数
相同的字母
所以公因式是 4a
找出多项式的公因式的一般步骤： 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 因数； 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母的最低次数.
新课讲授
教材第40页
的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这 个多项式分解因式.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
因式分解和整式乘法的过程正好相反，是互为相反 的变形，即
a2 - b2
因式分解 整式乘法
(a + b)(a - b)
a2 - b2 = (a + b)(a - b) 等式的特征：左边是多项式， 右边是几个整式的乘积
当堂练习
12.下列因式分解正确的有( B ) ①3x2－6xy＋x＝x(3x－6y)＝3x(x－2y)； ②－5x＋5xy＝－5x(1＋y)； ③4x3－2x2y＝2x2(2x－y)； ④6a3b3＋4a2b2＋2ab＝2ab(3a2b2＋2ab)． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
提公因式后，可以利用整式乘法检查是否正确．此外，当提取 的公因式有“－”号时，应注意括号内各项要变号．
（2）x(a-b)+y(b-a)-3(b-a);
解：原式＝x(a-b)-y(a-b)+3(a-b) ＝(a-b)(x-y+3).
新课讲授
教材第43页
例题5 分解因式：
（3）6(x+y)2 -2(x-y)(x+y).
解：原式＝2(x+y)[3(x+y) －(x－y)] ＝2(x+y)(3x+3y －x + y) ＝2(x + y)(2x+4y) ＝4(x+y)(x+2y).
七年级数学提取公因式法
例如： (1) 多项式 (2) (3) (4)
1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的相 同因式, 叫做这个多项式各项的公因式.
ab bc 的公因式是 b 多项式 3 x 2 3 y 的公因式是 3 多项式 7 a 2 21a 的公因式是 7a 多项式 3 x 3 6 x 2 的公因式是 3 x 2
1.填空:（口答）
(1)
2R 2r 2 ( R r )
(2)
2R 2r 2 ( R r )
1 1 2 1 2 2 g (t12 t 2 ) (3) gt1 gt 2 2 2 2
(5)
1 2 1 2 1 2 (4) gt1 gt 2 g (t12 t 2 ) 2 2 2
2
2 3 y a a2 ) ( 3a y 3ay 6 y
35 x 3 yz 14 x 2 y 2 z 21xy 2 z 2 7 xyz ( 5 x 2 2 xy 3 yz )
例1. 将下列各式分解因式：
(2) 7 x 2 21x 3x 6 3 2 3 (3) 8 a b 12 ab c ab (4) 24 x 3 12 x 2 28 x (1) 3 x 6 3 x 3 2（找公因式：把各项写成公因式与一个单项式 解： (1) 的乘积的形式。）
1. 提公因式法是最基本的分解因式的方法 之一，其一般步骤是什么？
2. 提公因式法的关键是什么？ 3. 检验分解因式正误的方法有那些？
4.你还有什么新的认识与体会？
1. 习题
1.
2.
2. 想一想： 公因式可能是多项式吗？如果可能， 那又当如何分解因式呢？举例并尝试。
敬请各位老师指导，谢谢！
上海七年级-数学-因式分解专题讲解
上海七年级 数学 因式分解专题讲解一、提取公因式1、因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积得形式，叫做把这个多项 式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.例1、下列各式从左边右边的变形，哪些是因式分解？那些不是因式分解？（1）1)32(1322+-=+-a a a a ; （2）)11(1xy xy xy -=-； （3）1)1)(1(2-=-+a a a ； （5）22)21(412+=++x x x ;例2、指出下列各式中的公因式：（1）222343284b a b a a 、、- （2））（、、b a b a b a +++9-)(6)(332 （3）m m a a 1832、-2、提取公因式的注意事项（1）、如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“—"号，是括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式。
例：)23(4)812(8122222b a ab ab b a ab b a +-=+-=--（2）利用提取公因式法分解因式时，一定要“提干净”。
也就是说当一个多项式提出公因式后,剩下的另一个因式中应该已经没有可以提取的公因式了；若发现还有公因式必须要再次提取,否则因式分解就不彻底，没有完成。
（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后,括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致。
例：)132(22642++=++y x x x xy x ，不能写成)32(22642y x x x xy x +=++（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式,当把多项式作为公因式提出来时，要特别注意同一字母的排列序，要设法结合相关知识进行转化，使之成为完全相同的因式时再提取公因式，否则容易出现负号上的错误。
例：)()()()()()(22323n mb ma b a b a n b a m a b n b a m ---=---=--- 例3、分解因式：=-+-422231869y x y x y x例4、将下列各组中的整式写成他们的公因式与另一公因式相乘的形式：（1）a a 463-、； （2）32394278xy y x -、； （3）322)(51)(3b a x b a x ++、； (4）)(3)(2m a x a m --、；例5、已知关于x 的二次三项式n mx x ++22因式分解的结果是)41)(12(+-x x ，求n m 、的值？例6、在物理电学中，求串联电路的总电压是有公式321IR IR IR U ++=，当5.2,9.35,4.32,7.31321====I R R R 时,求电压U 的值?3、整式乘法与因式分解有什么关系？整式乘法是一种求几个因式的积的运算，它的最后结果是和或差的形式，是一个多项式.而因式分解则是把多项式化为几个整式的积的形式。
七年级数学提取公因式法
3( x 2) （提取公因式）
(2)
7 x 2 21x 7 x x 7 x 3 （找公因式） 7 x ( x 3) （提取公因式）
(3)
（提取公因式） 8 a 3b 2 12 ab 3 c ab ab 8 a 2 b ab 12b 2 c ab 1 ab (8a 2b 12b 2 c 1) （找公因式）
1.填空:（口答）
(1)
2R 2r 2 ( R r )
(2)
2R 2r 2 ( R r )
1 1 2 1 2 2 g (t12 t 2 ) (3) gt1 gt 2 2 2 2
(5)
1 2 1 2 1 2 (4) gt1 gt 2 g (t12 t 2 ) 2 2 2
(6)
3 x 3 6 x 2 3 x 2 ( x 2)
12 xyz 9 x 2 y 2 35 x 3 yz 14 x 2 y 2 z 21xy 2 z 2
7 a 2 21a 7a ( a 3 )
3a 2 y 3ay 6 y
都错在哪了？ 哪儿有困难？
2.把下列各式分解因式：（板演）
是字母 是数字系数 是数字系数与字母的乘积 是数字系数与字母的乘积
2.观察上述举例，分析并猜想：
确定一个多项式的公因式时，要从 数字系数 和 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ母 考虑： (1) 如何确定公因式的系数？
分别进行
公因式的系数应取各项系数的最大公约数。
(2) 如何确定公因式中的字母？那字母的指数该怎么定呢？ 公因式中的字母取各项相同的字母，而且各相同字母的指数取其次数 最低的。
1.分析下列计算是整式乘法中的哪一种 并求出结果: (口答)
提取公因式法因式分解(解析版)
提取公因式法因式分解【知识梳理】一．因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．二．公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．三．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．【考点剖析】一．因式分解的意义（共4小题）1．（2022秋•黄浦区期中）下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．x2﹣2x+5＝x（x﹣2）+5C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2D．x2+1＝x（x+）【分析】根据因式分解的定义对各选项分析后利用排除法求解．【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2是多项式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；B、x2﹣2x+5＝x（x﹣2）+5，等式的右边不是几个整式积的形式，故本选项不合题意；C、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2是因式分解，故本选项符合题意；D、x2+1＝x（x+），右边分母上有字母，不是因式分解，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了因式分解定义，因式分解就是把一个多项式写成几个整式积的形式，是基础题，比较简单．2．（2022秋•静安区校级期中）在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣3a+1＝a（2a﹣3）+1B．C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1D．﹣4﹣x2y2+4xy＝﹣（2﹣xy）2【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．3．（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．【解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；D．符合定义，故选项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．4．（2022秋•浦东新区校级期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（）A．a2+8a+16＝（a+4）2B．（a+4）2＝a2+8a+16C．a2+8a+16＝a（a+8）+16D．a2+8（a+2）＝a2+8a+16【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式由左边到右边的变形属于因式分解，并且正确，故本选符合题意；B．等式由左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；CD．等式由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．二．公因式（共7小题）5．（2022秋•青浦区校级期中）单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是（）A．3a2b B．3a3b3C．a2b D．a3b3【分析】根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．【解答】解：单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是3a2b．故选：A．【点评】此题考查的是公因式，掌握其定义是解决此题的关键．6．（2020秋•浦东新区期末）多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（）A．x+3B．（x+3）2 C．x﹣3D．x2+9【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．【解答】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．故选：C．【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．7．（2022秋•嘉定区期中）多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是．【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．【解答】解：多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是3x2y2．故答案为：3x2y2．【点评】此题主要考查了公因式，正确把握确定公因式的方法是解题的关键．8．（2019秋•黄浦区校级期中）多项式4a（x﹣y）﹣6a2（x﹣y）中各项的公因式是．：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．【解答】解：多项式4a（x﹣y）﹣6a2（x﹣y）中各项的公因式是2a（x﹣y），故答案为：2a（x﹣y）．【点评】本题主要考查了公因式，多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．9．（2018秋•嘉定区期末）写出多项式x2﹣y2与多项式x2+xy的一个公因式．【分析】先把两个多项式因式分解，再找出它们的公因式．【解答】解：因为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），x2+xy＝x（x+y），所以两个多项式的公因式为：x+y．故答案为：x+y【点评】本题考查了因式分解的平方差公式和提取公因式法．掌握多项式因式分解的方法是解决本题的关键．10．（2019秋•浦东新区期末）8x3y2和12x4y的公因式是．【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．【解答】解：系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x3y，∴公因式为4x3y．故答案为：4x3y．【点评】本题考查公因式的定义，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键，11．（2019秋•松江区期中）多项式：4x（x﹣y）﹣3（x﹣y）的公因式是．【分析】根据公因式的定义：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数解答．【解答】解：4x（x﹣y）﹣3（x﹣y）的公因式是（x﹣y）．故答案为：（x﹣y）．三．因式分解-提公因式法（共14小题）12．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝．【分析】将原式的公因式（x﹣5）提出即可得出答案．【解答】解：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝（x﹣5）（3x﹣2﹣3）＝（x﹣5）（3x﹣5）．故答案为：（x﹣5）（3x﹣5）．【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．13．（2022秋•嘉定区期中）分解因式：3x3﹣9x2﹣3x＝．【分析】提取公因式后即可因式分解．【解答】解：3x3﹣9x2﹣3x＝3x（x2﹣3x﹣1），故答案为：3x（x2﹣3x﹣1）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法因式分解的方法是解题的关键．14．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：4x2y﹣12xy＝．【分析】直接提取公因式4xy进行分解因式即可．【解答】解：4x2y﹣12xy＝4xy（x﹣3），故答案为：4xy（x﹣3）．【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．15．（2021秋•金山区期末）因式分解：6a2﹣8a3＝．【分析】直接找出公因式进而提取公因式得出答案．【解答】解：6a2﹣8a3＝2a2（3﹣4a）．故答案为：2a2（3﹣4a）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．16．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：2m2n﹣mn2＝．【分析】直接提取公因式mn进行因式分解即可．【解答】解：2m2n﹣mn2＝mn（2m﹣n）．故答案为：mn（2m﹣n）．【点评】如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．17．（2022秋•嘉定区校级期中）因式分解：﹣15a﹣10ab+5abc＝．【分析】直接提取公因式﹣5a，进而分解因式即可．【解答】解：原式＝﹣5a（3+2b﹣bc）．故答案为：﹣5a（3+2b﹣bc）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．18．（2022秋•嘉定区期中）当a＝3，b＝时，代数式﹣a2+4ab的值为．【分析】将原式变形为﹣a（a﹣4b），把a与b的值分别代入计算即可得到结果．【解答】解：当a＝3，b＝时，﹣a2+4ab＝﹣a（a﹣4b）＝﹣3×（3﹣4×）＝﹣3×2＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题考查了代数式求值和因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2022秋•嘉定区期中）因式分解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）【分析】直接提取公因式进而分解因式得出答案．【解答】解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）＝2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]＝2（x+y）（2x+4y）＝4（x+y）（x+2y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握公因式是解题关键．20．（2022秋•杨浦区期中）分解因式：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）．【分析】原式变形可得a2（a+2b）+2ab（a+2b），再提公因式a（a+2b）因式分解即可．【解答】解：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）＝a2（a+2b）+2ab（a+2b）＝a（a+2b）（a+2b）＝a（a+2b）2．【点评】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解答本题的关键．21．（2022秋•浦东新区校级期中）因式分解：（y﹣x）2+2（x﹣y）＝．【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．【解答】解：（y﹣x）2+2（x﹣y）＝（y﹣x）2﹣2（y﹣x）＝（y﹣x）（y﹣x﹣2），故答案为：（y﹣x）（y﹣x﹣2）．【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键．22．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：15a2b﹣3ab＝．【分析】先确定公因式为3ab，然后提取公因式后整理即可．【解答】解：15a2b ﹣3ab ＝3ab （5a ﹣1）．故答案为：3ab （5a ﹣1）．【点评】本题考查提公因式法分解因式，较为简单，准确找出公因式是解题的关键．23．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：3x 2y ﹣12xy 2＝ ．【分析】得出多项式的公因式进而提取得出即可．【解答】解：3x2y ﹣12xy2＝3xy （x ﹣4y ）．故答案为：3xy （x ﹣4y ）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．24．（2022秋•宝山区校级期中）分解因式：a （a ﹣b ）+b （b ﹣a ）＝ ．【分析】首先把式子变形为：a （a ﹣b ）﹣b （a ﹣b ），再找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．【解答】解：a （a ﹣b ）+b （b ﹣a ）＝a （a ﹣b ）﹣b （a ﹣b ）＝（a ﹣b ）（a ﹣b ）＝（a ﹣b ）2．故答案为：（a ﹣b ）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．25．（2022m （a ﹣c ）﹣5（a ﹣c ）．【分析】直接提取公因式a ﹣c 即可．【解答】解：原式＝（a ﹣c ）（2m ﹣5）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找到公因式．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海·七年级假期作业）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．()2222x y x y xy +=−+ B ．()422211(1x x x x x x ++=++−+） C ．()230130x x x x −−=−−D ．()22121a a a −=−+【答案】B【分析】根据因式分解的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；C 、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．2．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）分解因式()()222b x b x −+−正确的结果是（ ）A ．()()22x b b −+B ．()()21b x b −+C ．()()22x b b −−D ．()()21b x b −−【答案】D【分析】先将式子变形，再提取公因式分解即可．【详解】解：()()222b x b x −+− ()()222b x b x =−−− ()(2)1b x b =−−．故选：D 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式． 3．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）已知多项式2ax bx c ++分解因式得()()32x x −+，则a ，b ，c 的值分别为（ ）A ．1，1−，6B ．1，1，6−C ．1，1−，6−D ．1，1，6 【答案】C【分析】根据多项式乘以多项式运算法则将()()32x x −+展开，分别对应2ax bx c ++即可得出答案．【详解】解：()()2632x x x x =−+−−，∵多项式2ax bx c ++分解因式得()()32x x −+，∴1,1,6a b c ==−=−，故选：C ．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，也可根据十字相乘法因式分解得326,321,111c b a =−⨯=−=−+=−=⨯=进行求解．4．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（ ） A ．22816(4)a a a ++=+B ．22(4)=816a a a +++C ．2816(8)16a a a a ++=++D ．228(2)816a a a a ++=++ 【答案】A【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断．【详解】A ．把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；B ．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C ．结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；D ．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：A【点睛】因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．5．（2020秋·七年级校考课时练习）把多项式-4a 3+4a 2-16a 分解因式( )A ．-a （4a 2-4a+16）B ．a （-4a 2+4a-16）C ．-4（a 3-a 2+4a ）D ．-4a （a 2-a+4） 【答案】D【详解】把多项式-4a3+4a2-16a 运用提取公因式法因式分解，可得-4a3+4a2-16a=-4a （a2-a+4）． 故选D ．【答案】D【分析】根据完全平方公式求出225x y +=，再把原式因式分解后可代入求值．【详解】解：因为2x y −=，12xy =，所以()24x y −=，22425x y xy +=+=所以32233x y x y xy ++()223xy x xy y =++115322134⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭=故选：D【点睛】考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键．二、填空题7．（2023·上海·七年级假期作业）若5x y −=，6xy =则22x y xy −=________，2222x y +=________．【答案】 30 74【分析】第一个空先利用提公因式法因式分解，再代入计算即可；第二个空利用完全平方公式变形后，代入计算即可．【详解】解：22()6530x y xy xy x y −=−=⨯=；()222222()22251274x y x y xy ⎡⎤+=−+=⨯+=⎣⎦．故答案为：30，74．【点睛】本题考查代数式求值，掌握因式分解法和熟练利用完全平方公式是解题关键．8．（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）分解因式：22615x z yz −+=__________．【答案】()2325z x yz −−【分析】提取公因式即可分解．【详解】解：()222615325x z yz z x yz −+=−−， 故答案为：()2325z x yz −−． 【点睛】本题是一道有关因式分解的题目，解题的关键是掌握提公因式法分解因式的步骤．9．（2022秋·上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：223714ab a b −=______．【答案】()2712ab ab −【分析】直接提取公因式进行计算即可．【详解】解：原式()2712ab ab =−．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．10．（2022秋·上海·七年级上海市建平中学西校校考期中）因式分解：2()2()y x x y −+−=___________．【答案】()()2x y x y −−+【分析】直接利用提公因式法分解因式即可． 【详解】()()2()2()2y x x y x y x y −+−=−−+．故答案为：()()2x y x y −−+．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【答案】234y x y −【分析】利用提公因式法分解因式求解即可．【详解】()23268234y x y xy y −=−． 故答案为：()2234y x y −． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．12．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：25x y xy +=__________．【答案】()5xy x +【分析】根据提公因式法分解因式即可．【详解】解：()255x y xy xy x +=+．故答案为：()5xy x +．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法．13．（2023秋·上海宝山·七年级校考期末）分解因式：2412x y xy −=______．【答案】()43xy x −【分析】直接提取公因式4xy 进行分解因式即可．【详解】解：2412x y xy −()43xy x =−，故答案为：()43xy x −．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．14．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）因式分解：()()()2222a b b a a b −−−+=___________．【答案】()()23a b a b −−【分析】提公因式()2a b −，即可求解．【详解】解：()()()2222a b b a a b −−−+ ()()()2222a b a b a b −+−+=()()222a b a b a b =−−++ ()()23a b a b =−−． 故答案为：()()23a b a b −−．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．15．（2023·上海·七年级假期作业）因式分解：15105a ab abc −−+=___________．【答案】()532a b bc −+−【分析】提出公因式5a −即可．【详解】解：()15105532a ab abc a b bc −−+=−+− 故答案为：()532a b bc −+−． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．16．（2023·上海·七年级假期作业）已知：()()2111x x x x x +++++=[](1)1(1)x x x x +⋅+++=()()()()31111x x x x ⎡⎤+⋅+⋅+=+⎣⎦，因式分解()()()220221111x x x x x x x ++++++⋅⋅⋅++，结果为_______________． 【答案】()20231x + 【分析】将()()()220221111x x x x x x x ++++++⋅⋅⋅++提出一个()1x +，再将 ()()()()220211111...1x x x x x x x x ⎡⎤+++++++++⎣⎦提出一个()1x +，继续提出一个()1x +，以此类推，直到原式变为()()202211x x ++，再化简即可．【详解】解：()()()220221111x x x x x x x ++++++⋅⋅⋅++ ()()()()220211111...1x x x x x x x x ⎡⎤=+++++++++⎣⎦()()()()2220201111...1x x x x x x x ⎡⎤=+++++++++⎣⎦()()()()3220191111...1x x x x x x x x ⎡⎤=+++++++++⎣⎦…()()2021111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦ ()()202211x x =++()20231x =+故答案为：()20231x +【点睛】本题考查了提公因式法，一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成多项式与另一个因式的乘积的形式，在这种分解因式的方法叫做提公因式法．17．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）如果210x x ++=，那么23991x x x x ++++⋅⋅⋅+的值是______．【答案】1【分析】首先需要先将23991x x x x ++++⋅⋅⋅+变形为()()234561x x x x x x +++++++()979899x x x ⋅⋅⋅+++，经过提公因式得到()()242111x x x x x x ++++++()9721x x x +⋅⋅⋅+++ ，将210x x ++=整体代入即可． 【详解】解：23991x x x x ++++⋅⋅⋅+()()234561x x x x x x =+++++++()979899x x x ⋅⋅⋅+++ ()()242111x x x x x x =++++++()9721x x x +⋅⋅⋅+++将210x x ++=代入，得到10001=+++⋅⋅⋅+=． 故答案为：1．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，寻找公因式21x x ++是解题的关键．18．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式：(5)(32)3(5)x x x −−−−=___________【答案】()()535x x −−/()()355x x −−【分析】提取公因式()5x −，同类项合并即可解得． 【详解】(5)(32)3(5)x x x −−−−(5)(323)x x =---(5)(35)x x =--【点睛】此题考查了分解因式，解题的关键是熟悉提取公因式法．三、解答题【答案】()()25a c m −−【分析】根据提公因式法分解因式求解即可．【详解】解：2()5()m a c a c −−−()()25a c m =−−【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．20．（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：()13(1)22n n n a a a a +−−−【答案】)(1n a a +【分析】先计算单项式乘多项式，合并后，再提取公式即可．【详解】解：()13(1)22n n n a a a a +−−−112433n n n n a a a a ++=−−+1n n a a +=+)(1n a a =+．【点睛】本题考查了单项式乘多项式，同底数相乘，提公因式分解因式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：()()42a x y b y x −−−．【答案】()()22x y a b −+【分析】将原式变为()()42a x y b x y −+−，再利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：()()42a x y b y x −−− ()()42a x y b x y =−+− ()()22x y a b =−+．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，注意将题目中的y x −变为x y −时符号的变化，正确找到公因式是解答本题的关键．22．（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）因式分解：()22a b a b −−+【答案】()()221a b a b −−−【分析】先把原式化为()()22a b a b −−−，再提取公因式分解因式即可．【详解】解：()22a b a b −−+ ()()22a b a b =−−−()()21a b a b =−−−⎡⎤⎣⎦()()221a b a b =−−−【点睛】本题考查的是提取公因式分解因式，掌握“公因式的确定以及提取公因式的方法”是解本题的关键．23．（2022秋·上海浦东新·七年级校考期中）因式分解：()()()22x y x y x y +−−−【答案】()()3x y x y +−【分析】直接提取公因式()x y −进行分解因式即可． 【详解】解：()()()22x y x y x y +−−−()()()2x y x y x y =+−−−⎡⎤⎣⎦()()22x y x y x y =+−+−()()3x y x y =+−．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 24．（2023·上海·七年级假期作业）把下列各式分解因式：(1)()()33113510m m a b a b a b b a +−−−−；(2)()()()223222122418ab x y a b y x ab y x −+−+−．【答案】(1)13225()(2)m a b a b a b −−+ (2)26()(2433)ab x y b ab x y −+−+【分析】（1）原式利用提公因式法解答；（2）原式利用提公因式法解答．【详解】（1）原式()()33113510m m a b a b a b a b +−=−+−13225()(2)m a b a b a b −=−+；（2）原式()()()223222122418ab x y a b x y ab x y =−+−−−26()[243()]ab x y b ab x y =−+−−26()(2433)ab x y b ab x y =−+−+．【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．【答案】3()(32)16x y a b −− 【分析】根据提公因式法因式分解直接求解即可得到答案【详解】解：()()93168a x y b y x −+−()()93168a x y b x y =−−− 3()(32)16x y a b =−−．【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．26．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）因式分解：()()32232x a a a x −+−．【答案】()()222x a x a −+【分析】先提取公因式，然后化简即可．【详解】解：原式()()2223x a x a a =−−+ ()()2222x a x a =−+()()222x a x a =−+．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法是解决因式分解的关键．27．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）分解因式：()()()()2232253x y x y y x x y −+−−+．【答案】()()3243x y x y −+【分析】根据提公因式法分解因式求解即可【详解】解：()()()()2232253x y x y y x x y −+−−+()()()()2232253x y x y x y x y =−++−+ ()()223253x y x y x y =−+++⎡⎤⎣⎦()()2129x y x y =−+()()3243x y x y =−+ 【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法．28．（2023·上海·七年级假期作业）化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++．【答案】()20071x +【分析】原式利用提公因式法逐步分解因式得出答案．【详解】原式22005(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++222004(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++ 322003(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++ =()()200611x x =++()20071x =+． 【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，掌握解答的方法是关键．。
七年级下册数学课件(冀教版)提公因式法
式
法
相同字母的指数取次数最__低__的__.
定义：逆用乘法对加法的_分__配___律，可以把 __公__因__式_写在括号外边，作为积的一个_因__式__， 这种将多项式分解因式的方法，叫做提公因 式法.
方法归纳：用提公因式法分解因式应注意：(1)如果多项式的 第一项系数是负数,一般要先提出负因数，保证括号内首项为 正.(2)公因式的系数是负号时，提公因式后各项要变号.
例3：把分解因式：2a(b+c)-5(b+c). 解：2a(b+c)-5(b+c)
=(b+c)·2a+(b+c)·5 =(b+c)(2a-5).
当堂练习
1. 下列多项式：4a2b（a﹣b）﹣6ab2（b﹣a）中，各
项的公因式是（ D ）
A．4ab
Байду номын сангаас
B．2ab
C．ab（a﹣b）
D．2ab（a﹣b）
2. 多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（ D ） A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1
解析：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大 公约数，为4；
问题4：请说出多项式ab2-2a2b中各项的公共的因式. a, b, ab
一 确定公因式
这个多项式有什么特点？
pa+pb+pc
相同因式p
一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个多 项式各项的公因式，简称多项式的公因式.
典例精析 例 找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
3
x
系数：最 字母： 大公约数 相同的
例2：把下列多项式分解因式： (1)-3x2+6xy-3xz； (2)3a3b+9a2b2-6a2b.
专题8.25 因式分解及提取公因式(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)
专题8.25因式分解及提取公因式（知识讲解）【学习目标】1、了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2、能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.特别说明：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、多项式的因式分解➽➼因式分解的判定1．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？（1）2(3)(3)9a a a +-=-；（2）24(2)(2)m m m -=+-；（3）221()()1a b a b a b -+=+-+；（4）2mR 2mr 2m(R r)+=+．【答案】（1）从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）是因式分解．【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可．解：（1）2(3)(3)9a a a +-=-，从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）24(2)(2)m m m -=+-，是因式分解；（3）221()()1a b a b a b -+=+-+，不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）()222mR mr m R r +=+，是因式分解．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，属于基础概念题型，熟知因式分解的定义是关键．举一反三：【变式1】检验下列因式分解是否正确．(1)9b 2－4a 2＝(2a ＋3b )(2a －3b )；（2）x 2－3x －4＝(x ＋4)(x －1)．【答案】（1）不正确．（2）不正确．【分析】计算右侧的整式乘法,看左右两边是否相等,即可判断因式分解是否正确.解：(1)∵(2a ＋3b)(2a －3b)＝(2a)2－(3b)2＝4a 2－9b 2≠9b 2－4a 2，∴因式分解9b 2－4a 2＝(2a ＋3b)(2a －3b)不正确．(2)∵(x ＋4)(x －1)＝x 2＋3x －4≠x 2－3x －4，∴因式分解x 2－3x －4＝(x ＋4)(x －1)不正确．【点拨】本题考查了整式的乘法与因式分解的联系,属于简单题,正确计算整式的乘法是解题关键.【变式2】辨别下面因式分解的正误并指明错误的原因.（1）()324238124423a b ab ab ab a b b -+=-；（2）()4334242x x y x x y -=-；（3）()2321a a a a-=-【答案】(1)错误，原因是另一个因式漏项了；(2)错误，原因是公因式没有提完；(3)错误，原因是与整式乘法相混淆【分析】（1）根据提取公因式的方法，第三项提取公因式的结果为1即可判断；（2）根据公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的确定公因式为2x 3，即可判断；（3）根据因式分解的定义确定原式的变形是整式乘法运算，不是因式分解.解：（1）∵()324238124423+1a b ab ab ab a b b -+=-∴原式错误，原因是另一个因式漏项了；（2）∵()4334222x x y x x y -=-∴原式错误，原因是公因式没有提完；（3）∵因式分解是把一个多项式分解为几个因式乘积的形式∴()2321a a a a -=-是整式乘法运算，不是因式，∴原式错误，原因是与整式乘法相混淆【点拨】本题考查因式分解的定义及因式分解的方法，不要把整式乘法和因式分解两种运算相混淆和正确用提取公因式法因式分解是解答此题的关键.类型二、多项式的因式分解➽➼已知因式分解结果求参数2．在分解因式2x ax b ++时，小明看错了b ，分解结果为()()24x x ++；小张看错了a ，分解结果为()()19x x --，求a ，b 的值．【答案】6a =，9b =【分析】根据题意甲看错了b ，分解结果为()()24x x ++，可得a 系数是正确的，乙看错了a ，分解结果为()()19x x --，b 系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a 、b 的值．解：∵()()22468x x x x ++=++，小明看错了b ，∴6a =，∵()()219109x x x x --=-+，小张看错了a ，∴9b =，∴6a =，9b =．【点拨】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的．举一反三：【变式1】若3a -是25a a m ++的一个因式，求m 的值．【答案】=24m -【分析】设另一个因式为+a n ，则有()()253-++=+a a a m a n ，进行整理使得左右式子对应系数相等求出m 、n 值即可求解．解：设另一个因式为+a n ，则有()()253-++=+a a a m a n ，即()22533++=+--a a m a n a n ，∴35-=n ，3m n =-，∴=8n ，24=-m ．【点拨】本题考查因式分解、整式的混合运算，熟知因式分解是把多项式转化为几个整式积的形式是解答的关键．【变式2】已知3216x x x a --+有因式4x -，求a 的值，并将其因式分解．【答案】16a =，原式()()()441x x x =+--【分析】首先根据题意“3216x x x a --+有因式4x -”，可得出4x =，进而得出当4x =时，32160x x x a --+=，然后把4x =代入32160x x x a --+=，即可算出a 的值，然后把a 的值代入3216x x x a --+，即可得到321616x x x --+，然后再用提公因式法和平方差公式分解因式，即可得出结果．解：∵3216x x x a --+有因式4x -，∴40x -=，即4x =，∴4x =时，32160x x x a --+=，∴把4x =代入32160x x x a --+=，可得：6416640a --+=，解得：16a =，∴把16a =代入3216x x x a --+，可得：321616x x x --+，∴321616x x x --+()()21161x x x =---()()2161x x =--()()()441x x x =+--．【点拨】本题考查了提公因式法分解因式、平方差公式，解本题的关键在熟练掌握因式分解．类型三、多项式的因式分解➽➼公因式➽➼提取公因式3．已知：2312A x =-，233510B x y xy =+，(1)(3)1C x x =+++．问多项式A ，B ，C 是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．【答案】有公因式;公因式为(x+2)【分析】分别将多项式A=3x 2-12，B=5x 2y 3+10xy 3，C=（x+1）（x+3）+1，进行因式分解，再寻找他们的公因式．解：多项式A 、B 、C 有公因式，∵A=()()()2231234322x x x x -=-=+-，B=()233351052x y xy xy x +=+，C=()()()222131431442x x x x x x x +++=+++=++=+∴多项式A 、B 、C 的公因式是：()2x +【点拨】熟练掌握提公因式的方法，先通过化简是解题的关键.举一反三：【变式1】多项式224x y -与2244x xy y ++的公因式是（）A ．x y-B ．4x y +C ．2x y-D ．2x y +【答案】D【分析】先对多项式224x y -与2244x xy y ++进行因式分解，再根据公因式的定义解决此题．解：∵224(2)(2)x y x y x y -=+-，22244(2)x xy y x y ++=+，∴224x y -与2244x xy y ++的公因式为2x y +；故选：D ．【点拨】本题主要考查因式分解以及公因式的定义，熟练掌握运用公式法进行因式分解以及公因式的定义是解决本题的关键．【变式2】下列各组中，没有公因式的一组是（）A ．ax bx -与by ay-B ．ab ac -与ab bc -C ．268xy x y -与43x -+D ．()3a b -与()2b y a -【答案】B【分析】将每一组因式分解，找公因式即可解：A.()ax bx x a b -=-，()by ay y a b -=--，有公因式a b -，故不符合题意；B.()ab ac a b c -=-，()ab bc b a c -=-，没有公因式，符合题意；C.()268234xy x y xy x -=-，4334x x -+=-，有公因式34x -，故不符合题意；D.()3a b -与()2b y a -有公因式a b -，故不符合题意；故选：B【点拨】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键4．因式分解：(1)282abc bc -；(2)()()26x x y x y +-+；【答案】(1)()24bc a c -(2)()()23x y x +-【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．（1）解：原式()24bc a c =-（2）解：原式()()23x y x =+-【点拨】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式1】把下列多项式因式分解：(1)2x xy x -+；(2)22m n mn mn -+；(3)33322292112x y x y x y -+；(4)()()22x x y y x y -+-．【答案】(1)()1x x y -+(2)()1mn m n -+(3)()223374x y xy x -+(4)()()22x y x y -+【分析】（1）直接提取公因式x ，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式mn ，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式223x y ，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式()x y -，进而分解因式得出答案．（1）解：()21x xy x x x y -+=-+（2）解：()221m n mn mn mn m n -+=-+（3）解：()33322222921123374x y x y x y x y xy x +--=+（4）解：()()()()2222x x y y x y x y x y -+-=-+【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．【变式2】因式分解：3215+10a a ．【答案】25(32)a a +【分析】用提公因式法分解因式即可．解：()3222215+105352532a a a a a a a =⋅+⋅=+．【点拨】本题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是准确找出公因式25a．。
七年级数学上册 9.13《提取公因式法》课件
观察分析 归纳(guīnà)总结
添括号法则(fǎzé)：括号前面是“+” 号，括到括号里的各项都不变号；
括号前面是“-”号，括到括号 里的各项都变号。
第二十九页，共三十一页。
第三十页，共三十一页。
内容(nèiróng)总结
9.13 提取公因式法。（1）3a(a+2)=3a2+6a。（5）a2-2ab+b2=(a-b) 2。（7）2ab2 –ab=2ab （b-0.5）。（2）-x2+xy-xz。（3）2x3+6x2+2x。现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法 (jiě fǎ)如下：。解:2x3+6x2+2x。如:3a2c-6a3c=3a2(c-2ac)。添括号法则：括号前面是“+”号，括到 括号里的各项都不变号。观察分析 归纳总结
(1) 5x-5y+5z =（
）
(2) 7x2-21x= （
）
(3) 2m2n-6mn2= （
）
(4) 24x3-12x2+28x= （
）
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把下列(xiàliè)各式分解因式
(1)-am2-an (2)x4y2-4x2y-xy (3)8a3b2-12ab3c+abc (4) a2b-2ab2+ab
注意：如果多项式的第一项的系数是负的，
一般(yībān)要提出“-”号，使括号内的第
一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项 式的各项都要变号。
练习 : (liànxí) 1、把-4x2+8ax+2x 分解因式
2、把-3ab + 6abx - 9aby分解因式
七年级数学提公因式法
解:
3 2 3 8a3; 4ab2 • 3bc
= 4ab 2 (2a2 + 3bc)
注意：提公因式后,另一个因式：
①项数应与原多项式的项数一样；
②不再含有公因式。
将下列各式分解因式：
1、3x+6
2、2x3+6x2 3、3pq3+15p3q
=2x2 (x+3)
当多项式第一项 系数是负数，通 常先提出“-”号， 使括号内第一项 系数变为正数， 注意括号内各项 都要变号。
把下列各多项式因式分解
• • • • 1)-4a3b3+6a2b-2ab 2）-9a2b3-12ab4+15ab5 3)-4x3y+2x2y2+xy3 4 ) -x4y2-2x2y-xy
把下列多项式分解因式： （1）12x2y+18xy2； （2）-x2+xy-xz； （3）2x3+6x2+2x
2、定字母：字母取多项式各项中都 含有的相同的字母。
3、定指数：相同字母的指数取各项 中最小的一个，即最低次幂。
公因式要提尽
例: 找 3 x
2
– 6 xy 的公因式。
定系数
3
定字母
x
1 定指数
所以，公因式是3 x 。 思考：如何确定各项提公因式后剩余的因式？
用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式
例1
（1）把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b
=3a(a-3b)
3a 3a a 9ab 3a 3b
2
温馨提示 分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ， (即将多项式化为两个因式的 乘积)
提取公因式法
提取公因式法公因式法，又称“求根公式”，是一种用来解求方程根的数学技术，是比较重要的代数计算方法。
它能够解求出一元n次方程（其中n为正整数）的根。
一般来说，它对解决一元n次多项式方程有很好的效果。
1. 公因式法的基本概念a) 公式的原理：其原理是，当满足特定条件时，一元n次方程的根可以满足公式的求解条件，从而求得出它们的根。
b) 公式的性质：公式的性质决定了其求解范围。
举例来说，一元二次方程的根只能用平方根式表示出来，而一元三次方程却能用公式表示出来。
c) 公式的开发：公式最初是由古希腊数学家克劳德发现的，他发现一元三次方程的根能够用公式的形式求出。
其后，巴洛克数学家谢拉著名的公式，也将一元四次方程的根用公式表示出来，并且获得一元n次方程的求根公式。
2. 公因式的求解方法a) 寻找公因式的原理：要求解一元n次方程的根，首先要构建一个系数表（或贝叶斯表），可以从中求得多项式系数，再用特定的求根公式求出方程根。
b) 公式的推导：根据不同的公式性质，可以将元素系数表按照要求，推导出适用于求解指定一元n次方程的公式。
c) 求解过程与步骤：根据推导出的公式，用其中的参数将指定的一元n 次多项式方程式带入公式，根据公式的运算步骤，计算出各个根的值，进而求出方程的根。
3. 公因式法的应用a) 用于求解方程：求根公式作为一种计算方法，通常可以用来求解一元n次多项式方程的根。
其优点是比较精确、方便，缺点是计算量相对较大，但计算过程简单。
b) 用于计算几何角度：其次，公式也在几何学中有着广泛的应用。
例如，用来计算椭圆的长短轴，表面积，周长等。
c) 用于解求曲线方程：公式也用于解求曲线方程，例如圆的方程，椭圆的方程，双曲线的方程以及螺线的方程等等。
从上述可以看出，公因式法是一种比较重要的求根方法，它既能够用于求解方程，又能够用于解求几何角度，以及曲线方程等等，在数学计算上十分重要。
七年级同步第10讲提取公因式法公式法分解因式-教师版
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．2、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．3、提取公因式法：多项式ma mb mc ++各项都含有公因式m ，可把公因式m 提到外面， 将多项式ma mb mc ++写成m 与a b c ++的乘积形式，此法叫做提取公因式法．4、提取公因式的步骤： （1）找出多项式各项的公因式． （2）提出公因式．（3）写成m 与a b c ++的乘积形式． 6、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1；内容分析知识结构知识精讲模块一：提取公因式法（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ；【例1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由．（1）()()22x y x y x y +-=-；（2）()322x x x x x x +-=+；（3）()23232x x x x +-=+-；（4）()()111xy x y x y +++=++．【难度】★【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是．【解析】根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式． 【总结】本题主要考查因式分解的定义．【例2】 指出下列各式中的公因式： （1）43224832a a b a b -，，； （2）2318m m a a -，； （3）()()()23369a b a b a b ++-+，，． 【难度】★【答案】（1）24a ；（2）3m a ；（3）3()a b +． 【解析】每一个单项式中都含有的因式叫做公因式． 【总结】本题主要考查公因式的定义． 【例3】 分解因式： （1）2368a a -；（2）322618m m m -+-；（3）2124ad bd d --+． 【难度】★【答案】（1）22(34)a a -；（2）22(39)m m m --+；（3）2(62)d a b -+-． 【解析】（1）232682(34)a a a a -=-； （2）32226182(39)m m m m m m -+-=--+；（3）21242(62)ad bd d d a b --+=-+-．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意当第一项的系数是负数时，一般应例题解析提出这个负号，并注意其它项的符号的变化．【例4】 分解因式： （1）32228x y x y +；（2）22462a b ab ab --；（3）3121326m n m n m n x y x y x y -+--+． 【难度】★【答案】（1）22(4)x y x y +；（2）2(231)ab a b --；（3）122(326)m n m m x y x x y y --+-． 【解析】（1）3222282(4)x y x y x y x y +=+； （2）224622(231)a b ab ab ab a b --=--；（3）3121122326(326)m n m n m n m n m m x y x y x y x y x x y y -+---+=-+-．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．【例5】 分解因式：23229632x y x y xy ++．【难度】★★【答案】23(423)2xy x x y y ++．【解析】232229363(423)22x y x y xy xy x x y y ++=++．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．【例6】 把下列各式分解因式： （1）()()43x x y x y +-+；（2）()()2343x x y y x -+-；（3）()()()()32522322x y x y -----．【难度】★★【答案】（1）()(43)x y x +-；（2）2()(3)x y x y -+；（3）2(2)(2)(57)x y x ---． 【解析】（1）()()43()(43)x x y x y x y x +-+=+-；（2）原式23224()3()()[43()]()(3)x x y x y x y x x y x y x y =---=---=-+；（3）原式3225(2)(2)3(2)(2)(2)(2)(57)x y x y x y x =--+--=---．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意要进行合并．【例7】 把下列各式分解因式： （1）()()68a m n b m n -+- ；（2）()()23m x y n y x -+-；（3）()()22a b x y ab x y -+-；（4）()2a b a b --+ ．【难度】★★【答案】 （1）2()(34)m n a b -+ ；（2）2()()x y m nx ny --+； （3）()()ab x y a b -+；（4）()(1)a b a b ---．【解析】（1）()()682()(34)a m n b m n m n a b -+-=-+； （2）()()()()23232()()m x y n y x m x y n x y x y m nx ny -+-=---=--+； （3）()()22()()a b x y ab x y ab x y a b -+-=-+；（4）()22()()()(1)a b a b a b a b a b a b --+=---=---．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意（4）式要先对后两项提取负号，出现公因式之后，在进行分解因式．【例8】 把下列各式分解因式：（1）()()33113510m m a b a b a b b a +----；（2）()()()223222122418ab x y a b y x ab y x -+-+-． 【难度】★★【答案】（1）13225()(2)m a b a b a b --+；（2）26()(24)ab x y b ab abx aby -+-+． 【解析】（1）原式()()33113510m m a b a b a b a b +-=-+-13225()(2)m a b a b a b -=-+；（2）原式()()()223222122418ab x y a b x y ab x y =-+-+- 26()[24()]ab x y b ab ab x y =-+--26()(24)ab x y b ab abx aby =-+-+．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．【例9】 分解因式：()()93168a x yb y x -+-． 【难度】★★【答案】3(32)16a b -．【解析】原式()()93168a x yb x y =---3()(32)16x y a b =--． 【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．【例10】 分解因式：()()()222224168xy z x y z xyz z x y xy z x y +----+--． 【难度】★★【答案】228()(3222)xy x y z yz xz yz z y +---+-．【解析】原式()()()222224168xy z x y z xyz x y z xy x y z =+--+--+- 28()[32()]xy x y z yz z x y z y =+--+--228()(3222)xy x y z yz xz yz z y =+---+-．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意准确找出公因式．【例11】 先化简再求值：()()()2y x y x y x y x +++--，其中2x =-，12y =． 【难度】★★ 【答案】-1．【解析】原式2()()x y y x y x =++-- 2()x x y x =+-xy =．把122x y =-=，代入，可得原式1=-． 【总结】本题先提取公因式再计算，使得整个计算过程变得简单．【例12】 已知3210x x x +++=，求100999897x x x x +++的值． 【难度】★★ 【答案】0．【解析】原式1009998979732(1)x x x x x x x x =+++=+++，再把3210x x x +++=代入，得原式=0．【总结】本题一方面考查公因式的概念，另一方面考查整体代入思想的运用．【例13】 试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除． 【难度】★★ 【答案】见【解析】．【解析】设这个三位数为10010a b c ++，其中a c 、为1-9之间的整数，b 为0-9之间的整数， 交换百位数字与个位数字后可得新三位字为10010c b a ++， 所以1001010010999911(99)c b a a b c c a c a ++---=-=-，∵99c a -是整数，∴11(99)c a -能被11整除．【总结】本题一方面考查利用提取公因式分解因式，另一方面考查整除的概念．【例14】 已知：2b c a +-=-，求()()2222122233333a a b c b c a b c b c a ⎛⎫--+-+++- ⎪⎝⎭的值． 【难度】★★★【答案】83【解析】原式222()()()333a a b c b a b c c a b c =--------222()()()33a b c a b c a b c =----=--．因为2b c a +-=-，所以2a b c --=，所以原式28433=⋅=．【总结】本题一方面考查利用提取公因式分解因式，另一方面考查整体代入思想的运用．【例15】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++．【难度】★★★ 【答案】2006(1)x +．【解析】原式22005(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++ 222004(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++2006(1)x =+．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式．1、平方差公式：()()22a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；模块二：公式法知识精讲③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 2、完全平方公式： ()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．【例16】 把下列各式分解因式：（1）2119x -；（2）22114100m n -； （3）422591616x y -+． 【难度】★【答案】（1）111133x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1111210210m n m n ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()221535316x y x y --+． 【解析】直接利用平方差公式进行因式分解．【总结】本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，注意对公式的准确运用．【例17】 把下列各式分解因式： （1）214a a --- ；（2）22269x y xyz z -+．【难度】★【答案】（1）212a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）()23xy z +．【解析】（1）214a a ---2222111()[()]()422a a a a a =-++=-++=-+；（2）222269(3)x y xyz z xy z -+=-．【总结】本题主要考查利用完全平方公式分解因式．例题解析【例18】 分解因式：（1）()()2222a b a b +--；（2）()()227216a b a b --+；（3）()()2294a b c d a b c d +++--+-． 【难度】★★【答案】（1）8ab ；（2）(36)(112)a b a b -+；（3）(55)(55)a b c d a b c d ++++++． 【解析】（1）原式(22)(22)248a b a b a b a b b a ab =+-+++-=⋅=；（2）原式[724()][724()]a b a b a b a b =--+-++(36)(112)a b a b =-+3(2)(112)a b a b =-+；（3）原式[3()2()][3()2()]a b c d a b c d a b c d a b c d =+++--+-++++-+-(55)(55)a b c d a b c d =++++++．【总结】本题主要考查利用公式法因式分解，注意分解一定要彻底．【例19】 分解因式 （1）3312x x -；（2）2654a b b -；（3）()()3922x y x y ---．【难度】★★【答案】（1）3(2)(2)x x x -+；（2）6(3)(3)b a a -+；（3）(2)(361)(361)x y x y x y ----+． 【解析】（1）原式23(4)3(2)(2)x x x x x =-=-+；（2）原式26(9)6(3)(3)b a b a a =-=-+；（3）原式2(2)[9(2)1](2)(361)(361)x y x y x y x y x y =---=----+．【总结】本题主要考查利用公式法因式分解，注意先提取公因式再利用公式的解题技巧．【例20】 分解因式：4416168125m n -．【难度】★★【答案】2222111116()()9595m n m n -+．【解析】原式44222211111116()16()()81259595m n m n m n =-=-+． 【总结】本题主要考查利用公式法因式分解，注意先提取公因式再利用公式的解题技巧．【例21】 把下列各式分解因式：（1）229991001-；（2）22119910022⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）-4000；（2）-200．【解析】（1）229991001(9991001)(9991001)2000(2)4000-=+-=⨯-=-；（2）2211111199100(99100)(99100)1(200)200222222⎛⎫⎛⎫-=-+=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查利用平方差公式进行巧算．【例22】 把下列各式分解因式： （1）2(2)10(2)25x y y x -+-+；（2）3241616m m m -+-．【难度】★★【答案】（1）2(25)x y --；（2）24(2)m m --．【解析】（1）原式22(2)25(2)25(25)x y x y x y =--⋅-+=--；（2）原式224(44)4(2)m m m m m =--+=--．【总结】本题主要考查利用完全平方式进行因式分解．【例23】 分解因式：()()222248416x x x x ++++．【难度】★★ 【答案】4(2)x +．【解析】原式224(44)(2)x x x =++=+【总结】连续运用两次完全平方公式，本题主要考查学生是否彻底分解因式．【例24】 把下列各式分解因式：（1）()222224x y x y -+；（2）()()22114m n mn --+．【难度】★★【答案】（1）22()()x y x y --+；（2）(1)(1)mn m n mn m n ++-+-+． 【解析】（1）解法一：原式222222(2)(2)()()xy x y xy x y x y x y =--++=--+，解法二：原式2242242222242()()()x y x x y y x y x y x y =---=--=--+；（2）原式222221(2)m n mn m mn n =++--+ 22(1)()mn m n =+--(1)(1)mn m n mn m n =++-+-+．【总结】本题主要利用拆开再组合的原理进行了分解因式．【例25】 分解因式：1144n n n x x x +--+． 【难度】★★ 【答案】12(2)n x x --．【解析】原式1212(44)(2)n n x x x x x --=-+=-．【总结】本题主要考查含字母指数的因式分解，注意先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解．【例26】 已知()222410a b a b +--+=，求()20062a b +的值．【难度】★★ 【答案】1【解析】∵()222241(2)2(2)1a b a b a b a b +--+=+-++2(21)0a b =+-=，∴210a b +-=，即21a b +=． ∴20062006(2)11a b +==．【总结】本题主要考查利用公式法进行因式分解，以及利用整体代入思想求代数式的值．【例27】 证明：两个连续奇数的平方差能被8整除． 【难度】★★ 【答案】【解析】设较小的奇数的为21(0)k k +≥其中k 是正整数，则另一个奇数为23k +， 则22(23)(21)(2321)(2321)8(1)k k k k k k k +-+=+--+++=+． ∵8(1)k +能被8整除， ∴两个连续奇数的平方差能被8整除． 解法二：此题也可以直接完全平方公式展开．【总结】本题一方面考查利用公式法分解因式，另一方面考查整除的概念．【例28】 利用分解因式证明：712255-能被120整除． 【难度】★★★ 【答案】详见【解析】【解析】解法一：原式27121412121211(5)5555(251)2451205=-=-=-=⋅=⋅， 解法二：原式766655252525(251)242560025120525=-=-=⋅=⋅=⋅⋅，∴712255-能被120整除．【总结】本题主要考查利用因式分解来说明整除性．【例29】 已知乘法公式：（1）()()43223455a b a a b a b ab b a b +-+-+=+；（2）()()43223455a b a a b a b ab b a b -++++=-．利用或者不利用上述公式分解因式：86421x x x x ++++． 【难度】★★★【答案】432432(1)(1)x x x x x x x x ++++-+-+． 【解析】解法一：利用上述公式：原式22423222225255432432432432(1)[()()()1](1)()11(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++++=--=-+-=+-+-+-+-++++=+-=++++-+-+解法二：不利用上述公式：原式4226426242264242232432432(1)222(1)(2)(1)()(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++---++=++-++=++-+=++++-+-+【总结】主要本题主要考查学生对于新的乘法公式在因式分解中的应用．【习题1】 观察下列从左到右的变形：（1）()()3322623a b a b ab -=-；（2）()ma mb c m a b c -+=-+；（3）()22261266x xy y x y ++=+；（4）()()22323294a b a b a b +-=-．其中是因式分解的有__________（填括号）．随堂检测师生总结1、因式分解和整式乘法的关系是什么？2、因式分解的注意事项有哪些？【难度】★ 【答案】（3）【解析】根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式． 【总结】本题主要考查因式分解的定义．【习题2】 分解因式： （1）22242x y xy xy -++；（2）23364xy x y xy -+-；（3）423322222452790x y z x y z x y z -++． 【难度】★【答案】（1）2(21)xy x y ---；（2）2(364)xy x y --+；（3）22229(5310)x y z x z x ---． 【解析】每一个单项式中都含有的因式叫做公因式． 【总结】本题主要考查利用提公因式法分解因式．【习题3】 分解因式： （1）2292416x xy y -+；（2）2844a a --． 【难度】★【答案】（1）2(34)x y -；（2）24(1)a --． 【解析】（1）22292416(34)x xy y x y -+=-；（2）2228444(21)4(1)a a a a a --=--+=--．【总结】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解．【习题4】 分解因式： （1）()()x a b y a b +++；（2）()()222a x y b x y ---； （3）()()233x y y x --+-；（4）()()()2x a b y b a a b -+---．【难度】★★【答案】（1）()()a b x y ++； （2）(2)(2)x y a bx by --+；（3）2()(3)x y x y --+-；（4）()(2)a b x y ---．【解析】（1）原式()()a b x y =++；（2）原式(2)(2)x y a bx by =--+；（3）原式()()2323()(3)x y x y x y x y =----=--+-；（4）原式()()()2()(2)x a b y a b a b a b x y =-----=---．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式．【习题5】 不解方程组2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，求代数式()()237323y x y y x ---的值．【难度】★★ 【答案】6【解析】∵23227(3)2(3)(3)(762)(3)(2)y x y y x x y y y x x y x y ---=--+=-+，∴2(3)(2)166x y x y -+=⋅=．【总结】本题一方面考查利用提取公因式法分解因式，另一方面考查利用整体法求解．【习题6】 求代数式的值：()()()()()()22322132212123x x x x x x x -+--+++-，其中23x =-．【难度】★★ 【答案】-4．【解析】原式(32)(21)[(32)21]x x x x x =-+----3(32)(21)x x =--+．当23x =-时，原式2213(32)(21)12()4333=-⨯-⨯--⨯+=⨯-=-．【总结】本题一方面考查利用提取公因式法分解因式，另一方面考查利用整体法求解． 【习题7】 分解因式：()()()()()322x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----． 【难度】★★【答案】()2()x x y z xz ax z yz ya +---++．【解析】原式()()()()()322x x y z y z a x z x y z x y x y z x z a =+-+--+--+--- ()()()2[]x x y z x y z a z y x z a =+-+-----()2()x x y z xz ax z yz ya =+---++．【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式时符号的变化．【习题8】 分解因式 （1）()()222391x x +--；（2）()()2222223553a b a b --+-． 【难度】★★【答案】（1）5(6)x x -；（2）2216()()()a b a b a b +-+． 【解析】（1）原式(2333)(2333)5(6)x x x x x x =++-+-+=-；（2）原式22222222(3553)(3553)a b a b a b a b =---+-+- 2222(22)(88)a b a b =----2216()()()a b a b a b =+-+．【总结】本题主要考查利用平方差公式分解因式，注意分解一定要彻底．【习题9】 分解因式： （1）()222224a b a b -+；（2）()()()222244m n m n m n +--+-；（3）()()2121m m p q q p +--+-．【难度】★★★【答案】（1）22()()a b a b -+-；（2）2(3)n m -；（3）21()(1)(1)m p q p q p q ---+--． 【解析】（1）原式2222222222(2)()(2)(2)()()ab a b ab a b ab a b a b a b =-+=++--=-+-；（2）原式22()4()()4()m n m n m n m n =+--++-2(22)m n m n =+-+2(3)n m =-；（3）原式21221()[()1]()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --=---=--+--． 【总结】本题主要考查对提取公因式法和公式法分解因式的两种方法的综合运用．【习题10】 已知2244241a ab b a b ++--+=2m ，试用含a 、b 的代数式表示m ． 【难度】★★★ 【答案】21m a b =+-．【解析】∵222244241(2)2(2)1(21)a ab b a b a b a b a b ++--+=+-++=+- ∴21m a b =+-．【总结】本题主要考查利用公式法分解因式的思想，综合性比较强．【习题11】 若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类，应是什么三角形？ 【难度】★★★ 【答案】等腰三角形．【解析】∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-， ∴()()()()0a b b a c a a b -----=． ∴()()0a b b a c a ---+=． 即()()0a b b c --=．∴a b b c ==，，∴△ABC 是等腰三角形．【总结】本题利用因式分解的思想，判断出a 、b 、c 的关系，提取公因式时注意符号．【作业1】 下面从左到右的变形哪些是因式分解？（1）()23632x xy x x y -=-；（2）()()225525x y x y x y -+=-；（3）()()2222a b c a b a b c -+=+-+；（4）221xy x y x xy y x y ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭．【难度】★ 【答案】（1）课后作业【解析】根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式． 【总结】本题主要考查因式分解的定义．【作业2】 分解因式： （1）22624a x ax +；（2）223mn m n m n -+-； （3）29363m n mn n -+-；（4）322443151020x y x y x y -+-．【难度】★【答案】（1）原式=6(4)ax a x +；（2）原式=2(1)mn mn m --+； （3）原式=23(3121)n m m --+；（4）原式=22225(324)x y x y x y --+．【解析】根据提取公因式的方法进行因式分解． 【总结】本题主要考查利用提公因式法分解因式．【作业3】 分解因式：（1）()2211a b b b b -+-+-；（2）()()()3x a b y b a b a -+---； （3）()()23x a b y b a ---；（4）()()()262x y x y x y +--+．【难度】★★【答案】（1）原式=2(1)(1)a b b ---；（2）原式=()(3)a b x y --+；（3）原式=2()()a b x ay by -+-；（4）原式=4()(2)x y x y ++．【解析】（1）原式()2221(1)(1)(1)a b b b b b b a =-+--+=-+-；（2）原式()()()3()(3)x a b y a b a b a b x y =---+-=--+； （3）原式()()232()()x a b y a b a b x ay by =-+-=-+-；（4）原式()()2()[3]2()(24)4()(2)x y x y x y x y x y x y x y =++--=++=++【总结】本题主要考查利用提取公因式法进行因式分解，注意分解因式一定要彻底．【作业4】 利用因式分解计算： （1）23.98 3.98 3.97-⨯；（2）81031010⨯-．【难度】★★【答案】（1）0.0398；（2）-9700000000．【解析】（1）原式 3.98(3.98 3.97) 3.980.010.0398=⨯-=⨯=；（2）原式88910(3100)97109.710=⋅-=-⨯=-⨯．【总结】本题主要考查利用公式法进行简便计算．【作业5】 分解因式： （1）()()222169m n m n --+；（2）()()224252m n m n -++-．【难度】★★【答案】（1）3(1114)(54)m n m n -++；（2）3(78)(4)m n m n --． 【解析】（1）原式(21313)(21313)m n m n m n m n =----++ (1114)(1512)m n m n =--+3(1114)(54)m n m n =-++；（2）原式(51022)(51022)m n m n m n m n =-++--- (78)(312)m n m n =--3(78)(4)m n m n =--．【总结】本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，注意分解一定要彻底．【作业6】 分解因式：（1）211216m m -+；（2）()()()()222232333x x x x ++++++．【难度】★★ 【答案】（1）21(4)16m -；（2）22(6)x x ++． 【解析】（1）原式2211(168)(4)1616m m m =-+=-；（2）原式2222(33)(6)x x x x =+++=++．【总结】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，（2）中注意整体思想的运用．【作业7】 分解因式：（1）()()()22x x y y y x --+-； （2）2222x y z yz ---．【难度】★★★【答案】（1）2()()x y x y -+；（2）()()x y z x y z --++．【解析】（1）原式222()()()()()()()x x y y x y x y x y x y x y x y =---=--+=-+；（2）原式22()()()x y z x y z x y z =-+=--++．【总结】本题主要考查公式法以及提取公因式法的综合运用，分解时注意进行观察． 【作业8】 分解因式： （1）()222224x y x y +-；（2）4281181x x -+； （3）()()3528m n n m -+-． 【难度】★★★【答案】（1）22()()x y x y -+； （2）22(31)(31)x x -+；（3）32()(122)(122)m n m n m n --++-．【解析】（1）原式222222(2)(2)()()x y xy x y xy x y x y =+-++=-+；（2）原式22222(91)[(31)(31)](31)(31)x x x x x =-=+-=-+；（3）原式()()3528m n m n =---322()[14()]m n m n =--- 32()(122)(122)m n m n m n =--++-． 【总结】本题主要考查利用公式法进行因式分解，综合性较强，注意符号的变化．【作业9】 分解因式：（1）42222244a x a x y x y -+；（2）()()()()12341x x x x +++++．【难度】★★★【答案】（1）222(2)x a y -；（2）22(55)x x ++．【解析】（1）原式2222222(2)[(2)](2)a x xy x a y x a y =-=-=-；（2）原式22(54)(56)1x x x x =+++++222(5)10(5)25x x x x =++++22(55)x x =++． 【总结】本题主要考查对因式分解的理解，综合性较强，（2）中注意整体思想的运用．【作业10】 试说明：无论x 、y 为何值，2241293035x x y y -+++的值恒为正．【难度】★★★【答案】见【解析】【解析】∵222241293035(4129)(93025)1x x y y x x y y -+++=-++-++22(23)(35)1x y =-+-+．又22(23)0(35)0x y -≥-≥，， ∴22(23)(35)11x y -+-+≥，∴22-+++的值恒为正．x x y y41293035【总结】本题主要考查完全平方公式的运用，注意任何一个实数的平方都是非负数．。
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(a－ 2(a－b)2－a+b
(6) m2－mn + (n - m)2
1. 提公因式法是最基本的分解因式的方法 之一，其一般步骤是什么？ 之一，其一般步骤是什么？
(1) (3) (2)
解：
(1) (2) (3)
12xyz 9x2 y2 = 3xy(4z 3xy) 3a2 y 6ay + 3y = 3y(a2 2a +1) 35x3 yz +14x2 y2 z 21xy2 z2 = 7xyz(5x2 + 2xy 3yz)
例如： 例如： (1) 多项式 (2) (3) (4)
1.填空 （口答） 填空:（口答） 填空
(1)
2πR + 2πr = 2π (R+ r)
(2)
2πR + 2πr = 2π (R+ r)
1 1 2 1 2 2 2 g (t1 + t2 ) (3) gt1 + gt2 = 2 2 2
(5)
1 2 1 Байду номын сангаас 1 2 2 (4) gt1 + gt2 = g (t1 + t2 ) 2 2 2
(2) 7x2 21x 3x + 6 3 2 3 (3) 8a b 12ab c + ab (4) 24x3 12x2 + 28x (1) 解： 3x + 6 = 3x + 3 2（找公因式：把各项写成公因式与一个单项式 找公因式： (1) 的乘积的形式。） 的乘积的形式。） 提取公因式） = 3(x + 2) （提取公因式） (2) 找公因式） 7x2 21x = 7x x 7x 3（找公因式） 提取公因式） = 7x(x 3) （提取公因式） （提取公因式） 8a3b2 12ab3c + ab = ab 8a2b ab 12b2c + ab 1 提取公因式） = ab(8a2b 12b2c +1) （找公因式） 找公因式）
3 2
12ab4 + 4ab = 4ab(2a2b 3b3 +1)
(2) 分解因式： 4x4 2x3 y = x3 (4x 2y) 分解因式： 错因分析： 括号内还有公因式没提出来， 错因分析： 括号内还有公因式没提出来，导致分解不彻底 正确解答： 正确解答：4x4 2x3 y = 2x3 (2x y)
(1) (2) (3)
12xyz 9x2 y2 = 3xy ( 4z 3xy
2
3y ( a2 a + 2 ) 3a y 3ay + 6y =
35x3 yz +14x2 y2 z 21xy2 z2 = 7xyz ( 5x2 + 2xy 3yz )
将下列各式分解因式： 例1. 将下列各式分解因式：
作业:1.作业本 作业题 作业 作业本/作业题 作业本 2.课时训练 课时训练
(6)
3x3 + 6x2 = 3x2 (x + 2)
12xyz9x2 y2 35x3 yz +14x2 y2 z 21xy2 z2
7a2 21a = 7a ( a 3 )
3a2 y 6ay + 3y
都错在哪了？ 都错在哪了？ 哪儿有困难？ 哪儿有困难？
2.把下列各式分解因式：（板演） 把下列各式分解因式：（板演） 把下列各式分解因式：（板演
2. 提公因式法的关键是什么？ 提公因式法的关键是什么？ 3. 检验分解因式正误的方法有那些？ 检验分解因式正误的方法有那些？ 4.你还有什么新的认识与体会？ 你还有什么新的认识与体会？ 你还有什么新的认识与体会
1、分解因式计算（-2）101+（-2）100 、分解因式计算（ ） （ ） 2、利用简便方法计算： 、利用简便方法计算： 更多资源 更多资源 4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8 3、已知 、已知a+b=3,ab=2,求代数式 求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2的值。 的值。
3x2 6xy + x = x(3x 6y +1)
4m3 +16m2 26m = 2m(2m2 8m+13)
24x2 y 12xy2 + 28y3 = 4y(6x2 + 3xy 7y2 )
还 可 能 错 哪
2. 辨别正误并指明错因： 辨别正误并指明错因：
(1) 分解因式： 8a3b2 12ab4 + 4ab = 4ab(2a2b 3b3 ) 分解因式： 错因分析：由于“漏乘”所致 错因分析：由于“漏乘” 正确解答： 正确解答： 8a b
更多资源 更多资源
更多资源 更多资源
1.分析下列计算是整式乘法中的哪一种 分析下列计算是整式乘法中的哪一种 并求出结果: (口答 口答) 并求出结果 口答
(1) (2) (3) (4)
3(x + 2) = 3x + 6 7x(x 3) = 7x2 21x 4x(6x2 + 3x 7) = 24x3 +12x2 28x ab(8a2b 12b2c +1) = 8a3b2 +12ab3c ab
思维训练: 思维训练
已知关于x的多项式 已知关于 的多项式x2+mx - 6因式分解 的多项式 因式分解 的结果为(x+a)(x+b),切a,b,m为整数 为整数. 的结果为 切 为整数 可取的所有整数。 求m可取的所有整数。 可取的所有整数
思考: 思考
若a, b是正数, 且满足12345 = (111 + a )(111 b), 则a与b之间的大小关系是( ( A)a > b ( B)a = b (C )a < b ( D)不能确定 )
ab+ bc = b(a + c) 3x2 + x = x(3x +1) my2 + ny y = y(my + n 1)
观察分析： 观察分析：
ab+ bc = b(a + c) 3x2 + x = x(3x +1) my2 + ny y = y(my + n 1)
提公因式法： 提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式 如果一个多项式的各项含有公因式 , 那么就可以把这 公因式提出来 从而将多项式化成两个因式乘积的形式, 提出来, 个公因式提出来 从而将多项式化成两个因式乘积的形式 提公因式法。 这种分解因式的方法叫做提公因式法 这种分解因式的方法叫做提公因式法。
1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的相 公因式的定义：一个多项式各项都含有的 公因式的定义 各项都含有 公因式. 同因式, 叫做这个多项式各项的公因式 同因式 叫做这个多项式各项的公因式
ab+ bc 的公因式是 b 多项式 3x2 3y 的公因式是 3 多项式 7a2 21a 的公因式是 7a 多项式 3x3 + 6x2 的公因式是 3x2
是字母 是数字系数 是数字系数与字母的乘积 数字系数与字母的乘积 是数字系数与字母的乘积 数字系数与字母的乘积
2.观察上述举例，分析并猜想： 观察上述举例，分析并猜想： 观察上述举例
确定一个多项式的公因式时， 确定一个多项式的公因式时，要从 数字系数 和 字母 考虑： 考虑： (1) 如何确定公因式的系数？ 如何确定公因式的系数 公因式的系数？ 公因式的系数应取各项系数的最大公约数。 公因式的系数应取各项系数的最大公约数。 (2) 如何确定公因式中的字母？那字母的指数该怎么定呢？ 如何确定公因式中的字母 公因式中的字母？ 字母的指数该怎么定呢 该怎么定呢？ 公因式中的字母取各项相同的字母， 公因式中的字母取各项相同的字母，而且各相同字母的指数取其次数 最低的。 最低的。 分别进行
1.写出下列多项式各项的公因式： 写出下列多项式各项的公因式： 写出下列多项式各项的公因式
(1) (2) (3) (4)
8x 72
a2 x2 y axy2
公因式
8
公因式 公因式
axy
2x
公因式
4x2 2x 2x3
6a2b 4a3b3 2ab
2ab
)
2.把下列各式分解因式： 把下列各式分解因式： 把下列各式分解因式
各项都含有相同的因式吗? 相同因式 2. (1) 多项式 ab+ bc各项都含有相同的因式吗 (相同因式 b) 多项式 3x2 + x呢? (相同因式 x) 相同因式 my2 + ny y呢? (相同因式 y) 多项式 相同因式 (2) 动手试一试 中的多项式分解因式， 动手试一试: 将 (1) 中的多项式分解因式，写成几个整式 的乘积。 的乘积。
添括号(填空 ： 添括号 填空)： 填空
(1) (2) 2-a=
-
(a-2)
-y-x=-(____) y+x
(3) -b+a= (4)
+
(a-b)
-2x2-2x+1= - ( 2x2+2x-1 )
(5)
2(a+b)2-a-b= 2(a+b)2 -(a+b)
例2、把下列各式分解因式： 、把下列各式分解因式：
(3)
(4)
24x3 12x2 + 28x = (24x3 +12x2 28x) （先提出“—”号） 先提出“ 号 = (4x 6x2 + 4x 3x 4x 7) = 4x(6x2 + 3x 7)
1. 将下列各式分解因式： 将下列各式分解因式：