2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (30)-720(解析版)

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2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (19)-720(解析版)

2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (19)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 若集合A ={x |−5<x <2},B ={x |−3<x <3}，则A ∩B =( )A. {x |−3<x <2}B. {x |−5<x <2}C. {x |−3<x <3}D. {x |−5<x <3}2. 在空间直角坐标系中，点P(0,−2,3)关于y 轴对称的点的坐标是( )A. (0,2，3)B. (0,2，−3)C. (0,−2,3)D. (0,−2,−3)3. 已知直线l 上两点A(−4,1)与B(x,−3)，且直线l 的倾斜角为135°，则x 的值是( )A. −8B. −4C. 0D. 84. 若函数f (x )=(x +1)(x −a )为偶函数，则a =( )A. −2B. −1C. 1D. 25. 下列说法中错误的是( )①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线．A. ①②B. ②③④C. ①②④D. ①②③6. 已知奇函数f(x)={3x −a, x ≥0g (x ), x <0，则f(−3)的值为( ) A. 27 B. −26 C. −27 D. 267. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )A. π6B. π4C. π3D. π28. 直线y =x +4与圆(x −a)2+(y −3)2=8相切，则a 的值为( )A. 3B. 2√2C. 3或−5D. −3或59. 设a =ln 12，b =log 1312，则( ) A. a +b <ab <0 B. ab <a +b <0 C. a +b <0<ab D. ab <0<a +b10. 已知圆C 的圆心为y =14x 2的焦点，且与直线4x +3y +2=0相切，则圆C 的方程为( ) A. (x −1)2+y 2=3625B. x 2+(y −1)2=3625 C. (x −1)2+y 2=1 D. x 2+(y −1)2=111. 点A(1,3)关于直线3x +y +4=0的对称点坐标为( )A. (−1,−3)B. (−5,3)C. (−5,1)D. (−1,1)12. 已知函数f(x)={2−x ,x ≤0−lnx,x >0若关于x 的方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同实数根，则m 的取值范围是( )A. m <14B. m ≤−2C. −2≤m <14D. m >2 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 若a >0，a 23=49，则log 23a = ______ ． 14. 已知f(x +7)是定义在R 上的奇函数，当x <7时，f(x)=−x 2，则当x >7时，f(x)=__________．15. 若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是______ ．16. 若函数f(x)=2x −1，则f(3)=______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知集合A ={x|x 2−x <0}，B ={x|x 2−2x −m <0}．(Ⅰ)求∁R A ；(Ⅱ)若A ∩B =⌀，求实数m 的取值范围．18. 已知圆C ：x 2+y 2=4，直线l ：ax +y +2a =0，当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|=2√2时，求直线l 的方程．19. 在四棱锥P −ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB//CD ，AB =12DC ，E 为PD 中点．(1)求证：AE//平面PBC；(2)求证：AE⊥平面PDC．20.某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1，P2如图所示．问怎样分配投资额，才能使投资获得最大利润？21.已知Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=1，BC=2，D为BC的中点，将△ADB沿AD折起，使点B在面ADC所在平面的射影E在AC上．(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDE(Ⅱ)求折起后三棱锥B―ACD的体积；22.已知函数f(x)=−3x+a3x+1+b(1)当a=b=1时，求满足f(x)≥3x的x的取值范围；(2)若y=f(x)是定义域为R的奇函数，求y=f(x)的解析式；(3)若y=f(x)的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．直接根据集合交集的定义求解即可．【解答】解：根据题意得，A∩B={x|−3<x<2}，故选A．2.答案：D解析：【分析】本题考查了空间直角坐标系中，某一点关于y轴对称点的坐标问题，是基础题目．【解答】解：在空间直角坐标系中，点P(0,−2,3)关于y轴对称的点的坐标是(0,−2,−3)．故选D.3.答案：C解析：【分析】本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系的应用，考查计算能力．由直线的倾斜角可得直线的斜率为−1，再由直线的斜率公式求出x的值即可．【解答】解：由题意得，，解得x=0．故选C．4.答案：C解析：f(x)=x2+(1−a)x−a,f(x)为偶函数，∴1−a=0,a=1，故选C．5.答案：D解析：解：在①中，如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面相交、平行或该直线在该平面内，故①错误；在②中，如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线与平面相交、平行或在这个平面内，故②错误；在③中，如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线与平面相交、平行或在这个平面内，故③错误；④如果一条直线和一个平面垂直，那么由线面垂直的性质定理得该直线垂直于平面内的任何直线，故④正确．故选：D．在①中，该直线与这个平面相交、平行或该直线在该平面内；在②中，该直线与平面相交、平行或在这个平面内；在③中，该直线与平面相交、平行或在这个平面内；④由线面垂直的性质定理得该直线垂直于平面内的任何直线．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性，与分段函数．【解答】解：因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)=1−a=0，解得a=1，所以f(−3)=−f(3)=−(33−1)=−26，故选B．7.答案：D解析：【分析】本题目主要考查异面直线所成角，属于一般题．解析：解：如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK//DN.所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角或其补角．连接A1C1，AM.正方体棱长为1，则A1K=√(√2)2+√622=√7，MK=12DN=12√12+122=√52，A1M=√12+12+122=32，∴A1M2+MK2=A1K2，∴∠A1MK=90°．故选择D．8.答案：C解析：解：∵直线y=x+4与圆(x−a)2+(y−3)2=8相切，∴圆心(a,3)到直线x−y+4=0的距离等于半径√8=2√2，即d=√2=√2=2√2，即|a +1|=2√2×√2=4，解得a =3或a =−5，故选：C ．根据直线和圆相切的等价条件转化为圆心到直线的距离等于半径即可得到结论．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据相切的等价条件是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：∵a =ln 12<ln 1e =−1，0<b =log 1312<log 1313=1， ∴ab <a +b <0．故选：B ．利用对数函数的性质、运算法则直接求解．本题考查命题真假的判断，考查对数函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.答案：D解析：解：y =14x 2的焦点为(0,1)，所以圆C 为x 2+(y −1)2=r 2, r =√32+42=1，所以x 2+(y −1)2=1，故选：D ．求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆C 的方程．本题考查圆C 的方程，考查抛物线的性质，确定圆心坐标与半径是关键．11.答案：C解析：【分析】本题考查求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直、中点在对称轴上两个条件，待定系数法求对称点的坐标．设出点A(1,3)关于直线l 的对称点的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分，可以建立方程组，由此即可求得结论．解析：解：设点A(1,3)关于直线l 的对称点的坐标为(x,y)，则:{y−3x−1=133×x+12+y+32+4=0，解得{x =−5y =1， ∴点A(1,3)关于直线l 的对称点的坐标为(−5,1)．故选C .12.答案：B解析：【分析】本题考查的是方程的根的存在性以及根的个数判断，考查转化的思想、数形结合的思想方法，属中档题．结合方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同的实数根，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，结合函数f(x)的图象即可获得解答．【解答】解：函数f(x)={2−x ,x ≤0−lnx,x >0的图象如图，若关于x 的方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同实数根，令f(x)=t ，则方程t 2+t +m =0的两根一个大于等于1而另一个小于1．再令g(t)=t 2+t +m ，则g(1)≤0，即2+m ≤0，得m ≤−2．故选：B ．13.答案：3解析：解：由a 23=49得a =(49)32=(23)3，所以log 23a =log 23(23)3=3 故答案为：3先解出a 的值，然后代入即可．本题主要考查求对数值的问题，属基础题．14.答案：−(x −14)2解析：【分析】本题考查了与奇函数有关函数性质的问题，考查对奇偶性质的理解．【解答】∵f(x +7)是定义在R 上的奇函数，∴f(x +7)=−f(−x +7)，∴f(x)=−f(−x +14)， ∴当x >7时，−x +14<7，故f(x)=−f(−x +14)=−(−x +14)2=−(x −14)2，故答案为−(x −14)2．15.答案：1：2解析：解：设该圆锥体的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意得；2πr =πl ，∴l =2r ；所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是πr 2：12πl 2=r 2：12(2r)2=1：2．故答案为1：2．根据圆锥体的侧面展开图是半圆，球场底面半径r 与母线长l 的关系，再求它的底面面积与侧面积的比．本题考查了圆锥体的侧面积与底面积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．16.答案：5解析：解：∵函数f(x)=2x−1，∴f(3)=2×3−1=5．故答案为：5．利用函数性质求解．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．17.答案：解：(Ⅰ)由x2−x<0得，0<x<1，故A=(0,1)，所以∁R A=(−∞,0]∪[1,+∞)．(Ⅱ)若B=⌀，则(−2)2+4m≤0，故m≤−1；若B≠⌀，则不满足A∩B=⌀．综上所述，实数m的取值范围是(−∞,−1]．解析：本题考查补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查补集、交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(Ⅰ)由x2−x<0得，0<x<1，求出A=(0,1)，由此能求出∁R A.(Ⅱ)若B=⌀，则(−2)2+4m≤0，故m≤−1；若B≠⌀，则不满足A∩B=⌀.由此能求出实数m的取值范围．18.答案：解：圆C：x2+y2=4，圆心为(0,0)，半径为2，∵|AB|=2√2，∴圆心到直线的距离为√4−2=√2，=√2∴√a2+1解得a=1或a=−1．故所求直线方程为x+y+2=0或x−y+2=0．解析：求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．DC，19.答案：证明：(1)取PC的中点M，连接EM，则EM//CD，EM=12所以有EM//AB且EM=AB，则四边形ABME是平行四边形．所以AE//BM，因为AE不在平面PBC内，所以AE//平面PBC．(2)因为AB⊥平面PBC，AB//CD，所以CD⊥平面PBC，CD⊥BM．由(1)得BM⊥PC，所以BM⊥平面PDC，又AE//BM，所以AE⊥平面PDC．解析：本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理的应用，考查空间想象能力．(1)取PC的中点M，连接EM，BM，证明EM//AB，EM=AB，推出AE//BM.然后证明AE//平面PBC.(2)证明CD ⊥平面PBC ，推出CD ⊥BM.，结合BM ⊥PC 可证BM ⊥平面PDC ，又AE//BM ，所以AE ⊥平面PDC..20.答案：解：由图可得y 1=54√x ，(x ≥0)，y 2=14x ，(x ≥0)，设用x 万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10−x)万元，总利润为y 万元．y =54√x +14(10−x)=−14x +54√x +104=−14(√x −52)2+6516，(0≤x ≤10) 当且仅当√x =52即x =254=6.25时，y max =6516答：用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．(也可把投资乙商品设成x 万元，把投资甲商品设成(10−x)万元)解析：根据函数的模型求出两个函数解析式．将企业获利表示成对产品乙投资x 的函数，再利用配方法，求出对称轴，即可求出函数的最值．本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查二次函数的最值，属于中档题． 21.答案：(Ⅰ)证明：在对折图中作BO ⊥AD 于O ，连结OE ，由条件及三垂线定理知OE ⊥AD ，对照原图知点B 、O 、E 共线，∵BA =BD ，∴BE 是AD 中垂线，∴∠BDE =∠BAE =90°，∴CD ⊥DE ，又∵BE ⊥平面ACD ，∴CD ⊥BE ，又DE ∩BE =E∴CD ⊥平面BDE ；( Ⅱ)解：∵AB ⊥面BCD ，CD ⊂面BCD ，∴AB ⊥CD ，又∵AD ⊥CD ，AB ∩AD =A ，AB ，AD ⊂面ABD ，∴CD ⊥面ABD ，而BD ⊂面ABD ，∴CD ⊥BD ，∵CD =√6,∴AC =√2CD =2√3，∴BC =ACsin60°=2√3×√32=3，∴BD =√BC 2−CD 2=√3，在直角△ABC 中，DH =BD·CD BC =√2，∴DH ⊥面ABC,AE =12AC =√3,AB =ACcos60°=√3，第11页，共11页三棱锥B −ACD 的体积为√64．解析：本题以平面翻折问题为例，证明了线面垂直并求几何体的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、点到平面距离的求法和锥体体积公式等知识，属于中档题．(Ⅰ)根据线面垂直的判定定理，得到CD ⊥平面BDE ；(Ⅱ)利用锥体体积公式求出三棱锥B −ACD 的体积．22.答案：解：(1)由题意知，−3x +13x+1+1≥3x ；化简得，3(3x )2+2·3x −1≤0，解得，−1≤3x ≤13 ．故x ≤−1．(2)由题意，f(0)=−1+a 3+b =0，故a =1．再由f(1)+f(−1)=0得，b =3；经验证f(x)=1−3x 3(3x +1)是奇函数．(3)证明：∵y =f(x)的定义域为R ，∴b ≥0．任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(3a +b)3x 2−3x 1(3x 1+1+b)(3x 2+1+b)，∵x 1<x 2，∴3x 2−3x 1(3x 1+1+b)(3x 2+1+b)>0．故当3a +b >0时，f(x)在R 上单调递减，当3a +b <0时，f(x)在R 上单调递增，当3a +b =0时，f(x)在R 上不具有单调性．解析：本题考查了函数的性质应用及证明，属于基础题．(1)由题意知，−3x +13x+1+1≥3x ；从而解不等式；(2)由题意知f(0)=−1+a 3+b =0，再由f(1)+f(−1)=0解出a.b ；从而验证即可；(3)由单调性的定义去证明．。

2019-2020年高一下学期期末数学试卷含解析

2019-2020 含解析年高一下学期期末数学试卷12560.每小题四个选项中，只有一项正个小题，每小题分分，共一、选择题：本大题共.确1ABCa=4b=3C=60ABCS= °），，的面积．已知在△，则△中，（DC3B6 A．．．．a=2b= ABCA=30B=452°°），，则．已知在△，中，（DB C2A4 ．．．．c=Ca=4b=3 3ABC），，的度数为（．已知在△中，，则角A30 B45 C60D120 °°°°．．．．x12=2x 4=），若）的值为（，∥（，则实数，．已知向量（），A1 B2 C3 D4 ．．．．=3=2=5）的夹角为（||，，则向量||．已知 ||与，A30B60 C45 D90 °°°°．．．．*a= =nN6aa=1a）（∈．在数列{ }，（），，则5nn+11CAD B ．．．．7aa=6a=10S= ），（，则．已知等差数列{ }，7n35A60 B56 C40 D36．．．．n m S=328an）×．已知等比数列{，则其公比是（}，前+项和nn A1 B2 C3 D4．．．．9 ）．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（A32 B48 C33 D24 ππππ．．．．10 βα）∥．下列条件能判定平面的是（mmmm γγβ②αβ③④ααβγβ①αγ⊥⊥∥∥⊥且∥且且⊥且∥A B C D ③④②④①③①②．．．．11 ）．将一个正方体金属块铸造成一球体，不计损耗，则其先后表面积之比值为（ C D1AB ．．．．12rRh，若其侧面积等于两底面面积之和，则下、，高为．一个圆台上、下底面半径分别为）列关系正确的是（． D = B= == AC+．．．++．+ ..4520把答案填在答题卡的指定位置个小题，每小题分二、填空题：本大题共分，共26x5=0aa_______13aaax ．．在等差数列{+}中，若+和是方程的两根，则的值是﹣658n3=_______22=12 14=．），，则）+，|（|．已知向量，（15ABCDABCDBDAC_______ ．．在正方体中，异面直线﹣所成角的度数为与11111PC=AB=4PA=PB=BC=AC=5PABC16，则其的外接球的表面积为﹣，中，若．在三棱锥_______ ．670分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算三、解答题：本大题共个小题，共.步骤17ABCABCabc 成等比数列．．已知△，的三角成等差数列，三边，，，1B 的度数．（）求角S=b 2ABC的长．，求边（的面积）若△=22=3x18 ）（，（﹣），，．已知向量x 1的值；）若向量（，求实数⊥2x 23的值．﹣与）若向量（+共线，求实数19a10aaa 成等比数列．，公差不为，是首项为的等差数列，且．已知数列{，}4n21a 的通项公式；（Ⅰ）求数列{}n=SbnbS1 ．（Ⅱ）若}的前＜，项和，求证：是数列{nnnn*a=2bnN=a1 =3a20aa2+∈，+，．已知数列{，}满足nnnn1n+11b 为等比数列．}）证明数列{（n2aanS ．）求数列{与其前}的通项公式项和（nnn21PABCDPAABCDEPD 的中点；⊥底面的底面是菱形，．如图，四棱锥是﹣，PBACE ；∥平面（Ⅰ）求证：BDPC ．（Ⅱ）求证：⊥22ABCABC2DCC 的中点．是所有的棱长均为﹣，．已知正三棱柱11111ABDABC 的体积．）求多面体﹣（1112CCABD 所成角的大小．（与平面）求直线13ABDB 的余弦值．（）﹣（理科）求二面角﹣1．2015-2016学年吉林省长春外国语学校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析12560.每小题四个选项中，只有一项正一、选择题：本大题共分，共个小题，每小题分.确1ABCa=4b=3C=60ABCS= °）中，的面积，，（，则△．已知在△D3 B6 AC．．．．正弦定理．【考点】利用三角形面积计算公式即可得出．【分析】=3absinC=S= ．【解答】解：C ．故选：a=2b= ABCA=30B=452°°），（，．已知在△中，，则C2 DA4 B ．．．．正弦定理．【考点】由已知利用正弦定理即可直接计算求值得解．【分析】a=2 ABCA=30B=45°°，中，∵，【解答】解：在△，==4b= ．∴利用正弦定理可得：A ．故选：c=Cb=3 3ABCa=4）．已知在△，则角中，，的度数为（，B 45 C60 D120A30°°°°．．．．余弦定理．【考点】利用余弦定理即可得出．【分析】°°C0cosC=180=，∈（，【解答】解：∵，）C=60 °．∴C ．故选：x x=142=2）的值为（，），则实数，若．已知向量（，）∥，（43 2 CDBA1 ．．．．平面向量共线（平行）的坐标表示．【考点】直接利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．【分析】2x=2=1，∥【解答】解：向量（，），（，），x=4 ．可得．D ．故选：=5=3=2），，则向量||．已知 ||与，的夹角为（||B60C45 D90A30 °°°°．．．．数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【考点】【分析】要求向量的夹角，写出向量夹角的公式，需要先求出两个向量的数量积，根据所给的两个向量差的模长两边平方，得到数量积，代入向量夹角的公式，得到结果．= ，||【解答】解：∵=7 ，∴=3，∴=cos==θ，∴°°0180θ，]∈[，∵°=60θ∴B．故选* 6Nnaaa=1a==）}，（∈，（），则{．在数列5n+1n1DC A B ．．．．数列递推式．【考点】1以为公差的等差数列，为首项，【分析】由数列递推式得到数列求出其{}是以a的值．通项公式后可得5a=，解：由，得【解答】n+1 a=1，又∵11为公差的等差数列，为首项，以}是以∴数列{，则．∴．∴A ．故选：7aa=6a=10S= ）}，，，则（{．已知等差数列735n A60 B56 C40 D36．．．．n 项和．【考点】等差数列的前利用等差数列的性质与求和公式即可得出．【分析】aaa=aa=610=16 ．+【解答】解：∵等差数列{+}，+7n135==78=56 S．则×7B ．故选：n m2 =38anS） }，前+项和×，则其公比是（．已知等比数列{nn A1 B2 C3 D4 ．．．．n 项和．等比数列的前【考点】利用递推关系、等比数列的通项公式及其定义即可得出．【分析】n m2 nS=3a，项和×}，前+解：等比数列【解答】{nnnn1n1﹣﹣=3232=3n2a=SS2mm，×）×﹣（∴+≥+时，×﹣1nnn﹣==2 ，∴B ．故选：9 ）．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（A32 B48 C33 D24 ππππ．．．．由三视图求面积、体积．【考点】6．下部为【分析】由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为5 的圆锥，分别求面积，再相加即可．母线长为6．下【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为5 的圆锥．部为母线长为2=183 2ππ×半球表面积为35=15 ππ××圆锥的侧面积为15=33 πππ+所以所求的表面积为C 故选10 βα）．下列条件能判定平面的是（∥mm mm γ③αβαββγβγ①αγ④α②⊥⊥且∥∥且∥且∥⊥且⊥A B C D ③④①③②④①②．．．．空间中直线与平面之间的位置关系．【考点】．根据空间线面位置关系的性质与判断定理进行判断或举反例说明．【分析】lllβαββγ①α①αγαγ可得出∥，于是，则⊥【解答】解：对于⊥，设，故⊥，，∵∥∥，β；∥βαβ②②““α；，由，故垂直于同一条直线的两个平面平行对于∥可得可得出∥=nmnmmmmβα∩β③αββαα③不能判对于，则，设，显然，∥∥相交，故，，?，，∥?βα；断∥βγα④αβ．，当两两垂直时，显然不能得出对于，∥，C ．故选11 ）．将一个正方体金属块铸造成一球体，不计损耗，则其先后表面积之比值为（CBA1D．．．．球内接多面体．【考点】利用正方体、球的体积、表面积公式，即可得出结论．【分析】Ra，，球的半径为【解答】解：设正方体的棱长为，则=，∴22=4 6aR π：．∴先后表面积之比值为D ．故选：12rRh，若其侧面积等于两底面面积之和，则下、．一个圆台上、下底面半径分别为，高为）列关系正确的是（CD =A ==B = ++．．．+．+．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【考点】【分析】根据圆的面积公式分别求出圆台的上、下底面面积，再由侧面面积等于两底面面积之和，利用圆的侧面积公式加以计算，可得出圆台的母线长，即可得出结论．2r=lSπ，圆台的下底，根据题意可得圆台的上底面面积为【解答】解：设圆台的母线长为上2 RS=π，面面积为下∵圆台的侧面面积等于两底面面积之和，22l= r=rS=RRlππ，解之得∴侧面积+（））+（侧l=∵=，∴222 rR=h）﹣）∴（+（=．+∴A ．故选：..4520把答案填在答题卡的指定位置个小题，每小题二、填空题：本大题共分分，共26x5=0aaaaax6 13．}中，若和的两根，则是方程+的值是﹣+．在等差数列{6n583等差数列的通项公式．【考点】利用等差数列通项公式及韦达定理求解．【分析】26x5=0x aaa的两根，+【解答】解：∵在等差数列{}中，是方程和﹣8n3aa=aa=6 ．++∴85636 ．故答案为：=5 =2142=12．，|（|．已知向量，（+，）），则平面向量的坐标运算．【考点】直接利用向量的坐标运算，求解向量的模即可．【分析】=324=12 =2，解：向量）（（，，则）），（+，，【解答】==5 ．||则+5 ．故答案为：15ABCDABCDBDAC90 °．．在正方体中，异面直线﹣与所成角的度数为11111异面直线及其所成的角．【考点】BDACOACDDBDB?⊥面【分析】连接，根据线面垂直的判定定理可知交与点，而11DDBACDBBDAC 所成角的度数．面，从而可求出异面直线，则与⊥111解：如图【解答】BDACODDABCDACABCD 面与点⊥面交，∵?连接，1DDACACBDDDBD=D ∩，⊥⊥∴，而11ACDDB ⊥面∴1DBDDB面又∵?11ACDBBDAC90 °．⊥与，即异面直线∴所成角为1190 °．故答案为：PC=AB=4PA=PB=BC=AC=5PABC16，则其的外接球的表面﹣中，若，．在三棱锥41 π．积为球的体积和表面积．【考点】455，则长方体的对角线长等【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为，，PABCPABC 外接球的表面积．﹣外接球的直径，即可求出三棱锥﹣于三棱锥．PC=AB=4PA=PB=BC=AC=5 PABC，【解答】解：∵三棱锥中，﹣，554，，，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为ABCP外接球的直径．﹣则长方体的对角线长等于三棱锥222222zz=25xxyzxy=32=25y，，则++设长方体的棱长分别为，，，，+222=41xzy+∴+ABC P外接球的直径为∴三棱锥﹣4=41PABCπ．﹣∴三棱锥外接球的表面积为41 π．故答案为：670分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算三、解答题：本大题共个小题，共.步骤17ABCABCabc 成等比数列．成等差数列，三边．已知△，的三角，，，1B 的度数．）求角（S=bABC 2的长．的面积）若△，求边（正弦定理；余弦定理．【考点】1ABCABC2B=ACABC=180°，即可得，，又，的三角+成等差数列，【分析】（+）由△+出．2=accb2ab，利用余弦定理可得：（成等比数列．可得）由三边，，=cos60a=c°．再利用等边三角形的面积计算公式即可得，可得出．1ABCABC2B=ACABC=180°，成等差数列，∴+，【解答】解：（+）∵△+的三角，又，B=60 °．∴2=acb abc 2，，成等比数列．∴）∵三边，（=cos60=°，，∴由余弦定理可得：a=c．化为ABC是等边三角形．∴△2=ABCbS=b=2．×∴△的面积，解得=2218 =3x），．已知向量）（，，（﹣x1 的值；⊥）若向量，求实数（2x 32的值．）若向量共线，求实数（﹣与+【考点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．=0x 1?即可得出．⊥，可得）【分析】（，解得2 ）利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．（=612x=0x=3 ?．）∵﹣⊥，解得【解答】解：（，∴+2=73x22=52x3 ．）+﹣（﹣（，（﹣，），）+272x53x32=0 ，+与∵﹣）+共线，∴（﹣）+（x=3 ．﹣解得．19a10aaa 成等比数列．}是首项为，，公差不为，的等差数列，且．已知数列{4n12a 的通项公式；}（Ⅰ）求数列{n=SbnS1b ．项和，求证：是数列{（Ⅱ）若}的前＜，nnnn数列的求和；数列递推式．【考点】=aaaaaIad0，，【分析】（成等比数列．可得）设等差数列{，由}的公差为，≠4n24112 =113dd1d即可得出．）×（即（，解得++）===IIb”“与数列（，利用）裂项求和n的单调性即可得出．Iad0aaa 成等比数列．，∵【解答】（≠）解：设等差数列{，}的公差为，4n122=113dd=1a1d =a．，∴（×（+））+，解得∴41a=1n11=n ．+（∴﹣）×n=b== II，（）证明：n nb项和∴数列{的前}n=1S=…﹣++n1 ．＜*a=2bN=a1 20aa=3a2n+，．已知数列{}满足，，+∈nn1nn+1n1b 为等比数列．）证明数列{（}n2aanS ．{与其前}的通项公式（项和）求数列nnn数列的求和；等比数列的通项公式．【考点】1 ）利用构造法将函数进行转化，结合等比数列的定义进行证明．【分析】（2b=a1aan项和公式的通项公式的关系即可求出数列（{）根据，利用等比数列的前+}nnnn以及分组法进行求解即可．1a=3a2 ，+）∵【解答】证明：（nn+11a=3a21=3a1 ，（++）++∴nnn+1a=2b=a1 +∵，n1n b=3b ，∴nn+1=3bq=3 的等比数列．即}，则数列{是公比n2bq=3b=a1=21=3 ，）∵数列{+}是公比的等比数列，首项+（1n1n1n﹣=a3b=31=3 ?，则+nnn1 =3a．﹣则n n1n 3n==S．）﹣﹣则（﹣n21PABCDPAABCDEPD 的中点；⊥底面的底面是菱形，．如图，四棱锥是﹣，PBACE ；∥平面（Ⅰ）求证：BDPC ．（Ⅱ）求证：⊥直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【考点】ACBDOEOEOPBD的中位线和线面与，利用的交点为为三角形，连【分析】（Ⅰ）取PBACE ；∥平面平行的判定定理即可证得BDPACBDPC ．，利用直线与平面垂直的性质即可证得（Ⅱ）易证⊥⊥平面ABCDACBDOEPD 的中点，是（Ⅰ）∵底面【解答】证明：是菱形，取与的交点为，又EO ，连EOPB ，则EOACEPBACE ，，平面又??平面PBACE ；∴∥平面PAABCDBDABCD ，，（Ⅱ）∵底面⊥底面?PABD ①；⊥∴ABCD 是菱形，又底面ACBD ②；⊥∴PAAC=A ∩，BDPACPCPAC ，⊥平面?，平面∴BDPC ．∴⊥22ABCABC2DCC 的中点．，．已知正三棱柱所有的棱长均为﹣是11111ABDABC 的体积．﹣）求多面体（1112CCABD 所成角的大小．与平面（）求直线13ABDB 的余弦值．（理科）求二面角（）﹣﹣1二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．【考点】1ABDABC 的体积【分析】（﹣）多面体111V= ，由此能求出结果．2AABCAACxACyAAz轴，建（的垂线为）以轴，为原点，在平面轴，内过为作为1CCABD 所成角．与平面立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线13ABDBDBABD﹣）求出平面的法向量，利用向量法能求出二面角的法向量和平面﹣（1B 的余弦值．11ABCABC2DCC 的中点，）∵正三棱柱所有的棱长均为﹣【解答】解：（是，1111=CD=1 ，∴，CABABD的体积：∴多面体﹣111V==SAA?﹣ABC△1==．2AABCAACxACyAAz 轴，的垂线为轴，作（轴，）以为为原点，在平面内过为1建立空间直角坐标系，D0B2122A0000 C020C），）（，，，，则）（，，，（），（，，（，，）1=022=1 =00，），，）（），（，，（，zABD=xy，，的法向量），设平面（=x=，得则，取，（）CCABD θ，与平面所成角为设直线1===sincos =θ，|＜|＞=60 °θ，∴CCABD60 °．与平面∴直线所成角为1=00123 =1，）（，（，）），（﹣，，BDBa=b c的法向量为，设平面（，，）1=a=则，取，得（，）cos=== ＜，﹣＞ABDB 的平面角为钝角，﹣由图知二面角﹣1BBDA．的余弦值为﹣∴二面角﹣﹣1。

2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (48)-720(解析版)

2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (48)一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 在△ABC 中，已知a =2，b =√6，A =45°，则满足条件的三角形有( )A. 1个B. 2个C. 0个D. 无法确定2. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b)2=c 2+ab ，B =30°，a =4，则△ABC 的面积为( )A. 4B. 3√3C. 4√3D. 6√33. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6=9，则log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 10=( )A. 12B. 2+log 35C. 8D. 104. S n 是等差数列{a n }的前n 项和，如果S 10=120，那么a 1+a 10的值是( )A. 12B. 36C. 24D. 485. 不等式16−x 2≥0的解集是( )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [−4,4]D. (−4,4)6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若a =12b ，A =2B ，则cos B 等于( ) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 7. 已知函数f (x )={2x ,(x ≥2)f (x +2),(x <2)，则f(log 45)等于( ) A. 2√5B. 4√5C. 3√5D. √5 8. 在等比数列{a n }中，若a 1=−8，前3项和S 3=−6，则a 5=( )A. 1B. −lC. 12D. −12 9. 对任意的实数x ，不等式mx 2−mx −1<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−4,0)B. (−4,0]C. [−4,0]D. [−4,0)10. 数列{a n }满足a n+1={2a n , 0≤a n <1a n −1, 1≤a n <2，若a 1=43，则a 2018的值是 ( ) A. 83 B. 43 C. 23 D. 13 二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11. △ABC 中，A =π3,S △ABC =15√34,5sinB =3sinC ，则△ABC 的周长为______． 12. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，，则△ABC 的形状为______ ．13. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2(a n −1)，则a 3= ______ ．14. 在数列{a n }中，a 1=−1，a 2=0，且a n+2−a n =0(n ∈N ∗)，则a 1+a 2+a 3+⋯+a 2015= ______ ．15. 已知：f(x)=x 2+2x −1，g(x)=kx +b(k ≠0)，且f(g(0))=−1，g(f(0))=−2，则实数k = ________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. 已知实数x 1，x 2，…，x n (n ∈N ∗且n ≥2)满足|x i |≤1(i =1,2，…，n)，记S(x 1,x 2,…,x n )=∑x i 1≤i<j≤n x j ．)及S(1,1，−1，−1)的值；(Ⅰ)求S(−1,1,−23(Ⅱ)当n=3时，求S(x1,x2,x3)的最小值；(Ⅲ)当n为奇数时，求S(x1,x2,…,x n)的最小值．x j表示x1，x2，…，x n中任意两个数x i，x j(1≤i<j≤n)的乘积之和．注：∑x i1≤i<j≤n17.在△ABC中，已知，其中角A,B,C所对的边分别为a,b,c.求：(1)求角A的大小；(2)若a=√6，△ABC的面积为√3，求sinB+sinC的值．218.设数列{a n}的前n项和为S n，满足tS n=na n，且a3<a2，求常数t的值．19.已知等差数列{a n}中，若S2=16，S4=24，求数列{|a n|}的前n项和T n．20.等差数列{a n}为递减数列，且a2+a4=16，a1a5=28，求数列{an}的通项公式．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．根据正弦定理求出sin B，然后进行判断即可．【解答】解：∵a=2，b=√6，A=45°，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得sinB=bsinAa =√6×√222=√32，∵b>a，∴B=60°或120°，即满足条件的三角形个数为2个．故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．首先利用余弦定理求出B的值，进一步判定三角形为等腰三角形，进一步利用面积公式的应用求出结果．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)2=c2+ab，整理得a2+b2−c2=−ab，所以cosC=a2+b2−c22ab =−12，由于0<C<π，故C=2π3．由于B=30°，a=4，则△ABC为等腰三角形，所以b=4，所以S△ABC=12⋅4⋅4⋅√32=4√3．故选：C．3.答案：D解析：解：根据等比数列的性质：a1a10=a2a9=⋯=a5a6=9，∴log3a1+log3a2+⋯+log3a10=log3(a1a2⋅…⋅a10)=log3(a5a6)5=log3310=10，故选：D．根据等比数列的性质：a1a10=a2a9=⋯=a5a6=9，再利用对数的运算性质即可得出．本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：解：等差数列{a n}中，∵S10=120，∴102(a1+a10)=120，∴a1+a10=24．故选：C．等差数列{a n}中，由S10=120，知102(a1+a10)=120，由此能求出a1+a10．本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．5.答案：C解析：【分析】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．将二次项系数化正，然后分解因式，小于零取两边．【解答】解：由16−x2≥0得x2−16≤0，即(x+4)(x−4)≤0，解得−4≤x≤4．故选C．6.答案：B解析：解：∵a=12b，A=2B，∴由正弦定理asinA =bsinB得：12b sin2B =12b2sinBcosB=bsinB，∴14cosB=1，∴cosB=14，故选：B．根据正弦定理和余弦的倍角公式，直接代入即可求得结果．本题主要考查正弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理的公式和应用以及余弦的倍角公式．7.答案：B解析：解：∵1<log45<2∴2+log45>2∴f(log45)=f(2+log45)=22+log45=22⋅2log45=4√5故选B由题意可得，1<log45<2，代入f(log45)=f(2+log45)=22+log45可求本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是熟练应用指数及对数的运算性质． 8.答案：D解析：【分析】本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式，熟练掌握等比数的通项及求和是解本题的关键，属于基础题．利用等比数列的求和公式求出公比q 的值，再利用等比数列的通项公式求解即可．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1=−8，前3项和S 3=−6，则q ≠1，所以S 3=a 1(1−q 3)1−q=−8(1−q 3)1−q =−6，解得q =−12则a 5=a 1q 4=(−8)×(−12)4=−12．故选D ．9.答案：B解析：【分析】本题考查不等式恒成立问题，利用一元二次函数图象求解．【解答】解：当m >0时，由函数f(x)=mx 2−mx −1的图象开口向上可知，f(x)=mx 2−mx −1<0不可能恒成立，当m =0时，−1<0恒成立，当m <0时，要f(x)=mx 2−mx −1<0恒成立，则△=m 2+4m <0，解得−4<m <0，综合得−4<m ≤0，故选B ．10.答案：D解析：【分析】本题考查了数列的递推公式和周期性的应用，解题的关键是求出数列的周期．根据首项的值和递推公式依次求出a 2、a 3、a 4的值，可求出数列的周期．【解答】解：∵数列{a n }满足a n+1={2a n (0≤a n <1)a n −1(1≤a n <2)，a 1=43， ∴a 2=a 1−1=13，a3=2a2=23，a4=2a3=43，…，∴a n+3=a n，则a2018=a672×3+2=a2=13．故选D.11.答案：8+√19解析：解：在△ABC中，角A=60°，∵5sinB=3sinC，∴由正弦定理可得5b=3c，再由S△ABC=15√34=12bc⋅sinA，可得bc=15，∴解得：b=3，c=5．又∵由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bc⋅cosA=19，解得：a=√19．∴三角形的周长a+b+c=8+√19．故答案为：8+√19．由条件利用正弦定理可得5b=3c，再由S△ABC=15√34=12bc⋅sinA，求得bc，从而求得b和c的值．再由余弦定理求得a，从而得到三角形的周长．本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．12.答案：直角三角形解析：解：，，∴c(1+b2+c2−a22bc)=b+c，化为b2+a2=c2．∴C=90°．∴△ABC的形状为直角三角形．由，利用倍角公式可得，再利用余弦定理即可得出．本题考查了倍角公式、余弦定理，属于基础题．13.答案：8解析：解：∵S n=2(a n−1)，∴当n=1时，S1=2(a1−1)=a1，解得a1=2，当n≥2时，S n=2(a n−1)，①S n+1=2(a n+1−1)，②，两者相减得2(a n+1−a n)=S n+1−S n=a n+1，即a n+1=2a n，∴a2=2a1=2×2=4，∴a3=2a2=2×4=8，故答案为：8根据数列的递推关系，依次进行递推即可得到结论．本题主要考查数列的递推数列的应用，根据a n与S n的关系是解决本题的关键．14.答案：−1008解析：解：∵a n+2−a n=0(n∈N∗)，a1=−1，a2=0，∴a1=a3=a5=⋯=−1，a2=a4=a6=⋯=0，∴a1+a2+a3+⋯+a2015=(a1+a3+⋯+a2015)+(a2+a4+⋯+a2014)=−1008+0=−1008．故答案为：−1008．由a n+2−a n=0(n∈N∗)，a1=−1，a2=0，可得a1=a3=a5=⋯=−1，a2=a4=a6=⋯=0，即可得出．本题考查了数列的周期性、分组求和方法，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：2解析：【分析】本题考查了函数解析式的应用，以及函数值的求法，根据题意得f(0)=−1,g(0)=b，分别代入f(g(0))=−1，g(f(0))=−2，即可得到结果．【解答】解：∵f(x)=x2+2x−1，g(x)=kx+b(k≠0)，∴f(0)=−1,g(0)=b，∵f(g(0))=−1，g(f(0))=−2，∴f(g(0))=f(b)=b2+2b−1=−1，g(f(0))=g(−1)=−k+b=−2，∴{b2+2b−1=−1，−k+b=−2∴k=2或k=0(舍),∴k=2．故答案为2．16.答案：解：(Ⅰ)由已知得S(−1,1,−23)=−1+23−23=−1．S(1,1，−1，−1)=1−1−1−1−1+1=−2. …(3分)(Ⅱ)n =3时，S =S(x 1,x 2,x 3)=∑x i 1≤i<j≤3x j =x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3．固定x 2，x 3，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，因此S ≥min{S(1,x 2,x 3)，S(−1,x 2,x 3)}．同理S(1,x 2,x 3)≥min{S(1,1，x 3)，S(1,−1,x 3)}．S(−1,x 2,x 3)≥min{S(−1,1，x 3)，S(−1,−1,x 3)}．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值±1的x 1，x 2，x 3所达到，于是S ≥min{S(x 1,x 2,x 3)}．当x k =±1(k =1,2，3)时，S =12[(x 1+x 2+x 3)2−(x 12+x 22+x 32)]=12(x 1+x 2+x 3)2−32．因为|x 1+x 2+x 3|≥1，所以S ≥12−32=−1，且当x 1=x 2=1，x 3=−1，时S =−1，因此S min =−1. …(7分)(Ⅲ)S =S(x 1,x 2,…,x n )=∑x i 1≤i<j≤n x j =x 1x 2+x 1x 3+⋯+x 1x n +x 2x 3+⋯+x 2x n +⋯+x n−1x n ．固定x 2，x 3，…，x n ，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，因此S ≥min{S(1,x 2,x 3,…,x n )，S(−1,x 2,x 3,…,x n )}．同理S(1,x 2,x 3,…,x n )≥min{S(1,1，x 3，…，x n )，S(1,−1,x 3,…,x n )}．S(−1,x 2,x 3,…,x n )≥min{S(−1,1，x 3，…，x n )，S(−1,−1,x 3,…,x n )}．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值±1的x 1，x 2，…，x n 所达到，于是S ≥min{S(x 1,x 2,x 3,…,x n )}．当x k =±1(k =1,2，…，n)时，S =12[(x 1+x 2+⋯+x n )2−(x 12+x 22+⋯+x n 2)]=12(x 1+x 2+⋯+x n )2−n 2．当n 为奇数时，因为|x 1+x 2+⋯+x n |≥1，所以S ≥−12(n −1)，另一方面，若取x 1=x 2=⋯=x n−12=1，x n−12+1=x n−12+2=⋯=x n =−1，那么S =−12(n −1)，因此S min =−12(n −1).…(13分)解析：(Ⅰ)根据已知中S(x 1,x 2,…,x n )的计算方法可得得S(−1,1,−23)及S(1,1，−1，−1)的值． (Ⅱ)n =3时，S =S(x 1,x 2,x 3)=∑x i 1≤i<j≤3x j =x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3.再固定x 2，x 3，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，因此S ≥min{S(1,x 2,x 3)，S(−1,x 2,x 3)}.同理S(1,x 2,x 3)≥min{S(1,1，x 3)，S(1,−1,x 3)}.S(−1，x 2，x 3)≥min{S(−1,1，x 3)，S(−1,−1,x 3)}.以此类推，我们可以看出S ≥min{S(x 1,x 2,x 3)}.从而求得S(x 1,x 2,…,x n )的最小值．(Ⅲ)S =S(x 1,x 2,…,x n )=∑x i 1≤i<j≤n x j =x 1x 2+x 1x 3+⋯+x 1x n +x 2x 3+⋯+x 2x n +⋯+x n−1x n .固定x 2，x 3，…，x n ，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，类似于(II)中的方法得出S(x 1,x 2,…,x n )的最小值．本题主要考查函数与方程的综合运用、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑推理能力．属于难题．17.答案：【解答】解：(1)由正弦定理得，，即sin(A−π6)=1，而A∈(0,π)，∴A−π6=π2，则A=2π3；(2)由得bc=2，由a=√6及余弦定理得(√6)2=b2+c2−2bccosA=b2+c2+bc=(b+c)2−bc，即b+c=2√2，所以．解析：【分析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．(1)已知等式利用正弦定理，二倍角的余弦函数公式及辅助角公式化简，整理，即可确定出A的度数；(2)利用三角形面积公式列出关系式，代入整理表示出bc，再利用余弦定理化简求出b+c的值，由正弦定理确定出sinB+sinC的值即可．18.答案：解：由tS n=na n，得ta1=a1，∴t=1或a1=0．若t=1，则S n=na n，有a1+a2=2a2，得a1=a2．a1+a2+a3=3a3，得a2=a3，与a3<a2矛盾，∴a1=0，当n=2时，有t(a1+a2)=2a2，即ta2=2a2，∴t=2或a2=0．若t=2，则由2S3=2(a2+a3)=3a3，得a3=2a2，当a2>0时不成立．若a2=0，由t(a1+a2+a3)=ta3=3a3，∵a3<a2≠0，∴t=3．解析：通过已知条件，令n=1，可得t≠1，a1=0，再令n=2，可得t≠2，a2=0，再由tS3=3a3，且a3<a2求得t=3．本题考查数列的通项和求和之间的关系，考查运算能力，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．19.答案：解：设等差数列{a n}的公差为d，由S2=16，S4=24，第11页，共11页得{2a 1+2×12d =164a 1+4×32d =24, 即{2a 1+d =162a 1+3d =12, 解得{a 1=9d =−2, ∴等差数列{a n }的通项公式为a n =11−2n(n ≥1,n ∈N ∗).(1)当n ≤5时，T n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a n =S n =−n 2+10n ；(2)当n ≥6时，T n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a 5−a 6−a 7−⋯−a n=2S 5−S n=2×(−52+10×5)−(−n 2+10n)=n 2−10n +50；故T n ={−n 2+10n(n ≤5)n 2−10n +50(n ≥6)．解析：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，属于中档题．设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可求得d 与a 1，从而可得a n =11−2n ，对n 分n ≤5与n ≥6讨论，即可求得数列{|a n |}的前n 项和T n ．20.答案：解：a 2+a 4=a 1+a 5=16，所以{a 1+a 5=16a 1a 5=28，又数列单调递减，解得a 1=14，a 5=2，d =−3，故a n =14−3(n −1)=17−3n ．即通项公式为a n =17−3n ．解析：本题考查等差数列的通项公式和性质，由性质得a 2+a 4=a 1+a 5=16，联立方程组解得a 1=14，a 5=2，进而可得公差，可得通项公式．属基础题．。

2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (51)-720(解析版)

2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (51)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线√2x+√6y+1=0的倾斜角是()A. 5π6B. π6C. π3D. 2π32.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知a=5√2，c=10，A=30°，则B等于()A. 105°B. 60°C. 15°D. 105°或15°3.若m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若m//β,m//α，则β//αB. 若m//n,n//α，则m//αC. 若m⊥n,m⊥α，则n//αD. 若m//β,m⊥α，则β⊥α4.从集合A={1,3，5，7，9}，集合B={2,4，6，8}中各取一个数，那么这两个数之和能被3整除的概率是()A. 13B. 310C. 720D. 3205.某校高一年级有男生400人，女生300人，为了调查高一学生对于高二时文理分科的意向，拟随机抽取35人的样本，则应抽取的男生人数为()A. 25B. 20C. 15D. 106.一直角梯形的直观图是一个如图所示的梯形，且OA′=2，B′C′=OC′=1，则该直角梯形的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 57.已知过点P(2,2)的直线l与圆(x−1)2+y2=5相切，且与直线ax−y+1=0垂直，则实数a等于()A. −12B. 1 C. 2 D. 128.已知样本5，x，8，11，y的平均数是8，方差是265，则xy=()A. 45B. 54C. 60D. 729.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是DD1、BD的中点，则直线AD1与EF所成的角余弦值是()A. 12B. √32C. √63D. √6210.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A. 16πB.C.D.11.两圆C1：x2+y2+2x−6y−26=0，C2：x2+y2−4x+2y+4=0的位置关系是()A. 内切B. 外切C. 相交D. 外离12.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是()①三棱锥M−DCC1的体积为定值；②DC1⊥D1M③∠AMD1的最大值为90°；④AM+MD1的最小值为2．A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l1：ax+y+2=0，l2：3x−y−1=0，若l1//l2则a=______ ．14.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2−4x−8y+19=0关于直线l：x+2y−a=0对称，则实数a=______ ．15.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3√2海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处．则两艘轮船之间的距离为_______海里．16.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，样本数据在[8,10)内的频数为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，矩形OABC的顶点O为原点，AB边所在直线的方程为3x+4y−25=0，顶点B的纵坐标为10．(1)求OA，OC边所在直线的方程；(2)求矩形OABC的面积．18.在△ABC内，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角B的值；(2)若△ABC的面积为3√3，b=√13，求a+c的值．19.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点．求证：(1)MN//平面ABCD；(2)MN⊥平面B1BG．20. 在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度从1℃变化到5℃，反应结果如表所示(x 表示温度，y 代表结果)：x 1 2 3 4 5 y 3 5 7 10 11的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关，并预测当温度到达10℃时反应结果为多少？附：线性回归方程中y ̂=b ̂x +a ̂，b̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y −−bx −．21. 某工厂生产的产品A 的直径均位于区间[110,118]内(单位：mm).若生产一件产品A 的直径位于区间[110,112)，[112,114)，[114,116)，[116,118]内该厂可获利分别为10，30，20，10(单位：元)，现从该厂生产的产品A 中随机抽取200件测量它们的直径，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a 的值，并估计该厂生产一件A 产品的平均利润；(2)现用分层抽样法从直径位于区间[112,116)内的产品中随机抽取一个容量为5的样本，从样本中随机抽取两件产品进行检测，求两件产品中至多有一件产品的直径位于区间[114,116)内的概率．22.已知直线l：y=−x+8与x轴相交于点A，点B坐标为(0,−4)，过点B作直线l的垂线，交直线l于点C.记过A、B、C三点的圆为圆M．(Ⅰ)求圆M的方程；(Ⅱ)求过点C与圆M相交所得弦长为8的直线方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：直线√2x+√6y+1=0的斜率k=−√33，∴直线√2x+√6y+1=0的倾斜角α=5π6．故选：A．先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．2.答案：D解析：【分析】本题考查了正弦定理，属于基础题．根据正弦定理即可求出sin C，再求出C，即可求出答案．【解答】解：由题意知，a=5√2，c=10，A=30°，根据正弦定理可知asinA =csinC，∴sinC=sinA⋅ca =√22，又c>a，∴C=45°或135°，则B=105°或15°，故选：D．3.答案：D解析：【分析】本题考查线线，线面，面面的平行垂直位置关系，属于基础题．逐项判断即可．【解答】解：若m//β,m//α，则β//α或α与β相交，故A错误，若m//n,n//α，则m//α或m⊂α，故B错，若m⊥n,m⊥α，则n//α或n⊂α，故C错，若m//β,m⊥α，则β⊥α，正确．故选D．4.答案：C解析：【分析】列举法求出所有基本事件，两数之和被3整除的基本事件，即可求两数之和被3整除的概率．本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．【解答】解：从集合A={1,3，5，7，9}，B={2,4，6，8}各取一个数，基本事件有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(5,8)，(7,2)，(7,4)，(7,6)，(7,8)，(9,2)，(9,4)，(9,6)，(9,8)共20个；其中两个数的和被3整除的基本事件有(1,2)，(1,8)(3,6)，(5,4)，(7,2)，(7,8)(9,6)共7个，∴两个数的和被3整除的概率为P=720．故选：C．5.答案：B解析：【分析】本题考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．【解答】解：由已知抽样比为35400+300=120，所以男生抽取人数为400×120=20．故选B．6.答案：B解析：【解答】解：由题意，直角梯形中，OA=2，BC=1，OC=2，∴直角梯形的面积为1+22×2=3，故选：B．解析：由题意，直角梯形中，OA=2，BC=1，OC=2，即可求出直角梯形的面积．本题考查直观图，考查学生的计算能力，比较基础．7.答案：C解析：【分析】本题考查直线与圆的位置关系、直线与直线的垂直，考查数学运算能力．由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax−y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．【解答】解：因为点P(2,2)满足圆(x−1)2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P(2,2)的直线与圆(x−1)2+y2=5相切，且与直线ax−y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax−y+1=0平行(不能重合)，所以直线ax−y+1=0的斜率为a=2−02−1=2．故选C．8.答案：C解析：解：∵样本5，x，8，11，y的平均数是8，方差是265，∴{15(5+x+8+11+y)=815[(5−8)2+(x−8)2+(11−8)2+(y−8)2]=265，解得x=10，y=6或x=6，y=10，∴xy=60．故选：C．由样本5，x，8，11，y的平均数是8，方差是265，列方程组求出x=10，y=6或x=6，y=10，由此能求出xy．本题考查两数乘积的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.答案：C解析：【分析】本题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中求出此角即可．【解答】解：如图，取AD的中点G，连接EG，GF，∠GEF为直线AD1与EF所成的角，设正方体棱长为2，则EG=√2，GF=1，EF=√3，易知△GEF是直角三角形，cos∠GEF=√63．故选：C．10.答案：C解析：【分析】本题考查球的表面积的计算．求得球的球心位置可得球的半径即可得表面积．【解答】解：如图所示，正四棱柱高为4，体积为16，所以正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱外接球的球心在正四棱柱的中心处，则正四棱柱外接球的直径为√42+22+22=2√6，即球的半径为√6，所以球的表面积S=4π(√6)2=24π．故选C．11.答案：A解析：【分析】本题考查两圆的位置关系，先配方，确定圆心与半径，再判断两圆x2+y2+2x−6y−26=0和x2+ y2−4x+2y+4=0的位置关系．【解答】解：圆C1：x²+y²+2x−6y−26=0即(x+1)²+(y−3)²=36，表示以C1(−1,3)为圆心，以6为半径的圆．C2：x²+y²−4x+2y+4=0即(x−2)²+(y+1)²=1，表示以C2(2,−1)为圆心，以1为半径的圆．两圆的圆心距|C1C2|=√(−1−2)2+(3+1)2=5=6−1，等于两圆的半径之差，故两圆内切．故选A．12.答案：A解析：【分析】本题考查三棱锥体积，线线垂直的判定，夹角情况，定值，因其考查的知识点较多，故选择排除法，首先判断②DC1⊥D1M，因其正确，故正确选项应在A或B中，再来判断③错误，故排除了B选项，从而得正确结果．【解答】解：②DC1⊥A1B，DC1⊥A1D1，D1A1∩A1B=A1，则DC1⊥面D1A1M，D1M⊂面D1A1M，则DC1⊥D1M，故②正确；故排除选项C、D；③当0<A1P<√22时，∠AMD1为钝角，故③错误，故排除了选项B．故选A．13.答案：−3解析：解：由−a−3=0，解得a=−3．经过验证满足l1//l2．故答案为：−3．由−a−3=0，解得a，再验证即可得出．本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：10解析：解：圆C1：x2+y2−4x−8y+19=0可化为(x−2)2+(y−4)2=1，则圆心C1(2,4)，∵圆C1：x2+y2−4x−8y+19=0关于直线l：x+2y−a=0对称，∴2+8−a=0，∴a=10．故答案为10．圆C1化为标准方程，求出圆心坐标，代入直线方程，可得结论．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．15.答案：√13解析：解：连接AC，由题意可知AB=BC=5，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∠CAD=45°根据余弦定理可得CD2=AC2+AD2−2×AC×AD×cos∠CAD=36+18−2×6×3√2×√22=13故答案为：√1316.答案：76解析：解：根据频率分布直方图，得；样本数据在[8,10)内的频率为0.19×(10−8)=0.38，∴对应的频数为200×0.38=76．故答案为：76．根据频率分布直方图，结合频率，求出对应的频数即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．17.答案：解：(1)∵OABC是矩形，∴OA⊥AB，OC//AB．由直线AB的方程3x+4y−25=0可知k AB=−34，∴k OA=43,k OC=−34，∴OA边所在直线的方程为y=43x，即4x−3y=0，OC边所在直线的方程为y=−34x，即3x+4y=0．(2)∵点B在直线AB上，且纵坐标为10，∴点B的横坐标由3x+4×10−25=0，解得x=−5，即B(−5,10)．∴|OA|=|0×3+0×4−25|√32+42=5，∴|AB|=|4×(−5)−3×10|√42+(−3)2=10，∴矩形OABC的面积S=|OA||AB|=50．解析：本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，考查点到直线的距离，属于基础题．(1)可知k AB=−34，由直线的平行和垂直关系可得相关直线的斜率，可得方程；(2)易得B(−5,10)，由距离公式可得|OA|和|AB|，可得面积．18.答案：解：．∴由正弦定理，得．．．又A+B+C=π，．又∵0<C<π，sinC>0，．又B∈(0,π)，∴B=π3．(2)据(1)求解知B=π3，又，∴ac=12，②又∵b=√13，∴据①②解，得a+c=7．解析：本题考查正弦定理和余弦定理，属中档题．(1)运用正弦定理，结合特殊角的三角函数值，即可得到角B ．(2)运用余弦定理和面积公式，结合完全平方公式，即可得到a +c ．19.答案：证明：(1)取CD 的中点记为E ，连接NE ，AE ．由N ，E 分别为CD 1与CD 的中点可得NE//D 1D 且NE =12D 1D ，又AM//D 1D 且AM =12D 1D ，所以AM//EN 且AM =EN ，即四边形AMNE 为平行四边形，所以MN//AE ，又AE ⊂平面ABCD ，所以MN//平面ABCD ．(2)由AG =DE ，∠BAG =∠ADE =90°，DA =AB ，可得△EDA≌△GAB ．所以∠AGB =∠AED ，又∠DAE +∠AED =90°，所以∠DAE +∠AGB =90°，所以AE ⊥BG ，又BB 1⊥AE ，B 1B ∩AG =B ，所以AE ⊥平面B 1BG ，又MN//AE ，所以MN ⊥平面B 1BG ．解析：(1)取CD 的中点记为E ，连接NE ，AE ，证明MN//AE ，即可MN//平面ABCD ；(2)证明AE ⊥BG ，BB 1⊥AE ，即证明AE ⊥平面B 1BG ，然后可得MN ⊥平面B 1BG ．本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，考查学生逻辑思维能力，是中档题．20.答案：解：(1)由题意，n =5，计算x =15∑x i 5i=1=3，y =15∑y i 5i=1=7.2，又∑x i 25i=1−5x 2=55−5×9=10，∑x i 5i=1y i −5xy =129−5×3×7.2=21；∴b ̂=∑x i n i=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx 2=2110=2.1， â=y −bx =7.2−2.1×3=0.9，故所求的回归方程为ŷ=2.1x +0.9； (2)由于变量y 的值随温度x 的值增加而增加(b̂=2.1>0)，故x 与y 之间是正相关．当x =10时，ŷ=2.1×10+0.9=21.9，即预测当温度达到10°时反应结果为21.9．解析：本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是中档题．(1)由题意计算平均数与回归系数，写出回归方程，(2)由回归系数(b ̂=2.1>0)判断x 与y 之间是正相关，利用回归方程计算x =10时y ∧的值．21.答案：解：(1)由频率分布直方图，得：2(0.050+0.150+a+0.075)=1，解得a=0.225．直径位于区间[110,112)的频数为200×2×0.050=20，位于区间[112,114)的频数为200×2×0.150=60，位于区间[114,116)的频数为200×2×0.225=90，位于区间[116,118)的频数为200×2×0.075=30，∴该厂生产一件A产品的平均利润为：10×20+30×60+20×90+10×30200=20.5(元)．(2)由频率分布直方图得：直径位于区间[112,114)和[114,116)的频率之比为：2：3，∴应从直径位于区间[112,114)的产品数中抽取2件，记为A，B，从直径位于区间[114,116)的产品中抽取3件，记为a，b，c，从中任取两件，所有可能的取法有：(A,B)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(a,b)，(a,c，)，(b,c)，共10种，其中两件产品中至多有一件产品的直径位于区间[114,116)内的取法有7种，∴两件产品中至多有一件产品的直径位于区间[114,116)内的概率p=mn =710．解析：(1)由频率分布直方图能求出a和该厂生产一件A产品的平均利润．(2)由频率分布直方图得应从直径位于区间[112,114)的产品数中抽取2件，从直径位于区间[114,116)的产品中抽取3件，由此利用列举法能求出两件产品中至多有一件产品的直径位于区间[114,116)内的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意列举法的合理运用．22.答案：解：(Ⅰ)根据题意，直线l：y=−x+8与x轴相交于点A，则A(8,0)，又由BC⊥AC，则∠ACB=90°，则圆M是以AB为直径的圆，其圆心M(4,−2)，半径r=|AB|2=2√5，则圆M的方程为(x−4)2+(y+2)2=20；(Ⅱ)设要求直线为CD，且与圆M的交点为C、D，则C(2,6)，圆心到直线CD的距离d=√20−16=2，分2种情况讨论：①，CD的斜率不存在，则CD的方程为x=6，易得圆心到x=6的距离为2，符合题意；②，CD的斜率存在，设CD的方程为y−2=k(x−6)，即kx−y−6k+2=0，若圆心M到直线CD的距离为2，则有2=2=2，解可得：k=34，则此时直线CD的方程为3x−4y−10=0；故要求直线的方程为x=6或3x−4y−10=0．解析：(Ⅰ)根据题意，由直线l的方程求出A的坐标，分析可得圆M是以AB为直径的圆，求出圆心与半径，结合圆的标准方程分析可得答案；(Ⅱ)根据题意，设要求直线为CD，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线CD的距离d=2，分2种情况讨论：①，CD的斜率不存在，则CD的方程为x=6，②，CD的斜率不存在，设CD的方程为y−2=k(x−6)，求出k的值，综合即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的应用，关键是求出圆M的方程．。

2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (33)-720(解析版)

2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (33)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x2−x−2>0的解集是()A. (−12,1) B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−12)∪(1,+∞)2.点(0,5)到直线2x−y=0的距离是()A. √52B. √5 C. 32D. √543.某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为()A. 5B. 6C. 7D. 84.在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b−c)，则∠A=()A. 300B. 600C. 1200D. 15005.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，则其圆心坐标与半径分别为()A. (1,2)，r=2B. (−1,−2)，r=2C. (1,2)，r=3D. (−1,−2)，r=36.已知：△ABC中，a=2，∠B=60°，∠C=75°，则b=()A. √6B. 2C. √3D. √27.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2015=S2015=2015，则首项a1=()A. 2015B. −2015C. 2013D. −20138.若直线过P(2,1)点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条()A. 1条B. 2 条C. 3条D. 以上都有可能9.某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积为()A. 2π+8B. π+8C. 2π+83D. π+8310.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则n//mC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，n//m，n//β，则α⊥β11.点P(1,−2)关于点M(3,0)的对称点Q的坐标是()A. (1,2)B. (2,−1)C. (3,−1)D. (5,2)12.已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{1a n a n+1}的前10项和为()A. 1011B. 911C. 910D. 1110二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件： {x+y⩾3x−y⩾−12x−y⩽3，则目标函数z=3x−2y的最小值为______．14.直线l过点A(−1,3)，B(1,1)，则直线l的倾斜角为______ ．15.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，那么二面角A1−AD−B的余弦值为______ ．16.已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1⋅a7=2a32，a2=2，则a1的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求倾斜角为直线y=−√3x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(−4,1)；(2)在x轴上的截距为−10．18.已知：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B−cos(A+C)=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若sinA=3sinC，△ABC的面积为3√3，求b边的长．419.已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+120.如图，圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦，(1)当α=135°时，求|AB|(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(3)求过点P的弦的中点的轨迹方程．21.在等差数列{a n}中，a1=10，d=−2，求数列的前n项和S n的最大值．22.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，点E，F分别是BB1，A1B1的中点。

人教版2019-2020学年高一数学下学期期末测试卷一及答案解析

2019-2020学年高一数学下学期期末测试卷01注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

5．考试范围：必修第二册。

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足（1+√3i ）z =1+i ，则其共轭复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知等腰Rt △ABC 的斜边AB 长为2，点M 满AM →=AC →+AB →，则MB →⋅MC →=（） A ．2B ．√2C ．−√2D ．03．在△ABC 中，AC =3，BC =√7，AB =2，则AB 边上的高等于（） A ．2√3B ．3√32C ．√262D ．324．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A 'B 'O '，若O 'A '=1，那么原三角形ABO 面积是（）A ．12B ．√22C ．√2D ．2√25．一直三棱柱的每条棱长都是1，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（） A ．283π B ．√223π C ．73πD ．√7π6．从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④至少有1个黄球与都是白球．其中互斥而不对立的事件共有（）A．0组B．1组C．2组D．3组7．庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知．某学校为了解高三年级1000名同学宅家学习期间上课、锻炼、休息等情况，决定将高三年级学生编号为1，2，3……1000，从这1000名学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生上问卷调查，若46号同学被抽到，则下面4名同学中也被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生8．若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）A．82.5B．83C．93D．72二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（）A．样本中女生人数多于男生人数B．样本中B层人数最多C．样本中E层次男生人数为6人D．样本中D层次男生人数多于女生人数10．抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是（）A ．P 1=P 2=P 3=P 4B ．P 3=2P 1C ．P 1+P 2+P 3+P 4=1D ．P 4=3P 211．如图，平面α∩平面β=l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．下列判断正确的是（）A ．若AB ∥CD ，则MN ∥l B ．若M ，N 重合，则AC ∥lC ．若AB 与CD 相交，且AC ∥l ，则BD 可以与l 相交D ．若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与平行12．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（） A ．a =8，b =16，A =30°，有两解 B ．b =18，c =20，B =60°，有两解 C ．a =5，c =2，A =90°，无解D ．a =30，b =25，A =150°，有一解三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为．14．已知向量a →=（1，√3），|b →|=1，且向量a →与b →的夹角为π3，则|a →−2b →|= ．15．已知复数z ：满足（1+i ）z =3+i （i 为虚数单位），则复数z 的实部为，|z |= ． 16．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6133 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次恰好击中3次的概率为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，直平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E 、M 、N 分别是BC 、BB 1、A 1D 的中点．求证：MN ∥平面C 1DE ．18．（12分）已知平面向量a →=（﹣1，2），b →=（2，m ）（1）若a →⊥b →，求|a →+2b →|；（2）若m =0，求a →+b →与a →−b →夹角的余弦值．19．（12分）在①b 2+ac =a 2+c 2，②√3a cos B =b sin A ，③√3sin B +cos B =2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，A =π4，b =√2．（1）求角B ；（2）求△ABC 的面积．20．（12分）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲：0，0，1，2，0，0，3，0，4，0；乙：2，0，2，0，2，0，2，0，2，0．（1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．21．（12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）求抽取的6所学校中的2所学校均为小学的概率．22．（12分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A ：“两数之和为8”，事件B ：“两数之和是3的倍数”，事件C ：“两个数均为偶数”．（1）写出该试验的基本事件空间Ω，并求事件A 发生的概率；（2）求事件B 发生的概率；（3）事件A 与事件C 至少有一个发生的概率．2019-2020学年高一数学下学期期末测试卷01注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (49)-720(解析版)

2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (49)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.如图是一个空间几何体的三视图，想象一下该空间几何体的名称为()．A. 圆锥B. 圆柱C. 棱柱D. 组合体2.直线x+y=0的倾斜角为()A. π3B. π6C. 3π4D. π43.用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为()A. 8B. 8πC. 4πD. 2π4.在x轴、y轴上的截距分别是2，−3的直线方程为()A. x2+y3=1 B. x2−y3=1 C. y3−x2=1 D. x2+y3=−15.直线ax+2y−1=0与直线2x−3y−1=0垂直，则a的值为()A. 3B. −3C. 43D. −436.直线l1：(3+m)x+4y=5，l2：2x+(5+m)y=8平行，则实数m的值为()A. −1B. −7C. −1或−7D. 1或77.经过点(0,−2)且在两坐标轴上截距和为2的直线方程是()A. x2+y−2=1 B. x−2+y2=1 C. x4+y2=1 D. x4−y2=18.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AD=√3，AA1=ℎ，则异面直线BD与B1C1所成的角为()A. 30°B. 60°C. 90°D. 不能确定，与h有关9.已知m，n是空间内两条不同的直线，α，β是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是()A. 若m⊥n，m⊥α，则n//αB. 若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥αC. 若α∩β=m，n//α，则m//nD. 若m⊥α，n//β，α//β，则m⊥n10.已知过点A(−2,m)和点B(m,4)的直线为l1，l2：2x+y−1=0，l3：x+ny+1=0.若l1//l2，l2⊥l3，则实数m+n的值为()A. −10B. −2C. 0D. 811.圆C1：x2+y2+2x+4y+1=0与圆C2：x2+y2−4x+4y−17=0的位置关系是()A. 内切B. 外切C. 相交D. 相离12.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点．(Ⅰ)PB与平面ACM的位置关系为___；(Ⅱ)设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M—AC—B的大小为β，sinα·cosβ的值为____．A. (Ⅰ)平行(Ⅱ)−√23B. (Ⅰ)平行(Ⅱ)√23C. (Ⅰ)垂直(Ⅱ)−√23D. (Ⅰ)垂直(Ⅱ)√23E. (Ⅰ)相交但不垂直(Ⅱ)√23F. (Ⅰ)相交但不垂直(Ⅱ)−√23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.点(1,1)到直线x+y−1=0的距离为_____________．14.直线l:(2m+1)x+(m+1)y−3m−1=0(m∈R)经过的定点为________________．15.圆心为(1,1)，且经过点(2,2)的圆的标准方程为______．16.如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，A1B1与平面ABC的位置关系是________，AA1与平面BCC1B1的位置关系是________，AC与平面ACC1A1的位置关系是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.画出图中两个几何体的三视图．18.已知如图P为平面ABCD外一点，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF//平面PCE．19.求经过点A(3,2)，且与直线4x+y−2=0平行的直线的方程．20.求经过点A(3,2)圆心在直线y=2x上，与直线y=2x+5相切的圆的方程．21.求过两圆x2+y2=25和(x−1)2+(y−1)2=16的交点且面积最小的圆的方程．22.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S−ABCD中，．(1)求四棱锥S−ABCD的体积;(2)求证：面SAB⊥面SBC．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查三视图的应用，根据三视图即可判断出该几何体为圆柱和圆锥的组合体，属于基础题．【解答】解：由三视图可知该几何体上部为圆锥，下部为圆柱，故该几何体为组合体．故选D．2.答案：C解析：【分析】本题考查斜率与倾斜角的关系，是基础题．先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【解答】解：∵直线x+y=0的斜率为−1，设直线的切斜角为α，则，又0≤α<π，∴α=3π4．故选C．3.答案：B解析：【分析】根据圆柱侧面展开的原理，可得该圆柱的底面圆周长等于4，由此算出底面直径等于4π，即可得到圆柱的轴截面面积．本题给出矩形做成圆柱的侧面，求该圆柱的轴截面面积．着重考查了圆柱侧面展开图、圆的周长公式和矩形面积公式等知识，属于基础题．【解答】解：∵用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，且圆柱高为ℎ=2，∴底面圆周由长为4的线段围成，可得底面圆直径2r=4π．∴此圆柱的轴截面矩形的面积为S=2r×ℎ=8π．故选B．4.答案：B解析：【分析】本题考查直线方程的截距式，属基础题．【解答】解：因为在x轴、y轴上的截距分别是2，−3，所以直线的方程为x2+y−3=1，即x2−y3=1，故选B．5.答案：A解析：解：∵直线ax+2y−1=0与直线2x−3y−1=0垂直，∴2a+2×(−3)=0，解得a=3，故选A．利用两条直线垂直的充要条件，建立方程，即可求出a的值．本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系的应用，考查计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：∵直线l1：(3+m)x+4y=5，l2：2x+(5+m)y=8平行，∴3+m2=45+m≠−5−8，解得m=−1，或−7．故选：C．利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：【分析】利用在两坐标轴上截距和为2，设出直线的截距式方程，通过点的坐标求出直线方程即可．本题考查直线的截距式方程的应用，直线方程的应用，注意截距和为2的直线方程的设法，考查计算能力．【解答】解：经过点(0,−2)且在两坐标轴上截距和为2的直线方程设为xa +y2−a=1，(0,−2)代入直线方程可得：−22−a=1，解得a=4，所求直线方程为：x4−y2=1．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题考查异面直线所成的角的大小的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．由B1C1//BC，知∠DBC是异面直线BD与B1C1所成的角(或所成的角的平面角)，由此能求出异面直线BD与B1C1所成的角为60°．【解答】解：∵B1C1//BC，∴∠DBC是异面直线BD与B1C1所成的角(或所成的角的平面角)，∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AD=√3，AA1=ℎ，∴tan∠DBC=DCBC =3√3=√3，∴异面直线BD与B1C1所成的角为60°．故选B．9.答案：D解析：【分析】本题考查空间线线、线面平行及垂直的性质与判定的应用，属于基础题．由空间中直线与直线、直线与平面、面与面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：A.若m⊥n，m⊥α，则n//α或n⊂α，故A不正确；B.若n⊂β，α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α，故B不正确；C.若α∩β=m，n//α，则m//n或异面，故C不正确；D.若m⊥α，n//β，α//β，则m⊥n，故D正确．故选D．10.答案：A=−2，解得m=−8．解析：解：∵l1//l2，∴k AB=4−mm+2)×(−2)=−1，解得n=−2．又∵l2⊥l3，∴(−1n∴m+n=−10．故选：A．利用直线平行垂直与斜率的关系即可得出．本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：A解析：解：两圆的标准方程为C1：(x+1)2+(y+2)2=4，圆C2：(x−2)2+(y+2)2=25，则圆心坐标C1：(−1,−2)，C2：(2,−2)，半径r1=2，r2=5，圆心距离|C1C2|=3=|r1−r2|，即圆C1与圆C2内切．故选：A．求出两圆的标准方程，求出圆心和半径，根据圆心距离和半径之间的关系进行判断即可．本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，根据圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．12.答案：A解析：(I)证明：连接BD，MO在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB//MO，所以PB//平面ACM．(II)解：取DO中点N，连接MN，AN，因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC．因为M 为PD 的中点，所以MN//PO ，且MN =12PO =12，由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD 所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角α．在Rt △DAO 中，AD =1,AO =12，所以DO =√52，所以AN =12DO =√54， MN =12PO =12 ，在Rt △ANM 中，AM =√MN 2+AN 2=√14+516=34，所以 sinα=MNAM =1234=23 ，过点N 作NE ⊥AC 于E ，则E 为AO 中点，连接ME ，由三垂线定理可知∠MEN 即为二面角M −AC −D 的平面角，因为MN =12，NE =12，所以ME =√22，所以cos∠MEN =√22，因为二面角M—AC—B 的大小为β，所以cosβ=−cos∠MEN =−√22，所以sinα·cosβ=−√23．故选A ．本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力、推理论证能力．(I)由O 为AC 中点，M 为PD 中点，结合平行四边形的对角线性质，考虑连接BD ，MO ，则有PB//MO ，从而可证；(II)取DO 中点N ，由PO ⊥平面ABCD ，可得MN ⊥平面ABCD ，从而可得∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角α，在Rt △ANM 中求解即可得sinα，过点N 作NE ⊥AC 于E ，则E 为AO 中点，连接ME ，由三垂线定理可知∠MEN 即为二面角M −AC −D 的平面角，从而可得二面角M — AC — B 的大小为β=π−∠MEN ，在Rt △MNE 中求得cos∠MEN ，即得cosβ，从而求得sinα·cosβ．13.答案：√22解析：【分析】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：利用点到直线的距离可得d =√2=√22，故答案为√22．14.答案：(2,−1)解析：【分析】本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．先分离参数m ，再令m 的系数等于零，求得x 、y 当的值，可得定点的坐标．【解答】解：直线l ：(2m +1)x +(m +1)y −3m −1=0(m ∈R)，即直线l ：m(2x +y −3)+(x +y −1)=0，令2x +y −3=0，得x +y −1=0，由{2x +y −3=0x +y −1=0，解得x =2，且y =−1，可得直线l 经过定点(2,−1)，故答案为(2,−1)．15.答案：(x −1)2+(y −1)2=2解析：解：设圆的标准方程为(x −1)2+(y −1)2=R 2，由圆经过点(2,2)得R 2=2，从而所求方程为(x −1)2+(y −1)2=2，故答案为：(x −1)2+(y −1)2=2．设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径． 16.答案：平行；相交；线在平面内解析：【分析】本题考查了空间中直线与平面的位置关系，根据直线与平面的性质，逐一判断位置关系即可．【解答】解：∵三棱台ABC −A 1B 1C 1， ∴平面ABC//平面A 1B 1C 1， ∴A 1B 1//平面ABC ， ∴A 1B 1//AB ，又A 1B 1≠AB ，∴四边形A1ABB1为梯形，即AA1与BB1不平行，∴AA1与平面BCC1B1的位置关系是相交，由题意得，AC在平面ACC1A1内，故答案为平行；相交；线在平面内．17.答案：解：(1)如图(2)如图解析：利用三视图的画法，直接画出几何体的三视图．本题考查三视图的画法，考查作图能力，是基础题．18.答案：证明：如图，取PC的中点M，连接ME、MF，CD．则FM//CD，且FM=12CD，又∵AE//CD，且AE=12∴FM//AE，且FM=AE，即四边形AFME是平行四边形．∴AF//ME，又∵AF⊄平面PCE，ME⊂平面PCE，∴AF//平面PCE．解析：本题考查线面平行的证明，属于简单题．取PC 的中点M ，连接ME 、MF ，推导出四边形AFME 是平行四边形．从而AF//ME ，由此能证明AF//平面PCE ．19.答案：解：设与直线4x +y −2=0平行的直线系方程为4x +y +m =0，∵经过点A(3,2)，∴m =−14，故所求直线方程为4x +y −14=0．解析：本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题。