2018年高考数学二轮复习 专题八 系列4选讲 第1讲 坐标系与参数方程专题突破讲义 文

第1讲 坐标系与参数方程

高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.

热点一 极坐标与直角坐标的互化

直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，

则⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，

⎩

⎪⎨⎪

⎧

ρ2＝x 2＋y 2

，tan θ＝y x (x ≠0).

例1 (2017届江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模)在极坐标系中，已知点A ⎝

⎛⎭⎪⎫2，π2，

点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上．当线段AB 最短时，求点B 的极坐标．

解 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A ⎝

⎛⎭⎪⎫2，π2的直角坐标为

(0,2)，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0.

当线段AB 最短时，点B 为直线x －y ＋2＝0与直线l 的交点，

解⎩

⎪⎨

⎪⎧

x －y ＋2＝0，x ＋y ＝0，得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－1，

y ＝1.

所以点B 的直角坐标为(－1,1)． 所以点B 的极坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫2，34π.

思维升华 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．

(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．

跟踪演练1 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2

＋(y －2)2

＝1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；

(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π

4(ρ∈R )，设C 2，C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．

解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，

C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

(2)将θ＝π4代入ρ2

－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，

得ρ2

－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2， 所以|MN |＝ρ1－ρ2＝ 2.因为C 2的半径为1， 所以△C 2MN 的面积为12×2×1×sin 45°＝1

2.

热点二 参数方程与普通方程的互化 1．直线的参数方程

过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．

2．圆的参数方程

圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝x 0＋r cos θ，

y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，

0≤θ≤2π)． 3．圆锥曲线的参数方程

(1)椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1的参数方程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．

(2)抛物线y 2

＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝2pt 2

，y ＝2pt (t 为参数)．

例2 (2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝3cos θ，

y ＝sin θ (θ为参

数)，直线l 的参数方程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝a ＋4t ，

y ＝1－t (t 为参数)．

(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；

(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 2

9

＋y 2

＝1. 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.

由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋4y －3＝0，x 29

＋y 2

＝1，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝3，y ＝0

或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－21

25，y ＝24

25，

从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2125，2425.

(2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|

17

.

当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋9

17

.

由题设得

a ＋9

17

＝17，所以a ＝8；

当a <－4时，d 的最大值为

－a ＋1

17

. 由题设得－a ＋1

17＝17，所以a ＝－16.

综上，a ＝8或a ＝－16.

思维升华 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．

(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．

跟踪演练2 (2017届广西柳州市模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，