重提数学教学心理学

重提数学教学心理学

张兴华

不久前拜读了郑毓信教授一篇论述变式理论的文章，文中提出了“中国数学教育优秀传统的继承和发展的问题”，并倡导“理论视角下的小学数学教学”，给我许多启示。由此想起了小学数学教学心理学实在也算得上是优秀的传统理论，因为多年来许多教师的教学之所以富有成效，多半是自觉与不自觉地运用心理学的原理、规律于实践的结果。只是，近几年在理论上我们比较关注新课程理念，而数学教学心理学却渐渐淡出了我们的视线。也就是说，现在青年教师们已经缺失了数学教学心理学，我们的小学数学教学课程还没有置于科学理论的视角下。

数学教学心理学：经典课堂的永恒支柱

我们不妨留意一下，近年来省级和省级以上教育报刊发表的数学教学论文中已经很少有“数学教学心理学”的核心词。即使有，也是很成问题的。最近常见到“表象”这个词，但多作表面现象讲，如“从表象看，……”列举了一些表面现象后说“……这些都是表象，透过表象，其实质是……”天哪！表象是感知过的事物留在脑中的形象……，怎么能望文生义说成是表面现象呢？再一个就是“变式”。变式只是心理学理论沧海之一粟，不知什么时候引得大家的热捧和关注，谈得不少。有上升为“变式理论”的，有总结为“变式教学模式”的，也还有解释为变化了的式子的，像45÷9=45×3÷（9×3）之类，只要式子变化了就是变式！学科教学心理学这块刚被开垦的处女地，现在又是杂草丛生，满目荒芜了。但是，耐人寻味的是，每每经典的、引人注目的教学设计，在其背后都能找到数学教学心理学的内核。我们不妨来看看张齐华老师“认识分数”的一个片段：一开始，通过分蛋糕和简短的讨论，让学生知道：把一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2。接着，张老师给每位学生准备了同样的长方形纸，让学生“动手折一折”，并“涂出它的1/2”。学生折啊，涂啊。交流的时候，有的学生横着对折，涂出了其中的1/2：，有的学生竖着对折，涂出它的1/2：，有的斜着平均折成两份，涂出了它的1/2：，张老师指着这些不同形状的阴影部分问学生：“这些阴影部分形状不同，为什么都是这张纸的1/2？”学生一一回答：“我把这张纸横着对折，就是把它平均分成两份，其中这一份当然是它的1/2。”“我把这张纸竖着对折，就是把它平均分成两份，每一份是它的1/2。”“我虽然是斜着折的，但是是把这张纸平均折成了两份，这一份虽然形状不同，但也是这张纸的1/2。”张老师说，不管把纸怎样折，也不管折成的每一份是什么形状，只要是把这张纸平均分成两份，每一份就是它的1/2。后来，认识1/4时，张老师给学生准备了各种不同形状的纸，要求学生折一折，并涂出其中的1/4，学生折啊，

涂啊，出现了这些情况：

张老师又问学生：这里图形的形状也不相同了，阴影部分形状和大小也都不同，为什么都是原来这个图形的1/4。学生一一回答，都是说我把这张纸平均分成了4份，每一份是这张纸的1/4。最后老师总结道：不管是什么形状的纸，也不管涂色部分是什么形状，只要把它平均分成4份，每份就是这张纸的1/4。这样，学生对1/2、1/4分数的认识达到了概括化程度很高的理解。为什么呢？就是因为运用了心理学变式原理！

然而，当我私下里与老师们沟通时，却发现大家对这一片段的认识多着眼于当下时髦的学习方式的改善上。有的说这是让学生动手实践得好，折出那么多的1/2、1/4；有的说这是让学生自主探索得好，这是算法多样化，折法多样化，涂法多样化；有的说这是合作交流得充分。有老师甚至不理解张老师两次运用变式的奥妙，觉得两次操作后两次发问几乎一样，是不是有重复和雷同感……他们不知道，张老师在这里两次运用了变式原理，而两次的着眼点不同，第一次用同一张纸，第二次用不同的纸。

那什么是变式呢？心理学研究表明，抽象的概念需要熟悉广泛、众多的事物才得以形成。变式就是从不同角度组织感性材料，变换事物的非本质特征，在各种表现形式中突出事物的本质特征，从而使学生对概念的理解达到越来越高的概括化程度。

张老师是深谙此理的，为了使学生能深刻认识1/2、1/4，变换非本质属性，让学生用不同方法折出、涂出各种形状的1/2、1/4，从而突出不管用什么纸折，不管怎样折，只要把纸平均分成2份，每份就是它的1/2，只要把纸平均分成4份，每份就是它的1/4。理论的光芒是普照的。你真正掌握了变式原理，就可以普遍地运

用于概念教学中。比如学习垂直概念，教师开始往往出示标准的垂直图形，让学生初步认识，相交成直角的两条直线互相垂直，这概念是表征得不错，但这一标准图形的提供，无形中就增加了概念的内涵：相交

成直角的竖直、水平方向的两条直线，互相垂直。而看到就不认账，这种错误的认识，常常影响到画垂线和在三角形、平行四边形、梯形中画高，而张老师教学垂直，由于深谙变式原理，不仅提供垂直的标准式，而且提供垂直的各种变式，过直线外或直线上一点画垂线，不仅要画水平方向直线的垂线，而且要画出铅直方向的、斜方向的直线的垂线。这样学生对互相垂直就达到了概括化的理解：不管直线方向如何，只要两条直线相交成直角就互相垂直。掌握教学心理的老师在概念教学中就可以自如地普遍应用变式，不懂得教学心理的老师只能是依样学样，机械克隆，如法拷贝。

在概念教学中，说到变式，常常还要说到“反例”。现在的教育心理学已把反例整合到变式中去了，请允许我在这里仍然沿用反例的说法。什么是反例呢？反例就是故意变换事物的本质特征，使之质变为与之形似的他事物，在比较与思辨中反衬和突出事物的本质特征，从而更准确地认识概念，在教学中反例常常和变式一并提供。例如让学生辨析：

下面的图形，哪些是角，哪些不是角？（略）

又如让学生辨析，下面哪些图形是梯形，在梯形下面的括号里打√：（略）

如果说，变式是多方面地从正面强化概念的本质属性的话，那么，反例恰恰是从反面来反衬和激生对概念的本质属性的认识。

我们再来看一个教学片段：面积单位（平方分米）的教学。

学生学过平方厘米，知道边长是1厘米的正方形，面积是1平方厘米，而且已经形成了平方厘米的空间表象，之后我让学生用平方厘米度量相关图形的面积、邮票的面积，然后不露声色地让学生度量课始出现的镜框玻璃或凳面的面积，有的学生有点犹豫，有的学生还真的一平方厘米一平方厘米地度量，等到大家都觉得这样量很麻烦时，我问大家有什么想法，学生说：最好有一个大一点的面积单位来度量，我趁势让学生创造一个大一点的面积单位。有学生创造出了平方分米，我就说：“好，就用平方分米。”那什么是1平方分米呢？学生猜想（实际上是类比推理）：边长1分米的正方形，面积是1平方分米。我随即出示一个平方分米的模型，橘红色的（这里还有感知原理），指着比划着说：“哎！边长1分米的正方形，面积是1平方分米，现在我们来仔细观察平方分米这个面积单位。这里，平方分米是什么形状的？（生答：正方形。）它有多大？（生答：边长1分米的正方形这么大！）看清了吗？（生答：看清了。）看清了，就请大家把眼睛闭起来，在脑子里面想：刚才看到的平方分米是什么形状的？有多大？”（全体学生闭眼回想。）一会儿，我说：大家在脑子里留下了平方分米了吗？（学生仍闭着眼睛回想，答：留下了。）留下了就把眼睛睁开。现在请把信封里的平面图形拿出来（每个人的信封里预先都装着三四个正方形，边长1.2分米的、边长1分米的、边长0.8分米的……）我说：谁能很快地把平方分米挑出来。很多学生都很快地把平方分米挑了出来，相互交流。也有少数学生挑错了，我再引导纠正。

这个教学案例中实际上有五六个心理学原理：如何激发学习动机，如何引起联想，如何激发再造想象，如何组织首次感知，如何建立表象。但是，课上下来，老师们却较多地关注闭眼回想的环节，都觉得让学生“先观察，再闭眼睛回想，又在一堆图形中挑出”特别好，说是把平方分米的意义教活了。至于平方分米的颜色为何是显眼的橘红色，为何要闭眼，为何要挑图形，则不知底里！有的老师在后来自己的教学中竟也乐于让学生闭眼。有一次在随意听课时，我就看到这种情况，老师教的是应用题。通过例题教学，得出了一个数量关系式：总数量÷相对应的份数=平均数，课讲得很好！但是接着就见老师讲：请大家把这个数量关系式仔细观察一下，然后把眼睛闭起来，在脑子里想一想，刚才我们观察的数量关系式是怎样的，在脑子里留下来了吗？学生答：