1.3 直角三角形全等的判定
1.3直角三角形全等的判定
、三组对应边分别相等的两个三角形全等。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等。
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等。
向左转|向右转
扩展资料：
全等三角形性质
1．全等三角形的对应角相等。
2．全等三角形的对应边相等。
3. 能够完全重合的顶点叫对应顶点。
4．全等三角形的对应边上的高对应相等。
5．全等三角形的对应角的角平分线相等。
6．全等三角形的对应边上的中线相等。
7．全等三角形面积和周长相等。
8．全等三角形的对应角的三角函数值相等。
直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定
直角三角形同余的判断:1。
对应边相等的两个三角形的三组同余。
2.两条边和它们的夹角相等的两个三角形。
3.两个三角形有两个角，它们的夹紧边全等。
判定方法
方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等。
方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
性质
1．全等三角形的对应角相等。
2．全等三角形的对应边相等。
3.。
能够完全重合的顶点称为对应顶点。
4．全等三角形的对应边上的高对应相等。
5．全等三角形的对应角的角平分线相等。
6．全等三角形的对应边上的中线相等。
7．全等三角形面积和周长相等。
8．全等三角形的对应角的三角函数值相等。
直角三角形的全等判定方法
直角三角形的全等判定方法直角三角形是指一个角度为90度的三角形。
全等是指两个图形的所有对应的边和角都相等。
那么，如何判定两个直角三角形是否全等呢？下面将介绍几种判定方法。
一、SAS判定法SAS判定法是指已知两个直角三角形的一个角相等，两个边分别相等，那么这两个三角形全等。
具体操作如下：1. 已知两个直角三角形，分别为△ABC和△DEF。
其中，∠C和∠F为直角，边AC与边DF相等，边BC与边EF相等。
2. 接下来，我们需要判断边AB与边DE是否相等。
如果边AB与边DE相等，那么根据SAS判定法，△ABC和△DEF全等。
二、SSS判定法SSS判定法是指已知两个直角三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等。
具体操作如下：1. 已知两个直角三角形，分别为△ABC和△DEF。
其中，∠C和∠F为直角。
2. 接下来，我们需要判断边AB与边DE是否相等。
如果边AB与边DE相等，那么我们还需要判断边BC与边EF是否相等。
3. 如果边BC与边EF相等，那么根据SSS判定法，△ABC和△DEF 全等。
三、AAS判定法AAS判定法是指已知两个直角三角形的两个角和一个边分别相等，那么这两个三角形全等。
具体操作如下：1. 已知两个直角三角形，分别为△ABC和△DEF。
其中，∠C和∠F为直角，∠A与∠D相等。
2. 接下来，我们需要判断边AB与边DE是否相等。
如果边AB与边DE相等，那么我们还需要判断∠B与∠E是否相等。
3. 如果∠B与∠E相等，那么根据AAS判定法，△ABC和△DEF全等。
四、HL判定法HL判定法是指已知两个直角三角形的一个直角边和斜边分别相等，那么这两个三角形全等。
具体操作如下：1. 已知两个直角三角形，分别为△ABC和△DEF。
其中，∠C和∠F为直角，边AC与边DF相等。
2. 接下来，我们需要判断边BC与边EF是否相等。
如果边BC与边EF相等，那么根据HL判定法，△ABC和△DEF全等。
通过以上四种判定法，我们可以准确地判断两个直角三角形是否全等。
湘教版数学八年级下册《1.3 直角三角形全等的判定》教学设计
湘教版数学八年级下册《1.3 直角三角形全等的判定》教学设计一. 教材分析《1.3 直角三角形全等的判定》是湘教版数学八年级下册的教学内容。
本节内容主要介绍了直角三角形全等的判定方法，包括HL，ASA，AAS，SAS四种判定方法。
通过学习，学生能够熟练掌握直角三角形全等的判定方法，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了全等图形的概念，并掌握了全等三角形的判定方法。
但是，对于直角三角形全等的判定，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将全等的判定方法与直角三角形的特点相结合，帮助学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法。
三. 教学目标1.了解直角三角形全等的判定方法，能够熟练运用到实际问题中。
2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣，提高学生的学习积极性。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形全等的判定方法。
2.教学难点：如何将全等的判定方法与直角三角形的特点相结合。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究直角三角形全等的判定方法。
2.利用几何画板等教学工具，直观展示直角三角形全等的判定过程。
3.学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和沟通能力。
4.通过举例和练习，巩固学生对直角三角形全等判定方法的掌握。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备几何画板等教学工具。
3.准备练习题和拓展题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板展示一个直角三角形，引导学生观察和思考直角三角形全等的特点。
2.呈现（10分钟）介绍直角三角形全等的四种判定方法：HL，ASA，AAS，SAS。
并通过几何画板展示判定过程，让学生直观地理解直角三角形全等的判定方法。
3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，让学生结合直角三角形的特点，运用所学的判定方法判断两个直角三角形是否全等。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一组练习题，让学生独立完成。
1.3直角三角形全等的判定
2.一个锐角及和锐角相邻的一直角边对应相等；（）
3.一锐角与斜边对应相等；（）
4.两直角边对应相等；（）
5.两边分别相等；（）
6.斜边和一条直角边对应相等的两个三角形.（）
2.如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据
合作探究环节内容、形式、时间
展示提升环节
质疑评价环节
内容、方式、时间
概念认知与例题导析
【看一看想一想做一做】
一、看P19---P20并思考一下问题：
1、“HL”中“H”代表什么？“L”代表什么？“HL”表示的是什么意思？
2、直角三角形中，如果其中两边已知，那么第三边的长度是否确定？为什么？
3、如何验证“HL”可以判定两个三角形全等？
对子学：
讨论学习【看一看做一做想一想】中第2题
互助组：
交流学习【看一看想一想做一做】
共同体：
共同探究，直角三角形全等的证明书写格式
展示方案一
展示内容：
【看一看想一想做一做】
展示方案二
展示内容：
P20页例题1展示
归纳总结环节：
【达标检测】
基础题：
二、自学检测：
1.请判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，若不全等，在括号内打“×”，若全等，在括号内注明理由。
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，根据
（5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据
《1.3直角三角形全等的判定》作业设计方案-初中数学湘教版12八年级下册
《直角三角形全等的判定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本课时的作业练习，使学生能够熟练掌握直角三角形全等的概念，并能准确应用判定条件判断直角三角形是否全等，培养学生解决实际问题的能力，并巩固其数学逻辑思维。
二、作业内容本课时的作业内容主要围绕直角三角形全等的判定展开，具体包括：1. 基础概念练习：要求学生回顾并掌握直角三角形的定义及全等三角形的概念，并完成相关概念的填空题和选择题。
2. 判定条件应用：通过题目练习，要求学生理解并掌握直角三角形全等的SSS、SAS、ASA和HL等判定方法，并能灵活运用这些方法判断题目中给出的两个直角三角形是否全等。
3. 实际问题解决：设计一些与日常生活相关的直角三角形全等问题，如建筑工地上的测量问题、几何图案的拼接等，要求学生运用所学知识解决实际问题。
三、作业要求1. 独立完成：学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 仔细审题：在解题过程中，学生需认真审题，理解题目要求，明确解题思路。
3. 规范答题：学生需按照规范的格式和步骤进行答题，字迹工整，思路清晰。
4. 及时订正：学生需在完成作业后及时订正错误，并反思解题过程，总结经验教训。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生的答题情况，从知识掌握、解题思路、答题规范等方面进行评价。
2. 评价方式：采用教师批改、同学互评、自我评价等多种方式进行评价。
3. 反馈方式：教师需及时给出作业评价反馈，指出学生的优点和不足，并提出改进意见。
同时，教师还需针对学生的错题进行讲解，帮助学生巩固知识。
五、作业反馈1. 教师反馈：教师需在批改完作业后，针对学生的答题情况进行总结，并给出针对性的教学建议。
2. 学生自我反馈：学生需在订正错误后，反思自己的解题过程，总结经验教训，以便在今后的学习中避免类似错误。
3. 家长反馈：家长需关注孩子的作业完成情况，与孩子一起分析错题原因，帮助孩子提高数学学习能力。
通过以上作业设计，旨在通过多维度、多层次的练习，帮助学生全面掌握直角三角形全等的判定知识，并培养其解决实际问题的能力。
湘教版八年级数学下册_1.3 直角三角形全等的判定
1.3 直角三角形全等的判定
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
斜边、直角边定理 三角形全等的判定方法 用尺规作直角三角形
逐点 导讲练课堂 小结Βιβλιοθήκη 作业 提升感悟新知
知识点 1 斜边、直角边定理
知1－讲
定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
(可以简写成“斜边、直角边”或“HL” ) .
判定两个直角三角形全等.
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣尺规作直角三角形的基本步骤作图 .
解： 如图 1.3 － 5，△ ABC 即 为所求作的直角三角形 .
课堂小结
直角三角形 全等的判定
特殊 直角三角形 一般
HL
全等的判定
SAS ASA AAS SSS
可证两角的夹边对应相等 或一相等角的对边对应相 等
可证直角与已知锐角的夹 边对应相等或已知锐角(或 直角)的对边对应相等
感悟新知
斜边(H)
直角
三角 形
一直角边
(L)
HL 或 AAS
HL 或 ASA或 AAS 或 SAS
知2－讲
可证一条直角边对应相等 或一锐角对应相等
可证斜边对应相等或与已 知边相邻的锐角对应相等 或已知边所对的锐角对应 相等或另一直角边对应相 等
第三步：设法推导出所缺的条件； 第四步：整理书写证明过程 .
感悟新知
知识点 2 三角形全等的判定方法
判定两个三角形全等常用的思路方法如下表：
知2－讲
已知对应 可选择的 相等的元素 判定方法
需寻找的条件
锐角 三角
两边(SS)
形或
钝角 一边及其邻
三角 角( SA) 形
1.3直角三角形全等的判定
AB=BA AC=BD ∴Rt△ABC≌ Rt △BAD（HL）
∴BC=AD（全等三角形对应边相等）
C B
牛刀小试
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上， 另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离 旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
实际问题 数学问题
解：BD=CD ∵∠ADB=∠ADC=90°
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发 现它们分别对应相等。于是，他就肯定“两个直角三角形是全 等的”。
斜边和一条直角边对应相等→
两个直角三角形全等
你相信这个结论吗？
让我们来验证这个结论。
请你动手画一画
A
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。
再画一个Rt△A´B´C´，使得
∠C´= 90°， B´C´=BC，A´B´= AB。
下课了!
结束寄语
不经历风雨，怎么见 彩虹.,没有人能随随
便便成功!
直角三角形全等的判定
(HL)
A
D
E
B
C
F
创设情境
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直 角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无 法测量。
(1) 你能帮他想个办法吗？
根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角 根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角。
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗?
在Rt△ABD和Rt△ACD中 AB=AC AD=AD
∴Rt△ABD≌ Rt△ACD(HL)
∴BD=CD
通过这节课的学习你有何收获？
1. 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般 三角形判定全等的方法，还有直角三角形特殊的 判定方法——“H.L”.
湘教版数学八年级下册《1.3直角三角形全等的判定》说课稿
湘教版数学八年级下册《1.3 直角三角形全等的判定》说课稿一. 教材分析湘教版数学八年级下册《1.3 直角三角形全等的判定》这一节主要讲述了直角三角形全等的判定方法。
在学习了三角形全等的判定之后，学生已经掌握了全等三角形的性质和判定方法。
本节内容是在此基础上，进一步探讨直角三角形全等的判定方法，为后续学习直角三角形相似、解直角三角形等知识打下基础。
本节内容共安排了2个课时，第1课时主要介绍直角三角形全等的判定方法，第2课时通过练习，巩固直角三角形全等的判定方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了全等三角形的性质和判定方法，能够识别和判断一般三角形的全等。
但在直角三角形的全等方面，学生可能还存在以下问题：1.对直角三角形全等的判定方法理解不深，容易混淆。
2.在实际操作中，不能灵活运用直角三角形全等的判定方法。
3.对全等三角形的性质和判定方法的应用范围把握不准确。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握直角三角形全等的判定方法，能够灵活运用判定方法判断直角三角形的全等。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和创新能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形全等的判定方法。
2.教学难点：直角三角形全等判定方法的灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作学习、探究学习等教学方法，引导学生主动参与、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、黑板等教学手段，辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习全等三角形的性质和判定方法，引出直角三角形全等的判定。
2.自主探究：让学生观察、思考、交流，探索直角三角形全等的判定方法。
3.讲解演示：教师讲解直角三角形全等的判定方法，并进行实物演示，帮助学生理解。
6.直角三角形全等的判定
忆一忆 相等 ，对应角 1、全等三角形的对应边 ---------, -相等
--------2、判定三角形全等的方法有：
SAS、ASA、AAS、SSS 3、认识直角三角形 Rt△ABC
A 直 角 边 C
斜边 直角边
B
4、如图，AB⊥BE于C， DE⊥BE,垂足为E，
A B
C
F
E D
（1）若 A= D，AB=DE，则 △ABC与 △DEF 全等 （填 “全等”或“不全等”）根据 ASA （用简写法） （2）若 A= D，BC=EF，则 △ABC与△ DEF 全等 （填 “全等”或“不全等”）根据 AAS （用简写法） （3）若AB=DE ，BC=EF，则 △ABC与 △DEF 全等 “全等”或“不全等”）根据 SAS （填
斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90°
∴在Rt△ABC和Rt△ ABC 中
AB=AB
BC=BC
A
C B′
∴Rt△ABC≌ Rt△ABC(HL) A ′
C′
在使用“HL”时,同学们应注意什么?
（1）“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
（2）注意对应相等.
（3）因为”HL”仅适用直角三角形,A
书写格式应为:
∵在Rt△ ABC 与Rt△ DEF中
C B
AB =DE
AC=DF
D
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
F
E
想一想
１、总共有几种方法可以证明两个直角三角形全 等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一 般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS， 还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.
八年级数学下册第1章直角三角形1.3直角三角形全等的判定习题课件
判定方法 SAS HL AAS
ASA或AAS
题组一:应用“HL”证明直角三角形全等 1.如图,四边形ABCD中,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAC=35°, 则∠BCD的度数为 ( )
A.145°
B.130°
C.110°
D.70°
【解析】选C.∵∠ABC=∠ADC=90°, ∴在Rt△ABC与Rt△ADC中, CB=CD,AC=AC, ∴△ABC≌△ADC,又∠BAC=35°, ∴∠ACD=∠ACB=55°, ∴∠BCD=110°.
【思路点拨】(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BDE= ∠CDE,然后利用“边角边”证明△BDE和△CDE全等即可. (2)先判定△ABF为等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的 两直角边相等可得AF=BF,再根据同角的余角相等求出∠EAF= ∠CBF,然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可.
【总结】 斜边、直角边定理:___斜__边和一条___直__角__边对应相等的两个
直角三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形全等(可以简写成“__斜__边__、__直__角__边_”或“_H__L”).
(打“√”或“×”) (1)“HL”定理适合所有三角形全等的判定. ( × ) (2)判定两个直角三角形全等只能用“HL”定理. ( × ) (3)有两条边对应相等的三角形全等. ( × ) (4)一条直角边和一个锐角对应相等的三角形全等. ( √ )
DC， FD.
∴Rt△EBD≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF.
【总结提升】应用“HL”应注意的三个问题 1.“HL”是判定两个直角三角形全等的方法,对于一般的三角 形不成立,在使用时一定要注意其应用的范围. 2.在书写格式上,三角形的前面必须注明“Rt”. 3.在题设中,没有指明但又是直角三角形的,必须依照定义说明 或推证是直角三角形,否则不能直接应用“HL”.
1.3直角三角形全等的判定
桃 源 县 漆 河 镇 中 学 教 师 电 子 教 案NO年 月 日 第 周 星 期 第 节课 题1.3直角三角形全等的判定课 型新授教学目标知 识与技能 1、已知斜边和直角边会作直角三角形；2、熟练掌握“斜边、直角边公理”，以及 熟练地利用这个公理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；3、熟练使用“分析综合法”探求解题思路.过 程与方法 通过探究性学习，营造民主和谐的课堂气氛，初步学会科学研究的思维方法；通过一题多变、一题多解，培养学生的发散思维能力，增强学生的创新意识和创新 能力；通过实践探究，培养学生读题、识图能力，提高学生观察与分析，归纳与概括的能力.情 感 态 度 价值观通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，初步感受普遍性与特殊性 之间的辩证关系；在探究性学习活动中培养学生刻苦钻研、实事求是的态度，勇于探索创新的精神，增强学生的自主性和合作精神. 教 学 重 点 “斜边、直角边公理”的掌握和灵活运用. 教 学 难 点 数学语言的正确表达. 教 具 准 备多媒体课件教 学 过 程教 师 活 动学 生 活 动 （一） 提出问题，创设情景1．说出判定一般三角形全等的依据，并说出它们的共同点. 2．判断：如图，具有下列条件的Rt △ABC 与Rt △A ′B ′C ′（其中∠C ＝∠C ′＝Rt ∠）是否全等，在（ ）里填写理由；如果不全等，在（ ）里打“×”：（1）AC ＝A ′C ′,∠A ＝A ′（ ）（2）AC ＝A ′C ′，BC ＝B ′C （ ）（3）AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′（ ）（4）∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′（ ）（5）AC ＝A ′C ′，AB ＝A ′B ′（ ）3．问题：有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？ （二）实验操作，探究结论例1．如图，已知线段a 、c （a c ）.画一个Rt △ABC ，使∠C ＝90°，一直角边CB ＝a ，斜边AB ＝c . a结合生活经验讨论回答讨论归纳BA ABC C c桃 源 县 漆 河 镇 中 学 教 师 电 子 教 案教 学 过 程教 师 活 动学 生 活 动（三）揭示课题，理解公理1．判定两个直角三角形全等的公理： 斜边、直角边公理 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL ”）2．注意：（1）“HL ”公理是仅适用于Rt △的特殊方法。
《1.3直角三角形全等的判定》作业设计方案-初中数学湘教版12八年级下册
《直角三角形全等的判定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对直角三角形全等判定定理的理解，能够通过实际操作加深对全等三角形性质的认识，并能够运用所学知识解决实际问题。
二、作业内容1. 理论学习：学生需认真阅读教材中关于直角三角形全等判定的理论知识，包括HL判定法（斜边与直角边对应相等）和其他判定方法（如ASA、AAS等），并完成相关练习题。
2. 实践操作：学生需准备几何工具（如直尺、三角板、量角器等），绘制两个全等的直角三角形，并利用三角形的全等判定方法证明其全等。
学生可以尝试不同的判定方法，例如，用HL 法，使两直角三角形斜边及直角边分别对应相等；或用ASA法，确保两角及夹角相等。
3. 思考题：请思考在现实生活中有哪些情境会涉及到直角三角形的全等判定，如建筑测量、路桥设计等。
这些场景中，为何需要应用全等的概念？试举一例进行简要描述并分析其全等的判定依据。
4. 课后任务：搜集生活中实际例子（如课本中的经典问题、现实中的工程图等），用所学知识分析其是否为全等三角形，并简述判定过程。
三、作业要求1. 学生在完成实践操作时，需保证绘制的三角形符合标准要求，使用工具时要仔细，以获得精确的几何图形。
2. 在进行思考题时，要深入分析实际情况中可能遇到的问题，以及这些问题中可能应用的数学定理和几何概念。
3. 课后任务中，学生应寻找与实际生活相关的例子，分析并撰写完整的解题过程。
文字描述应清晰明了，最好附上图片或示意图来辅助说明。
4. 作业应按时提交，书写工整，格式规范。
四、作业评价1. 评价标准：作业的完成度、准确性、创新性以及实践操作的规范性。
2. 评价方式：教师批改与同学互评相结合。
教师根据学生的完成情况进行评分，并给出详细的批改意见；同学之间可以互相交流作业，提出自己的看法和建议。
五、作业反馈1. 教师将根据批改情况，对共性问题进行课堂讲解和答疑。
2. 对于表现优秀的学生，教师将给予表扬和鼓励；对于存在问题较多的学生，教师将进行个别辅导和指导。
1.3 直角三角形全等的判定(2)
1．3 直角三角形全等的判定1．熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；(重点)2．熟练使用“分析综合法”探求解题思路．(难点)一、情境导入前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS 、ASA 、AAS 、SSS.当然这些方法也适用于判定两个直角三角形全等，那么直角三角形的全等的判定还有其他的方法吗？二、合作探究探究点一：运用“HL ”判定直角三角形全等如图所示，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 交CE 于点F ，AD ＝EC .求证：F A ＝FC .解析：要利用“等角对等边”证明F A ＝FC ，需先证∠F AC ＝∠FCA ，此结论可由三角形全等得到．证明：∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AEC ＝∠ADC ＝90°.∴在Rt △AEC 和Rt △CDA 中⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝AD ，CA ＝AC ，∴Rt △AEC ≌Rt △CDA (HL)，∴∠F AC ＝∠FCA ，∴F A ＝FC . 方法总结：在运用HL 判定两个直角三角形全等时，要紧紧抓住直角边和斜边这两个要点．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题探究点二：直角三角形判定方法的灵活应用【类型一】 解决线段相等问题已知如图AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F .求证：CE ＝DF .解析：根据已知条件证明现有的Rt △ABC 与Rt △BAD 全等，得出线段和角相等，再证Rt △ACE 和Rt △BDF 全等，从而解决问题．证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，BC ＝AD ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL)，∴AC ＝BD ，∠CAB ＝∠DBA ，∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠DFB ＝90°，在△CAE 和△DBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CEA ＝∠DFB ＝90°，∠CAE ＝∠DBF ，AC ＝BD ，∴△CAE≌△DBF (AAS)，∴CE ＝DF .方法总结：一般三角形全等的判定方法仍然适用于直角三角形，因此判定直角三角形全等的方法有五种，不要只限于“HL ”．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型二】 灵活选用判定方法解决线段和差问题已知，如图所示，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，且B 、C在DE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：BD ＝DE ＋CE .解析：先证△ABD ≌△ACE ，再根据等量代换得出结论．证明：∵BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°，又∵∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝∠CAE ＋∠BAD ，∴∠ABD ＝∠CAE ，又∵AB ＝CA ，∴△ABD ≌△CAE ，∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∵AE ＝AD ＋DE ，∴BD ＝CE ＋DE .方法总结：当看到题目中要证线段和差关系时，而且这三边分别在两个全等三角形中时，可先判定两三角形全等，再证明线段关系．在证明全等时可灵活选用判定方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题探究点三：利用尺规作直角三角形已知：线段a ，如图．求作：Rt △ABC ，使BC ＝a ，AB ＝32a ，∠C ＝90°. 解析：已知直角三角形的斜边和一条直角边，先考虑作出直角，然后截取直角边，再作出斜边即可．解：作法：如图所示，(1)作l 2⊥l 1于点C ；(2)在l 1上截取CB ＝a ；(3)以点B 为圆心，以32a 的长为半径画弧，交l 2于点A ； (4)连接AB ，Rt △ABC 即为所求．方法总结：尺规作图时，应养成先画草图的习惯，再根据草图分析作图的先后顺序． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．斜边、直角边定理斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“HL ”)2．直角三角形判定方法的灵活应用使用“HL ”定理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等．这在课堂教学中要反复强调，这是与前面四种方法的区别，是学生很容易犯的错误，同时学生利用尺规作直角三角形还不熟练，要注重培养他们的动手操作能力。
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1.3 直角三角形全等的判定
01课前预习
要点感知斜边、直角边定理：斜边和________条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简称“斜边、直角边”或“HL”．
预习练习如图，AB＝CD，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，
若BE＝CF，则△ABE≌△________，其依据是________．
02当堂训练
知识点1直角三角形全等的判定
1．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（）
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS
2．在下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）
A．两条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一个锐角和它所对的直角边对应相等 D．一条斜边和一条直角边对应相等
3．如图，已知AC＝AD，∠ACB＝∠ADB＝90°，则全等三角形共有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
4．已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE＝DF，AB＝DC，则△ABE≌△________.
5．如图，已知BD⊥AE于点B，C是BD上一点，且BC＝BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A＝∠D
或________或________或____________．
6．已知：如图，BE、CD为△ABC的高，且BE＝CD，BE、CD交于点P，若BD＝2，则CE＝________.
7．已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE＝BF，∠D＝60°，则∠A＝________.
8．已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AB⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为B、E，且AC＝DF，连接AC、DF.求证：∠A＝∠D.
9．已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE＝BF.求证：AB∥CD.
03课后作业
10．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，过点D作DE⊥BC交AB于点E，则有（）
A．DE＝DB B．DE＝AEC．AE＝BE D．AE＝BD
11．用三角尺可按下面方法画角平分线：如图，在已知∠AOB两边上分别取OM＝ON，
再分别过点M、N作OA、OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
作图过程用到了△OPM≌△OPN，那么△OPM≌△OPN的依据是________．
12．如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.
求证：△ADE≌△BEC.
13．在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：BE＝BF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF度数．
挑战自我
14．已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.
(1)如图1，若点O在边BC上，求证：∠ABO＝∠ACO；
(2)如图2，若点O在△ABC的内部，求证：∠ABO＝∠ACO.
图1 图2
1.4 角平分线的性质(1)
01课前预习
要点感知1角平分线的性质定理：角的平分线上的点到________的距离相等．
预习练习1－1已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE＝3 cm，则点D到AC的距离是（）
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm
要点感知2角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在____________上．
预习练习2－1如图，P是∠MON内一点，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，若PE＝PF，则OP平分∠MON，其依据是________________________．
02当堂训练
知识点1角平分线的性质
1．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离等于（）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是________．
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB＝4，且点D到BC的距离为3，则BD＝________.
5．如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD，CE交于点O，且AO平分∠BA C.求证：OB＝OC.
知识点2角平分线的判定
6．如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，∠BAD＝25°，则∠CAD＝（）
A．20°B．25° C．30°D．50°
7．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）
A．线段CD的中点 B．OA与OB的中垂线的交点
C．OA与CD的中垂线的交点 D．CD与∠AOB的平分线的交点
8．如图：在△ABC中，∠C＝90°，DF⊥AB，垂足为F，DE＝BD，CE＝FB.求证：点D在∠CAB的角平分线上．
03课后作业
9．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，BD 是∠ABC 的平分线， 设△ABD，△BCD 的面积分别为S 1、S 2，则S 1∶S 2等于（ ）
A ．2∶1 B.2∶1 C ．3∶2 D ．2∶ 3
10．如图，∠AOB ＝30°，OP 平分∠AOB，PC ∥OB ，PD ⊥OB ，如果PC ＝6，那么PD 等于（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
11．如图，已知点P 在射线BD 上，PA ⊥AB，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ，且PA ＝PC ，下列结论错误的是（ ） A ．AD ＝CP B ．点D 在∠ABC 的平分线上 C ．△ABD ≌△CBD D ．∠ADB ＝∠CDB
12．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线．若AB ＝6，则点D 到AB 的距离是________．
13．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F. 求证：∠B＝∠C.
14．如图，已知BE⊥AC，CF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，BE ，CF 相交于点D ，若BD ＝CD.求证：AD 平分∠BAC.
挑战自我
15．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于E ，EF ⊥AB ，交AB 于F ，EG ⊥AC ，交AC 的延长线于G ，试问：BF 与CG 的大小如何？证明你的结论．
第2课时角平分线的性质和判定的应用
01课前预习
要点感知三角形________________________到三边距离相等．
预习练习已知点P到△ABC各边的距离相等，则点P在（）
A．各边的垂直平分线上B．各边的中线上 C．各内角的平分线上D．各边的高上
02当堂训练
知识点角平分线的性质和判定的应用
1．如图，P是∠AOB的平分线OC上一点(不与O重合)，过P分别向角的两边作
垂线PD，PE，垂足是D，E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有（）
A．3对B．2对 C．1对D．没有
2．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，
要使凉亭到AB，AC，BC的距离相等，凉亭的位置应选在于（）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点
3．如图，若AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，
且PE＝3 cm，则AB与CD之间的距离为（）
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．无法确定
4．如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，
由D出发，作点D到BC，AC和AB的垂线DE，DF和DG，
垂足分别为E，F，G，则DE，DF，DG的关系是____________．
5．已知：如图，AC⊥OD，AE⊥OF，BD⊥OD，BF⊥OF，AC＝AE，求证：BD＝BF.
6．如图，在△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB，AC于E，F两点．求证：AD⊥EF.
7．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，求证：PM＝PN.
8．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
则三个结论①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP，中（）
A．全部正确B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确
9．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，
要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
10．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝50°，则∠BOC＝________. 11．如图，某校八年级学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路AB，AC的
交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请你找出点P.
12．已知：如图所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF.
挑战自我
13．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
(1)若连接AM，则AM是否平分∠DAB？请你证明你的结论；
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．。