第一章第二节数列的极限

例如， x1 , x2 ,, xi , xn , 注意：在子数列 x nk 中，一般项 x nk 是第 k 项，
x n1 , x n2 ,, x nk ,
而 x nk 在原数列 x n 中却是第 x k 项，显然，nk k .
定理５ 相同． 证
收敛数列的任一子数列也收敛．且极限
1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
1 有 xn 1 , 1000
1 1 给定 , 只要 n 10000 , 时, 有 x n 1 10000 10000
设数列 x nk 是数列 x n 的任一子数列．
n
lim x n a ,
0, N 0, 使 n N 时, 恒有 xn a .
取 K N,
则当 k K 时, nk nk nK N .

lim x nk a . xnk a . k
由数列极限定义，应存在正整数N,使得当n>N 时，总有
x xn x
即得
xn x ( x a) a 0 ．
类似可证明 a
0
的情形．
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５、子数列的收敛性
定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到
2 4 8 2
1 2 3 , , , 2 3 4 , n , n 1
越来越与1无限接近；
1, 1, 1, , (1) n 不是越来越与某个数接近．
数列极限的直观定义: 当 n 无限增大时，如果数列的项
xn
无限接近某一个常数 A, 则称常数 A
xn 的极限， 为数列 用数列的项与常数Ａ的距离来刻划两者接 近情况。无限接近，说明两者距离可以任 问题: “无限接近”意味着什么 ?如何用数学语言 意小，想多小，就可以多小。 刻划它.
收敛的数列必定有界.
n
证 设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数 n,皆有 x n M , 故xn 有界.
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列, 简称数列. 其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .
例如
2,4,8,,2 n ,;
1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
例5 证明数列x n ( 1) n 1 是发散的.
1 xn a , 由定义, 对于 , 证 设 lim n 2 1 则N , 使得当n N时, 有 x n a 成立, 2 1 1 即当n N时, x n (a , a ), 区间长度为1. 2 2 而xn无休止地反复取 1, 1两个数,
{2 } 1 { n} 2
n
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
{(1)
n 1
}
1 4 n ( 1) n 1 2, , , , ,; 2 3 n
n ( 1) n 1 { } n
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X2 2 ; 2 2


1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
; : 至少有一个或存在. 其中 : 每一个或任给的
几何解释:
来自百度文库
a
x2 x1 x N 1
2
a
x N 2 x3
a
x
当n N时, 所有的点 x n 都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
数列极限的定义未给出求极限的方法. 注意：
lim q n 0.
n
ln n , ln q
就有 q n 0 ,
例4 设x n 0, 且 lim x n a 0,
n
求证 lim x n a .
n
xn a, 证 任给 0, lim n
N使得当n N时恒有 x n a 1 ,
从而有 x n a xn a xn a 1 xn a a a
故 lim x n a .
n
四、数列极限的性质
1、唯一性
定理１ 若数列{xn}的极限存在，则极限是唯 一的．
证 设 lim xn a, 又 lim xn b,
n n
由定义,
0, N 1 , N 2 .使得 当n N 1时恒有 xn a ;
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列是整标函数 xn f ( n).
三、数列的极限
( 1) 观察数列{1 n
n 1
} 当 n 时的变化趋势.
播放
问题: 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:
( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于1. n 1 1 1 1 , , , , 越来越与0无限接近； n
不难看出， xn xn1 ，即 {xn } 是单调增加数列，且
xn 1 1 1 2! 1 1 2 n! 21 1 1 3 3 n(n 1) n
所以数列 {xn } 有上界， 根据单调有界准则，
lim xn
n
存在， 用字母e表示该极限，
即
1 n lim(1 ) e n n
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上, { xn }是有界的, 但却发散.
3、单调有界准则
定义 数列{xn}的项若满足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…,则称数 列{xn}为单调增加数列;
若满足 x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…, 则称数列 {xn} 为单调
减少数列; 当上述不等式中等号都不成立时,则分别称{xn} 是 严格单调增加和严格单调减少数列.
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
2、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数n , 恒有 x n M 成立, 则称数列x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
定理2
lim x n a , 或 x n a ( n ).
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 1.不等式 x n a 刻划了x n与a的无限接近 ;
2. N与任意给定的正数有关.
xn a N定义 : lim n 0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn C .
n
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim xn C .
n
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
n (1)n1 xn , n
xn 1 ( 1) n 1 1 1
n
n
n
100 1000 10000 100000 1000000 1010
xn
0.99 0.999 0.9999 0.99999 0.999999 1-10-10
|xn-1|
0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 10-10
1 1 1 1 (1 ) 2! n
1 1 2 (1 )(1 ) n! n n
类似地，也可以得到
xn 1 1 1 1 1 (1 ) 2! n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 ) (1 ) n! n 1 n 1 n 1 1 1 2 n (1 )(1 ) (1 ) (n 1)! n 1 n 1 n 1
第二节
数列的极限
一、数列极限概念的引入 二、数列的定义 三、数列极限的定义 四、数列极限的性质
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
播放
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R


正 6 2 n 1 形的面积 An
q 0, 其中 q 1. 例3 证明 lim n
n
n 则 lim q lim 0 0; 若 q 0 , 任给 0 , 证 n n
若0 q 1,
xn 0 q n , n ln q ln ,
ln 取N [ ], 则当n N时, ln q
定理3
单调有界数列必有极限．
几何解释：由于数列是单调的，所以它的各项所 表示的点在数轴上都朝着一个方向移动．这种移 动只有两种可能，一种是沿着数轴无限远移，另 一种是无限地接近一个定点．由于数列有界，所 以只能是后者．
x1 x2 x3 xn xn1 x M
分解：
单调增加且有上界的数列必有极限;单
调减少有下界的数列必有极限.
例６ 证明
1 n lim(1 ) 存在． n n
1 n 证明 令 xn (1 n )
，由二项式定理得：
n(n 1) (n n 1) 1 n n! n
n 1 (1 ) n
1 1 n(n 1) 1 xn (1 ) n 1 n 2 n n 2! n
给定 0, 只要 n N ( [1])时, 有 x n 1 成立.
定义
如果对于任意给定的正数 ( 不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立, 那末就称常数 a 是数列
x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
4、保号性
定理４（保号性）设
lim xn x 0 (或 0)
n
则对任意一个满足不等式
x a 0 (或x a 0)
的a ，存在正整数Ｎ ，使得当n>N 时，总有
xn a 0 (或xn a 0)
．
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证明
设 x 0 ，取
xa
n ( 1) n 1 1. 例1 证明 lim n n 1 n ( 1) n 1 1 证 xn 1 n n
1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或n , n 1 所以, 取N [ ], 则当n N时, n ( 1) n 1 n ( 1) n1 1. 就有 1 即 lim n n n