量子力学基础
量子力学基础知识
量子力学基础知识量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它揭示了微观粒子的性质和行为，与经典力学有着本质的区别。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括波粒二象性、不确定性原理、量子态和测量等重要概念。
1. 波粒二象性量子力学的起源可以追溯到20世纪初，当时物理学家们发现光既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这一观察结果引发了对物质微粒也具有波粒二象性的思考。
根据波粒二象性，微观粒子既可以被视为粒子，也可以被视为波动。
例如，电子和光子既可以像粒子一样在空间中传播，又可以像波动一样干涉和衍射。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的核心概念之一，由德国物理学家海森堡提出。
它指出，在测量一个粒子的位置和动量时，这两个物理量的精确测量是不可能的。
简而言之，我们无法同时准确地知道粒子的位置和动量。
这意味着测量的结果是随机的，存在一定的误差。
3. 量子态量子力学中，量子态描述了一个系统的所有信息。
量子态可以用波函数表示，波函数是描述粒子在空间中分布和运动的数学函数。
根据波函数的模的平方，我们可以得到一个粒子出现在空间中某个位置的概率。
量子态还包括诸如自旋、能量等其他信息。
4. 测量问题在量子力学中，测量是一个重要的概念。
测量会导致量子态的塌缩，即系统从一个可能的量子态跃迁到一个确定的量子态。
然而，测量结果是随机的，我们只能得到一定的概率性结果。
这与经典物理学中的确定性测量有所不同。
5. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程，由奥地利物理学家薛定谔提出。
它描述了量子体系的演化规律，可以用于求解系统的量子态和能量。
薛定谔方程是量子力学的数学基础，可以解释波粒二象性、不确定性原理和量子态等现象。
总结：量子力学是一门奇特而又挑战性的学科，它已经对人类的科学认知产生了深远的影响。
本文简要介绍了量子力学的基础知识，包括波粒二象性、不确定性原理、量子态和测量等重要概念。
了解和理解这些基础知识对于进一步深入学习量子力学以及应用量子技术具有重要意义。
量子力学三大理论基础
量子力学三大理论基础量子力学是描述微观世界中粒子运动规律的理论体系，其发展史可追溯到20世纪初。
在量子力学的研究中，有三大理论基础是至关重要的，它们分别是波粒二象性、不确定性原理和量子叠加原理。
波粒二象性波粒二象性是最早提出的量子力学的基础概念，指的是微观粒子既具有粒子的特征，如位置和能量，又具有波动的特征，如干涉和衍射。
这个概念首次被德国物理学家德布罗意提出，他认为粒子也像波一样存在一种波动。
之后的实验证实了电子、中子等粒子都具有波动性质，确立了波粒二象性的观念。
波粒二象性的概念不仅揭示了微观世界的新规律，也为量子力学的发展提供了坚实的基础。
通过波粒二象性，我们可以更好地理解微观世界中粒子的行为，例如解释干涉实验结果和电子双缝干涉现象等。
不确定性原理不确定性原理是由著名的物理学家海森堡提出的，其核心思想是在同一时刻无法确定一个粒子的位置和动量。
简单来说，当我们对一个粒子的位置进行测量时，其动量将变得不确定，反之亦然。
这个原理的提出打破了牛顿力学中确定性的观念，揭示了微观世界的一种新奇特性。
不确定性原理的发现对于我们理解和描述微观粒子的行为起到了至关重要的作用。
它不仅给出了一种全新的解释，也为量子力学的进一步发展奠定了基础。
量子叠加原理量子叠加原理是量子力学中的另一个重要基本原理，它表明一个量子系统可以处于多个态的叠加态。
换句话说，在某些情况下，一个粒子不仅可以处于A态或B态，还可以同时处于A态和B态的叠加态。
这种叠加态的出现在经典力学中是难以想象的，但在量子力学中却是一种普遍现象。
量子叠加原理为我们提供了一种全新的量子态描述方式，丰富了我们对于微观粒子行为的认识。
通过对叠加态的研究，科学家们不断深化对量子力学的理解，推动了量子技术和量子计算等领域的发展。
总结以上所述的波粒二象性、不确定性原理和量子叠加原理构成了量子力学的三大理论基础。
这三个基本概念为我们揭示了微观世界中粒子行为的规律，为科学家们探索更深奥的量子世界提供了宝贵的线索。
大学物理：第 22 章 量子力学基础
三、微观粒子波动性的应用
• 1933 年，德国的 E.Ruska 和 Knoll 等人研制成功第 一台电子显微镜。 鲁斯卡：电子物理领域的基础 研究工作，设计出世界上第一 台电子显微镜，1986诺贝尔物 理学奖
• 1982年，IBM的G.Binnig和H.Rohrer研制成功第 一台隧道扫描显微镜（STM）。
1986 诺贝尔物理学奖 宾尼：设计出扫描式 隧道效应显微镜
END
1986 诺贝尔物理学奖 罗雷尔：设计出扫描 式隧道效应显微镜
§22.2 波函数及统计解释
一、波函数
既然粒子具有波动性，应该有描述波动性的函数— —波函数。
奥地利物理学家薛定谔（E．Schrö dinger）1925 年提出用波函数Ψ(r, t)描述粒子运动状态。
I
此时电表中应出现最 大的电流。
12.25 2d sin k U
k 1,2,3,
d
若固定 角，改变加速电压，会多次出现电流极大
I
实验结果:
若固定 角，改变加速电压，会多次出现电流极大
2. G.P.汤姆逊实验 1927年英国物理学家G.P.汤姆逊做了电子通过金 多晶薄膜的衍射实验
粒子在空间各点的概率总和应为 l，
Ψ (r , t )Ψ (r , t )dV 1
*
— ( 全空间 )
END
§22.3 不确定性关系
一、位置—动量不确定关系
按照经典波动理论，约束在空间某区域内的波不可 能是单色的——不可能具有唯一的波长。 这一结论对物质波同样正确：被束缚在某区域的粒 子不可能具有确定的动量，即粒子的坐标和动量不 能同时取确定值，存在一个不确定关系。
Bohr:
所有粒子的不确定性是原则的、本性的。
大学物理理论：量子力学基础
大学物理理论：量子力学基础1. 介绍量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观粒子的行为和性质。
本文将介绍一些关于量子力学的基本概念和原理。
2. 原子结构和波粒二象性2.1 光电效应光电效应实验证明了光具有粒子性。
解释光电效应需要引入光量子（光子）概念，并讨论能量、动量和波长之间的关系。
2.2 德布罗意假设德布罗意假设认为微观粒子也具有波动性。
通过计算微观粒子的德布罗意波长，可以得出与经典物理不同的结果。
3. 波函数和不确定性原理3.1 波函数及其统计解释波函数描述了一个系统的状态，并包含了关于该状态各个可观测量的信息。
通过波函数，可以计算出一系列平均值，用来描述系统的特征。
3.2 不确定性原理不确定性原理指出，在某些情况下，无法同时准确地确定一个粒子的位置和动量。
这涉及到测量的本质和粒子与波的性质之间的关系。
4. 玻尔模型和量子力学4.1 玻尔模型玻尔模型是描述氢原子中电子运动的经典物理学模型。
它通过量子化角动量来解释氢原子光谱，并提供了首个对原子结构和能级分布的定性解释。
4.2 泡利不相容原理泡利不相容原理说明电子在同一能级上必须具有不同的状态。
这为填充多电子原子如何达到稳态提供了解释。
5. 薛定谔方程及其解析方法5.1 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程。
它描述了波函数随时间演化的规律，以及如何通过波函数求得可观测量的平均值。
5.2 解析方法介绍几种求解薛定谔方程的解析方法，如分离变量法、变换法等，并通过示例问题演示其使用过程和计算结果。
6. 哈密顿算符与算符方法6.1 哈密顿算符哈密顿算符是用于描述系统总能量的数量。
介绍哈密顿算符的概念和性质，并讨论如何通过其本征值和本征函数求解问题。
6.2 算符方法算符是量子力学中描述可观测量的数学工具，介绍常见的一些算符，如位置算符、动量算符等，并讨论它们之间的对易关系。
结论量子力学作为现代物理学的基石，为我们理解微观世界提供了全新的视角。
量子力学基础
量子力学基础量子力学是一门研究微观世界的物理学科，其研究对象是原子，分子以及更小的粒子。
相比经典力学而言，量子力学更加深奥、多变，虽然被数学化的描述形式非常精致，但仍然存在着一些难以理解的问题。
1. 粒子的波粒二象性：偏振实验回归到物理学的起点，我们会想到牛顿第一定律、摩擦力等经典概念，这些概念结合起来就可以很好地解释力学现象，却无法解释一些现象如光学实验中的偏振现象，也就是说，光具有波动性质，这丝毫不起眼的光子却颠覆了科学家们对物质的认识。
波粒二象性既是一种直观表现，又是一种对量子粒子行为的描述。
最著名的实验就是二十世纪初由英国科学家Thomas Young首次提出的杨氏双缝干涉实验，这个实验在光学和其他领域都被广泛用于解释量子力学基础概念，它不仅欧洲牛津大学的量子力学教材中出现，而且出现在了《生活大爆炸》等大众文化中。
这项实验能够说明光实际上是由一系列能够相互干扰的波构成的，而同样可以得出这一结论的实验不仅仅局限于光学，例如，Young实验也在微观粒子的电子双缝干涉实验中被重复实现，这一实验表明了量子粒子行为上的奇异性质。
2. 物理量的不确定性：海森堡测不准原理在粒子的量子状态下，物理特征指标可以发生变化，并且量子比经典物理学更复杂得多。
海森堡测不准原理是量子力学中的一个基本概念，它断言在某些物理实验中，同时测量粒子的两个或更多个性质（例如，位置和动量）是不可能获得一个完全准确的结果的。
例如，我们试图通过测量粒子的位置来确定其精确的动量，我们需要测量粒子位置的变化，这样粒子就不能在特定时间的某个位置上。
这种粒子位置和动量之间的不确定性，是一种基本的量子现象，可以在许多实验中观察到。
3. 量子纠缠：特别的量子机制量子纠缠也是量子力学基础领域的一个重要现象，可以帮助我们更好地理解量子领域中的基本概念。
粒子的量子状态能够纠缠，这意味着，当两个或更多粒子在某种特定的方式下存在时，它们的抽象量子状态将是相互依存的。
物理化学-量子力学基础
04 量子力学的应用
量子计算
量子计算
量子计算机
利用量子力学原理进行计算，具有经典计 算无法比拟的优势，如加速某些算法、实 现更高级别的加密等。
利用量子比特作为计算基本单位，能够实 现并行计算，大大提高计算效率。
量子算法
量子纠错码
基于量子力学原理设计的算法，如Shor算 法、Grover算法等，能够解决经典计算机 无法有效解决的问题。
不确定性原理
总结词
指在量子力学中，无法同时精确测量某些对立的物理量，如位置和动量、时间和能量等。
详细描述
不确定性原理是量子力学中的重要原理之一，它表明微观粒子的某些物理量无法同时被精确测量。这是因为测量 一个物理量可能会对另一个物理量产生干扰，从而影响其测量精度。这一原理限制了人们获取微观粒子精确信息 的可能性。
量子态和叠加态
总结词
量子态是指微观粒子所处的状态，可以 用波函数来描述；叠加态是指一个量子 系统可以同时处于多个状态的叠加。
VS
详细描述
在量子力学中，微观粒子的状态由波函数 来描述。波函数是一个复数函数，其模方 的物理意义是粒子处于某个状态的概率幅 。当一个量子系统可以同时处于多个状态 时，这些状态被称为叠加态。叠加态是量 子力学中的基本概念之一，它解释了微观 粒子的一些奇特性质，如干涉和纠缠等。
利用量子力学原理设计的错误纠正码，能 够提高量子计算机的稳定性。
量子通信
01
02
03
04
量子密钥分发
利用量子力学原理实现密钥分 发，能够保证通信的安全性。
量子隐形传态
利用量子纠缠实现信息传输， 能够实现无损、无延迟的通信
。
量子雷达
利用量子力学原理实现探测， 能够探测到传统雷达无法探测
量子力学基础
量子力学基础量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观世界中粒子的行为和性质。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
一、波粒二象性量子力学的核心观念之一是波粒二象性，即物质既可以表现出粒子的离散性质，又可以表现出波的波动性质。
这一观念由德布罗意提出，他认为任何物体都具有波函数。
二、波函数与波动方程波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它可以用来计算粒子的位置、动量和能量等物理量。
根据薛定谔方程，波函数满足定态和非定态的波动方程。
三、量子力学中的测量在量子力学中，测量是指对粒子某个物理量进行观测并得到相应的结果。
与经典物理学不同的是，量子物理学中的测量结果是随机的，只能得到概率分布。
四、不确定性原理不确定性原理是量子力学中的重要概念，由海森堡提出。
不确定性原理指出，在给定的时刻，不能同时准确测量一个粒子的位置和动量。
精确测量其中一个物理量，将会导致对另一个物理量的测量结果存在不确定性。
五、量子力学中的算符在量子力学中，算符是用来描述物理量的操作。
比如，位置算符、动量算符和能量算符等。
根据算符的性质，可以求得粒子的期望值和本征态等信息。
六、量子纠缠和超导量子纠缠是量子力学中的一个重要现象，它描述了两个或多个粒子之间的紧密联系。
超导是一种物质在低温条件下具有零电阻和完全抗磁的特性。
七、量子力学的应用量子力学在许多领域都有广泛的应用，尤其是在量子计算、量子通信和量子传感器等前沿科技领域。
量子力学的发展为人类带来了许多革命性的技术和突破。
八、总结量子力学作为现代物理学的重要理论基础，对我们理解微观世界具有重要意义。
本文介绍了量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
希望读者通过阅读本文，对量子力学有更深入的了解，并能进一步探索其在科学和技术中的应用前景。
第一章 量子力学基础
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
1913年, Bohr提出一个新模型: 原子中的电子在确定的分 立轨道上运行时并不辐射能量; 只有在分立轨道之间跃迁时才有 不连续的能量辐射; 分立轨道由“轨道角动量量子化”条件确定:
m、v、r分别是电子的质量、线速度和轨道半径，n是一系列正 整数. 由此解释了氢原子的不连续线状光谱. 1922年, Bohr获诺 贝尔物理学奖.
假设 1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函数Ψ（x, y, z, t） 描述， Ψ（x, y, z, t）决定了体系的全部可测物理量. 波函数应具有品优性, 包括单值性、连续性、平方可积性.
z 定态波函数 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。 （定态：概率密 度与能量不随时间改变的状态） z 波函数的具体表示形式 用量子力学处理微观体系时，要设法求出波函数的具体表示形 式。而波函数的具体表达式是由解Schrödinger方程得到的。 例如氢原子的1s态的波函数为： ψ 1s =
n=5 n=4 n=3 n=2
n=1
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效，也 能解释原子的稳定性. 但它竟不能解释 He 原子的光谱，更不 必说较复杂的原子；也不能计算谱线强度。 量子化条件是对的，半径有问题，角动量是错的； 仍属于经典力学，只是认为附加了一些量子化条件——称 为旧量子论
E = hv
λ= h / p
1.1.4 实物微粒的波粒二象性
1927年，戴维逊、革末用电子束单晶衍射法，G.P.汤姆逊用 多晶透射法证实了物质波的存在. 1929年, de Broglie获诺贝尔物 理学奖；1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔奖.
第22章量子力学基础
第22章量⼦⼒学基础第22章量⼦⼒学基础⼀、德布罗意物质波德布罗意认为不仅光具有波粒⼆象性，实物粒⼦也具有波粒⼆象性。
描述实物粒⼦波函数中的、与实物粒⼦的能量E和动量p 的德布罗意关系：戴维孙-⾰末电⼦衍射实验，约恩孙电⼦双缝⼲涉实验都证实了电⼦具有的波动性。
⼆、海森伯不确定关系由于微观粒⼦具有波粒⼆象性，我们就⽆法同时精确地测定微观粒⼦坐标与动量，海森伯提出了如下的不确定关系：1、动量-坐标不确定关系2、时间-能量不确定关系三、波函数微观粒⼦具有波粒⼆象性，它不同于经典的波也不同于经典的粒⼦，要描述微观粒⼦群体随时间的变化，引⼊波函数。
波函数确定后，微观粒⼦的波粒⼆象性就能得到准确的描述。
波函数是微观粒⼦的态函数。
1、波函数的物理意义：某⼀时刻在空间某⼀位置粒⼦出现的⼏率正⽐于该时刻该位置波函数的平⽅，或，即⼏率密度2、波函数的归⼀化条件3、波函数的标准条件，单值有限连续。
四、薛定谔⽅程薛定谔⽅程是量⼦⼒学的基础⽅程，由它可解出粒⼦的波函数1、⾃由粒⼦：，，2、势场中粒⼦：*⾮定态：式中，为哈密顿算符。
定态：五、薛定谔⽅程应⽤实例1、⼀维势箱：⾦属中电⼦、原⼦核中质⼦势能分布的理想化模型。
它的势函数阱内⼀维定态薛定谔⽅程解得满⾜边界条件（标准条件）归⼀化条件的解的波函数能量当n=1时为基态能量，也叫零点能。
相应各量⼦数n的波函数，⼏率密度和能级分布如图：2、⼀维势垒：半导体中p-n结处电⼦和空⽳势能分布的简化模型。
3、隧道效应：粒⼦越过或穿透⾼于其总能量的势垒。
4、原⼦、分⼦运动的量⼦化特征：原⼦振动能量：分⼦转动能⼒：5、电⼦⾓动量：轨道⾓动量：，⾃旋⾓动量：，6、氢原⼦的定态：氢原⼦中电⼦的定态薛定谔⽅程解出来的波函数满⾜有限单值连续的标准条件可得下表中的四个量⼦数。
四个量⼦数表征氢原⼦中电⼦状态的特征，如表所列：⾓量⼦数给定以后，可取磁量⼦数给定以后，可取个值，即……⾃旋量⼦数只取两个值，确定电⼦的⾃旋⾓动量某⼀⽅向上的投影原⼦中不可能有两个或两个以上的电⼦具有完全相同的量⼦态，或者说⼀个原⼦中任何两个电⼦不可能具完全相同的四个量⼦数。
量子力学需要的基础课程
量子力学需要的基础课程
要学习量子力学，您需要掌握以下基础课程：
1. 微积分：量子力学中的方程和操作是基于微积分的概念和技巧的。
2. 线性代数：量子力学中的态矢量和算符都是向量和矩阵的概念，因此线性代数是理解量子力学的基础。
3. 经典力学：量子力学是对经典力学的扩展和修正，因此对经典力学的基本原理和概念有一定的了解是有益的。
4. 电磁学：量子力学中的粒子与电磁场的相互作用是重要的研究对象，因此对电磁学的基本原理和概念有一定的了解是必要的。
5. 物理学实验方法：量子力学是通过实验来验证和验证的理论，因此了解物理学实验的基本原理和方法是有益的。
6. 数学物理方法：量子力学中的一些问题需要使用数学物理方法来解决，如泛函分析、群论、微分方程等。
这些课程将为您提供量子力学的基础知识和数学工具，帮助您更好地理解和应用量子力学的原理和方法。
量子力学基础
23.03.2020
17
% 1
R°H
1
n12
1 n22
R° 为H 里德堡常数， R°=H 1.09677576×107m-1
莱曼系（Lyman） n1=1 n2 =2，3... 远紫外区 巴尔麦线系（Balmer） n1=2 n2 =3，4... Hα，Hβ，Hγ，
Hδ为可见区，其 余为近紫外区 帕邢系（Paschen） n1=3 n2 =4，5... 近红外区
23.03.2020
10
Ek 0 ν0
23.03.2020
②对于每一种金属电极， 仅当入射光的频率大于 某一频率时，才有电流 产生，称临阈频率，与 金属性质有关。
③光电效应产生的电子
ν
的初动能随光的频率增 大而增加而与光的强度
无关。
④入射光照射到金属表 面立即有电子逸出，二 者几乎无时间差。
11
根据光波的经典图象，光波的能量与它 的强度（振幅的平方）成正比，而与频率 无关。因此只要有足够的强度，任何频率 的光都能产生光电效应，而电子的动能将 随着光强的增加而增加，与光的频率无关， 这些经典物理学家的推测与实验事实不符。
23.03.2020
电子的波性是和微 粒行为的统计性联
系在一起的。
29
原子和分子中的电子其运动具有波性， 其分布具有几率性。原子和分子的运 动可用波函数描述，而电子出现的几 率密度可用电子云描述。
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30
3.不确定关系（测不准原理）
测不准原理是由微观粒子本质特性决定的。 1927年海森堡（ （Heisenberg）提出：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动 量（也不能将时间和能量同时确定），它要遵循测不准关系。
量子力学的基础
量子力学的基础量子力学是20世纪初建立起来的一门物理学理论，它的出现彻底颠覆了经典物理学的观念。
量子力学的基础包括了几个重要概念和原理，本文将对这些基础内容进行介绍和解析。
一、波粒二象性量子力学的基础之一是波粒二象性。
在经典物理学中，光被认为是粒子的流动，例如光的传播速度可以解释为光粒子在空间中的移动速度。
然而，根据量子力学的观点，光既展现出粒子特性，又表现出波动特性。
这意味着光既可以看作是一束光子流动，又可以看作是波动在空间中传播。
类似地，电子、中子等微观粒子也具有波粒二象性。
二、不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个基础概念。
量子力学认为，对于一个粒子的某些物理量（如位置和动量），无法同时进行精确测量，只能得到其一定范围的测量值。
这就是著名的不确定性原理。
如海森堡不确定性原理就表明，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
这个原理挑战了经典物理学中的确定性观念，引发了科学界的巨大震动。
三、波函数和量子态量子力学中，波函数是描述粒子运动状态的数学函数。
波函数的平方值给出了粒子存在于某个位置的概率密度，而不再是经典物理学中的精确位置。
波函数可以用于计算任何粒子的性质和行为，因此是量子力学的核心概念之一。
根据波函数的形式，我们可以将粒子的状态分为几种不同的量子态，如基态、激发态等。
四、量子力学算符量子力学中，算符是一个非常重要的概念，用来描述和操作量子力学中的物理量。
算符对应于在物理现象中观察到的各种不同可测量的物理量，如位置、动量、能量等。
通过对算符进行操作和变换，我们可以得到粒子的各种物理性质和运动状态。
五、量子力学的数学框架量子力学除了以上基础概念外，还建立了一套严密的数学框架。
其中包括了波函数的薛定谔方程、量子力学算符的定义和性质、态矢量的表示等。
这些数学工具为量子力学的计算和研究提供了强大的支持。
结论量子力学的基础概念和原理为我们理解微观世界的规律和现象提供了有效的工具。
波粒二象性、不确定性原理、波函数和量子态、量子力学算符以及数学框架等内容是量子力学的重要组成部分。
量子力学基础
i 2 i 2 xpx Et xpx Et A exp h x h
第一章 量子力学基础知识
i 2 i 2 i 2 xpx Et px A exp p x h h h
z
e2
第一章 量子力学基础知识
e1
不考虑核的运动
r1 r12 r2
z
2 p12 p2 2e 2 2e 2 e2 E 2m1 2m2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r12
e2
ˆ 2 2 2e 2e e H 1 2 2m1 2m2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r12
第一章 量子力学基础知识
合格（品优）波函数
由于波函数的概率性质，所以波函数必须满足下 列条件： • 单值的，即在空间每一点 只能有一个值；
• 连续的，即 的值不出现突跃； 对x, y, z的 一级微商也是连续函数；
• 平方可积的，即 在整个空间的积分
* d
为一个有限数，通常要求波函数归一化，即
态函数的形式与光波的方程类似，习惯上称之为 波函数。如： 平面单色光的波动方程： A exp i 2 x t E hv, p h 代人波粒二象性关系： i 2 得单粒子一维运动波函数： A exp xpx Et
h
定态波函数：当微观粒子的运动状态不随时 间而变时，其波函数可以写作：
x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 , t
or
or
1,2,3, t
q1 , q2 , q3 , t ,
<关于波函数的一些概念和说明> 波函数是体系中所有粒子的坐标和时间的函数。
第一章 量子力学基础.
在量子力学中，最重要的一种本征方程是能量本征方程，
即定态Schrödinger方程(能量算符是Hamilton算符):
Ĥ =E
2
( 2 V ) E
2m
只有参数E取某些特定值时, 该方程才有满足自然条件的非零解
. 参数E的这些取值就是Hamilton算符的本征值，相应的ψ是
Hamilton算符的属于该本征值的本征函数.
力学量
算符
位置x，时间t
xˆ x,tˆ t动量的x Nhomakorabea分量px
pˆ
＝
x
i
x
角动量的z轴分量
Mˆ z
i
x
y
y
x
力学量 势能 V
动能 T=p2/2m 总能量 E=T+V
算符
Vˆ V
Tˆ
2 2m
2 x 2
2 y 2
2 z 2
dx 2
的本征函数。若是，求出本征值。
d2 (ex ) 1 ex dx 2
ex是算符的本征函数，本征值为1
d 2 (sin x) sin x sinx是算符的本征函数，本征值为-1 dx 2
d2 (2cos x) 2cos x dx 2
2cosx是算符的本征函数，本征值为-1
d2 (x3 ) 6x dx 2
三、能级公式的意义：
En
n2h2 8ml 2
(n
1, 2,3......)
受束缚的粒子的能量必须是量子化的，即边界条件迫使
能量量子化。（一维势箱的量子化是解方程自然得到的，
而非像旧量子论人为附加）
量子力学基础
量子力学基础量子力学是描述微观世界中物质和能量行为的一门科学，它在20世纪初由物理学家们逐步建立起来。
量子力学是现代物理学的基石，对于理解原子、分子、固体、核反应等现象具有重要意义。
本文将介绍一些量子力学的基础知识。
1. 波粒二象性量子力学将微观粒子既可以表现为粒子，又可以表现为波的特性称为波粒二象性。
这一概念是量子力学的核心之一。
例如，电子不仅可以具有粒子的位置和动量，还可以像波动一样干涉和衍射。
这对于解释实验数据和理解微观效应非常关键。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要原理，由海森堡于1927年提出。
不确定性原理指出，在某些物理量的测量中，无法同时准确测量其位置和动量，或者能量和时间。
这是因为测量过程会对被测量的系统产生干扰，从而使得同时准确测量两个互相联系的物理量成为不可能。
3. 波函数和波函数坍缩波函数是量子系统在给定时刻的状态描述，它是与量子力学中的各个物理量相对应的一组数学函数。
波函数可以用来计算某个物理量的概率分布，从而预测实验测量结果。
当对一个物理量进行测量时，波函数会发生坍缩，即系统会塌缩到某个确定的状态上。
4. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出。
薛定谔方程描述了量子系统的演化规律，可用来计算波函数随时间的变化。
薛定谔方程是解释原子、分子、凝聚态物质等现象的重要工具。
5. 超越边界和量子隧穿效应在经典物理学中，粒子的运动受到势能的限制，当粒子的能量低于势垒时，无法跨越势垒。
然而，在量子力学中，由于波粒二象性，粒子可以通过量子隧穿效应，以概率的形式穿越势垒，即使其能量低于势垒。
6. 基态和激发态在量子力学中，系统的能量可以分为不同的离散能级。
基态是系统的最低能量状态，而激发态是高于基态的能量状态。
通过向系统提供能量，可以使系统从基态跃迁到激发态，这在原子和分子的能级转移中起着重要作用。
总结：量子力学作为现代科学的重要分支，为我们理解微观世界提供了重要的工具和理论框架。
大学物理第17章.量子力学基础
§17.1 物质的波粒二象性 §17.2 不确定关系 §17.3 薛定谔方程 §17.4 一维无限深势阱 §17.5 势垒贯穿 §17.6 氢原子的量子力学处理 §17. 7 多电子原子 §17. 8 量子力学的理论假设
§17.1 物质的波粒二象性
一、德布罗意物质波假设 1.光的二象性
p2 eU , p 2meU
2m h 1.225 nm =0.167nm
pU
2. 汤姆逊（G.P.Thomson）实验（1927） 电子通过金薄膜的衍射实验
实验原理 3. 约恩逊(Jonsson)实验（1961）
电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验 基本数据
a 0.3μm d 1μm
V 50kV 0.5nm
微粒的波动性的应用 -----电子束代替光波来实现成像(电子显微镜)
电子与物质相互作用会产生透射电子，弹性散射电子，能量 损失电子，二次电子，背反射电子，吸收电子，X射线，俄 歇电子，阴极发光等等。电子显微镜就是利用这些信息来对 试样进行形貌观察、成分分析和结构测定。
由于微观粒子具有波粒二象性，这就要求在描述 微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波 和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。 波函数就是作为量子力学基本假设之一引入的一个新 的概念。
量子力学认为：微观粒子的运动状态可用一个复
函数(x,y,z,t)来描述，函数(x,y,z,t) —称为波函数。
2.波函数的统计解释
波动观点
粒子观点
明纹处: 电子波强(x,y,z,t)2大, 电子出现的概率大;
暗纹处: 电子波强(x,y,z,t)2小, 电子出现的概率小 。
可见，波函数模的平方(x,y,z,t)2与粒子在该处
第一章量子力学基础
（3）粒子的动量平方px2值
假设三：本征方程
2 2 2 nx h d 2 ˆ x n 2 2 p sin 4 dx l l h 2 d n 2 nx 2 cos 4 dx l l l
h n 2 nx 2 sin 4 l l l
l
2 l nx ih d nx sin sin dx l 0 l 2 dx l
ih l
nx nx d sin 0 sin l l
l
2 xl
ih sin (nx / l) 0 l 2 x 0
2 ˆ ˆ H － 2 ＋V 8 m h2
：拉普拉斯算符
2 2 2 2 ＝ 2 ＋ 2 ＋ 2 x y z
19
假设三：本征方程
Schrö dinger方程算法解析
一个质量为m的 粒子，在一维 势井中的运动。
0 ， 0 ﹤x ﹤ l V= ∞ ， x ≤0 和 x≥ l
一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度
假设三：本征方程
总结: 势箱中粒子的量子效应：
1.存在多种运动状态，可由Ψ1 ，Ψ2 ，…，Ψn 等描述；
2.能量量子化；
3.存在零点能；
4.没有经典运动轨道，只有几率分布；
5.存在节点，节点多，能量高。
假设三：本征方程 箱中粒子的各种物理量
（1）粒子在箱中的平均位置
力学量 算符 力学量 算符
位置
x
ˆx x
ˆ p
ih ＝ － x 2 π x
x y y x
势能 V
量子力学基础
Gˆi (q,t) Gii (q,t)
其中Gi为常数。 将Ψ(q,t)描写的状态称为力学量的本征态，此式称 为力学量的本征方程；
Gi称为的第i个本征值； Ψ(q,t)为相应的本征函数
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6/8/2020
1.1 基本假设----假设3
[,] 0,[ pˆ, pˆ] 0,[, pˆ] i
对易子的几个基本规则： [Fˆ , Gˆ ] [Gˆ , Fˆ ]
[Fˆ , Gˆ Hˆ ] [Fˆ , Gˆ ] [Fˆ , Hˆ ] [FˆGˆ , Hˆ ] [Fˆ , Hˆ ]Gˆ Fˆ[Gˆ , Hˆ ] [Fˆ , Gˆ Hˆ ] [Fˆ , Gˆ ]Hˆ Gˆ[Fˆ , Hˆ ]
第一章 量子力学基础
1.1 量子力学基本假设 1.2 算符 1.3 力学量同时有确定值的条件 1.4 测不准关系 1.5 Pauli原理
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1.1 基本假设—假设1
•假设1---状态函数和几率
（1）状态函数和几率
• 微观体系的任何状态可由坐标波函数Ψ(q,t)来表示。
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1.1 基本假设---假设1
简并本征态的线性组合仍是该体系的本征态，且本
征值不变；非简并本征态的线性组合也仍是该体系的可
能状态，但一般不再是本征态，而是非本征态.
a
1 2
(2s
2 px
2 py
2 pz )
a
1 2
(2s
2 px
2 py
2 pz )
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ii.普朗克公式： n nh
nh
nhe kT
hc
n0 nh
h
h
hc
e kT
e kT 1 ekT 1
n0
得普朗克公式： M B (T ) 2hc 25
1
hc
e kT 1
普朗克公式概括了所有黑体辐射的结果，普 朗克假设拉开了量子力学的序幕。
当 hc（即 kT h 时）, 普朗克公式近
kT
似为维恩公式：
M
B
(T
)
2hc
25
e
hc kT
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量子物理
第十五章A量子力学基础
斯特藩-玻耳兹曼定律： 对普朗克公式求积分得
M B (T )
M
0
B
(T
)
d
T
4
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第十五章A量子力学基础
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第十五章A量子力学基础
•量子力学的实验基础 ①黑体辐射
a.热辐射 热辐射也称温度辐射，处于近平衡态的物
体，由于内部带电粒子的热运动，不断地向 外辐射电磁波，辐射能及其按波长的分布与 温度及物体性质有关。温度越高、辐射越强 、波长越短。
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第十五章A量子力学基础
i.辐射出射度 单位时间从物体单位表面积上辐射出的电磁
1884年玻耳兹曼从理论上推得此式。
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iii.维恩位移律：
1893年，维恩根据黑体辐射的实验得出：
m
b T
其中 m为单色辐出度最大处所对应的波长，
b 2.897756 103 mK 称为维恩常量。
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第十五章A量子力学基础
c.黑体辐射的谐振子模型
维恩位移律： 对普朗克公式求极值，令
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第十五章A量子力学基础
iii.讨论普朗克公式： 经典极限→瑞利-金斯公式：瑞利-金斯公式
是黑体辐射的经典极限
当 hc （即 kT h 时）, 普朗克公式
kT
近似为瑞利-金斯公式：
M B (T ) 2k4T
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自由度冻结→维恩公式：维恩公式是黑体辐 射自由度冻结的结果
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iv.基尔霍夫辐射定律 1859年，基尔霍夫根据系统的热平衡条件导
出了物体的单色辐出度与吸收率之间的关系为
M1 (T )
A1 (,T )
M 2 (T )
A2 (,T )
M B (T )
称为基尔霍夫辐射定律。
根据基尔霍夫辐射定律，只需找出黑体辐射
能量，用 M (T ) 表示。 ii. 单色辐出度（单色辐射出射度）
单位时间从物体单位表面积上辐射出的单位 波长间隔内的电磁能量，用 M (T) 表示。
则：
M
(T
)
d
M (T
d
)
或
M (T )
M
0
(T
)
d
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iii.黑体 光强为 I0的光通过某介质后，能量一般分为
好。
第十五章A量子力学基础
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ii.瑞利-金斯公式： 瑞利和金斯分别于1900和1905年根据热物理
的统计理论
kT
得到了著名的瑞利-金 斯公式，在长波部分 与实验吻合很好，在 短波区与实验明显不 符，这就是物理学史 上所谓的“紫外灾难”。
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第十五章A量子力学基础
黑体（绝对黑体）：AB (,T ) 1 ，如图所
示的金属空腔，电磁波从小孔入射进空腔后， 经多次反射后被完全吸收，能再从小孔出来 的概率极小，所以空腔上的小孔即为一很好 的黑体。
灰体：A (,T ) 1 ， 灰体的性质与黑体很相似， 其共同特征是吸收率与波长 无关。
的规律 M B (T ) ，即可根据某物体的吸收率得到 它的辐射规律，而吸收的研究比辐射的研究容
易得多。
也称为物体的发射率
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第十五章A量子力学基础
b.黑体辐射实验
i.黑体辐射曲线：实验得出 M B (T ) 与 的关
系曲线如图所示。 ii.斯特藩-玻耳兹曼定律：
1879年，斯特藩从实验 中总结出： M B (T ) T 4 其中 5.67051 108 Wm 2K 4 称为斯特藩-玻耳兹曼常量
三部分。 吸收： I A AI 0 ， A I A / I0 称为吸收率。 反射： I R RI 0 ， R IR / I0 称为反射率。 透射： IT TI 0 ， T IT / I0 称为透射率。 根据热力学第一定律有：A R T 1 不透明介质：T 0，其中，黑体： A1 ， 灰体：A 1 ， 称为介质的灰度。 不发光物体的颜色主要由 R R() 决定。
突破的，普朗克为了解决经典理论解释黑体辐 射规律的困难，引入了能量子的概念。
普朗克假设：带电谐振子的能量是量子化的 ，只能是能量子的整数倍。即：
h
En n (n 1,2,3,)
普朗克常量 h 6.62607551034 J s
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第十五章A量子力学基础
第十五章A量子力学基础
d.普朗克公式及能量子假说 1900年，普朗克根据维恩和瑞利的结果，很
快得出一个与实验吻 合的公式，并提出了 著名的普朗克假设及 普朗克常量 h 。
即谐振子能量是 量子化的！
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i.普朗克能量子假说： 历史上，量子力学首先是从黑体辐射问题上
黑体是由大量包含各种固有频率 的带电谐
振子组成，各带电谐振子振动时，会以偶极辐 射方式向外辐射电磁波，根据电磁辐射理论和 热平衡条件可得★：MB(T )
2c 4
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i.维恩公式：
维恩于1896假设
1
c2
e T
导出了称为维恩公式
的半经验公式，与实
验在短波部分吻合很
第十五章A量子力学基础
量子力学基础
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第十五章A量子力学基础
第十五章A 量子力学基础理论
量子力学是研究微观粒子运动规律， 如原子、分子、凝聚物质以至原子核和 基本粒子的结构和性质的基础理论。量 子力学不仅是近代物理学的基础理论之 一，而且在化学、近代生物学等有关学 科和许多近代技术中有广泛应用。