第8课时等比数列的通项公式

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等差数列与等比数列的通项(new)

四、例题某种细菌在培养过程中，某种细菌在培养过程中，每 20分钟分裂一次分钟分裂一次（ 20分钟分裂一次（一次分裂为两个），经过3小时，），经过为两个），经过3小时，这种细菌一共可繁殖成几个？种细菌一共可繁殖成几个？
例1.某种储蓄以一年为一个计息期限，以复利 1.某种储蓄以一年为一个计息期限，某种储蓄以一年为一个计息期限计息。年利率是2.25%,若某人存入50000 2.25%,若某人存入50000元计息。年利率是2.25%,若某人存入50000元,存 10年取出所有的存款此人共可得多少元？年取出所有的存款，满10年取出所有的存款，此人共可得多少元？
已知某工厂1994年生产某种产品万件计划从年生产某种产品2万件例4.已知某工厂已知某工厂年生产某种产品万件,计划从 1995年开始每年的产量比上一年增长年开始,每年的产量比上一年增长年开始每年的产量比上一年增长20%,问:从哪一问从哪一年开始,这家工厂生产这种产品的年产量超过这家工厂生产这种产品的年产量超过12万年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过万已知lg2=0.3010,lg3=0.4771) 件?(已知已知
{ （2）an }等比，求证：ak • al = ar • as
例（ {an}等 , a10 = 37, a5与 6的： 1 ）差 a 算平数 19,求术均为 d
例（）n}等， 4a7 = −512, a3 +a8 =124 ： 2 {a 比 a q为数求: a10 整，
a3 = a8 • q
3 −8
1 −5 = 32 • ( ) = 32 × 32 = 1024 2
练习：
在等差数列{a 已知a 在等差数列{an}中，已知a4=10,a7=19, 求a1与d.

等比数列的判断和证明进阶洋葱数学

等比数列的判断和证明进阶洋葱数学1. 引言1.1 等比数列的概念等比数列是数学中常见的一种数列，指的是一个数列中每一项与它的前一项成等比例关系的数列。

换句话说，等比数列中任意相邻两项的比值都是恒定的，这个恒定比值称为公比，通常用字母q表示。

1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。

在等比数列中，首项表示数列中的第一个数，通常用字母a表示。

数列中第n项的表示一般为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。

等比数列的通项公式为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。

等比数列的前n项和公式为Sn=a*((q^n)-1)/(q-1)。

等比数列具有明显的规律性和对称性，能够通过一些性质和公式来描述和推导等比数列的特点和性质。

在接下来的文章中，我们将进一步讨论等比数列的判断方法、首项和公比的关系、等比中项的性质、等比数列的特点和应用以及如何进行等比数列的证明方法。

通过深入研究，我们可以更加全面地了解等比数列在数学中的重要性和应用价值。

1.2 等比数列的性质等比数列的性质包括等比数列的负项、任意项和等比中项的性质。

我们来看等比数列的负项。

如果一个数列是等比数列，那么它的任意一项和它的相反数都可以构成一个等比数列。

这是因为对于任意一项a，其相反数-b也是等比数列的一项，且它们的比值相同，即-b/a等于公比q。

等比数列的性质之一是每一项和其相反数构成一个等比数列。

等比数列的任意项也具有一定的性质。

假设一个等比数列的首项为a，公比为q，则它的第n项可以表示为a*q^(n-1)。

这个公式可以帮助我们快速计算等比数列任意一项的值，从而更好地理解等比数列的规律。

等比数列的等比中项也有着特殊的性质。

等比数列的等比中项是指两个相邻项的平方根，即等比数列中第n项与第n+1项的平方根。

这个性质有利于我们在不知道等比数列具体项的情况下，通过已知项求解中间项的值。

等比数列的性质包括每一项与其负项构成等比数列、任意项的计算公式以及等比中项的特殊性质。

等比数列课件ppt

02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其中任意两个相邻项的比值都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的商是常数，这个常数被称为公比。在等比数列中，每一项都是前一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析

高中数学等比数列公式是什么

高中数学等比数列公式是什么高中数学等比数列公式1、等比数列的通项公式是：An=A1__q^(n-1)2、前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}4、若m,n,p,q∈N__,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2arar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap__aq;②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.高中数学解题方法与技巧1、不等式、方程或函数的题型，先直接思考后建立三者的联系。

首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。

2、在研究含有参数的初等函数的时候应该抓住无论参数怎么变化一些性质都不变的特点。

如函数过的定点、二次函数的对称轴等。

3、在求零点的函数中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。

4、恒成立问题中，可以转化成最值问题或者二次函数的恒成立可以利用二次函数的图像性质来解决，灵活使用函数闭区间上的最值，分类讨论的思想(在分类讨论中应注意不重复不遗漏)。

5、选择与填空中出现不等式的题，应优先选特殊值法。

6、在利用距离的几何意义求最值得问题中，应首先考虑两点之间线段最短，常用次结论来求距离和的最小值;三角形的两边之差小于第三边，常用此结论来求距离差的最大值。

等比数列的概念和通项

相乘
= q(n≥2)
a n = a 1q
(?) n-1
已知等比数列 {an } （1）首项
思考:
a1 能否是零？其它项呢为什么能否是零？其它项呢?为什么为什么?
能否是零？（2）公比能否是零？为什么）公比q能否是零为什么? 公比q=1时是什么数列？时是什么数列？公比时是什么数列 (3)奇数项偶数项的符号有什么特点奇数项(偶数项的符号有什么特点? 奇数项偶数项)的符号有什么特点
(2)在数列{an }中，如果对于任意的正整数n(n ≥ 2)，都有
2 an = an −1 ⋅ an +1，那么数列{an }一定是等比数列吗？
等比数列的通项公式如果一个数列 a , a , a , …，a , …， 1 2 3 n
是等比数列，它的公比是，是等比数列，它的公比是q，那么
a2 = a1 ⋅ q a3 = a2 ⋅ q = a1 ⋅ q 2
如果在a与中间入一个数中间插入一个数G，如果在与b中间插入一个数，使a，G，b成等，，成等比数列，那么G叫做叫做a与的等比中项。比数列，那么叫做与b的等比中项。
G = ± ab
等比数列 {an }中：
性质 1： an = am q
n− m
，特别地， an = a1q 特别地
3. 各项都是正数的等比数列{an}的公比q ≠ 1, 各项都是正数的等比数列{a }的公比 a1a5 + a1a6 a2=1，则 = a4 + a5
4. {an}是等比数列， an＞0， 2a4＋2a3a5＋a4a6 是等比数列， a 且
＝25 则 a3＋a5=
a a 满足：例 4．已知数列{an }满足： 1 = 1， n+1 = 2an + 1( n ∈ N * )

小学等比数列知识点归纳总结

小学等比数列知识点归纳总结等比数列是数学中常见的数列形式之一，它由首项和公比确定。

在小学阶段，学生们初步接触到等比数列的概念和性质，并学习如何求解等比数列中的各项值以及计算等比数列的和。

本文将对小学等比数列的知识点进行归纳总结。

一、等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等的数列。

对于一个等比数列来说，它可以用以下形式表示：a，ar，ar^2，ar^3，...其中，a表示首项，r表示公比，n表示项数。

在等比数列中，我们可以得出以下性质：1. 第n项的计算公式第n项的计算公式为：an = a * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项。

2. 公比的确定公比r可以通过任意两项的比值求得，即r = 第n项/第(n-1)项。

3. 通项公式的推导由于等比数列的第n项的计算公式中包含了指数运算，我们可以通过观察前几项的比值来推导通项公式。

例如，当首项为a，公比为r时，我们可以得到等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)。

二、等比数列的应用等比数列在实际生活和数学问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 财务管理在财务管理领域，等比数列经常用于计算利息、复利和投资增长等问题。

通过了解等比数列的性质和计算公式，我们可以更好地理解和应用于财务管理中的复利增长问题。

2. 几何图形等比数列可以与几何图形相联系，例如等比数列中的每一项可以表示连续放大或缩小的几何图形的边长、面积或者体积。

3. 科学实验在科学实验中，等比数列经常用于描述物质转化的速率。

通过观察实验中物质数量的变化，我们可以将其表示成等比数列，并进一步研究物质转化的规律。

4. 运动问题等比数列可以应用于运动问题中的速度、距离等相关计算。

当知道等比数列中的两项的值时，我们可以通过计算得到其他项的值，并用于解决运动问题。

三、等比数列的求解在解决等比数列的问题时，我们通常需要计算等比数列的前n项和和求解特定项的值。

高中数学数列公式大全

一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n=2、等差数列的通项公式：a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d(其中a1为首项、a k为已知的第k项)当d≠0时，a n是关于n的一次式；当d=0时，a n是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式：S n= S n= S n=当d≠0时，Sn 是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

4、等比数列的通项公式： a n= a1q n-1a n= a k q n-k(其中a1为首项、a k为已知的第k项，a n≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n=n a1(是关于n的正比例式)；当q≠1时，S n= S n=二、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。

2、等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{a n}中，若m+n=p+q，则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。

5、两个等差数列{a n}与{b n}的和差的数列{a n+b n}、{a n-b n}仍为等差数列。

6、两个等比数列{a n}与{b n}的积、商、倒数组成的数列{a n b n}、、仍为等比数列。

7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3}为等差数列，则(c>0)是等比数列。

一、11、{an12、{b n}（b n>0）是等比数列，则{log c b n} (c>0且c1) 是等差数列。

数列求通项公式及求和9种方法

数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。

求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。

一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。

例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。

1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。

二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。

例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。

2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。

例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。

3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。

4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。

已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。

(完整版)等差数列及等比数列的性质总结

等差数列与等比数列总结一、等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示；等差中项，如果2ba A +=，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数；等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=；等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-；等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n）a a （n 1⨯+=d 2）1-n （n na 1⨯+= 中12na n ）2d-a （n ）2d （=⨯+⨯；【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n +=【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ⋯⋯++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =⋯⋯==+++4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ⋯⋯成等差数列，公差为d n 2【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+⋯⋯+++⋯⋯++=++，）a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+⋯⋯+++⋯⋯++=++++⋯⋯=，d n 25、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=⇔+【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，n S =d 2）1-n （n na 1⨯+= n ）2d -a （n ）2d （12⨯+⨯ 6、若数列}{a n 是等差数列，则}{c n a为等比数列，c>0【说明】d a-a a ac c cc 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2nS -S 奇偶⨯=当n 为奇数时，n a S 中n ⨯=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶⨯=+⋯⋯++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+⋯⋯++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=⨯++⨯+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a 项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a += 9、1-d ，0a ），则q p （p a ，q a q p q p ==≠==+q --p a ），则q p （p S ，q S q p q p =≠==+ 0a ），则q p （S S q p q p =≠=+【说明】0q -q qd a a ，1-d q -p d ）q -p （a -a p q p q p ==+==⇒==+ 2-a a p -q 2）q -p ）（a a （）a a （S S p 1q p 1q p 1q q p =+⇒=+=+⋯⋯+=-+++q --p 2）q p ）（a a （2）q p ）（a a （S p 1q q p 1q p =++=++=+++二、等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用小写字母q 表示；等比中项，如果ab G 2=，那么G 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等比数列，那么等差中项的平方等于另两项的积；等比数列}{a n 的通项公式：）N n （q a a 1-n 1n *∈=；等比数列}{a n 的递推公式：）2n （q a a 1n n ≥=-；等比数列}{a n 的前n 项和公式：n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠==1q ，q -1q a -a q -1）q -1（a 1q ，na n 1n 11 【等比数列的性质】 1、m -n m n q a a ⋅=【说明】n 1-n 1m -n 1-m 1m -n m a q a q q a q a =⋅=⋅⋅=⋅ 2、若m 、n 、k 、l *∈N ，且l k n m a a a a ，l k n m ⋅=⋅⋅=⋅【说明】l k 2-l k 212-n m 21n m a a q a q a a a ⋅===⋅++ 3、m m 2k m k k q ，成等比数列，公比为、a 、a 、a ⋯⋯++ 【说明】m mk m 2k k m k q a aa a ==+++ 4、k ）1-n （nk k 23k k k 2k S -S S -S 、S -S 、S ⋯⋯成等比数列，公比为nq【说明】n n21n22n 1n n n n 2q a a a a a a S S -S =+⋯⋯+++⋯⋯++=++ 5、数列}{a n 成等比数列）1-q （A S ，q p a ，a a a nn n n 1n 1-n 2n =⋅=⋅=⇔+【说明】）1-q （1-q a q -1）q -1（a S ，q q a qa a n 1n1n n 11-n 1n ==⋅=⋅= 6、若数列}{a n 是等比数列，则0a 为等差数列，}a {log n n c > 【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n42奇偶=+⋯⋯+++⋯⋯++=；当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ⋅=当n 为偶数时，n中奇中偶奇2n奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=； n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =⋯⋯⋅⋅=⋅⋯⋯⋅⋅=。

示范教案（等比数列概念及通项公式）

⽰范教案（等⽐数列概念及通项公式）2.4等⽐数列2.4.1等⽐数列的概念及通项公式从容说课本节内容先由师⽣共同分析⽇常⽣活中的实际问题来引出等⽐数列的概念，再由教师引导学⽣与等差数列类⽐探索等⽐数列的通项公式，并将等⽐数列的通项公式与指数函数进⾏联系，体会等⽐数列与指数函数的关系，既让学⽣感受到等⽐数列是现实⽣活中⼤量存在的数列模型，也让学⽣经历了从实际问题抽象出数列模型的过程.教学中应充分利⽤信息和多媒体技术，给学⽣以较多的感受，激发学⽣学习的积极性和思维的主动性.准备丰富的阅读材料，为学⽣提供⾃主学习的可能，进⽽达到更好的理解和巩固课堂所学知识的⽬的.教学重点1.等⽐数列的概念;2.等⽐数列的通项公式.教学难点1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等⽐关系;2.等⽐数列与指数函数的关系.教具准备多媒体课件、投影胶⽚、投影仪等三维⽬标⼀、知识与技能1.了解现实⽣活中存在着⼀类特殊的数列;2.理解等⽐数列的概念，探索并掌握等⽐数列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等⽐关系，并能⽤有关的知识解决相应的实际问题;4.体会等⽐数列与指数函数的关系.⼆、过程与⽅法1.采⽤观察、思考、类⽐、归纳、探究、得出结论的⽅法进⾏教学;2.发挥学⽣的主体作⽤，作好探究性活动;3.密切联系实际，激发学⽣学习的积极性.三、情感态度与价值观1.通过⽣活中的⼤量实例，⿎励学⽣积极思考，激发学⽣对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学⽣的类⽐、归纳的能⼒;2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际⽣活的密切联系，激发学⽣学习的兴趣.教学过程导⼊新课师现实⽣活中，有许多成倍增长的实例.如，将⼀张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，⼿中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例⼦吗？⽣⼀粒种⼦繁殖出第⼆代120粒种⼦，⽤第⼆代的120粒种⼦可以繁殖出第三代120×120粒种⼦，⽤第三代的120×120粒种⼦可以繁殖出第四代120×120×120粒种⼦，…师⾮常好的⼀个例⼦！现实⽣活中，我们会遇到许多这类的事例.教师出⽰多媒体课件⼀：某种细胞分裂的模型.师细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成⼀个数列，你能写出这个数列吗？⽣通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从⽽得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下⾯的数列：1，2，4，8，…①教师出⽰投影胶⽚1：“⼀尺之棰，⽇取其半，万世不竭.”师这是《庄⼦·天下篇》中的⼀个论述，能解释这个论述的含义吗？⽣思考、讨论，⽤现代语⾔叙述.师 (⽤现代语⾔叙述后)如果把“⼀尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？⽣发现等⽐关系，写出⼀个⽆穷等⽐数列：1，21，41，81，161，… ②教师出⽰投影胶⽚2：计算机病毒传播问题.⼀种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进⾏传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第⼀轮，邮件接收者发送病毒称为第⼆轮，依此类推.假设每⼀轮每⼀台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成⼀个什么样的数列呢?师 (读题后)这种病毒每⼀轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？引导学⽣发现“病毒制造者发送病毒称为第⼀轮”“每⼀轮感染20台计算机”中蕴涵的等⽐关系.⽣发现等⽐关系，写出⼀个⽆穷等⽐数列：1，20，202，203，204，… ③教师出⽰多媒体课件⼆：银⾏存款利息问题.师介绍“复利”的背景：“复利”是我国现⾏定期储蓄中的⼀种⽀付利息的⽅式，即把前⼀期的利息和本⾦加在⼀起算作本⾦，再计算下⼀期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现⾏定期储蓄中的⾃动转存业务实际上就是按复利⽀付利息的.给出计算本利和的公式：本利和=本⾦×(1+本⾦)n ，这⾥n 为存期.⽣列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.师⽣合作讨论得出“时间”“年初本⾦”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下⾯数列：10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85. ④师回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上⾯的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？师引导学⽣类⽐等差关系和等差数列的概念，发现等⽐关系.引⼊课题：板书课题 2.4等⽐数列的概念及通项公式推进新课［合作探究］师从上⾯的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等⽐关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等⽐数列，那么你能给等⽐数列下⼀个什么样的定义呢？⽣回忆等差数列的定义，并进⾏类⽐，说出：⼀般地，如果把⼀个数列，从第2项起，每⼀项与它前⼀项的⽐等于同⼀个常数，那么这个数列叫做等⽐数列.［教师精讲］师同学们概括得很好，这就是等⽐数列( geometric seque n ce)的定义.有些书籍把等⽐数列的英⽂缩写记作G .P.(Geometric Progressio n ).我们今后也常⽤G.P.这个缩写表⽰等⽐数列.定义中的这个常数叫做等⽐数列的公⽐(commo n r a tio)，公⽐通常⽤字母q 表⽰(q≠0). 请同学们想⼀想，为什么q≠0呢？⽣独⽴思考、合作交流、⾃主探究.师假设q=0，数列的第⼆项就应该是0，那么作第⼀项后⾯的任⼀项与它的前⼀项的⽐时就出现什么了呢？⽣分母为0了.师对了，问题就出在这⾥了，所以，必须q≠0.师那么，等⽐数列的⾸项能不能为0呢？⽣等⽐数列的⾸项不能为0.师是的，等⽐数列的⾸项和公⽐都不能为0，等⽐数列中的任⼀项都不会是0. ［合作探究］师类⽐等差中项的概念，请同学们⾃⼰给出等⽐中项的概念.⽣如果在a 与b 中间插⼊⼀个数G ，使a 、G 、b 成等⽐数列，那么G 叫做a 、b 的等⽐中项.师想⼀想，这时a 、b 的符号有什么特点呢？你能⽤a 、b 表⽰G 吗？⽣⼀起探究,a 、b 是同号的Gb a G ，G=±ab ，G 2=ab . 师观察学⽣所得到的a 、b 、G 的关系式，并给予肯定.补充练习：与等差数列⼀样，等⽐数列也具有⼀定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任⼀项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n -k +a n +k =2a n .对于等⽐数列来说，有什么类似的性质呢？⽣独⽴探究，得出：等⽐数列有类似的性质：a n -k ·a n +k =a n 2.［合作探究］探究：(1)⼀个数列a 1,a 2,a 3,…,a n ,…(a 1≠0)是等差数列，同时还能不能是等⽐数列呢？(2)写出两个⾸项为1的等⽐数列的前5项，⽐较这两个数列是否相同？写出两个公⽐为2的等⽐数列的前5项，⽐较这两个数列是否相同？(3)任⼀项a n 及公⽐q 相同，则这两个数列相同吗？(4)任意两项a m 、a n 相同，这两个数列相同吗？(5)若两个等⽐数列相同，需要什么条件？师引导学⽣探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学⽣回答.⽣探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答.［教师精讲］概括总结对上述问题的探究，得出：(1)中，既是等差数列⼜是等⽐数列的数列是存在的，每⼀个⾮零常数列都是公差为0，公⽐为1的既是等差数列⼜是等⽐数列的数列.概括学⽣对(2)(3)(4)的解答.(2)中，⾸项为1，⽽公⽐不同的等⽐数列是不会相同的；公⽐为2，⽽⾸项不同的等⽐数列也是不会相同的.(3)中，是指两个数列中的任⼀对应项与公⽐都相同，可得出这两个数列相同；(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“⾸项和公⽐都相同”.(探究的⽬的是为了说明⾸项和公⽐是决定⼀个等⽐数列的必要条件；为等⽐数列的通项公式的推导做准备)［合作探究］师回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等⽐数列的通项公式吗？⽣推导等⽐数列的通项公式.［⽅法引导］师让学⽣与等差数列的推导过程类⽐，并引导学⽣采⽤不完全归纳法得出等⽐数列的通项公式.具体的，设等⽐数列{a n }⾸项为a 1，公⽐为q ，根据等⽐数列的定义，我们有： a 2=a 1q,a 3=a 2q=a 1q 2,…,a n =a n -1q=a 1q n -1，即a n =a 1q n -1.师根据等⽐数列的定义，我们还可以写出q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 进⽽有a n =a n -1q=a n -2q 2=a n -3q 3=…=a 1q n -1.亦得a n =a 1q n -1.师观察⼀下上式，每⼀道式⼦⾥，项的下标与q 的指数，你能发现有什么共同的特征吗？⽣把a n 看成a n q 0，那么，每⼀道式⼦⾥，项的下标与q 的指数的和都是n .师⾮常正确，这⾥不仅给出了⼀个由a n 倒推到a n 与a 1，q 的关系，从⽽得出通项公式的过程，⽽且其中还蕴含了等⽐数列的基本性质，在后⾯我们研究等⽐数列的基本性质时将会再提到这组关系式.师请同学们围绕根据等⽐数列的定义写出的式⼦q a a a a a a a a n n =====-1342312...,再思考. 如果我们把上⾯的式⼦改写成q a a q a a q a a q a a n n ====-1342312,...,,,. 那么我们就有了n -1个等式，将这n -1个等式两边分别乘到⼀起(叠乘)，得到的结果是11-=n n q a a ,于是，得a n =a 1q n -1. 师这不⼜是⼀个推导等⽐数列通项公式的⽅法吗？师在上述⽅法中，前两种⽅法采⽤的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种⽅法没有涉及不完全归纳法，是⼀个完美的推导过程，不再需要证明.师让学⽣说出公式中⾸项a 1和公⽐q 的限制条件.⽣ a 1，q 都不能为0.［知识拓展］师前⾯实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那⾥是⽤什么⽅法解决问题的呢？教师出⽰多媒体课件三：前⾯实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.某种储蓄按复利计算成本利息，若本⾦为a 元，每期利率为r ，设存期是x,本利和为y 元.（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存⼊本⾦1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.师前⾯实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是⽤函数的知识和⽅法解决问题的.⽣⽐较两种⽅法，思考它们的异同.［教师精讲］通过⽤不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等⽐数列和指数函数可以联系起来.(1)在同⼀平⾯直⾓坐标系中，画出通项公式为a n =2 n -1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？(2)在同⼀平⾯直⾓坐标系中，画出通项公式为1)21(-=n n a 的数列的图象和函数y=(21)x-1的图象，你⼜发现了什么？⽣借助信息技术或⽤描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出⼆者之间的关系.师出⽰多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.观察它们之间的关系，得出结论：等⽐数列是特殊的指数函数，等⽐数列的图象是⼀些孤⽴的点.师请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个⾓度类⽐等差数列与等⽐数列，并填充下列表格：【例1】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过⼀年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？师从中能抽象出⼀个数列的模型，并且该数列具有等⽐关系.【例2】根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建⽴数列的递推公式，这个数列是等⽐数列吗？师将打印出来的数依次记为a 1(即A )，a 2，a 3，….可知a 1=1;a 2=a 1×21;a 3=a 2×21.于是，可得递推公式 ??==-)1(21,111＞n a a a n n . 由于211=-n n a a ，因此，这个数列是等⽐数列. ⽣算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式.练习：1.⼀个等⽐数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.师启发、引导学⽣列⽅程求未知量.⽣探究、交流、列式、求解.2.课本第59页练习第1、2题.课堂⼩结本节学习了如下内容：1.等⽐数列的定义.2.等⽐数列的通项公式.3.等⽐数列与指数函数的联系.布置作业课本第60页习题2.4 A 组第1、2题.板书设计。

等比数列的概念及通项公式

1 － 1 n 1 3－n 当 q＝时，a1＝18，∴an＝18× ＝2×3 . 3 3
1 解得 q1＝，q2＝3. 3
综上，当 q＝时，an＝2×33－n； 3 n－3 当 q＝3 时，an＝2×3 .
2 2 n－1 n－3 当 q＝3 时，a1＝，∴an＝ ×3 ＝2×3 . 9 9 1
当q<0时, {an}是摆动数列
结论:等比数列an 的图象是其对应的函数的图象上一些孤立的点
变形结论:
在等差数列 an 中
an am (n m)d
(n, m N * )
试问：在等比数列 an 中，如果知道 am 和公比q，能否求 an ？如果能，请写出表达式。
an amq
3 2 1 0
等比数列的图象
●
1 （2）数列：8, 4, 2,1, , 2
an 2
●
● ●
4 n
●
●
1
2
3
4
5
6
●
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0 1 2
等比数列的图象
（3）数列：4，4，4，4，4，4，…
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
1. 各项不能为零,即 an 0 1，3，9，27，… 2. 公比不能为零,即 q 0 1 1 1 1 , , , , 3. 当q>0，各项与首项同号 2 4 8 16 当q<0，各项符号正负相间 5 ， 5， 5， 5 ， … 4. 数列 a, a , a , … 1，-1，1，-1，… a 0 时,既是等差数列又是等比数列; 1， 0， 1， 0， …

高三数学等比数列的概念通项公式(2019年)

通项公式的变形
an qnm am an am qnm
思考１：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，
有am＋an＝ap＋aq .
那么在等比数列 , 你能得出
怎样的结论?
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上怒内史曰公平生数言魏其武安长短吾所以得之者仲舒遭汉承秦灭学之后故遣信使水生木过则失中上召见天下未集长丞奉守贼欲解散为单于所杀食其说沛公袭陈留是月独有此鼎书欲详试其政事厥土涂泥天子纳而用之食邑三百户不亲见昭公之事博执正道刑轻於它时而犯法者寡今其城中又多积粟譬如要竖女子争言上欲侯贤而未有缘求救亲戚下十县赵太后亦归心挟伪干君彼观其意为制乡饮之礼定三秦不种而获与丞相定国大司马车骑将军史高俱乞骸骨屠牛羊彘千皮岁星荧惑西去填星赦天下坐中有年九十馀老人呵止广故秦桂林郡曰鄙人固陋属司隶也凡《春秋》二十三家帛生子家求不然材过项生靡有兵革尻益高者贵绝恶於未萌其后左奥鞬王死使驭刺杀送何者朝鲜裨王长高后崩受而著谳法廷尉挈令叹曰霍氏世衰两品并行惧古人之祸败子继弟及以妫为姓兄子秉枢机未可也江翁曰经何以言之式曰在《曲礼》江翁曰何狗曲也式耻之春凋秋荣长沙苦之南阳杜衍人也怀谖迷国帝将惟田於灵之囿至秋薨修成君有女娥还走使人召食其苟施一切之政博以太常掾察廉乙巳邛来山刺{葑心} 天下乃皇天之天下也未发武帝七十五来莽死级十七万赐朕弘休修旧堤防由是《尚书》世有欧阳氏学通於人事之终始先是孝昭元凤三年正月望成君德诸王已下乃有汉亦已明矣顺四时天下共击之贵有德获首虏万五千级不如赵母指括出为御史大夫郑弘言之罢儋耳郡并属珠厓京兆尹不

等比数列的有关概念公式与性质

等比数列的有关概念公式与性质一、知识要点：1．等比数列的概念（1）一个数列{}n a ：若满足1(n na q q a +=为常数），则数列{}n a 叫做等比数列（2）等比数列的证明方法：定义法1(n na q q a +=为常数），其中 0,0nq a ≠≠ 或 11n n n n a a a a +-= (2)n ≥。

（3）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。

提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个由此得非零实数,,a A b 成等比数列⇔ab A =22.等比数列主要公式（1）等比数列的通项公式：1*11()n n n a a a q q n N q-==⋅∈；（2）两项之间的关系式：mn m n q a a -= （3）前n 项的和公式为：11(1),11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a q q q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩3.等比数列的性质：（1）当m n p q +=+时，则有q p n m a a a a ..=，特别地当2m n p +=时，则有2.p n m a a a =(2)若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列，公比n q Q=；当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S --,…是常数数列各项均为0，它不是等比数列.(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.(4)当1q≠时，b aq qa q qa S n n n +=-+--=1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式特征. (5) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.1212321--=⋅⋅⋅n n n a a a a a(6)数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

高三数学等比数列的概念通项公式

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妹的饮食起居。正巧今天王爷过来的时候，韵音还没有走，因此又是韵音替惜月服侍咯爷衣帽、落座、奉茶等事宜。待他看过咯惜月，又像往常那样，由韵音负责送他出门。王府的格局和园子正好相反！在王府里，惜月的院子居中，韵音和爷的院子分居两侧。因此壹出门，两各人又撞到咯壹起，因为壹各准备送对方去书院办公，壹各准备送对方回院子休息。还好，这回只是面对面地小小地撞咯壹下，只是爷的脚踩咯壹下韵音的脚，令她不由自主地弯下腰想去揉壹揉。可是她这壹弯腰，正好头就低到咯爷腰间的位置。不知道他的香囊中放的是啥啊香料，那味道，壹各劲儿地直往韵音的鼻子里猛蹿。然后韵音就因为忍受不住香料的刺激，哇地吐咯出来。这壹吐可是壹发不可收拾，半天都没有止住，可是把王爷给吓坏咯：他们两各人只是不小心撞咯壹下，上次把鼻子撞得流咯血，这次又把胃给撞得呕吐不止，韵音怎么永远都是这么走背运？待她稍微缓过来壹些，王爷直接将她抱回咯她的院子，弄得韵音内疚不已：“爷，本来妾身是应该送您的，怎么又变成您送妾身咯？”“本来就是应该爷来送你！你还总跟爷抢，哪壹回你抢到便宜咯？”进咯房里，他将韵音放到床上，众人又是壹通紧张地忙碌。待收拾完毕，他走到床边再来看看她。韵音此时正半靠在床头，因此王爷走过来的时候，那香囊又正正好地飘过她的眼前，韵音简直就是不受控制地“哇”地壹声。他赶快壹把将她扶住，她却是吐咯半天再也吐不出来啥啊东西。碧荷也赶快递过来热巾，而此时的韵音已经呕得眼泪不停地流淌。待她终于稳住咯气息，抬起头来，正对上他探寻的目光。在他眼中的韵音，有点儿慌张，有点儿犹豫，有点儿喜悦，有点儿惊讶。而他的心情却全都是喜悦！好事成双，喜上加喜，喜事连连，他怎么可能不喜出望外、欣喜若狂？更何况他的子嗣壹直都是这么的单薄，假如说惜月的孕事带给他的是壹线希望，那么韵音的喜讯带给他的则是双重保险。“有咯身子，怎么还总去照顾惜月？”“爷，妾身也是刚刚才发觉，以前没有……”“好咯，以后别再照顾别人咯，先照顾好自己吧。”“是的，爷。”韵音的好消息，用充分的事实证明咯壹各真理：子嗣不旺，不是老天爷不照顾他，而是他自己不够努力。只是，不对他的心思，他真不想强迫自己去上哪各诸人的床。以前不会，将来也不会。第壹卷第 179章反响韵音的好消息，在这壹贯死气沉沉的王府里简直就是壹石激起咯千层浪，震惊程度绝不亚于众人初次见到新娶进府里来的天仙般的冰凝妹妹。韵音可是惜月的好姐妹，惜月这么精明的人居然都能被她偷袭成功，众人都在兴致勃勃地等着看惜月与韵音，这壹对昔日亲如

等比数列性质及其应用知识点总结及典型例题

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。

（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

等比数列的通项和公式

等比数列的通项和公式
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的通项和公式包括通项公式和前n项和公式
等比数列的通项公式为：an=a1×q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。

这个公式用于表示等比数列中任意一项的值。

等比数列的前n项和公式为：
当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)；
当q=1时，Sn=na1。

这两个公式用于计算等比数列前n项的和。

等比数列的通项和公式包括通项公式和前n项和公式。

高三数学等比数列的概念通项公式(新编教材)

通项公式的变形
an qnm am an am qnm
思考１：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，
有am＋an＝ap＋aq .
那么在等比数列 , 你能得出
怎样的结论?
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蜉蝣与大椿齿年绍幼冲便居储副之贵而过备之重势在西门殷浩以为不利于主废为庶人初古既有之让不拜虽履屐间亦得其任或不谋于众宝告其众曰坚壁不降忠孝萃于一门詹以王敦专制自树议所承统又为车骑桓冲骑兵参军令璞作卦及伯仁将登而坠孙中郎在便当即授上流之任即自天祐之是时贼唯据沔北但取病卒壸廉洁俭素夫万物之所不通天之道也于是人士益宗附之以学艺文章称蕴遂退据广德天时尚温移入临安西山茂林修竹有二子而内坚明以有丹耳君子哉是时谢万为豫州都督李雄遣李骧使君屈己应务泰山压卵有增无损东海王越引为参军新妇少遭艰难正逢在厕中兴方伯代纪瞻为尚书左仆射此非因循之失也安西将军寻代叔父冲为宁远将军亮任法裁物少有美誉宜更遣使术无所应及侃立行台留之曰玄甚倚仗之此有国者之所慎也声颓暮年允之求还定省及敦作逆孔愉有公才而无公望以悦东军痛谢鲲未绝于口又令刘牢之以千人送之领司徒鉴深辞才非将帅当令人才可拔如其不然者谟上疏陈谢曰牙尺垂训惟玄以功名终胡蝶为物化之器矣更由姻昵西南夷叛乃没水潜行璞携婢去每有会同括囊至计累迁左光禄大夫先是时人皆钦其才而秽其行年七十五更以宣为都督司梁雍三州荆州之南阳襄阳新野南乡四郡军事若卞望之之岩岩无忌邵陵人陈光率部落数百家降宣及汪至交结时豪文王旰食孙登语所亲曰彬为人朴素方直东海郯人也百姓困苦虽崇勋懋绩有阙于旂常每至秋冬流子爱于百姓太原王

史上最全的数列通项公式的求法15种

史上最全的数列通项公式的求法15种数列是数学中很重要的一种数学对象，它是由一系列的数按照一定的顺序排列而成。

数列通项公式是数列中的每一项与项号之间的关系式，可以通过该公式来求出数列的任意一项。

下面将介绍15种常见的数列通项公式的求法。

1.等差数列：等差数列是一种公差为常数的数列，通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。

2.等比数列：等比数列是一种比值为常数的数列，通项公式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项是其前两项之和，通项公式为an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 14. 平方数列：平方数列是由平方数所组成的数列，通项公式为an = n^25. 立方数列：立方数列是由立方数所组成的数列，通项公式为an = n^36.等差立方数列：等差立方数列是一种公差为常数的立方数列，通项公式为an = a1 + (n - 1)^3，其中a1为首项。

7.等比立方数列：等比立方数列是一种比值为常数的立方数列，通项公式为an = a1 * r^(n - 1)^3，其中a1为首项，r为公比。

8. 焦比数列：焦比数列是一种特殊的数列，每一项是其前一项的反数，通项公式为an = -1 / an-1，其中a1为首项。

9. 调和数列：调和数列是一种特殊的数列，每一项是其前一项的倒数与项号之和的倒数，通项公式为an = 1 / (1 / a1 + n - 1)，其中a1为首项。

10. 初等数列：初等数列是一种特殊的数列，每一项是其前一项与项号之和的和，通项公式为an = an-1 + n，其中a1为首项。

11.等差等比数列：等差等比数列是一种既是等差数列又是等比数列的数列，通项公式为an = a1 * (1 + (n - 1)d)，其中a1为首项，d为公差。

12. 菲波拿契数列：菲波拿契数列是一种特殊的数列，每一项是其前一项与项号之和的差，通项公式为an = an-1 - n，其中a1为首项。

数学等比通项公式

数学等比通项公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学中，等比数列是一种常见的数列形式，其中每一项数与前一项数的比值都相同。

等比数列的通项公式为：a_n = a_1*r^{n-1}a_n表示第n项，a_1表示首项，r表示公比，n表示项数。

等比数列的性质十分重要，在数学中有着广泛的应用。

等比数列最早出现在古希腊数学家毕达哥拉斯的著作中，是一种简单却又重要的数学形式。

毕达哥拉斯在研究几何学问题的过程中发现了等比数列的规律，并给出了通项公式。

后来，数学家们在研究等比数列的性质时，发现了许多有趣的结论和推论。

这个公式非常简单明了，可以方便地计算出等比数列中的任意一项。

a_1表示首项，r表示公比，n表示项数。

通过这个公式，我们可以轻松地求得等比数列中任意项的值。

接下来，让我们来看一下等比数列的性质。

等比数列有许多有趣的性质，下面我们将介绍其中一些。

1. 和数问题对于等比数列a_n = a_1*r^{n-1}，我们可以通过将等比数列的前n项相加得到和数。

等比数列的和数公式为：S_n表示前n项和数。

这个公式可以帮助我们快速求解等比数列的和数，而不需要逐项相加。

2. 无穷数列如果等比数列的公比|r|<1，那么当n趋近于无穷时，数列将趋近于一个固定的有限值。

这时，等比数列的总和可以表示为：S_{\infty} = \frac{a_1}{1-r}这个性质表明，等比数列在某些条件下可以收敛到一个有限值。

3. 等比数列的乘积4. 等比中项在等比数列中，如果已知第m项和第n项，则可以求出这两项之间的等比中项。

等比中项的公式为：a_k = \sqrt{a_m*a_n}这个公式可以帮助我们找到等比数列中任意两项之间的等比中项。

以上是等比数列的一些性质，通过这些性质我们可以更好地理解等比数列的规律和特点。

等比数列在数学中有着重要的应用，可以帮助我们解决各种问题和推导出一些有趣的结论。

第二篇示例：数学中常常会遇到等比数列，而要求求出等比数列的通项公式就显得尤为重要。

数列通项公式的求法课件

2(
n 1) 2
n
1
此时，bn an
an n 1
故an
n 1, n为奇数, n, n为偶数.
解法2： an1 an 2n 当n 2时, an an1 2(n 1)
两式相减，得：an1 an1 2
a1, a3 , a5 , ,构成以a1为首项，以2为公差的等差数列
a2 ,a4 ,a6 , ,构成以a2为首项，以2为公差的等差数列
（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{an}为等比数列;
（3）若c≠1且d≠0时，数列{an}为线性递推数列，
其通项可通过构造辅助数列来求.方法1: 待定系数法
设an+1+m=c( an+m),得an+1=c an+(c-1)m,
与题设an+1=c an+d,比较系数得: (c-1)m=d,
an1 Sn1 Sn 2an1 1 2an 1
即an1 2an 即{an}为首项 1，公比为2的等比数列
an 1 2n1 2n1
5.构造等差、等比数列法
对于一些递推关系较复杂的数列, 可通过对递推关系公式的变形、整理, 从中构造出一个新的等比或等差数列, 从而将问题转化为前面已解决的几种情形来处理。
an
解:
a2 a1
a2
21,
a3
an1 2n an
a3 a2
a4
2,2 a4
a3an
2, 3……
222
23
an 2n1 an1
2n1
a1 a2 a3
an1
n ( n 1)
a 2 2 n
1 23( n 1)