分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

A.9种
B.18种 C.12种
D.36种
-22-
考点1
考点2
考点3
解析:(1)分两类:①当取1时,1只能为真数,此时对数值为0; ②不取1时,分两步:取底数,有5种不同的取法;取真数,有4种不同的
取法.
其中log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93,
相同点用来计算完成一件事的方法种数
分类、相加
分步、相乘
不同点每类方案中的每一每步依次完成才算完成这件事情种方法都能独立地 (每步中的每一种方法都不能独立
完成这件事
地完成这件事)
注意点类类独立,不重不漏步步相依,缺一不可
知识梳理考点自诊
随堂巩固
-4-
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(2)按区域 1 与 3 是否同色分类:
①区域 1 与 3 同色;先涂区域 1 与 3,有 4 种方法,再涂区域 2,4,5(还有
3 种颜色),有A33种方法. 所以区域 1 与 3 同色,共有 4A33=24 种涂色方法.
②区域 1 与 3 不同色:第一步,涂区域 1 与 3,有A24种涂色方法;第二步,
11.1 分类加法计数原固
-2-
1.两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条件
结论依据
完成一件事,可以有 n类不同的方案 .在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法,在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法,……在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法
随堂巩固

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理首先，让我们介绍一下分类加法计数原理。

分类加法计数原理也被称为分情况计数原理，是指将问题分为几个不同的情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加，得到最终的可能性总数。

为了更好地理解分类加法计数原理，我们举一个例子。

假设我们有三个不同颜色的球，红色、蓝色和黄色，现在要从这三个球中选择两个球。

根据分类加法计数原理，我们可以将这个问题分为三种情况：选择两个红色球、选择一个红色球和一个蓝色球、选择一个红色球和一个黄色球。

然后分别计算出每种情况下的可能性总数，最后将这三种情况的可能性总数相加，即可得到最终的答案。

在这个例子中，我们可以计算出每种情况下的可能性总数。

选择两个红色球有C(3,2)=3种可能；选择一个红色球和一个蓝色球有C(3,1)*C(3,1)=9种可能；选择一个红色球和一个黄色球也有9种可能。

将这三种情况的可能性总数相加，即得到最终的答案，共21种可能的选择方式。

接下来，让我们来介绍一下分步乘法计数原理。

分步乘法计数原理是指将一个问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将各个步骤的可能性数目相乘，得到最终的可能性总数。

同样以一个例子来说明分步乘法计数原理。

假设我们有一个4位数的密码锁，每一位的取值范围是0-9、根据分步乘法计数原理，我们将这个问题分为四个步骤：第一位数字的可能性数目、第二位数字的可能性数目、第三位数字的可能性数目以及第四位数字的可能性数目。

然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘，得到最终的可能性总数。

综上所述，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决排列组合问题中常用的两种方法。

分类加法计数原理适用于将问题分为不同情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加；分步乘法计数原理适用于将问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘。

通过掌握这两种计数原理，我们可以更好地解决各种排列组合问题。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理11分类加法计数原理又被称为情况分类计数法，它是将一个计数问题分解为若干个相互独立的子问题，然后对每个子问题进行计数，并将计数结果相加得到最终的答案。

该原理适用于问题可以被划分为多个不重叠情况的情况，每种情况又可以用数学方法计数的情况。

以一个具体的例子来说明，假设有一个5人小组，要从10个人中选出3个人组成小组，要求其中必须包含代表A和代表B两人。

这个问题可以使用11分类加法计数原理来求解，具体步骤如下：（1）将问题划分为几个情况：选出的小组中分为三种情况，即A和B分别在小组中被选中（情况1），A被选中但B没有被选中（情况2），B被选中但A没有被选中（情况3）。

（2）计算每个情况下的可能性：情况1中，需要从除去A和B以外的8个人中选出1个人，共有8种选择方式；情况2和情况3中，需要从除去A和B以外的8个人中选出2个人，共有C(8,2)=28种选择方式。

（3）求解最终答案：将每个情况下的可能性求和，即8+28+28=64、所以符合条件的小组共有64种。

通过以上步骤，我们可以使用11分类加法计数原理解决了该问题。

分步乘法计数原理指的是将一个计数问题分解为若干个小问题，并将每个小问题的计数结果相乘得到最终的答案。

该原理适用于问题可以划分为几个步骤，并且每个步骤的结果可以相互独立地计数的情况。

同样以例子来说明，假设有一个国际象棋棋盘，要求将8个皇后放置在棋盘上，使得彼此之间不能互相攻击。

这个问题可以使用分步乘法计数原理来求解，具体步骤如下：（1）将问题划分为几个步骤：要放置8个皇后，可以将问题划分为逐行放置皇后，每行只能放置一个皇后的步骤。

（2）计算每个步骤的可能性：在棋盘上的第一行放置皇后，有8种选择；在棋盘上的第二行放置皇后，有7种选择；以此类推，最后一行只有一个位置可以放置皇后。

（3）求解最终答案：将每个步骤的可能性相乘，即8×7×6×5×4×3×2×1=40,320。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

自然数2520有多少个约数？有多少个约数？例3.自然数自然数有多少个约数解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成：分四步完成：第一步：第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种第二步：第二步：取30，31，32有3种；种第三步：取50，51有2种；第三步：种第四步：第四步：取70，71有2种。种由分步计数原理，共有4× × × ＝种由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种练习：张元币元币，张角币角币，张分币分币，张分币分币，练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成多少种不同的币值？（张不取，？（1张不取角不计在内）多少种不同的币值？（张不取，即0元0分0角不计在内）元分角不计在内元：0，1，2，3，4，5 ，，，，，角：0，1，2，3，4 ，，，，分：0，2，4，5，7，9 ，，，，， 6×5×6－1＝179 × × －＝
பைடு நூலகம்
（染色问题）染色问题）
1.如图要给地图、B、C、D四个区域分别涂上种如图,要给地图四个区域分别涂上3种如图要给地图A、、、四个区域分别涂上不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次,但相不同颜色中的某一种允许同一种颜色使用多次但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种不同的涂色方案有多少种？邻区域必须涂不同的颜色不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法答:完成一件事情有类方法若每一类方法中的任完成一件事情有类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完何一种方法均能将这件事情从头至尾完成则计算完成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理完成一件事情有n个步骤若每一步的任何一种完成一件事情有个步骤,若每一步的任何一种个步骤方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成方法只能完成这件事的一部分并且必须且只需完成互相独立的这n步后才能完成这件事,则计算完成这步后,才能完成这件事互相独立的这步后才能完成这件事则计算完成这件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理

分类加法和分步乘法计数原理

N＝m1×m2×m3
如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?
6.分步乘法计数原理一般结论：
如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的方法总数如何计算？
N＝m1×m2×…×mn
2思考:用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1， B2,···的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码？
在这个问题中,号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤用下图可以列出所有可能的号码.
22464000
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举法一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大，列举的效率不高，能否设计巧妙的“数法” 以提高效率呢？
二、探究新知
1.问题1:用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
因为英文字母共有26个,阿拉伯数字0~9共有10个,所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.
3.分步乘法计数原理
完成一件事，需要两个步骤: 做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，则完成这件事共有:
N= m×n种不同的方法
巩固新知
4.例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
分析:选出一组参赛代表，可分两步：第一步, 选男生；第二步,选女生
N＝m1＋m2＋m3
如果完成一件事有n类不同方案,在每一类中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

的偶数共有( )
A．144 个
B．120 个
C．96 个
D．72 个
解析：由题意，首位数字只能是 4,5，若万位是 5，则有 3×A34＝72(个)；若万位是 4，则有 2×A34＝48(个)，故比 40 000 大的偶数共有 72＋48＝120(个)．故选 B.
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法．
(4)如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i＝ 1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有 m1m2m3…mn 种方法．( √ ) (5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( √ )
题组二教材改编 2．已知集合 M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从 M，N 这两个集合中各选一
2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2，且 a2>a3，则称这样的三位数为凸
数(如 120,343,275 等)，那么所有凸数的个数为( )
A．240 C．729
B．204 D．920
解析：若 a2＝2，则百位数字只能选 1，个位数字可选 1 或 0，“凸数”为 120 与 121，共 2 个．若 a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有 2×3＝6(个)．若 a2＝4，满足条件的“凸数”有 3×4＝12(个)，…，若 a2 ＝9，满足条件的“凸数”有 8×9＝72(个)．所以所有凸数有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理是指将一个计数问题分成若干个子问题，然后将子问题的计数结果相加得到最终的计数结果。

其基本思想是将问题中的元素分成若干个不重叠的类别，然后分别计数各个类别的元素个数，最后将各类别的计数结果相加。

这个原理常用于解决包含多个步骤的计数问题。

举个例子来说明分类加法计数原理的应用：假设有一个盒子，里面有红球、蓝球和绿球，分别有3个、4个和5个。

现在要从盒子中任选3个球，问有多少种选择方法。

我们可以将这个问题分为三个子问题：选取3个红球的方法数、选取3个蓝球的方法数和选取3个绿球的方法数。

然后分别计数这三个子问题的方法数，最后将它们相加得到总的方法数。

与分类加法计数原理相对应的是分步乘法计数原理。

分步乘法计数原理是指将一个计数问题分成若干个步骤，然后将各个步骤的计数结果相乘得到最终的计数结果。

这个原理常用于解决包含多个独立步骤的计数问题。

举个例子来说明分步乘法计数原理的应用：假设有一个密码锁，需要输入5位密码，每位密码都是从0到9的数字。

问一共有多少种可能的密码组合。

我们可以将这个问题分为5个步骤：第一位密码的选择、第二位密码的选择、第三位密码的选择、第四位密码的选择和第五位密码的选择。

然后计数每个步骤的可能性，最后将它们相乘得到总的可能性。

分步乘法计数原理也可以用于解决其他的计数问题，例如从一个字母表中选择若干个字母组成单词的方法数、从一个数列中选择若干个数的方法数等等。

总的说来，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决组合数学中计数问题的重要方法。

它们可以帮助我们系统地分析和解决各种计数问题，提高我们的计算能力和思维能力。

无论是在学术研究还是在实际应用中，这两个原理都有着广泛的应用价值。

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理【要点梳理】要点一：分类加法计数原理(也称加法原理)1．分类加法计数原理：完成一件事,有n 类办法.在第1类办法中有1m 种不同方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=Λ21种不同的方法.2．加法原理的特点是：① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n 类；② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和。

3．图示分类加法计数原理：由A 到B 算作完成一件事.直线型流程线表示第1类方案中包括的方法数，折线型流程线表示第2类方案中包括的方法数。

从图中可以看出，完成由A 到B 这件事，共有方法m+n 种。

要点诠释：用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，“类”要一竿到底，它的起点、终点就是完成这件事的开始与结束，图示分类加法计数原理，用意就在其中。

要点二、分步乘法计数原理1.分步乘法计数原理“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算完成．2．乘法原理的特点：① 完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可；② 完成每一步有若干种方法；③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积。

3.图示分步乘法计数原理：由A到C算作完成一件事.设完成这件事的两个步骤为从A到B、从B到C。

要点诠释：从A到C算作完成一件事，A是起点，C是终点，点B是中间单元，从A到B是第1步，从B到C是第2步。

分类加法与分步乘法计数原理

(2)
济宁育才中学
C123
【分类加法计数原理】
如果完成一件事有n类不同方案，在第
1类方案中有m1种不同的方法，在第2 类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为
N＝m1＋m2＋…＋mn
【分步乘法计数原理】
如果完成一件事需要n个步骤，做第1 步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为N＝m1×m2×…×mn
P6例5：给程序模块命名，需要用3个字符
其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给
多少个程序命名？答:(7+6) ×9 × 9=1053,
故最多可以给1053个程序命名.
P7例6：核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞
中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4种不同的碱基，分别用A，C，G， U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少个不同的 RNA分子？
1.答：35 2.答：53
课下讨论：书P41B组13.
P7例7：电子元件很容易实现电路的通与断、电
位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0 或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同

9.1第一节分类加法计数原理

考向二分步乘法计数原理[自主练透型] 1．(2016·课标全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到 F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
解析：先确定从E到G的步骤，再分别考虑每一步中最短路径的条数，最后求出最短路径的总条数．
从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向
路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如题图，从E到 F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为 6×3＝18.
二、必明2个易误点 1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． 2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．
【小题热身】
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或 “×”)．
答案：10
悟·技法 1.分类加法计数原理的实质分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事． 2．使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.
答案：C
答案：B
3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有( )

分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件

一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为 ( )
A.11
B.28
C.16 384
D.2 401
解析:要完成配套,分两步.第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4
种不同的选法;第2步,选长裤,从7条长裤中任选一条,有7种不同的
选法.故共有4×7=28种不同的配法.
答案:B
3.某商场共有4个门,购物者从一个门进,从另一个门出,不同的走法种数是( ) A.8 B.7
法.
解析:若这个人来自(1)班,则有54种不同的选法;若来自(2)班,则有
56种不同的选法,所以共有110种不同的选法.
答案:110
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有
n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
【做一做2】已知某乒乓球队有男队员9人,女队员8人,现从男、
解:(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有三类不同的方案.
第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法; 第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法; 第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有50+60+55=165种不同的选法.
高三(2)班
30
30
60
高三(3)班
35
20
55
(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选
法? (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担
任学生会生活部部长,有多少种不同的选法? 思路分析:(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席都能独立地

分类加法计数原理和分步乘法计数原理汇报

应用示例
例如，一个班里有30名学生，其中10名是男生，20名是女生，现在要从中选出5名学生参加比赛，要求选出的学生中必须有男生和女生。根据分类加法计数原理，可以先分别计算选出5名男生和选出5名女生的情况下的方法数，然后将两种情况下的方法数相
加，得到总的方法数。
分类加法计数原理的实例
实例
一个班里有30名学生，其中10名是男生，20名是女生，现在要从中选出5名学生参加比赛。根据分类加法计数原理，选出5名男生有$C_{10}^{5}$种方法，选出5名女生有$C_{20}^{5}$种方法，因此总共有$C_{10}^{5} + C_{20}^{5}$种不同的方法可以选出5名学生参加比赛。
计算机科学中的应用
计算机科学应用
分类加法计数原理和分步乘法计数原理在计算机科学中也有着广泛的应用。例如，在算法设计、数据结构、人工智能等领域中，这两个原理可以帮助我们设计更高效的算法和数据结构，从而提高计算机程序的执行效率和性能。
计算机科学应用实例
在计算机科学中，我们经常需要设计算法和数据结构来处理各种问题。分类加法计数原理可以帮助我们将问题分解为多个子问题，然后分别设计算法和数据结构来解决每个子问题，最后将它们组合起来形成完整的解决方案。而分步乘法计数原理则可以帮助我们将问题分解为多个步骤，然后分别设计算法和数据结构来解决每一步的问题，最后将它们组合起来形成完整的解决方案。
分步乘法计数原理适用于事件需要按照一定的顺序和步骤进行分解的情况，例如计算完成某项任务需要经过几个步骤，每个步骤的概率是多少等。
优缺点比较
分类加法计数原理的优点在于能够清晰地展示不同类别的数量，便于比较和分析；缺点在于对于复杂事件，可能难以准确地划分类别。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类计数问题：要计算一些集合中满足其中一种条件的元素的数目。

可以将该集合分为若干个子集，分别计算每个子集中满足条件的元素的数目，然后将这些数目相加即可得到最终的结果。

例如，一些班级有30个学生，其中有10个男生和20个女生，要计算全班学生中身高超过1.7米的男生的人数。

可以将问题分解为两个部分，分别计算身高超过1.7米的男生和身高不超过1.7米的男生的人数，然后将这两个数目相加即可得到最终的结果。

2.多重条件计数问题：要计算满足多个条件的元素的数目。

可以将满足不同条件的元素分为不同的类别，然后计算每个类别中满足条件的元素的数目，最后将这些数目相加得到最终的结果。

例如，一些商店有3种颜色的衬衫（红色、蓝色和绿色），每种颜色的衬衫分别有5件、3件和4件。

要计算购买2件衬衫的方法数目，其中要求至少购买一件红色的衬衫。

可以将购买2件衬衫分为两种情况：一种是购买一件红色的衬衫和一件其他颜色的衬衫，另一种是购买两件红色的衬衫。

然后分别计算这两种情况下的购买方法数目，最后将这两个数目相加即可得到最终的结果。

分步乘法计数原理是指将一个计数问题分解为若干个步骤，每个步骤的计数独立进行，最后将每个步骤的计数结果相乘得到最终的结果。

该方法的基本思想是通过分步骤计数来简化问题，使得每个步骤的计数更加直观和容易。

分步乘法计数原理通常适用于以下两种情况：1.顺序计数问题：要计算一些事件发生的不同顺序的可能性。

可以将该事件分为若干个步骤，分别计算每个步骤的可能性，然后将这些可能性相乘得到最终的结果。

例如，一些球队有10名队员，要计算选择3名队员组成一支首发阵容的方法数目。

可以将选择队员分为三个步骤：先选择首发中锋（有10种选择），然后选择首发后卫（有9种选择），最后选择首发前锋（有8种选择）。

然后将这三个步骤的选择数目相乘即可得到最终的结果。

2.分步限制问题：要计算满足多个条件的元素的数目。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．分类加法计数原理的理解分类加法计数原理中的“完成一件事有两个不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．分步乘法计数原理的理解分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成两个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)√某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有( )A．3种B．4种C．7种D．12种答案：C已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( ) A．1 B．3C．6 D．9答案：D某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种．答案：3加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人可以选择，第二道工序有6人可以选择，第三道工序有4人可以选择，每两道工序中可供选择的人各不相同，如果从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．答案：120探究点1 分类加法计数原理[学生用书P2]在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【解】法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．[变问法]在本例条件下，个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个).利用分类加法计数原理计数时的解题流程某校高三共有三个班，各班人数如下表：男生人数女生人数总人数高三(1)班30 20 50 高三(2)班30 30 60 高三(3)班 35 20 55(1)(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解：(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．探究点2 分步乘法计数原理[学生用书P2]从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c ，则可以组成抛物线的条数为多少？【解】由题意知a 不能为0，故a 的值有5种选法； b 的值也有5种选法；c 的值有4种选法．由分步乘法计数原理得：5×5×4＝100(条)．1．[变问法]若本例中的二次函数图象开口向下，则可以组成多少条抛物线？解：需分三步完成，第一步确定a 有2种方法，第二步确定b 有5种方法，第三步确定c 有4种方法，故可组成2×5×4＝40条抛物线．2．[变条件、变问法]若从本例的六个数字中选2个作为椭圆x 2m ＋y 2n＝1的参数m ，n ，则可以组成椭圆的个数是多少？解：据条件知m >0，n >0，且m ≠n ，故需分两步完成，第一步确定m ，有3种方法，第二步确定n ，有2种方法，故确定椭圆的个数为3×2＝6(个)．利用分步乘法计数原理计数时的解题流程从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数．解：(1)分三步：第1步，排个位，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)第1步，排个位，只能从2，4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数．探究点3 两个计数原理的综合应用[学生用书P3]甲同学有5本不同的数学书、4本不同的物理书、3本不同的化学书，现在乙同学向甲同学借书，(1)若借1本书，则有多少种借法？(2)若每科各借1本书，则有多少种借法？(3)若任借2本不同学科的书，则有多少种借法？【解】(1)需完成的事情是“借1本书”，所以借给乙数学、物理、化学书中的任何1本，都可以完成这件事情．根据分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12种借法．(2)需完成的事情是“每科各借1本书”，意味着要借给乙3本书，只有从数学、物理、化学三科中各借1本，才能完成这件事情．根据分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60种借法．(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借2本不同学科的书”，可分三类：第1类，借1本数学书和1本物理书，只有2本书都借，事情才能完成，根据分步乘法计数原理，有5×4＝20种借法；第2类，借1本数学书和1本化学书，有5×3＝15种借法；第3类，借1本物理书和1本化学书，有4×3＝12种借法．根据分类加法计数原理，共有20＋15＋12＝47种借法．利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法．根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为( )A．8 B．15C．18 D．30解析：选A.共有5＋3＝8种不同的选法．2．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从集合A、B中先后各取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，则可确定的不同点的个数为( )A．5 B．6C．10 D．12解析：选B.完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法．3．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有( )A．12种B．7种C．14种D．49种解析：选D.要完成进、出门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进门有4＋3＝7种方法；第二步出门也有4＋3＝7种方法，由分步乘法计数原理知进、出门的方案有7×7＝49种．4．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？解：(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法．(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000种选法．(3)①高一和高二各选1人作中心发言人，有50×42＝2 100 种选法；②高二和高三各选1人作中心发言人，有42×30＝1 260种选法；③高一和高三各选1人作中心发言人，有50×30＝1 500种选法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860种选法．[A 基础达标]1．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是( )A．5 B．4C．9 D．20解析：选C.由分类加法计数原理求解，5＋4＝9(种)．故选C.2．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是( )A．18 B．16C．14 D．10解析：选C.分两类：第一类M中取横坐标，N中取纵坐标，共有3×2＝6(个)第一、二象限的点；第二类M中取纵坐标，N中取横坐标，共有2×4＝8(个)第一、二象限的点．综上可知，共有6＋8＝14(个)不同的点．3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A．81 B．64C．48 D．24解析：选A.每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A.4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是( )A．15 B．12C．5 D．4解析：选A.分情况讨论：①当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；②当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；③当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对(x，y)的个数是6＋5＋4＝15.5．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有( )A．24种B．16种C．12种D．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.6．已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有________种．解析：分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合B时，有4种．因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7(种)．答案：77．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有________种．解析：小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法．答案：548．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．解析：若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时，有5×4＝20条，则共有20＋2＝22(条)，即所求的不同的直线共有22条．答案：229．(2018·云南丽江测试)现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．10．(1)如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源且仅闭合其中一个电键，使电灯C发光的方法有多少种？(2)如图，由电键组A，B组成的电路中，要闭合两个电键接通电源，使电灯C发光的方法有几种？解：(1)只要闭合图中的任一电键，电灯即发光．由于在电键组A中有2个电键，电键组B 中有3个电键，且分别并联，应用分类加法计数原理，所以共有2＋3＝5(种)接通电源使电灯发光的方法．(2)只有在闭合A组中2个电键中的一个之后，再闭合B组中3个电键中的一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光．根据分步乘法计数原理，共有2×3＝6(种)不同的接通方法使电灯发光．[B 能力提升]11．(2018·郑州高二检测)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3 B．4C．6 D．8解析：选D.以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9.以2为首项的等比数列为2，4，8.以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．12．(2018·长沙高二检测)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13C．12 D．10解析：选B.对a进行讨论，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小．若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时(a，b)的取值有4个；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．所以(a，b)的个数为4＋9＝13.故选B.13．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，点P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．(1)点P可以表示平面上的多少个不同点？(2)点P可以表示平面上的多少个第二象限的点？(3)点P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？解：(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种．由分步乘法计数原理知，点P可以表示平面上6×6＝36(个)不同点．(2)根据条件，需满足a＜0，b＞0.完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，点P 可以表示平面上3×2＝6(个)第二象限的点．(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，点P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点．14．(选做题)某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果．(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．。

分类加法与分步乘法计数原理

1
第一位数字
5种可能性
2
第二位数字
5种可能性
3
第三位数字
5种可能性
分类加法举例

假设我们要将一本书的内容按照章节分为不同的主题。每个主题有不同数量的页数。使用分类加法计数原理，我们可以计算这本书一共有多少页。
主题引言第一章第二章第三章
页数 5页 10页 8页 12页
分步乘法举例
假设我们要选择一套衣服，衬衫有4种颜色可选，裤子有3种颜色可选，每种颜色的鞋子有2种款式可选。使用分步乘法计数原理，我们可以计算一共有多少种不同的衣服组合。
1. 确定问题中涉及的类别或步骤。 2. 计算每个类别的数量或每个步骤的可能性。 3. 根据需要使用分类加法或分步乘法计数原理得出最终结果。
结论和要点
• 分类加法计数原理用于计算不同类别的数量。 • 分步乘法计数原理用于计算多个步骤的可能性。 • 这两种计数原理可以互相补充和结合使用。 • 使用分类加法和分步乘法可以解决各种实际问题。
分类加法与分步乘法计数原理
在数学中，分类加法和分步乘法是两种常用的计数原理。通过了解这些原理，我们可以更好地解决实际问题。
分类加法计数原理
分类加法计数原理是一种将问题分成多个部分并计算每个部分数量的方法。然后将这些部分的计数结果相加，得到最终的答案。
举例来说，如果我们有三种颜色的气球，红色的气球有3个，蓝色的气球有4个，黄色的气球有2个。使用分类加法计数原理，我们可以得到总共有多少个气球。
红色气球
3个
蓝色气球
4个
黄色气球
2个
分步乘法计数原理
分步乘法计数原理是一种将问题分解成多个步骤，并计算每个步骤的可能性的方法。然后将每个步骤的计数结果相乘，得到最终的答案。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法
有 ( )
AB．315种
D．153种
3．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日
参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 ( A．40种 B．60种 )
C．100种
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方
法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法．
[思考探究] 在解决具体问题时，如何选择分类加法计数原理和分步乘法计数原理？提示：如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理．
解析：由题意可列式为
D．120种
＝60(种)．
答案：B
4．若x、y∈N*，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有 ________个．解析：当x＝1,2,3,4,5时，y值依次有5,4,3,2,1个，由分类计数原理，不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋ 1＝15(个)．答案：15
5．如图用6种不同的颜色把图中A、 B、C、D四块区域分开，若相
[特别警示]
在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，
有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确
定分类的标准，按照分类的标准进行，做到不重不漏．
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
[思路点拨]
[课堂笔记] 法一：根据题意，将十位数上的数字分别是
1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1 个．由分类计数原理知：符合题意的两位数的个数共有：

考点47分类加法计数原理与分步乘法计数原理排列与组合

考点47分类加法计数原理与分步乘法计数原理排列与组合分类加法计数原理和分步乘法计数原理是组合数学中常用的计数方法。

它们在解决问题时，能够将问题分解为若干个子问题，从而简化计数的过程。

一、分类加法计数原理分类加法计数原理是指当一个问题可以分解为几个相关的子问题时，通过计算每个子问题的解的个数，再将它们相加得到原问题的解的个数。

例如，假设有一个班级有30个学生，其中10个学生喜欢足球，15个学生喜欢篮球，5个学生两项都喜欢。

现在要计算喜欢足球或篮球的学生的人数。

根据分类加法计数原理，我们可以将该问题分解为两个子问题：喜欢足球的学生人数和喜欢篮球的学生人数。

然后计算每个子问题的解的个数，最后将它们相加得到原问题的解的个数。

根据给出的数据，喜欢足球的学生人数为10，喜欢篮球的学生人数为15，所以喜欢足球或篮球的学生人数为10+15-5=20。

二、分步乘法计数原理分步乘法计数原理是指当一个问题可以分解为若干个独立的子问题时，通过计算每个子问题的解的个数，再将它们相乘得到原问题的解的个数。

例如，假设家餐厅有5种主菜和3种甜点，需要从这些选项中选择一种主菜和一种甜点。

现在要计算所有可能的餐点的组合数。

根据分步乘法计数原理，我们可以将该问题分解为两个子问题：选择一种主菜的可能数和选择一种甜点的可能数。

然后计算每个子问题的解的个数，最后将它们相乘得到原两个子问题的解的个数。

根据给出的数据，选择一种主菜的可能数为5种，选择一种甜点的可能数为3种，所以所有可能的餐点的组合数为5×3=15总结：分类加法计数原理和分步乘法计数原理是两种常用的计数方法。

分类加法计数原理适用于将问题分解为几个相关的子问题的情况，通过计算每个子问题的解的个数，再将它们相加得到原问题的解的个数。

而分步乘法计数原理适用于将问题分解为若干个独立的子问题的情况，通过计算每个子问题的解的个数，再将它们相乘得到原问题的解的个数。

分类加法原理和分步乘法原理

分类加法原理和分步乘法原理【考纲要求】1、理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2、会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.【基础知识】一、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．二、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·…·m n种不同的方法．三、“类”和“步”的区别在于：“类”和“类”之间是相互独立的，互不影响，每一类都可以单独完成任务；“步”和“步”之间是相互依存的，相互影响的，每一步不能单独完成任务。

四、注意要点1、认真读题审题，弄清事件的要求。

2、分类不重不漏，分步条理清晰。

【例题精讲】例1：电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？例2：(1)在广州亚运会上，4个选手争夺3项比赛的冠军（没有并列的冠军），问一共有多少种不同的结果？(2)暑假，4个老师每个人从3个旅游城市上海、北京和深圳中选择一个去旅游，问一共有多少种不同的结果？分类加法原理和分步乘法原理强化训练【基础精练】1．从a、b、c、d、e五人中选1名班长，1名副班长，1名学习委员，1名纪律委员，1名文娱委员，但a不能当班长，b不能当副班长，不同选法总数为()A．78B．54 C．24 D．202．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有()A．24种B．36种C．48种D．72种3．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有() A．6 B．8 C．36 D．484．把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同排法的种数是()A．10 B．20 C．40 D．605. 如图所示的几何体是由一个正三棱锥P—ABC与正三棱柱ABC—A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有() A．24种B．18种C．16种D．12种6．只用1、2、3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个7．2009年9月某地全运会火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有______种(用数字作答)．8. 如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有种．9．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且两个公益广告不能连续播放，则不同的播放种类数为________．10. 中央电视台“开心辞典”节目的现场观众来自四个不同的单位，分别在右图中的A、B、C、D四个区域落座．现有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同色服装，且相邻区域不能同色，不相邻区域是否同色不受限制，则不同的着装方法共有多少种？11．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．(1)从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？(3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？【拓展提高】1．现有高一年级四个班有学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？。

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11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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9.1第一节 分类加法计数原理

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考点47分类加法计数原理与分步乘法计数原理排列与组合

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9.1第一节分类加法计数原理

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