6 投影变换

[例题] 试过定点A作直线与已知直线EF正交。
2
k
2
f
1
PV e
1
a
e
2
k
2
a
f 1
1
[例题3] 求两直线AB与CD的公垂线 。
b 1 2
1 2 22 2'1 1'1 d'1 d2 c2
12 a 2b2
c'1
[例题4] 求平面ABC和ABD的两面角
由几何定理知：两面角为两平 面同时与第三平面垂直相交时 所得两交线之间的夹角。
d a V XH c a
b a1 d1
● ●
●
分析：在投影图中, 两平面的交 线垂直于投影面时，则两平面垂 直于该投影面，它们的投影积聚 成直线，直线间的夹角为所求。
c1
.
●
b1
.
d
c
b
a2≡ b2
●
θ
θ
●
c2
d2
●
二、定位问题
例一、过点A作一直线与两直线BC、DE相交。
作图步骤： 连接AD、AE组成一 平面ADE，并用辅助平面 法求出直线BC和平面 △DEA的交点K； 连接AK，并延长AK 必与直线DE相交，AK即 为所求。
求一般位置直线实长及β 角
a1

b1
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线
a1 b1 b a1 b1
b
（三）把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
b1 V1 a1
X1
作图过程
把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
[例题2]
求点C到直线AB的距离
提示
作图过程
作图
a1
c1 k1 b1 k'
例二、AB为直角△ABC的一直角边，斜边BC∥DE，求作此直 角△ABC的两面投影。
作图步骤： 过点B作一条直 线BF平行直线DE，则 点C在此直线上；过 点A作一平面AMN垂直 直线AB，即作水平线 AM、正平线AN分别垂 直于AB；利用辅助平 面法求平面AMN与直 线BF的交点C；连接 AC、BC，即得所求 △ABC。
分析：根据题意，△ABC中边AB垂直另一直角边AC，AC必在过点A垂直AB的平 面P内，直线BC与平面P的交点即为需求的点C。
第六章
投影变换
§6-1 概 述 §6-2 换面法
§6-1 概 述
§6-2 换面法
一、换面法的基本概念
a 保持空间几何元素的 位置不变，而用新投影面 代替原有的投影面，使空 间几何元素相对于新的投 影面处于有利于解题的位 置。
V
V
A B a
H
a1 b1
b
b
新投影面的选择应符合以下两个条件： （1）新投影面必须处于有利于解题位置。 （2）新投影面必须垂直于原来投影面体系 中的一个投影面，形成一个新的投影面体系。
b'2 k'2
a'2
c'2
距离
k
（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面
如图：新投影面须垂直H面的同时，垂直一般位置平面 即，ABC平面内包含一条直线垂直于新的投影面（铅垂面）这条直线一定是水 平线。 V1
c
V
C
在平面内取一条投 影面平行线，经一次换 面后变换成新投影面的 垂直线，则该平面变成 新投影面的垂直面。
c1 V1 a1
b1
X1
作图过程
c1 b1 a1
（六） 把一般位置平面变为投影面平行面
a2 b2 d2 d c2 实形
d
[例题6] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a2
15
b2 d2
e2 c2
e1 e
d
e
d
作业:P29-32、P33:6-10、 P34-P39
更换V面
a

● .
更换H面
X1 H 1 V
.
a1
X
V
H H V1 X1
a1
XV H
a

a
a
作图步骤： 由点的不变投影向新投影轴作垂线。 在垂线上量取一段距离，使这段距离等于旧投影到旧投影轴的 距离。
2． 点的两次变换
a2 a2
投影面按次序更换
三、六个基本问题
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线 例题1
本章结束
综合问题
b a a a b a
c b a
c b d d c a
c d b d c b
c
b
a
b
a
两点之间距离
三角形实形
两平面夹角
直线与平面的交点
度量问题
定位问题
一、度量问题
[例题1] 求点C到直线AB的距离
a1
c1 k1 b1 k'
b'2 k'2
a'2
c'2
距离
k
a
A X
b
d
D
B
c1 a1d1 b1
X1
a
b
H
d
c
[例题3]把一般位置平面变为投影面垂直面，并求β
b
a V Fra Baidu bibliotek H a
c
b
d c
[例题4]
求点S到平面ABC的距离
k1
s1 距离
[例题5] 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
d e
N
d
（五） 把投影面垂直面变为投影面平行面
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线
（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线 例题2 例题3
（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面 例题4 例题5
（五） 把投影面垂直面变为投影面平行面
（六） 把一般位置平面变为投影面平行面 例题6
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线
b1

a1
b1

a1
[例题1]
只有这样才能应用 两投影面体系中的 正投影规律。
二、点的投影变换
1．点的一次变换
V
a



A

a1
a
V1


X
V H
. ●
a1
X

a
H X1
a
V1 H X1
投影变换规律 点的新投影与不变投影的连线，必垂直于新投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。
点的一次变换的作图方法