07东南大学高等数学试卷 期中试卷

1 y2
f1
(D)
x y3
f11
ex y
f12 ye2x f22 ex f2
9. 设 f (x, y) 具有一阶连续偏导数,且 f (1,1) 2 , fx (m, n) m n , fy (m, n) m n ,
令 g(x) f (x, f (x, x)) ，则 g(1)
（A）3
z
236
方向的方向导数.
止 于 至 善
12．计算三重积分 (xy2 z2 )dV ,其中 是由旋转抛物面 x2 y2 z 与平面 z 1 和
z 4 围成的空间闭区域.
13. 计算曲面积分 x2 y2 R2 dA ，其中 为上半球面 z R2 x2 y2 含在圆柱面
x2 y2 z2
d
2 d
4 cos
f
r2
r 2sin dr
2
(B) 2 d
2 d
4 cos
f
r2 r2sin dr
0
0
0
0
0
0
(C)
2
d
d
4cos
f
r2
源自文库
r 2sin dr
(D)
2
d
2 d
4 cos
f
r2
r 2sin dr
0
0
0
0
0
0
8.
设z
f
x y
,
yex
，其中函数
f
具有二阶连续偏导数，则 2 z xy
处的切线方程为
；
5.
设曲线
L
:
x2
y2 z2
4 ，则曲线积分
z2 1 ds
z 1
L x2 y2 z2
.
二．单项选择题(本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分)
2
6. 2 的主值为
[]
(A) e 2ln 2 cos 2 isin 2
(B) e 2 ln 2 cos 2 i sin 2
东南大学学生会 Students' Union of Southeast University
07高A期中试卷
一.填空题(本题共 5 小题，每小题 5 分，满分 2 5 分)
0
4x2
1
1 1 x2
1. 交换二次积分的次序 dx
f x, y dy dx
f x, y dy
2
0
0
1 1x2
[]
东南大学学生会 Students' Union of Southeast University
(A)
x y3
f11
ex y
(1
x)
f12
ye 2 x
f22
1 y2
f1 ex f2
(B)
x y3
f11
ex y
(1
x)
f12
ye 2 x
f 22
(C)
x y3
f11
ex y
f12
ye 2 x
f22
(C) e 2ln 2 cos 2 2 i sin 2 2 (D) e 2ln 2 cos 2 2 i sin 2 2
7. 设 I f (x2 y2 z2 )dV , : x2 y2 z2 4z ， f 为连续函数，则 I [ ]
(A)
止 于 至 善
2. 设函数 z z(x, y) 由方程 F (x2 y2, y2 z2 ) 0 所确定，其中 F (u, v) 是可微函数，
且
zFv
0
，则
y
z x
x
z y
；
3. 二重积分
(x y)2 dxdy
；
x2 y2 1
4.
曲线
y z
2x x2
1, y2
,
在点
(1,
0,1)
（B）6
（C）9
[
]
（D）12
三. 计算下列各题(本题共 4 小题，每小题 9 分，满分 36 分)
10．计算二重积分 x2 y2 dxdy , D (x, y) 0 x 2 y y2 D
11．求函数 u(x, y, z) xy et2dt 在点 P(1,1,1)处沿曲面 x2 y2 z2 1 在该点处的法线
的点，并求最远距离和最近距离.
六（16）.（本题满分 7 分）设 f (z) u(x, y) iv(x, y) 为解析函数，其中实部与虚部的乘
积满足 u(x, y) v(x, y) 2xy x2 y2 ，试求 f 2 (z) 的表达式（必须用变量 z 表示）.
x2 y2 Ry 0 (R 0) 内的部分.
四（14）．（本题满分 8 分）设曲线段 L : y x2 (0 x 1) 上任意一点 (x, y) 处的线密度函数
12x ，求该曲线段的质量.
五（15）。（本题满分
8
分）已知曲线 C
z :
x2
y2
，求 C 上距离原点最远的点和最近
x y z 4