人教A版数学选修2-3配套课件：2.3.2离散型随机变量的方差
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人教A版高中数学选修2-3课件2.3离散型随机变量的方差
p0qn2
C1 n2
p1q n3
Cnn22
pn2q0
]
E
n(n 1) p2 np
D E 2 (E )2 n(n 1) p2 np n2 p2 npq
若 ~ B(n, p),则E np, D npq
X DX 1.2 1.095
例 随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点 数X的均值、方差和标准差. 解 抛掷骰子所得点数X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
1
1
1
P
6
6
6
1
1
1
6
6
6
EX 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3.5; 666666
2 若 ~ Bn, p，则 E np
D npq,其中q 1 p
例6、已知随机变量的分布列
为 -1 0 1
P
11 1 23 6
h=3+1
E=，D13=.
5 9
8
Eh=，D3h=.
5
基础训练2若随机变量服从二项分布，
且E=6，D=4,则此二项 分布是。
设二项分布为~B(n,p),则
E=np=6
n=18
p=1/3 D=np(1-p)=4
基础训练3若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的
()
C
A.3·2-2B.2-4
C.3·2-10D.2-8
解析E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3, p 1 , n 12, 2
由已知随机变量ξ +η =8,所以有η =8-ξ .
人教A版高中数学选修2-3课件 2.3.2离散型随机变量的方差课件5
C5k(13)k(23)5－k，(k＝0、1、2、3、4、5)，则 D(3ξ)＝(
)
A．10
B．30
C．15
D．5
[答案] A
[解析] 由 ξ 的分布列知 ξ～B(5，13)，
∴D(ξ)＝5×13(1－13)＝190， ∴D(3ξ)＝9D(ξ)＝10，故选 A.
5．随机变量 X 的分布列如下表：
X
解之得，a＝152，b＝14.
离散型随机变量的方差的性质
已知随机变量 X 的分布列是
X0
1
2
3
4
P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 试求 D(X)和 D(2X－1)．
[分析] 已知分布列求方差，可先求出均值， 再套用公式计算．求D(2X－1)可利用方差的 性质计算．
[解析] E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋ 3×0.2＋4×0.1＝1.8.
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲 类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
[分析] 先弄清楚每个试验组成为甲类组的情 况：即服A有效的个数为2时，服B有效的个 数可为0、1两种；当服A有效的个数为1时， 服B有效的个数只能是0个．
(2)中，先确定ξ的可能取值，ξ＝0、1、2、3， 然后分别求出每个变量对应的概率．
(2013·景德镇市高二质检)已知离散型随机变量 X 的分布列
如下表，若 E(X)＝0，D(X)＝1，则 a＝________________，b
＝________.
X －1 0 1
2
P
a
bc
1 12
[答案]
5 12
1 4
[解析] 由期望、方差的定义和条件知，
高二数学人教A版选修2-3：离散型随机变量的方差课件
n
(xi E( X ))2 pi 为随机变量X的方差.
i 1
( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差.
方差与标准差
关系 标准差是方差的算术平方根；方差是标准差的平方；
作用 反应离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量；
结论 值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小， 即越集中于均值.
例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的方差和标准差. 解：抛掷骰子所得点数X：1，2，3，4，5，6，其散布列为：
0.4
0.2
0.2
0.3 0.2
0.2
0.1
8
91
10 X1
0
8
19
0.4 10 X2
E( X1)
E( X
)
2
分析：
D( X1) D( X 2)
甲、乙射击的平均水平没有差别， 在多次射击中平均得分差别不会很大.
甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环， 而乙得分比较分散，近似平均散布在8－10.
练习：有甲乙两个单位都愿意聘请你，而你能获得如下信息：
X2 1000 1400 1800 2200
P1 0.4 0.3 0.2 0.1
P2 0.4 0.3 0.2 0.1
通过散布列，可以分别求出两个公司工资的期望与方差：
E(X1) 1200 0.4+1400 0.3+1600 0.2+1800 0.1=1400.
E(X2) 10000.4+1400 0.3+1800 0.2+2200 0.1=1400.
练习： 1.已知 h 3x 1 ，且 D(x ) 13 ，则 D(h) __1_1_7_ .
8 解：∵h 3x 1，
(xi E( X ))2 pi 为随机变量X的方差.
i 1
( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差.
方差与标准差
关系 标准差是方差的算术平方根；方差是标准差的平方；
作用 反应离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量；
结论 值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小， 即越集中于均值.
例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的方差和标准差. 解：抛掷骰子所得点数X：1，2，3，4，5，6，其散布列为：
0.4
0.2
0.2
0.3 0.2
0.2
0.1
8
91
10 X1
0
8
19
0.4 10 X2
E( X1)
E( X
)
2
分析：
D( X1) D( X 2)
甲、乙射击的平均水平没有差别， 在多次射击中平均得分差别不会很大.
甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环， 而乙得分比较分散，近似平均散布在8－10.
练习：有甲乙两个单位都愿意聘请你，而你能获得如下信息：
X2 1000 1400 1800 2200
P1 0.4 0.3 0.2 0.1
P2 0.4 0.3 0.2 0.1
通过散布列，可以分别求出两个公司工资的期望与方差：
E(X1) 1200 0.4+1400 0.3+1600 0.2+1800 0.1=1400.
E(X2) 10000.4+1400 0.3+1800 0.2+2200 0.1=1400.
练习： 1.已知 h 3x 1 ，且 D(x ) 13 ，则 D(h) __1_1_7_ .
8 解：∵h 3x 1，
高中数学选修2-3课件2.3离散型随机变量的方差(新人教A版)
典例讲评
例5 袋中有6个红球和4个白球， 从中任取一个球，记住颜色后再放回， 连续抽取4次，设取得白球的次数为X， 求随机变量X的期望和方差.
X～B(4，0.4)，EX＝4×0.4＝1.6， DX＝0.6×EX＝0.96.
布置作业
P69习题2.3A组：1，4.
如果仅从平均射击成绩比较，能否区分 甲、乙两人的射击水平？
新知探究
2、考察X1和X2的分布列图，甲、乙两 人的射击水平有何差异？
0.3 P
0.2
0.1
5 6 7 8 9 10 X1
0.4 P
乙的射击成绩
0.3 0.2
更集中于8环，
0.1
相对较稳定.
5 6 7 8 9 X2
新知探究
3、从分布列图观察随机变量相对于均值
课堂小结
1.EX只反映离散型随机变量的平均 取值，DX则刻画了随机变量的取值与 均值的偏离程度，DX越小，说明随机 变量的取值越集中于均值附近，标准 差σX也具有同等意义.
课堂小结
2.在实际应用中，EX和DX是比较 产品质量，水平高低，方案优劣等问 题的定量指标，在许多决策问题中起 着重要的作用.
（1）若X～B(n，p)，则 DX＝np(1－p)＝(1－p)EX.
（2）D(aX＋b)＝a2DX.
典例讲评
例1 随机抛掷一枚质地均匀的骰 子，求向上一面的点数X的均值、方 差和标准差.
EX＝3.5 DX≈2.92 σ X≈1.71
典例讲评 例2 有甲、乙两个单位都愿意聘用
你，而你能获得如下信息：
课堂小结
3.随机变量的均值和方差与样本 数据的均值和方差有相近的含义和 作用，但应用背景不同，计算公式 不同，不可混为一谈.
高中数学人教A版选修2-32.3.2 离散型随机变量的方差 课件
[活学活用]
已知随机变量 ξ 的分布列为：
ξ
0
1
x
P
1 2
1 3
p
若 E(ξ)＝23． (1)求 D(ξ)的值；
(2)若 η＝3ξ－2，求 Dη的值．
解：由分布列的性质，得12＋13＋p＝1，解得 p＝16， ∵E(ξ)＝0×12＋1×13＋16x＝23， ∴x＝2． (1)D(ξ)＝0－232×12＋1－232×13＋2－232×16＝1257＝59． (2)∵η＝3ξ－2， ∴D(η)＝D(3ξ－2)＝9D(ξ)＝5，∴ Dη＝ 5．
[典例] 已知随机变量 X 的分布列是
X
0
1
2
3
4
P 0．2 0．2 0．3 0．2 0．1
试求 D(X)和 D(2X－1)．
[解] E(X)＝0×0．2＋1×0．2＋2×0．3＋3×0．2＋4×0．1
＝1．8． ∴D(X)＝(0－1．8)2×0．2＋(1－1．8)2×0．2＋(2－1．8)2×0．3
和 D(X)分别为
()
A．0．5 和 0．25
B．0．5 和 0．75
C．1 和 0．25 答案：A
D．1 和 0．75
3．D(ξ－D(ξ))的值为
()
A．无法求
B．0
C．D(ξ)
D．2D(ห้องสมุดไป่ตู้)
答案：C
4．牧场的 10 头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知 该病的发病率为 0．02，设发病牛的头数为 X，则 D(X)等于 ________． 答案：0．196
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量 取值的平均水平， 因此， 在实际决策问题中， 需先计算均值， 看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变 量取值的稳定与波动、集中与离散的程度． 通过计算方差，分析 一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论．
高中数学选修2-3人教版课件第二章2.3-2.3.2离散型随机变量的方差
3，4，5)，则 D(3ξ)＝( )
A．10
B．30
C．15
D．5
解析：由 ξ 的分布列知 ξ～B5，13＝190，
所以 D(ξ)＝5×131－13，所以 D(3ξ)＝9D(ξ)＝10.
答案：A
4. 已知随机变量 ξ，D(ξ)＝19，则 ξ 的标准差为 ________．
解析：ξ 的标准差 D（ξ）＝ 19＝13. 答案：13
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4 C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
解析：因为 ξ～B(n，p)，所以 Eξ＝2.4＝np，Dξ＝1.44 ＝np(1－p)，所以 1－p＝12.4.44＝0.6，所以 p＝0.4，n＝20..44 ＝6，故选 B.
答案：B
类型 3 方差的实际应用(规范解答)
3．求 ξ 取每个值的概率． 4．写出 ξ 的分布列，并利用分布列性质检验． 5．根据方差定义求 D(ξ)．
[变式训练] 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，
反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为( )
A．E(X)＝0，D(X)＝1 B．E(X)＝12，D(X)＝12
C．E(X)＝0，D(X)＝12 D．E(X)＝12，D(X)＝1
解析：(1)错，离散型随机变量的方差越大，随机变 量波动越大，越不稳定．
(2)对，因为 a 为常数，所以不会产生波动，其方差 为 0.
(3)对，由方差的概念知说法正确． 答案：(1)× (2)√ (3)√
2．已知随机变量 X＋Y＝8，若 X～B(10，0.6)，则 E(Y)，D(Y)分别是( )
5．牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染， 已知该病的发病率为 0.02，设发病的牛的头数为 ξ，则 D(ξ)等于________．
人教A版数学选修2—3 2.3.2 离散型随机变量的方差(共19张ppt)
1 n
x1
x
2
x2
x
2
1 n
n i 1
xi
x
2
Байду номын сангаас
pi
.
xn
x
2
反映了样本数据与样本平均值的偏离
程度能. 否用一个与样本方差类似的量来
刻画随机变量的稳定性呢?
三、方差的定义
设离散型随机变量 X 的分布列为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
随机变量的方差是常数，而样本的 方差是随着样本的不同而变化的，因此 样本的方差是随机变量.
对于简单随机样本，随着样本容量的 增加，样本方差越来越接近总体方差， 因此常用样本方差来估计总体方差.
引例回顾
第如一果名其同他学对击手中的目射标击靶成的绩环都数在X17的环分左布右列，：
应XP派1 哪0.50一3 名0.6选09手0参.720赛0？.831
获得相应职位的概率P 1
0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
D X1 (1200-1400) 2 0. 4 (1400-1400 ) 2 0.3 (1600 -1400 )2 0.2
D(X )：随机变量 X 的方差， D(X ) 标准差
X
X
三、方差的定义
几点说明： （1）随机变量的方差和标准差都反映 了随机变量取值偏离于均值的平均程度.
方差或标准差越小，则随机变量偏 离于均值的平均程度越小，越稳定。
三、方差的定义
几点说明： （2）随机变量的方差与样本的方差有何 联系与区别？
人教A版高中数学选修2-3课件2.3《离散型随机变量的方差》(新)
离散型随机变量的方差
•
一、复习
1、离散型随机变量的均值的定义 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为 X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学 期望，记为E(X)或μ． 其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1 2、两个分布的数学期望 nM 若X~H(n,M,N) 则E(X)＝ N
•
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他 们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下： X1 pk 0 0.6 1 0.2 2 0.1 3 0.1
X2 pk
比较甲、乙两个工人的技术？ V(X1)＝0.6×(0-0.7)2＋0.2×(1-0.7)2＋0.1×(2-0.7)2 ＋0.1×(3-0.7)2＝1.01 V(X2)＝0.5×(0-0.7)2＋0.3×(1-0.7)2＋0.2×(2-0.7)2 ＋0×(3-0.7)2＝0.61 乙的技术稳定性较好 •
2 2 2 x p ( x ) p ( x p 2 x p p ) i i V(X) i i i i i i i 2 2 i 1 i 1
n
n
故
V(X)＝
n( n 1)( 2n 1) 1 n 1 2 n2 1 ( ) 6 n 2 12
• 若X~B(n,p)
则E(X)＝np
练习： 1、已知随机变量 的分布列为
P
0
1
2
3
4
5
0.1
0.2
0.3
0.2
0.1
0.1
2.3 求E( ) 2、抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向
•
一、复习
1、离散型随机变量的均值的定义 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为 X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学 期望，记为E(X)或μ． 其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1 2、两个分布的数学期望 nM 若X~H(n,M,N) 则E(X)＝ N
•
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他 们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下： X1 pk 0 0.6 1 0.2 2 0.1 3 0.1
X2 pk
比较甲、乙两个工人的技术？ V(X1)＝0.6×(0-0.7)2＋0.2×(1-0.7)2＋0.1×(2-0.7)2 ＋0.1×(3-0.7)2＝1.01 V(X2)＝0.5×(0-0.7)2＋0.3×(1-0.7)2＋0.2×(2-0.7)2 ＋0×(3-0.7)2＝0.61 乙的技术稳定性较好 •
2 2 2 x p ( x ) p ( x p 2 x p p ) i i V(X) i i i i i i i 2 2 i 1 i 1
n
n
故
V(X)＝
n( n 1)( 2n 1) 1 n 1 2 n2 1 ( ) 6 n 2 12
• 若X~B(n,p)
则E(X)＝np
练习： 1、已知随机变量 的分布列为
P
0
1
2
3
4
5
0.1
0.2
0.3
0.2
0.1
0.1
2.3 求E( ) 2、抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向
高二数学,人教A版选修2-3, 2.3.2,离散型随机变量,的方差课件
E( X 2 ) 1000 0.4 1400 0.3 1800 0.2 2200 0.1 1400
D(X1) 1000 14002 0.4 1400 14002 0.3
1800 14002 0.2 2200 14002 0.1 112000
解 根据月工资的分布列,有
E( X1) 1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1 1400
D(X1) 1200 14002 0.4 1400 14002 0.3
1600 14002 0.2 1800 14002 0.1 40000
6
6
6
DX 1.71
练习 已知随机变量X的分布列
X P
求D(X)
01234 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
E(X ) 00.110.2 20.4 3 0.2 4 0.1 2
D(X ) 0 22 0.1 1 22 0.2 2 22 0.4 3 22 0.2 4 22 0.1 1.2
平均射击水平没有差异
还有其它刻画两名同学 各自射击特点的指标吗?
第二名比第
一名同学射 击成绩稳定, 且集中于8环
X1分布列图 X2分布列图
回忆 怎样刻画样本数据的稳定性? 样本方差
用类似的量来刻画随机变量的稳定性
设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 ... xi ... xn P p1 p2 ... pi ... pn
D1 4.41108
存入银行
2
8000
P
0.3
8000 0.5
8000 0.2
E2 8000
D2 0
D(X1) 1000 14002 0.4 1400 14002 0.3
1800 14002 0.2 2200 14002 0.1 112000
解 根据月工资的分布列,有
E( X1) 1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1 1400
D(X1) 1200 14002 0.4 1400 14002 0.3
1600 14002 0.2 1800 14002 0.1 40000
6
6
6
DX 1.71
练习 已知随机变量X的分布列
X P
求D(X)
01234 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
E(X ) 00.110.2 20.4 3 0.2 4 0.1 2
D(X ) 0 22 0.1 1 22 0.2 2 22 0.4 3 22 0.2 4 22 0.1 1.2
平均射击水平没有差异
还有其它刻画两名同学 各自射击特点的指标吗?
第二名比第
一名同学射 击成绩稳定, 且集中于8环
X1分布列图 X2分布列图
回忆 怎样刻画样本数据的稳定性? 样本方差
用类似的量来刻画随机变量的稳定性
设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 ... xi ... xn P p1 p2 ... pi ... pn
D1 4.41108
存入银行
2
8000
P
0.3
8000 0.5
8000 0.2
E2 8000
D2 0
人教A版数学选修2-3配套课件：2.3.2离散型随机变量的方差
2 ������1 8 ������2
������3 10
=
2.3.2
问题导学
离散型随机变量的方差
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
故 ξ 的分布列为
ξ P
7 15 7 15 1 15
6 7 15
9 7 15
12 1 15
E(ξ)=6× +9× +12× =7.8. D(ξ)=(6-7.8)2× +(9-7.8)2× +(12-7.8)2× =3.36. (2)∵ X=3ξ-2,∴ E(X)=3E(ξ)-2=3× 7.8-2=21.4.D(X)=9D(ξ)=3.36× 9=30. 24.
7 15 7 15 1 15
2.3.2
问题导学
离散型随机变量的方差
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列,而列分布 列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果,同时还要正确 求出每一个结果出现的概率. (2)利用离散型随机变量 X 的方差的性质:当 a,b 为常数时,随机变量 Y=aX+b,则 D(Y)=D(aX+b)=a2D(X),可以简化解答过程,提高解题效率.
i ∴ D(X1)= ∑ (i-8)2������10 × 0.8i× 0.210-i=1.6, i=0 5 10
x i D(X2)= ∑ (i+4-8)2������5 × 0.8i× 0.25-i=0.8.
i=0
������3 10
=
2.3.2
问题导学
离散型随机变量的方差
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
故 ξ 的分布列为
ξ P
7 15 7 15 1 15
6 7 15
9 7 15
12 1 15
E(ξ)=6× +9× +12× =7.8. D(ξ)=(6-7.8)2× +(9-7.8)2× +(12-7.8)2× =3.36. (2)∵ X=3ξ-2,∴ E(X)=3E(ξ)-2=3× 7.8-2=21.4.D(X)=9D(ξ)=3.36× 9=30. 24.
7 15 7 15 1 15
2.3.2
问题导学
离散型随机变量的方差
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列,而列分布 列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果,同时还要正确 求出每一个结果出现的概率. (2)利用离散型随机变量 X 的方差的性质:当 a,b 为常数时,随机变量 Y=aX+b,则 D(Y)=D(aX+b)=a2D(X),可以简化解答过程,提高解题效率.
i ∴ D(X1)= ∑ (i-8)2������10 × 0.8i× 0.210-i=1.6, i=0 5 10
x i D(X2)= ∑ (i+4-8)2������5 × 0.8i× 0.25-i=0.8.
i=0
人教A版高中数学选修2-3课件2.3.2离散型随机变量的方差
X1 2
P 0.3 0.7
(C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.21
2.已知X~B(100,0.5),则E(X)=_5_0_,D(X)=_2_5__.
E(2X-1)=_9_9__, D(2X-1)=_1_0_0_.
3. 有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求E(X)和D(X).
求D（X）和 D( X ).
解：E( X ) 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2 D( X ) (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4
(3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
甲单位不同职位月 1200 1400 1600 1800
工资X1/元
获得相应职位的概 0.4
率P1
0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月 1000 1400 1800 2200
工资X2/元
获得相应职位的概 0.4 0.3 0.2 0.1
率P2
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：E( X1) 1400, E( X 2 ) 1400 D(X1) 40000, D(X 2 ) 1120
D( X ) 1.2 1.095
2.若随机变量x 满足P（x＝c）＝1，其中c为常 数，求Ex 和 Dx.
Ex＝c×1＝c, Dx＝（c－c）2×1＝0.
结论
根据期望的定义可推出下面两个重要结论:
结论1：若Y aX b, 则E(Y ) aE(X ) b ;
结论2：若X~B(n，p)，则E(X)= np.
解:∵E(X1)= 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E(X2)= 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9
人教版A版高中数学选修2-3：2.3.2 离散型随机变量的方差
学科：数学 年级：高二
版本：人教A版
一、评价反馈
1、优秀小组：第2组、第7组 2、存在的问题：学生对离散型随机变量 的方差、标准差计算还不熟练，学生的计 算能力还需加强。另外，预习评价部分大 都数同学都有问题。
一、评价反馈
4、解决存在的问题： 1.一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3 个次品，从中任取一个，如果每次取出次品 就不再放回去，再取一个零件，直到取得正 品为止．求在取得正品之前已取出次品数的 期望．
四、当堂检测：
1.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相 互独立的随机变量ζ和η，已知ζ和η的分布列如下：（ 注得分越大，水平越高），试分析甲、乙技术状况。
ζ1
2
3
p a 0.1 0.6
η 123 p 0.3 b 0.3
五、小结：今天你学习那 些知识？
ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使 用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种 钢筋哪一种质量较好。
三、探究总结、形成新知
例2.在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有 200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100 元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是 多少元？
二、复习探究、思考引入
问题：有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连
续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E（ξ），D（ξ）。
三、探究总结、形成新知 新疆
王新敞 奎屯
例1．A、B两台机床同时加工零件，每生产一
批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所
示： A机床
版本：人教A版
一、评价反馈
1、优秀小组：第2组、第7组 2、存在的问题：学生对离散型随机变量 的方差、标准差计算还不熟练，学生的计 算能力还需加强。另外，预习评价部分大 都数同学都有问题。
一、评价反馈
4、解决存在的问题： 1.一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3 个次品，从中任取一个，如果每次取出次品 就不再放回去，再取一个零件，直到取得正 品为止．求在取得正品之前已取出次品数的 期望．
四、当堂检测：
1.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相 互独立的随机变量ζ和η，已知ζ和η的分布列如下：（ 注得分越大，水平越高），试分析甲、乙技术状况。
ζ1
2
3
p a 0.1 0.6
η 123 p 0.3 b 0.3
五、小结：今天你学习那 些知识？
ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使 用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种 钢筋哪一种质量较好。
三、探究总结、形成新知
例2.在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有 200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100 元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是 多少元？
二、复习探究、思考引入
问题：有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连
续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E（ξ），D（ξ）。
三、探究总结、形成新知 新疆
王新敞 奎屯
例1．A、B两台机床同时加工零件，每生产一
批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所
示： A机床
《离散型随机变量的方差》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第2.3.2课时)
均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2 . 两种特殊分布的均值
（1）若随机变量X服从两点分布，则EX=p.
（2）若X~B(n，p) ，则EX=np.
课前导入
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随 机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值. 今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.
课堂练习
1. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将
丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是_____（元）.
课堂练习
[答案]4760 提示：分布列为
ξ
0.6
Байду номын сангаас
-2.5
两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如
果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；
如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理.
解 :设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规 则可得随机变量的概率分布为：
新知探究
思考 要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录， 第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为
X1
5
6
7
8
9
10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
新知探究
2 . 两种特殊分布的均值
（1）若随机变量X服从两点分布，则EX=p.
（2）若X~B(n，p) ，则EX=np.
课前导入
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随 机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值. 今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.
课堂练习
1. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将
丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是_____（元）.
课堂练习
[答案]4760 提示：分布列为
ξ
0.6
Байду номын сангаас
-2.5
两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如
果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；
如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理.
解 :设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规 则可得随机变量的概率分布为：
新知探究
思考 要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录， 第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为
X1
5
6
7
8
9
10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
新知探究
《离散型随机变量的方差》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第2.3.2课时)
课堂练习
1.填空 （1）已知x~B(100,0.5),则
Ex=_5_0_,Dx=__2_5_,sx=_5__. E(2x-1)=__9_9_, D(2x-1)=_1_0_0_, s(2x-1)=__1_0__.
课堂练习
2.选择
x
1
2
P
0.3
0.7
（1）已知随机变量x的分布列如上表,则E x与D x的值为( )
EX1 = 1200 0.4 + 1 4பைடு நூலகம்0 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1 = 1400
DX1 = (1200 -1400) 2 0. 4 + (1400 -1400 ) 2 0.3 + (1600 -1400 )2 0.2
+ (1800 -1400) 2 0. 1 = 40 000
P（ξ=0）= 9 3 12 4
②当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
P（ξ=1）= 3 9 9 12 11 44
课堂练习
继续答题
③当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
P（ξ=2）=
329 = 9 12 11 10 220
④当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则
变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 DX 为随机变量X的标准差(standard deviation). 记为 σX
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
新知探究
说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度 量指标. 思考 随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别? 随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来 估计总体方差.
2019-2020学年人教A版数学选修2-3课件：第2章 2.3 2.3.2 离散型随机变量的方差
试分析两名学生的成绩水平．
第三十页，编辑于星期六：二十三点 三十一分。
[解] 因为 E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90， D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40， E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90， D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80， 即 E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)， 所以甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的 学习成绩较稳定．
第二十页，编辑于星期六：二十三点 三十一分。
2．(改变问法)本例题条件不变，求 E(3X＋2)． [解] 由例题可知 X～B5，13， 所以 E(X)＝5×13＝53. 故 E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝7.
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 三十一 分。
求离散型随机变量的均值与方差的关注点 1．写出离散型随机变量的分布列． 2．正确应用均值与方差的公式进行计算． 3．对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项 分布，然后直接应用公式计算．
所以 D(X)＝5×13×1－13＝190， D(3X)＝9D(X)＝10.]
第十九页，编辑于星期六：二十三点 三十一分。
1．(变换条件、改变问法)本例题改为随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，且 E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，求二项分布的参数 n， p 的值．
[解] 由 E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96 及 X～B(n，p)知 E3X＋2＝3EX＋2， D3X＋2＝9DX， 即39nnpp＋ 1－2＝p9＝.21，2.96， 解得np＝ ＝60， .4， 所以二项分布的参数 n＝6，p＝0.4.
第三十页，编辑于星期六：二十三点 三十一分。
[解] 因为 E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90， D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40， E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90， D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80， 即 E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)， 所以甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的 学习成绩较稳定．
第二十页，编辑于星期六：二十三点 三十一分。
2．(改变问法)本例题条件不变，求 E(3X＋2)． [解] 由例题可知 X～B5，13， 所以 E(X)＝5×13＝53. 故 E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝7.
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 三十一 分。
求离散型随机变量的均值与方差的关注点 1．写出离散型随机变量的分布列． 2．正确应用均值与方差的公式进行计算． 3．对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项 分布，然后直接应用公式计算．
所以 D(X)＝5×13×1－13＝190， D(3X)＝9D(X)＝10.]
第十九页，编辑于星期六：二十三点 三十一分。
1．(变换条件、改变问法)本例题改为随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，且 E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，求二项分布的参数 n， p 的值．
[解] 由 E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96 及 X～B(n，p)知 E3X＋2＝3EX＋2， D3X＋2＝9DX， 即39nnpp＋ 1－2＝p9＝.21，2.96， 解得np＝ ＝60， .4， 所以二项分布的参数 n＝6，p＝0.4.
人教高中数学选修2-3：2.3.2离散型随机变量的方差 课件(共17张PPT)
我们还能从哪个角度比较两名同学的射击水平？
思考
分布列还能怎样呈现？如何直观观察随机变量的分布情况？还有其他刻画两名同学各自射击特点的指 标吗？
左右两图分别表示X1和X2的分布列。比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环， 即第二名同学的射击成绩更稳定。
P
P
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
练习
3.设X为随机变量，且X～B(n，p)，若随机变量X的数学期望E(X)＝4，D(X)＝ 4，则P(X＝2)＝_______； 3
解：由题可得，
D(X)=(1-p)×E(X)，即
43=4(1-p），解得p=
2 3
E(X)=4=np，解得n=6.
所以，
P(X＝2)＝C62
(
2 3
)2
(
1)4 3
20 243
=(ax1-aE(x))2p1+ (ax2-aE(x))2p2 +...+(axn-aE(x))2pn
=a2(x1-E(x))2p1+a2 (x2-E(x))2p2 +...+a2 (xn-E(x))2pn =a2[(x1-E(x))2p1+(x2-E(x))2p2 +...+ (xn-E(x))2pn] =a2D(X)
设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xi-E(x))2描述了xi （i=1,2,...,n）相对于其平均值E(x)的偏离程度。而
D(x)=(x1-E(x))2p1+ (x2-E(x))2p2+(xi-E(x))2pi) )+...+(xi-E(x))2pi+...+ (xn-E(x))2pn
思考
分布列还能怎样呈现？如何直观观察随机变量的分布情况？还有其他刻画两名同学各自射击特点的指 标吗？
左右两图分别表示X1和X2的分布列。比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环， 即第二名同学的射击成绩更稳定。
P
P
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
练习
3.设X为随机变量，且X～B(n，p)，若随机变量X的数学期望E(X)＝4，D(X)＝ 4，则P(X＝2)＝_______； 3
解：由题可得，
D(X)=(1-p)×E(X)，即
43=4(1-p），解得p=
2 3
E(X)=4=np，解得n=6.
所以，
P(X＝2)＝C62
(
2 3
)2
(
1)4 3
20 243
=(ax1-aE(x))2p1+ (ax2-aE(x))2p2 +...+(axn-aE(x))2pn
=a2(x1-E(x))2p1+a2 (x2-E(x))2p2 +...+a2 (xn-E(x))2pn =a2[(x1-E(x))2p1+(x2-E(x))2p2 +...+ (xn-E(x))2pn] =a2D(X)
设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xi-E(x))2描述了xi （i=1,2,...,n）相对于其平均值E(x)的偏离程度。而
D(x)=(x1-E(x))2p1+ (x2-E(x))2p2+(xi-E(x))2pi) )+...+(xi-E(x))2pi+...+ (xn-E(x))2pn
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2.3.2
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离散型随机变量的方差
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1.离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义:设离散型随机变量 X 的分布列为
X P
n
x1 p1
x2 p2
… …
xi pi
… …
xn pn
2 x 则(xi-E(X)) 描述了 xi(i=1,2,…,n)相对于均值 E(X)的偏离程度,而
提示:E(X)=2.7,D(X)=1.41. 提示:D(η)=22× 0.5=2.
(3)已知随机变量 X 的方差为 D(X)=0.5,当 η=2X-1 时,D(η)=
x
2.3.2
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离散型随机变量的方差
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2 x D(Y)=(0-1.3)2× 0.1+(1-1.3)2× 0.5+(2-1.3) × 0.4=0.41.
因为 E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以两个保护区内每个季度发生的违 规事件的平均次数相同,但甲保护区内的违规事件次数相对分散和波 动,乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定 .相对而言,乙保护区的 管理较好一些.
x 就是看哪一个相对稳定(即计算方差的大小 ),稳定者就更好,如果我们希
望比较稳定时,这时应先考虑方差,再考虑均值是否相当接近即可.
2.3.2
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例 22013 年 4 月 1 日至 7 日是江西省“爱鸟周”,主题是“秀 美江西,让鸟儿自由飞翔”.为更好地保护鄱阳湖候鸟资源,需评测保护区 的管理水平. 现甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且候鸟的种类和 数量也大致相等,两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次 数的分布列分别为
2 ������1 8 ������2
������3 10
=
2.3.2
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故 ξ 的分布列为
ξ P
7 15 7 15 1 15
6 7 15
9 7 15
12 1 15
E(ξ)=6× +9× +12× =7.8. D(ξ)=(6-7.8)2× +(9-7.8)2× +(12-7.8)2× =3.36. (2)∵ X=3ξ-2,∴ E(X)=3E(ξ)-2=3× 7.8-2=21.4.D(X)=9D(ξ)=3.36× 9=30. 24.
2.3.2
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(2)已知 X 的分布列为
X P 1 0 .2 2 0 .3 3 0 .1 4 0 .4
则 D(X)=( A.2.7
). B.1.35 C.1.41
x
D.2.14 .
(3)离散型随机变量的方差的性质:
x 设 a,b 为常数,则 D(aX+b)=a2D(X).
2.3.2
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离散型随机变量的方差
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预习交流 1
(1)随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别? 提示:随机变量的方差即为总体方差,它是一个常数,不随抽样样本 的变化而变化;样本方差则是随机变量,它是随样本的不同而变化的,对 于简单随机样本,随着样本容量的增加 ,样本方差越来越接近于总体方 x 差.
2.3.2
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解:(1)由题意得,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,
10 = 20 1 P(ξ=1)= , 20 2 P(ξ=2)= = 20 3 P(ξ=3)= , 20 4 P(ξ=4)= = 20
7 15 7 15 1 15
2.3.2
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(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列,而列分布 列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果,同时还要正确 求出每一个结果出现的概率. (2)利用离散型随机变量 X 的方差的性质:当 a,b 为常数时,随机变量 Y=aX+b,则 D(Y)=D(aX+b)=a2D(X),可以简化解答过程,提高解题效率.
2.3.2问题导学 Nhomakorabea离散型随机变量的方差
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问题 2:随机变量的方差和标准差有什么关系? 提示:随机变量的方差和标准差都可以刻画随机变量取值偏离于 均值的平均程度.标准差的单位和随机变量单位相同 ,使用比较方便. x
P(ξ=0)=
1 , 2
1 , 10 1 . 5
故 ξ 的分布列为
ξ P 0 1 2 1 1 20 2 1 10 3 3 20 4 1 5
2.3.2
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所以 E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× =1.5, D(ξ)=(0-1.5)2× +(1-1.5)2× +(2-1.5)2× +(3-1.5)2× +(4-1.5)2× =2.7 5. (2)由 D(aξ+b)=a2D(ξ)=11,E(aξ+b)=aE(ξ)+b=1,及 E(ξ)=1.5,D(ξ)=2.75, 得 2.75a2=11,1.5a+b=1,解得 a=2,b=-2 或 a=-2,b=4.
则 D(X)等于( A.0.7 答案:B
). B.0.61 C.-0.3
x
D.0
解析:E(X)=-1× 0.5+0× 0.3+1× 0.2=-0.3, D(X)=0.5× (-1+0.3)2+0.3× (0+0.3)2+0.2× (1+0.3)2=0.61.
x
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2.有 10 张卡片,其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5,从中随机地抽 取 3 张卡片,设这 3 张卡片上的数字之和为 ξ. (1)求 E(ξ)和 D(ξ); (2)若 X=3ξ-2,求 E(X),D(X). 解:(1)3 张卡片上的数字之和 ξ 的可能取值为 6,9,12.ξ=6 表示取出 的 3 张卡片上都标有 2,则 P(ξ=6)=
1 ������2 8 ������2
������3 10
������3 8
=
7 . 15
ξ=9 表示取出的 3 张卡片上 2 张标有 2,1 张标有 5,则 P(ξ=9)=
������3 10
=
7 . 15 1 . 15
x
ξ=12 表示取出的 3 张卡片上 2 张标有 5,1 张标有 2,则 P(ξ=12)=
i ∴ D(X1)= ∑ (i-8)2������10 × 0.8i× 0.210-i=1.6, i=0 5 10
x i D(X2)= ∑ (i+4-8)2������5 × 0.8i× 0.25-i=0.8.
i=0
∴ 第一名同学的射击成绩稳定性比较差,第二名同学稳定性较好,应该 派第二名同学去参加比赛.
2.3.2
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2.3.2
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1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. 学习目 标 2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法,会利用公 式求它们的方差. 重点难 点 重点:离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算; 方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法. 难点:离散型随机变量的方差的计算与应用.
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一、离散型随机变量的方差与性质
活动与探究 问题 1:从两名同学中挑一名代表班级参加射击比赛,若第一名同学 击中目标靶的环数 X1~B(10,0.8),第二名同学击中目标靶的环数 X2=Y+4,其中 Y~B(5,0.8),请问该派哪名同学参赛? 提示:∵ 由条件知 E(X1)=10× 0.8=8,E(X2)=E(Y)+4=5× 0.8+4=8.