【高三数学(理)】2016遂宁二诊试题及答案

遂宁市高中2016届二诊考试2016遂宁二诊数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合2{|230}A x x x =-++>，}1)21(41|{<<=x x B ， 则A B =IA ．)3,0(B ．)2,0(C ．)3,1(D ．),1(+∞2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足31i z i=+，则z 的共轭复数z 为A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i-- 3．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若211x x ==，则”的否命题为：“若211x x =≠，则”； B ．“1m =”是“直线00x my x my -=+=和直线互相垂直”的充要条件C ．命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”； D ．命题“已知A 、B 为一个三角形的两内角，若A=B ，则sin sin A B =”的逆命题为真命题.4．要得到函数x y 21sin =的图象，只要将函数cos 2y x =的图象 A ．向右平移4π个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的4倍， 纵坐标不变B. 向左平移4π个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的41倍， 纵坐标不变C. 向左平移4π个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变 D. 向右平移4π个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的41，纵坐标不变5．一个几何体的三视图如图所示，其中 正视图为矩形，侧视图为等腰直角三 角形，俯视图为直角梯形，则这个几 何体的体积是A ．144B ．120C ．80D ．726．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生填报专业志愿的方法有 种。

A ．180B ．200C ．204D ．210 7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 为 A ．2 B ．31C ．21-D ．3- 8．若),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-+≤-+022012083y x y x y x 所表示的平面区域内，则32++y x 的最小值为A ．2B ．210C ．5D ．4 9．设B 、C 是定点，且均不在平面α上,动点A 在平面α上, 且1sin 2ABC ∠=，则点A 的轨迹为 A ．圆或椭圆 B ．抛物线或双曲线 C ．椭圆或双曲线 D ．以上均有可能10．已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，2()(2)1f x x =--+。

若函数11()()12y f x a x =--在),0(+∞上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是 A ．1(,3)3 B ．14(,)33 C ．(3,12) D ．4(,12)3第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题:本大题共5题,每小题5分,共25分．11．若1()nx x-的二项展开式中所有项的二项式系数和为64，则常数项为 ▲ （用数字作答）12．已知函数122(3),0()1log [8()],04x x f x x f x e x +-->⎧⎪=⎨+⨯≤⎪⎩， 则=)2016(f ▲ 13．海轮“和谐号”从A 处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A 处北偏东45的方向，且与A 相距10海里的C 处，沿北偏东105的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 ▲ 小时14．若点M 是以椭圆18922=+y x 的短轴为直径的圆在第一象限内的一点，过点M 作该圆的切线交椭圆E 于P ，Q 两点，椭圆E 的右焦点为2F ，则△Q PF 2的周长是 ▲15．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =uu r uu u r，P 是矩形BCDE 内（含边界）的一点，且OP xOA =uu u r uu r +(,)yOB x y R ∈u uu r 。

有以下结论：①当0x =时，[2,3]y ∈；②当P 是线段CE 的中点时，15,22x y =-=；③若x y +为定值，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段；④x y -的最大值为－1；其中你认为正确的所有结论的序号为 ▲ 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，已知222a cb ac +-==。

（1）求角A 的大小；（2）设函数x B x x f 2cos )2cos(1)(-++=，求函数)(x f 的单调递增区间17．（本小题满分12分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：0 1235567889 135567《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．（1）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率； （2）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ．18．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDPE 的底面ABCD 是平行四边形，2==AB AD ，0=⋅，⊥PD 平面ABCD ，EC ∥PD ， 且PD=2EC=2（1） 若棱AP 的中点为H ，证明： HE ∥平面ABCD（2）求二面角E PB A --的大小19．（本小题满分12分）罗非鱼的汞含量（ppm ）已知等比数列}{n a 、等差数列{}n b ，满足11122330,1,,a b a b a b a >=-==且数列}{n a 唯一。

（1）求数列}{n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和20．（本小题满分13分）已知点F (0,1)为抛物线22x py =的焦点。

（1）求抛物线C 的方程；（2）点A 、B 、C 是抛物线上三点且0=++FC FB FA ,求ABC ∆面积的最大值21．(本小题满分14分)已知函数()1x f x me x =--.（其中e 为自然对数的底数,）（1）若曲线()y f x =过点(0,1)P ，,求曲线()y f x =在点(0,1)P 处的切线方程。

（2）若()f x 的两个零点为12,x x 且12x x <, 求21211()()xxx x y e e m e e=--+的值域。

（3）若()0f x >恒成立，试比较1m e -与1e m-的大小，并说明理由。

遂宁市高中2016届二诊考试数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题（5×10=50分）二、填空题（55=26分）11．－20 12．8 13．3214．6 15．②③④ 14.根据题意作出图形如图所示，设直线PQ 的方程为)0,0(><+=m k m kx y ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y 得72918)98(222=-+++m kmx x k ，有0)89(288)729)(98(4)18(22222>+-=-+-=∆m k m k km设),(11y x P ，),(22y x Q ，则2219818k kmx x +-=+，222198729k m x x +-=，∴2121x x k PQ -+=2122124)(1x x x x k -++=22222987294)9818(1km k km k+-⨯-+-+=22222)98()89(8941k m k k ++-⨯⨯+=。

∵直线PQ 与圆822=+y x 相切，∴2212=+k m ，即)1(82k m +=，∴2986kkmPQ +-=，∵21212)2(yx PF +-=)91(8)1(2121x x -+-=21)33(-=x ，301<<x ，∴3312x PF -=，同理3322x QF -=，∴PQ QF PF ++2222198636k kmx x +-+-=6986986622=+-++=k km k km 因此，△Q PF 2的周长是定值6.法二：设),(11y x P ，),(22y x Q ，则1892121=+y x ，21212)2(yx PF +-=)91(8)1(2121x x -+-=21)33(-=x ，301<<x ，∴3312x PF -=，又M 是圆O 的切点，连接OP ，OM ，∴22OMOP PM -=82121-+=y x 8)91(82121--+x x 131x =，∴331313112=+-=+x x PM PF ，同理32=+QM QF ，∴PQ QF PF ++22633=+=，因此，△Q PF 2的周长是定值6.三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，因为2221cos 22a c b B ac +-==，所以3π=B 。

…………2分 在△ABC=B C =，所以22sin =C ，320π<<C ，4π=C ，故125432πππ=-=A …………6分（2）由（1）得x x x f 2cos )32cos(1)(-++=πx x x 2cos 2sin 232cos 211--+=x x 2cos 212sin 231--= )672sin(1π++=x ……………9分令)(2267222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ，得)(365Z k k x k ∈-≤≤-ππππ 即函数)(x f 的单调递增区间为)](3,65[Z k k k ∈--ππππ ……………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ==，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591. ……………4分（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==，………5分 ξ可能取0，1，2，3. ……………6分 则3318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．……………10分 其分布列如下：所以01231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 18．（本小题满分12分）解：（1）∵底面ABCD 是平行四边形，2==AB AD ，0=⋅AD AB ，∴底面ABCD 是边长为2的正方形，取AD 的中点G ，连接HE ，HG ，GC ，根据题意得HG=EC=1，且HG ∥EC ∥PD ，则四边形EHGC 是平行四边形 ……………3分 所以HE ∥GC ，HE ⊄平面ABCD ，GC ⊂平面ABCD ，故HE ∥平面ABCD……………5分（2）法一：如图，取PB 的中点M ，连接AC ，DB 交于点F ，连接ME ，MF ，作FK ⊥PB于点K ，容易得到∠AKF 是二面角A-PB-D 的平面角 ……………7分221==AC AF ，PDB Rt ∆～FKB Rt ∆，易得36=FK ， 从而3tan ==∠KF AF AKF ，所以3π=∠AKF ……………8分 由于点M 是PB 的中点，所以MF 是△PDB 的中位线，MF ∥PD ，且PD MF 21=，EC MF =，且MF ∥EC ，故四边形MFCE 是平行四边形，则ME ∥AC ，又AC ⊥平面PDB ，则ME ⊥平面PDB ，ME ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PDB ，所以二面角A-PB-E 的大小就是二面角A-PB-D 的大小与直二面角D-PB-E 的大小之和……………11分故二面角E PB A --的大小为6523πππ=+……………12分 法二：由（1）知，DA ，DC ，DP 两两互相垂直，建立空间直角坐标系xyz D -如图所示，设PA 的中点为N ，连接DN ，则D （0,0,0），A(2,0,0)，B （2,2,0），E （0,2,1），P （0,0,2），N （1,0,1），易知DN ⊥PA ，DN ⊥AB ，所以DN ⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为)1,0,1(== ……………7分 设平面PBE 的法向量为),,(z y x =，因为)01,2(-=，)2,2,2(--=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00得⎩⎨⎧=+=z y x zx 2，取2=z ，则1=x ，1=y ，所以)2,1,1(=m 为平面PBE 的一个法向量。