福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第21讲 简单的三角恒等变换

【点评】 对于附加条件求值问题，要先看条件可不可 以变形或化简，然后看所求式子能否化简，再看它们之间 的相互联系，通过分析找到已知与所求的联系．
素材1
π π 已知：0＜α＜4，0＜β＜4，且 3sinβ＝sin(2α＋β)， α 2α 4tan2＝1－tan 2，求 α＋β 的值．
【解析】 因为 3sinβ＝sin(2α＋β)， 即 3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)， 所以 3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)· cosα ＋cos(α＋β)sinα， 所以 2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα， 即 tan(α＋β)＝2tanα.
2
10 由 cos2α＝2cos α－1，所以 cosα＝－ 10 .
2
10 (2)因为 sin(α－x)－sin(α＋x)＋2cosα＝－ 10 ， 10 1 所以 2cosα(1－sinx)＝－ 10 ，所以 sinx＝2. π 因为 x 为锐角，所以 x＝6.
备选例题
1 化简 sin αsin β＋cos αcos β－2cos2α· cos2β.
2 2 2 2
【解析】方法 1：(复角→单角，从“角”入手) 1 原式＝sin αsin β＋cos αcos β－2(2cos2α－1)(2cos2β－1)
2 2 2 2
1 ＝ sin αsin β ＋ cos αcos β － 2 (4cos2αcos2β － 2cos2α －
2 2 2 2
2cos2β＋1) 1 ＝sin αsin β－cos αcos β＋cos α＋cos β－2
π π π π 2π 2π 【解析】sin6⊕cos6＝sin 6－sin6cos6－cos 6 1 3 ＝－2－ 4 .
2.(2012· 永州模拟)若 f(sinx)＝3－cos2x，则 f(cosx)＝( A．3－cos2x C．3＋cos2x B．3－sin2x D．3＋sin2x
)
【解析】因为 f(sinx)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x， 所以 f(x)＝2＋2x2，所以 f(cosx)＝2＋2cos2x＝3＋cos2x.
π 5.已知 α∈(2，π)，化简 2 1－sinα＋ 2＋2cosα＝ α 2sin2 .
【解析】 因为 2 1－sinα＋ 2＋2cosα ＝2 α α2 sin2－cos2 ＋ 4cos 2
2α
α α α ＝2|sin2－cos2|＋2|cos2|，
α π π 且2∈(4，2)， α α α α 所以原式＝2(sin2－cos2)＋2cos2＝2sin2.
5 3 π 所以 sinα＝13，cosβ＝5，又 α、β∈[0，2]， 所以 cosα＝ 1－sin α＝
2
5 2 12 1－13 ＝13，
sinβ＝ 1－cos β＝
2
32 4 1－5 ＝5，
5 3 12 4 故 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝13×5＋13×5 63 ＝65.
2求 值 ． 常 见 的 有 给 角 求 值 ， 给 值 求 值 ， 给 值 求 角 ．
① 给 角 求 值 的 关 键 是 正 确 地 分 析 角 (已 知 角 与 未 知 角 ) 之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值． ②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、 名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的 一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后 求待求式的值． ③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值， 讨论角的范围，求出该角．
3证 明 ． 它 包 括 无 条 件 的 恒 等 式 和 附 加 条 件 恒 等 式
的证明．常用方法：从左推到右；从右推到左； 左右互推．
π π 1.定义运算 a⊕b＝a －ab－b ，则 sin6⊕cos6＝(
2 2
)
1 3 A．－2＋ 4 3 C．1＋ 4
1 3 B．－2－ 4 3 D．1－ 4
综合运用三角公式进行三角变换， 常用的变换：变换角度、变换名 称、变换解析式结构．
三角变换的基本题型 — —化简、求值和证明
1 化 简 ．
三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量 少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含 三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式； 能求出的值应尽量求出值． 依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法： 异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次降次．
1＋tanx 1 3.若 ＝2013，则cos2x＋tan2x 的值为 1－tanx
2013 .
1＋sin2x sinx＋cosx2 1 【解析】cos2x＋tan2x＝ cos2x ＝ cos2x－sin2x cosx＋sinx 1＋tanx ＝ ＝ ＝2013. cosx－sinx 1－tanx
2x
1 【解析】 (1)方法 1：由 sinx＋cosx＝5， 24 得 2sinxcosx＝－25， 49 所以(sinx－cosx) ＝1－2sinxcosx＝25.
2
π 因为－2＜x＜0， 所以 sinx＜0，cosx＞0，siห้องสมุดไป่ตู้x－cosx＜0. 7 所以 sinx－cosx＝－5.
1 sinx＋cosx＝ 5 方法 2：由 sin2x＋cos2x＝1
π π 依题意知，β≠kπ＋2，α－β≠kπ＋2，k∈Z. 所以 tan(α－β)＋4tanβ＝0.
【点评】(1)结论中不含 α，所以从条件中消去 α 即可．(2) 把条件中的角进行拆拼，使出现 α－β，α，实现已知角向 未知角转化即可．
素材2
sinx＋cosx－1sinx－cosx＋1 x 求证： ＝tan2. sin2x
2 2 2 2 2 2
1 ＝sin αsin β＋cos αsin β＋cos β－2
2 2 2 2 2
1 1 ＝sin β＋cos β－2＝2.
2 2
方法 2：(从“名”入手，异名化同名) 1 原式＝sin αsin β＋(1－sin α)cos β－2cos2αcos2β
2 2 2 2
1 ＝cos β－sin αcos2β－2cos2αcos2β
2 π 1 π 4.已知 tan(α＋β)＝5，tan(β－4)＝4，那么 tan(α＋4) 3 的值是 22 .
π π 【解析】tan(α＋4)＝tan[(α＋β)－(β－4)] π tanα＋β－tanβ－4 ＝ π 1＋tanα＋β· tanβ－4 2 1 5－4 3 ＝ ＝22. 21 1＋5· 4
2
1 1 2 ＝cos (α＋β)－2[2cos (α＋β)－1]＝2.
2
【点评】 三角函数化简一般先看角的变换， 再需三角函 数名称的变换，然后是幂及解析式结构的变换，思路为： ①统一函数名称，一般有弦化切与切化弦； ②统一角度，即涉及单角、倍角、半角、等角时，可根 据具体情况由倍角公式及其变形将角化为同一个角； ③统一次数，即式子中各项的次数大小不一时，可考虑 升幂或降幂，使各项次数统一．
α 2α 又 4tan2＝1－tan 2⇒tanα＝
1 α＝2， 1－tan22
α 2tan2
π π 所以 tan(α＋β)＝1，又 0＜α＋β＜2，所以 α＋β＝4.
二
三角恒等式的证明
【 例 2 】 (1) 已 知 2sinβ ＝ sinα ＋ cosα ， sin2γ ＝ 2sinα· cosα.求证：cos2γ＝2cos2β； (2)已知 5sinα＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋ 4tanβ＝0.
一
通过恒等变形后的求值问题
1 π 【例 1】(2011· 广东卷)已知函数 f(x)＝2sin(3x－6)，x∈ R. (1)求 f(0)的值； π π 10 6 (2)设 α，β∈[0，2]，f(3α＋2)＝13，f(3β＋2π)＝5，求 sin(α＋β)的值．
π π 【解析】 (1)f(0)＝2sin(－6)＝－2sin6＝－1. 10 π 1 π π (2)因为13＝f(3α＋2)＝2sin[3×(3α＋2)－6] ＝2sinα， 6 1 π ＝f(3β＋2π)＝2sin[3×(3β＋2π)－6] 5 π ＝2sin(β＋2)＝2cosβ，
【证明】 (1)4sin2β＝1＋2sinαcosα， 所以 4sin2β＝1＋sin2γ， 所以 1－sin2γ＝2－4sin2β＝2(1－2sin2β)， 即 cos2γ＝2cos2β.
(2)因为 5sinα＝3sin(α－2β)， 所以 5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]， 所 以 5sin(α － β)· cosβ ＋ 5cos(α － β)· ＝ 3sin(α － sinβ β)· cosβ－3cos(α－β)· sinβ， 所以 2sin(α－β)· cosβ＋8cos(α－β)· sinβ＝0，
素材3
3 5π 3π 已知 sin2α＝5，α∈( 4 ， 2 )． (1)求 cosα 的值； 10 (2)求满足 sin(α－x)－sin(α＋x)＋2cosα＝－ 10 的锐角 x.
5π 3π 5π 【解析】(1)因为 4 <α< 2 ，所以 2 <2α<3π. 4 所以 cos2α＝－ 1－sin 2α＝－5.
2x 2x
x x x x x cos2－sin2cos2＋sin2· 2 sin ＝ x cos2cosx x cos 2－sin 2sin2 ＝ x cos2· cosx x cosx· 2 sin x ＝ x ＝tan2. cos2· cosx
2x 2x
三
解综合问题
π 1 【例 3】已知－2＜x＜0，sinx＋cosx＝5. (1)求 sinx－cosx 的值； x x 2x 3sin 2－2sin2cos2＋cos 2 (2)求 的值． 1 tanx＋tanx
2 2
1 ＝cos β－cos2β(sin α＋2cos2α)
2 2
1－cos2α cos2α 1 1 ＝2(1＋cos2β)－cos2β( ＋ 2 )＝2. 2
方法 3：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 1－cos2α 1－cos2β 1＋cos2α 1＋cos2β 1 原式＝ · 2 ＋ · 2 －2 2 2 cos2α· cos2β 1 1 ＝ 4 (1 ＋ cos2α· cos2β － cos2α － cos2β) ＋ 4 (1 ＋ 1 1 cos2α· cos2β＋cos2α＋cos2β)－2· cos2α· cos2β＝2.
2x
2x
【点评】(1)由 sinx＋cosx 的值，求 sinx－cosx 的值是 常规问题，对于较复杂的问题，可通过解方程组：
sinx＋cosx＝？或sinx－cosx＝？ 2 sin x＋cos2x＝1
求出 sinx、cosx 的值后再进行解决． (2)切化弦、平方、降次、活用公式是化简、求值常用 的方法．
π 得 25cos x－5cosx－12＝0(－2＜x＜0)，
2
4 3 解得 cosx＝5或 cosx＝－5(舍去)， 3 7 所以 sinx＝－5，所以 sinx－cosx＝－5.
x x 2x 3sin 2－2sin2cos2＋cos 2 (2) 1 tanx＋tanx 2sin 2－sinx＋1 ＝ sinx cosx cosx＋ sinx ＝sinxcosx· (2－cosx－sinx) 12 1 108 ＝－25×(2－5)＝－125.
sinx＋cosx－1sinx－cosx＋1 【解析】 sin2x sinx＋1－2sin 2－1sinx－1＋2sin 2＋1 ＝ sin2x x x x x 2x 2x 2sin2cos2－2sin 22sin2cos2＋2sin 2 ＝ x x 4sin2cos2cosx
方法 4：(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方) 1 原 式 ＝ (sinα· － cosαcosβ) ＋ 2sinα· cosα· － 2 sinβ sinβ· cosβ cos2αcos2β 1 1 2 ＝cos (α＋β)＋2sin2α· sin2β－2cos2α· cos2β
2
1 ＝cos (α＋β)－2cos(2α＋2β)