一次函数的图像与坐标轴的交点
一次函数知识点梳理
一次函数知识点梳理1、正比例函数是指形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，其中k叫做比例系数。
2、正比例函数的图象是一条经过原点和（1,k）的直线，我们称它为直线y=kx。
当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降。
3、确定一个正比例函数，需要确定常数k，其基本步骤是：设出含有待定系数的函数解析式y=kx，把已知条件代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程，解方程求出待定系数k，将求得的待定系数的值代回解析式。
4、一次函数是指形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0）的函数，当b=0时，y=kx，因此正比例函数是一种特殊的一次函数。
5、一次函数的图象是经过（0,b）和另一点的直线，根据几何知识，经过两点能画出一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。
6、一次函数y=kx＋b的图象可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到。
7、直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：k>0，b>0经过第一、二、三象限，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。
k>0，b<0经过第一、三、四象限，图象从左到右上升，y随x的增大而减小。
k0经过第一、二、四象限，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。
k<0，b<0经过第二、三、四象限，图象从左到右下降，y随x的增大而增大。
k>0，b=0经过第一、三象限，图象从原点开始，从左到右上升。
k<0，b=0经过第二、四象限，图象从原点开始，从左到右下降。
8、直线y1=kx＋b与y2=kx的图象位置关系：y1与y2平行，但y1的截距比y2的截距大|b|个单位长度。
1.当斜率k和截距b为正数时，将y=kx的图像向上平移b 个单位，就得到y=kx+b的图像。
2.当斜率k为正数，但截距b为负数时，将y=kx的图像向下平移|b|个单位，就得到y=kx+b的图像。
一次函数总复习
第二十一章 一次函数总复习【基础知识汇总】1、正比例函数：一般表达式y=kx （k 为常数且k ≠0）；图像为过（0，0）与（1，k ）的一条直线2、一次函数：一般表达式y=kx+b （k 、b 为常数，且k ≠0）；图像是一条经过（0，k b -）与（0，b ）的直线。
其中（0，kb -）为直线与x 轴交点，（0，b ）为直线与y 轴交点。
对一次函数（包括正比例函数）的基本要求：必须为整式函数，自变量项的系数k 不为0，自变量的最高指数为1。
3、一次函数图像与坐标轴围成的三角形的面积：如右图所示： S △AOB=2OBOA ⋅=2b kb ⋅- 4、k 、b 与图像所在象限及增减性：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><0b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.b>0 b<0 b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限 经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限 经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小5、倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.若两直线k 值相同，则两直线平行。
6、图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位 7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。
一次函数图像与性质ppt课件
图
象时，只要描出函数图象中的两个点就可画出此
函 数的图象.
b ,0 k
(2)一般地，一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)
都过(0,b) (与y轴交点坐标)和(
)(与x轴交点
总结
一次函数的图象是一条直线，我们称它为直线 y＝kx＋b；它必过(0，b)和( b , 0 )两点．
k
例1 画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象.
从 k、b的值看一次函数的图像 (1)当k＞0,b＞0时，图象过一、二、三象限； (2)当k＞0,b＜0时，图象过一、三、四象限； (3)当k＜0,b＞0时，图象过一、二、四象限； (4)当k＜0,b＜0时，图象过二、三、四象限.
例2 已知直线y＝(1－3k)x＋2k－1. (1)k为何值时，直线与y轴交点的纵坐标是－2?
一次函数的图象是一条直线，这条直线与坐标轴 有交点，正比例函数只有一个交点，一般的一次函数 有两个交点. 注意：一次函数图象的画法与我们前边学过的函数图 象的画法一样，其步骤为列表、描点、连线.通过实际 操作，我们可得出：
(1)一次函数 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象是
一
条直线.由两点确定一条直线可知，在画一次函数
要点精析： (1)在实际问题中，当自变量x的取值受限制时，一次函 数 y＝kx＋b的图象就不一定是一条直线了，有时是线段、 射线或直线上的部分点． (2)k决定直线的倾斜角度： k＞0⇔直线y＝kx＋b在x轴上方的部分与x轴正方向的夹 角为锐角； k＜0⇔直线y＝kx＋b在x轴上方的部分与x轴正方向的夹 角为钝角； k1＝k2⇔直线y1＝k1x＋b1∥直线y2＝k2x＋b2(b1≠b2)． (3)k＞0⇔y随x的增大而增大；k＜0⇔y随x的增大而减小 ．
第07讲一次函数-—图象与性质(教案)
-一次函数图象的变换与识别
4.练习与巩固
-判断一次函数的增减性
-根据斜率和截距绘制一次函数图象
-解答与一次函数相关的问题，运用图象分析解决实际问题
二、核心素养目标
1.培养学生的数感与符号意识，通过一次函数的学习，使学生能够理解数学符号表示的实际意义，提高运用符号进行表达和交流的能力。
-图象的变换：难点在于掌握一次函数图象的平移、压缩、拉伸等变换规律，以及这些变换对斜率和截距的影响。
-例如：当一次函数图象进行平移时，斜率k保持不变，截距b发生变化，学生需要理解这种变换背后的数学原理。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一次函数—图象与性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体以固定速度移动的情况？”（如骑自行车匀速前进）。这个问题与我们将要学习的一次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数图象与性质的奥秘。
2.教学难点
-一次函数图象的理解：难点在于理解一次函数图象的几何意义，如何从图象中获取信息，以及如何将实际问题转化为一次函数图象。
-例如：学生可能难以理解图象上某点的坐标如何对应实际问题中的具体情境。
-一次函数性质的深入理解：难点在于理解斜率和截距对一次函数图象的精确影响，以及如何通过性质预测图象的形态。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的斜率和截距这两个重点。对于难点部分，如斜率的意义和截距的物理含义，我会通过举例和图象分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数相关的实际问题，如物体的匀速运动。
中考数学总复习《一次函数图像与坐标轴的问题》专题测试卷带答案
中考数学总复习《一次函数图像与坐标轴的问题》专题测试卷带答案班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．一次函数y＝x﹣3的图象与y轴的交点坐标是（）A．（0，﹣3）B．（0，3）C．（3，0）D．（﹣3，0）2．如图，直线y=−x+4与坐标轴交于A、B两点，点C为坐标平面内一点BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则线段OM的最小值是（）A．2√2+12B．2√2−12C．1D．2√23．如图在平面直角坐标系中，直线l1对应的函数表达式为y=2x，直线l2与x，y轴分别交于A、B，且l1∥ l2，OA=2，则线段OB的长为（）A．3B．4C．2√2D．2√34．背面图案、形状大小都相同的四张卡片的正面分别记录着有关函数y=2x−4的四个结论，现将卡片背面朝上，随机抽取一张，抽到卡片上的结论正确的概率是（）A．14B．12C．34D．15．已知一次函数的图象与y=2x+3平行，且过点(4，2)，则该一次函数与坐标轴围成图形的面积为（）A．6B．9C．12D．186．如图，已知直线y=−13x+√10与与双曲线y=kx(x>0)交于A、B两点，连接OA，若OA⊥AB，则k的值为()A．B．C．D．7．对于一次函数y=−x−2，下列说法错误的是（）A．图象不经过第一象限B．图象与y轴的交点坐标为(0，−2)C．图象可由直线y=−x向下平移2个单位长度得到D．若点(−1，y1)，(4，y2)在一次函数y=−x−2的图象上，则y1<y28．若一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则方程ax+b＝0的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x＝﹣2D．x＝﹣39．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4 √3与x轴、y轴分别交于A，B，∥OAB=30°，点P在x轴上，∥P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得∥P成为整圆的点P个数是（）A．6B．8C．10D．1210．一次函数y＝ax＋b交x轴于点(－5，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解是() A．x＝5B．x＝－5C．x＝0D．无法求解11．下列四个选项中，不符合直线y＝x﹣2的性质特征的选项是（）A．经过第一、三、四象限B．y随x的增大而增大C．与x轴交于（﹣2，0）D．与y轴交于（0，-2）12．下列图形中，阴影部分的面积为2的有（）个A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题(共6题；共7分)13．在直角坐标系xOy中，若直线y=x+4a-12与y轴的交点在x轴上方，则a的取值范围．14．函数y=m2x2+(2m+1)x+1与x轴有交点，则m的取值范围．15．如图，一次函数y＝x＋2的图像与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB 上的点，且∥OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为．16．如果一次函数y=kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为4，则k=．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将∥AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴上，记作点C，折痕与y轴交点交于点D，则点C的坐标为，点D的坐标为．18．如图示直线y=√3x+√3与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动到点B1，线段BB1长度为.三、综合题(共6题；共54分)19．如图，直线y=2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求直线BP的函数关系式．20．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′折痕为CE．直线CE的关系式是y=−12x+8，与x轴相交于点F，且AE=3．（1）OC=，OF=；（2）求点B′的坐标；（3）求矩形ABCO的面积．21．已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0，1)和(1，-2)。
备考2021年中考数学复习专题：函数_一次函数_一次函数图象与坐标轴交点问题,综合题专训及答案
备考2021年中考数学复习专题：函数_一次函数_一次函数图象与坐标轴交点问
题，综合题专训及答案
备 考 2021中 考 数 学 复 习 专 题 ： 函 数 _一 次 函 数 _一 次 函 数 图 象 与 坐 标 轴 交 点 问 题 ， 综 合 题 专 训
1、 (2017平谷.中考模拟) 直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别父于A、B两点，点A关于直线x=﹣1的对称点为点C．
8、 (2017东平.中考模拟) 已知：如图一次函数y= x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y= 象与一次函数y= x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）．
x2+bx+c的图
（1）
求二次函数的解析式；
（2） 求四边形BDEC的面积S；
（3） 在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由
2023年中考数学考点总结+题型专训专题15 一次函数的应用与综合篇(原卷版)
知识回顾专题15一次函数的应用与综合1. 一次函数的图像与性质：一次函数与x 轴的交点坐标公式为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 ，k；与y轴的交点坐标公式为：()b ，0。
2. 一次函数的平移：①左右平移，自变量上进行加减。
左加右减。
即若()0≠+=k b kx y 向左移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()()0≠++=k b m x k y ；若()0≠+=k b kx y 向右移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()()0≠+-=k b m x k y 。
②上下平移，解析式整体后面进行加减。
上加下减。
k 的取值 b 的取值 所在象限y 随x 的变化情况大致图像0＞k0＞b （图像交于y 轴正半轴）一二三象限y 随x 增大而增大0＜b （图像交于y 轴负半轴）一三四象限0＜k0＞b （图像交于y 轴正半轴）一二四象限y 随x 减小而减小0＜b （图像交于y 轴负半轴）二三四象限即若()0≠+=k b kx y 向上移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()0≠++=k m b kx y ；若()0≠+=k b kx y 向下移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()0≠-+=k m b kx y 。
3. 一次函数的对称变换：①若一次函数关于x 轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。
即()0≠+=k b kx y 关于x 轴的函数解析式为：()0≠+=-k b kx y ，即()0≠--=k b kx y 。
②若一次函数关于y 轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。
即()0≠+=k b kx y 关于y 轴的函数解析式为：()()0≠+-=k b x k y ，即()0≠+-=k b kx y 。
③若一次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。
即()0≠+=k b kx y 关于原点的函数解析式为：()()0≠+-=-k b x k y ，即()0≠-=k b kx y 。
中考数学《一次函数图像与坐标轴交点问题》专项练习题及答案
中考数学《一次函数图像与坐标轴交点问题》专项练习题及答案一、单选题1．若直线y=k1x+1与y=k2x−4的交点在x轴上，那么k1k2等于(）A．4B．-4C．14D．−142．当一次函数y=2x−3的图象在第四象限时，自变量x的取值范围是（）A．0＜x＜32B．x＞0C．x＜32D．无法确定3．已知在平面直角坐标系中，C是x轴上的点，点A（0，3），B（6，5），则AC+BC的最小值是( )A．10B．8C．6D．2√104．一次函数y = kx + 4的图象与坐标轴围成的三角形的面积为4，则k的值为（）．A．2B．−2C．±2D．不存在5．一次函数y=2x+6图象与y轴的交点坐标是（）A．（-3，0）B．（3，0）C．（0，-6）D．（0，6）6．一次函数y＝﹣2x﹣3的图象和性质．叙述正确的是（）A．y随x的增大而增大B．与y轴交于点（0，﹣2）C．函数图象不经过第一象限D．与x轴交于点（﹣3，0）7．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则⊙CDE面积的最小值为（）A．3.5B．2.5C．2D．1.28．一次函数y=-2x+m的图象经过点P(-2,3)，且与x轴、y轴分别交于点A，B，则⊙AOB的面积是()A．B．C．4D．89．直角坐标系中已知两点A(−8，3)B(−4，5)以及动点C(0，n)D(m ，0)，当四边形ABCD 的周长最小时，求比值mn .（ ） A ．−23B ．-2C ．−32D ．-310．将一次函数y ＝2x ＋4的图象与坐标轴围成的三角形面积是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．711．如图所示，直线 y =k(x −2)+k −1 与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，且 OB OC =12。
则K 的值为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．212．如图，直线y=kx+b 交坐标轴于A （﹣2，0），B （0，3）两点，则不等式kx+b ＞0的解集是A ．x ＞3B ．﹣2＜x ＜3C ．x ＜﹣2D ．x ＞﹣2二、填空题13．一次函数y =x −1的图像向上平移3个单位后与y 轴的交点是 ． 14．若函数y ＝2x ＋3与y ＝3x －2b 的图象交x 轴于同一点，则b 的值为 ．15．如图，在平面直角坐标系中，点A ，A 1，A 2，A 3…A n 都在直线1：y ＝ √32x+1上，点B ，B 1，B 2，B 3…B n 都在x 轴上，且AB 1⊙1，B 1A 1⊙x 轴，A 1B 2⊙1，B 2A 2⊙x 轴，则A n 的横坐标为 （用含有n 的代数式表示）。
7.4 一次函数的图象和性质(2)--
·
· ·
x
函数y=kx+b可以看做是函数 函数y=kx+b可以看做是函数 y=kx+b y=kx向 或向下平移︱ y=kx向上或向下平移︱b︱个 单位长度得到的。 单位长度得到的。
-2
-3
（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） b>0时 向上平移； b<0时 向下平移）
个单位， 象，再向下平行移动5个单位，得到一次 再向下平行移动5个单位 1 的图象． 函数 y = x − 2 的图象． 2
y=2x+3
. . . . . . . . . . . . . . .
3 y=2x+3 b+3 y=2x +0 b-3 y=2x-3
2
·
y
y=2x
· ·
y=2x-3
1
. . . . . . . . . . . . . . . -2 -1 0 2 1
·
· ·
x
-1
-2
-3
你发现这三个 函数图象有什 么相同点和不 同点吗？ 同点吗？
）、点 +3上 3、点A(-3，y1）、点B（2，y2)都在直线y=–4x+3上， A(的关系是（ D 则y1与y2的关系是（ ） A y1 ≤ y2 B y1 = y2 C y 1＜ y 2 D y 1 ＞y 2
4、设下列两个函数当 x = x1时，y = y1； 、 当x = x 2时，y = y2，用“<”或“>”号填空 或 号填空 ①对于函数y= 1x,若x2>x1,则y2___y1 对于函数 2 若 则 >
相同点： 相同点：
3
y=2x+3
高中数学：一次函数、二次函数、指数函数知识点汇总【必考点】
一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
一次函数与坐标轴的交点
探索：直线y=kx+b(k≠0)与x轴、y轴交点坐标
求直线y=-2x-4与x轴、y轴的交点坐标，并画出 这条直线
解：当x=0,y=-2×0-4=-4
点（0 ,-4）就是直线与y轴的交点坐标；
当y=0，0=-2x-4,即x=-2
点( -2, 0 )就是直线与x轴的交点坐标。
y
5 4 3 2
1
-4 -3 -2 -1 -O1 1 2 3 4 5 X
-2
-3 -4
y=-2x-4
结论：
• 如何求直线y=kx+b(k≠0)与x轴、y轴交点坐 标？
1、利用函数图象 2、利用函数关系式
与x轴交点:令y=0,求x 与y轴交点:令x=0,求y
试一试
• 求下列直线与x轴、y轴的交点，画出它们 的图象。
（1）y=4x-4
(2) y= 2 x 2 3
课堂达标
• 1、函数y= 1 x 2 的图象与x轴的交点坐 5
标为（_-_1_0_,0_）,与y轴的交点坐标为（_0_,_2_）___.
2、直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点坐标（__bk___,0, ）
与y轴交点坐标（_0_,_b_）
想一想
问题1中，汽车距北京的路程S（千米）与汽车在高 速公路上行驶的时间t（时）之间的函数关系式是 s=570-95t，试画出这个函数的图像。
一次函数的图象与坐标轴的交点
学习目标
• 1、会求直线y=kx+b(k≠0)与x轴y轴的交点坐 标。
• 2、能熟练的选取适当的点画一次函数的图 象
探索：直线y=kx+b(k≠0)与x轴、y轴交点坐标
y=-2x-4
y
5 4 3 2
一次函数的图象(描点)
一次函数的表示方法
01
02
03
点斜式
通过已知的点$(x_1, y_1)$和斜率$k$，可以表 示为$y-y_1=k(x-x_1)$。
两点式
通过已知的两个点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，可 以表示为$frac{y-y_1}{xx_1}=frac{y_2-y_1}{x_2x_1}$。
一般式
一次函数的标准形式为 $y=kx+b$，其中$k$和 $b$是常数，且$k neq 0$。
02 一次函数的图象
一次函数图象的形状
线性形状
一次函数的图像是一条直线，这是因为一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k 和b为常数，k不为0。
斜率与截距
一次函数的图像有确定的斜率和截距，斜率是k，截距是b。斜率决定了图像的 倾斜程度，截距决定了图像与y轴的交点位置。
实际问题举例
一次函数图象在经济学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。例如，在经济学中， 消费和收入之间的关系可以用一次函数来表示，通过分析这种关系可以了解消费者的消
费习惯和预测未来的消费趋势。
应用价值
一次函数图象能够直观地表示两个变量之间的线性关系，帮助人们更好地理解和分析实 际问题。
对未来研究的展望
一次函数图象可以用来描述物体在恒力作用下的匀速直线运 动，如速度与时间的关系。
弹簧问题
弹簧的伸长量与作用力之间的关系也可以用一次函数来表示 ，通过图象可以直观地分析弹簧的弹力与形变量之间的关系 。
一次函数图象在数学问题中的应用
线性规划
一次函数图象可以用来表示线性规划 问题中的约束条件和目标函数，通过 图象可以直观地分析最优解。
一次函数的图象(描点)
一次函数图像坐标轴交点
一次函数与坐标轴交点的意义
01
一次函数与x轴交点
该交点是一次函数图像上的一个特殊点，其纵坐标为0。这个点代表着
一次函数在x轴上的截距，即当y=0时，x的取值。通过该点，我们可以
了解一次函数在x轴上的位置以及函数的增减性。
02
一次函数与y轴交点
该交点是一次函数图像上的另一个特殊点，其横坐标为0。这个点代表
着一次函数在y轴上的截距，即当x=0时，y的取值。通过该点，我们可
以了解一次函数在y轴上的位置以及函数的垂直位移。
03
一次函数与坐标轴交点的综合意义
一次函数与坐标轴的交点共同决定了一次函数图像的位置、方向和形状。
这些交点为我们提供了一次函数的基本特征和性质，有助于我们更好地
理解和应用一次函数。
02 一次函数图像与x轴交点
在解决与一次函数相关的实际问 题时，经常需要找到一次函数图
像与x轴的交点。
例如，在解决追及问题、相遇问 题等时，可以通过找到一次函数 图像与x轴的交点，来确定两个
物体的相遇时间或追及时间。
此外，在解决一些与一次函数相 关的最优化问题时，也可以通过 找到一次函数图像与x轴的交点，
来确定最优解的位置。
03 一次函数图像与y轴交点
如果一次函数图像与y轴交点在正半轴，那么函数的截距b>0，函数图像在x轴上方；如果交 点在负半轴，那么b<0，函数图像在x轴下方。
解决与一次函数相关的实际问题
通过分析一次函数图像与坐标轴 的交点，可以解决与一次函数相 关的实际问题，如求解不等式、
方程等。
利用一次函数图像与x轴的交点， 可以求解一元一次方程；利用与 y轴的交点，可以求解一元一次
对未来研究的展望
一次函数的图像和性质压轴题八种模型全攻略—2023-2024学年八年级数学上册(苏科版)(解析版)
一次函数的图像和性质压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 正比例函数的图像和性质】 (1)【考点二 画一次函数的图像】 (3)【考点三 一次函数的图像和性质】 (7)【考点四 已知函数经过的象限求参数范围】 (9)【考点五 根据一次函数增减性求参数】 (11)【考点六 比较一次函数值的大小】 (12)【考点七 一次函数图像与坐标轴的交点问题】 (14)【考点八 一次函数图像的平移问题】 (17)【过关检测】 (18)【典型例题】【考点一 正比例函数的图像和性质】例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）关于函数5y x =−，下列判断正确的是（ ） A ．图象必过()1,5−−B ．图象经过第一、三象限C ．y 随x 的增大而减小D ．不论x 取何值总有0y > 【答案】C【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出函数5y x =−的图象不过点()1,5−−；由50k =−<，利用正比例函数的性质，可得出函数5y x =−的图象经过第二、四象限；由50k =−<，利用正比例函数的性质，可得出y 随x 的增大而减小；利用不等式的性质，可得出当0x <时，0y >．【详解】解：A ．当=1x −时，5(1)5y =−⨯−=，55≠−，∴函数5y x =−的图象不过点()1,5−−，选项不符合题意；B ．50k =−<，∴函数5y x =−的图象经过第二、四象限，选项不符合题意；C ．50k =−<，y ∴随x 的增大而减小，选项符合题意；D ．当0x <时，50y x =−>，选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，逐一分析各选项的正误是解题的关键．【变式训练】A ．2k =−B ．图象必经过点()12−，C ．图象不经过原点D ．y 随x 的增大而减小【答案】D【详解】解：A ．正比例函数2x y =−的12k =−，故选项错误，不符合题意；B ．将()12−，代入解析式得，122≠，故本选项错误，不合题意；C ．正比例函数2x y =−的图象过原点，故本选项错误，不合题意； D ．由于函数图象过二、四象限，则函数值y 随x 的增大而减小，故本选项正确，符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟悉函数的图象及系数与图象的关系是解题的关键．A ．函数图象经过点()1,3B ．函数图象经过第一、三象限C ．y 随x 的增大而减小D ．不论x 为何值，总有0y >【答案】B【分析】直接根据正比例函数的图象与性质特点逐项判断即可得．【详解】解：A 、当1x =时，133y =≠，则函数图象不经过点()1,3，此项错误，不符合题意；B 、函数13y x =中的103k =>，则函数图象经过第一、三象限，此项正确，符合题意；C 、函数13y x =中的103k =>，则y 随x 的增大而增大，此项错误，不符合题意；D 、只有当0x >时，0y >，则此项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键．【考点二 画一次函数的图像】【答案】(1)见解析(2)在【分析】（1）根据函数图象与x ，y 轴的坐标交点坐标，画出图象即可；（2）根据平移的特点得出解析式，进而解答．【详解】（1）解：列表：过点()2,0和点()0,2−画出直线2y x =−，；（2）解：把函数2y x =−图象向上平移3个单位，得函数的解析式为1y x =+，当3x =−时，312y =−+=−，∴点()3,2−−在平移后的直线上．【点睛】本题考查一次函数与几何变换，关键是根据函数图象与x ，y 轴的坐标交点画出图象．【变式训练】(2)判断点()3,1A 是否在该函数的图象上，开说明理由．【答案】(1)4−，2(2)点()3,1A 不在该函数的图象上，理由见解析【分析】（1）分别将0x =，0y =代入函数解析式中，求出与之对应的y ，x 的值，再描点，连线，即可画出函数图象；（2）将3x =代入函数解析式中，求出对应的y 值，再与1y =进行比较即可得出结论．【详解】（1）解：当0x =时，2044y =⨯−=−，当0y =时，240x −=，解得：2x =，画出函数图象，如图所示，故答案为：4−，2；（2）解：点()3,1A 不在该函数的图象上，理由如下：当3x =时，2342y =⨯−=，21≠，∴点()3,1A 不在该函数的图象上．【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象，熟知直线上任意一点的坐标都满足该直线解析式时解题关键．判断)2.541325).3(()(A B C −−，，，，，是否在函数21y x =+的图象上．【答案】实数；见解析；点A 、B 在函数21y x =+的图象上，点C 不在函数21y x =+的图象上【分析】一次函数的自变量取值为实数；把自变量x 的值代入解析式21y x =+，求出y 的值；描点、连线画出一次函数的图象；把)2.541325).3(()(A B C −−，，，，，代入解析式21y x =+，通过等式是否成立判断是否是直线上的点． 【详解】解：函数21y x =+的自变量x 的取值范围是实数；故答案为：实数；列表：描点、连线，画出一次函数的图象如图：把)2.541325).3(()(A B C −−，，，，，代入解析式21y x =+， 2.5214−⨯+=−；1213⨯+=2.52163⨯+=≠，∴点A 、B 在函数21y x =+的图象上．【点睛】本题考查了一次函数的图象与图象上的点，解题的关键是掌握一次函数的图象与一次函数图象上点的特点．【考点三 一次函数的图像和性质】 例题：（2023春·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）下列描述一次函数34y x =−+的图象及性质错误的是（ ）A ．直线与x 轴交点坐标是()0,4B ．y 随x 的增大而减小C ．直线经过第一、二、四象限D ．当0x <时，4y <【答案】A【分析】根据一次函数的性质解答即可．【详解】A. 直线与x 轴交点坐标是4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，符合题意； B. y 随x 的增大而减小，不符合题意；C. 直线经过第一、二、四象限，不符合题意；D. 当0x <时，4y <，不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了一次函数的性质和图像分布，熟练掌握性质是解题的关键．【变式训练】1.（2023春·浙江台州·八年级统考期末）对于一次函数2y x =−+，下列说法正确的是（ ）A ． y 随x 的增大而增大B ．它的图象过点()11，C ．它的图象过第一、二、三象限D ．它的图象与x 轴的交点坐标为()20−，【答案】B【分析】由10k =−<，20b =>，可得y 随x 的增大而减小，图象过第一、二、四象限，进而可判断A 、C 的正误；当1x =时，121y =−+=，则图象过点()11，，进而可判断B 的正误；当0y =时，02x =−+，解得2x =，则图象与x 轴的交点坐标为()20，，进而可判断D 的正误．【详解】解：∵10k =−<，20b =>，∴y 随x 的增大而减小，图象过第一、二、四象限，A 、C 错误，故不符合要求；当1x =时，121y =−+=，∴图象过点()11，，B 正确，故符合要求；当0y =时，02x =−+，解得2x =，∴图象与x 轴的交点坐标为()20，，D 错误，故不符合要求； 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，图象与坐标轴的交点．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2.（2023春·广西桂林·八年级校考阶段练习）对于函数1y x =−，下列结论不正确的是（ ） A ．图象经过点()1,2−−B ．图象不经过第一象限C ．图象与y 轴交点坐标是()0,1−D ．y 的值随x 值的增大而增大 【答案】C【分析】根据一次函数的性质及函数图像上点满足函数解析式逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，当=1x −时，112y =−−=−，故A 正确，当0x =时，011y =−=−，故C 正确，∵10k =>，10b =−<，∴y 的值随x 值的增大而增大，图像经过一，三，四象限，故D 正确C 错误，故选C ；【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握0k >过一三象限，y 的值随x 值的增大而增大，0b <向下平移．3.（2023秋·四川成都·八年级统考期末）关于一次函数23y x =−+，下列结论正确的是（ ） A ．图象不经过第二象限B ．图象与x 轴的交点是()0,3C ．将一次函数23y x =−+的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为26y x =−+D ．点()11,x y 和()22,x y 在一次函数23y x =−+的图象上，若12x x <，则12y y <【答案】C【分析】根据一次函数的图象与性质，逐项判断即可作答．【详解】A ．20−<，30>，一次函数图象经过第一、二、四象限，故本项原说法错误；B ．图象与y 轴的交点是()0,3，故本项原说法错误；C ．将一次函数23y x =−+的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为26y x =−+，故本项说法正确；D.点()11,x y 和()22,x y 在一次函数23y x =−+的图象上，若12x x <，则12y y >，故本项原说法错误； 故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，是解答本题的关键．【考点四 已知函数经过的象限求参数范围】 例题：（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）若一次函数y x b =−+（b 为常数）的图象经过第一、二、四象限，则b 的值可以为 ．（写出一个即可）【答案】1（答案不唯一）【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限判断出b 的符号，再找出符合条件的b 的可能值即可．【详解】解：∵一次函数y x b =−+的图象经过第一、二、四象限，1k =−，∴0b >，故答案是：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数y kx b =+（k 为常数，0k ≠），当0k >时，y 随x 的增大而增大；当0k <时，y 随x 的增大而减小．当0b >，图象与y 轴的正半轴相交，当0b <，图象与y 轴的负半轴相交，当0b =，图象经过原点．【变式训练】1.（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）若一次函数3y kx k =−+不经过第二象限，则k 的取值范围为 ．【答案】3k ≥【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k 的取值范围，从而求解．【详解】∵一次函数3y kx k =−+的图象不经过第二象限，∴一次函数3y kx k =−+的图象经过第一、三、四象限或者过第一、三象限，∴0k >且30k −+≤，解得3k ≥．故答案为：3k ≥．【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k b 、的关系．解答本题注意理解：直线y kx b =+所在的位置与k b 、的符号有直接的关系．需要特别注意不经过第二象限可能只经过第一、三象限． 2.（2023春·山东日照·八年级校考期中）一次函数(5)4y m x m =−+−的图象不经过第三象限，则m 的取值范围是 ；【答案】45m ≤≤【分析】分直线不是一次函数、直线经过第二、四象限和直线经过第一、二、四象限三种情况考虑，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于m 的不等式（或方程），解之即可得出m 的取值范围．【详解】解：分三种情况考虑．当50m −=，即5m =时，直线为1y =，不经过第三象限，符合题意；当直线(5)4y m x m =−+−经过第二、四象限时，5040m m −<⎧⎨−=⎩，解得：4m =；当直线(5)4y m x m =−+−经过第一、二、四象限时，5040m m −<⎧⎨−>⎩，解得：45m <<．m ∴的取值范围是45m ≤≤．故答案为：45m ≤≤．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，分直线不是一次函数、直线经过第二、四象限和直线经过第一、二、四象限两种情况，求出m 的取值范围（或m 的值）是解题的关键．3.（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知一次函数2y x b =+的图象经过第一、三、四象限，则函数y bx b =−的图象经过的象限是 ．【答案】一、二、四【分析】先根据一次函数2y x b =+的图象经过第一、三、四象限判断b 的取值范围，再判断函数y bx b =−的图象经过的象限．【详解】∵一次函数2y x b =+的图象经过第一、三、四象限， ∴0b <，0b −>，∴函数y bx b =−的图象经过一、二、四象限． 故答案为：一、二、四．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数y kx b =+（k 为常数，0k ≠），当0k >时，y 随x 的增大而增大；当0k <时，y 随x 的增大而减小．当0b >，图象与y 轴的正半轴相交，当0b <，图象与y 轴的负半轴相交，当0b =，图象经过原点．【考点五 根据一次函数增减性求参数】例题：（2023春·四川巴中·八年级校考阶段练习）若一次函数()23y m x =−−，y 随x 增大而减小，则m 的取值范围为 ． 【答案】2m <【分析】根据一次函数的性质y 随x 的增大而减小得到20m −<，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数()23y m x =−−，若y 随x 的增大而减小，∴20m −<， ∴2m <，故答案为：2m <．【点睛】此题考查了一次函数的性质：当0k >时，图象过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当0k <时，图象过二、四象限， y 随x 的增大而减小． 【变式训练】1.（2023春·青海果洛·八年级统考期末）若一次函数4y kx =−的函数值y 随x 的增大而增大，则k 的值可能是 ．【答案】1（答案不唯一）【分析】根据一次函数的性质，若y 随x 的增大而增大，则比例系数大于0． 【详解】解：∵4y kx =−的函数值y 随x 的增大而增大， ∴0k >，则k 的值可能是1，故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线y kx b =+中，当0k >时，y 随x 的增大而增大；当0k <时，y 随x 的增大而减小．2.（2023春·上海虹口·八年级统考期末）已知一次函数()12=−+y m x 图像上两点()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x <时，12y y >，那么m 的取值范围是 ．【答案】>1m【分析】根据题意可得y 随x 的增大而减小，可得10m −<，从而可得答案． 【详解】解：∵一次函数()12=−+y m x 图像上两点()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x <时，12y y >，∴y 随x 的增大而减小， ∴10m −<， 解得：>1m ， 故答案为：>1m ．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟记一次函数的增减性是解本题的关键．【答案】3a >【分析】根据一次函数的图像()32y a x =−−+，当()30a −−<时，y 随x 的增大而减小分析即可．【详解】解：当12x x >时，12y y <，y 随x 的增大而减小，()30a ∴−−<，3a ∴>，故答案为：3a >．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．【考点六 比较一次函数值的大小】例题：（2023春·广西南宁·八年级校考阶段练习）若点()15,A y ，()22,B y 在一次函数25y x =−+的图象上，则1y 2y ．（填“>”或“<”或“=”） 【答案】<【分析】利用一次函数的增减性判断即可．【详解】解：由题可知，一次函数25y x =−+，20k =−<，y 随x 的增大而减小， ∵52>， ∴12y y <， 故答案为：<．【点睛】本题考查利用一次函数的增减性判断函数值的大小问题，准确判断函数的增减性是解题关键． 【变式训练】1.（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）已知一次函数24y x =+的图象经过点()2,a −，()4,b −，则a b （填“>”，“<”或“=”） 【答案】>【分析】根据一次函数图象的增减性进行判断． 【详解】解：∵一次函数24y x =+中的20>， ∴该函数图象是直线，且y 的值随 ∵24−>−， ∴a b >故答案为：>．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．解题时，利用了一次函数图象的性质．2.（2023春·山东滨州·八年级统考期中）已知点()12,y −，()21,y −都在直线3y x b =−+上，则1y 2y （填“>”“<”“=”）． 【答案】>【分析】根据直线3y x b =−+的k 值，确定直线的增减性，再利用两点的横坐标大小判断1y 和2y 的大小．【详解】解：3y x b =−+中，30k =−<，y∴随x 增大而减小．又21−<−，则12y y >． 故答案为：>．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解答的关键．【答案】>【分析】根据非负数的性质求出3a =−，12b =，得到一次函数132y x =−+，进而求出1y 和2y 的值，比较1y 和2y 的大小即可得到答案．【详解】解：()230a +=Q ，30a ∴+=，210b −=， 3a ∴=−，12b =，∴一次函数132y x =−+，点()112P y −，，点()226P y ，是一次函数y ax b =+的图象的两个点，()11133222y ∴=−⨯−+=，21353622y =−⨯+=−，1y ∴与2y 为的大小关系是12y y >，故答案为：>．【点睛】本题考查了非负数的性质，一次函数值的大小比较，熟练掌握相关知识点是解题关键．【考点七 一次函数图像与坐标轴的交点问题】【答案】()20， ()02−，【分析】令0x =，解得y ，令0y =，解得x ，即为函数与y 轴、x 轴交点坐标．【详解】解：令0y =，即20x −=，解得2x =， ∴与x 轴的交点坐标为()20，．令02x y ==−，， ∴与y 轴的交点坐标为()02−，．故答案为：()20，，()02−，．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【变式训练】1.（2023春·山东临沂·八年级统考期末）在平面直角坐标系中直线36y x =+与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积是 ． 【答案】6【分析】设直线36y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，求出A 和B 的坐标得到OA 和OB 的长，即可求解.【详解】解：设直线36y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴()20A −，，()06B ，，∴26OA OB ==，， ∵90AOB ∠=︒， ∴162AOB S OA OB =⋅=△，故答案为：6.【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴围成的面积，解题的关键在于能够准确求出一次函数与坐标轴的交点坐标.2.（2023春·黑龙江鹤岗·八年级统考期末）直线y kx b =+经过点()03，，且与两坐标轴构成的直角三角形的面积是6，则k 为 ． 【答案】34±【分析】直线y kx b =+与y 轴交于点()03，，分别求出直线3y kx =+与x 轴、y 轴的交点坐标，然后应用面积计算即可．【详解】解：直线y kx b =+与y 轴交于点()03，，3b ∴=，3y kx ∴=+，当0y =时，即30kx +=，解得3x k =−，直线3y kx =+与x 轴交于点30⎛⎫− ⎪⎝⎭，k ， 由题意得13632k ⨯⨯−=，整理得34k =，即34k =±，故答案为：34±．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴围成图形的面积问题；解题的关键是用参数表示坐标轴与直线的交点坐标及相应线段的值．【分析】根据一次函数解析式得出23k OA k −=，23OB k =−+，然后代入化简即可．【详解】解：23y kx k =−+，∴当0y =时，32x k =−+，当0x =时，23y k =−+，∴3232k OA k k −=−+=，23OB k =−+， ∴2323232312332232323k k k OA OB k k k k k −+=+=−==−−−−−，故答案为：1．【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．【考点八 一次函数图像的平移问题】例题：（2023春·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）把函数34y x =−向上平移3个单位长度后，所得函数的解析式为 ． 【答案】31y x =−【分析】一次函数图象平移：上下平移后解析式变化，对函数值上加下减．【详解】解：34y x =−向上平移个单位长度得函数的解析式为34331y x x =−+=−； 故答案为：31y x =−【点睛】本题考查一次函数的平移，掌握图象平移后解析的变化规则是解题的关键． 【变式训练】【答案】2【分析】先根据平移规律求出直线3y x b =+向上平移3个单位后的直线解析式，再把点()0,5代入，即可求出b 的值．【详解】将直线3y x b =+向上平移3个单位后得到直线33y x b =++， 把点()0,5代入，得53b =+，故答案为：2．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．2.（2023春·云南临沧·八年级统考期末）将一次函数32y x =+的图像先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的函数解析式为 ．【答案】310y x =+【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将一次函数32y x =+的图像先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的函数解析式为：()3321y x =++−，即310y x =+，故答案为：310y x =+．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的法则是解答此题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·广东清远·八年级统考期中）一次函数2y x =−的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据一次函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵一次函数2y x =−中10,20k b =>=<， ∴此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数()0y kx b k =+≠，当0,0k b >>时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当0,0k b ><时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当0,0k b <>时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当0,0k b <<时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．2．（2023春·云南红河·八年级统考期末）直线3y x =−与x 轴的交点坐标是（ ） A ．(0,3) B ．(2,1) C ．(1,3)− D ．(3,0)【答案】D【分析】令0y =，求出的值即可得出结论． 【详解】解：令0y =，则3x =，∴直线3y x =−与x 轴的交点坐标为(3,0)．故选：D ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．3．（2022秋·河北廊坊·九年级校考开学考试）把直线21y x =−向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为（ ） A ．23y x =+ B ．32y x =+C ．24y x =+D ．21y x =+【答案】A【分析】直接利用一次函数的平移规律即可解答．【详解】解：把直线21y x =−向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为()2112y x =+−+．即23y x =．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．【答案】C【分析】求出点M 关于y 轴对称点的坐标，然后代入正比例函数进行求解即可． 【详解】解：由点()1,2M 关于y 轴对称的点的坐标为()1,2-，∴322k −−=，解得：43k =−；故选C ．【点睛】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 5．（2022秋·湖南长沙·九年级校考开学考试）下列关于一次函数23y x =+的说法中，正确的是（ ） A ．图象经过第一、二、四象限 B ．y 随x 的增大而减小 C ．当 1.5x >−时，0y < D ．图象与y 轴交于点()0,3【答案】D【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：一次函数23y x =+，20k =>，30=>b ， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，故选项A 不符合题意；y 随x 的增大而增大，故选项B 不符合题意；当 1.5x >−时，0y >，故选项C 不符合题意；当0x =时，3y =，则图象与y 轴交于点(0,3)，故选项D 符合题意； 故选：D ．【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．【答案】A【分析】根据一次函数()10y kx k =+≠与y 轴交于()0,1，结合与坐标轴围成的三角形的面积为2，分与x 轴的交点坐标()4,0−或()4,0两种情况讨论，求出k 的值，结合一次函数的图象与性质，逐项判断，选择答案即可．【详解】解：∵一次函数()10y kx k =+≠与坐标轴围成的三角形的面积为2，∴一次函数()10y kx k=+≠与y轴交于()0,1，∴一次函数的图象直线与x轴的交点坐标有()4,0−或()4,0两种情况，当交点坐标为()4,0−时，410k−+=，解得：14k=；当交点坐标为()4,0时，410k+=，解得：14k=−，∴A选项正确；当14k=−时，y的值随x的增大而减小，故B选项不正确；当14k=−时，该函数图象经过第一、二、四象限，故C选项不正确；当14k=−时，在40x−≤≤的范围内，当4x=−时，取得最大值2y=，故D选项不正确．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，分类讨论求解出k的值是解题的关键．二、填空题【答案】5−【分析】将点()1,2-代入3y x n=+，即可求解．【详解】解：将点()1,2-代入3y x n=+得：23n−=+，解得：5n=−，故答案为：5−．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法和步骤．【答案】 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()0,1− 14【分析】分别令0x =，0y =，求出直线21y x =−与x 轴的交点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；与y 轴的交点坐标是()0,1−，即可求解．【详解】解：令0x =，1y =−，令0y =，210x −=， 解得：12x =， ∴直线21y x =−与x 轴的交点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；与y 轴的交点坐标是()0,1−，∴与坐标轴围成的三角形面积为1111224⨯⨯=． 故答案为：1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；()0,1−；14【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．另外要记住一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积计算公式．【答案】>【分析】在y kx b =+中，当0k <时，y 随x 的增大而减小，利用一次函数的增减性进行判断即可．【详解】解：在一次函数3y x m =−+中，∵30k =−<，∴y 随x 的增大而减小，∵53−<−，∴a b >，故答案为：>．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键．【答案】三【分析】由非负性可以得到10,10k b +=−=，解得未知数的值即可得一次函数的解析式即可得到答案．【详解】由10k +=可得10,10k b +=−=， 解得：1,1k b =−=∴一次函数的解析式为1y x =−+，∴一次函数的图象不过第三象限，故答案为：三．【点睛】本题考查绝对值、算术平方根的非负性，一次函数的图象，掌握绝对值和算数平方根的非负性是解题的关键．，将AOB 沿着某直线 【答案】7,04⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】设(,0)C a ，根据题意，8AC BC a ==−，然后根据勾股定理列出关于a 的方程，解方程即可求得．【详解】解：设(,0)C a ，∴OC a =，6OA =，8OB =，又由折叠知AC BC =，∴8AC BC a ==−，在Rt AOC 中，222AC OA OC =+，∴222(8)6a a −=+， 解得74a =， ∴7(,0)4C ， 故答案为7(,0)4．【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换，翻折的性质以及勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．【答案】 5 2或3【分析】若()3,2M 在直线l 上时，直接代入即可；根据直线l 与坐标轴的夹角为45︒，可得MDE 与OEF 为等腰直角三角形，分别求出位于坐标轴上的点，代入即可求出即可．【详解】解：∵直线解析式为:l y x b −+，若()3,2M 在直线l 上时，32b −+=，解得5b =，过点M 作MF ⊥直线l ，交y 轴于点F ，交x 轴于点E ，则点E 、F 为点M 在坐标轴上的对称点， 过点M 作MD x ⊥轴于点D ，则3,2OD MD ==，如图，∵直线l 与坐标轴的夹角为45︒，∴45MED ∠=︒，∴MDE 为等腰直角三角形，∴DM x ⊥轴，()3,0D ，∴直线:l y x b =−+过点()3,0， 则3b =，同理，点M 关于直线l 的对称点落在y 轴上时，∴直线:l y x b =−+过点()0,2，则2b =；故答案为：2或3【点睛】本题考查一次函数图象性质和点的轴对称性问题，解答关键是解题过程应用数形结合思想．三、解答题 13．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）已知正比例函数的图象经过点(6,2)A −．(1)求这个函数的表达式；(2)判断点(12,4),(5,1)B C −−是否在这个函数的图象上?【答案】(1)13y x =− (2)点B 在，点C 不在【分析】（1）直接把点(6,2)A −代入正比例函数y kx =，求出k 的值即可；（2）把点(12,4)B −和点(5,1)C −代入（1）中函数解析式进行检验即可．【详解】（1）解：正比例函数的图象经过点(6,2)A −，设y kx =，26k ∴=−，解得13k =−， ∴这个正比例函数的解析式为13y x =−； （2）当12x =−时，4y =，∴点(12,4)B −在该函数的图象上；当5x =时，53y =−，∴点(5,1)C −不在该函数的图象上．【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【答案】(1)35y x =−−(2)点1,43A ⎛⎫−− ⎪⎝⎭在此一次函数的图像上【分析】（1）两直线平行，则直线对应的一次函数解析式k 值相等；再将点()2,1−代入解析式即可求解；（2）令13x =-，代入函数解析式观察函数值是否等于4−即可进行判断． 【详解】（1）解：由题意可知2341k k b =−⎧⎨−+=⎩，解得235k b =−⎧⎨=−⎩∴这个函数的解析式为35y x =−−（2）解：当13x =-时，354y x =−−=− ∴点1,43A ⎛⎫−− ⎪⎝⎭在此一次函数的图像上． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式、判断给出的点是否在一次函数图象上．求出解析式是解题关键． 15．（2023春·广东惠州·八年级惠州市惠阳区第一中学校考期中）已知一次函数()226y k x k =−−+．(1)当k 满足什么条件时，图象经过()14，？ (2)当k 满足什么条件时，y 随x 的增大而减小？(3)当k 满足什么条件时，图象与y 轴的交点在x 轴的上方？【答案】(1)43k =时，它的图象经过点()14，；。
一次函数的图象及表达式
确定一次函数的表达式1、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.注：对于y＝kx+b 而言，图象共有以下四种情况：1、k>0，b>02、k>0，b<03、k<0，b<04、k<0，b>02、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为与y轴交点坐标为(0，b)．3、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.4、两条直线交点坐标的求法：方法：联立方程组求x、y例题：已知两直线y＝x+6 与y＝2x-4交于点P，求P点的坐标？5、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1≠b2 （2）两直线相交：k1≠k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线6、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.7、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.8、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.。
一次函数的图象与性质重难点
一次函数的图象与性质知识导航1．一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b＝0时，一次函数y＝kx(k≠0）也叫正比例函数。
2．一次函数的图象及性质与x轴的交点与y轴的交点图象经过的象限函数的增减性y＝kx＋b (k≠0）k＞0b＞0(－bk，0)(0，b)一、二、三y随x的增大而增大b＝0(0，0)(0,0)一、三y随x的增大而增大b＜0(－bk，0)(0，b)一、三、四y随x的增大而增大k＜0b＞0(－bk，0)(0，b)一、二、四y随x的增大而减小b＝0(0，0)(0，0)二、四y随x的增大而减小b＜0(－bk，0)(0，b)二、三、四y随x的增大而减小3．－次函数和正比例尿数的图象都是一条直线①一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0的图象是一条直线，称为直线y＝kx＋b；②直线y＝kx＋b(k≠0)可以看做由直线y＝kx(k≠0)上下平移b个单位长度而得到．当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移．4.想据函数图象上两个点的坐标，用待定系数法求解析式【板块】正比例函数及其性质方法技巧正比例函数要満足两个条件，一是指数为1，二是系数不为0．题型一求正比例函数的解析式【例1】函数y＝(k2－4)x2＋(k＋1)x是正比例函数，且y随x的增大而减小，求正比例函数的解析式.【例2】如图，正比例函数y＝(m－3)x1m 的图象是经过原点O的直线，点A(2，0).(1)求正比例函数的解析式；(2)求直线l与x轴正半轴的夹角的度数；(3)点B是直线l上一动点，当线段AB最短时，求点B坐标.【例3】已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x－2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4.(1)求y与x之间的关系式；(2)当x＝－1时，求y的值。
针对练习11．如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在正比例函数y＝4x和y＝kx的图象上，OB=1，顶点B，C在x轴上，则系数k的值是（）A.12B.23C.34D.452．一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线经过第二象限及点(－2，3），求这个函数的解析式. 3．已知2y－3与3x＋1成正比例，且x＝2，y＝12，求y与x函数解析式。
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A
1
已知函数y=2x-4
（1 ）画出它的图象；
（2 ）写出这条直线与x轴、y轴交点的坐标；
（3 ）求这条直线与两坐标轴所围成的三角 形的面积。
A
2Leabharlann 例1:画出一次函数 y=2x+4的图象
(1) 直线y=2x+4与x轴的交点坐标是 ______，与y轴的交点坐标是 _______.
A
4
思考题
已知一次函数y=2x+4,求其与两 坐标轴所围成的三角形的面积？
A
5
y=2x+4 y
分析: (0, 4 ) (-2 ,0)
B? 4
3
24
A?
1
2 -4 -3 -2
-1
O
1 -1
-2
234
-3
-4
三角形AOB的面 积=
x 1 OA ?OB 2 ? 1 ? 2? 4 2
?2
A
6
1.已知一次函数y ＝－x ＋2,求其与两 坐标轴所围成的三角形的面积？
（4）若图象经过一、二、四象限，求m的取 值范围。
（5 ）若图象不过第三象限，求m 的取值范围。 （6 ）若随的增大而增大,求m 的取值范围。
A
8
A
3
1、直线 y=-3x+4 与x轴的交点坐标是 ______，与y轴的交点坐标是 ______.
2.直线y=－x+2与x轴的交点坐标是 ， 与y轴的交点坐标是 _____
3.直线 y=4x与－x2轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ______
4.直线 y=－与x－x轴1 的交点坐标是 ，与 y轴的交点坐标是 _____
2.已知一次函数y=x+3,求其与两坐
标轴所围成的三角形的面积？
3.已知一次函数y=4x－2,求其与两坐 标轴所围成的三角形的面积？
A
7
已知一次函数y=（m-1）x+2m+1 （1 ）若图象经过原点,求m 的值； （2）若图象平行于直线y=2x，求m的值； （3）若图象交y轴于正半轴，求m的取值范 围；