分式方程的增根与无解(1)

分式方程的增根与无解(1)
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分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．
分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：
例
1 解方程
2
3
44222+=
---x x x x ． ①
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②
3
解这个方程，得x=2．
经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．
所以原方程无解．
例2 解方程22321++-=+-x
x
x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整理得0x ＝8．
因为此方程无解，所以原分式方程无解．
例3（2007湖北荆门）若方程32x x --=2m x
-无解，则m=——————．
解：原方程可化为32x x --=－2
m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ． 解这个方程，得x=3－m ．
因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，
所以2=3－m ，解得m=1． 故当m=1时，原方程无解．
4
例4当a 为何值时，关于x 的方程223242
ax x x x +=--+①会产生增根？
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）
整理得（a －1）x ＝－10 ② 若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．
把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．
若将此题“会产生增根”改为“无解”，即： 当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①
无解？
此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）
整理得（a －1）x ＝－10 ② 若原方程无解，则有两种情形：
5
（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x ＝2或－2，把x ＝2或－2代入方程②中，求出a ＝－4或6．
综上所述，a ＝1或a ＝一４或a ＝6时，原分式方程无解．
例5：（2005扬州中考题）
若方程)1)(1(6-+x x -1
-x m =1有增根，则它的增根是（ ）
A 、0
B 、1
C 、-1
D 、1或-1 分析：使方程的最简公分母 (x+1)(x-1)=0则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。

原方程易化成整式方程： 6-m(x+1)=x 2-1 整理得： m(x+1)=7-x 2
6
当x= -1时,此时m 无解； 当x=1时,解得m=3。

由此可得答案为B 。

例6：关于x 的方程3-x x -2=3
-x m
有一个正数解，求m 的取值范围。

分析：把m 看成常数求解，由方程的解是正数，确定m 的取值范围，但不能忽略产生增根时m 的值。

原方程易化为整式方程： x-2 (x-3)=m 整理得： x=6-m
∵原方程有解，故6-m 不是增根。

∴6-m ≠3 即m ≠3 ∵x ＞0 ∴m ＜6
由此可得答案为m 的取值范围是m ＜6且m ≠3。

一、 分式方程有增根，求参数值 例7 a 为何值时，关于x 的方程
3
42-+-x a
x x =0有增根？
7
解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x 2-4x+a=0（※）
因为分式方程有增根，增根为x=3，把x=3代入（※）得，9-12+a=0 a=3 所以a=3时，
3
42-+-x a
x x =0有增根。

例8 m 为何值时，关于x 的方程1
1-x +
2
-x m
=
2
3222+-+x x m 有
增根。

解：原方程两边同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得
（1+m ）x=3m+4（※）
因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为x=1或x=2。

把x=1代入（※），解得m=-2
3；把x=2代入（※）得m=-2
所以m=-2
3或-2时，原分式方程有增根
点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程
1
+x k
+1=
)
2)(1(2
-+x x 有增根，可求得k=-3
2，
但分式方程这时有一实根x=3
8。

二、 分式方程是无实数解，求参数值
8
例9 若关于x 的方程5
2--x x =
5
-x m +2无实数，求m 的
值。

解：去分母，得x-2=m+2x-10，x=-m+8 因为原方程无解，所以x=-m+8为原方程的增根。

又由于原方程的增根为x=5，所以-m+8=5 所以m=3
例10．若解分式方程2111
x x m x x x x
+-++=
+产生增根，则m 的值是（ ）
A. --12或
B. -12或
C. 12或
D. 12或-
分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。

由题意得增根是：x x ==-01或，化简原方
程为：2112
2
x m x -+=+()()，把x x ==-01或代入解得m =-12或，
故选择D 。

9
例11. m 为何值时，关于x 的方程2243
2x m x x x
-+-=
+2
会产生增根？
解：方程两边都乘以x 2
4-，得2436
x m x x ++=- 整理，得()m x -=-110
当时，如果方程产生增根，那么，即或（）若，则（）若，则（）综上所述，当或时，原方程产生增根
m x m x x x x m m x m m m ≠=-
--===-=--=∴=-=---=-∴==-110
1
4022
1210
124
2210
1
26
3462
说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根
例12、 解方程：1210433234892423871619
45
x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：31434289328741
45
--++-=--++-x x x x
10
即28928628102
87x x x x ---=---
于是，
所以解得：经检验：是原方程的根。

189861
810878986810871
1()()()()()()()()
x x x x x x x x x x --=----=--==
例13、若解分式方程2111x x m x x x x
+-++=
+产生增根，则m 的值是（ ）
A. --12或
B. -12或
C. 12或
D. 12或-
分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。

由题意得增根是：x x ==-01或，化简原方
程为：2112
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x m x -+=+()()，把x x ==-01或代入解得m =-12或，
故选择D 。

练习题
1 解方程2
344222+=---x x x x ．
2 解方程22321
++-=+-x x
x x ．
3（2007湖北荆门）若方程32x x --=2m
x -无解，则
m=———
———．
4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产
生增根？
5当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解？。