高考数学总复习 第5章 第1节 数列的概念与简单表示法课时演练 新人教A版
2015届高考数学总复习 第五章 第一节数列的概念与简单表示法课时精练试题 文(含解析)
1.设数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第六项 B ．第七项 C ．第八项 D ．第九项答案：B2．(2012·衡水中学调研)观察下列数：1,3,2,6,5,15,14，x ，y ，z ，…则x ，y ，z 的值依次为( )A ．13,39,123B ．42,41,123C ．24,23,123D ．28,27,123解析：观察各项可以发现：x 为前一项的3倍即42，y 为前一项减1即41，z 为前一项的3倍即123.故选B.答案：B3．若数列{a n }满足关系：a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.138解析：由递推关系，由a 8逆推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85，故选C.答案：C4．(2012·石家庄二模)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C ．4D ．0 解析：因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，且n ∈Z ，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，即最大值为a 2＝a 3＝0.故选D.答案：D5．(2013·惠州一模)在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( ) A ．2 B ．6 C ．7 D ．8解析：数字共有n 个，当数字n ＝6时，有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21项，所以第25项是7，故选C.答案：C6．(2013·济宁质检)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n . 两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴a n ＝0(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＋(a 1＋a 2)＝a 2，∴a 1＝0，∴a n ＝0 (n ∈N *)，故选C. 答案： C7．(2013·赤峰模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于( )A ．5B ．6C ．5或6D ．7解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.答案：C8．(2013·海口质检)如图是同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖________块．解析：用a n 表示第n 个图的黑色瓷砖块数，则a 1＝12，a 2＝16，a 3＝20，…，由此可得{a n }是以12为首项，以4为公差的等差数列．∴a 23＝a 1＋(23－1)×4＝12＋22×4＝100. 答案：1009．(2013·吉林省实验中学二模)已知数列{a n }中a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且单调递增，则k 的取值范围是 ____________.解析：因为{a n }是单调递增数列，所以对n ∈N *，不等式a n ＜a n ＋1恒成立，即n 2－kn ＜(n ＋1)2－k (n ＋1)恒成立，化简得k ＜2n ＋1恒成立，所以k ＜3.答案：(－∞，3)10. (2013·唐山模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ＋1，则数列的通项a n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝n 2(n ≥2)．当n ＝1时，也适用a n ＝n 2(n ∈N *)．答案：n 2(n ∈N *)11．(2013·安徽合肥二模)数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋b n，若对任意的n ∈N *都有a n ≥a 5，则实数b 的取值范围是__________．解析：由题意可得b ＞0，因为对所有n ∈N *，不等式a n ≥a 5恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4≥a 5，a 6≥a 5，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 4≥5＋b5，6＋b 6≥5＋b 5，解得20≤b ≤30，经验证，数列在(1,4)上递减，在(5，＋∞)上递增，或在(1,5)上递减，在(6，＋∞)上递增，符合题意．所以b ∈[20,30]． 答案：[20,30]12．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求{a n }的通项公式．解析：由题意，得S n ＝2n ＋1－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.13．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解析：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n >1时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋2(n ∈N *)．14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n ＝2013，求n .解析：(1)∵a 1＝1，且a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n >1)．∴a 2＝a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＋1na n (n ≥1)．∴a n ＋1－a n ＝1na n (n ≥2)．∴a n ＋1＝n ＋1n a n ， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n (n ≥2)． ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 22＝12， ∴a n ＝n2(n ≥2)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n2，n ≥2.(2)∵a n ＝n2＝2 013，∴n ＝4 026.。
高考数学 第五章 第一节 数列的概念与简单表示法课件 理 新人教A
因为 an＋1－an＝3n＋2，所以 an－an－1 ＝3n－1(n≥2)，所以 an＝(an－an－1)＋ (an － 1 － an － 2) ＋ … ＋ (a2 － a1) ＋ a1 ＝ n3n2＋1(n≥2)．当 n＝1 时，a1＝2＝12 ×(3×1＋1)，符合上式，所以 an＝23n2
＋n2.
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考点三
探究一 形如 an＋1＝anf(n)，求 an.
1．在数
列
{an}中，a1＝1，an＝
n－1 n an－
1(n≥2)．
试题
解析
因为 an＝n－n 1an－1(n≥2)，
所以 an－1＝nn－－12an－2，…，a2＝12a1.
考点一
题组训练
用观察法求数列的通项公式的两个技巧 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观 察每一项的特点，观察出项与 n 之间的关系、规律， 可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数 列的通项公式来求． (2)对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1 来调整．
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的通项公式：
当 b＝－1 时，a1 适合此等式．
(1)Sn ＝ 2n2 － 3n ； (2)Sn 当 b≠－1 时，a1 不适合此等式．
＝3n＋b.
∴当 b＝－1 时，an＝2·3n－1；
3＋b，n＝1，
当 b≠－1 时，an＝2·3n－1，n≥2.
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2021高考数学人教版一轮复习练习：第五章 第1节 数列的概念与简单表示法
多维层次练28[A级基础巩固]1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的() A．第19项B．第20项C．第21项D．第22项解析：数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n＝5＋6（n－1）＝6n－1，令6n－1＝55，得n＝21.答案：C2．记S n为数列{a n}的前n项和．“任意正整数n，均有a n>0”是“{S n}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为“a n>0”⇒“数列{S n}是递增数列”，所以“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分条件．如数列{a n}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{S n}是递增数列，但是a n不一定大于零，还有可能小于零，所以“数列{S n}是递增数列”不能推出“a n>0”，所以“a n>0”不是“数列{S n}是递增数列”的必要条件．所以“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分不必要条件．答案：A3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( )A ．31B ．42C ．37D ．47解析：由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＋1＋1＝2(S n＋1)(n ∈N *)，故数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47.答案：D4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋n ln nB ．2n ＋(n －1)ln nC ．2n ＋n ln nD ．1＋n ＋n ln n解析：由题意得a n ＋1n ＋1－a nn ＝ln(n ＋1)－ln n ，n 分别用1，2，3，…，(n －1)取代，累加得a n n －a 11＝ln n －ln 1＝ln n ，a nn ＝2＋ln n ，所以a n ＝2n ＋n ln n .答案：C5．(2020·广东广雅中学模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，则a n 的表达式为( ) A ．a n ＝24n －3B ．a n ＝26n －5C ．a n ＝24n ＋3D ．a n ＝22n －1解析：(1)数列{a n }中，由a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，可得1a n ＋1＝3＋1a n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为3的等差数列，所以1a n ＝12＋3(n －1)＝6n －52.可得a n ＝26n －5(n ∈N *)．答案：B6．(2019·上海卷)已知数列{a n }前n 项和为S n ，且满足S n ＋a n ＝2，则S 5＝________．解析：n ＝1时，S 1＋a 1＝2，所以a 1＝1. n ≥2时，由S n ＋a n ＝2得S n －1＋a n －1＝2， 两式相减得a n ＝12a n －1(n ≥2)，所以{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，所以S 5＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：31167．(2020·河北省级示范性高中联考)数列{a n }满足a 1＝3，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1－a n ＝n ＋2，则a 39＝________．解析：因为a n ＋1－a n ＝n ＋2，所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝5，…， a n －a n －1＝n ＋1(n ≥2)，上面(n －1)个式子左右两边分别相加得a n －a 1＝（n ＋4）（n －1）2(n ≥2)，即a n ＝（n ＋1）（n ＋2）2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝3适合上式，所以a n ＝（n ＋1）（n ＋2）2，n ∈N *，所以a 39＝40×412＝820.答案：8208．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________．解析：由题意可知，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2， 所以a n ＝n 2（n －1）2(n ≥2)， 所以a 3＋a 5＝3222＋5242＝6116.答案：61169．(2020·天河模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1<2，a n >0，6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，b n ＝(－1)n a 2n ，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n . 解：(1)当n ＝1时，6a 1＝a 21＋3a 1＋2，且a 1<2，解得a 1＝1.当n ≥2时，6a n ＝6S n －6S n －1＝a 2n ＋3a n ＋2－(a 2n －1＋3a n －1＋2)．化简得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0， 因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列， 所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)b n ＝(－1)n a 2n ＝(－1)n (3n －2)2.所以b 2n －1＋b 2n ＝－(6n －5)2＋(6n －2)2＝36n －21. 所以数列{b n }的前2n 项的和T 2n ＝36(1＋2＋…＋n )－21n ＝36×n （n ＋1）2－21n ＝18n 2－3n .10．已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式． 解：(1)由题意得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.[B 级 能力提升]11．数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝( ) A.9998 B ．2 C.9950D.99100解析：由a n ＋1＝1＋a n ＋n ，得a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋1＝n （n ＋1）2，则1a n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1， 则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝2×[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫199－1100]＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－1100＝9950. 答案：C12．(一题多解)(2020·湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(约公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a ，当a ∈[2，2 019]时，符合条件的a 共有________个．解析：法一由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N，则3m＝5n ＋1，m，n∈N，当m＝5k时，n不存在；当m＝5k＋1时，n不存在；当m＝5k＋2时，n＝3k＋1，满足题意；当m＝5k＋3时，n不存在；当m＝5k＋4时，n不存在，其中k∈N.故2≤a＝15k＋8≤2 019，解得－615≤k≤2 01115，故k＝0，1，2，…，134，共135个，即符合条件的a共有135个．故答案为135.法二一个整数除以三余二，这个整数可以为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…，一个整数除以五余三，这个整数可以为3，8，13，18，23，28，33，38，…，则同时除以三余二、除以五余三的整数为8，23，38，…，构成首项为8，公差为15的等差数列，通项公式为a n＝8＋15(n－1)＝15n－7，由15n－7≤2 019得15n≤2 026，n≤135115，因为n∈N*，所以n＝1，2，3，…，135，共有135个．答案：13513．(一题多解)已知数列{a n}中，a1＝3，且n(n＋1)(a n－a n＋1)＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a1·a2·…·a n（n＋1）·2n，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)法一 由题意知，a n －a n ＋1＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1， 所以n ≥2时，a n －1－a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ，a n －2－a n －1＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －2－1n －1，…，a 1－a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12， 以上(n －1)个式子左右两边分别相加得a 1－a n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ， 又a 1＝3，所以a n ＝1＋2n (n ≥2)．又a 1＝3符合上式，故a n ＝1＋2n(n ∈N *)．法二 由题意知，a n －a n ＋1＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1， 所以a n ＋1－2n ＋1＝a n －2n ，所以a n －2n ＝a n －1－2n －1＝…＝a 1－21＝3－2＝1，所以a n ＝1＋2n.(2)法一 由(1)知，a n ＝1＋2n ＝n ＋2n，所以a 1a 2…a n ＝31×42×…×n ＋1n －1×n ＋2n ＝（n ＋1）（n ＋2）2，所以b n ＝a 1·a 2·…·a n（n ＋1）·2n＝n ＋22n ＋1，所以S n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2， 两式相减得12S n ＝322＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋123⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－n ＋22n ＋2＝1－12n ＋1－n ＋22n ＋2＝1－n ＋42n ＋2， 故S n ＝2－n ＋42n ＋1.法二 由(1)知a n ＝1＋2n ＝n ＋2n，所以a 1·a 2·…·a n ＝31×42×…×n ＋1n －1×n ＋2n ＝（n ＋1）（n ＋2）2，所以b n ＝a 1·a 2·…·a n（n ＋1）·2n ＝n ＋22n ＋1＝n ＋32n －n ＋42n ＋1， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫421－522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－623＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫n ＋32n －n ＋42n ＋1＝2－n ＋42n ＋1.[C 级 素养升华]14．(多选题)已知数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则下列数字在数列{a n }中的是( )A ．14B ．18C ．20D ．32解析：由题意知，数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n －1a n －1＝2(n －1)＋5，n >1， 两式相减得，a n2n ＝2n ＋5－2(n －1)－5＝2，所以a n ＝2n ＋1，n >1，n ∈N *. 当n ＝1时，a 12＝7，所以a 1＝14.综上可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧14，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：AD。
高考数学 第五章 第一节 数列的概念与简单表示法课时
【全程复习方略】（广东专用）2014年高考数学第五章第一节数列的概念与简单表示法课时作业理新人教A版一、选择题1.已知数列错误!未找到引用源。
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,…,下面各数中是此数列中的项的是( )(A)错误!未找到引用源。
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(D)错误!未找到引用源。
2.数列{a n}中,a n=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是( )(A)103 (B)108错误!未找到引用源。
(C)103错误!未找到引用源。
(D)1083.已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n+1,则a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10的值为( )(A)150 (B)161 (C)160 (D)1714.已知数列{a n}满足a1=1,且a n=错误!未找到引用源。
a n-1+(错误!未找到引用源。
)n(n≥2,且n ∈N*),则数列{a n}的通项公式为( )(A)a n=错误!未找到引用源。
(B)a n=错误!未找到引用源。
(C)a n=n+2 (D)a n=(n+2)3n5.(2012·西安模拟)在数列{a n}中,a1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则错误!未找到引用源。
的值是( ) (A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
6.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+ln(1+错误!未找到引用源。
),则a n= ( )(A)2+ln n (B)2+(n-1)ln n(C)2+nln n (D)1+n+ln n7.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-9n,第k项满足5<a k<8,则k等于( )(A)9 (B)8 (C)7 (D)68.(能力挑战题)定义:F(x,y)=y x(x>0,y>0),已知数列{a n}满足:a n=()()F n,2F2,n错误!未找到引用源。
新课标2020年高考数学一轮总复习第五章数列5_1数列的概念与简单表示法课件理新人教A版
n3n＋1 2
(n≥2)．当n＝1时，a1＝2＝
1 2
×(3×1＋
1)，符合上式，所以an＝32n2＋n2. [答案] 32n2＋n2
方法2 用累乘法求数列的通项公式
【例3】 已知数列{an}中，a1＝1，(n＋1)an＝nan＋1，则数列{an}的通项公式an
．
答案：2nn－1
4．(必修5·习题2.1A组改编)观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出一个
数列的通项公式
( )，4，－9，( )，－25，( )，－49，an＝
.
答案：－1 16 36 (－1)nn2
考点一|已知数列的前几项写通项公式 (思维突破)
【例1】 (1)下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )
第一节 数列的概念与简单表示法
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1.了解数列的概念 和几种简单的表示 以考查Sn与an的关系为
主，简单的递推关系也是 方法(列表、图象、
考查的热点．本节内容在 通项公式)．
高考中主要以选择、填空 2．了解数列是自变
的形式进行考查，难度属 量为正整数的一类
项公式an＝10n－1. [答案] (1)C
名师点拨 1．此类题目利用由特殊到一般的归纳推理即观察每一项的特点，观察出项与n之 间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项 公式来求． 2．抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征，如奇数，偶数； (2)相邻项的变化特征，增加多少，减少多少，几倍关系，平方关系等； (3)拆项后的特征，＋、－、×、分数等； (4)各项符号特征，符号(－1)n或(－1)n＋1.
2019版高考一轮复习文数(人教版A版)练习：第五章 第一节 数列的概念与简单表示法
课时规范练 A 组 基础对点练1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 4的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10解析：a 4＝S 4－S 3＝20－12＝8. 答案：C2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1 解析：由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N *，则a n ＝( ) A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)，∴a n ＋1＝2a n ，∵a 1＝2a 1－4，∴a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，故选A.答案：A4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38解析：由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.答案：C5．(2018·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1＝__________.解析：∵S n ＝a 1(4n －1)3，a 4＝32，∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12.答案：126．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 3＋a 4＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a 3＋a 4＝22＋23＝12.答案：127．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解析：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘， 整理得a n ＝n (n ＋1)2.显然，当n ＝1时也满足上式． 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.8．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解析：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．B 组 能力提升练1．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23，则{a n }是等差数列，又a 1＝15，∴a n ＝473－23n .∵a k ·a k＋1<0，∴⎝⎛⎭⎫473－23k ·⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23.故选C. 答案：C2．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A.1210 B.129 C.15D.110解析：∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，即a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．又∵d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15.答案：C3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1 B.2n (n ＋1) C.6(n ＋1)(n ＋2)D.5－2n 3解析：由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，∴(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n (n ＋1)，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 答案：B4．(2018·临沂联考)观察下列各图，并阅读图形下面的文字，则10条直线相交，交点的个数最多是()A ．40B ．45C ．50D ．55解析：设n 条直线的交点个数为a n (n ≥2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，……a 10－a 9＝9.累加得a 10－a 2＝2＋3＋…＋9， a 10＝1＋2＋3＋…＋9＝45. 答案：B5．现定义a n ＝5n ＋⎝⎛⎭⎫15n ，其中n ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫110，15，12，1，则a n 取最小值时，n 的值为__________． 解析：令5n ＝t >0，考虑函数y ＝t ＋1t ，易知其在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且当t ＝1时，y 的值最小，再考虑函数t ＝5x ，当0<x ≤1时，t ∈(1,5]，则可知a n ＝5n ＋⎝⎛⎭⎫15n在(0,1]上单调递增，所以当n ＝110时，a n 取得最小值．答案：1106．已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是__________． 解析：∵a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＝1，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1＝2×2n－1＝2n ，∴a 5＋1＝25，即a 5＝31.答案：317．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝4S n －1(n ∈N *)． (1)证明：a n ＋2－a n ＝4； (2)求{a n }的通项公式．解析：(1)证明：∵a n a n ＋1＝4S n －1，∴a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－1，∴a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1，又a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝4. (2)由a n a n ＋1＝4S n －1，a 1＝1，求得a 2＝3，由a n＋2－a n＝4知，数列{a2n}和{a2n－1}都是公差为4的等差数列，∴a2n＝3＋4(n－1)＝2(2n)－1，a2n－1＝1＋4(n－1)＝2(2n－1)－1，∴a n＝2n－1.8．已知数列{a n}中，a1＝3，a2＝5，其前n项和S n满足S n＋S n－2＝2S n－1＋2n－1(n≥3)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝log2256a2n－1，n∈N*，设数列{b n}的前n项和为S n，当n为何值时，S n有最大值？并求最大值．解析：(1)由题意知S n－S n－1＝S n－1－S n－2＋2n－1(n≥3)，即a n＝a n－1＋2n－1(n≥3)，∴a n＝(a n －a n－1)＋…＋(a3－a2)＋a2＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋5＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋1＋2＝2n＋1(n≥3)，经检验，知n＝1,2时，结论也成立，故a n＝2n＋1.(2)b n＝log2256a2n－1＝log22822n＝log228－2n＝8－2n，n∈N*，当1≤n≤3时，b n＝8－2n>0；当n＝4时，b n＝8－2n＝0；当n≥5时，b n＝8－2n<0.故n＝3或n＝4时，S n有最大值，且最大值为S3＝S4＝12.。
高考数学大一轮复习配套课时训练：第五篇 数列 第1节 数列的概念与简单表示法(含答案)
第五篇数列(必修5)第1节数列的概念与简单表示法课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.设数列{a n}的前n项和S n=n2,则a8的值为( A )(A)15 (B)16 (C)49 (D)64解析:由a8=S8-S7=64-49=15,故选A.2.(2013华师大附中高三模拟)数列{a n}中,a1=1,a n=+1,则a4等于( A )(A)(B)(C)1 (D)解析:由a1=1,a n=+1得,a2=+1=2,a3=+1=+1=,a4=+1=+1=.故选A.3.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( C )(A)1,,,,…(B)-1,-2,-3,-4,…(C)-1,-,-,-,…(D)1,,,…,解析:根据定义,属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号),属于递增数列的是选项C、D,故满足要求的是选项C.故选C.4.下列关于星星的图案中,星星的个数依次构成一个数列,该数列的一个通项公式是( C )(A)a n=n2-n+1 (B)a n=(C)a n=(D)a n=解析:从题图中可观察星星的构成规律,n=1时,有1个;n=2时,有3个;n=3时,有6个;n=4时,有10个;…∴a n=1+2+3+4+…+n=,故选C.5.下面五个结论:①数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;②数列的项数是无限的;③数列的通项公式是唯一的;④数列不一定有通项公式;⑤将数列看做函数,其定义域是N*(或它的有限子集{1,2,…,n}).其中正确的是( B )(A)①②④⑤ (B)①④⑤(C)①③④(D)②⑤解析:②中数列的项数也可以是有限的,③中数列的通项公式不唯一,故选B.6.(2013东莞模拟)数列{a n}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·a n=(n-1)·3n+1+3,则数列{a n}的通项公式a n=( C ) (A)3n-1(B)(2n-1)·3n(C)3n(D)(2n-1)·3n-1解析:当n≥2时,有a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·a n-1=(n-2)·3n+3,两式相减得(2n-1)a n=(n-1)3n+1-(n-2)3n,即(2n-1)a n=(2n-1)·3n,故a n=3n.又a1=3满足a n=3n,故选C.7.(2013太原一模)已知函数f(x)=若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是( C ) (A)[,3) (B)(,3)(C)(2,3) (D)(1,3)解析:由题意,a n=f(n)=要使{a n}是递增数列,必有解得,2<a<3.故选C.二、填空题8.数列-,,-,,…的一个通项公式为.解析:观察各项知,其通项公式可以为a n=.答案:a n=9.(2013广西一模)数列{a n}中,已知a1=1,a2=2,a n+1=a n+a n+2(n∈N*),则a7= .解析:由a n+1=a n+a n+2,得a n+2=a n+1-a n.所以a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3=-1-1=-2.a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,a7=a6 -a5=-1-(-2)=1.答案:110.(2013清远调研)已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n-1,则a1+a25= .解析:∵S n=n2+2n-1,∴a1=S1=2.当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1.∴a n=∴a1+a25=2+51=53.答案:5311.(2013东莞市高三模拟)已知数列{a n}的前n项和S n=n2-3n,若它的第k项满足2<a k<5,则k= .解析:a1=S1=1-3=-2,当n≥2时a n=S n-S n-1=n2-3n-(n-1)2+3(n-1),∴a n=2n-4,由2<a k<5得2<2k-4<5,则3<k<,所以k=4.答案:4三、解答题12.数列{a n}的通项公式是a n=n2-7n+6.(1)这个数列的第4项是多少?(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?(3)该数列从第几项开始各项都是正数?解:(1)当n=4时,a4=42-4×7+6=-6.(2)是.令a n=150,即n2-7n+6=150,解得n=16或n=-9(舍去),即150是这个数列的第16项.(3)令a n=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍).故数列从第7项起各项都是正数.13.(2013潮州期末质检)数列{a n}的前n项和S n=,若a1=,a2=.(1)求数列{a n}的前n项和S n;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)由S1=a1=,得=;由S2=a1+a2=,得=.∴解得故S n=.(2)当n≥2时,a n=S n-S n-1=-==由于a1=也适合a n=.∴a n=.(3)b n===-.∴数列{b n}的前n项和T n=b1+b2+…+b n-1+b n=1-+-+…+-+-=1-=.B组14.对于数列{a n},a1=4,a n+1=f(a n),依照下表则a2015=( D )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:由题意a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)= 4,a6=f(a5)=f(4)=1.则数列{a n}的项周期性出现,其周期为4,a2015=a4×503+3=a3=5.故选D.15.已知数列{a n}的通项a n=n2(7-n)(n∈N*),则a n的最大值是.解析:设f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2,当x>0时,由f′(x)=-3x2+14x=0得,x=.当0<x<时,f′(x)>0,则f(x)在上单调递增,当x>时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减,所以当x>0时,f(x)max=f.又n∈N*,4<<5,a4=48,a5=50,所以a n的最大值为50.答案:5016.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,a n=0,a n>0,a n<0?(3)该数列前n项和S n是否存在最值?说明理由. 解:(1)由a n=n2-n-30,得a1=12-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设a n=60,则60=n2-n-30.解之得n=10或n=-9(舍去).∴60是此数列的第10项.(2)令a n=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).∴a6=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).∴当n>6(n∈N*)时,a n>0.令n2-n-30<0,解得0<n<6.∴当0<n<6(n∈N*)时,a n<0.(3)S n存在最小值,不存在最大值.由a n=n2-n-30=-30,(n∈N*)知{a n}是递增数列,且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,故S n存在最小值S5=S6,不存在最大值.。
【金榜教程】高考数学总复习 第5章 第1讲数列的概念与简单表示法配套课件 理 新人教A
例 3 根据下列条件，求数列的通项公式 an. (1)a1＝4，an＋1＝n＋n 2an； (2)a1＝－1，an＋1＝an＋2n. (3)a1＝1，an＋1＝2an＋1.
[审题视点] (1)可转化后利用累乘求解，(2)可利用累加法 求解，(3)可构造等比数列求解．
[解] (1)由递推关系得aan＋n 1＝n＋n 2，
a3－a2＝2×2， a2－a1＝2×1， 将以上n－1个式子相加，
得 an－a1＝2(1＋2＋…＋n－2＋n－1)， 所以 an＝a1＋2×1＋n－21n－1＝－1＋n(n－1)＝n2－ n－1. 当 n＝1 时，a1＝12－1－1＝－1，也与已知 a1＝－1 相 符，所以数列{an}的通项公式为 an＝n2－n－1.
按项与项
递增数列 an＋1____an
间的大小关 系分类
递减数列 常数列
an＋1____an an＋1＝an
其中n∈N*
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项 小于它的前一项
(3) 通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可 以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的
________，即an＝f(n)．
(1) 已 知
f(1)
＝
3
，
f(n
＋
1)
＝
fn＋1 2
(n
∈
N*)
．
则
f(4)＝
________.
(2)数列{an}中，an＋1＝2＋2aan n(n∈N*)，且 a7＝12，则 a5＝
________. (3)数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，则 a4＝
________.
[审题视点] 先观察各项的特点，然后归纳出通项公式， 要注意项与项数的关系及项与前后项的关系．
高考数学一轮复习 第5章 数列 第1节 数列的概念与简单
第五章数列[深研高考·备考导航]为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情]1．从近五年全国卷高考试题来看：数列一般有两道客观题或一道解答题，其中解答题与解三角形交替考查，中低档难度．2．从知识上看：主要考查等差数列、等比数列、a n与S n的关系、递推公式以及数列求和，注重数列与函数、方程、不等式的交汇命题．3．从能力上看：突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查，加大对探究、创新能力的考查力度．[导学心语]1．重视等差、等比数列的复习，正确理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式，灵活运用公式进行等差、等比数列基本量的计算．2．重视a n与S n关系、递推关系的理解与应用，加强由S n求a n，由递推关系求通项，由递推关系证明等差、等比数列的练习．3．数列是特殊的函数，要善于用函数的性质，解决与数列有关的最值问题，等差(比)数列中共涉及五个量a1、a n、S n、d(q)、n，“知三求二”，体现了方程思想的应用．一般数列求和，首先要考虑是否能转化为等差(比)数列求和，再考虑错位相减、倒序相加、裂项相消、分组法等求和方法．重视发散思维、创新思维，有意识地培养创新能力．第一节数列的概念与简单表示法———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列a n＋1>a n其中n∈N*递减数列a n＋1<a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．6．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) (4)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49D ．64A [当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.]3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图511)．图511则第7个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30B [由题图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.] 4．(教材改编)数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是__________．n 2n －1 [由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n 2n －1.] 5．(2014·全国卷Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝__________.12 [由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1， ∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，…，∴{a n }是以3为周期的数列，∴a 1＝a 7＝12.]由数列的前几项归纳数列的通项公式(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1,7，－13,19，…； (4)3,33,333,3 333，….[解] (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.3分 (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…， 所以a n ＝2n－12n .6分(3)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6.故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5).9分(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n－1).12分[规律方法] 1.求数列通项时，要抓住以下几个特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征；(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整，可代入验证归纳的正确性．[变式训练1] (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *) B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n 2n ＋1(n ∈N *)(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝__________.【导学号：31222171】(1)C (2)2n ＋1n 2＋1[(1)注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.]由a n 与S n 的关系求通项a nn n n (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .[解] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，3分 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.5分 (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.7分当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式.10分 ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.12分[规律方法] 由S n 求a n 的步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段函数的形式．易错警示：利用a n ＝S n －S n －1求通项时，应注意n ≥2这一前提条件，易忽视验证n ＝1致误．[变式训练2] (2017·石家庄质检(二))已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2A [由S n ＝2a n －4可得S n －1＝2a n －1－4(n ≥2)，两式相减可得a n ＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．又a 1＝2a 1－4，a 1＝4，所以数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，则a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故选A.]由递推公式求数列的通项公式根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. [解] (1)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n2.4分(2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2.8分(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，因此a n ＝2·3n －1－1.12分[规律方法] 1.已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n ；已知a 1(a 1≠0)，且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n . 2．已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为{a n ＋k }为等比数列．易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a 1是否适合所求式，(3)中常见错误是忽视判定首项是否为零．[变式训练3] (2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.4分(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1).7分 因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.9分 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.12分[思想与方法]1．数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n n ＝1，S n －S n －1n ≥2.3．由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法是： (1)a n ＋1－a n ＝f (n )型，采用叠加法． (2)a n ＋1a n＝f (n )型，采用叠乘法． (3)a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0，p ≠1)型，转化为等比数列解决． [易错与防范]1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．3．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．课时分层训练(二十八) 数列的概念与简单表示法A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋－1na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )【导学号：31222172】A.32B.53C.85D.23D [a 2＝1＋－12a 1＝2，a 3＝1＋－13a 2＝1＋－12＝12，a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1＋－1a 4＝23.] 2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )【导学号：31222173】A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，nC [根据定义，属于无穷数列的是选项A ，B ，C ，属于递增数列的是选项C ，D ，故同时满足要求的是选项C.]3．(2017·海淀期末)数列{a n }的首项a 1＝2，且(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则a 3的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [由(n ＋1)a n ＝na n ＋1得a n ＋1n ＋1＝a n n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列，则a n n ＝a 11＝2，即a n ＝2n ，所以a 3＝2×3＝6，故选B.]4．(2016·广东3月测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n＝( )A ．3(3n－2n) B ．3n＋2 C ．3nD ．3·2n －1C [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32(a n －1)－32(a n －1－1)，整理，得a n ＝3a n －1，由a 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3，∴a na n －1＝3，∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＝3n，故选C.] 5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 017＝( )【导学号：31222174】A.12 B ．－12C ．2D ．－2C [由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，得a n ＋1＝1＋a n1－a n，而a 1＝2，则有a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，故数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1a 2a 3a 4＝1， 所以T 2 017＝(a 1a 2a 3a 4)504a 1＝1504×2＝2.] 二、填空题6．(2016·辽宁大连双基检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n，则a 3＋a 4＝__________.12 [当n ≥2时，a n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a 3＋a 4＝22＋23＝12.]7．在数列－1,0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的第______项.【导学号：31222175】10 [令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08.]8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －an ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__________. 2n 2－n ＋2 [由已知得，1a n ＋1－1a n ＝n ，所以1a n －1a n －1＝n －1，1a n －1－1a n －2＝n －2，…，1a 2－1a 1＝1，所以1a n －1a 1＝n n －12，a 1＝1，所以1a n＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2.]三、解答题9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？[解] (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.3分 (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项.8分(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍去)． 所以从第7项起各项都是正数.12分10．已知S n 为正项数列{a n } 的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1；3分 S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4.5分(2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.8分由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·郑州二次质量预测)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( )A.215 B.225 C.235 D.245D [由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5，所以数列{na n }是首项为1，公差为5的等差数列，则20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝245，故选D.] 2．(2016·甘肃白银会宁一中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝ 1，a n ＋1＝3S n ，则a n ＝__________.⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2 [由a n ＋1＝3S n ，得a n ＝3S n －1(n ≥2)，两式相减可得a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n (n ≥2)，∴a n ＋1＝4a n (n ≥2)．∵a 1＝1，a 2＝3S 1＝3≠4a 1，∴数列{a n }是从第二项开始的等比数列，∴a n ＝a 2q n －2＝3×4n －2(n ≥2)．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.]3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．[解] (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.2分 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.5分(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，7分 又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3. 所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞).12分。
高考数学大一轮复习 第五章 数列 第一节 数列的概念与简单表示法教师用书 理-人教版高三全册数学试题
第一节数列的概念与简单表示法☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
(2)数列的分类常数列 a n ＋1＝a n按其他 标准分类有界数列存在正数M ，使|a n |≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法。
2．数列的通项公式 (1)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2。
微点提醒1．数列是按一定顺序排列的一列数，数列{a n }为a 1，a 2，a 3，…，a n 。
而集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的元素没有顺序。
2．数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号。
求数列的通项公式就是找出数列的项a n 与项数n 的函数关系式。
根据数列的前几项求出的数列的通项公式不唯一。
3．数列不仅有递增数列、递减数列，还有常数列、摆动数列。
4．已知S n 求a n ，要对n ＝1和n ≥2两种情况进行讨论。
小|题|快|练一 、走进教材1．(必修5P 31例3改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋－1na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.23【解析】 由已知得，a 2＝1＋1a1＝1＋11＝2，a 3＝1－1a 2＝1－12＝12，a 4＝1＋1a 3＝1＋112＝3，a 5＝1－1a 4＝1－13＝23。
故选D 。
【答案】 D2．(必修5P 33A 组T 5改编)观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交所得的交点最多有________个。
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一、选择题
1．(2012天津月考)下列可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2……的通项公式的是( ) A ．a n ＝1B ．a n ＝－1n
＋1
2
C ．a n ＝2－|sin
n π
2
| D ．a n ＝
－1
n －1
＋32
解析：由a n ＝2－|sin
n π
2
|可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，
a 4＝2，….
答案：C
2．已知数列{a n }中，a 1＝b (b 为任意正数)，a n ＋1＝－1
a n ＋1
(n ＝1,2,3，…)，能使a n ＝b 的n
的数值是( )
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17 解析：a 1＝b ，a 2＝－
1b ＋1，a 3＝－b ＋1b
，a 4＝b ， ∴此数列的周期为3，
∴能使a n ＝b 的n 的数值满足n ＝3k －2(k ∈N *
)． 答案：C
3．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *
)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )
A ．5 B.7
2
C.92
D.132
解析：a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，知a 2n ＝2，a 2n －1＝1
2－2，
∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝7
2，故选B.
答案：B
4．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )
A ．a n ＝n 2
－n ＋1 B ．a n ＝n n －1
2 C ．a n ＝
n n ＋1
2
D ．a n ＝
n n ＋2
2
解析：从图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…
∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋1
2
.
答案：C
5．已知数列{a n }的通项a n ＝na
nb ＋c
(a 、b 、c 都是正实数)，则a n 与a n ＋1的大小关系是( ) A ．an >a n ＋1B ．a n <a n ＋1 C ．a n ＝a n ＋1D ．不能确定 解析：∵a n ＝
na nb ＋c ＝a b ＋
c n
，∵c
n
是减函数， ∴
a
b ＋
c n
是增函数，∴a n <a n ＋1.
答案：B
6．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *
)，则a 1 000等于( ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1
解析：方法一：a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *
)， 可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4… 由此可得a 1 000＝－1. 方法二：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，
a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1(n ∈N *)，
两式相加可得a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝a n ，
∴a 1 000＝a 166×6＋4＝a 4＝－a 1＝－1. 答案：D 二、填空题
7．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧
n 2
当n 为奇数时，－n 2
当n 为偶数时，
且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋
a 3＋…＋a 100＝______.
解析：当n 为奇数时，a n ＝n 2
－(n ＋1)2
＝－(2n ＋1)， 当n 为偶数时，a n ＝－n 2
＋(n ＋1)2
＝2n ＋1， ∴a n ＝(－1)n
(2n ＋1)，
∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝－3＋5－7＋…－199＋201＝2×50＝100. 答案：100
8．(金榜预测)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3－a x －3，
x ≤7，
a x －6
， x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *
，
若数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是______．
解析：由数列{a n }是递增数列，知⎩⎪⎨⎪
⎧
3－a >0a >1
f 7<f 8，
解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)． 答案：(2,3)
9．数列{a n }中，a n ＝|n －k |＋|n －2k |，若对任意的正整数n ，a n ≥a 3＝a 4都成立，则k 的取值范围为________．
解析：(1) a n ＝|n －k |＋|n －2k | ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3k －2n ， n ＜k k ， k ≤n ≤2k .2n －3k ， n ＞2k
其大致图象如图所示，
∴a 3＝a 4＝k ，
∴[3,4]⊆[k,2k ]，即⎩
⎪⎨⎪⎧
k ≤3
2k ≥4’
∴2≤k ≤3. 答案：2≤k ≤3 三、解答题
10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2
－n －30. (1)求数列的前三项，60是此数列的第几项； (2)n 为何值时，a n ＝0，a n ＞0，a n ＜0；
(3)该数列前n 项和S n 是否存在最值？说明理由． 解：(1)由a n ＝n 2
－n －30，得
a 1＝1－1－30＝－30， a 2＝22－2－30＝－28， a 3＝32－3－30＝－24.
设a n ＝60，则60＝n 2
－n －30. 解之得n ＝10或n ＝－9(舍去)． ∴60是此数列的第10项．
(2)令n 2
－n －30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)． ∴a 6＝0.
令n 2
－n －30＞0，解得n ＞6或n ＜－5(舍去)． ∴当n ＞6(n ∈N *
)时，a n ＞0. 令n 2
－n －30＜0，解得0＜n ＜6.
∴当0＜n ＜6(n ∈N *
)时，a n ＜0，n ＝6时，a n ＝0. (3)由a n ＝n 2－n －30＝(n －12)2－3014.n ∈N *
，
知{a n }是递增数列，
且a 1＜a 2＜…＜a 5＜a 6＝0＜a 7＜a 8＜a 9＜…， 故S n 存在最小值S 5＝S 6，S n 不存在最大值．。