高中数学人教新课标A版选修2-1(理科)第三章3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示同步练习A卷
高中数学人教新课标A版选修2-1(理科)第三章3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示同步练习B卷
高中数学人教新课标A版选修2-1（理科）第三章3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示同步练习B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共17分)1. （2分） (2016高二上·黄陵期中) （理）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．给出以下结论：① + + + = ；② + ﹣﹣ = ；③ ﹣ + ﹣ = ；④ • = • ；⑤ • =0，其中正确结论是（）A . ①②③B . ④⑤C . ②④D . ③④2. （2分）在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，若=x+2y+3z，则x+y+z等于（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·浙江学考) 在三棱锥中，若为的中点，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·西安期中) 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，，，则用向量，，可表示向量 =（）A .B .C .D . ﹣5. （2分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则（）A .B .C .D .6. （2分）在直角梯形中，，，,，点在线段上，若，则的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，++=（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·荔湾期末) 如图，空间四边形OABC中， = ， = ， = ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则 =（）A . ﹣ + +B . ﹣ +C . + ﹣D . + ﹣9. （1分） (2017高二下·孝感期中) 已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底．若向量在基底下的坐标为（1，2，3），则在基底下的坐标为________．二、填空题 (共2题；共2分)10. （1分）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________ ．11. （1分）在正方体中，给出以下向量表达式：① ；② ；③ ；④ .其中能够化简为向量的是________．三、解答题 (共3题；共20分)12. （10分）如图所示，在正四棱柱中，，分别为底面、底面的中心，，，为的中点，在上，且 .（1）以为原点，分别以，所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．（2）以 D 为原点，分别以，DC，DD1所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．13. （5分）已知向量，，分别平行于x轴，y轴，z轴，他们的坐标各有什么特点？14. （5分） (2015高二上·西宁期末) 设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心，求证：．参考答案一、单选题 (共9题；共17分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共2题；共2分)10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共20分)12-1、12-2、13-1、14-1、。
【人教A版】高中选修2-1数学：3.1.4-空间向量的正交分解及其坐标表示
解答
类型三 空间向量的坐标表示
解答
解答
引申探究
解答
用坐标表示空间向量的步骤
反思与感悟
答案 解析
∵OM＝2MA，点M在OA上，
当堂训练
1.在以下三个命题中，真命题的个数是 答案 解析
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则
梳理
(1)空间向量基本定理
条件 三个 不共面 的向量a，b，c和空间任一 向量p 结论 存在有序实数组{x，y，z}，使得_p_＝__x_a_＋__y_b_＋__zc_
(2)基底 条件：三个向量a，b，c 不共面 . 结论： {a，b，c} 叫做空间的一个基底. 基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量.
a、b共线；
③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}
构成空间的一个基底.
A.0
B.1
√C.2
D.3
①正确.基底的量必须不共面；②正确； ③不正确.a，b不共线，当c＝λa＋μb时，a、b、c共面，故只有①②正确.
1 2345
2.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k， c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是 答案 解析
知识点二 空间向量的坐标表示
思考1
平面向量的坐标是如何表示的？ 答案
在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量 i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知， 有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a 都可由x，y惟一确定，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标， 记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
高中数学新人教A版选修2-1精品课件3.1.4《空间向量运算的正交分解及基坐标表示》课件
空间向量及其运算-共线与共面
复习问题引入 练习1、2
共面向量定 理
3
复习回顾: 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 向量． a 平行于 b 记作 a // b ． 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
2.共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 ， b（ b ≠ 0 ）
13
14
15
D1 A1 D A B1 E
C1
F
B
C
16
1答案
2答案
证明: 设正方体的棱长为1,
A1
D1
z
C1 B1
建立如图的空间直角坐标系
A
D F
E C
y
x
B
17
18
1.基本知识：
（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；
（2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。
19
20
分析:
Байду номын сангаас
证三点共线可 尝试用向量来分析.
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求
的值.
6
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求 的值.
学习共面
7
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
共线与共面分析
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b . 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
高中数学人教A版选修2-1配套课件：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
牛刀小试 4 ．若a＝3e1 ＋2e2 －e3，{e1 ，e2，e3}为空间的一个单位正 交基底，则a的坐标为__________． [答案] (3,2，－1)
→ → → → [解析] (1)∵OA＋OB＋OC＝3OM， → → → → → → ∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)． → → → → → ∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC. → → → ∴向量MA，MB，MC共面． → → → (2)由(1)知，向量MA，MB，MC共面，三个向量又有公共 起点 M，∴M、A、B、C 共面，即点 M 在平面 ABC 内．
定不共面，因此必定不共线，都是非零向量，∴A错，D错，B
正确；△ABC为直角三角形时不一定角A为直角，故C错．
空间向量的正交分解与坐标表示 温故知新
2．复习平面向量的正交分解与坐标表示． 思维导航 2 ．类比平面向量的正交分解，空间向量也可以正交分 解，请思考此时的基底应满足什么条件？
如何选取基底才能实现将空间向量用坐标表示，且计算方
向量，它们可能共面，此时 {a ， b ， c} 不可能成为空间的一个 基底．
6．已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外的一点 M 满 → 1→ 1→ 1→ 足OM＝3OA＋3OB＋3OC. → → → (1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.1 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 (共72张PPT)
人生终有许多选择。每一步都要慎重。但是一次选择不能决定一切。不要犹豫，作出选择就不要后悔。只要我们能不屈不挠地奋斗，胜利就 在前方。 一个人最炫耀什么，说明其内心最缺乏什么；一个人越在意的地方，也是其最自卑的地方。 我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 问候不一定要慎重其事，但一定要真诚感人。 人必须有自信，这是成功的秘密。 同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。 希望，只有和勤奋作伴，才能如虎添翼。 人总是在失去了才知道珍惜！ 当你能飞的时候就不要放弃飞。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道。 不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！ 你既认准这条路，又何必在意要走多久。 当你能飞的时候就不要放弃飞。
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(共20张ppt) .ppt
成空间的一个基底
D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
4．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点， 且OuuAr＝ar ，OuuBr＝br ，OuuCr＝cr ，用ar ，br ，cr 表示向量MuuNr为 ( C )
单位向量 我们称它们为单位正交基底，
以er1，er 2，er 3的公共起点O为原点， 分别以er1，er 2，er 3的方向为x轴，y轴，z轴的正
方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间
任意一个向量pr ，一定可以把它平移，使它的
uur 起点与原点O重合，得到向量OP
=
pr .由
空间向量基本定理可知，存在有序实数组 {x，y，z}，使得pr ＝xer1＋yer 2＋zer 3 我们把x，y，z称作向量pr 在单位正交基底er1，er 2，er 3 下的坐标，记作pr =(x，y，z). 此时向量pr 的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz
探究点1 空间向量基本定理
rrr
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，
且有公共起点O.对于空间任意一个向量pr
=
uur OP,
rr
设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影，
由平uur面r 向量基本定理可知，
z
在OQ,k所确定的平面上，
uur uur r
存在实数z，使得OP = OQ + zk,
中的坐标 x,y,z.
由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量
都可以用三个不共面的向量表示出来.
例1.如图，M，N分别是四面体OABC的
边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.
高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
BC的中点, P,Q是MN的三等分点.用向量OA,OB,OC
表示OP和OQ.
O
解 OP OM MP 1 OA 2 MN M
1 OA 2
2 ON OM
3
Q
23AΒιβλιοθήκη 1 OA 2 [1 (OB OC) 1 OA]
P
C
N
2
32
2
B
1 OA 1 OB 1 OC 1 OA 2333
2 ON OM
3
Q
23
A
1 OA 12 [1 (OB OC) 1 OA]
P
C
N
2
32
2
B
1 OA 1 OB 1 OC 1 OA
2
63
36
36
3.116
1 OA 1 OB 1 OC
36
63
36
1空.平间面向量的坐标表示
如图,在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方、向z轴相方同向
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
的两三个单位向量 i、 j 作、为k 基作底为, 基底,
任何一个向 量 a , 由 空平间面 向量基本定理知, y
有且只有一 对组 实数 x、y, z, 使得
a xi y j zk ············向量表示
新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.1.4
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时过关·能力提升基础巩固1下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.2已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.3在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是()⃗⃗⃗⃗⃗ 与点B的坐标相同A.向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与点A的坐标相同B.向量ABC.向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标相同 D.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标相同4点A (-1,2,1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为( ) A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)A 在x 轴投影知y=0,z=0,由点A 在xOy 平面投影知z=0.故选B .5设{i ,j ,k }是空间的一个单位正交基底,a =2i -4j+5k ,b=i+2j-3k ,则向量a ,b 的坐标分别为 , .-4,5) (1,2,-3)6已知{a ,b ,c }是空间的一个基底,下列向量可以与p =2a -b ,q =a +b 构成空间的另一个基底的是 (填序号).①2a ②-b ③c ④a +c7如图,在边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,取点D 为原点建立空间直角坐标系,已知O ,M 分别是AC ,DD 1的中点,写出下列向量的坐标.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ,OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .-2,0,1) (1,1,2)8如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=2CD ,点O 为空间任一点,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用a ,b ,c 表示为 .-12b +c9如图所示,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,建立适当的空间直角坐标系,求BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,则BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1).10已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M ,N 分别是AB ,PC 的中点,并且PA=AD=1,如图所示,设DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 3,以{e 1,e 2,e 3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz ,求向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.DC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2. ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2-e 1-e 3, ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12PC ⃗⃗⃗⃗⃗=-12e 2+e 3+12(e 2-e 1-e 3)=-12e 1+12e 3.∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,12),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0). 能力提升1有下列叙述:①在空间直角坐标系中,x 轴上的点的坐标一定是(0,b ,c );②在空间直角坐标系中,在yOz 平面上点的坐标一定可写成(0,b ,c ); ③在空间直角坐标系中,在z 轴上的点的坐标可记作(0,0,c ); ④在空间直角坐标系中,在xOz 平面上点的坐标是(a ,0,c ).其中正确的个数是( ) A.1B.2C.3D.4错,x 轴上的点的坐标应是(a ,0,0).②③④正确.2如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,设A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是 ( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.12a -12b +cD.-12a -12b +c1M =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12(-a +b )=-12a +12b +c .3设p :a ,b ,c 是三个非零向量;q :{a ,b ,c }为空间的一个基底,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件a ,b ,c 不共面时,{a ,b ,c }可以当基底,否则不能当基底.当{a ,b ,c }为基底时,一定有a ,b ,c 为非零向量.4如图,在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在OA 上,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,N 是BC 的中点,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a +y b +z c ,则x ,y ,z 的值为( ) A.12,-23,12B.-23,12,12C.12,12,-23 D.23,23,-125已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3,-1),把AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 按向量(2,1,1)平移后所得向量的坐标是 .-4,-3,-1)6设{i ,j ,k }是空间向量的单位正交基底,a =3i+2j-k ,b=-2i+4j+2k ,则向量a ,b 的关系是 .a ·b =-6i 2+8j 2-2k 2=-6+8-2=0,∴a ⊥b .⊥b7已知在空间四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2c ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a+6b-8c ,对角线AC ,BD 的中点分别为E ,F ,则EF⃗⃗⃗⃗⃗ = .EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴两式相加,得2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ).∵E 为AC 的中点,F 为BD 的中点,∴EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2c )+(5a+6b-8c )=6a+6b-10c .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a+3b-5c .a+3b-5c8已知向量p 在基底{a ,b ,c }下的坐标是(2,3,-1),求p 在基底{a ,a +b ,a +b +c }下的坐标.p =2a +3b -c .设p =x a +y (a +b )+z (a +b +c )=(x+y+z )a +(y+z )b +z c ,则有{x +y +z =2,y +z =3,z =-1,解得{x =-1,y =4,z =-1,故p 在基底{a ,a +b ,a +b +c }下的坐标为(-1,4,-1).9已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中x ,y ,z 的值.⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(A 'B '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'B '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗.∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴x=12,y=12,z=1.★10如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥平面B 1AC.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,把向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1和B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别用a ,b ,c 表示出来,证明A F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,有a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0. 则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(-a +b +c ),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b . ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a +b +c )·(a +b ) =12(|b |2-|a |2)=0.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即EF ⊥AB 1. 同理EF ⊥B 1C.∵AB 1∩B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.。
人教新课标A版高二数学《选修2-1》3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示
A
B
×
√
C
D
×
×
变式训练
如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则( A．a与b共线 C． a与b反向 B．a与b同向 D．a与b共面 )
【解析】由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底， B，C都是A的一种情况，空间中任两个向量都是共面的．故D错． 【答案】 D
典例导航
题型二：用基底表示向量
解:
变式训练
典例导航
题型三：空间向量的坐标表示
P
1.建立合适的坐标系 2.将向量进行分解 3.由坐标定义写出坐标
B
A M
N D C
典例导航
解:
z
P
Nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A B x M C D y
变式训练
已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(2,3，－1)，
求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标． 解得：x=－1，y=4，z=－1 ∴所求坐标为(－1,4, －1)
走进教材
空间
平移
起点
向量
的坐 x，y，z
标表
示
自主练习
C
自主练习
C
自主练习
(1,1，－1) (－1,0,1)
典例导航
题型一：基底的有关问题
典例导航
选项 判断 原因分析 由空间向量基本定理知，空间中任何一个向量必须由 不共面的三个向量才能表示 基向量不共面，因此不可能有零向量 基底中的两个基向量是可以垂直的，正交基底中三个 基向量两两垂直 基底的构成必须是三个不共面的向量
谢谢大家！
x+y+z=2 ∴ y+z=3 z=-1
归纳小结
推荐-高中数学人教A版选修2-1课件 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 课件(14张)
习 2、判断 O,A,： B,C为空间四点O， ,A O且 ,BO向 C 不量
构成空间的,那 一么 个 O,点 基 A,B,底 C有什么共关 面 系？
例 2 . M ,N 分 别 是 四 面 体 O A B C 的 边 O A ,B C 的 中 点 ， P ,Q 是 M ,N 的 三 等 分 点 。 用 向 量 O A ,O B ,O C 表 示 O P 和 O Q .
四、数学应用
例 1 . 已 知 向 量 a ,b ,c 是 空 间 的 一 个 基 底 ， 从 a ,b ,c 中 选 哪 一 个 向 量 ，
一 定 可 以 与 向 量 基 底 ？
答 ：c向 ，量 因 为 c与 如 ab， 果 ab共 面 ， c与 那 a， b共 么面 ， 这 与 已 知 矛 盾
△ACD和△BCD的重心，以向量 AB,AC,AD为一
个基底，求 F G (用基底表示)
A
F
B
D
G E
C
五、课堂小结
今天我们学习了什么内容？你有哪些收获？
平面向量 基本定理
空间向量 基本定理
如 果 e1,e2是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 ， 那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 意 向 量 a,
1OA1(ONOM)
M
23
Q
1OA1(ON1OA) A 23 2
P
C
1OA 1ON 33
N B
1O A11(O BO C) 3 32
1OA1OB1OC 36 6
练 习 2.已 知 平 行 六 面 体 O A B C -O A B C ,点 G是 侧 面 B B C C 的 中 心 ，
高中数学人教A版选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标运算(系列三)
∴O→E＝12(O→A＋O→B)， C→G＝2C→E＝2(O→E－O→C)
33 ∴O→G＝O→C＋C→G＝ O→C＋2(O→E－O→C)＝
3 13(O→A＋O→B＋O→C) ∴λ＝3.
答案：3
5．如图 2，四棱锥 P—OABC 的底面为一矩形， 设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E、F 分别是 PC 和 PB 的中点，用 a，b，c 表示B→F、B→E、A→E、E→F.
D．既不充分也不必要条件
解析：当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底， 否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为 非零向量．
答案：B
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b， q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a
B．b
C．a＋2b
有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量组成的集合 就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个集合可以看作是由 向 量 a 、 b 、 c 生 成 的 ， 我 们 把 {a ， b ， c} 叫 做 空 间 的 一 个 基 底．a、b、c叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构 成空间的一个基底．
人教版 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
空间向量的正交分解及其坐标 表示
学习目标
1.了解空间向量的正交分解的含义． 2．掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理
解决一些简单问题． 3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出
向量的坐标.
新知导入
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在
高中数学新人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
所以(x-x')a+(y-y')b+(z-z')c=0.
又a,b,c不共面,所以x-x'=0,y-y'=0,且z-z'=0,即x=x',y=y',且z=z'.
所以p=xa+yb+zc的表示情势是唯一的.
重难聚焦
2.空间向量的坐标表示
剖析:(1)单位正交基底.如果空间的一个基底的三个基向量互相
典例透析
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个
基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},
其中可以作为空间的基底的向量组有(
)
A.1个 B.2个 C.3个D.4个
典例透析
题型一
.
答案:(3,2,-1),(-2,4,2)
重难聚焦
1.空间向量基本定理的证明
剖析:(1)存在性:分四步,如图所示.
①平移:设 a,b,c 不共面,过点 O作 =a, =b, =c, =p;
②平行投影:过点 P 作直线 PP'∥OC,交平面 OAB 于点 P',在平
面 OAB 内过点 P'作 P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线 OA,OB 交于点
重难聚焦
(3)空间向量的坐标.给定一个空间直角坐标系和向量 a,且设
i,j,k 为坐标向量,则存在有序实数组{x,y,z},使 a=xi+yj+zk,把 x,y,z 叫
高中数学(人教A版)选修2-1教师用书3.1第4课时 空间向量的正交分解及其坐标表示 Word版含答案
第课时空间向量的正交分解及其坐标表示[核心必知]．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材～的内容，回答下列问题．()观察教材－图－，，，是空间三个两两垂直的向量，且有公共点.对于空间任一向量＝，设点为点在，所确定的平面上的正投影．由平面向量基本定理可知，存在实数，使得＝＋，又因为在，确定的平面上，存在实数，，使得＝＋，所以＝＋＋.在空间中，如果用三个不共面向量，，，代替两两垂直的向量，，，你能得出什么结论？提示：对于空间任一向量，存在有序实数组，使得＝＋＋成立．()设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量，若以为坐标原点，，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．是否存在实数组{，，}，使得＝＋＋成立？提示：由空间向量基本定理可知，一定存在实数组{，，}，使得＝＋＋成立．．归纳总结，核心必记()空间向量基本定理如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{，，}，使得＝＋＋．其中{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量．()空间向量的正交分解及其坐标表示①单位正交基底三个有公共起点的两两垂直的单位向量，，称为单位正交基底．②空间直角坐标系以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.③空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量＝，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{，，}，使得＝＋＋．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作＝(，，)，即点的坐标为(，，)．[问题思考]()平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？提示：三个向量不共面．()空间向量的基底是唯一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面的向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不唯一．()能是基向量吗？提示：由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是，所以不能是基向量．()基底和基向量是同一个概念吗？有什么区别？提示：一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点：()空间向量基本定理的内容是：；()基底和基向量的概念是：；()单位正交基底的概念是：；()如何用坐标表示空间向量？．[思考] 向量，，能构成基底的条件是什么？名师指津：，，不共面．讲一讲．已知{，，}是空间的一个基底，且＝＋－，＝－＋＋，＝＋－，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？[尝试解答]假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数、，使得＝＋成立．∴＋－＝(－＋＋)＋(＋－)＝(－＋)＋(＋)＋(－)，∵{，，}是空间的一个基底，∴，，不共面，∴此方程组无解，即不存在实数、，使得＝＋成立．∴，，不共面．故{，，}能作为空间的一个基底．。
2013年高二数学(新课标人教A版选修2-1)课件3.1.4《空间向量的正交分解》
空间中一点P(a，b，c)关于xOy面、xOz面、yOz面、x轴、y轴、 z轴及坐标原点对称的点的坐标分别为P1(a，b，－c)，P2(a， －b，c)，P3(－a，b，c)，P4(a，－b，－c)，P5(－a，b，－c)， P6(－a，－b，c)，P7(－a，－b，－c)．
题型一 基底的判断
【例1】 若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c ＋a}能否作为该空间的一个基底． [思路探索] 可先用反证法判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面， 若不共面，则可作为一个基底，否则不能作为一个基底．
解 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底， ∴a，b，c不共面，
组(x，y，z)，使得 p＝_x_e_1_＋__y_e_2＋___ze_3__．我
们称 xe1，ye2，ze3 为向量O→P在 e1，e2，e3 上的分向量，把_x_，__y_，__z_称作向量 p 在单
位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作 _p_＝__(_x_，__y_，__z_)_．
试一试：你能写出空间直角坐标系，坐标轴或坐标平面上 的向量的坐标吗？ 提示 xOy 平面上的点的坐标为(x，y，0)，xOz 平面上的点 的坐标为(x，0，z)，yOz 平面上的点的坐标为(0，y，z)，x 轴上的点的坐标为(x，0，0)，y 轴上的点的坐标为(0，y， 0)，z 轴上的点的坐标为(0，0，z)．另外还要注意向量O→P的 坐标与点 P 的坐标相同．
单击此处进入 活页规范训练
题型二 用基底表示向量
【例2】 空间四边形 OABC 中，M，N 是△ABC，△OBC 的重心， 设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，用向量 a，b，c 表示向量O→M，O→N， →
高中数学人教A版选修2-13.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示.docx
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示1．以下四个命题中正确的是( )A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB→·AC→＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底2．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若BA→，BM→，BN→不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．43．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是( )A．a B．bC．c D．无法确定4．给出下列两个命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量OA→，OB→，OC→不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面．其中正确的命题是( )A．仅①B．仅②C．①②D．都不正确5．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则(x，y，z)为( )1A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 6．对于空间的四个向量a ，b ，c ，d 最多能构成的基底个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1，－1)，则p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为________，在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为________．8．三棱锥P －ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．9．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点E 是上底 面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中的x 、y 、z 的值：(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.(2)AE →＝xAD→＋yAB →＋ zAA →. 10．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1.选取恰当的基底求向量MN →、DC →的坐标．3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示1. [答案] B[解析] 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其它三个不共面．．．的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B.2. [答案] D[解析] 根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由BA →、BM →、BN →共面且过相同点B ，故A 、B 、M 、N 共面．下面证明①④正确．①假设d 与a 、b 共面，则存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0， ∴存在实数k ，使d ＝k c ，∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ， ∴c 与a 、b 共面与条件矛盾．∴d 与a ，b 不共面．同理可证④也是正确的．3. [答案] C[解析] ∵a ＝12p ＋12q ，∴a 与p 、q 共面，∵b ＝12p －12q ，∴b 与p 、q 共面， ∵不存在λ、μ，使c ＝λp ＋μq ，∴c 与p 、q 不共面，故{c ，p ，q }可作为空间的一个基底，故选C.4. [答案] B[解析] ①对空间任意向量c ，都有c 与a 、b 共面，则必有a 与b 共线，∴①错；②∵OA →、OB →、OC →不能构成空间的基底，∴OA →、OB →、OC →必共面，故存在实数λ，μ，使OA →＝λOB →＋μOC →，∴O 、A 、B 、C 四点共面，∴②正确．5. [答案] A[解析] 连AG 1交BC 于E ，则E 为BC 中点， AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)，AG 1→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)，∵OG →＝3GG 1→＝3(OG 1→－OG →)，∴OG ＝34OG 1， ∴OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34(OA →＋13OB →－23OA →＋13OC →)＝14OA →＋14OB →＋14OC →，故选A. 6. [答案] D[解析] 最多的情况是a ，b ，c ，d 中任两个不共线，任三个不共面，从中任选三个都可做一组基底，共4个．7. [答案] (32，12，－1) (1,1,1)[解析] 由条件p ＝2a ＋b －c . 设p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则 p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，∵a 、b 、c 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝1z ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32y ＝12z ＝－1. 即p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(32，12，－1)， 同理可求p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为(1,1,1)．8. [答案] (12，0，－12) [解析] MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →)＝12BA →－12BP →， 即MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12. 9.[解析] (1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12AC ′→ ＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.∴x ＝12，y ＝12，z ＝1. 10. [解析] 如图所示，因为PA ＝AD ＝AB ＝1，且PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3.以{e 1，e 2，e 3}为基底．则∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋DC →) ＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2)＝－12e 1＋12e 3， DC →＝AB →＝e 2，∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，DC →＝(0,1,0)．。
2018-2019学年高中数学人教A版选修2-1讲义：第三章 3.1 3.1.4 空间向量的正交分
姓名，年级：时间：3．1。
4 空间向量的正交分解及其坐标表示预习课本P92～94，思考并完成以下问题1．空间向量基本定理的内容是什么?2．在空间向量中,基底的定义是什么？应满足什么条件?错误!1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x，y，z}，使得p ＝xa＋yb＋zc。
其中{a，b，c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示（1）单位正交基底:三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．（2）空间直角坐标系:以e1，e2，e3的公共起点O为原点,分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O。
xyz.(3)空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量错误!＝p，由空间向量基本定理可知,存在有序实数组｛x，y，z｝，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z 称作向量p在单位正交基底e1，e2,e3下的坐标，记作p＝（x，y，z），即点P的坐标为（x，y，z）．错误!1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√"，错误的打“×”)(1）只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底( )（2）向量错误!的坐标与点P的坐标一致（）（3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组｛λ1，λ2,λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3( ）答案：（1)×(2)×(3)×2．已知A（2，3－μ，－1＋ν）关于x轴的对称点是A′(λ，7，－6)，则λ,μ，ν的值为（）A．λ＝－2，μ＝－4,ν＝－5 B．λ＝2，μ＝－4，ν＝－5C．λ＝－2，μ＝10，ν＝8 D．λ＝2，μ＝10，ν＝7答案：D3．已知｛a,b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( ）A．a B．bC．a＋2b D．a＋2c答案：D4．设｛i，j,k｝是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k,b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________．答案：(3，2，－1) （－2,4，2)空间向量基本定理的理解［典例] 已知｛e123错误!12e3,错误!＝－3e1＋e2＋2e3,错误!＝e1＋e2－e3，试判断{错误!，错误!，错误!}能否作为空间的一个基底？[解］假设错误!，错误!,错误!共面，由向量共面的充要条件知存在实数x,y,使错误!＝x错误!＋y错误!成立．∴e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3)＝（－3x＋y）e1＋（x＋y）e2＋(2x－y)e3.∵｛e1，e2,e3}是空间的一个基底，∴e1,e2，e3不共面，∴错误!此方程组无解，即不存在实数x，y，使错误!＝x错误!＋y错误!成立．∴错误!，错误!，错误!不共面．故｛错误!,错误!，错误!｝能作为空间的一个基底．判断基底的方法判断给出的某一向量组能否作为基底,关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．[活学活用］设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c｝是空间的一个基底．给出下列向量组:①｛a，b，x｝;②{x,y,z｝；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c｝．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析:如图所设a＝错误!，b＝错误!，c＝错误!，则x＝错误!,y＝错误!，z＝错误!，a＋b＋c＝错误!。
人教A版高中数学选修2-1课后习题 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课后篇巩固提升1.设向量a,b,c不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A.{a+b,b-a,a}B.{a+b,b-a,b}C.{a+b,b-a,c}D.{a+b+c,a+b,c},易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底.2.已知向量{a,b,c}是空间的一个单位正交基底,向量{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(3,2,1),则它在{a+b,a-b,c}下的坐标为( )A.(12,52,1) B.(52,1,12)C.(52,12,1) D.(1,12,52)p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=3a+2b+c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以{x +y =3,x -y =2,z =1,解得{x =52,y =12,z =1.故p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(52,12,1).故选C. 3.在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x,y,z)为( ) A.(14,14,14) B.(34,34,34) C.(13,13,13) D.(23,23,23),连接AG 1交BC 于点E,则E 为BC 中点,AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3GG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OG⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OG=34OG 1. 则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗)=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC⃗⃗⃗⃗⃗ .4.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=4,BC=1,AA 1=3,已知向量a 在基底{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }下的坐标为(2,1,-3).若分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系,则a 的空间直角坐标为( ) A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3) C.(1,-8,9)D.(-1,8,-9)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -3AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ -3DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8j-i-9k=(-1,8,-9).5.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,A 1C 1与B 1D 1的交点为E,则BE⃗⃗⃗⃗⃗ = .,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a+12b+c.-12a+12b+c6.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB=2CD,点O 为空间任一点,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗ 用a,b,c 表示为 . a-12b+c7.下列关于空间向量的说法中,正确的有 . ①若向量a,b 与空间任意向量都不能构成基底,则a ∥b; ②若非零向量a,b,c 满足a ⊥b,b ⊥c,则有a ∥c;③若{OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ }是空间的一个基底,且OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A,B,C,D 四点共面;④若向量{a+b,b+c,c+a}是空间的一个基底,则{a,b,c}也是空间的一个基底.,若向量a,b 与空间任意向量都不能构成基底,则a,b 为共线向量,即a ∥b,故①正确;对于②,若非零向量a,b,c 满足a ⊥b,b ⊥c,则a 与c 不一定共线,故②错误;对于③,若{OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ }是空间的一个基底,且OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+13(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得到A,B,C,D 四点共面,故③正确;对于④,若向量{a+b,b+c,c+a}是空间的一个基底,则空间任意一个向量d,存在唯一实数组(x,y,z),使得d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c,由x,y,z 的唯一性,得x+z,x+y,y+z 也是唯一的.故{a,b,c}也是空间的一个基底,故④正确.8.如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ND ⃗⃗⃗⃗⃗ =13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,试用a,b,c 表示MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AN,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗ .由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b, MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a+b), 又A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b-c,故AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −ND ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b-13(b-c),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a+b)+b-13(b-c)=13(-a+b+c).9.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M,N 分别是AB,PC 的中点,并且PA=AD=1,如图所示,设DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 3,以{e 1,e 2,e 3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz,求向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2.∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2-e 1-e 3,∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12e 2+e 3+12(e 2-e 1-e 3)=-12e 1+12e 3.∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,12),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0).。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学人教新课标A版选修2-1（理科）第三章3.1.4 空间向量的正交分解及其坐
标表示同步练习A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共9题；共17分)
1. （2分）已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则+（+）等于（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若=+x+y，则x ﹣y等于（）
A . 0
B . 1
C .
D . -
3. （2分）若、、是空间不共面的三个向量，则与向量+和向量﹣构成不共面的向量是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P点在线段MN上，且MP=2PN，设=，=，=，则=（）
A . ++
B . ++
C . ++
D . ++
5. （2分） (2017高二上·泉港期末) 已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且
，用a，b，c表示，则等于（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）设，为不共线向量，=+2，=4-，=5-3，则下列关系式中正确的是（）
A . =
B . =2
C . =-
D . =-2
7. （2分） .如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2015高二上·昌平期末) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若 = ， = ， = ，则 =（）
A . （ + ﹣）
B . （ + ﹣）
C . （﹣）
D . （﹣）
9. （1分） (2016高二上·嘉兴期末) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和BC1相交于点O，若
，则 =________
二、填空题 (共2题；共2分)
10. （1分）已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），则|2﹣|=________
11. （1分）在正方体中，给出以下向量表达式：
① ；② ；
③ ；④ .
其中能够化简为向量的是________．
三、解答题 (共3题；共20分)
12. （10分）如图所示，在正四棱柱中，，分别为底面、底面
的中心，，，为的中点，在上，且 .
（1）以为原点，分别以，所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
（2）以 D 为原点，分别以，DC，DD1所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
13. （5分）已知=（3，4，5），=（2，﹣1，1），=（1，1，﹣1），=（0，3，3），求沿，，
的正交分解．
14. （5分）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M,N分别是OA,BC的中点，G是MN的中点，求证：
参考答案一、单选题 (共9题；共17分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
二、填空题 (共2题；共2分)
10-1、
11-1、
三、解答题 (共3题；共20分)
12-1、
12-2、13-1、14-1、。