17.1勾股定理习题课
人教版八年级下册数学 17.1 勾股定理 同步习题(含答案)
17.1 勾股定理同步习题知识点1 勾股定理1.如图,以直角三角形的三边a,b,c为边或直径,分别向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数是()A.1B.2C.3D.42.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为c,则下列关于a,b,c的关系式中不正确的是()A.b2=c2-a2B.a2=c2-b2C.b2=a2-c2D.c2=a2+b23.一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长为()A.5B. 7C.2D.5或74.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为()A.5B.6C.8D.105.在△ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于()A.10B.8C.6或10D.8或106.在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是()A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5知识点2 勾股定理与面积的关系7.如图,字母B所代表的正方形的面积是()A.12B.13C.144D.1948.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为()A.3B.4C. 5D.79.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是()A.48B.60C.76D.8010.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是()A.13B.26C.47D.94易错点考虑问题不全面而漏解(分类讨论思想)11.若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2=9,b2=16,则c2为()A.25B.7C.7或25D.9或16提升训练考查角度1 利用勾股定理求直角三角形中的边长12.如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=.(1)求DC的长;(2)求AB的长.考查角度2 利用勾股定理求三角形的面积13.在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.如图,作AD⊥BC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD→根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”,建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形面积探究培优拔尖角度1 利用勾股定理解非直角三角形问题(倍长中线法)14.如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.(1)求DB的长;(2)求△ABC中BC边上的高.拔尖角度2 利用勾股定理解四边形问题(补形法)15.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求: (1)AB的长;(2)四边形ABCD的面积.参考答案解：因为直角三角形的三边为a,b,c,所以应用勾股定理可得a2+b2=c2.第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个等边三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表示出3个半圆形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出3个等腰直角三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出3个正方形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.2.【答案】C3.【答案】D解：当两直角边长分别为3和4时,斜边长为=5;当斜边长为4时,另一条直角边长为=.故选D.4.【答案】C5.【答案】C解：根据题意画出图形,如图①所示,AB=10,AC=2,AD=6,在Rt△ABD和Rt△ACD中,根据勾股定理得BD==8,CD==2,此时BC=BD+CD=8+2=10;如图②所示,AB=10,AC=2,AD=6,在Rt△ABD和Rt△ACD中,根据勾股定理得BD==8,CD==2,此时BC=BD-CD=8-2=6,则BC的长为6或10.故选C.6.【答案】A解：如图,过A点作AF⊥BC于F,连接AP,因为在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,所以BF=4,所以在Rt△ABF中,AF2=AB2-BF2=9,所以AF=3,所以×8×3=×5×PD+×5×PE,即12=×5(PD+PE),解得PD+PE=4.8.7.【答案】C8.【答案】D解：利用勾股定理求出正方形的边长为10,阴影部分的面积为正方形面积与直角三角形面积之差.10.【答案】C11.错解:A诊断:容易忽略a,c为直角边长,b为斜边长这种情况,故很容易错选A.正解:C解题策略:解答此题要用分类讨论思想.此题有两种情况:a,b为直角边长,c为斜边长和a,c为直角边长,b为斜边长,利用勾股定理即可求解.12.解:(1)在Rt△BCD中,DC2=BC2-BD2=32-=,所以DC=.(2)在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2=42-=,所以AD=,所以AB=AD+BD=+=5.13.解:在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,设BD=x,则CD=14-x,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,所以152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.在Rt△ABD中,AD===12.所以S△ABC=BC·AD=×14×12=84.14.解:(1)∵DB⊥BC,BC=4,CD=5,∴BD==3.(2)如图,延长BD至E,使DE=BD,连接AE.∵D是AC的中点,∴AD=DC.在△BDC和△EDA 中,∴△BDC≌△EDA(SAS),∴∠DAE=∠DCB,∴AE∥BC.∵BD⊥BC,∴BE⊥AE.∴BE为△ABC中BC边上的高,∴BE=2BD=6.15.解:(1)如图,延长AD,BC交于点E,在Rt△ABE中,∠A=60°,∴∠E=30°.在Rt△CDE中,CD=4,∴CE=2CD=8,∴BE=BC+CE=6+8=14.设AB=x,则有AE=2x,根据勾股定理得:x2+142=(2x)2,解得x=,则AB=.(2)在Rt△CDE中,∠CDE=90°,∴DE===4.∴S=S△ABE-S△CDE 四边形ABCD =·AB·BE-·CD·DE=××14-×4×4=.。
初中数学人教版八年级下册第十七章17.1勾股定理
初中数学·人教版·八年级下册——第十七章勾股定理17.1 勾股定理基础闯关全练拓展训练1.在△ABC中,∠C=90°,2∠A=∠B,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则a∶b∶c等于()A.1∶2∶1B.1∶√2∶1C.1∶√3∶2D.1∶2∶√3答案C设∠A=x°,则∠B=2x°,∵△ABC中∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,即x°+2x°=90°,解得x=30,∴∠A=30°,∠B=60°,设a=1,∴c=2,由勾股定理得b=√c2-a2=√4-1=√3,∴a∶b∶c=1∶√3∶2.故选C.2.如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形,已知③号正方形的面积是1,那么①号正方形的面积是()A.4B.8C.16D.32答案C如图,根据勾股定理知④号正方形的边长为√12+12=√2,则②号正方形的边长为√(√2)2+(√2)2=2,⑤号正方形的边长为√22+22=2√2,则①号正方形的边长为√(2√2)2+(2√2)2=4,所以①号正方形的面积为4×4=16.故选C.3.(2016广西防城港期中)如图,长方体的长、宽、高分别为4cm,3cm,12cm,则BD'=.答案13cm解析连接BD,则BD=√42+32=5(cm),故BD'=√52+122=13(cm).4.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积等于.答案24cm2解析∵Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14cm,c=10cm,∴由勾股定理得a2+b2=c2,即(a+b)2-2ab=c2,∴196-2ab=100,即ab=48,则Rt△ABC的面积为1ab=24cm2.2能力提升全练拓展训练1.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt△ABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是.答案76解析在题图乙的四个大直角三角形中,两直角边长分别为5,12,所以斜边长为13,所以这个风车的外围周长为4×13+4×6=76.2.(2014山东潍坊中考)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,所以该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是尺.答案25解析由题意可知葛藤绕圆柱五周到达点B,故先把圆柱平均分成五段,将最下边一段圆柱的侧面展开图画出,并连接其对角线,则该对角线的长即为每段的最短长度,为√32+42=5(尺),所以葛藤的最短长度为5×5=25尺,故答案为25.3.(2016山东聊城莘县期中)如图,已知直角△ABC的两直角边长分别为6,8,分别以其三边为直径向外作半圆,则图中阴影部分的面积为.答案24解析在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,根据勾股定理得:AB=√AC2+BC2=10,则S阴影=S半圆AC+S半圆BC+S△ABC-S半圆AB=322π+12×42×π+12×6×8-522π=24.4.如图,在长方形ABCD中,AD=4,DC=3,将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF(点A、B、E在同一直线上),连接CF,则CF=.答案5√2解析△AEF是由△ADC旋转得来的,可得△AEF≌△ADC,所以∠EAF=∠DAC,AF=AC.则△CAF是等腰直角三角形,所以CF=√FA2+CA2,又AC=√DA2+DC2=√42+32=5,所以CF=√52+52=5√2.三年模拟全练拓展训练1.(2016广东深圳翰林学校第一次月考,15,★★☆)如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B到点C的距离为5 cm,一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从A点爬到B点,需要爬行的最短距离是.答案25cm解析(1)当长方形NFGC与长方形CGAD展开在一个面上时,AB=√BD2+AD2=√152+202=25(cm);(2)当长方形NMDC与长方形CDAG展开在一个面上时,AB=√AG2+BG2=√102+252=5√29(cm);(3)当长方形NCGF与长方形FGAE展开在一个面上时,AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37(cm).因为25<5√29<5√37,所以蚂蚁需要爬行的最短距离是25cm.2.(2016河北保定模拟,23,★★☆)(1)如图①所示,分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,写出S1,S2,S3之间的关系(不必证明);(2)如图②,分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,确定它们的关系并证明;(3)如图③,分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,确定它们的关系并证明.解析(1)S2+S3=S1.(2)S2+S3=S1.证明:S3=π8AC2,S2=π8BC2,S1=π8AB2,∵三角形ABC是直角三角形,∴AC2+BC2=AB2,∴S2+S3=π8(BC2+AC2)=π8AB2=S1,∴S2+S3=S1.(3)S2+S3=S1.证明:S1=√34AB2,S2=√34BC2,S3=√34AC2,∵三角形ABC是直角三角形,∴AC2+BC2=AB2,∴S2+S3=√34(BC2+AC2)=√34AB2=S1,∴S2+S3=S1.五年中考全练拓展训练1.(2016湖南株洲中考,8,★☆☆)如图,以直角三角形的边a、b、c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数为()A.1B.2C.3D.4答案D根据勾股定理可得a2+b2=c2.(1)第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.(2)第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表示出3个半圆的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.(3)第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出3个等腰直角三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.(4)第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出3个正方形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.故满足S1+S2=S3的图形个数为4.2.(2016浙江杭州中考,9,★☆☆)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m<n),过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都为等腰三角形,则()A.m2+2mn+n2=0B.m2-2mn+n2=0C.m2+2mn-n2=0D.m2-2mn-n2=0答案C根据题意画图,如图.在Rt△ABC中,n>m且△ABE和△AEC均为等腰三角形,∴AB=BE=m,则AE=EC=n-m,根据勾股定理可得AE=√2AB,即n-m=√2m,两边平方整理得,m2+2mn-n2=0,故选C.3.(2014广西钦州中考,12,★☆☆)如图,在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中,从A点到B点只能沿图中的线段走,那么从A点到B点的最短路程的走法共有()A.1种B.2种C.3种D.4种答案C根据题意得出最短路径如图所示,最短路程为√22+22+1=2√2+1,则从A点到B点的最短路程的走法共有3种.故选C.4.(2013四川雅安中考,17,★★☆)在平面直角坐标系中,已知点A(-√5,0),B(√5,0),点C在坐标轴上,且AC+BC=6,写出满足条件的所有点C的坐标.答案(0,2),(0,-2),(-3,0),(3,0)解析如图,①当点C位于y轴上时,设C(0,b).则√(√5)2+b2+√(√5)2+b2=6,解得b=2或b=-2,此时C(0,2)或C(0,-2).②当点C位于x轴上时,设C(a,0).则|-√5-a|+|a-√5|=6,即2a=6或-2a=6,解得a=3或a=-3,此时C(-3,0)或C(3,0).综上所述,满足条件的所有点C的坐标是(0,2),(0,-2),(-3,0),(3,0).核心素养全练拓展训练1.(2014浙江温州中考改编)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图①所示方式摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.图①图②证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab,又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b-a),∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a).∴a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图②完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图②所示方式摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.证明:连接.∵S五边形ACBED=,又∵S五边形ACBED=,∴.∴a2+b2=c2.证明连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab,又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a(b-a),∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),∴a2+b2=c2.2.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE;(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式√x2+4+√(12-x)2+9的最小值.解析(1)√(8-x)2+25+√x2+1.(2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小.(3)如图所示,作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,且AB=2,ED=3,连接AE交BD于点C.设BC=x,AE的长即为代数式√x2+4+√(12-x)2+9的最小值.过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得长方形ABDF,则AB=DF=2,AF=BD=12.所以AE=√122+(3+2)2=13.即√x2+4+√(12-x)2+9的最小值为13.。
2022八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第1课时勾股定理作业课件新版新人教版20221
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13．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法” 给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时， 都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：
∴12 b2＋21 ab＝12 c2＋12 a(b－a)， ∴a2＋b2＝c2. 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.
证明：如图，连接 BD，过点 B 作 DE 边上的高 BF，交 DE 的延长线于点 F，
则 BF＝b－a，∵S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝12 ab＋12 b2＋12 ab，又∵S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝12 ab＋12 c2＋12 a(b－a)，∴12 ab＋12 b2＋12 ab＝12 ab ＋12 c2＋12 a(b－a)，∴a2＋b2＝c2
将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2. 证明：连接 DB，过点 D 作 BC 边上的高 DF，交 BC 的延长线于点 F，则 DF＝EC ＝b－a.
∵S 四边形 ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝21 b2＋12 ab，
又∵S 四边形 ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝21 c2＋21 a(b－a)，
A． 3 B．3 C． 5 D．5
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
17.1_第5课时_勾股定理与图形的计算
2.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿 AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面 积. 解：易证△AFD′≌△CFB， ∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8-x，
在Rt△AFD′中，(8-x)2=x2+42， 解得x=3. ∴AF=AB-FB=8-3=5， 1 ∴S△AFC= 2 AF•BC=10．
(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x
的方程； (4)解这个方程，从而求出所求线段长.
巩固练习
1.导学方案第41页基础巩固第3题。
2.导学方案第40页难点探究第2题。
3.导学方案第43页展示交流第1题。
4.导学方案第43页展示交流第2题。
课堂检测
1.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°， ∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求 △BCD的面积． 解：∵AB=AD=8cm，∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形. ∵∠ADC=150°, ∴∠CDB=150°－60°=90°， ∴△BCD是直角三角形. 又∵四边形的周长为32cm， ∴CD+BC=32-AD-AB=32-8-8=16(cm). 设CD=x，则BC=16-x， 由勾股定理得82+x2=(16-x)2 1 解得x=6cm.∴S△BCD= 2 ×6×8=24(cm)2.
D E
F 要用到方 程思想
设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm ，B
在Rt△ECF中,根据勾股定理
C
得
x2+
42=(8－x)2
，
解得 x=3. 即EC的长为3cm.
【变式题】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形 纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处， 点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长. 解：连接BM，MB′.设AM＝x， 在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2. 在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2. ∵MB＝MB′， ∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2， 即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2， 解得x＝2. 即AM＝2.
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
八年级数学人教版下册习题课件17.1 勾股定理第1课时 勾股定理
A．4 B．16 7C．．(1襄6 D阳．中25 考)已知 CD 是△ ABC 的边 AB 上的高，若 CD＝ 3 ，AD
9．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为( )
D若．A最D＝大2正，方＝BC形＝1与4，直，角则A三ABB角2＝＋形C的2D面A2＝积C_和_，___求___．BC 的长．
2．如图，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．借助这个图 形，你能用面积法来验证勾股定理吗？
解：由图形可知12 (a＋b)(a＋b)＝12 ab＋12 ab＋12 c2，整理得(a＋b)2＝ 2ab＋c2，a2＋b2＋2ab＝2ab＋c2，∴a2＋b2＝c2，由此得到勾股定理
知识点2：利用勾股定理进行计算 3．(滨州中考)在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为( A ) A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，在△ ABC 中，AB＝AC，AD 是∠BAC 的平分线．已知 AB ＝5，AD＝3，则 BC 的长为( C ) A．5 B．6 C．8 D．10
第4题图
(2)若a∶c＝3∶5，b＝32，求a，c的值． A．4 B．6 C．16 D．25
1(13)．若(b2＝02205，·雅．c＝安(3)毕对，角求节线a的互中值相；考垂直)的如四图边形，叫做点“垂E美在”四正边形方，形现有A如B图所C示D的的“垂边美”A四B边形上AB，CD若，对角E线BA＝C，1B，D交于点O. (知2)识如点果1a：＝E勾1C6股，＝定c＝理22的0，，证则那明b＝么___正_．方形 ABCD 的面积为( B )
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D， 且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是( ) D
A.6 B．5 C．4 D．3
17.1 第1课时 勾股定理的验证
第1课时
勾股定理及拼图验证
(1) 如图 17－1－5 所示． (2) 证明：∵大正方形的面积表示为 (a ＋ b)2 ，又可表示为 c2 1 ＋4× ab， 2 1 ∴(a ＋b)2＝c2＋4× ab， 2 ∴a2 ＋b2＋2ab＝c2＋2ab， ∴a2 ＋b2＝c2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
第1课时
勾股定理及拼图验证
新 知 梳 理
► 知识点一 勾股定理
勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边 的平方，即如果直角三角形的两条直角边长分别为 a ，b，斜边长为 a2 ＋b2 ＝c2 c，那么_________________．
[ 说明] 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长 的直角边称为股，斜边称为弦．
3∶2 ． °，BC∶AC∶AB＝1∶ ___________
第1课时
勾股定理及拼图验证
图17－1－7
图17－1－8
第1课时
勾股定理及拼图验证
2 2 2 2 2
[解析] (1)∵c ＝a ＋b ＝5 ＋12 ＝169 ， ∴c＝13. (2)∵c2＝b2－a2 ＝42－32＝7，∴c＝ 7. (3) 设 AC＝BC＝ a， 则 AB＝ AC2＋ BC2＝ 2a2 ＝ 2a， 故 AC∶BC∶AB＝1∶1∶ 2. (4) 设 BC＝a，∵∠A＝30°， ∴AB ＝2a，由勾股定理， 得 AC＝ AB2－ BC2＝ （2a ）2－a2＝ 3a， ∴BC ∶AC∶AB＝a ∶ 3a∶2a＝1 ∶ 3 ∶2.
[答案] 10
第1课时
勾股定理及拼图验证
[解析] 如图17－1－3. 根据勾股定理的几何意义，正方形 A， B的面积之和为正方
17.1第1课时勾股定理及验证
图 17－1－13
第1课时 勾股定理及验证
解：证明：连接 DB，过点 B 作 DE 边上的高 BF，则 BF＝b－a. 1 1 ∵S 五边形 ACBED＝S 梯形 ACBE＋S△AED＝ (a＋b)b＋ ab， 2 2 1 1 2 1 又∵S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ADB＋S△BED＝ ab＋ c ＋ a(b－a)， 2 2 2 1 1 1 1 2 1 ∴ (a＋b)b＋ ab＝ ab＋ c ＋ a(b－a)， 2 2 2 2 2 ∴a2＋b2＝c2.
第1课时 勾股定理及验证
C拓广探究创新练
15．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其 中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角 三角形如图 17－1－12 或图 17－1－13 摆放时， 都可以用“面积法” 来证明．下面是小聪利用图 17－1－12 证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图 17－1－12 所示的方式摆放，其中 ∠DAB＝90° ，求证：a ＋b ＝c .
第1课时 勾股定理及验证
14．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的 一种新的证明方法． 如图 17－1－11 所示， 火柴盒的一个侧面 ABCD 倒下到四边形 AB′C′D′的位置，连接 CC′，AC′，AC，设 AB＝a， BC＝b，AC＝c，请利用四边形 BCC′D′的面积验证勾股定理： a2 ＋b ＝c .
图17－1－7
第1课时 勾股定理及验证
10．[2018· 凉山州] 如图 17－1－8，数轴上点 A 对应的数为 2， AB⊥OA 于点 A，且 AB＝1，以 O 为圆心，OB 长为半径作弧， 交数轴于点 C，则 OC 的长为( D ) A．3 B. 2 C. 3 D. 5
2022春八年级数学下册 第十七章 勾股定理17.1 勾股定理第1课时勾股定理习题课件新人教版
∵S△ABC＝3×3－12×1×2－12×1×3－12×2×3＝72，
∴12AC·BD＝72，∴ 13·BD＝7，
∴BD＝7
13 13 .
【答案】D
*6. (2020·孝感)如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方 形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周 髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”. 在此图形中连接 四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为 S1，空白 部分的面积为 S2，大正方形的边长为 m，小正方形的边长为 n， 若 S1＝S2，则mn 的值为________.
13. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20 m， BC＝15 m，CD＝7 m，求四边形 ABCD 的面积.
【点拨】将不规则四边形分割成特殊的三角形，再 利用特殊的三角形性质求面积．
解：如图，连接AC. 因为∠B＝∠D＝90°， 所以△ABC与△ACD都是直角三角形．
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， 得 AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，则 AC＝25 m. 在 Rt△ACD 中， 根据勾股定理，得 AD2＝AC2－CD2＝252－72＝576，则 AD＝24 m. 故 S 四边形 ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12AB·BC＋12AD·CD＝12×20×15＋12 ×24×7＝234(m2)．
(A) A. 18
B. 9
C. 6
D. 无法计算
3. (中考·滨州)在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为( A )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为 AB 边上的高， CE＝BE，AD＝2，CE＝5，则 CD 等于( C )
17.1 勾股定理(第一课时 勾股定理的证明)(练习)(解析版)八年级数学下册(人教版)
第十七章勾股定理17.1 勾股定理（第一课时勾股定理的证明）精选练习答案一、单选题（共10小题)1．（2020·山东青岛市·八年级期中）若实数m、n满足|m﹣3|+4n-＝0，且m、n恰好是Rt的两条边长，则的周长是（）A．5 B．57C．12 D．12或7【答案】D【分析】根据非负数的性质分别求出m、n，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】n-0，∵|m﹣4n-0，∴|m﹣3|＝04∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，解得，m＝3，n＝4，当422+5，34则△ABC的周长＝3+4+5＝12，当422-7，43则△ABC的周长＝7＝7故选：D．2．（2020·吉林长春市·八年级期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（）A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】B【分析】 由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．【详解】设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S 1，S 2，S 3，大小正方形重叠部分的面积为S ，则由勾股定理可得：S 1+S 2=S 3，在图②中，S 1+S 2+3-S=S 3，∴S=3，故选：B ．3．（2020·广东清远市·八年级期末）下列各组数是勾股数的是（ ）A ．4，5，6B ．5，7，9C ．6，8，10D ．10，11，12【答案】C【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数a 、b 、c 叫做勾股数，逐一进行判断即可．【详解】解：A. 222456+≠，故此选项错误；B. 222579+≠，故此选项错误；C. 2226810+=，故此选项正确；D. 222101112+≠，故此选项错误．故选：C ．4．（2020·福建福州市·八年级期末）在平面直角坐标系中，点P(1-，3)到原点的距离是( ) A ．10 B ．4 C ．22 D ．2 【答案】A【分析】根据平面直角坐标系中，两点间的距离公式，即可求解．【详解】∵P(1-，3)，原点坐标为（0，0），∴点P(1-，3)到原点的距离=22(10)(30)10--+-=，故选A ．5．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ．若CD ＝2，BD ＝4，则AC 的长为( )A ．4B ．3C ．3D 3【答案】C【分析】 根据线段垂直平分线性质得出AD=BD ，再用勾股定理即可求出AC ．【详解】解：∵点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，BD=4，∴AD=BD=4，∴2222AC AD CD；4223故选：C．6．（2020·张掖市期中）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12 B．C．12或D．以上都不对【答案】C【详解】设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，=，此时这个三角形的周长．故选C7．（2020·江门市期中）在△ABC中，AB=10，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或10【答案】C【详解】分两种情况：在图①中，由勾股定理，得==;BD8===;CD2∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得==;BD8===;CD2∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故选C.8．（2020·河北张家口市·八年级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【详解】 如图所示，∵（a+b ）2=21∴a 2+2ab+b 2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选C ．9．（2020·山东泰安市·八年级期中）如图，直线L 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为1和9，则b 的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【详解】 试题分析：运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE ，然后证明△ACB ≌△DCE ，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，，∴△ACB≌△CDE（AAS），∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即S b=S a+S c=1+9=10，∴b的面积为10，故选C．10．（2020·伊宁市期中）若一个直角三角形的两直角边的长为12和5，则第三边的长为（）A．13119B．13或15 C．13 D．15【答案】C【分析】直角三角形中斜边最长，结合已知数据，利用勾股定理可求出第三边的长.【详解】当12，522+=12513.故第三边的长为13.故选:C.二、填空题（共5小题)11．（2020·南丹县期中）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．【答案】57【解析】试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：22-=；437②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：22435；∴第三边的长为：7或5．∆的周12．（2020·黑龙江绥化市期中）在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC长为_______________．【答案】32或42【分析】根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案【详解】当△ABC是钝角三角形时，∵∠D=90°，AC=13，AD=12，∴2222CD AC AD=-=-=,13125∵∠D=90°，AB=15，AD=12，∴2222BD AB AD=-=-=,15129∴BC=BD-CD=9-5=4，∴△ABC的周长=4+15+13=32；当△ABC是锐角三角形时，∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，∴2222=-=-=，13125CD AC AD∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，∴2222=-=-=，15129BD AB AD∴BC=BD-CD=9+5=14，∴△ABC的周长=14+15+13=42；综上，△ABC的周长是32或42，故答案为：32或42.13．（2020·广西防城港市·八年级期中）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__________cm2．【答案】17【解析】试题解析：根据勾股定理可知，∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.14．（2020·山东菏泽市·八年级期中）已知一直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm，则第三边上的高为________.【答案】4.8cm【分析】先由勾股定理求出斜边的长，再用面积法求解.【详解】解：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6cm ，BC =8cm ，CD ⊥AB ， 则2210AB AC BC =+=（cm ）， 由1122ABC S AC BC AB CD ==， 得6810CD ⨯=，解得CD =4.8(cm).故答案为4.8cm.15．（2020·广东韶关市·八年级期中）平面直角坐标系中，点()3,4P -到原点的距离是_____．【答案】5【分析】作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =，再根据勾股定理求解．【详解】作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =．则根据勾股定理，得5OP =．故答案为5．三、解答题（共2小题）16．（2020·湖南株洲市期末）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE 的长；（2）求△ADB 的面积．【答案】（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.【详解】（1）∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE ，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：2222AB AC BC 6810=+=+=， ∴△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522∆=⋅=⨯⨯=. 17．（2020·宿州期中）在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，CD ＝12，AD ＝13．（1）求AC 的长；11/1 （2）求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）5；（2）36【分析】（1）由勾股定理可得：22AC AB BC =+，从而可得答案；（2）先证明ACD △是直角三角形，再利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积和，从而可得答案．【详解】解：（1）∵∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，∴2222435AC AB BC =+=+=；（2）由（1）知，AC ＝5，∵CD ＝12，AD ＝13，∴AC 2+CD 2＝22251216913+===AD 2，∴ACD △是直角三角形，∠ACD ＝90°，∵AB ＝4，BC ＝3，∠B ＝90°，AC ＝5，CD ＝12，∠ACD ＝90°，∴四边形ABCD 的面积是，即四边形ABCD 的面积是36．。
人教版数学八年级下册-17.1-勾股定理-同步练习
人教版数学八年级下册17.1 勾股定理 课堂练一、选择题1.如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB=5，BD=4，DC=2，则AC 等于（B ）A.13B.C.D.52．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为( D )A. 60海里B. 45海里3.一直角三角形的三边分别为2、3、x ，那么x 为（ C ）A. B. C.或 D.无法确定4. 右图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”,它解决的数学问题是( C )A. 黄金分割B. 垂径定理C. 勾股定理D. 正弦定理5.如图，是台阶的示意图.已知每个台阶的宽度都是20cm ，每个台阶的高度都是10cm ，连接AB ，则AB 等于（ B ）A.120cmB.130cmC.140cmD.150cm6.如图，每个小正方形的边长为1,A,B,C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ D ）A. 90°B. 60°C. 30°D. 45°7.如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形边长为7cm ，设正方形A 、B 、C 、D 、E 、F 面积分别为S A 、S B 、S C 、S D 、S E 、S F ，则下列各式正确有（ D ）个. ① S A +S B +S C +S D =49；② S E +S F =49；③ S A +S B +S F =49；④ S C +S D +S E =49A.1 B .2 C.3 D .48.如图，90ACB ∠=，AC BC =，BE CE ⊥，AD CE ⊥，垂足分别为E ，D ，13AC =，5BE =，则DE =（A ） A.7 B.8 C.9 D.109.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ C ）A.51B.49C.76D.无法确定10.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15 m，则目测点到杆顶的距离为(设目高为1 m)( B )．A．20m B．25mC．30m D．35m11.如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（ C ）A.12cmB.cmC.15 cmD.cm12.直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（ C ）A. B. C. D.二、填空题：13.在△ABC中，∠B=90度，BC=6，AC=8，则AB= .【答案】2.14. 我国古代有这样一道数学问题:枯木一根直立地上高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是尺.【答案】2515.如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为.【答案】﹣1﹣.16.如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC 交于点E，若AD＝BD，则折痕BE的长为________.【答案】417.如图，小巷左右两侧是竖直的墙.一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为m.【答案】2.218. 已知等腰三角形的一边长为10,面积为30,该三角形的周长为.【答案】10+2或20+2或20+6三、解答题：19.如图，已知AD是△ABC的高，∠BAC=60°，BD=2CD=2，试求AB的长.解：过点B作BE⊥AC于E，则.设AE=x，则.∵BD=2CD=2，∴BD=2，CD=1，BC=3.∴.由AB2﹣BD2=AD2=AC2﹣CD2，得.∴，，9x4﹣36x2+36=9x2﹣3x44x4﹣15x2+12=0，∴.又，所以不合题意.故，从而.20.如图,圆柱形玻璃杯的高为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为多少?【答案】如图:作A关于EF的对称点A',连接A'B,易知A'B的长为最短距离,由勾股定理得得A'B==20 (cm).21.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.（1）求证：CD=BE；（2）已知CD=2，求AC的长；（3）求证：AB=AC+CD.（1）证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵DE⊥AB，∴△BDE是等腰直角三角形，∴DE=BE.∵AD是△ABC的角平分线，∴CD=D E，∴CD=BE；（2）解：∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，∴DE=BE=CD=2，∴BD===2，∴AC=BC=CD+BD=2+2；（3）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴CD=DE.在Rt△ACD与Rt△AED中，∵，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AE=AC.∵由（1）知CD=BE，∴AB=AE+BE=AC+CD.22.在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：.解：连接AM，根据题意△ACM，△AMD，△BMD为直角三角形，由勾股定理得：①；②；.∵M是BC的中点，∴CM=BM，∴③分别把②，③代入①整理得：，所以.23.如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米.（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO===12（米）；答：这个梯子的顶端距地面有12米高；（2）梯子下滑了1米即梯子距离地面的高度为OA′=12﹣5=7（米），根据勾股定理：OB′===2（米），∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣5）米答：当梯子的顶端下滑1米时，梯子的底端水平后移了（2﹣5）米.。
2022年八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时勾股定理的应用习题课件新版新人教版
4.小军发现学校旗杆上端的绳子垂到地面
还多了1 m，他把绳子斜着拉直，使下端 解：设旗杆的高AB为x m，则绳子AC的长为（x＋1）m.
刚好触地，如图.此时绳子下端距旗杆底 在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2， ∴x2＋52＝（x＋1）2，解得x＝12.
部答：5旗m杆的，高那度为么12 m旗. 杆的高度为多少米？
45
”.已知点P，Q是线段AB的“勾股分割点 ”，若AP＝8，PQ＝12(PQ＞BQ)，那么 BQ的长为________.
13.(2019·扬州江都区月考)一种拉杆箱的示 意图如图所示，箱体长AB为65 cm，拉杆最 大伸长距离BC为35 cm，在箱体的底端装有 一圆形滚轮，其直径为6 cm.当拉杆拉到最
3600
（秒）.答：学校会受到噪音影响，受影响的时间为24秒.
【方法归纳】
1.应用勾股定理解决实际问题时，关键是画出符合题意的 图形，再利用直角三角形求解.若不是直角三角形，可以 通过添加辅助线构造直角三角形，将已知条件化归到直 角三角形中求解. 2.当题目所给的直角三角形的两边存在和差或倍分关系时
7.(2019·南京)无盖圆柱形杯子的展开图如 图所示.将一根长为20 cm的细木5 筷斜放在 该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少
有________cm.
8.(课本P29习题T10改编)印度数学家什迦
逻(1141～1225年)曾提出过“荷花问题”
：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 解：如图，由题意，可知
八年级数学下册人教版
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用
知识点一 利用勾股定理解决实际问题
1.如图，某养殖场有一个长2米、宽1.5米的长方形栅栏， 现在要在相对角的顶点间加固一2.5条木板，则木板的长 应为________米.
最新人教版初中八年级数学下册第17章 勾股定理 课后同步练习题含答案解析
第十七章勾股定理17.1 勾股定理（1）课堂学习检测一、填空题1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．二、选择题6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．2(A)4 (B)6 (C)8 (D)108．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．(A)150cm2 (B)200cm2(C)225cm2(D)无法计算三、解答题9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．综合、运用、诊断一、选择题10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．(A)1个 (B)2个(C)3个(D)4个二、填空题11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．第11题第12题12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．三、解答题13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．拓展、探究、思考14．如图，△ABC中，∠C＝90°．(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图)，探究S1＋S2与S3的关系；(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图)，探究S1＋S2与S3的关系；(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图)，探究S1＋S2与S3的关系．参考答案1．a2＋b2，勾股定理． 2．(1)13； (2)9； (3)2，； (4)1，．3．． 4．5，5． 5．132cm． 6．A． 7．B． 8．C．9．(1)a＝45cm．b＝60cm； (2)540； (3)a＝30，c＝34；(4)6； (5)12．10．B． 11． 12．4． 13．14．(1)S1＋S2＝S3；(2)S1＋S2＝S3；(3)S1＋S2＝S3．17.1 勾股定理（2）课堂学习检测一、填空题1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．第3题第4题4．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．二、选择题5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．325223.5.310(A)5m (B)7m (C)8m (D)10m6．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )．(A)(B) (C)(D)三、解答题7．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?综合、运用、诊断一、填空题9．如图，一电线杆AB 的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC 为______米． 2123105658第9题第10题10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______(3)二、解答题：11．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?拓展、探究、思考13．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．参考答案1．13或 2．5． 3．2． 4．10．5．C ． 6．A ． 7．15米． 8．米． 9． 10．25． 11． 12．7米，420元．13．10万元．提示：作A 点关于CD 的对称点A ′，连结A ′B ，与CD 交点为O ．17.1 勾股定理（3）课堂学习检测一、填空题 1．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB ＝______，AB 边上的高CE ＝______．2．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝______，AC 边上的高BE ＝______．3．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______，AB 边上的高CD ＝______．4．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．5．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______．二、选择题6．已知直角三角形的周长为，斜边为2，则该三角形的面积是( )．(A) (B) (C) (D)17．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )．(A)(B)或 (C) (D)或三、解答题 .11923⋅3310.2232-62+4143217741242478．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝求AB的长．9．在数轴上画出表示及的点．综合、运用、诊断10．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．102101312．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．13．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．拓展、探究、思考14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?15．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，S n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积S n＝______．参考答案1． 2．16，19.2． 3．5，5． 4． 5．6，，． 6．C ． 7．D8． 提示：设BD ＝DC ＝m ，CE ＝EA ＝k ，则k 2＋4m 2＝40，4k 2＋m 2＝25．AB ＝ 9．图略． 10．BD ＝5．提示：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中根据勾股定理列出(30－x )2＝(x ＋10)2＋202，解得x ＝5．11．BE ＝5．提示：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，∴32＋(9－x )2＝x 2．解得x ＝5．12．EC ＝3cm ．提示：设EC ＝x ，则DE ＝EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，BF ＝，CF ＝4．在Rt △CEF 中(8－x )2＝x 2＋42，解得x ＝3． 13．提示：延长FD 到M 使DM ＝DF ，连结AM ，EM ．14．提示：过A ，C 分别作l 3的垂线，垂足分别为M ，N ，则易得△AMB ≌△BNC ，则 15．128，2n －1．17.2 勾股定理的逆定理课堂学习检测一、填空题1．如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号);343415,342.432a 3633.132.1324422=+k m ,3213,31102222+=+=622=-AB AF .172,34=∴=AC AB4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________；②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________；③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．5．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2，则∠B ＝____________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是______三角形．7．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为______．8．△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．二、选择题9．下列线段不能组成直角三角形的是( )．(A)a ＝6，b ＝8，c ＝10 (B)(C) (D)10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1∶1∶2(B)1∶3∶4 (C)9∶25∶26(D)25∶144∶169 11．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形(B)一定是等腰三角形 (C)一定是直角三角形 (D)形状无法确定综合、运用、诊断12．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．3,2,1===c b a 43,1,45===c b a 6,3,2===c b a13．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．14．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝，求证：AF ⊥FE ．15．在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?CB 41拓展、探究、思考16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．18．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．参考答案1．直角，逆定理． 2．互逆命题，逆命题． 3．(1)(2)(3)．4．①锐角；②直角；③钝角． 5．90°． 6．直角．7．24．提示：7＜a ＜9，∴a ＝8． 8．13，直角三角形．提示：7＜c ＜17．9．D ． 10．C ． 11．C ．12．CD ＝9． 13．14．提示：连结AE ，设正方形的边长为4a ，计算得出AF ，EF ，AE 的长，由AF 2＋EF 2＝AE 2得结论．15．南偏东30°．16．直角三角形．提示：原式变为(a －5)2＋(b －12)2＋(c －13)2＝0．17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0．18．352＋122＝372，[(n ＋1)2－1]2＋[2(n ＋1)]2＝[(n ＋1)2＋1]2．(n ≥1且n 为整数).51。
《17.1 勾股定理》课件(含习题)
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，
请你按照他们的解题思路完成解答过程.
A
作AD⊥BC于D, 设BD=x,用含x的 代数式表示CD
根据勾股定理， 利用AD作为“桥 梁”建立方程模 型求出x
B
DC
利用勾股定理求 出AD的长，再计 算三角形面积
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x,
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
A C
O
BD
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外 移0.5m，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
a
c
b
二 勾股定理的验证
拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三 角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
赵爽
b
a
c
b
a
a2 + b2
这种用拼图的验
=证勾c股2 定理的方
法叫做弦图法
c
a
b
证一证
证明： S大正方形＝c2
c b
a
b-a
赵爽弦图
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
当堂练习
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米
.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行
（ B ）A. 8米 B.10米
C.12米 D.14米
A
B
第1题图
人教版数学八年级下册：17.1 勾股定理 课件(共35张PPT)
探究 如图，以Rt△ 的三边为边向外作正方形，
其面积分别为 S1 、S2、S3，请同学们想一想
S1 、S2、S3 之间有何关系呢？
S2 + S3 =a2+b2
S1=c2
B
S1c a S2
b
A S3 C
∵a2+b2=c2
S2 + S3 = S1
探究S1、S2、S3之间的关系
S2
S3
1 2
a 2
2
1 2
b 2
2
1 a2 1 b2
8
8
S1
1 2
c 2
2
1
8
c2
由勾股定理得 a2+b2=c2
∴S2+S3=S1
S2
c
SS3 2
A
S1
S1
动手操作：例2如图，Rt△ABC中
，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别 以AB、BC、AC为直径作三个半圆 ，那么阴影部分的面积为__24_ .
A
E
D
B
F
C
A
A =625
225
400
81
B =144
225
2、如图所示的图形中，所 有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形 ，其中最大的正方形的边长 是8厘米，则正方形A，B， C，D的面积之和是 __6_4_____平方厘米
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
利用勾股定理解决平面几何问题1— —最短路径问题
17.1勾股定理第2课时勾股定理在求距离中应用同步练习
17.1勾股定理第2课时勾股定理在求距离中应⽤同步练习17.1 勾股定理第2课时勾股定理在求距离中应⽤基础训练知识点1 长度的计算1.(2016·哈尔滨)如图,⼀艘轮船位于灯塔P的北偏东60°⽅向,与灯塔P 的距离为30海⾥的A处,轮船沿正南⽅向航⾏⼀段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°⽅向上的B处,则此时轮船所在的位置B处与灯塔P之间的距离为( )A.60海⾥B.45海⾥C.20海⾥D.30海⾥2.如图,有两棵树,⼀棵⾼10⽶,另⼀棵⾼4⽶,两树相距8⽶,⼀只⼩鸟从⼀棵树的树顶飞到另⼀棵树的树顶,⼩鸟⾄少飞⾏( )A.8⽶B.10⽶C.12⽶D.14⽶3.如图,⼀棵树在离地⾯4.5 m处断裂,树的顶部落在离底部6 m处.则这棵树折断之前⾼( )A.10.5 mB.7.5 mC.12 mD.8 m4.如图,⼀架梯⼦AB长2.5⽶,顶端A靠在墙AC上,这时梯⼦底端B 与墙脚C的距离为0.7⽶,如果梯⼦滑动后停在DE的位置,测得BD 长为0.8⽶,则梯⼦顶端A下滑了( )A.0.4⽶B.0.3⽶C.0.5⽶D.0.2⽶知识点2 最短距离的计算5.如图,⼀只蚂蚁沿着棱长为2的正⽅体表⾯从点A出发,经过3个⾯爬到点B,如果它运动的路径是最短的,则AC的长为 .6.将⼀根长为24 cm的筷⼦置于底⾯直径为15 cm,⾼为8 cm的圆柱形⽔杯中,如图所⽰,设筷⼦露在杯⼦外的长度为h cm,则h的取值范围是( )A.h≤17B.h≥8C.15≤h≤16D.7≤h≤167.如图,⼀圆柱形油罐的底⾯周长为12 m,⾼为5 m,要以点A为底端环绕油罐做⼀圈梯⼦,正好顶端在点A的正上⽅点B处,那么梯⼦最短需( )A.17 mB.7 mC.13 mD.12 m易错点求最短路径时对⽴体图形展开情况考虑不全⾯导致错解8.如图,正四棱柱的底⾯边长为5 cm,侧棱长为8 cm,⼀只蚂蚁欲从正四棱柱底⾯上的顶点A沿棱柱的表⾯爬到点C'处吃⾷物,那么它需要爬⾏的最短路程是多少?提升训练考查⾓度1 利⽤勾股定理借助⽔中物体变化情况求⽔深9.在波平如镜的湖⾯上,有⼀朵盛开的美丽的红莲,它⾼出⽔⾯3尺(如图).突然⼀阵⼤风吹过,红莲被吹⾄⼀边,花朵刚好齐及⽔⾯,如果知道红莲移动的⽔平距离为6尺,请问⽔深多少?考查⾓度2 利⽤勾股定理借助等距变化求树⾼(⽅程思想)10.如图,在⼀棵树的10 m⾼的B处有两只猴⼦,其中⼀只猴⼦爬下树,⾛到离树20 m处的池塘A处,另⼀只猴⼦爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它经过的路线为直线),如果两只猴⼦所经过的路程相等,求这棵树的⾼.探究培优拔尖⾓度1 利⽤勾股定理解答实际⽣活中综合应⽤问题11.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°.点A处有⼀所中学,AP=160 m.假设⼀拖拉机在公路MN上沿PN⽅向⾏驶,周围100 m以内(包括100 m)会受到噪⾳的影响.(1)该学校是否会受到噪⾳的影响?请说明理由.(2)若受影响,已知拖拉机的速度为18 km/h,则学校受到影响的时间有多长?拔尖⾓度2 利⽤勾股定理解最短距离问题(对称法)12.如图,A,B两村在河边CD的同侧,两村到河边的距离分别为AC=1 km,BD=3 km,且CD=3 km.现要在河边CD上建⼀⽔⼚向A,B 两村输送⾃来⽔,铺设⽔管的⼯程费⽤为每千⽶2 000元.请你在CD上选择⽔⼚位置O,使铺设⽔管的费⽤最省,并求出此时铺设⽔管的总费⽤.参考答案1.【答案】D 解：由题意可得∠B=30°,AP=30海⾥,∠APB=90°,故AB=2AP=60海⾥,则此时轮船所在的位置B处与灯塔P之间的距离为BP==30海⾥.故选D.2.【答案】B 解：=10(⽶),∴⼩鸟⾄少飞⾏10⽶.3.【答案】C4.A 解：在Rt△ABC中,AC===2.4(⽶),在Rt△CDE中,CE====2(⽶),∴AE=AC-CE=2.4-2=0.4(⽶).5. 解：沿过点A的侧棱将正⽅体的侧⾯展开,如图.AB==2,∴AC=.6.【答案】D 解：设筷⼦在杯⼦中的最⼤长度为a cm,则由a2=152+82=289=172,得a=17,易知筷⼦在杯⼦中的最短长度为8 cm,则筷⼦露在杯⼦外⾯的长度h cm的范围为24-17≤h≤24-8,即7≤h≤16,故选D.7.【答案】C8.解:(1)沿棱A'B'将上底⾯A'B'C'D'和侧⾯A'ABB'展开,如图①,连接AC'.在Rt△ABC'中,AB=5,BC'=BB'+B'C'=8+5=13,由勾股定理,得AC'2=AB2+BC'2=52+132=194,∴AC'=.(2)沿侧棱BB'将侧⾯A'ABB'和侧⾯B'BCC'展开,如图②,连接AC'.在Rt△ACC'中,AC=AB+BC=5+5=10,CC'=8,由勾股定理,得AC'2=AC2+CC'2=102+82=164,∴AC'==2.∵>=2,∴蚂蚁需要爬⾏的最短路程是2 cm.解：在将空间图形中最短路程问题转化为平⾯图形来解决的同时,还必须全⽅位考虑各种可能情况,只有这样才能得到正确的答案.9.解:设⽔深h尺.如图,在Rt△ABC中,AB=h尺,AC=(h+3)尺,BC=6尺.由勾股定理得AC2=AB2+BC2,即(h+3)2=h2+62.解得h=4.5.所以⽔深4.5尺.10.解:设BD=x m,由题意知BC+AC=BD+AD,∴AD=(30-x)m,∴(10+x)2+202=(30-x)2,解得x=5,∴x+10=15,即这棵树⾼15 m.11.分析:如图,过点A作AB⊥PN于点B,根据垂线段最短可知若AB>100 m,则不受影响;若AB≤100m,则受影响.若受影响,则⾸先需要找出受影响时拖拉机⾏驶的路段,再构建直⾓三⾓形并利⽤勾股定理求出该路段的长,进⽽可求出受影响的时间.解:(1)如图,过点A作AB⊥PN,垂⾜为点B,则有∠ABP=90°. ∵AP=160 m,∠QPN=30°,∴AB=AP=×160=80(m).∵80 m<100 m,∴学校会受到噪⾳的影响.(2)如图,以A为圆⼼,100 m为半径作弧,交PN于点C,D(C,D分别在BP,BN上),连接AC,AD.即当拖拉机在公路MN上沿PN⽅向⾏驶到点C处时,学校开始受到噪⾳的影响,直到拖拉机⾏驶到点D以外时,学校才不受拖拉机噪⾳的影响.在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC2=AC2-AB2=1002-802=3 600. ∴BC==60(m).同理BD=60 m.∴CD=BC+BD=60+60=120(m). ∴学校受噪⾳影响的时间为(120÷1 000)÷18=(h)=24(s).12.分析:铺设⽔管的费⽤与⽔管的长有关,所以本题的关键是使点O到点A,B的距离之和最⼩.此时可考虑作点A关于CD的对称点,根据“两点之间线段最短”先确定点O的位置,再利⽤勾股定理进⾏求解.解:如图所⽰,作点A关于CD的对称点A',连接A'B交CD于点O,则点O即为⽔⼚的位置.连接AO,过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E,则A'E=CD=3 km,DE=A'C=AC=1 km.∴BE=BD+DE=3+1=4(km). 在Rt△A'EB中,A'B===5(km). ∴OA+OB=OA'+OB=A'B=5 km.∴总费⽤为5×2 000=10 000(元).。
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习题课
勾股定理
直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方。 c
符号语言：
a
∵Rt△ABC中，∠C=90°
b
弦
∴ a b c
2 2
2
勾
在西方又称毕达 哥拉斯定理耶！
股
已知Rt △的两边，求第三边
例1、在Rt△ABC中， (1) ∠C=90°,AC=9, AB=41, 求BC (2) ∠A=90°,AC=4, AB=5, 求BC (3) ∠C=90°,BC= 6 ,AB:AC=2: 3, 求AB, AC 没有指明直角时，要分类讨论
C D
A
E
B
例7：如图，在棱长为10厘米的正方体的 一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬 行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速 度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到B ？
拓展：长方体长5，宽4， 高3，蚂蚁从一个顶点沿表 面爬到到体对角的顶点，怎 样爬路线最短？
蛋 糕
ALeabharlann 练习： 有一个圆柱，它的高为12cm，底面半 径为3cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁 ，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物 ， 沿圆柱侧面爬行的最短路程是 。
B
A
勾股定理的应用： ①已知两边求第三边； ②已知一边和一锐角（30°、60°、45° 的特殊角），求其余边长； ③已知一边和另外两边的数量关系，用方 程.
必做题：书本习题17.12、3、4、5、9、10 选做题：13、14
方法1：利用面积相等 方法2：利用勾股定理 建立方程
例6.如图，有一块直角三角形纸板ABC， 两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角 边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边 AB上，且点C落到点E处，求CD的长。 A 折叠问题 E C
D B
练习
已知，在△ABC中，∠C=900， AC=5cm,BC=10cm,将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE.求CD的长度.
已知Rt △的一边一角，求另两边
例4、在Rt△ABC中， (1)∠C=90°, ∠A=45° BC=5,求AB, AC (2)∠A=90°, ∠B=45° CB=8,求AB, AC
45 °的Rt △的三边的比为1:1 :
2
练习
已知等边三角形ABC的边长是6cm， (1)求高AD的长；(2)S△ABC
练习
如图，在△ABC中，AB=15，AC= 20， BC边上的高AD=12，求BC的长。 A
B
D
C
已知Rt △的一边一角，求另两边
例2、已知△ABC中,∠C=90° BC=8, ∠ A=30 °,求AC, AB
例3、已知△ABC中,∠A=90°
AB=4, ∠ B=30 °,求AC, AB
30 °的Rt △的三边的比为1: 3 :2
解：(1)∵△ABC是等边三角形，AD是高
A
1 BD BC 3 2
在Rt△ABD中 , ∠ADB = 900
AD 2 AB 2 BD 2
B
D
C
AD 36 9 27 3 3cm 1 ( 2) S ABC BC AD 若等边三角形的边长是 a呢？ 2 1 6 3 3 9 3 (cm 2 ) 2
例5、在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ， BC=10cm,求△ABC的面积和AC边上的高。
A
13
1、先构造直角， 再用勾股定理
13
H
2、利用面积相等
1 1 BC AD AC BH 2 2
B
10 D
C
练习
如图，在△ABC中，∠ACB=900， AB=50cm，BC=30cm，CD⊥AB于 D，求CD的长。