高中数学23圆的方程233直线与圆的位置关系234圆与圆的位置关系知识新人教B版2!
人教版高一年级数学下学期四单元直线圆的位置关系知识点
人教版高一年级数学下学期四单元直线圆的位置关系知识点圆的有关性质，被广泛地应用于工农业生产、交通运输等方面，所涉及的数学知识较为广泛。
那么同学们赶快一起来看看直线圆的位置关系知识点！由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．（2）相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点．（3）相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离．直线与圆的位置关系的数量特征1、迁移：点与圆的位置关系（1）点P在⊙O内dr．2、归纳概括：如果⊙O的半径为r ,圆心O到直线l的距离为d,那么(1)直线l和⊙O相交dr．练习题：1．直线L上的一点到圆心的距离等于⊙O的半径，则L与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交2．圆的最大的弦长为1 2 cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么（）A．d<6 cmB．6 cm<d<12 cmC．d≥6 cmD．d12 cm3．P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，Q是优弧AB上的一点，设∠APB=α，∠AQB=β，则α与β的关系是（）A．α= βB．α+β=90°C．α+2β=1 80°D．2α+β=180°4．在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA=4，PB=7，CD=12，则以PC 、PD 的长为根的一元二次方程为（）A．x2+12x+ 28=0B．x2－12x+28=0C．x2－11x+12=0D．x 2+11x+12=0以上就是我们给同学们整理的直线圆的位置关系知识点啦！想要了解更多精彩的内容，大家可点击xx来看~~。
人教版高中数学直线.圆的位置关系(共30张PPT)教育课件
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有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
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理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
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学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。
直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解(基础)
直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).要点三、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【高清ID号： 356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．（优质试题•盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC 于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．【答案与解析】（1）解；∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°，（2）证明：连接OE．在△EAO与△EDO中，，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO=∠EAO，∵∠BAC=90°，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切．【总结升华】本题考查了切线的判定，连接OE构造全等三角形是解题的关键．举一反三：【高清ID号： 356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切.【答案】作PF⊥OB于F，则可证明△OEP≌△OFP，所以PF=PE，即F在圆P上，故⊙P与OB相切.2．（优质试题•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．【思路点拨】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．【答案与解析】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．类型二、圆与圆的位置关系3．(1)已知两圆的半径分别为3cm，5cm，且其圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是( )A．外切 B．内切 C．相交 D．相离(2)已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( )A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm【答案】（1）C ；（2）C.【解析】(1)由于圆心距d＝7cm，R+r＝5+3＝8(cm)，R-r＝5-3＝2(cm)．∴ R-r＜d＜R+r，故这两圆的位置关系是相交．(2)两圆相切包括外切和内切，当⊙O1与⊙O2外切时，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；当⊙O1与⊙O2内切时，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．【总结升华】由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r；④两圆内切⇔d＝R-r；⑤两圆内含⇔d＜R-r．4．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于A点，直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C点，若⊙O1的半径r1=2cm，⊙O2的半径r2=3cm．求BC的长．【思路点拨】首先连接O1B，O2C，O1O2，过点O1作O1D⊥O2C于D，由直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C 点，可得四边形O1BCD是矩形，即可知CD=O1B=r1=2cm，BC=O1D，然后在Rt△O2DO1中，利用勾股定理即可求得O1D的长，即可得BC的长．【答案与解析】【总结升华】此题考查了相切两圆的性质、切线的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握相切两圆的性质．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于( )A．．【答案】因为以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，所以∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AC=C．。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》
4．2.1 直线与圆的位置关系1．知道直线与圆的位置关系的分类．2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系． 3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．直线A x ＋B y ＋C ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系及判断【做一做】 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)＋(y ＋1)＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 【做一做】 D代数法与几何法的比较剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．【例】 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．解法一：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8a x ＋a 2－900＝0.则Δ＝(8a)2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000.①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a 2＋90 000＞0，解得－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a ＜－50或a ＞50. 解法二：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10，则圆心到直线4x －3y ＋a ＝0的距离d ＝|a|32＋42＝|a|5.①当直线和圆相交时，d<r ，即|a|5<10，所以－50＜a ＜50；②当直线和圆相切时，d ＝r ，即|a|5＝10，所以a ＝50或a ＝－50；③当直线和圆相离时，d>r ，即|a|5>10，所以a ＜－50或a ＞50.处理直线与圆的位置关系的代数法和几何法，都具有普遍性，都要熟练掌握．由这两种解法可看到，几何法比代数法运算量要小，也比较简单、直观．题型一：直线与圆的相交问题【例1】 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB|＝8，求直线l 的方程．反思：(1)讨论直线与圆的相交问题时，通常情况下不求出交点坐标．利用半径、半弦和弦心距组成的直角三角形，由勾股定理能解决弦长问题．(2)解答本题时易出现漏掉x ＋4＝0的错误结果，导致这种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不透，从而思维不严密，分类不完整．题型二：直线与圆的相切问题【例2】 求经过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．反思：解决直线与圆的相切问题时，通常利用圆心到切线的距离等于半径来解决．答案：【例1】 解：将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝(25)2－⎝⎛⎭⎫822＝3.当l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意．当l 的斜率存在时，设方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k 2，解得k ＝－512.所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.【例2】 解：(1)当直线斜率不存在时，其方程为x ＝1，不与圆相切；(2)当直线斜率存在时，设斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.1．(2011·山东济南一模)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－683．直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为__________．4．(2011·北京丰台高三期末)过点(－3,4)且与圆(x－1)2＋(y－1)2＝25相切的直线方程为__________．5．已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为C的方程．答案：1．A 2.B 3.4 4.4x－3y＋24＝05．解：∵圆心C在直线l1：x－3y＝0上，∴可设圆心为C(3t，t)．又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形，可得2＋2＝|3t|2，解得t＝±1.∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
高二圆与方程的知识点总结
高二圆与方程的知识点总结圆与方程是高二数学学习中的重要知识点，掌握好这部分内容对于后续学习和解题都非常关键。
本文将对高二圆与方程的知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和应用这些知识。
一、圆的基本性质1. 定义：平面上到定点距离相等的点的集合就是一个圆。
2. 圆的部分：圆心、半径和圆周。
3. 公式：- 圆心坐标公式：设圆心为（a，b），半径为r，则圆的方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²。
- 圆的一般方程：将圆心坐标公式展开，整理得：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
（注：D、E、F为常数）二、直线与圆的位置关系1. 直线与圆相交的情况：- 相离：直线与圆没有交点。
- 相切：直线与圆有且仅有一个交点。
- 相交：直线与圆有两个交点。
2. 直线与圆的判别方法：- 写出直线方程和圆方程，将直线方程代入圆方程，解方程组即可得到交点或判别关系。
- 使用几何方法判别，如定理、推论等。
三、圆的方程与位置关系1. 一般方程的性质：- 如果D²+E² > 4F，则方程代表一个实心圆。
- 如果D²+E² = 4F，则方程代表一个过圆心的直线。
- 如果D²+E² < 4F，则方程代表一个过圆心的虚圆。
2. 圆的标准方程：- 圆的标准方程为：(x-h)² + (y-k)² = r²。
其中，(h, k)为圆心坐标，r为半径。
四、圆的切线与法线1. 切线与法线的定义：- 切线：圆上的一点到圆心的直线称为该点处的切线。
- 法线：垂直于切线的直线称为切线的法线。
2. 切线的斜率公式：- 设圆的方程为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，过圆上一点P(x₀, y₀)的切线方程为：xx₀ + yy₀ + (Dx₀+Ey₀) + F = 0。
高中数学第二章直线和圆的方程2.5直线与圆圆与圆的位置关系2.5.2圆与圆的位置关系课件新人教A版选
2
解由①②③组成的方程组得 a=4,b=0,r=2 或 a=0,b=-4√3,r=6.
故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4 或 x2+(y+4√3)2=36.
③
变式探究1
将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x轴上,且过点(3,- √3 )的圆的方
程”,如何求?
解 因为圆心在x轴上,
所以可设圆心坐标为(a,0),设半径为r,
则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,
又因为与圆 x2+y2-2x=0 外切,且过点(3,-√3),
= 4,
(-1)2 + 02 = + 1,
所以
解得
=
2,
2
2
(3-) + (-√3) = 2 ,
所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.
变式探究2
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.
规律方法 (1)当经过两圆的交点时,圆的方程可设为
(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),然后用待定系数法求
出λ即可.
(2)对于此类问题首先要理解运算对象,然后选择好运算方法,设计好运算
程序,最后求得运算结果.
义不清晰.
学以致用•随堂检测全达标
1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是(
)
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
答案 B
解析 圆x2+y2-1=0表示以O1(0,0)点为圆心,以R1=1为半径的圆.
直线与圆的位置关系知识点总结
直线与圆的位置关系知识点总结在平面几何中，直线与圆的位置关系是一个重要且基础的知识点。
理解和掌握它们之间的关系，对于解决许多几何问题具有关键作用。
接下来，咱们就详细聊聊直线与圆的位置关系。
一、直线与圆的位置关系的定义直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。
当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交。
想象一下，就好像直线穿过了圆，与圆有两个交点。
当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。
这时候，直线就像是轻轻触碰了一下圆，只有那一个瞬间的接触点。
当直线与圆没有公共点时，就是直线与圆相离。
直线和圆仿佛处在两个完全不同的世界，没有任何交集。
二、判断直线与圆位置关系的方法1、几何法通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。
若 d ＜ r，则直线与圆相交。
比如，圆的半径是 5，圆心到某条直线的距离是 3，因为 3 ＜ 5，所以直线与圆相交。
若 d ＝ r，则直线与圆相切。
比如半径为 6 的圆，圆心到某直线距离恰好为 6，那这条直线就与圆相切。
若 d ＞ r，则直线与圆相离。
比如圆半径 4，圆心到某直线距离 7，因为 7 ＞ 4，所以直线与圆相离。
2、代数法将直线方程与圆的方程联立，消去其中一个变量（比如 y），得到一个关于另一个变量（比如 x）的一元二次方程。
通过判断这个一元二次方程的根的判别式Δ 的值来确定位置关系。
若Δ ＞ 0，则直线与圆相交，意味着有两个不同的交点。
若Δ ＝ 0，则直线与圆相切，只有一个交点。
若Δ ＜ 0，则直线与圆相离，没有交点。
三、直线与圆相交1、弦长公式当直线与圆相交时，所形成的线段称为弦。
弦长的计算可以通过勾股定理来推导。
设直线方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0，圆的方程为（x a)²＋（y b)²＝ r²，直线与圆的交点为 P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)。
首先求出圆心（a, b) 到直线的距离 d ＝｜Aa ＋ Bb ＋ C| ／√（A²＋ B²) 。
高中数学圆与方程直线、圆的位置关系直线与圆的位置关系教材梳理素材
4。
2.1 直线与圆的位置关系疱丁巧解牛知识·巧学一、直线与圆的位置关系的判断方法一：代数法(或Δ法）将直线的方程与圆C 的方程联立，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程。
（1）当Δ＞0时,方程有两解，此时方程组也有两组实数解，说明直线l 与圆C 相交;(2)当Δ=0时,方程有唯一解,此时方程组也有唯一一组解,说明直线l 与圆C 相切；（3)当Δ＜0时，方程无实数解，从而方程组也无解，说明直线l 与圆C 相离.方法二：几何法判断圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系。
（1）如果d 〈r,直线l 与圆C 相交;(2）如果d=r ，直线l 与圆C 相切；（3）如果d>r ，直线l 与圆C 相离.方法点拨 以上两种方法都是针对直线与整个圆的位置而言的,研究直线与部分圆的关系时，除利用以上两种方法外,一般都用数形结合求出字母的取值范围。
二、直线与圆的位置关系中的三个基本问题1.判定直线与圆的位置关系问题,常规方法是比较d 与r 的大小.2。
求圆的切线方程问题,求切线有三种情况:（1)从圆上的已知点为切点求切线；（2)已知切线的斜率求切线；（3）已知圆外一点求切线.求切线的方法：（1)利用圆心到直线的距离等于圆的半径；(2）判别式法，一般地，过圆上一点的切线只有一条，过圆外一点的切线有两条；(3）切点坐标代换法，即如果圆的方程为x 2+y 2=r 2，则过圆上一点（x 0，y 0）的切线方程为x 0x+y 0y=r 2.3。
关于弦长问题,一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁.误区警示 在求与圆相切的直线方程时，首先要判断点与圆的位置关系。
当点在圆上时，切线只有一条，若点在圆外,则切线有两条,可以设出直线方程,用待定系数法求解，在设方程时一定要注意到直线斜率不存在的情况,避免漏解。
问题·探究问题1 旋转滴有雨水的伞，雨水将会沿着伞的各自什么位置飞出？探究：沿着一条直线的方向飞出，此直线是以伞的边缘点为切点的切线.问题2 给出一个已知圆C ：(x —2)2+(y —3)2=4，直线l:（m+2）x+(2m+1）y=7m+8,当m∈R 时，你能确定这条直线与圆的位置关系吗？与参数m 有关吗？探究：由已知直线l 的方程(m+2）x+（2m+1)y=7m+8变形可得（2x+y —8)+m （x+2y-7)=0，由直线系方程知识可知，此直线必过两直线2x+y —8=0和x+2y —7=0的交点，解之可得交点为(3,2），即无论m 为何值，直线l 恒过定点(3,2).而容易判断点（3,2）在已知圆内,所以直线与圆总相交,与参数m 无关.典题·热题例1 求经过点(1，-7）且与圆x 2+y 2=25相切的切线方程.思路解析：将点(1，—7）代入圆方程，有12+(-7)2=50〉25，可知点（1，-7）是圆外一点，故所求切线有两条,要求切线方程,只需求切线的斜率或再求切线上另一点.解：法一：设切线的斜率为k ，由点斜式有y+7=k(x —1)，即y=k （x —1）-7。
高中数学4.2.2-3圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2
答案：C
＝a－4.则有 a＋12＋a－4－32＝ a＋62＋a－4＋22，
解得 a＝12，故圆心为12，－72，
直线与圆的方程的实际应用 [例 3] 有一种大型商品，A，B 两地均有出售且价格相同， 某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费 A 地是 B 地 的两倍，若 A，B 两地相距 10 千米，顾客选择 A 地或 B 地购买 这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如 何选择购买此商品的地点？ [解] 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂 直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，如图所示， 设 A(－5,0)，则 B(5,0)． 在坐标平面内任取一点 P(x，y)， 设从 A 运货到 P 地的运费为 2a 元/千米，
方程组解的个数 两圆的公共点个数
两圆的位置关系
2组 _2_个__ _相__交__
1组 _1_个__ 内__切__或__外__切__
0组 _0_个__ 外__离__或__内___含_
判断两圆的位置关系
[例 1] 当实数 k 为何值时，两圆 C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0， C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0 相交、相切、相离？
11.由两圆相切求圆的方程
[典例] (12 分)求半径为 4，与圆 x2＋y2－4x－2y－4＝0 相 切，且和直线 y＝0 相切的圆的方程．
[解题流程]
[随堂即时演练] 1．圆 x2＋y2＝50 与圆 x2＋y2－12x－6y＋40＝0 公共弦长为( )
A. 5 C．2 5
B. 6 D．2 6
[解] 将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆 C1 的圆心为 C1(－2,3)，半径长 r1＝1； 圆 C2 的圆心为 C2(1,7)，半径长 r2＝ 50－k(k＜50)， 从而|C1C2|＝ －2－12＋3－72＝5.
最新人教版高中数学直线与圆、圆与圆的位置关系精品ppt课件
直线 l : x 2 y 0 ,则经过 C1 和 C2 的交点且和 l 相切的圆的 2 2 x y x 2 y 0 方程为________________________ y 2 1 , 圆 C : ( x 2)2 ( y 4)2 1 , 由两圆外一点 P(a, b) 引两圆切线 PA 、 PB , 切点分 别为 A 、 B ,满足 PA PB . (1) 求实数 a 、 b 间满足的等量关系; a 2b 5 0
d r1 r2 两圆内切
0≤ d r1 r2 两圆内含（d=0 时，r1≠r2 时为同心圆）
补充练习:
1. 若直线 x y a 0(a R) 与圆 x2 y2 2 x 1 0 相交,
( 1, 3) 则 a 的取值范围是 _______.
2. 已知两个圆 C1 : x2 y2 4 , C2 : x2 y2 2 x 4 y 4 0 ,
(2) 求切线长 PA 的最小值; 2 (3) 是否存在以 P 为圆心的圆 ,使它与圆 O 相内切 并且与圆 C 相外切?若存在,求出圆 P 的方程;若不 存在,说明理由 .
不存在
补充练习
补充练习: 1. 直 线 3 x 4 y 10 0 与 圆 x 2 y 2 5 y m 2 0 交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点,且 OA OB , -2 . 则 m ____
O
x
x0x +y0 y = r2
例 2.已知圆的方程是 x y 过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
2
2
r
2
，求经
y P(x,y)
分析：利用平面向量知识. 设P（x,y)是切线上不同于M的 任意一点,则
高中数学 第4章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.2 圆与圆的位置关系教材梳理素材 新人教A版必修2
4.2.2 圆与圆的位置关系疱丁巧解牛知识·巧学一、判断圆与圆的位置关系设两圆分别为圆O 1、圆O 2，试利用两圆的方程研究两圆的位置关系.1.代数法：代数方法的实质仍是通过方程组解的个数得到交点个数，从而决定位置关系.可以建立适当坐标系，设两圆的方程，联立方程组研究其公共解的组数来解决.但过程烦琐，位置关系还得借助图形(例如方程组只有唯一一组解，这时两圆是内切还是外切呢)，因此说利用代数方法研究圆的位置并不方便，不是理想的方法.2.几何法：设两圆圆心距为d ，两圆半径分别为r 1、r 2，则d>r 1+r 2，两圆外离；d=r 1+r 2，两圆外切；｜r 1-r 2｜<d<r 1+r 2，两圆相交；d=｜r 1-r 2｜，两圆内切；d<｜r 1-r 2｜，两圆内含. 方法归纳 判断两个圆的位置关系有两种，第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数；第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系.第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较为烦琐，故使用较少，在研究两圆的位置关系时，显然几何法是比较实用、比较直观、比较简单的方法.具体如下：设两圆圆心距为d ，两圆半径分别为r 1、r 2，圆与圆的位置关系可分为相离、相切、相交、内含，其判断方法是几何法.设圆O 1的圆心为O 1，半径为r 1，圆O 2的圆心为O 2，半径为r 2.两圆相交⇔|r 1-r 2|＜|O 1O 2|＜r 1+r 2;两圆相切⎩⎨⎧+=⇔-<⇔;||;||21212121r r O O r r O O 外切内切两圆相离⇔|O 1O 2|＞r 1+r 2;两圆内含⇔|O 1O 2|＜|r 1-r 2|.二、圆系方程我们知道两圆相交(相切)有两个(或一个)交点，经过这些交点可作无穷多个圆，这无穷多个圆可组成一个圆系.常见圆系方程有如下几种：(1)与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为x 2+y 2+Dx+Ey+λ=0；(2)过直线Ax+By+C=0与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0；(3)过两圆x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0，x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0(λ≠-1),此圆系不含圆x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0.联想发散 对过两已知圆的圆系方程，当λ=-1时，得到（D 1-D 2）x+（E 1-E 2）y+F 1-F 2=0，此为两圆公共弦所在直线方程.因此，如果两圆相交，两圆的方程相减就得到两圆公共弦所在直线的方程.由此可推广：经过两曲线f(x,y)=0,g(x,y)=0交点的曲线系方程为f(x,y)+λg(x,y)=0. 问题·探究问题1 以已知线段AB 为弦作出两个不同的圆，这时两个圆的方程是否能确定？反过来，如果已知两个确定的圆相交于两点C 、D ，那么CD 所在的直线的方程能否确定呢？探究:由于以线段AB 为弦的圆有无数多个，所以随机作出的两个不同的圆的方程不能确定.而当两圆确定时，如果它们相交，则有且只有两个交点，这两个交点就确定了两个圆的公共弦所在直线的方程，故CD 所在直线的方程是确定的.问题2 向平静的池塘水面随便抛掷两颗石子，则落水后它们各自发出了以石子落下水的点为圆心，半径在不断扩大的圆，你能想象出抛掷后在同一时刻它们所发出的两个圆的位置关系吗？探究:由于抛掷的前后时间不同，抛掷的地点不同，容易想象，抛掷后同一时刻两颗石子发出的圆可能有外离、外切、相交、内切、内含等各种情况.典题·热题例1 实数k 为何值时，两圆C 1:x 2+y 2+4x-6y+12=0,C 2:x 2+y 2-2x-14y+k=0相交、相切、相离？思路解析：利用两圆的圆心距与半径的和与差的关系判断.解：将两圆的一般方程化为标准方程，C 1:(x+2)2+(y-3)2=1，C 2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.圆C 1的圆心为C 1(-2,3)，半径r 1=1；圆C 2的圆心为C 2(1,7)，半径r 2=k -50(当k<50时).从而|C 1C 2|=5)73()12(22=-+--当5501=-+k ，即k=34时，两圆外切.当|150--k |=5,即650=-k ,k=14时，两圆内切.当14＜k ＜34时，则6504<-<k ，即r 2-r 1<|C 1C 2|<r 2+r 1，此时，两圆相交. 当k ＜14或34＜k ＜50时，两圆相离.深化升华 给出两圆的方程判断两个圆的位置关系，一般情况下，先把圆的方程配方为标准方程后，求得圆心和半径，利用几何法去判断两圆的位置关系.例2 (2020江苏高考)如图4-2-1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN(M 、N 分别为切点)，使得PM=PN 2，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.图4-2-1思路解析：建立适当的直角坐标系，而题中的等量关系是同一点出发的两切线的长间的关系，由直线与圆相切，由勾股定理得出切线长，构成方程化简即可.解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则O 1(-2，0)，O 2(2，0)，由已知PM=PN 2，得PM 2=2PN 2. 因为两圆的半径均为1，所以)1(212221-=-PO PO .设P(x,y)，则(x+2)2+y 2-1=2［(x-2)2+y 2-1］，即(x-6)2+y 2=33.所以所求轨迹方程为(x-6)2+y 2=33(或x 2+y 2-12x+3=0).方法归纳 求动点的轨迹方程时，先要观察原题中是否已有坐标系，没有的话要先建立适当的直角坐标系.设轨迹上任一点坐标(x ，y)，由题中条件列出关系式求解，常用的方法有直接法、代入法和定义法等.并且要注意对最后得到的结果进行检验，看是否有多余的解或漏掉的解.例3 已知两个圆C 1：x 2+y 2=4，C 2：x 2+y 2-2x-4y+4=0，直线l ：x+2y=0，求经过C 1和C 2的交点且和l 相切的圆的方程.思路解析：所求圆经过C 1、C 2的交点，故可用圆系方程求解.圆与直线相切的问题可利用圆心到切线的距离等于半径.求经过两圆交点的圆可考虑圆系，但要考虑λ≠-1，另外由于圆系中不包括圆x 2+y 2=4，因此应检验圆x 2+y 2=4是否也满足条件.解：设所求圆的方程为x 2+y 2+4-2x-4y+λ(x 2+y 2-4)=0，即(1+λ)x 2+(1+λ)y 2-2x-4y+4(1-λ)=0.所以圆心为(λλ++12,11)， 半径为)11(16)14()12(2122λλλλ+--+-++-， 即22)1()1(16164215|1411|λλλλ+--+=+++. 解之，得λ=±1，舍去λ=-1，故所求圆的方程为x 2+y 2-x-2y=0.深化升华 过两圆x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0，x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0(λ≠-1),要注意此圆系不能表示圆x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0.。
高中数学23圆的方程233直线与圆的位置关系234圆与圆的位置关系例题与探究新人教B版2.
2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系典题精讲例1如图2-3-(3,4)-3已知圆x 2+y 2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的两交点为P 、Q ，且OP⊥OQ(O 为原点)，求圆的方程.图2-3-(3,4)-3思路分析:涉及到直线与圆的交点问题，可以联立方程求解. 解法一:设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2). 由⎩⎨⎧=+-++=-+,06,03222c y x y x y x消去x,得(3-2y)2+y 2+(3-2y)-6y+c=0，即5y 2-20y+12+c=0.由韦达定理，得y 1+y 2=4，y 1y 2=512c+. 如图2.3(3.4)3所示， ∵OP⊥OQ， ∴2211x y x y •=-1， 即123232211-=-•-y y y y .解得9-6(y 1+y 2)+5y 1y 2=0. ∴9-6×4+5×512c+=0，解得c=3. 从而所求圆的方程为x 2+y 2+x-6y+3=0.解法二:设过圆x 2+y 2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的交点P 、Q 的圆的方程为x 2+y 2+x-6y+c+λ(x+2y-3)=0，即x 2+y 2+(1+λ)x-(2λ-6)y+c-3λ=0. ∵OP⊥OQ，故该圆过原点,c-3λ=0,① 且圆心(21λ+-，262--λ)在直线x+2y-3=0上, 21λ+-+2·(262--λ)-3=0.②由①②求得λ=1，c=3.故所求圆的方程为x 2+y 2+x-6y+3=0.绿色通道：在解析几何中，更多的是把垂直转化为斜率问题，而较少利用勾股定理.在判定直线与圆的位置关系时，应选择能体现圆的几何性质的方法，即用圆心到直线距离与半径作比较，这样更简捷.变式训练1若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y=33x(x≥0)相切，则这个圆的方程为_________________.思路解析:若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y=33x(x≥0)相切，则圆心在直线y=3x 上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3，这个圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=1. 答案：1变式训练2(2006重庆高考,文3)以点(2，-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 ( )A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y-1)2=3 思路解析:根据题意,圆心到切线的距离即为圆的半径r=22435)1(423++-⨯-⨯=3，故选C.答案：C例2已知动直线l:(m+3)x-(m+2)y+m=0与圆C:(x-3)2+(y-4)2=9. (1)求证:无论m 为何值，直线l 与圆C 总相交.(2)m 为何值时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小?并求出该最小值.思路分析:分析已知条件:圆是定圆，直线不确定(方程中含有未知数m)，解题关键在于发现直线的特征:过定点.(1)证法一:设圆心C(3，4)到动直线l 的距离为d ，则 d=21)25(21)2()3(|4)2(3)3(|222++=++++•+-•+m m m m m m ≤2.∴当m=25-时，d max =2＜3(半径). 故动直线l 总与圆C 相交.证法二:直线l 变形为m(x-y+1)+(3x-2y)=0. 令⎩⎨⎧=-=+-,023,01y x y x 解得⎩⎨⎧==.3,2y x如图2-3-(3,4)-4所示，故动直线l 恒过定点A(2，3).图2-3-(3,4)-4而|AC|=32)43()32(22<=-+-，∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交. (2)解法一:由平面几何知识知,弦心距越大,弦长越小. 由(1)知,当m=25-时，弦长最小. ∴最小值为72)2(3222=-.解法二:由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小， ∴过点A 且垂直AC 的直线被圆C 所截弦长最小. ∴k l =11-=-ACk .∴,123-=++m m 解得m=25-.此时弦长为72)2(92||32222=-=-AC . 故当m=25-时，直线被圆C 所截弦长最小，最小值为72. 绿色通道：解法一使用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，解法简便，运算量小. 解法二从所要证的结论分析，总与定圆相交的动直线可能是过定点的直线系，且定点必在圆内.于是抓住动直线与定圆的几何特征，数形结合，生动直观，迅速解决问题.变式训练3设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x 2+y 2=2相切,则a 的值为( ) A.±2 B.±2 C.±22 D.±4 思路分析:设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x 2+y 2=2相切，设直线方程为y=x+a ，圆心(0，0)到直线的距离等于半径2， ∴22||=a .∴a 的值为±2，选B. 答案：B例3已知P(x,y)在圆C:x 2+y 2-6x-4y+12=0上， (1)求x-y 的最大及最小值；(2)求x 2+y 2的最大及最小值；(3)求|PA|2+|PB|2的范围，其中A(-1,0)、B(1,0).思路分析:利用直线与圆的位置关系还可以求最值；另外数形结合的方法也需注意. (1)解：设x-y=m ，则P(x,y)在l:x-y-m=0上.又在⊙C 上,⊙C 的圆心坐标为(3,2), ∴l 与⊙C 有公共点. ⊙C 的圆心坐标为(3,2),∴圆心到直线l 的距离d=11|23|+--m ≤1，|1-m|≤2，得1-2≤m≤2+1.∴x -y 的最大值为2+1,最小值为1-2.(2)解法一:x 2+y 2=(x-0)2+(y-0)2=(22)0()0(-+-y x =|OP|2.由平面几何知识，连结直线OC 交⊙C 于A 、B. 当P 与A 重合时，|OP|min =|OA|=|OC|-1=13-1; 当P 与B 重合时，|OP|max =|OB|=|OC|+1=13+1. 从而，14-213≤x 2+y 2≤14+213.解法二:设x 2+y 2=r 2(r ＞0)，因此P 在⊙O 上，又在⊙C 上，图2-3-(3,4)-5即⊙O 与⊙C 有公共点，由图2-3-(3,4)-5可知，当⊙O 与⊙C 外切时，r 最小. 此时|OC|=r+1=13, ∴r min =13-1.当⊙O 与⊙C 内切时，r 最大. 此时，|OC|=|r-1|=13， ∴r max =13+1.∴14-213≤x 2+y 2≤14+213.(3)解：可化归为(2),|PA|2+|PB|2=222222))1(())1((y x y x +-+++ =x 2+2x+1+y 2+x 2-2x+1+y 2=2(x 2+y 2)+2.由(2)14-132≤x 2+y 2≤14+132， ∴30-134≤|PA|2+|PB|2≤30+134.绿色通道：本题是坐标法的逆向应用,即用几何法研究代数问题——最值.变式训练4圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( )A.36B.18C.26D.25思路解析：圆x 2+y 2-4x-4y-10=0的圆心为(2，2)，半径为23，圆心到直线x+y-14=0的距离为23522|1422|>=-+，所以直线与圆的位置关系是相离.因此圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=26，选C.答案:C例4已知圆C:x 2+y 2-2x-4y-20=0及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R ). (1)求证:不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最短长度及此时的直线方程. 思路分析:(1)直线l 是过一个定点的直线，若此定点在圆内，则此直线l 必与圆C 相交.(2)当过定点的直线与圆心的距离最短，即此直线垂直于定点与圆心的连线时，被圆截得的弦最短.(1)证明:把直线l 的方程改写成(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.由方程组⎩⎨⎧=-+=-+,072,04y x y x解得⎩⎨⎧==.1,3y x∴直线l 总过定点(3，1).圆C 的方程可写成(x-1)2+(y-2)2=25.∴圆C 的圆心为(1，2)，半径为5，定点(3，1)到圆心(1，2)的距离为5)21()13(22=-+-＜5.∴点(3，1)在圆C 内.∴过点(3，1)的直线l 总与圆C 相交，即不论m 为何实数，直线l 与圆C 总相交.图2-3-(3,4)-6(2)解：当直线l 过定点M(3，1)且垂直于过点M 的圆心的半径时，l 被圆截得的弦长|AB|最短.(如图2-3-(3,4)-6) |AB|=254202])21()13[(2522222==-+--=-CM BC .此时，k AB =CMk 1-=2.∴直线AB 的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.故直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度为54，此时直线l 的方程为2x-y-5=0. 绿色通道：充分考虑圆的几何性质，数形结合,如果对于第(2)问用纯代数的方法来解决,会很复杂.变式训练5(2006高考全国卷Ⅰ，文7)从圆x 2-2x+y 2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) A.21 B.53C.23D.0思路解析:圆x 2-2x+y 2-2y+1=0的圆心为M(1，1)，半径为1，从圆外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则点P 到圆心M 的距离等于5，每条切线与PM 的夹角的正切值等于21，所以两切线夹角的正切值为tanθ=34411212=-•，该角的余弦值等于53，选B. 答案：B 问题探究问题1过一点作圆的切线,求切线方程.现利用点斜式,求出斜率值只有一个,那么该点在圆上吗？利用点斜式求直线方程,会产生漏解吗？如果漏解,会漏掉什么样的解？ 导思：根据不同条件求圆的切线,主要有以下题型:(1)已知切点,求切线方程.可根据切线垂直于过切点的半径直接写出切线的方程.注意只有一条.(2)已知圆外一点,求圆的切线方程.切记有两条. (3)已知切线的斜率求圆的切线方程. 求圆的切线方程常用的三种方法: (1)设切点用切线公式法; (2)设切线斜率用判别式法;(3)设切线斜率,用圆心到切线的距离等于半径法.探究：利用点斜式求直线方程时,很重要的一点就是注意点斜式不能表示斜率不存在的直线的方程,即倾斜角为2π的直线的方程.如果没有考虑到这一点就贸然运用点斜式方程就有可能产生漏解,忽略倾斜角为2π的直线的方程而造成错误.对于题中所给问题,先要判断此点与圆的位置关系,如果点在圆外,则过此点应该有两条圆的切线,现在只解出一个斜率,则说明遗漏了倾斜角为2π的切线方程;如果点在圆上,则应该有一条切线,现解出一个斜率,则正是所求切线的斜率;如果点在圆内,则不应该有切线,不可能解出正确的斜率值.问题2将两个相交的非同心圆的方程x 2+y 2+D i x+E i y+F i =0(i=1,2)相减,可得一直线方程,这条直线方程具有什么样的特殊性呢？导思：可以通过设出两圆的交点(x 1,y 1)、(x 2,y 2),将(x 1,y 1)代入两圆方程相减得到 (D 1-D 2)x 1+(E 1-E 2)y 1+F 1-F 2=0,将(x 2,y 2)代入两圆方程相减得到(D 1-D 2)x 2+(E 1-E 2)y 2+F 1-F 2=0,点(x1,y1)、(x2,y2)满足(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,故该方程为公共弦所在直线的方程.探究：两圆相减得一直线方程,它当然经过两圆的公共点.经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线.。
第3讲-圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系
圆的方程以及直线与圆、圆与圆的位置关系学习提纲1、了解圆的方程2、了解直线和圆、圆与圆的位置关系及其判断标准3、了解圆的切线方程，相交弦方程1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．这个定点叫做圆的圆心，定长称为该圆的半径。
2．圆的标准方程在平面直角坐标系中，设动点(,)P x y ，圆心(,)C a b ，半径为r ，由圆的定义有22()()x a y b r -+-=，即222()()x a y b r -+-=此即为：以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程．特别地，以原点为圆心，半径为(0)r r >的圆的标准方程为222x y r +=3．圆的一般方程有时，我们也把圆的方程写成如下形式220x y Dx Ey F ++++= （*）由于22222240()()224D E D E F x y Dx Ey F x y +-++++=⇔+++= 因此，（*）表示圆的方程，前提是2240D E F +-> 事实上，如2240D E F +-=，方程（*）表示一个点(,)22D E -- 如2240D E F +-<，则方程（*）不表示任何图形．4、点00(,)P x y 与圆222()()(0)x a y b r r -+-=>的位置关系(1)若22200()()x a y b r -+->，则点P 在圆外；(2)若22200()()x a y b r -+-=则点P 在圆上；(3)若22200()()x a y b r -+-<，则点P 在圆内． 5．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：直线方程与圆的方程联立，化简得一元二次方程，令其判别式为∆，则0∆<⇔相离； 0∆=⇔相切； 0∆>⇔相交；(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d r <⇔相交； d r =⇔相切； d r >⇔相离．6．圆与圆的位置关系的判定设⊙1C ：2221111()()(0)x a y b r r -+-=>， ⊙2C ：2222222()()(0)x a y b r r -+-=>，则有： 1212||C C r r >+⇔⊙1C 与⊙2C 相离；1212||=C C r r +⇔⊙1C 与⊙2C 外切；121212||||r r C C r r -<<+⇔⊙1C 与⊙2C 相交；121212||||()C C r r r r =-≠⇔⊙1C 与⊙2C 内切；1212||||C C r r <-⇔⊙1C 与⊙2C 内含；一条规律过圆外一点M 可作两条直线与圆相切，求切线方程时，可先设出方程，再用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出切线的斜率．求直线被圆所截得弦长的两种常用方法(1)几何方法圆心到弦所在直线的距离、半弦长、半径构成直角三角形，用勾股定理．(2)代数方法运用根与系数关系及弦长公式 222||1||1()4A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． CA B D7、切线方程，切点弦方程，相交弦方程（1）点00(,)P x y 在圆222()()(0)x a y b r r -+-=>上，则过P 的切线之方程为 200()()()()x a x a y b y b r --+--=（2）点00(,)P x y 在圆222()()(0)x a y b r r -+-=>外，则过P 可作两条切线，设切点为,A B ，则切点弦AB 所在直线的方程为 200()()()()x a x a y b y b r --+--=（3）如果圆22211:()()C x a y b r-+-=与22222:()()C x c y d r -+-=交于,A B 两点，则相交弦AB 所在直线的方程为 22222212()()[()()]x a y b x c y d r r -+---+-=-例1（1）若点(1,1)在圆22()()4x a y a -++=的内部，则实数a 的取值范围是( )．A ．11a -<<B ．01a <<C ．1a >或1a <-D ．1a =±（2）方程(1)(7)(2)(10)0x x y y --+--=表示什么曲线？【解】（1）因为点(1,1)在圆的内部，∴22(1)(1)4a a -++<∴11a -<< （2）(1)(7)(2)(10)0x x y y --+--=22812270x y x y ⇒+--+=22(4)(6)25x y ⇒-+-=故，原方程表示的曲线为以点(4,6)为圆心，5为半径的圆。
高中数学2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系课堂探究新人教B版必修2
2.3.3 直线与圆的位置关系课堂探究探究一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判断方法：(1)(几何法)由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断； (2)(代数法)根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；(3)(直线系法)若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．【典型例题1】 (1)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P(3,0)的直线，则( ) A.l 与C 相交 B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 解析：(方法一)圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 到圆心C(2,0)的距离是d ＝1＜2，所以点P 在圆C 内部，所以直线l 与圆C 相交．(方法二)将点P 的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3＜0，所以点P(3,0)在圆内，所以过点P 的直线l 与圆C 相交．答案：A(2)已知动直线l ：y ＝kx ＋5和圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，则当k 为何值时，直线l 与圆C 相离？相切？相交？解：(方法一)(代数法)联立得方程组225,(1)1,y kx x y =+⎧⎨-+=⎩得(k 2＋1)x 2＋(10k －2)x ＋25＝0，则Δ＝(10k －2)2－4(k 2＋1)·25＝－40k －96， 所以当直线l 与圆C 相离时，－40k －96＜0，即k>－125； 当直线l 与圆C 相切时，－40k －96＝0，即k ＝－125； 当直线l 与圆C 相交时，－40k －96>0，即k ＜－125. (方法二)(几何法)圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C(1,0)，半径r ＝1. 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则d.当d>r>1时，k>－125，此时直线l与圆C相离．当d＝r＝1时，k＝－125，此时直线l与圆C相切．当d＜r＜1时，k＜－125，此时直线l与圆C相交．探究二弦长问题1．直线被圆所截得的弦长问题多利用半弦、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形来处理．2．若用代数法求弦长，请参考基础知识自主梳理中“3”．【典型例题2】求直线y＝x被圆(x－2)2＋(y－4)2＝10所截得的弦长．思路分析：求直线被圆所截得的弦长的方法：一是利用弦心距、半径和半弦所构成的直角三角形，二是用弦长公式．解法一：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离d于是，弦长为解法二：联立方程y＝x与(x－2)2＋(y－4)2＝10，得x2－6x＋5＝0.①设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两个根，于是由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，x1x2＝5，则|AB|探究三圆的切线问题求过圆外一点的圆的切线的三种常用方法：(1)设切线斜率，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率；(2)设切点坐标，利用切线的性质解出切点坐标，由直线方程的两点式写出直线方程；(3)设切线斜率，利用判别式等于零，解出斜率．对第(1)和(3)两种方法应用时务必注意切线斜率不存在的情形．【典型例题3】已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝__________.解析：由题意，得圆心C(1,0)，半径r＝1，＝1，解得m＝8或－18.答案：8或－18探究四 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题，可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置，再进行计算．有些与圆有关的最值问题涉及是否过圆心，有时注意考虑表达式中字母的几何意义，如两点间距离公式、斜率公式、在y 轴上的截距等．【典型例题4】 已知实数x ，y 满足y ，求m ＝13y x ++及b ＝2x ＋y 的取值范围．思路分析：y 可化为x 2＋y 2＝3(y≥0)，即以(0,0)为圆心，m ＝13y x ++＝(1)(3)y x ----，可看作半圆上的点与点(－3，－1)连线的斜率；b 可看作与半圆相交的直线2x ＋y －b ＝0在y 轴上的截距．解：y m ＝13y x ++表示过点(－3，－1)和(x ，y)的直线的斜率，如图(1)所示．图(1) 图(2)可知k AB ≤m≤k AC .所以k AB＝36-.因为AC 与半圆x 2＋y 2＝3(y≥0)相切，所以k AC ＝36+.所以m 的取值范围是3366⎡⎢⎣⎦. 由b ＝2x ＋y ，知b 表示直线2x ＋y －b ＝0在y 轴上的截距，如图(2)所示． 可知直线b ＝2x ＋y 一定位于两直线l 1与l 2之间．由直线l 2与半圆相切，得b l 1过D(0)，得b ＝－故b 的取值范围是[－．点评 本题解决的关键是理解m 和b 的几何意义，同时要借助分界线探求参数的取值范围．探究五易错辨析易错点：因忽视斜率不存在的情况而致误【典型例题5】若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．错解：设直线l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，＝1，所以k＝125.所以直线l的方程为12x－5y－9＝0.错因分析：忘记讨论斜率不存在的情况．正解：(1)若直线l的斜率存在，设直线l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0. 因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，＝1，所以k＝125.所以直线l的方程为12x－5y－9＝0.(2)若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.。
圆的方程、直线与圆的位置关系
例 4 . 已 知 圆 满 足 ① 截 y轴 所 得 弦 长 为 2 ； ② 被 x轴 分 成 两 段 圆
弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线 l : x-2y 0 的距离为 5
5 求该圆的方程为.
题型二：直线与圆的位置关系
考点1.直线与圆位置关系的判定
例 5 . 直 线 l : mx y 1 m 0 与 圆 C ： x2 ( y 1)2 5
例13.若直线 y x b与曲线 x 1 y2 恰有一个公共点，求 b
的取值范围？
题型二：确定参数的值或取值范围
例13.若直线 y x b与曲线 x 1 y2 恰有一个公共点，求 b
的取值范围？
定义 平面内到定点 的距离等于定长 的点的轨迹叫做圆.
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
方程
圆心：(_a_，__b_)_ 半径：r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆心：－D2 ，－E2
方程 (D2＋E2－4F＞0)
半径：r＝ D2＋E2－4F 2
注：确定圆心位置的方法： • ①圆心在过切点且与切线垂
是（ ）. A.相交
B.相切
C.相离
的位置关系 D.不确定
例 5 . 直 线 l : mx y 1 m 0 与 圆 C ： x2 ( y 1)2 5 的 位 置 关 系
是（ ）. A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
例8.从直线 l : x y 1 上一点 P 向圆 C : x2 y2 4x 4y 7 0
【解析】 方法一：设所求圆的标准方程为 (x a)2 ( y b)2 r 2 ，
由题意得
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2.3.3 直线与圆的位置关系
2.3.4 圆与圆的位置关系
知识梳理
1.直线与圆的位置关系
直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)，
(1)设圆心(a,b)到直线的距离是d，d=
2
2|
|
B
A C
Bb Aa
++
+
.
0000
类比:过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 2.两圆的位置关系
设两圆的半径分别为R、r(R≥r)，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表表示:
知识导学
通过方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本节的主要内容之一.判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个方面入手：
(1)曲线C1与C2有无公共点，等价于由它们的方程组成的方程组有无实数解.方程组有几组实数解，曲线C1与C2就有几个公共点；方程组没有实数解，曲线C1与C2就没有公共点.
(2)运用平面几何知识，把直线与圆、圆与圆位置关系的结论转化为相应的代数结论.
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
疑难突破
圆和圆的位置关系的讨论.
剖析：用几何法来判别较好，设两圆心距为d，两圆的半径分别为r和R，则可以根据d与R+r的大小关系以及d与|R-r|的大小关系判断两圆的位置关系.
当r≠R时，由于R+r和|R-r|将数轴分成了五个部分,分别是(-∞,|R-r|),|R-r|,(|R-r|,R+r),R+r,(R+r,+∞).
如图2-3-(3,4)-1所示.
图2-3-(3,4)-1
所以d与|R-r|和R+r的大小关系可以分成以上的五种情况进行讨论.也就是说，两圆的位置关系一共有五种情况.
当R=r时，由于|R-r|与原点重合，所以两圆的位置关系只有四种情况：相离、相切、相交和重合.
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
2-3-(3,4)-2
(1)当d＞R+r时，两圆相离；
(2)当d=R+r时，两圆相切；
(3)当|R-r|＜d＜R+r时，两圆相交；
(4)当d=|R-r|时，两圆内切；
(5)当d＜|R-r|时，两圆内含.
(6)当d=|R-r|=0时，两圆重合.。