2集合间的基本关系
第二讲 集合之间的基本关系及其运算
第二讲 集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。
3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。
知识点二：集合的基本运算运算 符号语言 Venn 图 运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。
{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。
专题2 集合间的基本关系(解析版)
专题2 集合间的基本关系题组1 集合的包含关系1.已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是()A.P＝QB.P QC.P QD.P∩Q＝∅【答案】B【解析】P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，所以Q P.2.集合M＝，N＝，则M与N的关系为()A.M＝NB.M⊆NC.N⊆MD. 无法判断【答案】C【解析】M中，x＝＋＝N中，x＝k＋＝n＋，k＝n∈Z，∴N⊆M.3.指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.【答案】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N M.题组2 子集及其运算4.设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是()A.A⊆BB.B⊆AC.B∈AD.A＝B【答案】C【解析】∵A＝{x|x⊆B}，∴A＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.5.已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，C⊆A，C⊆B，则集合C最多含有________个元素.【答案】3【解析】由题意知C最多含有3个元素：4,5,6.6.已知集合M满足关系{a，b}⊆M⊆{a，b，c，d，e}，写出所有的集合M.【答案】满足条件的集合M可以是以下集合：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，b，c，d，e}，共8个，题组3 子集个数7.若集合A＝{1,2,3}，若集合B⊆A，则满足条件的集合B有()A. 3个B. 7个C. 8个D. 9个【答案】C【解析】由集合B⊆A，则B是A的子集，则满足条件的B有23＝8个，故选C.8.若M⊆P，M⊆Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是()A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M⊆C，这样的集合M共有22＝4个.9.定义集合运算A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，设A＝{0,1,2}，B＝{3,4,5}，则集合A◇B的子集个数为()A. 32B. 31C. 30D. 14【答案】A【解析】∵A＝{0,1,2}，B＝{3,4,5}.又∵A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，∴A◇B＝{3,4,5,6,7}，由于集合A◇B中共有5个元素，故集合A◇B的所有子集的个数为25＝32个.故选A.10.已知a为不等于零的实数，那么集合M＝{x|x2－2(a＋1)x＋1＝0，x∈R}的子集的个数为()A. 1B. 2C. 4D. 1或2或4【答案】D【解析】当Δ＝4(a＋1)2－4＞0时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，所以集合M 的元素有两个，则集合M子集的个数为22＝4个；当Δ＝4(a＋1)2－4＝0即a＝－2时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0有两个相等的实数根，所以集合M 的元素有一个，则集合M子集的个数为21＝2个；当Δ＝4(a＋1)2－4＜0时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0没有实数根，所以集合M为空集，则集合M 的子集的个数为1个.综上，集合M的子集个数为：1或2或4.故选D.11.已知M＝{a|a≤－2或a≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】由(a－2)(a2－3)＝0，可得a＝2或a＝±，∵a∈M，M＝{a|a≤－2或a≥2}，∴A＝{2}.∴A的子集有：∅，{2}.集合A的子集共有2个.故选B.12.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“好元素”.给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()A. 6个B. 12个C. 9个D. 5个【答案】A【解析】要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，(要是不连在一起，分开的那个数就是“好元素”)，故不含“好元素”的集合共有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6种可能.故选A.13.若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为()A. 15B. 16C. 28D. 25【答案】A【解析】具有伙伴关系的元素组有－1,1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，穷举可知个数共15个.故选A.题组4 真子集及其运算14.已知A＝{x|<－1}，B＝{x|x2－4x－m≥0}，若A B，则实数m的取值范围是()A.m≥0B.m≤－3C. －3≤m≤0D.m≤－3或m≥0【答案】B15.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a满足()A.a＜3B.a≤3C.a＞3D.a≥3【答案】D【解析】由A B，结合数轴，得a≥3.16.已知集合A满足{0,1}A{0,1,2,3}，写出满足条件的所有的集合A.【答案】满足条件的集合A即为集合{2,3}的非空真子集，∴集合A有{0,1,2}，{0,1,3}.17.已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围.【答案】(1)若A B，由图可知a＞2.(2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2.题组5 真子集个数18.已知集合A＝{1,2,3,4}，那么A的真子集的个数是()A. 15B. 16C. 3D. 4【答案】A【解析】根据集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的真子集有2n－1个，集合A有4个元素，则其真子集个数为24－1＝15，故选A.19.已知集合S＝{x∈N|－2＜x－1＜4，且x≠1}，则集合S的真子集的个数是()A. 32B. 31C. 16D. 15【答案】D【解析】根据题意，－2＜x－1＜4可化为－1＜x＜5；则集合S＝{x∈N|－2＜x－1＜4，且x≠1}＝{x∈N|－1＜x＜5，且x≠1}＝{0,2,3,4}.其子集共24－1＝16－1＝15个.故选D.20.已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}的非空真子集的个数为()A. 1B. 2C. 4D. 不确定【答案】B【解析】∵集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}，a为给定的实数，关于方程x2－3x－a2＋2＝0，∵Δ＝(－3)2－4(2－a2)＝4a2＋1＞0，∴方程有两个不同的实根，∴集合M中有两个元素，∴集合M的非空真子集的个数为：22－2＝2，故选B.题组6 集合相等的概念21.已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，E＝{x|y＝x2＋1}，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，G＝{x|x≥1}，则()A.P＝FB.Q＝EC.E＝FD.Q＝G【答案】D【解析】∵P＝{y＝x2＋1}是单元素集，集合中的元素是y＝x2＋1，Q＝{y|y＝x2＋1≥1}＝{y|y≥1}，E＝{x|y＝x2＋1}＝R，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，集合中的元素是点坐标，G＝{x|x≥1}.∴Q＝G.故选D.22.设集合A＝{x|y＝x2－4}，B＝{y|y＝x2－4}，C＝{(x，y)|y＝x2－4}，则下列关系：①A∩C＝空集；②A＝C；③A＝B；④B＝C，其中不正确的共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】集合A是数集，它是二次函数y＝x2－4的自变量组成的集合，即A＝R，集合B也是数集，它是二次函数y＝x2－4的值域，即B＝{y|y≥－4}；而集合C是点集，是二次函数图象上所有点组成的集合.因此②③④都不正确.故选C.23.已知集合M＝{a,2,3＋a}，集合N＝{3,2，a2}.若集合M＝N.则a等于()A. 1B. 3C. 0D. 0或1【答案】C【解析】由M＝N得①或②解①得a∈∅，解②得a＝0，此时M＝{0,2,3}，N＝{0,2,3}，满足M＝N.故选C.24.含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a＋b,0}，则a2 009＋b2 009的值为()A. 0B. －1C. 1D. ±1【答案】B【解析】根据题意，对于{a，，1}，有a≠1，a≠0；又有{a，，1}＝{a2，a＋b,0}，则有a＝0或＝0；又由a≠0，故b＝0；代入集合中.可得{a,1,0}＝{a2，a,0}，必有a2＝1，又由a≠1，则a＝－1；则a2 009＋b2 009＝－1，选B.题组7 空集的性质及运算25.下面四个集合中，表示空集的是()A. {0}B. {x|x2＋1＝0，x∈R}C. {x|x2－1＞0，x∈R}D. {(x，y)|x2＋y2＝0，x∈R，y∈R}【答案】B【解析】∵方程x2＋1＝0无实数解，∴{x|x2＋1＝0，x∈R}表示空集.故选B.26.在以下五个写法中：①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈∅；⑤0∩∅＝∅，写法正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】②③正确.27.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}.(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.【答案】(1)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0化为－3x＋2＝0，解集非空；当a≠0时，要使A是空集，则Δ＝(－3)2－8a＜0，解得a＞.∴使A是空集的a的取值范围是(，＋∞).(2)当a＝0，集合A中有一个元素；当a≠0时，若A中有两个元素，则Δ＝(－3)2－8a＞0，解得a＜.综上，使A中至多只有一个元素的a的取值范围是a＝0或a≥.。
1.2集合间的基本关系及运算
集合间的基本关系及运算【知识要点】1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集, 记作A B 或B A.2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B,记作A=B3、真子集：如果A B,且A B,那么集合A称为集合B的真子集,A B .4、设A S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作C S A5 、元素与集合、集合与集合之间的关系6 、有限集合的子集个数1 )n 个元素的集合有2n个子集2) n 个元素的集合有2n-1 个真子集3) n 个元素的集合有2n-1 个非空子集4) n 个元素的集合有2n-2 个非空真子集7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A Bo8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A B o9 、集合的运算性质及运用知识应用】1. 理解方法：看到一个集合A里的所有元素都包含在另一个集合里B,那么A就是B的子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x A能推出x Bo【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系(1)A={-1,1} ，B=Z (2)A={1,3,5,15} ，B={x|x 是15的正约数}【L】例 2.已知集合A={x|-2 x 5},B={x|m+1x 2m-1},若B A,求实数m取值范围。
【C】例3.已知集合A {0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请一写出。
2. 解题方法：证明2个集合相等的方法：(1)若A 、B 两个集合是元素较少的有限集，可用【C 】例 3.集合 M={x|x=3k-2,k Z},P={y|y=3x+1,x Z},S={z|z=6m+1,m Z}之间的关列举法将元素一一列举出来，比较之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足 的条件是否一致，若均一致，则两集合相等。
集合间的基本关系讲义
1.1.2集合间的基本关系一、子集一子集：对于两个集合A、B;如果集合A中任意一个元素．．．．．．都是集合B中的元素;我们就说这两个集合有包含关系;称集合A为集合B的子集;记作A⊆B或B⊇A;读作“A含于B”或“B包含A”数学语言表示形式为：若对任意的x∈A有x∈B;则A⊆B子集关系用文氏图表示为：A⊆B或B⊇A根据子集的定义;我们可以知道A⊆A;也就是说任何集合都是它本身的一个子集.对于空集φ;我们规定φA．;．即空集是任何集合的子集．．．．．．．．．．..例1：用适当的符号填空0____{0}φ____{0}2____{2}2____N{2}____N变式练习1：已知A＝{x｜x2－3x＋2＝0};B＝{1;2};C＝{x｜x＜8;x∈N};用适当的符号填空A___________BA___________C{2}__________C2_________C例2：写出集合{,,,}a b c d的所有子集..解析集合{,,,}a b c d的所有子集可以分为五类;即：1含有0个元素的子集;即空集φ；2含有一个元素的子集：{},{},{},{}a b c d；3含有二个元素的子集：{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a c a d b c b d c d；4含有三个元素的子集：{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b d a c d b c d；5含有四个元素的子集：{,,,}a b c d.结论：如果集合A中有n个元素;则集合A共有2n个子集变式练习1：已知集合A＝{x∈N＋︱－1≤x＜4};则集合A的子集有_________个..解析：8个二、集合相等：如果集合A 是集合B 的子集A ⊆B;且集合B是集合A 的子集B ⊆A;则集合A 与集合B 相等;记作集合A ＝集合B..即：A ⊆B 且B ⊆A 则A ＝B.. 上节两个集合相等：两个集合的元素完全相同例3：已知集合A 和集合B 都是含三个元素的集合;且集合A ＝{a;a ＋b;a ＋2b};B ＝{a;ac;ac 2};若A ⊆B 且B ⊆A;求c 的值..解析1若⎩⎨⎧=+=+22acb a ac b a 消去b 得：ac 2＋a －2ac ＝0; a ＝0时;集合B 中的三元素均为零;和元素的互异性相矛盾;故a ≠0．∴c 2－2c ＋1＝0;即c ＝1;但c ＝1时;B 中的三元素又相同;此时无解．2若⎩⎨⎧=+=+acb a ac b a 22消去b 得：2ac 2－ac －a ＝0;∵a ≠0;∴2c 2－c －1＝0;即c －12c ＋1＝0;又c ≠1;故c ＝－21.. 变式练习：已知集合A 和集合B 都含有三个元素;A ＝{x;xy;x －y};B ＝{0;｜x ｜;y};若A ⊆B 且B ⊆A;求2x ＋y 的值..解析：∴由集合的互异性;∴x －y ＝0;则x ＝y;此时A ＝{x;x 2;0};B ＝{0;｜x ｜;x};则x 2＝｜x ｜且x ≠x 2;故x ＝y ＝－1;此时A ＝{－1;1;0};B ＝{0;1;－1};符合题意;综上所述;2x ＋y ＝－3..三、真子集：如果集合A ⊆B;但存在元素x ∈B;且x ∉A;我们称集合A 是集合B 的真子集..记：A B 或B AA 真含于BB 真包含A注意：即如果A ⊆B 且A ≠B;那么集合A 是集合B 的真子集;记作A B 或B A..例如{1;2}N 、{a;b}{a;b;c}等..子集与真子集的区别在于“．A ．⊆B ．”允许．．．A ．＝．B ．或．A ．B ．;．而．A ．B ．是不允许“．．．．．A ．＝．B ．”的．．;．所以如果．．．．A ．B ．成立．．;．则一定有．．．．A ．⊆B ．成立；．．．但如果有．．．．A ．⊆B ．成立．．;．A ．B ．不一定成立．．．．．..．．空集是任何集合的子集;空集是任何非空集合的真子集..例4：分别写出集合{a};{a;b}和{a;b;c}的所有子集和真子集..集合{a}的子集有φ;{a};共有2个子集；()A B真子集有{a};共1个真子集..集合{a;b}的子集有φ;{a};{b};{a;b};共有4个子集；真子集有φ;{a};{b};共3个真子集..集合{a;b;c}的子集有：φ;{a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c};{a;b;c};共有8个即个子集；真子集有φ;{a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c};共7个真子集.. 结论．．：．如果集合．．．．A ．中有．．n ．个．元素．．;．则集合．．．A ．共有．．2．n ．个子集．．．；．2．n ．－．1．个真子集．．．．..．．例5：有适当的符号填空..1A ＝{2;3;6}B ＝{x ︱x 是12的约数}A_____B2A ＝{0;1}B ＝{x ︱x 2＋y 2＝1;y ∈N}A_____B3A ＝{x ︱－1＜x ＜2}B ＝{x ︱－2＜x ＜2}A_____B4A ＝{x;y ︱x ×y ＜0}B ＝{x;y ︱x ＞0;y ＞0}A_____B5A ＝{x ︱x 2＝1}B ＝{y ︱y 2－2y ＋4＝0}A_____B解析：12345变式练习1：已知集合A ＝{0;1};B ＝{z ︱z ＝x ＋y;x ∈A;y ∈B};则B 的子集有 A ：8个B ：2个C ：4个D ：7个解析：集合B 中有3个元素;子集有8个..A变式练习2：已知集合A ＝{x ∈Z ︱031≤-+x x };B ＝{y ︱y ＝x 2＋1;x ∈A};则集合B 的含有元素1的子集个数为A ：5B ：4C ：3D ：2解析：A ＝{x ∈Z ︱－1≤x ＜3}＝{－1;0;1;2};则B ＝{1;2;5};则集合B 的含有元素1的子集有{1};{1;2};{1;5};{1;2;5}共四个;B变式练习3：已知A ＝{x ︱x ＝a ＋61;a ∈Z};B ＝{x ︱x ＝2b －31;b ∈Z};C ＝{x ︱x ＝2c ＋61;c ∈Z};则集合A 、B 、C 满足的关系是 A ：A ＝B CB ：A B ＝CC ：A B CD ：B C A解析：A ＝{6x ︱6x ＝6a ＋1;a ∈Z};B ＝{6x ︱x ＝3a －2＝3a －1＋1;b ∈Z};C ＝{6x ︱x ＝c 3＋1;c ∈Z}..则A B ＝CB变式练习4：已知A ＝{x ︱y ＝122+-x x };B ＝{y ︱y ＝122+-x x };C ＝{x ︱122+-x x ＝0};D ＝{x ︱122+-x x ＜0};E ＝{x;y ︱y ＝122+-x x };则下列结论正确的是A ：A ⊆B ⊆C ⊆DB ：D C B AC ：B ＝ED ：A ＝B解析：B变式练习5：若集合A 满足{1;2}⊆A ⊆{1;2;3;4};则满足条件的集合A 的个数为_____个..解析：4个二、子集的有关性质1、空集φ：我们把不含有任何元素的集合叫做空集;记为φ;并规定：空集是任何集合的子集;任何非空集合的真子集;即空集．．φ只有一个子集就是它本身．．．．．．．．．．．;．而空．．集没有真子集．．．．．．.. 2、子集与真子集的性质1任何集合是它本身的子集;即A ⊆A ；2对于集合A 、B 、C;如果A ⊆B 且B ⊆C;那么A ⊆C ；3对于集合A 、B 、C;如果A B;且B C;那么A C ；4空集φ是任何集合的子集;是任何非空集合的真子集..例5：下列集合只有一个子集．．．．．．的是 A ：{x ｜x 2≤0}B ：{x ｜x 3≤0}C ：{x ｜x 2＜0}D ：{x ｜x 3＞0}解析：C例6：下列表述正确的是A ：φ＝{0}B ：φ⊆{0}C ：φ⊇{0}D ：φ∈{0}解析：B例7：设A ＝{x ｜2m －1＜x ＜m ＋3};B ＝{x ∈R ｜x 2＋1＝0}问m 为何值时能使得A ＝B..解析1显然B ＝φ;欲使A ＝B;必须且只需A ＝φ即可..由于2m －1≥m ＋3可得m ≥4;此时A ＝{x ｜2m －1＜x ＜m ＋3}＝φ.综上可知;当m ≥4时;A ＝B例8：已知集合A ＝{x ｜x 2＋x －2＝0};B ＝{x ｜x －a ＝0};若B ⊆A;则a ＝_______________..解析易求A ＝{－2;1};B ＝{1}或{－2}当B ＝{1};a ＝1；B ＝{－2};a ＝－2综上：a ＝1或a ＝－2变式练习1：已知集合A ＝{x ｜x 2－8x ＋15＝0};B ＝{x ｜a x －1＝0};若B ⊆A;则a ＝_______________..解析：0或31或51例9：设集合A ＝{x ｜)4)(1(-+x x ≤0};B ＝{x ｜x ≤a };若A ⊆B ;则a 的取值范围是__________..解析：a ≥4变式练习1：已知集合A ＝{x ｜－3≤x ≤5};若集合B ＝{x ｜－2m －1≤x ≤m ＋1};若A ⊆B ;则求m 的取值范围..解析－2m －1≤－3＜5≤m ＋1;即⎩⎨⎧-≤--≥+31251m m m ≥4 变式练习2：集合A ＝{x ｜－2≤x ≤5};B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1};若B ⊆A;则求m 的取值范围..解析：1若B ＝φ;即m ＋1＞2m －1时;即m ＜2；2若B ≠φ;则m 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m 解之得2≤m ≤3;综上所述;m ≤3变式练习2：已知函数fx ＝b ax x ++2a 、b ∈R;且集合A ＝{x ｜x ＝fx};B ＝{x ｜x ＝ffx};1求证：A ⊆B ；2当A ＝{－1;3}时;用列举法表示B..解析：1任取x ∈A;则有x ＝fx;则ffx ＝fx ＝x;故x ∈B;故A ⊆B ；2∵A ＝{－1;3};故⎩⎨⎧++=+-=-b a b a 39311得⎩⎨⎧-=-=31b a ;故fx ＝32--x x ; ∴ffx ＝3)3()3(222------x x x x ;故3)3()3(222------x x x x ＝x0)3(222=---x x x ;∴x ＝3;x ＝－1;x ＝3±;故B ＝{－1;3;3;3-}课后综合练习1、下列关系中正确的个数为 ①0∈{0};②φ{0};③{0;1}⊆{0;1};④{a ;b }＝{b ;a }A ：1B ：2C ：3D ：4解析：B2、下列图形中;表示M ⊆N 的是解析：C 3、设a 、b ∈R;集合{1;a ＋b ;a }＝{0;a b ;b };则b －a ＝ A ：1B ：－1C ：2D ：－2解析：C4、设集合A ＝{x ︱x ＝k 21＋41;k ∈Z};若x ＝29;则下列关系正确的是 A ：x ∉AB ：x ∈AC ．{x}∈AD ．{x}∉A解析：A5、用适当的符号填空：1φ______{x ｜x 2－1＝0}；2{1;2;3}________N ；3{1}_________{x ｜x 2－x ＝0}；40________{x ｜x 2－2x ＝0}解析：∈6、已知集合A ＝{x ｜1≤x ＜4};B ＝{x ｜x ＜a };若A B;求实数a 的取值范围________..解析：a ≥47、已知A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＝0};B ＝{x ｜a x －2＝0}且B ⊆A;则实数a 组成的集合C 是________..解析：{0;2;1}8、写出集合A ＝{x ｜0≤x ＜3;x ∈N ＋}的真子集..解析：3个9、已知M ＝{x ｜－2≤x ≤5};N ＝{x ｜a ＋1≤x ≤2a －1}..1若M ⊆N;求实数a 的取值范围..2若M ⊇N;求实数a 的取值范围..解析：1φ2a ≤310、若集合A ＝{x ｜a ≤x ≤a ＋2};B ＝{x ｜x ≤1};若A ⊆B;则a 的取值范围为_____..解析：a ≤－111、已知集合A ＝{x ｜24x y -=};B ＝{x ｜a ≤x ≤a ＋1};B ⊆A;则a 的取值范围为_____..解析：－1≤a ≤2MN AM N B N M C M N D12、已知集合A ＝{y ｜x y 23-=;x ∈－213;23};B ＝{x ｜1－m ≤x ≤m ＋1};若B ⊆A;则m 的取值范围为_____..解析：A ＝{y ｜x y 23-=;x ∈－213;23}＝0;4m ≤1。
集合间的基本关系
集合间的基本关系知识点总结一、子集、真子集、集合相等二、空集1、定义：不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.2、性质：空集是任何集合的子集.三、子集个数与元素个数的关系设有限集合A 有n （n 属于*N ）个元素，则其子集的个数是n 2，真子集的个数是12-n ，非空子集的个数是12-n ，非空真子集的个数是22-n .一、知识辨析1、} 3 ,2 ,1 {1⊆...........................................（ ）2、φ和{φ}表示的意义相同...............................（ ）3、} )1 ,0( {} 0 ,1 {} 1 ,0 {==..................................（ ）4、任何集合都有子集和真子集.............................（ ）5、若a ∈A ，则}{a ⫋A.....................................（ ）6、如果集合A B ⊆，那么若元素a 不属于A ，则必不属于B.....（ ） 二、选择1、已知集合} | {是菱形x x A =，} | {是正方形x x B =，} | {是平行四边形x x C =，那么A ，B ，C 之间的关系是 （ ）A.C B A ⊆⊆B.C A B ⊆⊆C.A ⫋B ⊆CD.C B A ⊆=2、给出下列四个关系式：①R ∈3；②Z ∈Q ；③0∈φ；④φ⊆} 0 {.其中正确的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.43、能正确表示集合} 20| {≤≤∈=x R x M 和集合} 0x -| {2=∈=x R x N 关系的Venn 图是 （ ）A B C D4、已知集合} ,2| {Z k k x x A ∈==，} ,4| {Z k k x x B ∈==，则A 与B 之间的关系是（ ） A.A=B B.B ⊇A C.A ⫋B D.B ⫋A5、已知集合} 03| {*＜-∈=x N x A ，则满足条件A B ⊆的集合B 的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.86、已知集合} 2 ,1 ,0 {⊆A ，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为 （ ） A.6 B.5 C.4 D.37、集合} , {y x 的子集个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.48、在下列选项中，能正确表示集合} 2 ,0 ,2 {-=A 和集合} 02| {2=+=x x x B 关系的是 （ ） A.A=B B.B A ⊇ C.B A ⊆ D.B A =φ 9、集合} 1 ,2 {-=A ，} 1 ,m {2--=m B ，且A=B ，则实数m=（ ） A.2 B.-1 C.2或-1 D.410、已知集合} 0y ,0y |y)(x, {＞＜x x M +=，} 0y ,0|),( {＜＜x y x P =，那么 （ ） A.P ⫋M B.M ⫋P C.M=P D.M ≠P11、下列四个关系：①} , {} , {a b b a ⊆；②φ=} 0 {；③} 0 {∈φ；④} 0 {0∈.其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.412、已知φ⫋} 0x | {2=+-a x x ，则实数a 的取值范围是 （ ） A.41＜a B.41≤a C.41≥a D.41＞a 13、设集合} 1 1, {-=A ，集合} 02| {2=+-=b ax x x B ，若B ≠φ，A B ⊆，则有序实数对（a,b ）不能是（ ）A.（-1,1）B.（-1,0）C.（0，-1）D.（1,1） 三、填空14、已知集合} 3, 1, {m A -=，} 4 3, {=B ，若A B ⊆，则实数m= .15、已知集合} ,02| {2R a a ax ax x A ∈=++=，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为 .16、设a ，b ∈R ，集合} ,0 {} 1 , {b a a +=，则a b -= . 四、解决问题17、已知集合} 4 1| {＞或＜x x x A -=，} 3a 2| {+≤≤=x a x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18、已知} 01)1(3| {22=-+++=a x a x x A ，} 0 {=B ，若B A ⊆，求a 的取值范围.19、若集合} 06| {2=-+=x x x M ，} 0))(2(| {=--=a x x x N ，且M N ⊆，求实数a 的值. 提升题 一、选择题1、下面各选项中，两个集合相等的是 （ ）A.} ) 2 ,1 ( {=M ,} ) 1 ,2 ( {=NB.} 2 ,1 {=M ，} ) 2 ,1 ( {=NC.M=φ，} {φ=ND.} 012| {2=+-=x x x M ，} 1 {=N 2、下列关系中正确的是（ ）A .} 1 ,0 {1∈ B.} 1 ,0 {1∉ C.} 1 ,0 {1⊆ D.} 1 ,0 {} 1 {∉ 3、已知集合} 02| {2＜-+∈=x x Z x A ，则集合A 的一个真子集为 （ ） A.} 02| {＜＜x x - B.} 20| {＜＜x x C.} 0 { D.} {φ 4、集合} 1 ,0 1, {-=A ，A 的子集中含有元素0的子集共有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个5、若P M ⊆，Q M ⊆，} 2 1, ,0 {=P ，} 4 2, ,0 {=Q ，则满足上述条件的集合M 的个数是（ ） A.1 B.2 C.4 D.86、集合} , 3| {N n x x M n ∈==，集合} , 3| {N n n x x N ∈==，则集合M 与集合N 的关系为（ ） A.N M ⊆ B.M N ⊆ C.N M = D.M ⊈N 且N ⊈M7、若A x ∈，A x ∈1，则称A 是伙伴关系集合.集合} 3 ,2 ,31,21 ,0 ,1 {-=M 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A.31 B.7 C.3 D.18、已知集合} , 0| {N y a y y A ∈≤=＜，} , 032| {2N x x x x B ∈≤--=，若A ⫋B ，则满足条件的正整数a 所构成集合的子集的个数为（ ） A.2 B.4 C .8 D.16 二、填空9、方程0822=--x x 的解集为A ，方程02=-ax 的解集为B ，若A B ⊆，则实数a 的取值集合为 .10、已知集合} 44 ,4 ,3| {-=m y A ，集合} ,3| {2m y B =，若A B ⊆，则实数m= . 三、解决问题11、已知} 52| {≤≤-=x x A ，} 121| {-≤≤+=m x m x B ，A B ⊆，求m 的取值范围.。
高一数学集合间的基本关系
第二节集合间的基本关系学习目标1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集2、在具体情境中，了解空集的含义知识框架1、子集定义：如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。
记作：BA⊆（或B⊇Ａ）A⊆有两种可能B（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B 或B⊇/A2、真子集如果集合BA⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则称集合A是集合B 的真子集如果A⊆B,且A≠B，那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真包含于B3、集合相等元素相同则两集合相等，如果A⊆B同时B⊆A，那么A=B4、空集不含有任何元素的集合叫做空集，记为∅规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
5、集合的性质①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A②如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C③如果A B且B C，那么A C④有n个元素的集合，有2n个子集，1n个真子集2-随堂练习1、设{},62,8|=≤=a x x P 则下列关系中正确的是（ ）A.P a ⊆B.P a ∉C.{}P a ⊆D.{}P a ∈2、集合{}3,2,1=M 的真子集的个数是（ ）A.6B.7C.8D.93、设集合{}{},,|),(,,|22R x x y y x Q R x x y y P ∈==∈==则P 与Q 的关系是A.Q P ⊆B.Q P ⊇C.Q P =D.以上都不正确4、已知集合A {},7,3,2且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有A.3个B.4个C.5个D.6个5、已知集合{},12,3,1--=m A 集合{},,32m B =若,A B ⊆则.________=m6、设集合{}{},1212|,23|+≤≤-=≤≤-=k x k x B x x A 且,B A ⊇则实数k 的取值范围是.____________7、已知集合{}{},,01|,0158|2A B ax x B x x x A ⊆=-==+-=求实数a 的不同取值组成的集合.8、已知集合{}{},0))(1(|,31|=--=≤≤=a x x x B x x A（1）当集合B 是A 的子集时，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a 使得B A =成立？。
集合间的基本关系
3.已知A { x | 2 x 5}, B { x | a 1 x 2a 1}, B A, 求实数a的取值范围 .
解： A， 当B ，有a 1 2a 1, 即a 2 2 a 1 a 1 当B 时，有a 1 -2 2 a 1 5 2 a 3 综上所述，a的取值范围a 3.
1.1.2集合间的基本关系
1．子集的概念
一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个 集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记作 A B (或B A) 读作 “A含于B”(或“B包含A” )
B
A
2.集合相等与真子集的概念
如果集合 A是集合B的子集(A B) ，且集合B是 集合A的子集（B A），此时，集合 A与集合B中 的元素是一样，因此， 集合A与集合B相 等， 记作 A＝B
答案：－1
5.反馈演练
1、下列命题： (1)空集没有子集； (2)任何集合至少有两个 子休； (3)空集是任何集合的真子 集； (4)若 A，则A .其中正确的有 ( A.0个 ) D.3个 B.1个 C.2个
y-3 2.设x, y R，A {(x,y) | y - 3 x - 2}, B {(x,y) | 1}, x-2 则A，B的关系是______.
课堂练习
1 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x-a≥0} 若A是B的真子集，求实数a的取值范围。
2 设A={1，2}，B={x|x∈A}，问A与B有什 么关系？并用列举法写出B？
4、设集合A {x | x 2 4x 0}, B {x | x 2 2(a 1)x a 2 - 1 0,a R}, 若B A，求实数a的值.
课件1：1.1.2 集合间的基本关系
例题讲解
解 ∵B⊆A， (1)当 B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得 m≥2.
－3≤2m－1，
(2)当 B≠∅时，有m＋1≤4，
2m－1＜m＋1，
解得－1≤m＜2，综上得 m≥－1.
方法总结
1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个 集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合 在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点 值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示， 不含“＝”用空心点表示． 2．此类问题要注意对空集的讨论．
求实数 a 的值． 解 由 A＝B 及两集合元素特征，
a2－1＝0，
a＝±1，
∴
∴
a2－3a＝－2， a＝1或a＝2.
因此 a＝1，代入检验满足互异性．∴a＝1.
例题讲解
例3、 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜ m＋1}且B⊆A.求实数m的取值范围．
[思路探索] 借助数轴分析，注意B是否为空集．
新知导学
2．空集 (1)定义： 不含任何 元素的集合叫做空集． (2)符号表示为： ∅ . (3)规定：空集是任何集合的 子集 ． 3．子集的有关性质 (1)任何一个集合是它本身的 子集，即 A⊆A . (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那 么 A⊆C .
互动探究
探究点1 能否把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素 组成的集合”？ 提示 不能．这是因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不 含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有 B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B成立，所以 上述理解是错误的．
第一章 集合与函数概念
1.1.2 集合间的基本关系
新知导学
1．子集及其相关概念
第02讲 1.2集合间的基本关系(教师版)
第02讲 1.2集合间的基本关系课程标准学习目标①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集;②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。
1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。
2． 在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。
3. 能利用Venn 图表达集合间的关系。
4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。
知识点01：venn 图（韦恩图）在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Venn 图。
Venn 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。
利用Venn 图，可以使问题简单明了地得到解决。
对Venn 图的理解(1)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.(2)用Venn 图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.知识点02：子集1子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集（1）记法与读法：记作A B ⊆(或B A ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)（2）性质：①任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.②对于集合A ，B ，C ，若A B ⊆，且B C ⊆，则A C ⊆（3）venn 图表示：2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“Δ表示元素与集合之间的从属关系.【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）写出集合{,}a b 的所有子集．【答案】{}{}{},,,,a b a b f 【详解】集合{,}a b 的所有子集有：{}{}{},,,,a b a b f 知识点03：集合相等一般地,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,那么集合A 与集合B 相等,记作A B =.也就是说,若A B ⊆,且B A ⊆,则A B =.（1）A B =的venn 图表示（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关【即学即练2】（2024秋·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）下面说法中不正确的为（ ）A ．{}{}1||1x x y y x y +==+=B ．(){}{},2||2x y x y x x y +==+=C ．{|2}{|2}x x y y >=>D ．{}{}1,22,1=【答案】B【详解】对于A ，因{}1|R x x y +==，{}1|R y x y ==+，即{}{}1||1x x y y x y +==+=，A 正确；对于B ，因集合(){},2|x y x y +=的元素为有序数对，而{}2|x x y +=的元素为实数，两个集合的对象不同，B 不正确；对于C ，因集合{|2}x x >与{|2}y y >都表示大于2的数形成的集合，即{|2}{|2}x x y y >=>，C 正确；对于D ，由列举法表示集合知{}{}1,22,1=正确，D 正确.故选：B知识点04：真子集的含义如果集合A B ⊆，但存在元素x B Î，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集;（1）记法与读法：记作A B Ü，读作“A 真包含于B ”(或“B 真包含A ”)【即学即练3】（2024·全国【答案】7【详解】由{}a {,,M a b ⊆M 中的元素个数多于{}a 中的元素个数，不多于因此M 中的元素来自于b ,c,d 即在b ,c,d 中取1元素时，M 故足条件：{}a {,,M a b ⊆故答案为：7.{}{}Ì，故③正确，④错误，正确的个数为2.11,2,3故选：B题型01 判断两个集合的包含关系【详解】由题意知，，M xì=【典例1】（2024·陕西咸阳·统考三模）设集合*{|13}A x N x =Î-<£，则集合A 的真子集个数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．15【答案】B【详解】因为*{|13}A x N x =Î-<£，【典例1】（多选）（2024·全国·高三专题练习）已知集合{17}A xx =-££∣，{221}B x a x a =+££-∣，若使B A ⊆成立的实数a 的取值集合为M ，则M 的一个真子集可以是（ ）A ．{4}x x £∣B ．{3}xx £∣C ．{|34}x x <£D ．{|45}x x £<【答案】BC【详解】由题意集合{17}A xx =-££∣，{221}B x a x a =+££-∣，因为B A ⊆，所以当B =∅时，221a a +>-，即3a < ；当B ≠∅时，有12217a a -£+£-£ ，解得34a ££，故(,4]M =-¥,则M 的一个真子集可以是(,3]-¥或(]3,4，故选：BC.【典例2】（2024·高一课时练习）设{1,2}A =，{|}B x x A =⊆若用列举法表示，则集合B 是________.【答案】{∅，{1}，{2}，{1,2}}【详解】由题意得，A ＝{1,2}，B ＝{x |x ⊆A }，则集合B 中的元素是集合A 的子集：∅，{1}，{2}，{1,2}，所以集合B ＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，故答案为：{∅，{1}，{2}，{1,2}}.【变式1】（多选）（2024秋·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）已知集合{2,4}M =，集合M N N ⊆，是{1,2,3,4,5}的真子集，则集合N 可以是（ ）A ．{2,4}B ．{2,3,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}【答案】ABC【详解】集合{2,4}M =，集合M N ⊆{1,2,3,4,5}，则集合N 中至少包含2，4两个元素，又不能等于或多于{1，2，3，4，5}中的元素，所以集合N 可以是{2,4},{2,3,4},{1,2,3,4},故选：ABC题型04空集的概念集判断【典例1】（2024·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是( )A ．2{|10}x R x Î-=B ．{|61}x x x ><或C ．22{(,)|0}x y x y +=D ．{|61}x x x ><且【答案】D【详解】A 选项：21{|10}x R x ±ÎÎ-=，不是空集；B 选项：7$Î{x |x >6或x <1}，不是空集；C 选项：(0,0)∈{(x ，y )|x 2+y 2=0}，不是空集；D 选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x |x >6且x <1}=∅.故选：D【典例2】（2024春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）下列各式中：①{}{}00,1,2Î；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}0∅=；⑤{}(){}0,10,1=；⑥{}00=.正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{}{}0,1,22,1,0⊆，正确；③空集是任意集合的子集，故{}0,1,2∅⊆，正确；④空集没有任何元素，故{}0∅≠，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故{}(){}0,1,0,1为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.【变式1】（2024·上海·高一专题练习）下列六个关系式：①{}{},,a b b a =；②{}{},,a b b a ⊆；③{}∅=∅；④{}0=∅；⑤{}0∅⊆；⑥{}00Î．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6【答案】C【详解】①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{}∅表示的是含∅这个元素的集合，所以{}∅=∅不成立.④错误，∅表示空集，而{}0表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以{}0=∅不成立；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，由元素与集合的关系知，{}00Î．故选：C.【变式1】（多选）（2024·全国·高一校联考阶段练习）下列关系中正确的是（ ）A ．0Î∅B ．{}∅Î∅C ．{}∅⊆∅D ．{}0∅⊆【答案】BCD【详解】选项A ：空集中没有元素，故A 错误；选项B ：{}∅中只有一个元素∅，故B 正确；选项C ，D ：空集是任意集合的子集，故C ，D 正确故选：BCD题型05 空集的性质及应用【典例1】（2024·全国·高一专题练习）已知集合{|21}M x m x m =<<+，且M =∅，则实数m 的取值范围是____.【答案】m ≥1【详解】∵M ＝∅，∴2m ≥m ＋1，∴m ≥1.故答案为m ≥1【典例2】（2024·高一课时练习）不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为∅，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】{|1}a a £-【详解】解：∵不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为∅，①当0a >时，由0ax >求得0x >；由10x a ++>，求得1x a >--，故不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为{|0}x x >≠∅，故不满足条件；②当a<0时，由0ax >求得0x <；由10x a ++>，求得1x a >--，若10a --³，即1a £-时，不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为∅，满足条件；若10a --<，即01a >>-时，不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为{|10}x a x --<<≠∅，不满足条件，综上可得实数a 的取值范围是{|1}a a £-，故答案为：{|1}a a £-．【变式1】（2024秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合{}R 2x a x Σ£ 为空集，则实数a 的取值范围是______.【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知集合{}20,1,A a =，{}1,0,32B a =-，若A B =，则a 等于（ ）A ．1或2B ．1-或2-C ．2D ．1【答案】C【详解】解：因为A B =，所以232a a =-，解得1a =或2a =.当1a =时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =不正确.题型08根据集合的包含关系求参数【典例1】（2024·全国·高一专题练习）给定集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，对于x S Î，如果11x S x S +∉-∉,，那么x 是S 的一个“好元素”，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【答案】6【详解】若不含好元素，则集合S 中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有{}{}{}{}1,2,3,2,3,43,4,545,6,5,6,7,6,7,8{},{},,，共有6个.故答案为：6．【典例2】（2024·高一课时练习）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A Î，若1k A -∉且1k A +∉，则k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个．【答案】7【详解】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合S 不含“孤立元”，则集合S 中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，{}7,8,9，共7个．故答案为：7.本节重点方法（数轴辅助法）【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知集合{|4A x x =³或}5x <-，{}|13B x a x a =+££+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围_________．【答案】{|8a a <-或}3a ³【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，要使B A ⊆，只需35a +<-或14a +³，解得8a <-或3a ³．所以实数a 的取值范围{|8a a <-或}3a ³.故答案为：{|8a a <-或}3a ³ 综上，实数a 的取值范围为{4a a -或}2a >.本节数学思想方法（分类讨论法）{},|34B A A x x ⊆=-££Q ，213m \-³-且14m +£，解得：13m -≤≤，所以12m -£<,②若B 为空集，符合题意，可得：211m m -³+，解得：2m ³.综上，实数m 的取值范围是1m ³-.故答案为：[)1,-+¥.。
逻辑关系与集合：第2讲集合间的基本关系
集合间的基本关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．重点：“集合的包含关系”“子集、真子集的个数”“用Venn图表示集合间的包含关系”等问题．难点：集合间关系的判断，尤其是空集在解题中容易被忽视．公孙龙是我国战国时期的诸子百家中的一位名家，他曾提出“白马非马”的论断．他的理由主要有三条，其中一条是他认为“马”是一种动物，而“白”是一种颜色，“白马”则是一种动物和一种颜色的混合体，因此他认为“白马非马”，通过这种解释，你还认为白马是马吗？你认为所有白色的马组成的集合与所有马组成的集合之间具有什么关系呢？问题1：子集、集合相等、真子集和空集分别是如何定义的？一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．若集合A与集合B中的元素完全相同，就称集合A与集合B相等，从子集的定义可以看出A＝B就是A⊆B且B⊆A.集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，即如果A⊆B且A≠B，那么集合A是集合B的真子集，记作A B.把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A.问题2：“∈”与“⊆”有什么区别？∈是表示元素与集合之间的关系的符号，因此有1∈N，－1∉N等；⊆是表示集合与集合之间的关系的符号，因此有N⊆R，∅⊆R等．问题3：子集具有哪些性质？子集具有以下性质：(1)A⊆A，即任何一个集合都是它本身的子集．(2)如果A⊆B，B⊆A，那么A＝B.(3)如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C.(4)如果A B，B C，那么A C.问题4：含有n个元素的集合有多少个子集？有多少个真子集？若集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集，特别地，∅是任何集合的子集，是任意非空集合的真子集．维恩(John Venn，公元1834年8月4日—公元1923年4月4日)，英国数学家，生于英国赫尔，卒于剑桥.1853年入剑桥大学学习，1857年在数学方面获得学位，并被选为学院的研究员，他担任此职直至去世.1883年他获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．问题1：有下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅；⑤集合A⊆B，就是集合A中的元素都是集合B中的元素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．其中正确的有()．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B问题2：设集合A＝{x|0≤x<2且x∈N}，则其子集的个数是________，真子集的个数是________．【解析】因为A＝{0，1}，所以A的子集有∅，{0}，{1}，{0，1}，故子集的个数为4，其中真子集有3个．【答案】4 3问题3：以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来．①0与{0}；②0与∅；③∅与{0}；④{0，1}与{(0，1)}；⑤{(b，a)}与{(a，b)}．【解析】①0∈{0}；②0∉∅；③∅与{0}都是集合，两者的关系是“包含与否”的关系．∴∅{0}，也可∅⊆{0}．④{0，1}是含两个元素0，1的集合；而{(0，1)}是以有序数对为元素的集合，它只含一个元素，∴{0，1}≠{(0，1)}．⑤当a＝b时，{(a，b)}＝{(b，a)}；当a≠b时，{(a，b)}≠{(b，a)}．问题4：请回答“学习情景设置”中的问题．【解析】白马是马，只不过其前面限定了条件，即这匹马的颜色必须是白色的．白马组成的集合包含于马组成的集合，即{白马}⊆{马}．例1下列表示或说法正确的是________．①{1，2}⊆{1，2}；②{0}∈{{0}，{1}}；③满足A⊆{a，b}的集合A有4个；④集合{x|y＝x2}＝{y|y＝x2}．【方法指导】首先确定给出的是元素与集合的关系，还是集合与集合的关系，然后再按照相应的定义去判断．【答案】①②③【小结】(1)元素与集合之间的关系是“∈”或“∉”，集合间的关系是“⊆”“”“＝”或“≠”；(2)任何一个集合是它本身的子集；(3)含有n个元素的集合的子集的个数是2n.〖拓展问题〗判断下列各组集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x2＋1＝0，x∈R}；(3)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；(4)M＝{x|x＝n2，n∈Z}，N＝{x|x＝12＋n，n∈Z}．【解析】(1)若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A B.(2)因为A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0，1}，B ＝{x |x 2＋1＝0，x ∈R }＝∅，所以B A .(3)由图形的特点可画出Venn 图如图所示，从而DBAD .(4)(法一)对于集合M ，其组成元素是n2，分子部分表示所有的整数；而对于集合N ，其组成元素是12＋n ＝2n ＋12，分子部分表示所有的奇数，由此可知NM .(法二)用列举法表示集合如下： M ＝{0，±12，±1，±32，±2，±52，…}，N ＝{±12，±32，±52，…}，所以NM .例2已知集合A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4，5}，且A M ⊆B ，写出满足上述条件的集合M .【方法指导】AM ⊆B 即A 是M 的真子集，M 是B 的子集，因此M 中包含了A 中的所有元素，并且还必须比A 中元素多，还要使得这些元素都在B 中．【解析】满足条件的集合M 有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．【小结】解决此题的关键是搞清满足条件的集合M 中的元素有哪些．∵AM ，∴M 中一定有A 的全部元素1、2，且至少含有一个不属于A 的元素．又∵M ⊆B ，∴M 中的元素除了含有A 的元素1、2外，还有元素3、4、5中的1个、2个或3个．故求M 的问题转化为研究集合{3，4，5}的非空子集的问题，显然所求集合M 有23－1＝7个，按元素的多少把它们一一列举出来即可．〖拓展问题〗已知{x |x 2－1＝0}A ⊆{－1，0，1}，求集合A 的子集个数．例3已知集合A ＝{x |2a －2<x ≤a ＋2}，B ＝{x |－2≤x <3}且A ⊆B ，求实数a 的取值范围．【方法指导】a 的取值范围←解关于a的不等式←由已知A ⊆B【解析】由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ＋2，2a －2≥－2，a ＋2<3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <4，a ≥0，⇒0≤a <1a <1.所以，a 的取值范围是{a |0≤a <1}．[问题]上述解法正确吗？集合A 一定是非空集合吗？ [结论]不正确，集合A 可能为空集． 正确解法：由已知A ⊆B 可得， (1)当A ＝∅时，有2a －2≥a ＋2⇔a ≥4. (2)当A ≠∅时，此时解题过程同上面解析．综合(1)(2)，实数a 的取值范围是{a |a ≥4或0≤a <1}．【小结】注意以下两点：(1)∅是任何集合的子集；(2)列不等式时是否取等号．〖拓展问题1〗已知集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，集合Q ＝{x |ax ＋1＝0}，且Q ⊆P ，求实数a 的取值构成的集合A .〖拓展问题2〗设集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{1，a 2}，若A ＝B ，求实数a ，b 的值． 【解析】∵A ＝B ，∴a ＝1或b ＝1， 当a ＝1时，集合B 不满足互异性，舍去． 当b ＝1时，由a 2＝a 得a ＝0或a ＝1(舍去)，此时A ＝B ＝{0，1}，满足条件． 综上可知：a ＝0，b ＝1.通过本单元的学习，你能归纳出哪些知识要点与方法技巧？1．判断两集合关系的关键在于化简给定的集合，并确定集合的元素，明确集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆．2．利用相等集合的定义解题时，要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检验． 3．注意空集的特殊性，解题时，若未指明集合非空，则要考虑集合为空集的可能性．1．若M ＝{x |x ＞－1}，N ＝{x |x ＞0}，则( )． A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ＝N D ．M ∈N 【解析】结合数轴，可知N ⊆M .【答案】B2．集合{a ，b ，c }的所有子集个数为________．【答案】83．若集合A ＝{x |x >a }，B ＝{x |2x －5≥0}，且满足A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 【解析】B ＝{x |2x －5≥0}＝{x |x ≥52}．∵A ⊆B ， ∴a ≥52.即实数a 的取值范围是{a |a ≥52}．1．以下五个式子中，错误的个数为( )．①{1}∈{0，1，2}；②{1，－3}＝{－3，1}；③{0，1，2}⊆{1，0，2}；④∅{0，1，2}；⑤∅＝{0}．A．1B．2 C．3D．4【答案】B2．设集合A＝{x|2012≤x≤2013}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是()．A．a＞2012 B．a＞2013C．a≥2012 D．a≥2013【解析】结合数轴可知，若A B，则a＞2013，故选B.【答案】B3．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________．【解析】根据子集的意义知，若B⊆A，则3∈A，m2∈A，所以m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1，解得m＝1.【答案】14．已知集合B＝{1，2，3，4，5}，C＝{1，3，5，7，9}，集合A满足A⊆B，A⊆C，写出所有可能的集合A.【解析】由题意，集合A可能为：∅，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．5．集合A＝{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的真子集有()．A．9个B．8个C．7个D．6个【解析】易知A＝{5，3，1}，∴A的真子集有23－1＝7个．【答案】C6．若{1，2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则()．A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3【解析】由题意得，1，2是方程x2＋bx＋c＝0的两实数根，故1＋2＝－b，1×2＝c，即b＝－3，c＝2.【答案】A7．满足{a，b}⊆A{a，b，c，d}的集合A有__________个．【解析】满足条件的集合A有：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，共3个．【答案】38．含有三个实数的集合可表示为{a ，ba ，1}，也可表示为{a 2，a ＋b ，0}．求a ＋a 2＋a 3＋…＋a 2012＋a 2013的值．【解析】由{a ，ba ，1}可得a ≠1且a ≠0.∴ba ＝0，即b ＝0，∴a ＋b ＝a ， ∴a 2＝1且a ≠1，∴a ＝－1，∴a ＋a 2＋a 3＋…＋a 2012＋a 2013＝－1＋1－1＋1－…＋1＋(－1)＝－1.9．若集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x ⊆A }，则用列举法表示集合B ＝________．【答案】{∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}}10．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 【解析】由题意知A ＝{0，－4}，又B ⊆A ， ∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}， 当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根， ∴Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，∴a <－1.当B ＝{0}时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，得a ＝－1.当B ＝{－4}时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0知无解．当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1. 综上所述，a 的取值范围为{a |a ＝1或a ≤－1}．。
集合2 集合间的基本关系
集合2 集合间的基本关系基本概念一、子集、真子集、集合相等已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集. 三、空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 注：元素与集合的关系“∈”，集合与集合的关系“⊆” 相关练习题型一 包含关系、子集和真子集 一、选择题1. 下列四个命题：① ；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的是 A. 个B. 个C. 个D. 个2. 有下列四个关系式：① ；② ；③ ；④ .其中正确的有A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④3. 如果集合 ，那么：① ；② ；③ ；④ ；⑤其中正确的个数为A. B. C. D.4. 集合，，之间的关系是A. B. C. D.5. 设集合，，则A. B.C. D. 与的关系不确定6. 设，，则下列关系正确的是 ( )A. B.C. D. 与没有公共元素7. 若集合，，满足，，则与之间的关系为A. B. C. D.8. 已知集合，，若，则A. B. C. 或 D. 或9. 设集合，若，则m= ( )A. 3B. 2C. -2D. -310. 集合，，若，且，则的取值为A. B. C. 或 D. 或11. 已知集合，，若，则实数的取值范围是A. B.C. D.12. 已知集合，则能使成立的实数的范围是 ( )A. B.C. D.二、填空题13. 已知集合，集合，若则实数．14. 若集合，，若，则的值．15. 已知集合，或，若，则的取值范围为．16. 集合，．若且为非空集合，则实数的取值范围是．三、解答题17. 设，，若，求实数的取值范围．18.已知集合，，若，求实数的取值范围．19.已知集合，，且，求实数的值组成的集合．20.已知集合，，若，求实数的取值范围．21.已知，，，求的取值范围．22.设集合，，若，求实数的值．题型二集合相等、元素的个数一、选择题1. 下列选项中的与相等的是A. ，B. ，C. ，D. ，2. 下列各组两个集合和，表示同一集合的是 ( )A.B.C.D.3. 下列命题正确的个数为 ( )① ，，则；② ；③；④ ．A. B. C. D.4. 下列结论正确的个数为 ( )①集合，集合是的正因数，与是同一个集合；②集合与集合是同一个集合；③由，，，，这些数组成的集合有个元素；④集合是指第二和第四象限内的点集．A. B. C. D.5. 满足条件的集合的个数是A. B. C. D.6. 已知集合，且中至少有一个奇数，则这样的集合共有A. 个B. 个C. 个D. 个7. 若集合，且中至少含有一个奇数，则这样的集合有A. 个B. 个C. 个D. 个8. 已知集合，集合，若，则A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题（共4小题；共20分）9. 已知，，若，则．10. 若集合含有两个元素，，集合含有两个元素，，且，相等，则．11. 若，则，，．12. 已知，，且，则，，．题型三空集一、选择题1. 下列四个集合中，是空集的是A. B. 且C. D.2. 下列集合中，是空集的是A.B.C.D.3. 下列集合中为空集的是 ( )A. B.C. D.4. 若非空数集，，则能使成立的所有的集合是 ( )A. B.C. D.二、解答题5. 已知集合．Ⅰ若是空集，求的取值范围；Ⅱ若中只有一个元素，求的值；Ⅲ若中至多有一个元素，求的取值范围．6. 已知集合，，且，求实数的值组成的集合．题型一答案1. B2. A3. A4. C5. B6. B7. D8. C9. D 10. B 11. C 12. B13. 14. = 15. 或 16.17. 或．18. 因为，且，所以① 当时，，可得，所以；② 当时，，解得，此时符合，所以；③ 当时，，解得，此时不符合，舍去；④ 当时，由根与系数的关系得此时无解．综上，，即的取值范围为．19. ，若，；若，，由得，或．解得或，因此实数的值组成的集合是：．20. 因为，当时，即，得，满足．当时，要使，必须解得综上所述，的取值范围为．21. 当，即时，，满足，即；当，即时，，满足，即；当，即时，由得，即；所以．22. ．因为，所以或．（1）当时，即，则，是方程的两根，代入解得．（2）当时，分两种情况：① 若，则，解得；② 若，则方程有两个相等的实数根，所以，解得，此时，满足条件．综上可知，所求实数的值为或．题型二答案1. C2. C3. B4. A5. C6. D7. D8. C9. 10. 11. ；； 12. ；；题型三答案1. B2. D3. C4. B5. （1）是空集，方程无实数根，，且，解得．即的取值范围为．（2）中只有一个元素，方程只有一个实数根．若，方程为，解得，此时；若，则，即，解得．或．（3）中至多有一个元素包含中只有一个元素和是空集两种情况，由（1）（2）可知的取值范围为或．6. ，若，；若，，由得，或．解得或，因此实数的值组成的集合是：．。
1.2集合间的基本关系
1.2集合间的基本关系
集合间的基本关系包括包含关系、相等关系和互斥关系。
首先，包含关系指的是一个集合中的所有元素都属于另一个集合，这种关系通常用符号“⊆”来表示。
例如，如果集合A包含于集合B，则可以表示为A⊆B。
其次，相等关系指的是两个集合具有相同的元素，即彼此相互包含，通常用符号“=”来表示。
例如，如果集合A和集合B具有相同的元素，则可以表示为A = B。
最后，互斥关系指的是两个集合没有共同的元素，即它们之间没有交集，通常用符号“∩”来表示。
例如，如果集合A和集合B 没有共同的元素，则可以表示为A∩B = ∅。
这些基本关系在集合论中具有重要的意义，可以帮助我们理解集合之间的包含、相等和互斥关系，从而更好地进行集合运算和推理。
1.2集合间的基本关系 课件(共20张PPT)
新知探究1：子集
子集的定义： 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包 含关系，称集合A为集合B的子集. 记作：A B (或B A ). 读作：“A包含于B” (或“B包含A”). 符号语言：任意x A，有x B, 则A B.
新知探究1：子集
人教版数学课本必修一 第一章 第二节
集合间的基本关系
复习引入
1.集合中元素的三大特性：确定性 、互异性、无序性．
2.元素与集合的关系
意义
读法 符号表示
a 是集合 A 的元素 a 属于集合 A a∈A
a 不是集合 A 的元素 a 不属于集合 A a A
3.常用数集的表示
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
表示 N
N 或N
Z
Q
R
4.集合的表示法：列举法 、描述法．
新知探究1：子集
思考1：两个实数之间有相等关系，大小关系，如5=5，5＜7，5＞3， 等等.类比两个实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
新知探究1：子集
观察下面三组集合，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能 发现下面两个集合之间的关系吗？
(× ) (× ) (√ )
新知探究2：集合的相等
第三组集合
③ A={x| x是两条边相等的三角形}, B={x | x是等腰三角}. 集合A中的元素和集合B中的元素相同，集合A与集合B相等
思考2：能否仿照实数中的结论“若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”， 用集合的语言描述集合A和集合B相等?
a ≥b
BHale Waihona Puke Ab ≥aA Ba=b
A= B
新知探究2：集合的相等
1.1.2 集合间的基本关系
1．1.2 集合间的基本关系一、子集1、定义：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含包含关系，称集合A 为集合B 的子集2、记法与读法：记作B A ⊆(或A B ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)3、结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.(2)对于集合A ，B ，C ，若A ⊆B ，且B ⊆C ，则C A ⊆4、对子集概念的理解(1)集合A 是集合B 的子集的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A 能推出x ∈B .例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于B ，或B 不包含A .此时记作A B 或B ⊉A .(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N ，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N ，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、集合相等的概念如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作B A =.2、对两集合相等的认识(1)若A ⊆B ，又B ⊆A ，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则A ⊆B ，且B ⊆A .这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A ＝B ，只需证A ⊆B 与B ⊆A 同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A ⊆B ，但存在元素A x ∈，且B x ∈，我们称集合A 是集合B 的真子集2、记法与表示：3、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A .(2)若A 不是B 的子集，则A 一定不是B 的真子集.四、空集1、定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A ≠∅，则∅真包含A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}．题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是( B )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4题型二、有限集合子集的确定例2(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．[活学活用]非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则()集合S中含有1个元素：{3}；集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}；集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}；集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}；集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合S共有7个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解]当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.[活学活用]1、已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}且A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2. (3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a } ∵A ⊆B ，如图所示， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥2或a ≤－2}．2、已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．(1)当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根，则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0.∴a <－1.(2)当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.(3)当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解． (4)当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.综上所述，a ＝1或a ≤－1.课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．答案：B2．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是 ( B )A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．A B ⊆CD ．A ＝B ⊆C3．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析 ：∵B ⊆A ，B ＝{3,4}，A ＝{－1,3，m}∴m ∈A ，∴m ＝4.答案：44．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈N}的真子集的个数为________．解析：由题意得A ＝{0,1,2}，故集合A 有7个真子集．答案：75．已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)若A 是B 的真子集，即A B ，故a>2.(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2.(3)若A ＝B ，则必有a ＝2.课时跟踪检测(三) 集合间的基本关系一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ⊇BC ．A BD ．A B2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M PC．M＝P D．M P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．答 案课时跟踪检测(三)1．选D 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 的元素是3的偶数倍．2．选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .故选D.3．选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.4．选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.5．选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0. ∴M ＝P .6．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}．∴N M .答案：N M7．解析：由Venn 图可得AB ，CD B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．答案：小说 文学作品 叙事散文 散文8．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.答案：{0,1，－1}9．解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.(2)若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．10．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。
2 集合间的基本关系》优秀教案教学设计
2 集合间的基本关系》优秀教案教学设计2集合间的基本关系：优秀教案教学设计1. 引言教学中，让学生理解和掌握集合间的基本关系是非常重要的。
本教案教学设计旨在帮助学生通过活动和练加深对集合间基本关系的理解。
2. 教学目标通过本次教学，学生将能够：- 掌握并描述集合的基本概念- 理解并应用集合的并、交、差等基本操作- 运用集合的基本关系解决实际问题3. 教学内容3.1 集合的基本概念- 定义集合的概念- 表示集合的方法和符号3.2 集合的基本操作- 集合的并操作- 集合的交操作- 集合的差操作3.3 应用实例- 解决集合应用问题4. 教学流程4.1 导入环节通过例子或问题导入，引发学生对集合的兴趣与思考。
4.2 知识讲解介绍集合的基本概念和符号表示，示范并解释集合的并、交、差等基本操作。
4.3 讨论与练鼓励学生互动，通过小组讨论和个人练，巩固学生对基本概念及操作的理解和掌握。
4.4 拓展应用提供一些实际问题，引导学生应用集合的基本关系进行解决。
4.5 总结与反思对本节课学到的内容进行总结，并引导学生思考研究过程中遇到的困难和解决方法。
5. 教学评价与反馈通过教学中的讨论、练和应用环节，收集学生的表现和回答情况，进行评价和反馈。
6. 扩展练布置一些扩展练题，让学生在课后巩固和拓展所学知识。
7. 教学资源准备相关练题、实例和课堂活动所需的教学资源和材料。
8. 学生作业规定学生完成相关作业，以检验他们对集合间基本关系的理解和运用能力。
9. 参考资料列出使用的参考资料和教辅书籍。
以上是2集合间的基本关系优秀教案教学设计的大纲。
通过本次课程的学习，相信学生们能够更好地理解和应用集合的基本关系。
03【基础】集合的基本关系及运算知识讲解
集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．【要点梳理】要点一：集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二：集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A∪B 读作：“A 并B”，即：A∪B={x|x ∈A，或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A，或x ∈B”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A∩B，读作：“A 交B”，即A∩B={x|x ∈A，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅ ．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A∩B”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：U U A A={x|x U x A}∈∉；即且；痧补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A ð是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A ð表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即R A ð）．4.集合基本运算的一些结论：A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，，A A B B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅，痧若A∩B=A，则A B ⊆，反之也成立若A∪B=B，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A∪B)，则x ∈A，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一：集合间的关系例1.请判断①0{0}；②{}R R ∈；③{}∅∈∅；④∅{}∅；⑤{}0∅=；⑥{}0∈∅；⑦{}0∅∈；⑧∅{}0，正确的有哪些？【答案】②③④⑧【解析】①错误，因为0是集合{}0中的元素，应是{}00∈；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，因为∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的{}∅为非空集合；⑤⑥⑦错误，∅是没有任何元素的集合．【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.举一反三：【变式1】用适当的符号填空：(1){x||x|≤1}{x|x 2≤1}；(2){y|y=2x 2}{y|y=3x 2-1}；(3){x||x|>1}{x|x>1}；(4){(x，y)|-2≤x≤2}{(x，y)|-1<x≤2}．【答案】(1)=(2)(3)(4)【总结升华】区分元素与集合间的关系，集合与集合间的关系.例2.（2015秋确山县期中）已知A ={x ｜x 2―4=0}，B ={x ｜ax ―6=0}，且B 是A 的子集．（1）求a 的取值集合M ；（2）写出集合M 的所有非空真子集．【思路点拨】对（1）根据A 集合中的元素，B A ⊆，分类讨论B 的可能情况，再注解a ，写出集合M ．根据含有n 个元素的集合的真子集个数是2n －1，求解（2）．【答案】（1）M ={0，3，－3}；（2）{0}，{3}，{－3}，{0，3}，{0，－3}，{3，－3}【解析】（1）A ={2，－2}．∵B 是A 的子集，∴B =∅，{2}，{－2}，①B =∅时，方程ax －6=0无解，得a =0；②B ={2}时，方程ax －6=0的解为x =2，得2a －6=0，所以a =3；③B ={－2}时，方程ax －6=0的解为x =－2，得－2a －6=0，所以a =－3．所以a 的取值集合M ={0，3，－3}．（2）M ={0，3，－3}的非空真子集为{0}，{3}，{－3}，{0，3}，{0，－3}，{3，－3}【总结升华】本题考查集合的子集问题，含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，真子集个数是2n －1；非空真子集个数是2n －2．举一反三：【变式1】已知{},a b A ⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有个.【答案】7个【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M 有（）A.16个B.15个C.7个D.6个【答案】C【解析】3a =时，63a -=；1a =时，65a -=；2a =时，64a -=；4a =时，62a -=；5a =时，61a -=；∴非空集合M 可能是：{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共7个.故选C.【变式3】已知集合A={1，3，a}，B={a 2}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值.【答案】a=-1，a=3±或a=0【解析】∵，∴a 2∈A，则有：（1）a 2=1⇒a=±1，当a=1时与元素的互异性不符，∴a=-1；（2）a 2=3⇒a=3±（3）a 2=a ⇒a=0，a=1，舍去a=1，则a=0综上：a=-1，a=3±或a=0.注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.例3.设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足()A.M=NB.M NC.N MD.M∩N=∅【答案】B【解析】当a ∈N +时，元素x=a 2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b ∈N +时，元素x=b 2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M 中元素都在N 中，但N 中至少有一个元素x=1不在M 中，即M N，故选B.例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．【答案】D【解析】由M=N，知M，N 所含元素相同.由0∈{0，|x|，y}可知0∈若x=0，则xy=0，即x 与xy 是相同元素，破坏了M 中元素互异性，所以x≠0.若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N 中元素0，y 是相同元素，破坏了N 中元素的互异性，故xy≠00，则x=y，M，N 可写为M={x，x 2，0}，N={0，|x|，x}由M=N 可知必有x 2=|x|，即|x|2=|x|∴|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立若|x|=1即x=±1当x=1时，M 中元素|x|与x 相同，破坏了M 中元素互异性，故x≠1当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =-2+2-2+2+…+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．举一反三：【变式1】设a，b ∈R ，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=()【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：b1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a∈∈≠∴+ ，又，∴当b=1时，a=-1，b{0,b}={0,-1,1}a∴，当b=1a时，∴b=a 且a+b=0，∴a=b=0(舍)∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.类型二：集合的运算例5.（1）（2014湖北武汉期中）已知{}22A y y x ==-；{}22B y y x ==-+，则A ∩B ＝（）A ．()){}00,,,B ．⎡⎣C ．[－2，2]D ．{（2）设集合M ={3，a }，N ={x |x 2－2x ＜0，x ∈Z}，M ∩N ={1}，则M ∪N 为（）．A ．{1，2，a }B ．{1，2，3，a }C ．{1，2，3}D ．{1，3}【思路点拨】（1）先把集合A 、B 进行化简，再利用数轴进行相应的集合运算．（2）先把集合N 化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．【答案】（1）C （2）D 【解析】（1）集合A 、B 均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：A ={y |y ≥－2}，B ={y |y ≤2}，所以A ∩B ={y |－2≤y ≤2}，选C ．（2）由N ={x |x 2－2x ＜0，x ∈Z}可得：N ={x |0＜x ＜2，x ∈Z}={1}，又由M ∩N ={1}，可知1∈M ，即a =1，故选D ．举一反三：【变式1】设A、B 分别是一元二次方程2x 2+px+q=0与6x 2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A∩B={21}，求A ∪B.【答案】{21，31，-4}【解析】∵A∩B={21}，∴21是方程2x 2+px+q=0的解，则有：0q p 2121(22=++(1)，同理有：6(21)2+(2-p)·21+5+q=0(2)联立方程(1)(2)得到：⎩⎨⎧-==.4q ,7p ∴方程(1)为2x 2+7x-4=0，∴方程的解为：x 1=21，x 2=-4，∴}4,21{A -=，由方程(2)6x 2-5x+1=0，解得：x 3=21，x 4=31，∴B={21，31}，则A∪B={21，31，-4}.【变式2】设集合A={2，a 2-2a，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.【答案】｛2，3，6，18｝【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B 两个集合中所有的公共元素，所以3∈｛2，a 2-2a，6｝，则必有a 2-2a=3，解方程a 2-2a-3=0得a=3或a=-1当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B 中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.综上A∪B=｛2，3，6，18｝．例6.设全集U={x ∈N +|x≤8}，若A∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A，B.【答案】A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}由A∩(C u B)={1，8}知，在A 中且不在B 中的元素有1，8；由(C u A)∩B={2，6}，知不在A 中且在B 中的元素有2，6；由(C u A)∩(C u B)={4，7}，知不在A 中且不在B 中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B 中.由集合的图示可得A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.类型三：集合运算综合应用例7．（2014北京西城学探诊）已知集合A ={x |－4≤x ＜2}，B ={x |－1≤x ＜3}，C ={x |x ≥a ，a ∈R}．（1）若（A ∪B ）∩C =∅，求实数a 的取值范围；（2）若（A ∪B ）ÜC ，求实数a 的取值范围．【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．【答案】（1）a ≥3（2）a ≤－4【解析】（1）∵A ={x |－4≤x ＜2}，B ={x |－1≤x ＜3}，又（A ∪B ）∩C =∅，如图，a ≥3；（2）画数轴同理可得：a ≤－4．【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．举一反三：【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（）A ．(-∞,-1]B ．[1,+∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1]∪[1，+∞）【答案】C【解析】P =｛x ︱11x -≤≤｝又 P M P = ，∴M P ⊆，∴11a -≤≤故选C ．例8.设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈.（1）若A B B = ，求a 的值；（2）若A B B = ，求a 的值.【思路点拨】明确A B 、A B 的含义，根据的需要，将其转化为等价的关系式B A ⊆和A B ⊆，是解决本题的关键.同时，在包含关系式B A ⊆中，不要漏掉B =∅的情况.【答案】（1）1a =或1a ≤-；（2）1a =．【解析】首先化简集合A ，得{}4,0A =-.（1）由A B B = ，则有B A ⊆，可知集合B 为∅，或为{}0、{}4-，或为{}0,4-.①若B =∅时，224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得1a <-.②若0B ∈,代入得21011a a a -=⇒==-或.当1a =时，{}{}2|400,4,B x x x A =+==-=符合题意；当1a =-时，{}{}2|00,B x x A ===⊆也符合题意.③若4B -∈，代入得2870a a -+=，解得7a =或1a =.当1a =时，已讨论，符合题意；当7a =时，{}{}2|1648012,4B x x x =++==--，不符合题意.由①②③，得1a =或1a ≤-.（2）,A B B A B =∴⊆ .又{}4,0A =-，而B 至多只有两个根，因此应有A B =，由（1）知1a =.【总结升华】两个等价转化：,A B B A B A B B B A =⇔⊆=⇔⊆ 非常重要，注意应用.另外，在解决有条件A B ⊆的集合问题时，不要忽视A ≠∅的情况.举一反三：【变式1】（2015源汇区一模）设A ={x ｜x 2+4x =0}，B ={x ｜x 2+2(a +1)x +a 2－1=0}，其中x ∈R ，如果A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．【答案】a =1或a ≤－1【解析】A ={x ｜x 2+4x =0}={0，－4}，∵A ∩B =B 知，B A ⊆，∴B ={0}或B ={－4}或B ={0，－4}或B =∅，若B ={0}时，x 2+2(a +1)x +a 2－1=0有两个相等的根0，则2002(1)001a a +=-+⎧⎨⨯=-⎩，∴a =－1，若B ={－4}时，x 2+2(a +1)x +a 2－1=0有两个相等的根－4，则24(4)2(1)4(4)1a a -+-=-+⎧⎨-⨯-=-⎩，∴a 无解，若B ={0，－4}时，x 2+2(a +1)x +a 2－1=0有两个不相等的根0和－4，则2402(1)401a a -+=-+⎧⎨-⨯=-⎩，∴a =1，当B =∅时，x 2+2(a +1)x +a 2－1=0无实数根，Δ=[2(a +1)]2－4(a 2－1)=8a +8＜0，得a ＜－1，综上，a =1或a ≤－1．。
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1.1. 2集合间的基本关系(教师案)导学目标：知识与技能：1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
(3)能使用venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.过程与方法：通过实例了解集合之间的包含和相等的含义,体会集合与集合的关系,能选择集合不同的语言形式描述相关关系,提高语言转换和抽象概括能力,熟悉集合语言表示数学内容的方法.情感态度价值观：提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.教学重点: 集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.教学难点: 集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.教学方法：启发探究式教学准备：制作导学案教学过程：一、新知预习阅读教材填空：1、子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的 元素都是集合B 的元素，我们就说两个集合有包含关系。
称集合A 是集合B 的子集。
记作：B A ⊆或A B ⊇。
读作：“A 含于B ”或“B 包含A ”；2、在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图（韦恩图）. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：子集性质： （1）任何一个集合是 的子集；即：Ａ⊆Ａ； （2）若B A ⊆，C B ⊆，则 。
3、集合相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 是集合B 集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时集合A 与集合B 的元素是一样的，因此，称集合A 与集合B 。
记作：B A =。
4、真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ，但存在元素x B ∈且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集。
记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.5、空集：把 的集合叫做空集，记作 . 规定：空集是 集合的子集。
二、重难点突破：思考下列问题问题l ：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；(2)设A 为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合；(3)设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形(4){2,4,6},{6,4,2}E F ==.问题3：与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论?你对上面3个问题的结论是 _______________________________________ _________________________________________________________________问题4：（1）符号“a A ∈”与“{}a A ⊆”有什么区别？试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.三、问题探究：例题1. 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x =->与{|250}B x x =-≥；（2）设集合A ={0,1}，集合{|}B x x A =⊆，则A 与B 的关系如何？变式训练1用适当的符号（⊇⊆⊃⊂∉∈、、、、、）填空： (1)4 }{6,4,2,0 (2)11 }{Z m m ∈+,34(3)}{21， }{4321，，， (4)}{65， }{6（5）0 φ；（6）φ {0}； （7）φ {φ}；（8）{（2，4）} {（x ，y ）|y ＝2x}；（9）{}b a , {}a b ,例题2．写出集合{a,b ，c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.变式训练21. 写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合：2. 集合｛1，2，3｝的子集共有（ ）A ．7个B ．8个C ．6个D ．5个3. 探究n 元集合的子集，真子集，非空子集个数四、 课堂小结：五、当堂检测1. 下列结论正确的是（ ）.A. ∅AB. {0}∅∈C. {1,2}Z ⊆D. {0}{0,1}∈2. 设{}{}1,A x x B x x a =>=>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）.A. 1a <B. 1a ≤C. 1a >D. 1a ≥3. 若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ ）.A. 3,2b c =-=B. 3,2b c ==-C. 2,3b c =-=D. 2,3b c ==-4. 满足},,,{},{d c b a A b a ⊂⊆的集合A 有 个.5. 设集合{},{},{}A B C ===四边形平行四边形矩形，{}D =正方形，则它们之间的关系是 ，并用Venn 图表示.六：课后作业：1.已知集合2{|320}A x x x =-+=，B ＝{1,2}，{|8,}C x x x N =<∈，用适当符号填空：A B ，A C ，{2} C ，2 C .2. 设{}13,A x x x Z =-<<∈,写出A 的所有非空真子集 .3.优化设计七：课后反思：1.1. 2集合间的基本关系（学生案）学习目标：1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
(3)能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.学习重点:集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.学习难点:集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.一、新知预习阅读教材填空：1、子集：对于两个集合A与B，如果集合A的元素都是集合B的元素，我们就说两个集合有包含关系。
称集合A是集合B的子集。
记作：BA⊆或AB⊇。
读作：“A含于B”或“B包含A”；2、在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图（韦恩图）. 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系为：子集性质：（1）任何一个集合是的子集；即：Ａ⊆Ａ；（2）若BA⊆，CB⊆，则。
3、集合相等：对于两个集合A与B，如果集合A是集合B集合B是集合A的子集（B A⊆），此时集合A与集合B的元素是一样的，因此，称集合A与集合B。
记作：BA=。
5、真子集：对于两个集合A与B，如果A B，但存在元素x B∈且x A∉，我们称集合A是集合B的真子集。
记作：A B（或B A），读作：A真包含于B（或B真包含A）.5、空集：把的集合叫做空集，记作 .规定：空集是集合的子集。
二、重难点突破：思考下列问题问题l：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B==；(2)设A为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；(3)设{|},{|};C x xD x x==是两条边相等的三角形是等腰三角形(4){2,4,6},{6,4,2}E F==.问题3：与实数中的结论“若,,a b b a a b≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论?你对上面3个问题的结论是 _______________________________________ 问题4：（1）符号“a A∈”与“{}a A⊆”有什么区别？试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.三、问题探究：例题1. 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x =->与{|250}B x x =-≥；（2）设集合A ={0,1}，集合{|}B x x A =⊆，则A 与B 的关系如何变式训练1用适当的符号（⊇⊆⊃⊂∉∈、、、、、）填空： (1)4 }{6,4,2,0 (2)11 }{Z m m ∈+,34(3)}{21， }{4321，，， (4)}{65， }{6（5）0 φ；（6）φ {0}； （7）φ {φ}；（8）{（2，4）} {（x ，y ）|y ＝2x}；（9）{}b a , {}a b ,例题2．写出集合{a,b ，c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.变式训练24. 写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合：5. 集合｛1，2，3｝的子集共有（ ）A ．7个B ．8个C ．6个D ．5个6. 探究n 元集合的子集，真子集，非空子集个数四、 课堂小结：五、当堂检测1. 下列结论正确的是（ ）.A. ∅AB. {0}∅∈C. {1,2}Z ⊆D. {0}{0,1}∈2. 设{}{}1,A x x B x x a =>=>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）.A. 1a <B. 1a ≤C. 1a >D. 1a ≥3. 若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ ）.A. 3,2b c =-=B. 3,2b c ==-C. 2,3b c =-=D. 2,3b c ==-4. 满足},,,{},{d c b a A b a ⊂⊆的集合A 有 个.5. 设集合{},{},{}A B C ===四边形平行四边形矩形，{}D =正方形，则它们之间的关系是 ，并用Venn 图表示.六：课后作业：1.已知集合2{|320}A x x x =-+=，B ＝{1,2}，{|8,}C x x x N =<∈，用适当符号填空：A B ，A C ，{2} C ，2 C .2. 设{}13,A x x x Z =-<<∈,写出A 的所有非空真子集 .3.优化设计。