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第一章 曲线论
§2 向量函数
5. 向量函数 具有固定方向的充要条件是 × = 。
分析：一个向量函数 一般可以写成 = 的形式，其中 为单位向量函数， 为数量函数，那么 具有固定方向的充要条件是 具有固定方向，即 为常向量，（因为 的长度固定）。
证 对于向量函数 ，设 为其单位向量，则 = ，若 具有固定方向，则 为常向量，那么 = ，所以 × = （ × ）= 。
反之，若 × = ，对 = 求微商得 = + ，于是 × = （ × ）= ，则有 = 0 或 × = 。当 = 0时， = 可与任意方向平行；当 0时，有 × = ，而（ × = ?-( ? ＝ ，（因为 具有固定长， ? = 0） ，所以 = ，即 为常向量。所以， 具有固定方向。
6．向量函数 平行于固定平面的充要条件是（ ）=0 。
分析：向量函数 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量 ，使 ? = 0 ，所以我们要寻求这个向量 及 与 ， 的关系。
证 若 平行于一固定平面π，设 是平面π的一个单位法向量，则 为常向量，且 ? = 0 。两次求微商得 ? = 0 ， ? = 0 ，即向量 ， ， 垂直于同一非零向量 ，因而共面，即（ ）=0 。
反之, 若（ ）=0，则有 × = 或 × 。若 × = ，由上题知 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若 × ，则存在数量函数 、 ，使 = + ①
令 = × ，则 ，且 ⊥ 。对 = × 求微商并将①式代入得 = × = （ × ）= ，于是 × = ，由上题知 有固定方向，而 ⊥ ，即 平行于固定平面。

§3 曲线的概念
3. 证明圆柱螺线 ={ a ,a , } ( )的切线和z轴作固定角。
证明 = {-a ,a , },设切线与z轴夹角为 ,则 = 为常数，故 为定角（其中 为z轴的单位向量）。
10. 将圆柱螺线 ={a ，a ，b }化为自然参数表示。
解 = { -a ,a ,b}，s = ，所以 ，
代入原方程得 ={a , a , }
§4 空间曲线
1．求圆柱螺线 =a ， =a ， = b 在任意点的密切平面的方程。
解 ={ -a ,a ,b}, ={-a ,- a ,0 }
所以曲线在任意点的密切平面的方程为
= 0 ，即(b )x-(b )y+az-abt=0 .

2. 求曲线 = { t ,t ,t } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 原点对应t=0 , (0)={ +t , - t , +t ={0,1,1}，
{2 + t , - t ,2 +t ={2,0,2} ，
所以切线方程是 ，法面方程是 y + z = 0 ；
密切平面方程是 =0 ，即x+y-z=0 ，
主法线的方程是 即 ；
从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式 。

3．证明圆柱螺线 =a ， =a ， = b 的主法线和z轴垂直相交。
证 ={ -a ,a ,b}, ={-a ,- a ,0 } ，由 ⊥ 知 为主法线的方向向量，而 所以主法线与z轴垂直；主法线方程是

与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。

4.在曲线x = cos cost ,y = cos sint , z = tsin 的副法线的正向取单

位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解 = {-cos sint, cos cost, sin } , ={ -cos cost,- cos sint , 0 }
{sin sint ,- sin cost , cos }
新曲线的方程为 ={ cos cost + sin sint ，cos sint- sin cost ，tsin + cos }
对于新曲线 ={-cos sint+ sin cost ，cos cost+ sin sint，sin }={sin( -t), cos( -t), sin } , ={ -cos( -t), sin( -t),0} ,其密切平面的方程是

即 sin sin(t- ) x –sin cos(t- ) y + z – tsin – cos = 0 .

5． 证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
证 方法一：
设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径 具有固定长，所以 ? = 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。
若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则 ? = 0， 具有固定长，对应的曲线是球面曲线。
方法二：
是球面曲线 存在定点 （是球面中心的径矢）和常数R（是球面的半径）使 ，即 （﹡）
而过曲线 上任一点的法平面方程为 。可知法平面过球面中心 （﹡）成立。
所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。




7．求以下曲面的曲率和挠率
⑴ ,
⑵ 。
解 ⑴ ， ， ， ，所以
。
⑵ ， ，
× = ，
。

8．已知曲线 ，⑴求基本向量 ；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内公式。
分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。
解 ⑴ ，
（设sintcost>0）， 则 ，
， ，
，
⑵ ， ，由于 与 方向相反，所以
⑶ 显然以上所得 满足 ，而
也满足伏雷内公式 。
9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。
证　方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ＝ ，则曲线在任意点的切线方程是 ，由条件切线都过坐标原点，所以 ，可见 ∥ ，所以 具有固定方向，故 ＝ 是直线。
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ＝ ，则曲线在任意点的切线方程是 ，由条件切线都过坐标原点，所以 ，于是 ＝ ，从而 × ＝ ，所以由曲率的计算公式知曲率k＝０，所以曲线为直线。
方法三：设定点为 ，曲线的方程为 ＝ ，则曲线在任意点的切线方程是 ，由条件切线都过定点 ，所以 ，两端求导得:
, 即 ，而 无关，所以 ，
可知 ，因此曲线是直线。

10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。
证　方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ＝ ，则曲线在任意点的密切平面的方程是 ，

由条件 ，即（ ）=0，所以 平行于一固定平面，即 ＝ 是平面曲线。
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ＝ ，则曲线在任意点的密切平面方程是 ，由条件 ，两边微分并用伏雷内公式得 。若 ,又由 可知 ∥ ,所以 ＝ 平行于固定方向，这时 ＝ 表示直线,结论成立。否则 ，从而知曲线是平面曲线。
方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ＝ ，则曲线在任意点的密切平面方程是 ，由条件 ，即（ ）=0，所以 ， ， 共面，若 ∥ ，则 ＝ 是直线，否则可设 ，所以 共面，所以 ，从而知曲线是平面曲线。
11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量 ，那么曲线是直线或平面曲线。
证 方法一：根据已知 ，若 是常向量，则k= =0 ，这时曲线是直线。否则在 两边微分得 ? =０，即 k ? =０,所以 ? =０，又因 ，所以 ∥ ，而 为单位向量，所以可知 为常向量，于是 ，即 ，此曲线为平面曲线。
方法二：曲线的方程设为 ＝ ，由条件 ? ＝０，两边微分得 ? ＝０， ? ＝０，所以 ， ， 共面，所以（ ）＝０。由挠率的计算公式可知 ，故曲线为平面曲线。当 × ＝ 时是直线。
方法三：曲线的方程设为 ＝ ，由条件 ? ＝０，两边积分得 （ 是常数）。因 是平面的方程，说明曲线 ＝ 在平面上，即曲线是平面曲线，当 有固定方向时为直线。

12．证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。
证明 设曲线（C）： ＝ 的曲率k为常数,其曲率中心的轨迹（ ）的方程为： ，（ 为曲线（C）的主法向量），对于曲线（ ）两边微分得 ，（ ， ， 分别为曲线（C）的单位切向量，副法向量和挠率）， ， ， ，曲线（ ）的曲率为 为常数。

14．设在两条曲线Γ、 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。
证 设曲线Γ： = 与 ： 点s与 一一对应，且对应点的切线平行，则 = , 两端对s求微商得 , 即 ，(这里k 0，若k= =0，则 无定义)，所以 ∥ ，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。
15．设在两条曲线Γ、 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。
证 设 , 分别为曲线Γ、 的切向量, , 分别为曲线Γ、 的主法向量,则由已知 ．．．．．①　，而 ＝ 将①式代入 。所以 ? ＝常数，故两曲线的切线作固定角。
16.若曲线Γ的主法线是曲线 的副法线, Γ的 曲率、挠率分别为 .求证k= ( + ) ,其中 为常数。
证 设Γ的向量表示为 = ，则 可表示为 = + ， 的切向量 = + + （－k + ）与 垂

直，即 ? ＝ ＝０，所以 为常数，设为 ，则 ＝（１－ k） + .再求微商有 ＝－ k ＋（１－ k）k ＋ － ， ? ＝（１－ k）k－ ＝０，所以有k= ( + )。
17．曲线 ={a(t-sint),a(1-cost),4acos }在哪点的曲率半径最大。
解 = a{1-cost,sint,-2sin } , = a{sint,cost,-cos }, ,
× = ,
| × |= , , ,
所以在t=(2k+1) ，k为整数处曲率半径最大。
§5 一般螺线
5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.
证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量 是常向量.即 = 。曲线的挠率的绝对值等于| |为零，所以曲线为平面曲线。
证法二：设 是固定直线一向量，则 ? =0 ，积分得 ? = ,说明曲线在以 为法向量的一个平面上,因而为平面直线。
证法三：设 是固定直线一向量，则 ? =0 ，再微分得 ? =0 ， ? =0 。所以 、 、 三向量共面，于是（ ）= 0 ，由挠率的计算公式知 =0，因此曲线为平面曲线。
7． 如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。
证 设一曲线为Γ： ＝ ，则另一曲线 的表达式为： ， 为曲线Γ在点s的主法向量，也应为 在对应点的副法线的方向向量。
＝ ＋ － 与 正交，即 ? ＝０，于是 ＝０， 为常数。 ＝ － ， ＝k － － （－k ＋ ）也与 正交，即 ? ＝- =0,而 ０,所以有 ＝０，曲线Γ为平面曲线。同理曲线 为平面曲线。
9．证明曲线 ＝ 为一般螺线的充要条件为
证 ，
＝ ，其中k 0.
曲线 ＝ 为一般螺线的充要条件为 为常数,即 =0,也就是 。
方法二： ，即 。曲线 ＝ 为一般螺线，则存在常向量 ，使 ? =常数，所以 所以 共面，从而（ ）=0。反之，若（ ）=0，则 平行于固定平面，设固定平面的法矢为 ，则有 ，从而 ? = p (常数)，所以 ＝ 为一般螺线。
方法三：曲线 ＝ 为一般螺线 存在常向量 使 ，即 平行于固定平面（以 为法向量的平面） 平行于一固定平面 。
方法四： 设 ＝ 为一般螺线，存在常向量 使 =常数，即 常数，连续三次求微商得 ， ，所以 。
因为 ，所以 平行于固定平面，设固定平面的法矢为 （常向量），则 ，而 ，所以曲线为一般螺线。

11．设在两条曲线Γ、 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成比例，因此如果Γ为一般螺线, 则 也为一般螺线。
证 设曲线Γ： = 与 ： 点建立了一一对应，使它们对应点的切线平行，则适当选择参数可使 = , 两端对s求微商得 , 即 ，这里 ，所以有 = ，即主法线平行，从而 = ，即两曲线的副法线也平行。且 或 。 = 两边对s求

微商得 ，于是 或 ，所以， 或 。









第二章 曲面论
。

§２ 曲面的第一基本形式
1. 求双曲抛物面 ＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式.
解
,
∴ I = 2 。
２．求正螺面 ={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。
解 ， ， ， ，∴　I = ，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为I = 的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。
解 由条件 ,沿曲线u = v有du=dv ，将其代入 得 = ，ds = coshvdv , 在曲线u = v上，从 到 的弧长为 。
4．设曲面的第一基本形式为I = ，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u–v = 0的交角。
分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量 ， ， ，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为 ， ， 。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为 ，则有
cos = 。
6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.
解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有
Eduδu + F(duδv + dvδu)+ G d vδv = 0,将dv =0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为Eδu + Fδv = 0 .
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu + Gδv = 0 .
8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E =G .
证　用分别用δ、 、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u－曲线δu ０，δv＝０，沿v－曲线 u＝０， v ０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得
，即 。
展开并化简得E(EG- ) =G(EG- ) ,而EG- >0，消去EG- 得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E =G .
9．设曲面的第一基本形式为I = ，求曲面上三条曲线u = v, v =1相交所成的三角形的面积。
解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城的三角形的面积是
S=
=2 =2
=
= 。
11.证明螺面 ={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面 ={tcos ,tsin , }
(t>1, 0< <2 )之间可建立等距映射 =arctgu + v , t= .
分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射 = arctgu + v , t= ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.
证明 螺面的第一基本形式为I=2 +2 dudv+( +1) , 旋转曲面的第一基本形式为I= ,在旋转曲面上作一参数变换 =arctgu + v , t = , 则其第一基本形式为:

= =2 +2 dudv+( +1) = I .
所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 =arctgu + v , t = .
§3曲面的第二基本形式
1. 计算悬链面 ={coshucosv,co

shusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.
解 ={sinhucosv,sinhusinv,1}, ={-coshusinv,coshucosv,0}
={coshucosv,coshusinv,0}, ={-sinhusinv,sinhucosv,0},
={-coshucosv,-coshusinv,0}, = cosh u, =0, =cosh u.
所以I = cosh u + cosh u .
= = ,
L= , M=0, N= =1 .
所以II = - + 。
2. 计算抛物面在原点的 第一基本形式,第二基本形式.
解 曲面的向量表示为 ,
, , ,
, , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,
I= , II= .
3. 证明对于正螺面 ={u ,u ,bv},-∞解 ， ={0,0,0},
={-uucosv,cosv,0}, ={-ucosv,-usinv,0}, ， ， ， L= 0, M = , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .
4. 求出抛物面 在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.
解 , , ,
,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率 .

6. 利用法曲率公式 ,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。
证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒数1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv
或- ，所以 ，即第一、第二类基本量成比例。
8. 求曲面 的渐近线.
解 曲面的向量表示为 , ,
.
.
渐近线的微分方程为 ,即 一族为dy=0, 即 , 为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即 .
9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.
证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.
方法二：任取曲线 ，它的主法线曲面为 ，
， ，
在曲线 上，t = 0 , ,曲面的单位法向量 ，即 ，所以曲线 在它的主法线曲面上是渐近线.
11.确定螺旋面 ={u ,u ,bv}上的曲率线.
解 ， ={0,0,0}， ={-ucosv,-usinv,0}， ={-sinv,cosv,0}, ， ， ， L=0, M= , N=0,曲率线的微分方程为:
,即 ,积分得两族曲率线方程:
.
12.求双曲面z=axy上的曲率线.
解 N=0 .
由 =0得 ,积分得两族曲率线为 .
13.求曲面 上的曲率线的方程.
解
M= ,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:
:
.
14.给出曲面上一曲率线L,设 L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L是一平面曲线.
证法一：因 L是曲率线,所以沿L有 ,又沿L 有 ? =常数,求微商
得 ,所以 ,即- ? =0,则有 =0,或 ? =0 .
若 =0, 则L是平面曲线；若 ? =0 ，L又是曲面的渐近线，则沿L ， =0 ，这时d = ， 为常向量，而当L是渐近线时， = ，所以 为常向量，L是一平面曲线.
证法二：若 ，则因 ‖ ，所以 ‖ ，所以d ‖ ，由伏雷
内公式知d ‖（ ）而L是曲率线，所以沿L有d ‖ ，所以有 =0,从而曲线为平面曲线；
若 不垂直于 ， 则有 ? =常数,求微商得 因为L是曲率线，所
以沿L有 ‖ ，

所以 ，所以 ，即- ? =0 ，若 =0，则问题得证；否则 ? =0 ，则因 ，有 ‖ ， ‖ ‖（- ）‖ ，矛盾。
15．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。
证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。