高中数学第一章导数及其应用112瞬时变化率——导数学业分层测评苏教版2
2017 2018版高中数学 第1章 导数及其应用 112 瞬时变化率导数 苏教版选修2 21
跟踪训练 2 一质点M按运动方程 s(t)＝at2＋1做直线运动 (位移单位： m， 时间单位： s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为 8 m/s，求常数a的值. 解 质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在 t＝2 s处的瞬时变化率 . ∵质点M在t＝2 s附近的平均变化率为 ΔΔst ＝s?2＋ΔΔt?t－s?2?＝a?2＋ΔΔtt?2－4a＝4a＋aΔt， ∴当 Δt→0 时，ΔΔst→4a＝8，即 a＝2.
第1章 1.1 导数的概念
1.1.2 瞬时变化率 ——导数
学习目标
1.理解切线的含义 . 2.理解瞬时速度与瞬时加速度 . 3.掌握瞬时变化率 ——导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某 点处的导数 .
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 曲线上某一点处的切线 如图， Pn的坐标为 (xn，f(xn))(n＝1,2,3,4 ，…)，点 P的坐标为 (x0，y0).
题型探究
类型一 求曲线上某一点处的切线 例 1 已知曲线 y＝x＋1x上的一点 A(2，52)，用切线斜率定义求： (1)点A处的切线的斜率；
解答
(2)点A处的切线方程 . 解 切线方程为 y－52＝34(x－2)， 即3x－4y＋4＝0.
解答
反思与感悟
根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求 出切线的斜率，即在该点处， Δx无限趋近于0时，Δy 无限趋近的常数 .
1.导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx 无限趋近时于，0 比 值
＝ Δy f?x0＋Δ无x?－限f趋?x近0? 于一个
Δx
Δx
，常则数称Af(x)在x＝x0处
高中数学第1章导数及其应用1_1_2瞬时变化率——导数互动课堂苏教版选修2-2
高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导本节课重点是导数的定义和导数的几何意义，难点是利用定义求函数在某点处的导数和在开区间内的导数.一、函数y=f(x)在点x 0处的导数(变化率)是f′(x 0)或y′0|x x =，即 f′(x 0)=0lim→∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00，它是函数的平均变化率当自变量的改变量趋向于零时的极限值，如果极限不存在，我们就说函数在点x 0处不可导.疑难疏引 (1)函数应在点x 0的附近有定义，否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中，Δx 趋近于0可正、可负，但不为0，而Δy 可能为0. (3)xy∆∆是函数y=f(x)对自变量x 在Δx 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线y=f(x)上点(x 0，f(x 0))及点(x 0+Δx，f(x 0+Δx))的割线斜率. (4)导数f′(x 0)= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00是函数y=f(x)在点x 0处的瞬时变化率，它反映的函数y=f(x)在点x 0处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y=f(x)上点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率.因此，如果y=f(x)在点x 0可导，则曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为y-f(x 0)=f′(x 0)(x-x 0).(5)导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x)在x 0及其附近的函数值有关，与Δx 无关. (6)在定义式中，设x=x 0+Δx，则Δx=x -x 0，当Δx 趋近于0时，x 趋近于x 0，因此，导数的定义式可写成f′(x 0)=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00=0lim x x →∆00)()(x x x f x f --. (7)若极限0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00不存在，则称函数y=f(x)在点x 0处不可导.(8)若f(x)在x 0可导，则曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))有切线存在.反之不然，若曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0)有切线，函数y=f(x)在x 0不一定可导，并且，若函数y=f(x)在x o 不可导，曲线在点(x 0，f(x 0))也可能有切线，如切线平行与y 轴时. 一般地，0lim →∆x (a+bΔx)=a，其中a ，b 为常数.特别地，0lim →∆x a=a.如果函数y=f(x)在开区间(a ，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数f′(x).称这个函数f′(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y′，即 f′(x)=y′=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.函数y=f(x)在x 0处的导数y′0|x x =就是函数y=f(x)在开区间(a ，b)上导函数f′(x)在x 0处的函数值，即y′0|x x ==f′(x 0).所以函数y=f(x)在x 0处的导数也记作f′(x 0). 二、注意导数与导函数的区别与联系1.如果函数y=f(x)在开区间(a ，b)内每一点都有导数则称函数y=f(x)在开区间(a ，b)内可导.2.导数与导函数都可称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值.它们之间的关系是函数y=f(x)在点x 0处的导数就是导函数f′(x)在点x 0的函数值.3.求导函数时，只需将求导数式中的x 0换成x 即可，即f′(x)=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.4.由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数的一般方法是： (1)求函数的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x).(2)求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(. (3)取极限，得导数y′=0lim →∆x xy∆∆.三、导数与切线的理解 导数集数与形于一身，新教材在介绍导数几何意义时，利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.从代数角度看，平均变化率是由函数上的一点(x 0，f(x 0))到另一点(x 0+Δx，f(x 0+Δx))函数值增量与自变量增量的比值，当Δx 无限趋近于零时，曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数，这个常数称为在该点的导数；从几何角度看过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，因此导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率.用运动变化的观念分析曲线C:y=f(x)上某点(x 0，y 0)的切线，从点(x 0，y 0)引割线，当另一交点无限趋近某点(x 0,y 0)时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点(x 0,y 0)的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为Δx→0时，k=x y∆∆=f′(x 0)，或x→x 0时，k=00x x y y --=f′(x 0).特别地，如果曲线y=f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线平行于y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x=x 0.四、导数的物理意义瞬时速度是路程对时间的变化率，某时刻的瞬时速度就是路程在某时刻的导数，加速度是速度的导数，动量是动能的导数. 活学巧用1.如果一个质点从定点A 开始沿直线运动的位移函数为y=f(t)=t 3+3. (1)当t 0=4且Δt=0.01时，求Δy 和ty ∆∆; (2)当t 0=4时，求0lim →∆t ty∆∆的值; (3)说明0lim →∆t ty∆∆的几何意义. 解析：(1)Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3=(Δt)3+48Δt+12(Δt)2=(0.01)3+48(0.01)+12(0.01)2=0.481 201， ∴t y ∆∆=01.0481201.0=48.120 1. (2)当Δt=0.001时，ty∆∆=48.012 01， 当Δt=0.000 1时，t y∆∆=48.001 201. 所以当Δt→0时，0lim →∆t ty∆∆=48.(3)Δy 是质点由固定点A 开始在Δt 这段时间内的位移，所以ty∆∆是质点A 在Δt 这段时间内的平均速度，而0lim →∆t ty∆∆是质点A 在时间t 0的瞬时速度. 2.已知y=f(x)=x2,求y′及y′|x=1.解析：∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=xx ∆+2-x2=xx x x x x •∆+∆+-)(2,∴y′=0lim→∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x x x x x x ∆••∆+∆+-)(2=0lim →∆x )()(2x x x x x x x x x x ∆++•∆••∆+∆--=0lim→∆x xx x x x x x x x 22)(2••-=∆++••∆+-=23--x.y′|x =1=f′(1)=23)1(--=-1.点评:函数的导数与在点x 0处的导数不是同一概念,在点x 0处的导数是函数的导数在x=x 0处的函数值.求函数的导数分三个步骤:(1)求函数增量Δy=f(x+Δx)-f(x); (2)求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(; (3)取极限并求极限值,得导数f′(x)=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.3.如果曲线y=x 2+x-3的某一条切线与直线y=3x+4平行，求切点坐标与切线方程. 解析：∵切线与直线y=3x+4平行，∴斜率为3. 设切点坐标为(x 0,y 0),则y′0|x x ==3. 又y′0|x x ==0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00=0lim →∆x xx x x x x x ∆+---∆++∆+33)()(020020 =0lim →∆x (Δx+2x 0+1)=2x 0+1,∴2x 0+1=3,从而得⎩⎨⎧-==.1,100y x∴切点坐标为(1，-1)，切线方程为3x-y-4=0.4.在曲线y=x 2+3的图象上取一点P(1，4)及附近一点(1+Δx，4+Δy)，求(1)xy∆∆；(2)Δx→0时，求xy∆∆的值；(3)在点P(1，4)的切线方程. 解析：(1)x y ∆∆=xf x f ∆-∆+)1()1(=xx ∆+-+∆+)31(3)1(22=2+Δx.(2)Δx→0时，xy∆∆=2+Δx→2, 即0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x (2+Δx)=2. (3)由(2)知过点P(1,4)的切线的斜率为2，故在点P(1，4)的切线方程为y-4=2(x-1)，即2x-y+2=0.5.(1)已知质点运动方程是s(t)=221gt +2t-1,求质点在t=4时的瞬时速度，其中s 的单位是m ，t 的单位是s.(2)已知某质点的运动方程是s(t)=3t 2-2t+1,求质点在t=10时的瞬时速度和动能.(设物体的质量为m)分析:瞬时速度是路程对时间的变化率，而动能U=221mv . 解：(1)质点在t=4时的瞬时速度为v (t=4)=0lim →∆t tt s t s ∆-∆+)()4(=0lim →∆t tg t t g ∆+⨯-•--∆++∆+1424211)4(2)4(2122=0lim →∆t ttt g t g ∆∆+∆+∆24212=0lim →∆t (21gΔt+4g+2)=4g+2, 所以质点在t=4时的瞬时速度为4g+2 (m/s). (2)质点在t=10时的瞬时速度为v (t=10)=0lim→∆t ts t s ∆-∆+)10()10(=0lim →∆t t t t ∆-⨯+⨯-+∆+-∆+11021031)10(2)10(322 =0lim →∆t tt t ∆∆+∆5832=0lim →∆t (3Δt+58)=58, 所以质点在t=10时的瞬时速度为v=58 m/s ；质点在t=10时的动能为 U=m mv 21212=×(58)2=1 682m J.。
江苏高中数学第一章导数及其应用112瞬时变化率导数课件苏教版选修2
[必备知识]
1．平均速度
运动物体的位移与_所__用__时__间__的比称为平均速度．
2．瞬时速度
一般地，如果当 Δt 无限趋近于 0 时，运动物体位移 S(t)的
平
均
变
化
率
St0＋Δt－St0 Δt
无
限
趋
近
于
_一__个__常__数__
，
那
么
_这__个__常__数__称为物体在___t_＝__t0___时的瞬时速度，也就是位移对 于时间的___瞬__时__变__化__率_______．
考点三 导数及其应用 [典例] 已知 f(x)＝x2－3. (1)求 f(x)在 x＝2 处的导数； (2)求 f(x)在 x＝a 处的导数． [解] (1)因为ΔΔxy＝f2＋ΔΔxx－f2 ＝2＋Δx2－Δx3－22－3＝4＋Δx， 当 Δx 无限趋近于 0 时，4＋Δx 无限趋近于 4， 所以 f(x)在 x＝2 处的导数等于 4.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°， ∴切线的斜率为 tan 45°＝1， 即 f′(x0)＝4x0＝1，得 x0＝14，该点为14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线 4x－y－2＝0， ∴切线的斜率为 4， 即 f′(x0)＝4x0＝4，得 x0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线 x＋8y－3＝0 垂直， ∴切线的斜率为 8， 即 f′(x0)＝4x0＝8，得 x0＝2，该点为(2,9)．
[课堂归纳领悟] 1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数 y＝f(x) 在点 x0 处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程 y －y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐 标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而 求出切线方程．
高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数自我小测 苏教版选修2-2(2021
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教版选修2—21．已知f （x ）＝kx ＋5，则f (x ）在x ＝2处的导数为__________．2．已知f (x ）＝2x 2，则曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线斜率为__________． 3．曲线y ＝x 2的一条切线斜率为－6，则切点坐标为__________． 4．已知函数y ＝f （x )在x ＝x 0处的导数为11,则当Δx →0时，00f x x f x x(-∆)-()∆→__________.5．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a 等于__________．6．曲线y ＝x 2在其上一点P 处的切线的倾斜角为π4,则点P 的坐标为__________．7．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点P ，3），则该曲线在P 点的切线方程是__________．8．已知函数y ＝f （x )的图象在点M (1,f (1）)处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′（1）＝__________。
9．已知点M （0，－1），过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行，求直线l 的方程．10．已知直线l 1为曲线f (x ）＝x 2＋x －2在点(1,0）处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2,求直线l 2的方程．参考答案1答案:k 解析:Δy ＝k （2＋Δx ）＋5－k ×2－5＝k Δx ，yx∆∆＝k , ∴当Δx →0时,yx∆∆＝k ,∴f ′(2）＝k 。
高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第一章_导数及其应用_1
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数f(x)＝1x在2,6]上的平均变化率为________．【解析】f(6)－f(2)6－2＝16－126－2＝－112.【答案】－1 122．函数f(x)＝log2x在区间2,4]上的平均变化率是________．【解析】函数的平均变化率是f(4)－f(2)4－2＝2－12＝12.【答案】1 23．已知某质点的运动规律为s(t)＝5t2(单位：m)，则在1 s到3 s这段时间内，该质点的平均速度为________m/s.【解析】s(3)－s(1)3－1＝5×32－5×122＝20(m/s)．【答案】204．在雨季潮汛期间，某水位观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h内发现水位从102.7 m 上涨到105.1 m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.【解析】105.1－102.724＝0.1(m/h)．【答案】0.15．已知函数f(x)＝ax＋b在区间1,8]上的平均变化率为3，则实数a＝________.【解析】对于一次函数，在其定义域内的任一区间上的平均变化率相等．与一次函数对应直线的斜率相等．故a＝3.【答案】 36．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t＋13t3，则该物体在时间间隔⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32内的平均加速度为________．【解析】 平均加速度32＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫323－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1332－1＝3112. 【答案】 31127．设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 21 200，其中x 为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．【解析】 C (1 000)－C (900)＝(1 000)2－(900)21 200则C (1 000)－C (900)1 000－900＝(1 000＋900)×1001 200×100＝1912. 【答案】 19128．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图1-1-2所示．在时间段t 0，t 1]，t 1，t 2]，t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，其三者的大小关系是________．图1-1-2【解析】 ∵v 1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k MA ， v 2＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1＝k AB ， v 3＝s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2＝k BC ， 由图象可知：k MA <k AB <k BC ，∴v 3>v 2>v 1.【答案】 v 3>v 2>v 1二、解答题9．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c (x )＝x 3－6x 2＋15x (元)，而售出x 台的收入是r (x )＝x 3－3x 2＋12x (元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？【解】 依题意，生产并售出x 台所获得的利润是L (x )＝r (x )－c (x )＝3x 2－3x (元)，∴x 取值从10台至20台的平均利润为L (20)－L (10)20－10＝3×202－3×20－(3×102－3×10)10 ＝87(元)，故所求平均利润为87元．10．2015年冬至2016年春，某国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1-1-3所示，据图回答：图1-1-3(1)2015年11月至2015年12月间，小麦受旱面积变化大吗？(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？(3)从2015年11月到2016年2月，与从2016年1月到2016年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？【解】 (1)在2015年11月至2015年12月间，Δs 变化不大，即小麦受旱面积变化不大．(2)由图形知，在2016年1月至2016年2月间，平均变化率Δs Δt 较大，故小麦受旱面积增幅最大．(3)在2015年11月至2016年2月间，平均变化率为s B －s A 3，在2016年1月至2016年2月间，平均变化率为s B －s C 1＝s B －s C ， 显 然k BC >k AB ，即s B －s C >s B －s A 3，∴在2016年1月至2016年2月间，小麦受旱面积增幅较大．能力提升]1．如图1-1-4是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间0,2]上的平均变化率为________.【导学号：01580002】图1-1-4【解析】 由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 【答案】 342．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，直线AB 的斜率为________．【解析】 ∵Δx ＝1,2＋Δx ＝3，∴f (2＋Δx )－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1 ＝13－12＝－16.k AB ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－16. 【答案】 －163．函数y ＝x 3＋2在区间1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________.【解析】 (a 3＋2)－(13＋2)a －1＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21. 解之得a ＝4或a ＝－5.又∵a >1，∴a ＝4.【答案】 44．(2016·泰安检测)巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？图1-1-5【解】 山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∵h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭得多.。
苏教版高中数学选修2-2学业分层测评2 瞬时变化率——导数 作业
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设函数f (x )在x ＝x 0处可导，当h 无限趋近于0时，对于f (x 0＋h )－f (x 0)h 的值，以下说法中正确的是_____________________________________．①与x 0，h 都有关；②仅与x 0有关而与h 无关； ③仅与h 有关而与x 0无关；④与x 0，h 均无关．【解析】 导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与h 无关．【答案】 ②2．函数f (x )＝x 2在x ＝3处的导数等于________．【解析】 Δy Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx ，令Δx →0，得f ′(3)＝6. 【答案】 63．已知物体的运动方程为s ＝－12t 2＋8t (t 是时间，s 是位移)，则物体在t ＝2时的速度为________．【解析】 Δs ＝－12(2＋Δt )2＋8(2＋Δt )－⎝ ⎛⎭⎪⎫8×2－12×22＝6Δt －12(Δt )2，则Δs Δt ＝6－12Δt ， 当Δt →0时，ΔsΔt→6. 【答案】 64．如图1-1-6，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx→_______.图1-1-6【解析】 f (f (0))＝f (4)＝2.由函数在某点处的导数的几何意义知，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx→－2，即直线AB 的斜率．【答案】 2 －25．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为________． 【解析】 Δy Δx ＝14(2＋Δx )2－14×22Δx ＝1＋14Δx . 当Δx →0时，ΔyΔx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义知，点Q 处切线斜率k ＝f ′(2)＝1. ∴切线方程为y －1＝x －2.即x －y －1＝0. 【答案】 x －y －1＝06．已知函数y ＝f (x )的图象如图1-1-7所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________．(用“<”连接)图1-1-7【解析】 由图象易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0，由导数的几何意义得f ′(A )<f ′(B )．【答案】 f ′(A )<f ′(B )7．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________．【解析】 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝2(x0＋Δx)2＋4(x0＋Δx)－2x20－4x0Δx＝4(x0＋1)＋2Δx，当Δx→0时，f(x0＋Δx)－f(x0)Δx→4(x0＋1)，即f′(x0)＝4(x0＋1)，由导数的几何意义知f′(x0)＝16，所以x0＝3，y0＝30，所以点P的坐标为(3,30)．【答案】(3,30)8．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-8所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．图1-1-8【解析】由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．【答案】②二、解答题9．函数f(x)＝ax3－bx在点(1，－1)处的切线方程为y＝k(x＋2)，求a，b的值.【导学号：01580005】【解】因为点(1，－1)在切线y＝k(x＋2)上，所以k＝－1 3.f(1＋Δx)－f(1)Δx＝a(1＋Δx)3－b(1＋Δx)－a＋bΔx＝a(Δx)2＋3aΔx＋3a－b，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx→3a －b ，即f ′(1)＝3a －b ，所以3a －b ＝－13 ① 又由f (1)＝－1.得a －b ＝－1 ② 由①②得，a ＝13，b ＝43.10．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s ＝{ 3t 2＋2， t ≥3，＋3(t －3)2， 0≤t ＜3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．【解】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3×(0＋Δt －3)2－29－3×(0－3)2Δt ＝3Δt －18，当Δt →0时，ΔsΔt →－18，∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2Δt＝3Δt －12，当Δt →0时，ΔsΔt →－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12m/s.[能力提升]1．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，下列命题正确的是________(填序号)．①ΔsΔt 为从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度； ②ΔsΔt 为在t 时刻物体的瞬时速度； ③ΔsΔt 为当时间为Δt 时物体的速度； ④ΔsΔt 为在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度．【解析】 由瞬时速度的定义知，当Δt →0时，ΔsΔt 为在t 时刻物体的瞬时速度．【答案】 ②2．若点(0,1)在曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 上，且f ′(0)＝1，则a ＋b ＝________. 【解析】 ∵f (0)＝1，∴b ＝1. 又Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx＝Δx ＋a .∴当Δx →0时，ΔyΔx →a ，则f ′(0)＝a ＝1. 所以a ＋b ＝1＋1＝2. 【答案】 23．设P 为曲线y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上的一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围是________．【解析】设P (x 0，y 0)，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝(x 0＋Δx )2＋2(x 0＋Δx )＋3－(x 20＋2x 0＋3)Δx＝2x 0＋2＋Δx .当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→2x 0＋2，即在点P 处切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1.即0≤2x 0＋2≤1.所以－1≤x 0≤－12.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－124．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________.【解析】 Δy Δx ＝a (x ＋Δx )2－ax2Δx＝2ax ＋a Δx ，当Δx →0时，2ax ＋a Δx →2ax ， 设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1， 且y 0＝x 0－1＝ax 20，解得x 0＝2，a ＝14. 【答案】 14 5．已知曲线y ＝1t －x上两点P (2，－1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.求：(1)曲线在点P 、Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P 、Q 处的切线方程． 【解】 将P (2，－1)代入y ＝1t －x， 得t ＝1，∴y ＝11－x ，设f (x )＝11－x， ∵f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx＝Δx[1－(x ＋Δx )](1－x )Δx＝1(1－x －Δx )(1－x )，∴当Δx →0时，1(1－x －Δx )(1－x )→1(1－x )2.∴f ′(x )＝1(1－x )2.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P 处的切线斜率f ′(2)＝1. 曲线在点Q 处的切线斜率f ′(－1)＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0，1 2＝14[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.曲线在点Q处的切线方程为y－。
高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率——导数课件苏教版选修2-2
St0＋Δt－St0
Δt
无限 趋近 于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的
瞬时速度 ，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率
vt0＋Δt－vt0
Δt
无限 趋近 于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时
加速度，也就是速度对于时间的瞬＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( ) (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切 线的斜率．( ) (3)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．( ) (4)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存 在．( )
ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0 无限趋近
于一个 常数 A，则称f(x)在x＝x0处 可导 ，并
称该 常数 A为函数f(x)在x＝x0处的 导数 ，记作f′(x0)．
(2)导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 斜率 ．
2．导函数 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的 变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x) 在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的 函数值 ．
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
学业分层测评2 瞬时变化率——导数-精选文档
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设函数f (x )在x ＝x 0处可导，当h 无限趋近于0时，对于f (x 0＋h )－f (x 0)h的值，以下说法中正确的是_____________________________________． ①与x 0，h 都有关；②仅与x 0有关而与h 无关；③仅与h 有关而与x 0无关；④与x 0，h 均无关．【解析】 导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与h 无关．【答案】 ②2．函数f (x )＝x 2在x ＝3处的导数等于________．【解析】 Δy Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx ， 令Δx →0，得f ′(3)＝6.【答案】 63．已知物体的运动方程为s ＝－12t 2＋8t (t 是时间，s 是位移)，则物体在t ＝2时的速度为________．【解析】 Δs ＝－12(2＋Δt )2＋8(2＋Δt )－⎝ ⎛⎭⎪⎫8×2－12×22＝6Δt －12(Δt )2， 则Δs Δt ＝6－12Δt ，当Δt →0时，Δs Δt →6.【答案】 64．如图1-1-6，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx→_______.图1-1-6【解析】 f (f (0))＝f (4)＝2.由函数在某点处的导数的几何意义知，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx→－2，即直线AB 的斜率． 【答案】 2 －25．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为________．【解析】 Δy Δx ＝14(2＋Δx )2－14×22Δx ＝1＋14Δx .当Δx →0时，Δy Δx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义知，点Q 处切线斜率k ＝f ′(2)＝1.∴切线方程为y －1＝x －2.即x －y －1＝0.【答案】 x －y －1＝06．已知函数y ＝f (x )的图象如图1-1-7所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________．(用“<”连接)图1-1-7【解析】 由图象易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0，由导数的几何意义得f ′(A )<f ′(B )．【答案】 f ′(A )<f ′(B )7．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________．【解析】 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－2x 20－4x 0Δx＝4(x 0＋1)＋2Δx ，当Δx→0时，f(x0＋Δx)－f(x0)Δx→4(x0＋1)，即f′(x0)＝4(x0＋1)，由导数的几何意义知f′(x0)＝16，所以x0＝3，y0＝30，所以点P的坐标为(3,30)．【答案】(3,30)8．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-8所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．图1-1-8【解析】由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．【答案】②二、解答题9．函数f(x)＝ax3－bx在点(1，－1)处的切线方程为y＝k(x＋2)，求a，b的值.【导学号：01580005】【解】因为点(1，－1)在切线y＝k(x＋2)上，所以k＝－1 3.f(1＋Δx)－f(1)Δx＝a(1＋Δx)3－b(1＋Δx)－a＋bΔx＝a(Δx)2＋3aΔx＋3a－b，当Δx→0时，f(1＋Δx)－f(1)Δx→3a－b，即f′(1)＝3a－b，所以3a－b＝－13①又由f(1)＝－1.得a－b＝－1②由①②得，a ＝13，b ＝43.10．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s ＝{ 3t 2＋2， t ≥3，＋3(t －3)2， 0≤t ＜3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．【解】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3×(0＋Δt －3)2－29－3×(0－3)2Δt＝3Δt －18， 当Δt →0时，Δs Δt →－18，∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2Δt ＝3Δt －12， 当Δt →0时，Δs Δt →－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12m/s.[能力提升]1．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，下列命题正确的是________(填序号)．①Δs Δt 为从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度；②Δs Δt 为在t 时刻物体的瞬时速度；③Δs Δt 为当时间为Δt 时物体的速度；④Δs Δt 为在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度．【解析】 由瞬时速度的定义知，当Δt →0时，Δs Δt 为在t 时刻物体的瞬时速度．【答案】 ②2．若点(0,1)在曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 上，且f ′(0)＝1，则a ＋b ＝________.【解析】 ∵f (0)＝1，∴b ＝1.又Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx＝Δx ＋a . ∴当Δx →0时，Δy Δx →a ，则f ′(0)＝a ＝1.所以a ＋b ＝1＋1＝2.【答案】 23．设P 为曲线y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上的一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围是________． 【解析】 设P (x 0，y 0)，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2＋2(x 0＋Δx )＋3－(x 20＋2x 0＋3)Δx＝2x 0＋2＋Δx . 当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→2x 0＋2，即在点P 处切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1.即0≤2x 0＋2≤1.所以－1≤x 0≤－12.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 4．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________.【解析】 Δy Δx ＝a (x ＋Δx )2－ax 2Δx＝2ax ＋a Δx ， 当Δx →0时，2ax ＋a Δx →2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，且y 0＝x 0－1＝ax 20，解得x 0＝2，a ＝14.【答案】 145．已知曲线y ＝1t －x上两点P (2，－1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12. 求：(1)曲线在点P 、Q 处的切线的斜率；(2)曲线在点P 、Q 处的切线方程．【解】 将P (2，－1)代入y ＝1t －x ， 得t ＝1，∴y ＝11－x ，设f (x )＝11－x， ∵f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx＝Δx[1－(x ＋Δx )](1－x )Δx＝1(1－x －Δx )(1－x )，∴当Δx →0时，1(1－x －Δx )(1－x )→1(1－x )2.∴f′(x)＝1 (1－x)2.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P处的切线斜率f′(2)＝1.曲线在点Q处的切线斜率f′(－1)＝1 4.(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0，曲线在点Q处的切线方程为y－12＝14[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.。
高中数学(苏教版 选修2-2)学业分层测评2 瞬时变化率——导数 Word版含答案
学业分层测评(二)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．设函数()在＝处可导，当无限趋近于时，对于的值，以下说法中正确的是．①与，都有关；②仅与有关而与无关；③仅与有关而与无关；④与，均无关．【解析】导数是一个局部概念，它只与函数＝()在＝处及其附近的函数值有关，与无关．【答案】②．函数()＝在＝处的导数等于．【解析】＝＝＋Δ，令Δ→，得′()＝.【答案】．已知物体的运动方程为＝－＋(是时间，是位移)，则物体在＝时的速度为．【解析】Δ＝－(＋Δ)＋(＋Δ)－＝Δ－(Δ)，则＝－Δ，当Δ→时，→.【答案】．如图--，函数()的图象是折线段，其中，，的坐标分别是()，()，()，则(())＝，当Δ→时，→.图--【解析】(())＝()＝.由函数在某点处的导数的几何意义知，当Δ→时，→－，即直线的斜率．【答案】－．抛物线＝在点()处的切线方程为．【解析】＝＝＋Δ.当Δ→时，→，即′()＝，由导数的几何意义知，点处切线斜率＝′()＝.∴切线方程为－＝－.即－－＝.【答案】－－＝．已知函数＝()的图象如图--所示，则′()与′()的大小关系是．(用“<”连接)图--【解析】由图象易知，点，处的切线斜率，满足<<，由导数的几何意义得′()<′()．【答案】′()<′()．已知曲线＝()＝＋在点处切线斜率为，则点坐标为．【解析】设点的坐标为(，)，则＝＝(＋)＋Δ，当Δ→时，→(＋)，即′()＝(＋)，由导数的几何意义知′()＝，所以＝，＝，所以点的坐标为()．【答案】()．已知函数＝()的图象如图--所示，则函数＝′()的图象可能是(填序号)．。
2020_2021学年高中数学第1章导数及其应用1.1.2瞬时变化率_导数课时素养评价含解析苏教版选
课时素养评价二瞬时变化率——导数(25分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是( )A.(0,0)B.(2,4)C. D.【解析】选D.==2x+Δx,当Δx→0时,→2x,所以2x=tan=1,所以x=. 从而y=.【补偿训练】一质点运动的位移s(m)与时间t(s)的关系式是s=t2+10,则当t=3s时的瞬时速度是____________m/s.【解析】因为Δs=(3+Δt)2+10-32-10=6Δt+(Δt)2,所以=6+Δt.当Δt→0时,→6,所以当t=3 s时的瞬时速度是6 m/s.答案:62.一物体做加速直线运动,假设ts时的速度为v(t)=t2+3,则t=2时物体的加速度为( )A.4B.3C.2D.1【解析】选A.因为==2t+Δt,所以当Δt→0时,➝2t.所以t=2时物体的加速度为4.3.设曲线y=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,则a=( )A.2B.-C.D.-1【解析】选B.由y=ax2得Δy=a(x+Δx)2-ax2=2axΔx+a(Δx)2,则=2ax+aΔx,所以y′=2ax,当x=2时,y′=4a,又y=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,所以4a×4=-1,即a=-.4.已知函数f(x)=ax2+b,若f′(1)=2,则a=( )A.4B.2C.1D.0【解析】选C.因为===2ax+a·Δx,当Δx→0时,→2ax,所以f′(x)=2ax,因为f′(1)=2a=2,所以a=1.5.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8,则f′(5)等于( )A.5B.3C.0D.-1【解析】选D.由y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8,可知切线的斜率为-1,易得f′(5)=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数f(x)=,则f′(2)=____________.【解析】===,当Δx→0时,→,所以f′(x)=,故f′(2)==-.答案:-7.已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为____________,点P处的切线方程为____________.【解析】设P(x0,2+4x0),则===2Δx+4x0+4,当Δx→0时,→4x0+4,又因为f′(x0)=16,所以4x0+4=16,所以x0=3,所以点P的坐标为(3,30).所以切线方程为y-30=16(x-3),即16x-y-18=0.答案:(3,30) 16x-y-18=08.曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为_______________.【解析】设切点坐标为(x0,y0),===Δx+2x0-3,当Δx→0时,→2x0-3,即k=2x0-3=1,解得x0=2,y0=-3x0=4-6=-2.故切点坐标为(2,-2).答案:(2,-2)三、解答题(每小题10分,共20分)9.若直线y=-x+b为函数y=图象的切线,求b及切点坐标.【解析】==,当Δx→0时,→-,设切点,则k=-=-1,得x0=±1,当x0=1时,切点(1,1),代入y=-x+b得b=2,当x0=-1时,切点(-1,-1),代入y=-x+b得b=-2,综上b=2,切点为(1,1)或b=-2,切点为(-1,-1).10.若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短,求点P的坐标.【解题指南】利用与已知直线平行且过点P的切线斜率求出切点即为所求.【解析】由点P到直线y=4x-5的距离最短知,过点P的切线方程与直线y=4x-5平行,设P(x0,y0),则===8x+4Δx,当Δx→0时,→8x,由得故所求的点为P.【补偿训练】曲线y=-x2上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为_______________. 【解析】设与直线x-y+3=0平行的直线与曲线y=-x2切于点P(x0,y0),则由==-2x0-Δx,当Δx→0时,→-2x0,由得所以P,点P到直线x-y+3=0的距离d==.答案:(20分钟·40分)1.(5分)若函数f(x)在x=a处的导数为A,则当Δx→0时,→( )A.0B.AC.2AD.A2【解析】选B.因为当Δx→0时,→A,所以→A(用-Δx替换Δx),所以当Δx→0时,=×+×→[A+](当Δx→0时,-Δx→0)→(A+A)=A.【补偿训练】y=f(x)=x3+2x+1在x=1处的导数为____________.【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3+2(1+Δx)+1-(13+2×1+1)=5Δx+3(Δx)2+(Δx)3,所以==5+3Δx+(Δx)2,当Δx→0时,→5,所以f′(1)=5.答案:52.(5分)(多选)下面说法不正确的是( )A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在【解析】选ABD.根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0,y0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D错误,C正确.3.(5分)若函数y=x2在点P处的导数值等于其函数值,则点P的坐标为____________.【解析】设函数y=x2在点(x0,y0)处的导数值与其函数值相等,因为==2x0+Δx,当Δx→0时,2x0+Δx =2x0,令y0=,所以2x0=,解得x0=0或x0=2,即在x=0或x=2处的导数值与其函数值相等.所以P的坐标为(0,0) 或(2,4).答案:(0,0) 或(2,4)【补偿训练】曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积等于____________. 【解析】由导数定义可求得y′=3x2,当x=1时,y′=3,切线方程为3x-y-2=0,与x轴的交点坐标为,与x=2的交点坐标为(2,4),围成的三角形的面积为××4=.答案:4.(5分)若函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=____________.【解析】根据题意,当Δx→0时,===2ax+a·Δx→2ax,设切点为(x0,y0),则2ax0=1,且y0=a+1,y0=x0,解得a=.答案:5.(10分)已知曲线C:f(x)=x3+x.(1)求曲线C在点(1,2)处切线的斜率.(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α,求α的取值X围. 【解析】因为==3x2+3x(Δx)+1+(Δx)2,当Δx→0时,→3x2+1.所以f′(x)=3x2+1.(1)曲线C在点(1,2)处切线的斜率k=f′(1)=4.(2)曲线C在任意一点处切线的斜率k=f′(x)=tan α,所以tan α=3x2+1≥1.又α∈[0,π),所以α∈.即倾斜角α的取值X围是.【补偿训练】设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线的倾斜角的取值X围为,求点P横坐标的取值X围.【解析】因为当Δx→0时,=→2x+2.且切线倾斜角θ∈,所以切线的斜率k满足0≤k≤1,即0≤2x+2≤1,所以-1≤x≤-.故点P横坐标的取值X围是.6.(10分)已知曲线y=f(x)=x2+1与y=g(x)=x3+1在x=x0处的切线互相垂直,求x0的值. 【解析】因为==Δx+2x,当Δx→0时,→2x,即f′(x)=2x,==(Δx)2+3xΔx+3x2,当Δx→0时,→3x2,即g′(x)=3x2,所以k1=2x0,k2=3,由题意得k1k2=-1,即6=-1,解得x0=-.。
2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数(一)习题 苏教版选修2-2
1.1.2 瞬时变化率——导数(一)明目标、知重点 1.理解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度．1．逼近法求曲线上一点处的切线斜率如图，设曲线C 上一点P (x ，f (x ))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f x ＋Δx －f x x ＋Δx －x ＝f x ＋Δx －f x Δx.当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当Δx 无限趋近于0时，f x ＋Δx －f xΔx无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率．2．瞬时变化率与瞬时速度、瞬时加速度(1)一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S t 0＋Δt －S t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．(2)一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v t 0＋Δt －v t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．[情境导学]平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？平均速度反映了物体在某段时间内运动的快慢程度，那么，如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢？本节内容将解决这一问题．探究点一 曲线上一点处的切线斜率思考1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？答 当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置．这个确定的位置的直线PT 称为过点P 的切线．思考2 怎样求切线的斜率？答 可以用逼近的方法来计算切线的斜率， 设P (x ，f (x ))，Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))， 则k PQ ＝f x ＋Δx －f xΔx，当Δx 无限趋近于0时，f x ＋Δx －f xΔx无限趋近于曲线f (x )在点P (x ，f (x ))处切线的斜率．例1 已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，求： (1)点P 处的切线斜率； (2)点P 处的切线方程．(提示：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3) 解 (1)∵y ＝13x 3，∴Δy Δx ＝13x ＋Δx 3－13x 3Δx ＝13×3x 2Δx ＋3x Δx 2＋Δx3Δx＝13[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于x 2，∴点P 处的切线的斜率等于4.(2)在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)．即12x －3y －16＝0.反思与感悟 解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想．即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx 无限趋近于0时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率．跟踪训练1 已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程． 解 Δy Δx＝＋Δx 2－2Δx＝4Δx ＋Δx 2Δx＝4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于4，∴曲线y ＝2x 2在点(1,2)处切线的斜率为4. ∴所求直线的斜率为k ＝－14.∴y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0.探究点二 瞬时速度与瞬时加速度思考1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h (6549)＝h (0)，v ＝h6549－h 6549－0＝0，而运动员依然是运动状态．思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态． 思考3 瞬时速度与瞬时加速度和函数的变化率有什么关系？答 瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率． 例2 一质点按规律S ＝2t 2＋2t (位移单位：m ，时间单位：s)做直线运动．求： (1)该质点在前3 s 内的平均速度； (2)该质点在2 s 到3 s 内的平均速度； (3)该质点在3 s 时的瞬时速度． 解 (1)v ＝S－S 3－0＝2×32＋2×3－03＝8 (m/s)．∴该质点在前3 s 内的平均速度为8 m/s.(2)v ＝S－S 3－2＝2×32＋2×3－2×22－2×2＝12 (m/s)．∴该质点在2 s 到3s 内的平均速度为12 m/s. (3)∵s＋Δt －sΔt ＝＋Δt2＋＋Δt －2＋Δt＝2Δt ＋14.当Δt 无限趋近于0时，Δt ＋14无限趋近于14. ∴该质点在3 s 时的瞬时速度为14 m/s.反思与感悟 平均速度可反映物体在某一段时间内的平均变化状态，而瞬时速度反映物体在某一时刻的运动变化状态，瞬时速度是平均速度当Δt 趋于0时的极限值．跟踪训练2 一辆汽车按规律S ＝3t 2＋1作直线运动，求这辆车在t ＝3 s 时的瞬时速度．(时间单位：s ，位移单位：m)解 设这辆车从3 s 到(3＋Δt )s 这段时间内位移的增量为ΔS ，则ΔS ＝3(3＋Δt )2＋1－28＝3(Δt )2＋18Δt ， 又ΔSΔt＝3Δt ＋18， ∴当Δt 无限趋近于0时，3Δt ＋18无限趋近于18， ∴这辆车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s.1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为________． 答案 8 解析 ∵f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－8Δx＝8＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，8＋2Δx 无限趋近于8， ∴曲线f (x )在点A 处的切线斜率为8.2．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，当Δx 无限趋近于0时，f x 0＋Δx －f x 0Δx＝Δx2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4＋2Δx ，无限趋近于4x 0＋4，令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30)．3．任一作直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 答案 3 解析 ΔS Δt＝S Δt －SΔt＝3Δt －Δt 2Δt＝3－Δt ，当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近于3.4．一质点做加速直线运动，其速度与时间的关系是v ＝t 2＋t ＋2 (速度单位：m/s ，时间单位：s)，求质点在t ＝2 s 时的瞬时加速度． 解 ∵v＋Δt －vΔt＝＋Δt 2＋＋Δt ＋2－2＋2＋Δt＝Δt ＋5，∴当Δt 无限趋近于0时，Δt ＋5无限趋近于5，即质点在t ＝2 s 时的瞬时加速度为5 m/s 2. [呈重点、现规律]1．曲线的切线斜率是割线斜率的极限值，是函数在一点处的瞬时变化率．2．瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢.一、基础过关1．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ](Δt >0)内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是________． 答案 －62．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率的值为________．(已知(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3) 答案 6 解析 Δy Δx＝＋Δx 3－2Δx＝6＋6Δx ＋2(Δx )2，∴Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于6，∴所求切线斜率为6.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________．答案 45°解析 Δy Δx ＝12x ＋Δx 2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx＝x ＋12Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于x ，∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处切线斜率为1，倾斜角为45°.4．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程为______________．(已知(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3) 答案 x －y －2＝0 解析 ΔyΔx＝x ＋Δx －x ＋Δx3－4x ＋x3Δx＝4－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )，当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于4－3x 2，x ＝－1时，ΔyΔx无限趋近于1， 所以在点(－1，－3)处的切线的斜率为k ＝1， 所以切线方程是x －y －2＝0.5．一物体的运动方程为S ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 答案114解析 ΔS Δt ＝t ＋Δt2＋8－t 2＋Δt＝7Δt ＋14t ，∴Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于14t .∵14t ＝1，∴t ＝114.6．一物体的运动方程是S ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度为________．答案 at 0 解析ΔS Δt＝S t 0＋Δt －S t 0Δt ＝12a Δt ＋at 0，当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于at 0.7．求曲线f (x )＝3x 2－2x 在点(1,1)处切线的斜率．解 ∵Δy Δx ＝f ＋Δx －fΔx＝＋Δx2－＋Δx －2－Δx＝Δx 2＋4ΔxΔx＝3Δx ＋4.∵当Δx 无限趋近于0时，3Δx ＋4无限趋近于4， ∴曲线f (x )＝3x 2－2x 在点(1,1)处切线的斜率为4. 二、能力提升8．已知物体运动的速度与时间之间的关系：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 答案 4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v＋Δt －vΔt＝Δt ＋4，当Δt 无限趋近于0时，ΔvΔt无限趋近于4.9．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 14解析 Δy Δx＝a x ＋Δx 2－ax 2Δx＝2ax ＋a Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2ax ＋a Δx 无限趋近于2ax ， 设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1， 且y 0＝x 0－1＝ax 20，解得x 0＝2，a ＝14.10．有一作直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度是________． 答案 －1解析 物体在t ＝2到t ＝2＋Δt 时间内，位移的改变量 ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2.∴该时间段内的平均速度v ＝ΔSΔt ＝－1－Δt ，∴Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于－1，∴此物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.11．以初速度v 0 (v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时间的高度为S (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．解 ∵ΔS ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20 ＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴ΔS Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于v 0－gt 0.故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.12．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解 令t 0＝6598，Δt 为增量．则h t 0＋Δt －h t 0Δt＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5Δt Δt＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5， ∴Δt 无限趋近于0时，h t 0＋Δt －h t 0Δt无限趋近于0.即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高点处． 三、探究与拓展13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t①29＋t －2 t②求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为ΔS ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为 ΔS Δt ＝482＝24 (m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 ΔS Δt ＝f ＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －18，∵当Δt 无限趋近于0时， ΔSΔt＝3Δt －18无限趋近于－18， ∴物体的初速度v 0为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度，即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 ΔS Δt ＝S ＋Δt －SΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －12.当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt ＝3Δt －12无限趋近于－12，∴物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数温故知新 苏教版选修2-2-苏教版高二
1.1.2 瞬时变化率——导数温故知新新知预习1.如图所示：设曲线C 上一点P(x,f(x)),过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q(x+Δx,f (x+Δx)),则割线PQ 的斜率为K PQ =______________________=_____________________.当点Q 沿曲线C 向点P 运动,并无限趋近于点P 时,即Δx→0时,割线PQ 逼近点P 的切线V.从而割线的斜率逼近________________,xx f x x f ∆-∆+)()(0无限趋近于P(x,f(x))处的切线的_______________.2.一般地,运动物体位移的平均变化率tt S t t S ∆-∆+)()(00,如果当Δt 无限趋近于0时,_______,这个常数称为物体在t=t 0时的瞬时速度.我们可以看到,瞬时速度就是位移对时间的________.3.设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x 0∈(a,b),若Δx 无限趋近于0时,比值xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00无限_____________,则称f(x)在x=x 0处可导,并称_______________为函数f(x)在x=x 0的导数,记作f′(x 0).4.导数的意义(1)导数的几何意义：函数y=f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)就是曲线y=f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的____________________，即___________________.(2)导数的物理意义：函数s=s(t)在点t 0处的导数_________________，就是当物体的运动方程为s=s(t)时，物体运动在时刻t 0时的瞬时速度v ，即v=s′(t 0).知识回顾1.切线定义的认识我们都知道与圆有且只有一个交点的直线是圆的切线，因此我们往往也会想当然地认为任意曲线的切线与该曲线都有且只有一个交点，而且与曲线有且只有一个交点的直线必是该曲线的切线，那么这个看法是否正确呢？让我们看两个例子.①直线x=1与曲线y=x 2有且只有一个交点，但显然它不是切线；②直线y=1与y=sinx 有无数个交点，但它却是切线.由此可见，我们对切线应该有一个全新的认识，认真理解教材中对切线的定义.2.平均变化率函数在某点的变化率定义为函数值的增量与自变量的增量之比，即x x f x x f ∆-∆+)()(00=xy ∆∆，它的几何意义是过曲线y=f(x)上点(x 0,f(x 0))及点(x0+Δx,f(x0+Δx))的割线的斜率.3.函数变化率的应用用函数在一点附近的变化率，可以刻画函数图象的变化趋势.平均变化率可正可负也可以为零.一般地平均变化率的绝对值越大，曲线“越陡”——递增或递减的幅度越大.。
2019-2020学年高中数学苏教版选修2-2学业分层测评2 瞬时变化率——导数 Word版含解析
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设函数f(x)在x＝x0处可导，当h无限趋近于0时，对于错误!的值，以下说法中正确的是_____________________________________．①与x0，h都有关；②仅与x0有关而与h无关；③仅与h有关而与x0无关；④与x0，h均无关．【解析】导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与h无关．【答案】②2．函数f(x)＝x2在x＝3处的导数等于________．【解析】ΔyΔx＝错误!＝6＋Δx，令Δx→0，得f′(3)＝6. 【答案】 63．已知物体的运动方程为s＝－1 2t2＋8t(t是时间，s是位移)，则物体在t＝2时的速度为________．【解析】Δs＝－12(2＋Δt)2＋8(2＋Δt)－⎝⎛⎭⎪⎪⎫8×2－12×22＝6Δt－12(Δt)2，则ΔsΔt＝6－12Δt，当Δt→0时，ΔsΔt→6.【答案】 64．如图1-1-6，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6, 4)，则f(f(0))＝________，当Δx→0时，错误!→_______.图1-1-6【解析】f(f(0))＝f(4)＝2.由函数在某点处的导数的几何意义知，当Δx→0时，错误!→－2，即直线AB的斜率．【答案】 2 －25．抛物线y＝14x2在点Q(2,1)处的切线方程为________．【解析】ΔyΔx＝错误!＝1＋错误!Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→1，即f′(2)＝1，由导数的几何意义知，点Q处切线斜率k＝f′(2)＝1.∴切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0.【答案】x－y－1＝06．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-7所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是________．(用“<”连接)图1-1-7【解析】由图象易知，点A，B处的切线斜率k A，k B满足k A<k B<0，由导数的几何意义得f′(A)<f′(B)．【答案】f′(A)<f′(B)7．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处切线斜率为16，则点P坐标为________．【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，则错误!＝错误!＝4(x0＋1)＋2Δx，当Δx→0时，错误!→4(x0＋1)，即f′(x0)＝4(x0＋1)，由导数的几何意义知f′(x0)＝16，所以x0＝3，y0＝30，所以点P的坐标为(3,30)．【答案】(3,30)8．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-8所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．图1-1-8【解析】由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．【答案】②二、解答题9．函数f(x)＝ax3－bx在点(1，－1)处的切线方程为y＝k(x＋2)，求a，b的值.【导学号：01580005】【解】因为点(1，－1)在切线y＝k(x＋2)上，所以k＝－1 3 .错误!＝错误!＝a(Δx)2＋3aΔx＋3a－b，当Δx→0时，错误!→3a－b，即f′(1)＝3a－b，所以3a－b＝－13①又由f(1)＝－1.得a－b＝－1②由①②得，a＝13，b＝43.10．若一物体运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：s＝错误!求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．【解】(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0附近的平均变化率为ΔsΔt＝错误!＝3Δt－18，当Δt→0时，ΔsΔt→－18，∴物体在t＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．∵物体在t＝1附近的平均变化率为ΔsΔt＝错误!＝3Δt－12，当Δt→0时，ΔsΔt→－12，∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12m/s.[能力提升]1．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0时，下列命题正确的是________(填序号)．①ΔsΔt为从时间t到t＋Δt时物体的平均速度；②Δs Δt为在t 时刻物体的瞬时速度； ③Δs Δt为当时间为Δt 时物体的速度； ④Δs Δt为在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度． 【解析】 由瞬时速度的定义知，当Δt →0时，Δs Δt为在t 时刻物体的瞬时速度． 【答案】 ②2．若点(0,1)在曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 上，且f ′(0)＝1，则a ＋b ＝________.【解析】 ∵f (0)＝1，∴b ＝1.又Δy Δx＝错误!＝Δx ＋a . ∴当Δx →0时，Δy Δx →a ，则f ′(0)＝a ＝1.所以a ＋b ＝1＋1＝2.【答案】 23．设P 为曲线y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上的一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围是________． 【解析】 设P (x 0，y 0)，错误!＝错误!＝2x 0＋2＋Δx .当Δx →0时，错误!→2x 0＋2，即在点P 处切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1.即0≤2x 0＋2≤1.所以－1≤x 0≤－12. 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，－12 4．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________.【解析】 Δy Δx ＝错误!＝2ax ＋a Δx ，当Δx→0时，2ax＋aΔx→2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，且y0＝x0－1＝ax20，解得x0＝2，a＝1 4 .【答案】1 45．已知曲线y＝1t－x上两点P(2，－1)，Q⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，12.求：(1)曲线在点P、Q处的切线的斜率；(2)曲线在点P、Q处的切线方程．【解】将P(2，－1)代入y＝1t－x，得t＝1，∴y＝11－x，设f(x)＝11－x，∵错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴当Δx→0时，错误!→错误!.∴f′(x)＝错误!.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P处的切线斜率f′(2)＝1.曲线在点Q处的切线斜率f′(－1)＝1 4 .(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0，曲线在点Q处的切线方程为y－12＝14[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.。
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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数学业分层测评 苏教版选修2-2(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．设函数f (x )在x ＝x 0处可导，当h 无限趋近于0时，对于f x 0＋h －f x 0h的值，以下说法中正确的是_____________________________________．①与x 0，h 都有关；②仅与x 0有关而与h 无关； ③仅与h 有关而与x 0无关；④与x 0，h 均无关．【解析】 导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与h 无关．【答案】②2．函数f (x )＝x 2在x ＝3处的导数等于________． 【解析】ΔyΔx＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx ，令Δx →0，得f ′(3)＝6. 【答案】 63．已知物体的运动方程为s ＝－12t 2＋8t (t 是时间，s 是位移)，则物体在t ＝2时的速度为________．【解析】 Δs ＝－12(2＋Δt )2＋8(2＋Δt )－⎝ ⎛⎭⎪⎫8×2－12×22＝6Δt －12(Δt )2，则Δs Δt ＝6－12Δt ， 当Δt →0时，ΔsΔt →6.【答案】 64．如图116，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________，当Δx →0时，f 1＋Δx －f 1Δx→_______.图116【解析】f (f (0))＝f (4)＝2.由函数在某点处的导数的几何意义知，当Δx →0时，f 1＋Δx －f 1Δx→－2，即直线AB 的斜率．【答案】 2 －25．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为________．【解析】Δy Δx ＝142＋Δx 2－14×22Δx ＝1＋14Δx .当Δx →0时，ΔyΔx→1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义知，点Q 处切线斜率k ＝f ′(2)＝1. ∴切线方程为y －1＝x －2.即x －y －1＝0. 【答案】x －y －1＝06．已知函数y ＝f (x )的图象如图117所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________．(用“<”连接)图117【解析】 由图象易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0，由导数的几何意义得f ′(A )<f ′(B )．【答案】f ′(A )<f ′(B )7．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________． 【解析】 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则f x 0＋Δx －f x 0Δx＝2x 0＋Δx2＋4x 0＋Δx －2x 20－4x 0Δx＝4(x 0＋1)＋2Δx ， 当Δx →0时，f x 0＋Δx －f x 0Δx→4(x 0＋1)，即f ′(x 0)＝4(x 0＋1)，由导数的几何意义知f ′(x 0)＝16，所以x 0＝3，y 0＝30， 所以点P 的坐标为(3,30)． 【答案】 (3,30)8．已知函数y ＝f (x )的图象如图118所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是__________(填序号)．图118【解析】 由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时f ′(x )＝0，当x >0时f ′(x )<0，故②符合．【答案】② 二、解答题9．函数f (x )＝ax 3－bx 在点(1，－1)处的切线方程为y ＝k (x ＋2)，求a ，b 的值.【导学号：01580005】【解】 因为点(1，－1)在切线y ＝k (x ＋2)上，所以k ＝－13.f 1＋Δx －f 1Δx＝a 1＋Δx3－b 1＋Δx －a ＋bΔx＝a (Δx )2＋3a Δx ＋3a －b ，当Δx →0时，f 1＋Δx －f 1Δx→3a －b ，即f ′(1)＝3a －b ，所以3a －b ＝－13①又由f (1)＝－1.得a －b ＝－1 ② 由①②得，a ＝13，b ＝43.10．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s ＝{ 3t 2＋2， t ≥3，29＋3t －32， 0≤t ＜3.求：(1)物体在t ∈3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．【解】 (1)∵物体在t ∈3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt＝29＋3×0＋Δt －32－29－3×0－32Δt＝3Δt －18，当Δt →0时，ΔsΔt→－18，∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－3×1－32Δt ＝3Δt －12，当Δt →0时，ΔsΔt→－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12m/s.能力提升]1．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，下列命题正确的是________(填序号)．①ΔsΔt为从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度； ②ΔsΔt为在t 时刻物体的瞬时速度； ③ΔsΔt为当时间为Δt 时物体的速度； ④ΔsΔt为在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度． 【解析】 由瞬时速度的定义知，当Δt →0时，ΔsΔt 为在t 时刻物体的瞬时速度．【答案】②2．若点(0,1)在曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 上，且f ′(0)＝1，则a ＋b ＝________. 【解析】∵f (0)＝1，∴b ＝1. 又Δy Δx＝f 0＋Δx －f 0Δx＝Δx ＋a .∴当Δx →0时，ΔyΔx →a ，则f ′(0)＝a ＝1.所以a ＋b ＝1＋1＝2. 【答案】 23．设P 为曲线y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上的一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，f x 0＋Δx －f x 0Δx＝x 0＋Δx2＋2x 0＋Δx ＋3－x 20＋2x 0＋3Δx＝2x 0＋2＋Δx .当Δx →0时，f x 0＋Δx －f x 0Δx→2x 0＋2，即在点P 处切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1.即0≤2x 0＋2≤1.所以－1≤x 0≤－12.【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－124．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 【解析】Δy Δx＝ax ＋Δx 2－ax 2Δx＝2ax ＋a Δx ，当Δx →0时，2ax ＋a Δx →2ax ， 设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，且y 0＝x 0－1＝ax 20，解得x 0＝2，a ＝14.【答案】145．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 求：(1)曲线在点P 、Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P 、Q 处的切线方程． 【解】 将P (2，－1)代入y ＝1t －x， 得t ＝1，∴y ＝11－x ，设f (x )＝11－x， ∵f x ＋Δx －f x Δx ＝11－x ＋Δx －11－xΔx＝Δx[1－x ＋Δx ]1－x Δx＝11－x －Δx1－x，∴当Δx →0时，11－x －Δx1－x→11－x2.∴f ′(x )＝11－x2.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P 处的切线斜率f ′(2)＝1. 曲线在点Q 处的切线斜率f ′(－1)＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0， 曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.。