2016_2017学年高中数学第3章三角恒等变换章末分层突破学案

第3章 三角恒等变换章末分层突破[自我校对]①C (α＋β) ②C 2α ③S (α＋β) ④S 2α ⑤T (α－β) ⑥T 2α(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α，β均为锐角，求cos β的值．【精彩点拨】 由tan α求sin α，由cos(α＋β)求sin(α＋β)，再利用cos β＝cos[(α＋β)－α]展开求解．【规范解答】 因为α，β均为锐角， 所以0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－1114，所以π2＜α＋β＜π，且sin(α＋β)＝5314.因为tan α＝43，所以sin α＝437，cos α＝17.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.[再练一题]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 4α1＋cos 2α的值． 【解】 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13，即cos 2α＝13.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，2α∈(π，2π)，∴sin 2α＝－1－cos 22α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.∴sin 4α1＋cos 2α＝2sin 2α·cos 2α1＋1＋cos 2α2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×131＋1＋132＝－4215.(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 【精彩点拨】 先对原式进行等价变形，同时注意应用“二倍角”的正弦、余弦、正切公式．【规范解答】 证明原不等式成立，即证明1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)成立． ∵tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ) ＝sin 2θcos 2θ(2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ) ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ ＝sin 4θ＋1－cos 4θ. ∴1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. [再练一题]2．化简：2sin 130°＋sin 100° 1＋3tan 370°1＋cos 10°.【解】 原式＝2sin 50°＋sin 80° 1＋3tan 10°1＋cos 10°＝2sin 50°＋cos 10°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°2cos 25°＝2sin 50°＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°2|cos 5°|＝2sin 50°＋2sin 30°＋10°2cos 5°＝2[]sin 45°＋5° ＋sin 45°－5° 2cos 5°＝2 sin 45°cos 5°＋cos 45°sin 5°＋sin 45°cos 5°－cos 45°sin 5°2cos 5°＝4sin 45°·cos 5°2cos 5°＝2.1.公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．【精彩点拨】 分别表示两向量的模，利用相等求解x 的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解．【规范解答】 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋sin 2x ＝4sin 2x ， |b |2＝cos 2x ＋sin 2x ＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.[再练一题]3．已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．【解】 (1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知f (α)＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35.所以sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－1825＝725.未知的关系，角的转化、函数名称的转化、常数代换、幂的升降变换、结构变化等技巧在解题中经常用到，应熟练掌握．已知tan α＝13，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．【精彩点拨】 先求tan(2α－β)的值，再结合2α－β的范围求2α－β的值． 【规范解答】 ∵tan α＝13＞0，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈(0，π)，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，又∵tan β＝－17＜0，β∈(0，π)，∴β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－171＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝1，又∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－34π.[再练一题]4．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．【解】 ∵π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，∴－π2＜π4－α＜0，3π4＜3π4＋β＜π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋ α＋β ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫－1213×35＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×35＋513×⎝⎛⎭⎪⎫－45＝5665.1．(2015·重庆高考改编)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝________.【解析】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5，∴原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5.又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.【答案】 32．(2016·全国卷Ⅱ改编)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝________.【解析】 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝35， 所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.【答案】 －7253．(2016·四川高考)cos 2π8－sin 2π8＝________. 【解析】 cos2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 【答案】224．(2016·浙江高考)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.【解析】 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，∴A ＝2，b ＝1.【答案】2 15．(2015·江苏高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β －tan α1＋tan α＋β tan α＝17－ －2 1＋17× －2 ＝3.【答案】 36．(2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．【解】 (1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. 章末综合测评(三) 三角恒等变换 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，则cos 2α＝________.【解析】 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.【答案】 －7252．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)＝________.【解析】 ∵sin αsin β＝1，∴sin α＝－1，sin β＝－1或sin α＝1，sin β＝1.由sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝0.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1. 【答案】 13．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝________. 【解析】 原式＝－sin 17°cos 47°＋cos 17°sin 47° ＝sin(47°－17°) ＝sin 30°＝12 【答案】 124．化简：2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝________.【解析】 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 【答案】 tan 2α 5．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________. 【解析】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，∴cos α＝－255，∴tan α＝－12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 【答案】 －436．(2016·南通高一检测)化简： cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π8－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π8＝________. 【解析】 原式＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π42－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π42＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 cos x －sin x ＋22 cos x ＋sin x ＝22cos x . 【答案】22cos x 7．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________.【解析】 已知等式两边平方得sin α＝45，450°＜α＜540°，∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝2.【答案】 28．tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为________． 【解析】 tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°) ＝3－3tan 19°tan 41°∴原式＝3－3tan 19°tan 41°＋3tan 19°tan 41°＝ 3. 【答案】39．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 a ＝2sin 59°，b ＝2sin 61°，c ＝2sin 60°， 所以a ＜c ＜b . 【答案】 a ＜c ＜b10．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向________平移________个单位．【解析】 y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4 ＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12故将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象．【答案】 右π1211．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －32图象的对称轴方程为________． 【解析】 ∵y ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ∴由2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．【答案】 x ＝k π2＋π12，k ∈Z 12．(2016·苏州高一检测)已知点P sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3的值为________．【解析】 由题意知，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34 π在第四象限，且落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝tan θ＋tanπ31－tan θtanπ3＝－1＋31＋3＝2－ 3.【答案】 2－ 313．设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β的值为________．【解析】 由tan α2＝12，得sin α＝2tanα21＋tan 2 α2＝11＋14＝45，∵α∈(0，π)，∴cos α＝35， 由sin(α＋β)＝513<sin α，α，β∈(0，π)，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos(α＋β)＝－1213.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665.【答案】 －166514．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x ＋a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值为2，则常数a 的值为________．【解析】 f (x )＝2sin x cos π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a ，又－π3≤x ＋π6≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴a ＋2＝2，则a ＝0.【答案】 0二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知sin α＝cos 2α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin 2α.【解】 ∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝12.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝12，α＝π6.∴cos α＝32.∴sin 2α＝2×12×32＝32. 16．(本小题满分14分)求1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°1tan 5°－tan 5°的值．【解】 原式＝2cos 210°2sin 20°－2sin 10°·1－tan 25°2tan 5°＝cos 210°2sin 10°cos 10°－2sin 10°·cos 10°sin 10° ＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°－10° 2sin 10°＝32.17．(本小题满分14分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313. (1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－45，求sin α的值．【解】 (1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，|a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，∴1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝513.(2)由0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，可知cos β＝35，且0＜α－β＜π，∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213.∴sin α＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝1213×35＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝1665. 18．(本小题满分16分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－277，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝12且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：(1)cos α＋β2；(2)tan(α＋β)．【解】 (1)∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝217，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝32.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β2＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－277＋217×12 ＝－2114. (2)又α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，且cos α＋β2＜0，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＜0，∴tan α＋β2＝－533.∴tan(α＋β)＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β21－tan2α＋β2＝5311.19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值．(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解】 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)∵0＜α＜π2，sin α＝22，∴α＝π4.从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .20．(本小题满分16分)如图1，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y ＞x ＞0.图1(1)将十字形的面积表示成θ的函数； (2)求十字形的最大面积． 【解】 (1)设S 为十字形面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜θ＜π2.(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin 2θ－12cos 2θ－12＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫255sin 2θ－55cos 2θ－12 ＝52sin(2θ－φ)－12(设φ为锐角且tan φ＝12) 当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大．π4＋φ2时，十字形取得最大面积52－12.即当θ＝。