7-7方向导数与梯度(09级)微积分课件

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(3) 当 3 和 7 时,方向导数等于 0.
4
4
练习求z ln( x y)在y2 4 x上(1,2)处 ， 沿 抛 物 线 在 该 点 的 切 线 偏向x轴 正 向 的 方 向 导 数
解 z 1
1 ; z 1
1;
x (1,2)
x y (1,2)
3
y (1,2)
x y (1,2)
问题的实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方 向（即梯度方向）爬行．
⒈ 函数沿某一方向的变化问题——方向导数
⒉ 变化最快的方向——梯度方向
7.7.1 方向导数的概念
回忆 一元函数 y f ( x)
•
•
x x x
•
x x x
x x x (只能从右侧或左侧)
所以一元函数只有 右导数 f( x) 或左导数 f( x)
0
P沿方向l的方向导数, 记为
f , l
y
l
•P
y
•
x
P
O
x
即 f lim f ( x x, y y) f ( x, y)
l 0
当给出L的参数方程
L
:
x
y
x0 y0
t cos t cos
其中(cos ,cos ) l 0， P0P t,
(t 0)
即 f
y
l
l ( x0 , y0 )
四. 数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的
el
• P(x, y)
lim f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) .
•
t0
t
P0 ( x0 , y0 )
o
x
方向导数与偏导数的关系
(1)
设
f x ( x,
y),
f y ( x,
y)
存在,则
f ( x, y)沿x轴正向
i (1,0) 的方向导数存在, 且 值 为f x .
x y
x y( x)
所以任意点处的切向量为：
gradf
1,
fx
yx
f
y yx
1, f f
x
y
0
1
fx
(
fx ) fy
f y 0
gradf
gradf
fx, fy
所以梯度为曲线 f ( x, y) c 上点( x, y) 处的法向量.
梯度的几何意义
gradf f x , f y
2x3 y 54 ( 3,1)
z 27 ( 1 ) 54 2 81
l P0
5
55
| P0P1 | 5,
cos 1 ,
5
cos 2
5
f l
P0
f x ( x0 , y0 )cos
f y ( x0 , y0 )cos
例 求函数f ( x, y) x2 xy y2在点(1,1)沿与
梯度的概念推广到三元函数
三元函数 u f ( x, y, z) 在点 P( x, y, z) 可微, 则在点 P( x, y, z)
⑴梯度为 grad f ( x0 , y0 , z0 ) ( f x , f y , fz ) P0
⑵ 函数沿梯度方向的方向导数最大，增长最快
⑶ 最大方向导数为 gradf ( x0 , y0 , z0 )
f l
P0
f x ( x0 , y0 )cos
f y ( x0 , y0 )cos
例 考虑函数 z x3 y2 ,定点P0(3,1), P1(2,3).求
函数在 P0沿 P0P1方向的方向导数.
z 解 x (3,1)
3x2 y2 27, ( 3,1)
P0P1 (1,2),
z y (3,1)
l 0
( (x)2 (y)2 (z)2 )
计算公式
f l
P
[ f x cos
f y cos
fz cos ] P
其中cos ,cos ,cos 是l的方向余弦.
7.7.2 梯度
定义 设 z f ( x, y) 在区域 D 内可微，则对
每一点 P0 ( x0 , y0 )D ，都可定出一个向
二元函数 z f ( x, y)
y
( x x, y y)
(x x, y y) (x, y)
•
(x, y)
(可以从任意方向)
O
x
所以二元函数有无穷多方向导数
1.方向导数的定义
由 点P发 出 的 一 条 射 线l , 在点P( x, y)附近于l上取
y
l
•P
y
一点P( x x, y y),
f
2 x
(
x0
,
y0
,
z0
)
f
2 y
(
x0
,
y0
,
z0
)
f
2 x
(
x0
,
y0
,
z0
)
方向导数公式
f l
P0
[ fx cos
f y cos
fz cos ] ( x0 , y0 ,z0 )gradf源自( x0 ,y0 , z0 )
l l
grad f ( x, y, z) fx , f y , fz
P0 x
O
x
记 | PP | . 即 (x)2 (y)2 ,
定义如果极限
lim
P P
f (P)
f (P)
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 存在,
0
则将这个极限值称为函数在点
lim f (P) f (P)
P P
lim f ( x x, y y) f ( x, y)
问在怎样的方向上此方向导数有 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零?
f l
(1,1)
(2 x y) (1,1) cos cos sin
(2y 2 sin(
x) (1,1) sin )
4
故 (1) 当 时,方向导数达到最大值 2;
4
(2) 当 5 时, 方向导数达到最小值 2;
x ( x0 , y0 )
不一定.
例如，z x2 y2 在O(0,0)处沿方向
l
i
有
z
1，但 z 不存在.
l (0,0)
x (0,0)
z x
(0,0)
lim
x0
f (x,0) x
f (0,0)
lim | x |. x0 x
同理：z y
(0,0)
lim |
y0
y | y
故两个偏导数均不存在.
gradf
y
grad f ( x, y)
• (x, y)
f (x, y) c
O
x
梯度为曲线f ( x, y) c 上点( x, y) 处的法向量.
梯度的几何意义：
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等高线) ,
梯度的方向与等值面（或者等高线）该点的法线的 一个方向相同 指向函数增大的方向 （从数值低的等高线指向数值高的）.
f x ( x,
y)
y
o( )]
cos
cos l的方向余弦
f x ( x, y)cos f y ( x, y)cos
(1) 可微
说明 方向导数存在
(2)在定点 P0( x0 , y0 ) 的方向导数为
f l
P0
f x ( x0 , y0 )cos
f y ( x0 , y0 )cos
cos,cos 为l的方向余弦
f
2 x
(
x0
,
y0
)
f
2 y
(
x0
,
y0
)
方向导数公式
f l
P0
f x ( x0 , y0 )cos
f y ( x0 , y0 )cos
gradf
( x0,
y0 )
l l
梯度的几何意义 z f ( x, y) 表示空间一张曲面,
而 f ( x, y) c 表示一条平面曲线,
其参数形式：
f (i)
lim x 0
f ( x x, y) x
f (x, y) fx ( x, y),
f
(
x,
y)沿y轴
负
向(
j)
(0,1)
y
y 0 x 0
的方向导数为 f y ( x, y).
••
i (x x, y) (x, y)
O
x
(2)
设
0
l
i,
z
存在 z
存在
l ( x0 , y0 )
0
沿任意方向 l (cos ,cos ) 的方向导数,
z l
(0,0)
lim
t 0
f (t cos ,t cos )
t
f (0,0)
lim t 1 t0 t
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
方向导数的几何意义
z f
z
lim
l P0 l P0 0
z
M
lim f (P) f (P0 )
0
Q
lim f ( x x , y y) f ( x , y )
z
z
方向导数
l
是曲面在
P0
点P0 处沿方向l 的变化率，
即半切线 MN 的斜率.
（ MQ 看成是割线， 切线是割线的极限位
0
x
y
P0
x
置）