高中数学专题1.4.3含有一个量词的命题的否定练习(含解析)2_1
高中数学 1.4.3含有一个量词的命题的否定练习 新人教A版高二选修1-1数学试题
1.4.3含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 [答案] B[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B ．2．(2015·潍坊四县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．(2015·东北三校模拟)已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，sin x ＝12，则¬p 为( )A ．∀x ∈(0，π2)，sin x ＝12B ．∀x ∈(0，π2)，sin x ≠12C ．∃x ∈(0，π2)，sin x ≠12D ．∃x ∈(0，π2)，sin x >12[答案] B[解析] ¬p 表示命题p 的否定，即否定命题p 的结论，由“∃x ∈m ，p (x )”的否定为“∀x ∈m ，¬p (x )”知选B4．(2015·某某省八校联考)命题“∀x ∈R ，e x >x 2”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，使e x >x 2B ．∃x ∈R ，使e x <x 2C ．∃x ∈R ，使e x ≤x 2D ．∀x ∈R ，使e x ≤x 2[答案] C[解析] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C ． 5．(2015·某某市曲江一中月考)下列说法正确的是( )A ．“a >1”是“f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B ．命题“∃x ∈R 使得x 2＋2x ＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”C ．“x ＝－1”是“x 2＋2x ＋3＝0”的必要不充分条件 D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则¬p 是真命题 [答案] A[解析] a >1时，f (x )＝log a x 为增函数，f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)为增函数时，a >1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故B 错误；x ＝－1时，x 2＋2x ＋3≠0，x 2＋2x ＋3＝0时，x 无解，故C 错误；∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴p 为真命题，从而¬p 为假命题，∴D 错误．6．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是( ) A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 [答案] C[解析] ¬p ：对任意实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根，故选C ． 二、填空题7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______. [答案] 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”． 8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________. [答案] 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 [解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值X 围是________. [答案] a >2或a <－2[解析] 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2.三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题． (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．一、选择题1．(2015·某某理)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *,f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 [答案] D[解析] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ” 其否定为：“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”．2．已知命题“∀a 、b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是( ) A ．∀a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 B ．∀a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 C ．∃a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 D ．∃a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 [答案] B[解析] 条件ab >0的否定为ab ≤0； 结论a >0的否定为a ≤0，故选B ．3．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[答案] B[解析] 由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．4．(2014·某某省某某市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．二、填空题5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有________.[答案] p ∨q ¬p[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．6．(2015·某某市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值X 围是________.[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值X 围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．写出下列命题的否定． (1)p ：∀x >1，log 2x >0； (2)p ：∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2>0； (3)p ：有的正方形是矩形； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋2>0. [解析] (1)¬p ：∃x 0>1，log 2x 0≤0. (2)¬p ：∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤0. (3)¬p ：任意一个正方形都不是矩形． (4)¬p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋2≤0. 8.已知命题p ：f (x )＝x ＋1x ＋a在[2，＋∞)上单调递减；命题q ：g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)．若命题p ∧q 为真命题．某某数a 的取值X 围．[解析] ∵f (x )＝x ＋1x ＋a ＝1＋1－ax ＋a在[2，＋∞)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a >0，－a ≤2.∴－2≤a <1.∵g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)，∴0<a <1.要使p ∧q 为真命题，应有p 真且q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <1，0<a <1，∴0<a <1.∴实数a 的取值X 围是0<a <1.。
高中数学 1-4-3 含有一个量词的命题的否定课时作业 新人教A版选修2-1
课时作业7 含有一个量词的命题的否定时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．∃m0，n0∈Z，使得m20＝n20＋1998的否定是( )A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋1998B．∃m0，n0∈Z，使得m20≠n20＋1998C．∀m，n∈Z，使得m2≠n2＋1998D．以上都不对解析：这是一个特称命题，其否定为全称命题，形式是：∀m，n∈Z，有m2≠n2＋1998. 答案：C2．命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是( )A．∃x0∈R，x20－2x0＋1<0B．∃x0∈R，x20－2x0＋1≥0C．∃x0∈R，x20－2x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－2x＋1<0解析：由定义直接可得．答案：A3．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是( )A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0解析：由特称命题的否定得出．答案：D4．特称命题“∃x0∉M，p(x0)”的否定是( )A．∀x∈M，綈p(x) B．∀x∉M，p(x)C．∀x∉M，綈p(x) D．∀x∈M，p(x)解析：由特称命题的否定的定义可得．答案：C5．(2010·辽宁高考)已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)解析：由题知：x 0＝－b 2a为函数f (x )图象的对称轴，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的，故选C.答案：C6．若函数f (x )＝x 2＋a x (a ∈R)，则下列结论正确的是( )A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数解析：对于A 只有在a ≤0时f (x )在(0，＋∞)上是增函数，否则不满足；对于B ，如果a ≤0就不成立；对于D 若a ＝0，则成为偶函数了，因此只有C 是正确的，即对于a ＝0时有f (x )＝x 2是一个偶函数，因此存在这样的a ，使f (x )是偶函数．答案：C二、填空题(每小题8分，共24分)7．命题“∃x 0∈R ，x 20≤0”的否定是________．解析：由题知，本题为特称命题，故其否定为全称命题．答案：∀x ∈R ，x 2>08．已知命题p ：“∀x ∈R ，e x≤1”，则命题綈p 是________．解析：由定义直接可得．答案：∃x 0∈R ，e x 0>19．设命题p ：c 2<c 和命题q ：对∀x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0，若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是________．解析：p ：0<c <1；q ：由Δ<0知－12<c <12. ∴若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c <1，c ≥12或c ≤－12，得12≤c <1. 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ≤0或c ≥1，－12<c <12，得－12<c ≤0. 综上：12≤c <1或－12<c ≤0.答案：－12<c ≤0或12≤c <1 三、解答题(共40分)10．(10分)判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(2)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的对数都是正数．解：(1)假命题，否定为：∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(2)真命题，否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20；(3)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；(4)假命题，否定为：存在一个正数，它的对数不是正数．11．(15分)用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假．(1)二次函数的图象是抛物线．(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．(3)∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一解．(4)∀T ＝2kπ(k ∈Z)，sin(x ＋T )＝sin x .解：(1)綈p ：∃x 0∈{二次函数}，x 0的图象不是抛物线．假命题．(2)綈p ：在直角坐标系中，∃x 0∈{直线}，x 0不是一次函数的图象．真命题．(3)綈p ：∃a 0，b 0∈R ，方程a 0x ＋b 0＝0无解或至少有两解．真命题．(4)綈p ：∃T 0＝2kπ(k ∈Z)，sin(x ＋T 0)≠sin x ，是假命题．12．(15分)给定两个命题：p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．解：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a>0Δ<0⇔0≤a<4；关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔1－4a≥0⇔a≤14； 若p 真，且q 假，有0≤a<4，且a>14，∴14<a<4； 若q 真，且p 假，有a<0或a≥4，且a≤14，∴a<0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)．。
1.4.3含有一个量词的命题的否定
(
C
)
D.对任意 x∈R，x3－x2＋1>0 解析 命题 p： 对任意 x∈R， x3－x2＋1≤0 是一个全称命题，
2 其否定为特称命题，即綈 p：存在 x0∈R，x3 － x 0 0＋1>0.
2.对下列命题的否定说法错误的是 的数不是偶数
(
C
)
A.p：能被 2 整除的数是偶数；綈 p：存在一个能被 2 整除 B.p：有些矩形是正方形；綈 p：所有的矩形都不是正方形 C.p：有的三角形为正三角形；綈 p：所有的三角形不都是 正三角形 D.p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0；綈 p：∀x∈R，x2＋x＋2>0
例题
例2 :写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数;
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆;
（3）p：对任意x0∈Z, x0² 的个位数字不等于3.
答:（1）ㄱp：存在一个能被3整除的整数不是奇数;
（2）ㄱp：存在一个四边形,它的四个顶点不共圆; （3）ㄱp： ∃x0∈Z, x0² 的个位数字等于3.
∀x∈R, x² +1≥0 这三个特称命题的否定都变成了全称命题.
结论 一般地，对于含有一个量词
的特称命题的否定,有下面的结论：
特称命题p: ∃x0∈M ,p(x0)， 它的否定ㄱp: ∀ x∈M,ㄱp(x)，
特称命题的否定是全称命题
例题
例3 :写出下列特称命题的否定： （1）p： ∃x0∈R, x0² +2x0+2≤0;
p≥1或p≤－1， 2 即 p≥3或p≤－3. 2
3 ∴p≥ 或 p≤－3. 2
3 故 p 的取值范围是－3<p< . 2
1.4.3含有一个量词的命题的否定(李用2)
假 假
（2） ㄱq：存在一个正方形不是矩形;
例题
例2 :写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数;
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆;
（3）p：对任意x∈Z, x² 的个位数字不等于3.
答:（1）ㄱp：存在一个能被3整除的整数不是奇数;
（2）ㄱp：存在一个四边形,它的四个顶点不共圆; （3）ㄱp： ∃x0∈Z, x0² 的个位数字等于3.
探究二:特称命题的否定
课本25页：写出下列命题的否定:
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3) ∃x0∈R, x0² +1<0.
这些命题和它们的否定在形式上
有什么变化?
以上三个命题都是特称命题,即具有形式 “∃x ∈M, p(x )”其中命题(1)的否定是“不 存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,
解析： (1)为全称命题． (2)为特称命题． (3)不是命题． (4)为全称命题． (5)为特称命题．
将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表 示，并判断真假． (1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小； (3) 方程 ax2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0(a<1) 至少存在一个负根； (4)对于某些实数x，有2x＋1>0； (5)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.
[解题过程]
π (1)特称命题． α＝2时， tan α 不存在， 所以，
特称命题“有一个实数 α，tan α 无意义”是真命题． (2)不是命题． (3)含有全称量词，所以该命题是全称命题，又任何一个 圆的圆心到切线的距离都等于半径， 所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于 半径”是真命题．
高中数学1.4.3含有一个量词的命题的否定课时作业含解析人教A版选修2_1.doc
第一章 1.4 1.4.3请同学们认真完成练案[9]A 级 基础巩固一、选择题1．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( A ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－12．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( C ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，x 2－1≥1，则( C ) A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(¬q )是真命题 D ．命题p ∨(¬q )是假命题[解析] x 0＝4时，4－2>lg2，∴p 为真命题，∵∀x ∈R ，x 2≥2，∴q 为假命题，∴p ∧(¬q )是真命题．4．对给出下列命题：①∀x ∈R ，－x 2<0；②∃x ∈Q ，x 2＝5；③∃x ∈R ，x 2－x －1＝0；④若p ：∀x ∈N ，x 2≥1，则¬p ：∃x ∈N ，x 2<1.其中是真命题的是( D )A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④[解析] ①中，当x ＝0时，－x 2＝0；②中，x 2＝5，x ＝±5，±5是无理数；③中，x ＝1±52使得x 2－x －1＝0；④中，全称命题的否定是特称命题，故③④是真命题．5．以下四个命题中，真命题的个数是( C )①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题； ②存在正实数a ，b ，使得lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”； ④在△ABC 中，A <B 是sin A <sin B 的充分不必要条件．A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①中，若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2为假命题，②中，存在a ＝2＝b ，使a ＋b ＝ab ，从而使lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，故②符合题意，③中符合题意，④中为充要条件，故②③为真命题．二、填空题6．若命题p ：常数列是等差数列，则¬p ：__存在一个常数列，它不是等差数列__. [解析] 因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定¬p ：存在一个常数列，它不是等差数列．故答案为：存在一个常数列，它不是等差数列．7．(2019－2020学年南康中学平川中学信丰中学联考)已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是__[0,4)__.[解析] 命题“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0”的否定为假命题．则原命题“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0”为真，即ax 2＋ax ＋1＞0恒成立．当a ＝0时，1＞0成立．当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝a 2－4a ＜0，解得：0＜a ＜4.综上所述：0≤a ＜4.故答案为[0,4)． 三、解答题8．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)某些梯形的对角线互相平分； (3)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题． 9．若x ∈[－2,2]，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．[解析] 设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则问题转化为当x ∈[－2，2]时，[f (x )]min ≥0即可． ①当－a 2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上单调递增，f (x )min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，又a >4，所以a 不存在．②当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝f (－a 2)＝12－4a －a24≥0，解得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上单调递减，f (x )min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7， 又a <－4，所以－7≤a <－4.综上所述，a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．B 级 素养提升一、选择题1．命题p ：∀x ∈R ，x ≥0的否定是( C ) A ．¬p ：∀x ∈R ，x <0 B ．¬p ：∃x ∈R ，x ≤0 C ．¬p ：∃x ∈R ，x <0D ．¬p ：∀x ∈R ，x ≤0[解析] 因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：∃x ∈R ，x <0.故选C ．2．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( B )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[解析] 由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．3．(多选题)下列说法正确的是( ABD ) A ．∃α0，β0∈R ，使sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数D ．命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋1≤0”[解析] 当φ＝k π＋π2，k ∈Z 时，f (x )是偶函数，故C 错误；A ，B ，D 都正确，故选ABD ．4．(多选题)(南平市2019－2020学年第一学期质检)下列命题中真命题的个数是( ABD ) A ．∀x ∈(－∞，0)，则2x ＞3xB ．“|a |＝1”是“a ＝1”的必要不充分条件C ．若命题p ∨q 是真命题，则¬p 是真命题D ．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫7π12，1 [解析] A 中，由于2x＞3x，所以2x3x ＞1，即⎝⎛⎭⎫23x ＞1解的x ∈(－∞，0)，所以A 正确；B 中，因为|a |＝1则a ＝±1，所以“|a |＝1”是“a ＝1”的必要不充分条件，故B 正确；C 中，若命题p ∨q 是真命题，则p 为真，q 为假也可以满足已知条件，则¬p 是假命题，所以C 不正确；D 中，当x ＝7π12时，y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋π3＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋1＝1，故D 正确．故选ABD ．二、填空题5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则命题p 为__假__(填“真”或“假”)命题，命题p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有__p ∨q ，¬p __.[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．6．若“∀m ∈[－1,1]，a 2－2a ≥m ＋2恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是__[3，＋∞)∪(－∞，－1]__.[解析] m ∈[－1,1]，则1≤m ＋2≤3， ∴a 2－2a ≥3，即a 2－2a －3≥0， ∴a ≥3或a ≤－1. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5，是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 成立，并说明理由．[解析] 不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )， 即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.8．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x －3x －2≤0.(1)若a ＝1且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若“¬p ”是“¬q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.q 为真时，x －3x －2≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0，(x －2)(x －3)≤0，得2<x ≤3.即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若“p ∧q ”为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围2<x <3. (2)“¬p ”是“¬q ”的充分不必要条件， 即¬p ⇒¬q ，且¬q ⇒/ ¬p ，等价于q ⇒p ，且p ⇒/ q ，设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2<x ≤3}，则B A ； 则0<a ≤2，且3a >3，所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.。
高二数学 1.4.3含有一个量词的命题的否定
1.4.3含有一个量词的命题的否定【自主学习】含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p ：x M ∀∈，p (x )，它的否定非p ： ，全称命题的否定是 命题．(2)特称命题p ：0x M ∃∈，p (x 0)，它的否定非p ：，特称命题的否定是 命题．【自主检测】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并对其否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）x R ∀∈, x 2－2x ＋1≥0；（4）有些实数的绝对值是正数；（5）某些平行四边形是菱形；（6）∃ x ∈R, x 2＋1＜0. 【典型例题】例1写出下列全称命题的否定1．p ：所有能被3整除的整数都是奇数；（2）p ：每一个四边形的四个顶点共圆；（3）p ：对任意x ∈Z, x 2的个位数不是奇数.例2写出下列特称命题的否定（1）p ：存在一个实数0x ，200220x x ++≤；（2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有一个素数含有三个因数.例3写出下列命题的否定，并判断它们的真假（1）p ：存在一个实数0x ，200220x x ++=；（2）p ：任意两个等边三角形都是相似的.【课堂检测】1.写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任何一个素数是奇数．(2)所有的矩形都是平行四边形．(3)∀a ，b ∈R ，方程ax ＝b 都有惟一解．(4)某些平行四边形是菱形；(5)∃x 0∈R ，x 20＋1<0；※2.函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)的值；(2)当f (x )＋2<log a x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 上恒成立时，求a 的取值范围．。
高中数学含有一个量词的命题的否定《导学案》答案
第一章 常用逻辑用语1.4.3 含有一个量词的命题的否定参考答案【典例分析】例1.【解析】选C.所给命题∀2x >1，x>1是全称命题，它的否定是特称命题，为∃20x >1，0x ≤1.例2.选C.命题p 是一个特称命题，﹁p 为：∀x>0，2x -3x+2≤0.例3.【解析】因为命题“∃0x ∈[1，2]，使20x +20x +a ≥0”为真命题，x ∈[1，2]时，2x +2x 的最大值为8，所以a ≥-8时，命题“∃0x ∈[1，2]，使20x +20x +a ≥0”为真命题.所以a 的取值范围：[-8，+∞).【变式拓展】：1.选D.全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，2x ≠x ”的否定是“∃0x ∈R ，20x =0x ”.2.【解析】选D.根据题意可知命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B 的否定是﹁p ：∃0x ∈A ，20x ∉B ，故选D.3.选A.已知命题是假命题，则它的否定为真命题，命题的否定为∀x ∈R ，使得2x +(a-1)x+1≥0，根的判别式Δ=(a-1)2-4≤0，解得-1≤a ≤3.4.【解析】否定形式：存在末位数是0或5的整数不能被5整除.答案：存在末位数是0或5的整数不能被5整除5.【解析】其否定为：“所有的四边形都不是平行四边形”.答案：所有的四边形都不是平行四边形6.【解析】其否定为：“∀x ∉M ，﹁p(x)”.答案：∀x ∉M ，﹁p(x)7.【解析】(1)存在0n ∈Z ，使0n ∉Q ，这是假命题.(2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题.(3)存在偶数的平方不是正数，这是真命题.四、随堂检测1.【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,因此选C.2.【解析】选B.命题p 是一个特称命题,其否定为全称命题, p:∀x ∈R,x 2+1≥0.3.【解析】选A.词语“都不是”的否定是“至少有一个是”.4.【解析】其否定为：“存在一个素数不是奇数”.答案：存在一个素数不是奇数5.【解析】依题意，命题﹁p ：∀x ∈R ，2x +2ax+a>0是真命题，得Δ=2)2(a -4a<0，即a(a-1)<0，解得0<a<1. 答案：(0，1)6.【解析】此命题为全称命题,其否定是特称命题,把“∀”改为“∃”,然后把2x +x+1>0进行否定. 答案:∃0x ∈R, 20x +0x +1≤07.【解析】此命题为特称命题,其否定为全称命题,需要把“∃”改为“∀”,同时把2x -x+1=0进行否定. 答案:∀x ∈R,2x -x+1≠08.【解析】(1)命题的否定是：对任意x ∈R ，都有2x +2x+5≠0，是真命题.(2)命题的否定是：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题.(3)命题的否定是：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题.(4)命题的否定是：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题.9.【解析】因为⌝p 为真,又⌝p:∃x 0∈R,20x +ax 0+2≥0,而函数f(x)=x 2+ax+2开口向上,所以a ∈R. 答案:a ∈R10.【解析】特称命题：∃x 0∈R ，p(x 0)的否定是：∀x ∈R ，p(x)，即∀x ∈R ，ax 2+2x+1>0恒成立，可得a>0，且Δ=4-4a<0，所以a>1.11.【解析】(1)当x ∈[-1，3]时，函数f(x)=x 2∈[0，9]，所以f(x)的值域为[0，9].(2)对∀x ∈[0，2]，g(x)≥1成立，等价于g(x)在[0，2]上的最小值大于或等于1.而g(x)在[0，2]上单调递减，所以错误!未找到引用源。
高中数学第一章1.4.3含有一个量词的命题的否定课后提升训练含解析新人教A版选修
含有一个量词的命题的否定(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p:?n0∈N,>,则p为( )A.?n∈N,n2>2nB.?n0∈N,≤C.?n∈N,n2≤2nD.?n0∈N,=【解析】选C.p:?n∈N,n2≤2n.2.命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )A.一次函数都不是单调函数B.非一次函数都不是单调函数C.有些一次函数是单调函数D.有些一次函数不是单调函数【解析】选D.命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.3.下列说法中,正确的个数是( )①存在一个实数,使-2+x0-4=0;②所有的质数都是奇数;③在同一平面中斜率相等且不重合的两条直线都平行;④至少存在一个正整数,能被5和7整除.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①方程-2+x0-4=0无实根;②2是质数,但不是奇数;③④正确.4.(2015·湖北高考)命题“?x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是( )A.?x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.?x?(0,+∞),lnx=x-1C.?x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1D.?x0?(0,+∞),lnx0=x0-1【解析】选A.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为?x∈(0,+∞),lnx≠x-1.【延伸拓展】对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法(1)确定类型:是特称命题还是全称命题.(2)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换为恰当的全称量词.(3)否定性质:原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.注意:无量词的全称命题要先补回量词再否定.5.有下列四个命题:①?x∈R,2x2-3x+4>0;②?x∈{1,-1,0},2x+1>0;③?x0∈N,≤x0;④?x0∈N*,x0为29的约数.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.对于①,这是全称命题,因为Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故①为真命题;对于②,这是全称命题,因为当x=-1时,2x+1>0不成立,故②为假命题;对于③,这是特称命题,当x0=0或x0=1时,有≤x0成立,故③为真命题;对于④,这是特称命题,当x0=1时,x0为29的约数成立,所以④为真命题.6.命题p:“?x∈[1,2],2x2-x-m>0”,命题q:“?x0∈[1,2],log2x0+m>0”,若“p∧q”为真命题,则实数m的取值范围是( )A.m<1B.m>-1C.-1<m<1D.-1≤m≤1【解题指南】解答本题可先求出p与q分别为真命题时,m的取值范围,然后取其交集即可. 【解析】选C.由“p∧q”为真命题,得p,q都是真命题,命题p:“?x∈[1,2],2x2-x-m>0”为真命题.即对于?x∈[1,2],m<2x2-x恒成立,得m<(2x2-x)min=1.命题q:“?x0∈[1,2],log2x0+m>0”为真命题,则?x0∈[1,2],-m<log2x0,只要-m<(log2x)max=1,得m>-1.综上所述,-1<m<1.7.(2017·山东高考)已知命题p:?x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.p∧qC.p∧qD. p∧q【解析】选B.因为x>0,所以x+1>1,所以ln(x+1)>0,则命题p为真命题,由1>-2,但12<(-2)2,所以命题q是假命题,则q是真命题,所以p∧q是真命题.8.(2017·吉林高二检测)下列命题错误的是( )A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”B.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题C.命题p:存在x0∈R,使得+x0+1<0,则p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件【解析】选B.由逆否命题“条件的否定作结论,结论的否定为条件”知A正确;p∧q为假命题时,还可能p假或q假,故B错误;由“非”命题的定义知C正确;因为x>2时,x2-3x+2>0成立,x2-3x+2>0时,x<1或x>2,所以D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)9.命题“?x∈R,3x2-2x+1>0”的否定是________.【解析】“?x∈M,p(x)”的否定为“?x0∈M,p(x0)”.所以其否定为?x0∈R,3-2x0+1≤0.答案:?x0∈R,3-2x0+1≤010.(2017·广州高二检测)若“?x0∈,sinx0+cosx0<m”为假命题,则实数m的取值范围是________.【解析】令f(x)=sinx+cosx=2sin,x∈,可知f(x)在上为增函数,在上为减函数,由于f(0)=,f=2,f=1,所以1≤f(x)≤2,由于“?x0∈,sinx0+cosx0<m”为假命题,则其否定“?x∈,sinx+cosx ≥m”为真命题,所以m≤f(x)min=1.答案:(-∞,1]三、解答题11.(10分)写出下列命题的否定,并判断真假:(1)p:?x∈R,x2-x+≥0.(2)q:所有的正方形都是矩形.(3)r:?x0∈R,+2x0+2≤0.(4)s:至少有一个实数x0,使+1=0.【解析】(1)p:?x0∈R,-x0+<0,假命题,因为?x∈R,x2-x+=≥0恒成立,所以p是假命题.(2)q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题.(3)r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题,因为?x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立,所以r是真命题.(4)s:?x∈R,x3+1≠0,假命题.因为x=-1时,x3+1=0,所以s是假命题.【能力挑战题】已知命题p:?m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥恒成立;命题q:?x0,使不等式+ax0+2<0成立.若p或q是真命题,q是真命题,求a的取值范围.【解析】根据p或q是真命题,q是真命题,得p是真命题,q是假命题.因为m∈[-1,1],所以∈[2,3].因为?m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥恒成立,所以a2-5a-3≥3,所以a≥6或a≤-1.故命题p为真命题时,a≥6或a≤-1.又命题q:?x0,使不等式+ax0+2<0,所以Δ=a2-8>0,所以a>2或a<-2,从而命题q为假命题时,-2≤a≤2,所以命题p为真命题,q为假命题时,a的取值范围为-2≤a≤-1.。
高中数学(1.4.3含有一个量词的命题的否定)
（1）对所有的四边形，它的对角线都不互相垂直且平分。
（2）所有的菱形都不是正方形。
⑴全称命题的否定：全称量词变存在量词， 肯定变否定。 ⑵特称命题的否定：存在量词变全称量词， 肯定变否定。
否定：存在一个分数不是有理数。 否定：所有的三角形不是锐角三角形。
练习4、写出下列命题的否定形式。
⑴三角形的两边之和大于第三边。
例1、写出下列命题的否定： (1) 所有的人都喝水。 (1) 并非所有的人都喝水。 也即：有的人不喝水。
(1) 所有的人都喝水。 否定：有的人不喝水。
原命题与否定 有什么不同
练习1、写出下列全称命题的否定：
(1) 所有可以被5整除的整数, 末位数都是0；
(2) 对数函数都是单调函数。 结论：(1) 有些可以被5整除的整数，末位数不是0。 (2) 有些对数函数不是单调函数。
练习5、写出下命题的否定及否命题； 并判断真假。
小 结:
全称命题的否定 特称命题的否定
有些三角形的两边之和小于或等于第三边。 ⑵直角相等。 有些直角不相等。 ⑶△ABC的内角中必有一个锐角。 △ABC的所有内角都不是锐角。
命题的否定形式有：
对任意xA,使 p(x)真 存在x A,使 p(x)假
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
原语句 是 都是
> 至少有 一个 否定形 不 不都 一个也 式 是 是 没有
至多有 一个 至少有 两个
区别 在哪
(2)有些四边形的四个顶点共圆。
否定：所有的四边形的四个顶点都不共圆。
练习2、写出下列特称命题的否定：
（1）有些三角形是直角三角形： （2）有的梯形是等腰梯形； （1）所有的三角形不是直角三角形。
（2）一切梯形都不是等腰梯形。
1.4.3含有一个量词的命题的否定(20201217174119)
含有一个量词的命题的否定巩固训练一、选择题1．下列语句不是全称命题的是( )A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数3．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )A．?x∈R，|x|>0 B．?x0∈R，|x0|>0 C．?x∈R，|x|≤0 D．?x0∈R，|x0|≤0 4．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是( ) A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>05．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2 011”的否定是( ) A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2 011C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011D．以上都不对6．已知命题“?a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是( )A．?a、b∈R，如果ab<0，则a<0B．?a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0C．?a、b∈R，如果ab<0，则a<0D．?a、b∈R，如果ab≤0，则a≤07．下列命题错误的是( )A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C．命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则？p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0 D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件8．已知命题p：?n∈N,2n>1 000，则？p为( )A．?n∈N,2n≤1 000 B．?n∈N,2n>1 000C．?n∈N,2n≤1 000 D．?n∈N,2n<1 0009．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)被8整除的数能被4整除．10．已知命题p：?x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则？p是( )A．?x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．?x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．?x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．?x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<011．已知命题p：?x∈R,2x<3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．(?p)∧qC．p∧(?q) D．(?p)∧(?q)12．下列命题中是假命题．．．的是( )A．?m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B．?a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点C．?α、β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβD．?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数二、填空题13．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．14．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________．15．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是________．16．下列四个命题：①?x∈R，x2＋2x＋3>0；②若命题“p∧q”为真命题，则命题p、q都是真命题；③若p是綈q的充分而不必要条件，则綈p是q的必要而不充分条件．其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)17．已知命题p：?x∈R，x2－x＋14<0，命题q：?x0∈R，sin x0＋cos x0＝2，则p∨q，p∧q，？p，？q中是真命题的有________．18．已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题且p∨q为真命题，则m的取值范围是________．19．命题“?x∈R，使x2＋ax＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是________．三、解答题20．给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．21.已知命题p：f(x)＝x＋1x＋a在[2，＋∞)上单调递减；命题q：g(x)＝log a(－x2－x＋2)的单调递增区间为[－12，1)．若命题p∧q为真命题．求实数a的取值范围．。
高中数学 1.4.3含有一个量词的命题的否定
含有一个量词的命题的否定(30分钟50分)一、选择题(每题3分,共18分)1.(2021·烟台高二检测)对以下命题的否定说法错误的选项是( ):能被2整除的数是偶数;p:存在一个能被2整除的数不是偶数:有些矩形是正方形;p:所有的矩形都不是正方形:有的三角形为正三角形;p:所有的三角形不都是正三角形:∃x0∈R,x02+x0+2≤0;p:∀x∈R,x2+x+2>0【解析】选C.“有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称命题:所有的三角形都不是正三角形,应选项C 错误.2.关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的表达正确的选项是( ):∃x0∈R,x02+1≠0:∀x∈R,x2+1=0是真命题,p是假命题是假命题,p是真命题【解析】选C.命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x0∈R,x02+1=0”.因此p是真命题,p是假命题.3.(2021·广州高二检测)命题“∀x>0,都有x2-x≤0”的否定是( )A.∃x0>0,使得x02-x0≤0B.∃x0>0,使得x02-x0>0C.∀x>0,都有x2-x>0D.∀x≤0,都有x2-x>0【解析】选B.由含有一个量词的命题的否定易知选B.【变式训练】已知命题p:∃x0∈R,x02+1<0,那么p是( )A.∃x 0∈R,x 02+1≥0B.∀x ∈R,x 2+1≥0C.∃x 0∈R,x 02+1≠0 D.∀x ∈R,x 2+1<0 【解析】选B.命题p 是一个特称命题,其否定为全称命题,p:∀x ∈R,x 2+1≥0.4.已知命题p:“对∀x ∈R,∃m ∈R,使4x +2x ·m+1=0”.假设命题p 是假命题,那么实数m 的取值范围是( )≤m ≤2≥2 ≤-2 ≤-2或m ≥2【解题指南】依照p 与p 的真假性相反知p 是真命题,然后求m 的取值范围即可.【解析】选C.因为p 是假命题,因此p 是真命题.因此m=-(2x +12x )≤-2. 5.已知命题p:∀x ∈R,2x 2+2x+12<0;命题q:∃x 0∈R,sinx 0-cosx 0=√2,那么以下判定正确的选项是( )是真命题是假命题 是假命题 是假命题【解析】选D.因为2x 2+2x+12=12(2x+1)2≥0,因此p 是假命题.又因为sinx-cosx=√2sin (x−π4),因此∃x 0=3π4,使sinx 0-cosx 0=√2,故q 是真命题,应选D.6.(2021·衡水高二检测)已知p:存在x 0∈R,m x 02+1≤0;q:对任意x ∈R,x 2+mx+1>0,假设p 或q 为假,那么实数m 的取值范围为( )≤-2≥2 ≥2或m ≤-2≤m ≤2 【解题指南】先判定命题p,q 的真假,转化为含有一个量词的命题的否定求参数的取值范围,再求交集.【解析】选B.由p 或q 为假,得p,q 都是假命题,从而p,q 都是真命题.p:对任意x ∈R,mx 2+1>0成立,得m ≥0;q:存在x 0∈R,x 02+mx 0+1≤0成立,得Δ=m 2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.综上所述,m≥2为所求.二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·深圳高二检测)命题“同位角相等”的否定为,否命题为________________________.【解析】全称命题的否定是特称命题,“假设p,那么q”的否命题是“若p,那么q”.故否定为:有的同位角不相等.否命题为:假设两个角不是同位角,那么它们不相等.答案:有的同位角不相等假设两个角不是同位角,那么它们不相等【误区警示】解答此题易混淆命题的否定与否命题的概念,命题的否定只否定结论,而否命题既否定条件又否定结论.8.(2021·长春高二检测)设命题p:∀x∈R,x2+ax+2<0,假设p为真,那么实数a的取值范围是___________________.【解析】因为p为真,又p:∃x0∈R,x02+ax0+2≥0,而函数f(x)=x2+ax+2开口向上,因此a∈R.答案:a∈R9.命题“∃x0,y0<0,x02+y02≥2x0y0”的否定为______________________.【解析】命题是特称命题,其否定是全称命题,否定为:∀x,y<0,x2+y2<2xy.答案:∀x,y<0,x2+y2<2xy三、解答题(每题10分,共20分)10.(2021·日照高二检测)已知p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0∈R,x02+2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m 的取值范围.【解析】2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0.假设p:∀x∈R,2x>m(x2+1)为真,那么mx2-2x+m<0对任意的x∈R恒成立.当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;当m ≠0时,有m<0,Δ=4-4m 2<0,因此m<-1.假设q:∃x 0∈R,x 02+2x 0-m-1=0为真,那么方程x 02+2x 0-m-1=0有实根,因此Δ=4+4(m+1)≥0,因此m ≥-2.又p ∧q 为真,故p,q 均为真命题.因此m<-1且m ≥-2,因此-2≤m<-1.11.写出以下命题的否定,判定其真假并给出证明.命题:已知a =(1,2),存在b =(x,1)使a +2b 与2a -b 平行.【解题指南】先写出否定,再判真假,最后给出证明.【解析】命题的否定:已知a =(1,2),那么对任意的b =(x,1),a +2b 与2a -b 都不平行,是一个假命题. 证明如下:假设存在b =(x,1)使a +2b 与2a -b 平行,那么a +2b =(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4).2a -b =2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).因为a +2b 与2a -b 平行,因此存在λ∈R,使得a +2b =λ(2a -b ).即(2x+1,4)=λ(2-x,3). 因此{2x +1=λ(2−x ),4=3λ⇔2x+1=43(2-x). 解得x=12. 这确实是说存在b =(12,1)使a +2b 与2a -b 平行,故已知命题为真命题,其否定为假命题.(30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.(2021·湖北高考)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )A.任意一个有理数,它的平方是有理数B.任意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数D.存在一个无理数,它的平方不是有理数【解析】选B.特称命题的否定是全称命题,将存在量词改成全称量词,然后再否定结论即可.2.已知命题p:∀n∈N,2n>1000,那么p为( )A.∀n∈N,2n≤1000B.∀n∈N,2n<1000C.∃n0∈N,2n0≤1000D.∃n0∈N,2n0<1000【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,故p:∃n0∈N,2n0≤1000.【触类旁通】假设此题中的命题p换为“∃n0∈N,2n0>1000”,其他条件不变,结论又如何呢?【解析】选A.将存在量词“∃”改成全称量词“∀”,然后否定结论即可,p:∀n∈N,2n≤1000.3.(2021·大连高二检测)命题p:x=2且y=3,那么p为( )≠2或y≠3 ≠2且y≠3=2或y≠3 ≠2或y=3【解题指南】“且”的否定为“或”,然后否定结论即可.【解析】选A.将“且”改成“或”,将x=2与y=3都否定即为原命题的否定,p为:x≠2或y≠3.4.以下关于命题p:“∃x0∈R,√1−cos2x0=sinx0”的表达正确的选项是( ):∃x0∈R,√1−cos2x0≠sinx0:∀x∈R,√1−cos2x=sinx是真命题,p是假命题是假命题,p是真命题【解析】选C.命题p:“∃x0∈R,√1−cos2x0=sinx0”的否定是p:∀x∈R,√1−cos2x≠sinx.当x=0时,√1−cos2x=sinx,因此p是真命题,p是假命题.二、填空题(每题5分,共10分)5.命题“对任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.【解析】依照全称命题的否定形式写.答案:存在x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤36.(2021·兰州高二检测)已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”,假设命题“p且q”是真命题,那么实数a的取值范围是_______.【解析】命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”为真,那么a≤x2,x∈[1,2]恒成立,因此a≤1;命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”为真,那么“4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0”,解得a≤-2或a≥1.假设命题“p且q”是真命题,那么实数a的取值范围是{a|a≤-2或a=1}.答案:{a|a≤-2或a=1}【变式训练】已知命题p:∃x0∈R,x02+2ax0+a=0.假设命题p是假命题,那么实数a的取值范围是.【解析】方式一:假设命题p:∃x0∈R,x02+2ax0+a=0是真命题,那么Δ=(2a)2-4a≥0,即a(a-1)≥0.因为命题p是假命题,因此a(a-1)<0,解得0<a<1.方法二:依题意,命题p:∀x∈R,x2+2ax+a≠0是真命题,那么Δ=(2a)2-4a<0,即a(a-1)<0,解得0<a<1.答案:(0,1)三、解答题(每题12分,共24分)7.写出以下命题的否定,并判定其真假.(1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根.(2)q:存在一个实数x,使得x2+x+1≤0.(3)r:等圆的面积相等,周长相等.(4)s:对任意角α,都有sin 2α+cos 2α=1.【解析】(1)这一命题能够表述为p:“对所有的实数m,方程x 2+x-m=0有实数根”,其否定形式是p:“存在实数m 0,使得x 2+x-m 0=0没有实数根”.注意到当Δ=1+4m 0<0时,即m 0<-14时,一元二次方程没有实数根,因此p 是真命题. (2)这一命题的否定形式是q:“对所有实数x,都有x 2+x+1>0”;利用配方式能够证得q 是一个真命题. (3)这一命题的否定形式是r:“存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等”,由平面几何知识知r 是一个假命题.(4)这一命题的否定形式是s:“存在α0∈R,有sin 2α0+cos 2α0≠1”.由于命题s 是真命题,因此s 是假命题.8.(2021·汕头高二检测)设p:“∃x 0∈R,x 02-ax 0+1=0”,q:“函数y=x 2-2ax+a 2+1在x ∈[0,+∞)上的值域为[1,+∞)”,假设“p ∨q ”是假命题,求实数a 的取值范围.【解析】由x 02-ax 0+1=0有实根,得Δ=a 2-4≥0⇒a ≥2或a ≤-2.因此命题p 为真命题的范围是a ≥2或a ≤-2.由函数y=x 2-2ax+a 2+1在x ∈[0,+∞)的值域为[1,+∞),得a ≥0.因此命题q 为真命题的范围是a ≥0.依照p ∨q 为假命题知:p,q 均是假命题,p 为假命题对应的范围是-2<a<2,q 为假命题对应的范围是a<0. 如此取得二者均为假命题的范围确实是{−2<a <2,a <0⇒-2<a<0.。
课时作业12：1.4.3 含有一个量词的命题的否定
1.4.3含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．存在x0∈R，x30－x20＋1≤0B．存在x0∈R，x30－x20＋1≥0C．存在x0∈R，x30－x20＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 C解析由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x0∈R，x30－x20＋1>0”．故选C.2．已知命题p：存在a0∈(－∞，0)，a20－2a0－3>0，那么命题p的否定是()A．存在a0∈(0，＋∞)，a20－2a0－3≤0B．存在a0∈(－∞，0)，a20－2a0－3≤0C．对任意a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0D．对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0考点存在量词的否定题点含存在量词的命题的否定答案 D解析依题意得綈p：对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0，故选D.3．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则() A．綈p：∀x∈A,2x∈BB．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x0∉A,2x0∈BD．綈p：∃x0∈A,2x0∉B考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x 0∈A,2x 0∉B ，选D.4．对下列命题的否定说法错误的是( )A ．p ：能被2整除的数是偶数；綈p ：存在一个能被2整除的数不是偶数B ．p ：有些矩形是正方形；綈p ：所有的矩形都不是正方形C ．p ：有的三角形为正三角形；綈p ：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃n 0∈N,2n 0≤100；綈p ：∀n ∈N,2n >100.考点 存在量词的否定题点 含存在量词的命题的否定答案 C解析 “有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C 错误．5．已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题，其中正确的是( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②③考点 存在量词的否定题点 含一个量词的命题真假判断答案 A解析 当x ＝π4时，tan x ＝1， ∴命题p 为真命题．由x 2－3x ＋2<0得1<x <2，∴命题q 为真命题，∴p ∧q 为真，p ∧(綈q )为假，(綈p )∨q 为真，(綈p )∨(綈q )为假．6．已知p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果綈p 是真命题，那么a 的取值范围是( )A ．a <13B ．0<a ≤13C ．a ≤13D ．a ≥13 考点 含有一个量词的命题题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围答案 C解析 綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋2x 0＋3≤0，显然当a ＝0时，满足题意；当a >0时，由Δ≥0，得0<a ≤13； 当a <0时，满足题意．所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，13. 7．已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0≥a ，下列a 的取值能使“綈p ”是真命题的是( )A ．－1B ．0C ．1D ．2考点 存在量词的否定题点 含一个量词的命题真假判断答案 D解析 綈p ：∀x ∈R ，cos x <a 是真命题，则a >1.8．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1<2x 0，命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m ≤0，那么( )A ．“綈p ”是假命题B ．“綈q ”是真命题C ．“p ∧q ”为真命题D ．“p ∨q ”为真命题考点 存在量词的否定题点 含一个量词的命题真假判断答案 D解析 对于命题p ：x 20＋1－2x 0＝(x 0－1)2≥0， 即对任意的x ∈R ，都有x 2＋1≥2x ，因此命题p 是假命题．对于命题q ，若mx 2－mx －1<0恒成立，则当m ＝0时，－1<0恒成立；当m ≠0时，由mx 2－mx －1<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m<0.故－4<m≤0，故命题q是真命题．因此，“綈p”是真命题，“綈q”是假命题，“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，故选D.二、填空题9．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是________．考点存在量词的否定题点含存在量词的命题的否定答案每一个平行四边形都不是矩形10．命题“∃x0∈(0，＋∞)，x0＋4x0<4”的否定是________命题．(填“真”或“假”) 考点存在量词的否定题点含一个量词的命题真假判断答案真解析命题“∃x0∈(0，＋∞)，x0＋4x0<4”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，x＋4x≥4”，根据基本不等式得此命题正确．11．由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是________．考点存在量词的否定题点由含量词的命题的真假求参数的范围答案 1解析其否定为：∀x∈R，使e|x－1|－m>0，且为真命题，即m<e|x－1|，只需m<(e|x－1|)min＝1.故a＝1.三、解答题12．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定．(1)p：对任意的x∈R，cos x≤1都成立；(2)q：∃x0∈R，x20＋1>3x0；(3)s：有些三角形是锐角三角形．考点存在量词的否定题点含一个量词的命题真假判断解(1)由于命题中含全称量词“任意”，所以是全称命题，因此其否定为特称命题，所以綈p：∃x0∈R，使cos x0>1成立．(2)由于“∃x 0∈R ”表示至少存在实数中的一个x 0，即命题中含有存在量词“至少存在一个”，为特称命题，因此其否定为：綈q ：对任意一个x ，都有x 2＋1≤3x ，即∀x ∈R ，x 2＋1≤3x .(3)为特称命题，把存在量词改为全称量词，并把结论否定，故綈s ：所有的三角形都不是锐角三角形．13．已知p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a ＋π3的周期不大于4π.(1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值．考点 含有一个量词的命题题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围解 (1) 綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a 0＋π3的周期大于4π.(2)由于綈p 是假命题，所以p 是真命题，所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立， 解得a ≤2，所以0<b ≤2，所以实数b 的最大值是2.四、探究与拓展14．若命题“∃x 0∈R ，使得sin x 0cos x 0>m ”是真命题，则m 的值可以是( )A ．－13B ．1 C.32 D.23考点 存在量词的否定题点 由含量词的命题的真假求参数的范围答案 A解析 sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12， ∵命题“∃x 0∈R ，使得sin x 0cos x 0>m ”是真命题，∴m <12，故当m ＝－13时，满足条件，故选A. 15．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0，q ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1≤0.若(綈p )∧(綈q )为真命题，求实数a 的取值范围．考点 存在量词的否定题点 由含量词的命题的真假求参数的范围解 因为(綈p )∧(綈q )为真命题，所以綈p 与綈q 都是真命题，从而p 与q 都是假命题．所以“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解”与“ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立”都是真命题．由关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝4－4a ≥0，即a ＝0或a ≤1且a ≠0， 所以a ≤1.由ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，即a ＝0或0<a <4， 所以0≤a <4.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，0≤a <4得0≤a ≤1，故实数a 的取值范围是[0,1]．。
高中数学配套作业：含有个量词的命题的否定课堂含解析
第一章1。
4 1.4.3
1．下列全称命题是真命题的是( B )
A．所有的质数都是奇数
B．∀x∈R,x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的平行向量均相等
2．命题“∃x0∈R，e x0≤0”的否定是( A ）
A．∀x∈R，e x>0
B．∀x∉R，e x>0
C．∃x0∈R,e x0>0
D．∃x0∉R,e x0>0
3．下列命题的否定为假命题的是（ D )
A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
B．任意一个四边形的四个顶点共圆
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．∀x∈R,sin2x＋cos2x＝1
[解析］∀x∈R，x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1≥1＞0,所以A中命题的否定是真命题；B中，由平面几何的知识可知该命题是假命题，
所以其否定是真命题；C中,由于6能被3整除，但6是偶数，不是奇数，所以C中的命题是假命题,该命题的否定是真命题;D中,由同角三角函数基本关系式可知该命题是真命题，其否定是假命题．故选D．
4．下列特称命题是假命题的是（ B ）
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．有的素数是偶数
D．有的有理数没有倒数
5．命题“∀x∈R，cos x≤1”的否定是__∃x0∈R，cos x0>1__。
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含有一个量词的命题的否定一、选择题
1．下列是全称命题且是真命题的是( )
A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈Q
C．∃x0∈Z，x20>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>0
答案：B [A、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题．] 2．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x0，使x20>0
C．任一无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x0，使1
x0
>2
答案：B[特称命题只有B，D，但D是假命题．]
3．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则( )
A．非p：∃x0∈R，sin x0≥1
B．非p：∀x∈R，sin x≥1
C．非p：∃x0∈R，sin x0>1
D．非p：∀x∈R，sin x>1
答案：C [全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．]
4．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2 011”的否定是( )
A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011
B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2 011
C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011
D．以上都不对
二、填空题
5．下列四个命题：
①∀x∈R，x2＋2x＋3>0；
②若命题“p∧q”为真命题，则命题p、q都是真命题；
③若p是非q的充分而不必要条件，则非p是q的必要而不充分条件．
其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)
答案：①②③[①②③均为真命题．]
6.已知命题：，命题：的解集是，下列结论：
①命题“
”是真命题； ②命题“
”是假命题； ③命题“
”是真命题； ④命题“(”是假命题．
其中正确的是________．
答案：①②③④ 解析：命
题使，正确，命
题的解集
是，也正确，所以命题“”是真命题，命题“”是假命题，命题“”是真命题，命题“
”是假命题． 7.已知对，不等式
恒成立，则实数的取值范围是________． 答案：4
5 解析：
原不等式可化为
，要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转化成求的最大值问题，
. 所以，即，
等价于()220540542a a a a ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪->-⎪⎩，，或20540a a -<⎧⎨-≥⎩，，解得4
5.
三、解答题
8．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并判断真假，不必证明．
（1）末尾数是偶数的数能被4整除；
（2）对任意实数x ，都有2230x x --<；
（3）方程2560x x --=有一个根是奇数．
（3）该命题是特称命题，
该命题的否定是：方程2560
--=的两个根都不是奇数；
x x
该命题的否定是假命题．。