全国名校高中数学优质学案13难点经典讲解汇编
空间直角坐标系
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)怎样建立空间直角坐标系？如何确定空间一点的 坐标？
(2)空间两点间的距离公式是什么？怎样用？
(1)如图数轴上 A 点、B 点．
(2)如图在平面直角坐标系中，P、Q 点的位置．
提示：如图所示，设点 M 是空间的一个定点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴的平面，依次交 x 轴，y 轴 和 z 轴于点 P、Q 和 R.设点 P、Q 和 R 在 x 轴、y 轴和 z 轴 上的坐标分别是 x，y 和 z，那么点 M 就对应唯一确定的有 序实数组(x，y，z)．
(3)设点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在 xOy 平面上的射 影分别为 M、N. ①M、N 的坐标是什么？点 M、N 之间的距离如何？ ②若直线 P1P2 是 xOy 平面的一条斜线，点 P1，P2 间的 距离如何？
空间中点 P 坐标的确定方法 (1)由 P 点分别作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交 x 轴、 y 轴、z 轴于点 Px、Py、Pz，这三个点在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分 别为 x、y、z，那么点 P 的坐标就是(x，y，z)． (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 P 在坐标轴 或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
标，记作 M(x,y,z) ．其中 x 叫点 M 的横坐标， y 叫点 M 的纵坐标， z 叫点 M 的竖坐标．
(4)空间两点间的距离公式 ① 点 P(x ， y ， z) 到 坐 标 原 点 O(0,0,0) 的 距 离 ， |OP| ＝ x2＋y2＋z2. ②任意两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离， |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
周期函数
情境 引入
f t 12 f t
f x 2 f x
f x 2k f x
f n 2 f n
问题4：你能否给出周期函数的定义？
周期函数的“定义”
概念 完善
概念 应用
一般地，对于函数f(x)，都有： f(x+T)=f(x) 我们称函数f(x)为周期函数。
归纳 小结
函数的周期性
情境 引入
周期函数的定义：
一般地，对于函数f (x)，如果存 在一个非零的常数T，使得当x取定义 域内的每一个值时，都有： f (x+T)=f (x) 我们称函数f (x)为周期函数. 这个非零的常数T叫做它的周期.
概念 完善
概念 应用
归纳 小结
函数的周期性
情境 引入
辨析：函数f x sin x, x 0,4 是周期函数吗？
举例 2
概念 完善
概念 应用
追问：如何用函数关系式来刻画这一周而复始 的现象？
归纳 小结
函数的周期性
情境 引入
问题4：如何用数学的方法来刻画现实世界中周 而复始的现象？
举例 3
概念 完善
水车上A点到水面的距离随时间的变化规律
概念 应用
追问：如何用函数关系式来刻画这一周而复始 的现象？
归纳 小结
函数的周期性
教学策略
（一）采用数学抽象与逻辑 推理紧密相结合的方式
（二）采用问题探究和信息 技术相结合的手段
函数的周期性
教学过程
情境 引入
概念 生成
概念 完善
概念 应用
归纳 小结
函数的周期性
概念 生成
概念 完善
概念 应用
点到直线的距离
《点到直线的距离》
《点到直线的距离》
课题引入
课题解决
教
学 程
例题练习
序
小结作业
常规方法 特殊直线 一般直线 推导公式
特殊点 一般点
步骤1 实验 步骤3
《点到直线的距离》
地位作用 教学目标 重点难点 教学程序 教学评价
解析几何第一章主要研究的 是点线、线线的位置关系和度量 关系，其中以点点距离、点线距 离、线线位置关系为重点，点到 直线的距离是其中最重要的环节 之一，它是解决其它解析几何问 题的基础。
方案1: 面积法求|PQ| 方案2: Rt相似 方案3: 解直角三角形
一般点P(x0,y0))：
y
MPoMPMPMPMPMPMQPNQNQNQNQNQQNN
Lபைடு நூலகம்
x
求点P(x0,y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离
课题引入 课题解决 例题练习 小结作业
1. 求|PM|；
y
|
PM
||
y
0
y1
课题引入 课题解决 例题练习 小结作业
(1) 特殊直线时； (2) 一般直线时；
y
x=x0
P(x0,y0)
练直习线： 平行y轴时 y=y0
求123...点 点 点直点PPP线到(((31-1直/平,52,2),线6)，行dd，)==的，直x||直xy距轴直线11线--离线xy时y300=2x||2y=+25=0
o
x
求点P(x0,y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离
课题引入 课题解决 例题练习 小结作业
(1) 特殊直线时；
高中教案数学13
高中教案数学13
1. 能够理解并应用数学13问题的解决方法。
2. 能够熟练运用相关数学概念解决数学13问题。
3. 能够培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教学内容：
1. 数学13问题的定义和特点。
2. 数学13问题的解决方法和策略。
3. 数学13问题的练习和应用。
教学过程：
一、导入：引入数学13问题的定义和特点，让学生了解数学13问题的基本概念。
二、讲解：介绍数学13问题的解决方法和策略，包括数学13问题的规律和分析方法等。
三、练习：让学生通过练习来巩固所学知识，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
四、应用：引导学生将所学知识应用到实际问题中，并帮助他们解决数学13问题。
五、总结：总结本堂课的内容，让学生对数学13问题有更深入的理解。
教学反思：
本节课的教学重点在于帮助学生掌握数学13问题的解决方法和策略，培养他们的数学思
维和解决问题的能力。
通过讲解、练习和应用，可以有效提高学生的数学水平和解决问题
的能力。
全国名校高中数学人教必修三经典学案汇编(附详解)必修三教案(程序框图,条件语句)
课题：§1.1.1算法的概念一、教学目标：1、知识目标：⑴使学生理解算法的概念。
⑵掌握简单问题算法的表述。
⑶初步了解高斯消去法的思想．⑷了解利用scilab求二元一次方程组解的方法。
2、能力目标：①逻辑思维能力：通过分析、抽象、程序化高斯消去法的过程，体会算法的思想，发展有条理地清晰地思维的能力，提高学生的算法素养。
②创新能力：通过分析高斯消去法的过程，发展对具体问题的过程与步骤的分析能力，发展从具体问题中提炼算法思想的能力。
3.情感目标：通过体验算法表述的过程，培养学生的创新意识和逻辑思维能力；通过应用数学软件解决问题，感受算法思想的重要性，感受现代信息技术的威力，提高学生的学习兴趣。
二、重点与难点重点：算法的概念和算法的合理表述。
难点：算法的合理表述、高斯消去法．。
三、教学方法与手段：采用“问题探究式”教学法，以多媒体为辅助手段，让学生主动发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的探究论证、逻辑思维能力。
三、教学过程：教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1、要把大象装入冰箱分几步？第一步把冰箱打开。
第二步把大象放进冰箱。
第三步把冰箱门关上。
2、指出在家中烧开水的过程分几步？略3、如何求一元二次方程02=++cbxax的解？解：第一步计算acb42-=∆第二步如果abx22,1,0∆±-=≥∆如果,0<∆方程无解第三步输出方程的根或无解的信息注意：以上三例的求解过程中，老师紧扣算法的定义，带领学生总结。
反复强调，使学生体会到以下几点：（1）强调步骤的顺序性，逻辑性，打乱顺序，就不能完成任务。
（2）强调步骤的完整性，不可分割。
（3）强调步骤的有限性。
（4）强调每步的结果的确切性（明确的结果）。
（5）强调步骤的通用性，任何人只要按照该步骤执行即可完成任务。
由学生回答，老师书写，分清步骤，步步诱导，为引入算法概念做准备。
用学生熟悉的问题来引入算法的概念，降低新课的入门难度，有利于学生正确理解算法的概念。
数学归纳法优质学案
1 k ＝ ， 2k－12k＋1 2k＋1
1 1 1 则当 n＝k＋1 时， ＋ ＋…＋ ＋ 1×3 3×5 2k－12k＋1 1 k 1 ＝ ＋ 2k＋12k＋3 2k＋1 2k＋12k＋3 k2k＋3＋1 2k2＋3k＋1 k＋1 ＝ ＝ ＝ 2k＋12k＋3 2k＋12k＋3 2k＋3 k＋1 ＝ ， 2k＋1＋1 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
答案：2k
课堂探究· 双向交流02
课堂升华 强技提能
考点一用数学归纳法证明等式 nn＋12n＋1 【例 1】 求证：1 ＋2 ＋…＋n ＝ . 6
2 2 2
1· 1＋12＋1 【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝ ＝ 6 1，左边＝右边，等式成立；
(2)假设 n＝k(k∈N*，且 k≥1)时，等式成立，即 12＋22＋… kk＋12k＋1 2 2 2 2 ＋k ＝ ，则当 n ＝ k ＋ 1 时， 1 ＋ 2 ＋ … ＋ k ＋ ( k ＋ 1) 6
2
kk＋12k＋1 2 ＝ ＋ ( k ＋ 1) 6 k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋1] ＝ 6 所以当 n＝k＋1 时，等式仍然成立 由(1)、(2)可知，对于∀n∈N*等式恒成立．
用数学归纳法证明恒等式应注意： 明确初始值 n0 的取值并验 证 n＝n0 时命题的真假必不可少.“假设 n＝kk∈N*，且 k≥n0 时命题正确”并写出命题形式分析“n＝k＋1 时”命题是什么， 并找出与“n＝k”时命题形式的差别.弄清左端应增加的项， 明确 等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因 式分解、添拆项、配方等.简言之：两个步骤、一个结论；递推基 础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
全国名校高考数学优质学案汇编(附详解)第一节 算法与程序框图
第九章算法初步、统计与统计案例第一节算法与程序框图[考纲传真] 1.了解算法的含义，了解算法的思想． 2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环． 3.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.知识点1算法1．算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．2．应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．知识点2程序框图程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．知识点3算法的三种基本逻辑结构1．输入语句，输出语句，赋值语句的格式与功能(1)IF—THEN格式(2)IF—THEN—ELSE格式3．循环语句的格式及对应的框图(1)UNTIL语句(2)WHILE语句1．必会结论(1)条件结构的执行过程往往可以用分段函数表示．(2)“当型循环”与“直到型循环”的区别：当条件满足时执行循环的是“当型循环”，直到条件满足时终止循环的是“直到型循环”．2．必知联系条件结构与循环结构的联系：循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构用于确定何时终止循环体．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构．()(2)5＝x是赋值语句．()(3)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．()(4)“当型循环”与“直到型循环”退出循环的条件不同．()【解析】根据三种基本逻辑结构的含义知，(1)，(3)，(4)正确；赋值语句只能给变量赋值，故(2)错误．【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)根据给出的程序框图，计算f(－1)＋f(2)＝()图9-1-1A．0B．1C．2D．4【解析】输入－1，满足x≤0，所以f(－1)＝4×(－1)＝－4；输入2，不满足x≤0，所以f(2)＝22＝4，即f(－1)＋f(2)＝0.【答案】 A图9-1-23．某程序框图如图9-1-2所示，该程序运行后输出的k的值是________．【解析】运行框图：第一步，S＝1，k＝1；第二步，S＝3，k＝2；第三步，S＝11，k＝3；第四步，S＝11＋211＞100，k＝4.故输出的k＝4.【答案】 44．(优质试题·山东高考)执行下边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．图9-1-3【解析】当x＝1时，1<2，则x＝1＋1＝2；当x＝2时，不满足x<2，则y＝3×22＋1＝13.【答案】13考向1算法的三种基本结构1．(优质试题·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝()图9-1-4A．0 B．2C．4 D．14【解析】a＝14，b＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.【答案】 B2．(优质试题·福建高考)阅读如图9-1-5所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为()图9-1-5A．2 B．1C．0 D．－1【解析】由框图知，第1次循环，S＝0＋cos π2＝0，i＝2；第2次循环，S＝0＋cos π＝－1，i＝3；第3次循环，S＝－1＋cos 3π2＝－1，i＝4；第4次循环，S＝－1＋cos 2π＝0，i＝5；第5次循环，S＝0＋cos 52π＝0，i＝6>5.此时结束循环，输出S＝0.【答案】 C3．(优质试题·重庆高考)执行如图9-1-6所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()图9-1-6A ．s ≤34 B ．s ≤56 C ．s ≤1112D ．s ≤2524【解析】 由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填s ≤1112.【答案】 C循环结构的考查类型及解题思路1．确定循环次数：分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数． 2．完善程序框图：结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．3．辨析循环结构的功能：执行程序若干次，即可判断． 考向2算法的交汇性问题 ●命题角度1 与统计的交汇问题1．某班有24名男生和26名女生，数据a 1，a 2，…，a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图9-1-7所示的程序用来同时统计全班成绩的平均分：A ，男生平均分：M ，女生平均分：W .为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入( )图9-1-7A ．T ＞0？，A ＝M ＋W50 B ．T ＜0？，A ＝M ＋W50 C ．T ＜0？，A ＝M －W50D ．T ＞0？，A ＝M －W50【解析】 依题意得，全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数，注意到当T ＞0时，输入的是某男生的成绩；当T ＜0时，输入的是某女生的成绩的相反数，结合题意得，选D.【答案】 D●命题角度2 与函数的交汇问题2．(优质试题·陕西高考) 根据右边框图，当输入x 为2 006时，输出的y ＝( )图9-1-8。
全国名校高中数学优质学案汇编(附详解)专题集合
A.2
B.3
C.4
1 2
D.5
案答 B A= A∩B中有3个元素,故选B. x | x 3 ,∴A∩B={0,1,2}, C
教材研读
栏目索引
3.设集合A={x|x2-3x<0},B={x||x|>2},则A∩(∁RB)= ( B )
A.{x|-2≤x<3} C.{x|-2≤x<0} B.{x|0<x≤2} D.{x|2≤x<3}
全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）专题
栏目索引
第一节
集合
总纲目录
栏目索引
总纲目录 教材研读
1.元素与集合 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 4.集合的运算性质
考点突破
考点一 元素与集合
考点二 集合间的基本关系
考点三
集合的基本运算
教材研读
栏目索引
教材研读
1.元素与集合
(1)集合元素的特性:① 确定性 、② 互异性 、无序性.
教材研读
栏目索引
1.(优质试题课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则A ( A.A∩B={x|x<0} C.A∪B={x|x>1} B.A∪B=R D.A∩B=⌀
)
答案 A 由3x<1,得x<0,所以B={x|x<0},故A∩B={x|x<0},故选A. 2.(优质试题广东五校协作体第一次诊断考试)已知集合A={x|2x2-5x-3≤0}, B={x∈Z|x≤2},则A∩B中的元素个数= ( B )
表示 关系 基本 关系 真 子 集 集合A是集合B的子集,且集合B中 相等 至少 有一个元素不属于A 相同 A⊆B,且B⊆A A=B A⊆B,且∃x0∈B,x0∉A A⫋ B 或B⫌A 子集 集合A的 元素 都是集合B中的元素 x∈A⇒x∈B A⊆B或 B⊇A 文字语言 符号语言 记法
全国名校高考数学优质学案(附详解)专题2.1.1合情推理(2)
课堂练习
6. 我们知道，周长一定的所有矩形中， 正方形的面积最大；周长一定的所有 矩形与圆中，圆的面积最大，将这些 结论类比到空间，可以得到的结论是 ________________________________ ________________________________ ________________________________.
课堂练习
3. 类比平面内正三角形的“三边相等，三 内角相等”的性质，可推出正四面体下列 性质，你认为比较恰当的是( C ) (1)各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的 夹角都相等. (2)各个面都是全等的正三角形，相邻两个 面所成的三面角都相等. (3)各个面都是全等的正三角形，同一顶点 上的任两条棱的夹角都相等. A. (1) B. (1)(2) C. (1)(2)(3) D. (3)
新课讲授
归纳推理 由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立. 类比推理 由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
新课讲授
归纳推理和类比推理的过程
从具体 问题出 发 归纳推理
观察、分析、 比较、联想
课堂练习
4. 对于命题“正三角形内任意一点到各 边的距离之和为定值”，推广到空间是 “正四面体内任意一点到各面的距离之 和”( )
A. 为定值 B. 为变数 C. 有时为定值，有时为变数 D. 与正四面体无关的常数
课堂练习
4. 对于命题“正三角形内任意一点到各 边的距离之和为定值”，推广到空间是 “正四面体内任意一点到各面的距离之 和”( A )
1 1. 设f ( x ) x ，利用课本中推导 2 2 等差数列前n项和公式的方法，求f ( 5) f ( 4) f (0) f (5) f (6)的值.
(北京专用)2019版高考数学一轮复习 名师绝招破解13大难点增分册作业本 (理)
二、跳出题海——名师绝招破解13大难点难点1 构造法解f(x)与f'(x) 均存在的问题高考中有一难点,即不给出具体的函数解析式,而是给出函数f(x)及其导数满足的条件,需要据此条件构造抽象函数,再根据条件得出构造函数的单调性,应用单调性解决问题的题目,该类题目具有一定的难度,下面总结其基本类型及其处理方法.类型一f'(x)g(x)±f(x)g'(x)型典例1 (1)设f '(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数, f(-1)=0,当x>0时,xf '(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)(2)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时, f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是.答案(1)A (2)(-∞,-3)∪(0,3)解析(1)令g(x)=,则g'(x)=,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0,∴g(1)==0,∴当x∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.又∵f(x)是奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上,所求x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).(2)借助导数的运算法则, f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0⇔[f(x)g(x)]'>0,所以函数y=f(x)g(x)在(-∞,0)上单调递增.又由分析知函数y=f(x)g(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称,且过点(-3,0), (0,0),(3,0).数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).点拨(1)对于不等式f '(x)+g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x);(2)对于不等式f '(x)-g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x);特别地,对于不等式f '(x)>k(或<k)(k≠0),构造函数F(x)=f(x)-kx.(3)对于不等式f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x);(4)对于不等式f '(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=(g(x)≠0);(5)对于不等式xf '(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x);(6)对于不等式xf '(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=(x≠0).1.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意的x∈R都有f'(x)<,则不等式f(x2)>的解集为( )A.(1,2)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(-1,1)2.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)≤0.对任意正数a,b,若a<b,则必有( )A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)3.已知f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数,且f(x)>xf'(x)恒成立,则x2f-f(x)>0的解集为.类型二xf '(x)±n f(x)型典例2 设函数f(x)在R上的导函数为f '(x),且2f(x)+xf '(x)>x2,则下列不等式在R上恒成立的是( )A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)>xD.f(x)<x答案 A解析解法一:令g(x)=x2f(x)-x4,则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)-x3=x[2f(x)+xf'(x)-x2],当x>0时,g'(x)>0,∴g(x)>g(0),即x2f(x)-x4>0,从而f(x)>x2>0;当x<0时,g'(x)<0,∴g(x)>g(0),即x2f(x)-x4>0,从而f(x)>x2>0;当x=0时,由题意可得2f(0)>0,∴f(0)>0.综上可知, f(x)>0.解法二:∵2f(x)+xf '(x)>x2,∴令x=0,则f(0)>0,故可排除B,D,不妨令f(x)=x2+0.1,则已知条件2f(x)+xf '(x)>x2成立,但f(x)>x不一定成立,故C也是错误的,故选A.点拨(1)对于xf'(x)+nf(x)>0型,构造F(x)=x n f(x),则F'(x)=x n-1[xf '(x)+nf(x)](注意对x n-1的符号进行讨论),特别地,当n=1时,xf'(x)+f(x)>0,构造F(x)=xf(x),则F'(x)=xf'(x)+f(x)>0;(2)对于xf '(x)-nf(x)>0(x≠0)型,构造F(x)=,则F'(x)=(注意对x n+1的符号进行讨论),特别地,当n=1时,xf'(x)-f(x)>0,构造F(x)=,则F'(x)=>0.1.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x),其导函数为f '(x),对任意正实数x满足xf '(x)>-2f(x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(x)<g(1)的解集是( )A.(-∞,1)B.(-1,1)C.(-∞,0)∪(0,1)D.(-1,0)∪(0,1)2.f(x)在(0,+∞)上的导函数为f'(x),xf'(x)>2f(x),则下列不等式成立的是( )A.2 0172f(2 018)>2 0182f(2 017)B.2 0172f(2 018)<2 0182f(2 017)C.2 017f(2 018)>2 018f(2 017)D.2 017f(2 018)<2 018f(2 017)类型三λf(x)±f'(x)(λ为常数)型典例3 (1)已知f(x)为R上的可导函数,且∀x∈R,均有f(x)>f '(x),则有( )A.e2 019f(-2 019)<f(0), f(2 019)>e2 019f(0)B.e2 019f(-2 019)<f(0), f(2 019)<e2 019f(0)C.e2 019f(-2 019)>f(0), f(2 019)>e2 019f(0)D.e2 019f(-2 019)>f(0), f(2 019)<e2 019f(0)(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+2f '(x)>0恒成立,且f(2)=(e为自然对数的底数),则不等式e x f(x)->0的解集为.答案(1)D (2)(2,+∞)解析(1)构造函数h(x)=,则h'(x)=<0,即h(x)在R上单调递减,故h(-2019)>h(0),即>⇒e2 019f(-2 019)>f(0);同理,h(2 019)<h(0),即f(2 019)<e2 019·f(0),故选D.(2)由f(x)+2f '(x)>0得2>0,可构造h(x)=·f(x),则h'(x)=[f(x)+2f'(x)]>0,所以函数h(x)=·f(x)在R上单调递增,且h(2)=e·f(2)=1.不等式e x f(x)->0等价于f(x)>1,即h(x)>h(2)⇒x>2,所以不等式e x f(x)->0的解集为(2,+∞).点拨(1)对于不等式f'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=e x f(x);(2)对于不等式f'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=;(3)对于不等式f'(x)+kf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=e kx f(x);(4)对于不等式f'(x)-kf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=.已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f'(x),满足f'(x)<f(x),且y=f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式f(x)<e x的解集为.难点2 构造辅助函数求解导数问题1.“作差(商)法”构造函数当试题中给出简单的基本初等函数,例如f(x)=x3,g(x)=ln x,要证明在某个取值范围内不等式f(x)≥g(x)成立时,可以构造函数h(x)=f(x)-g(x)或φ(x)=g(x)-f(x),证明h(x)min≥0或φ(x)max≤0即可,在求最值的过程中,可以利用导数.此外,在能够说明g(x)>0(f(x)>0)的前提下,也可以构造函数h(x)=,证明h(x)min≥1(0<φ(x)max≤1).典例1 已知函数f(x)=e x-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2<e x;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.解析(1)由f(x)=e x-ax得f '(x)=e x-a,则f'(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=e x-2x, f'(x)=e x-2,令f '(x)=0,得x=ln 2.所以,当x<ln 2时, f'(x)<0, f(x)单调递减;当x>ln 2时, f'(x)>0, f(x)单调递增.故当x=ln 2时, f(x)有极小值且极小值为f(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.(2)证明:令g(x)=e x-x2,则g'(x)=e x-2x,由(1)得g'(x)≥f(ln 2)>0,所以g(x)为增函数,因此,当x>0时,g(x)>g(0)=1>0,即x2<e x.(3)证明:首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有x3<e x.证明如下:令h(x)=x3-e x(x∈(0,+∞)),则h'(x)=x2-e x,由(2)知,当x>0时,x2<e x,从而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以h(x)<h(0)=-1<0,即x3<e x.取x0=,当x>x0时,有x2<x3<e x,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.点拨在本例第(2)问中,发现“x2,e x”具有基本初等函数的基因,故选择对要证明的“x2<e x”构造函数,得到“g(x)=e x-x2”;第(3)问中,必须结合第(2)问的结论,证明“x3<e x”,于是构造函数“h(x)=x3-e x”.函数f(x)=ln x+x2+ax(a∈R),g(x)=e x+x2,若对于任意的x∈(0,+∞),总有f(x)≤g(x)成立.求实数a的取值范围.2.“拆分法”构造函数当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时,如果对其直接求导,得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉.这时可以将原不等式合理拆分为f(x)≤g(x)的形式,进而证明f(x)max≤g(x)min即可,此时注意配合使用导数工具.在拆分的过程中,一定要注意合理性的把握,一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准.典例2 设函数f(x)=ae x ln x+,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明: f(x)>1.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ae x+,依题意得解得a=1,b=2.(2)证明:由(1)知f(x)=e x ln x+,从而f(x)>1等价于xln x>xe-x-.构造函数g(x)=xln x(x>0),则g'(x)=1+ln x,所以当x∈时,g'(x)<0,当x∈时,g'(x)>0,故g(x)在上单调递减,在上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-.构造函数h(x)=xe-x-(x>0),则h'(x)=e-x(1-x),所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,故h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.点拨对于第(2)问的证明,若直接构造函数h(x)=e x ln x+(x>0),求导以后不易分析,因此先将不等式“e x ln x+>1”合理拆分为“xln x>xe-x-”,再分别对左右两边构造函数,进而达到证明原不等式的目的.(2017山东,20,13分)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3, f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.3.“换元法”构造函数典例3 已知函数f(x)=ax2+xln x(a∈R)的图象在点(1, f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直.(1)求实数a的值;(2)求证:当n>m>0时,ln n-ln m>-.解析(1)因为f(x)=ax2+xln x,所以f '(x)=2ax+ln x+1,因为切线与直线x+3y=0垂直,所以切线的斜率为3,所以f '(1)=3,即2a+1=3,故a=1.(2)证明:要证ln n-ln m>-,即证ln>-,只需证ln-+>0.令=x,由已知n>m>0,得>1,即x>1,构造函数g(x)=ln x-+x(x>1),则g'(x)=++1.因为x∈(1, +∞),所以g'(x)=++1>0,故g(x)在(1,+∞)上单调递增.所以g>g(1)=0,即证得ln-+>0成立,所以命题得证.点拨将待证不等式等价变形为“ln-+>0”后,观察可知,对“”进行换元,进而构造函数“g(x)=ln x-+x(x>1)”来证明不等式,简化了证明过程中的运算.已知函数f(x)=x2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使t=f(s);(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当t>e2时,有<<.4.二次(或多次)构造函数典例4 (2017课标全国Ⅱ,21,12分)设函数f(x)=(1-x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时, f(x)≤a x+1,求a的取值范围.解析(1)f '(x)=(1-2x-x2)e x.令f '(x)=0,得x=-1-或x=-1+.当x∈(-∞,-1-)时, f '(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时, f '(x)>0;当x∈(-1+,+∞)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)上单调递减,在(-1-,-1+)上单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)e x.当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)e x,h'(x)=-xe x<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)单调递减,而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.当0<a<1时,设函数g(x)=e x-x-1,g'(x)=e x-1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)单调递增,而g(0)=0,故e x≥x+1.当0<x<1时, f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1), f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.综上,a的取值范围是[1,+∞).已知函数f(x)=ex-xln x,g(x)=e x-tx2+x,t∈R,其中e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若g(x)≥f(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求t的取值范围.5.“转化法”构造函数典例5 设函数f(x)=ln x+,m∈R.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的最小值;(2)讨论函数g(x)=f '(x)-零点的个数;(3)若对任意的b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.解析(1)当m=e时, f(x)=ln x+(x>0),则f'(x)=,故当x∈(0,e)时, f'(x)<0, f(x)在(0,e)上单调递减,当x∈(e,+∞)时, f'(x)>0, f(x)在(e,+∞)上单调递增,故当x=e时, f(x)取到极小值,也即最小值, f(e)=ln e+=2,故f(x)的最小值为2.(2)g(x)=f '(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x≥0),则φ'(x)=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减,故x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,故φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象可知:①当m>时,函数g(x)无零点;②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点.(3)对任意的b>a>0,<1等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立.(*)设h(x)=f(x)-x=ln x+-x(x>0),故(*)等价于h(x)在(0,+∞)上单调递减.由h'(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,得m≥-x2+x=-+(x>0)恒成立,故m≥,当且仅当x=时等号成立,故m的取值范围为.点拨本例第(3)问中,利用不等式的性质,将“<1”等价转化为“f(b)-b<f(a)-a”,进而构造函数“h(x)=f(x)-x”,通过研究函数的单调性求解实数m的取值范围.已知函数f(x)=x2+(1-a)x-aln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a<0,若∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.难点3 借助“草图”求解函数压轴题高考函数解答题一般是高考数学试卷的压轴题,其难度达到整份试卷的顶峰,相当一部分学生不会做或只做了第一问而不敢问津第二问或第三问.仔细琢磨、潜心思考问题形成的原因,难道学生不会求导?学生不会运用导数求解其单调性或最值?不会分类讨论?也许都不是.事实上,最主要是学生缺乏画草图的意识,想不到借助草图引领自己到达成功的彼岸.典例1 设函数f(x)=e mx+x2-mx.(1)证明: f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;(2)若对于任意的x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.解析(1)证明: f '(x)=m(e mx-1)+2x.若m≥0,则当x∈(-∞,0)时,e mx-1≤0, f '(x)<0;当x∈(0,+∞)时,e mx-1≥0, f '(x)>0.若m<0,则当x∈(-∞,0)时,e mx-1>0, f '(x)<0;当x∈(0,+∞)时,e mx-1<0, f '(x)>0.所以, f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)由(1)知,对任意的m, f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意的x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1成立的充要条件是由f(1)-f(0)≤e-1,得e m-m≤e-1,构造函数g(m)=e m-m-e+1,求导得g'(m)=e m-1,令g'(m)=0,得m=0,由指数函数的性质得m∈(-∞,0)时,g'(m)<0,g(m)为减函数,m∈(0,+∞)时,g'(m)>0,g(m)为增函数.g(1)=0,g(-1)=2+-e<0,不妨设g(m1)=0,则m1<-1,画出g(m)=e m-m-e+1的大致图象,如图1所示,得g(m)≤0的解集为(m1,1).由f(-1)-f(0)≤e-1得,e-m+m≤e-1,构造函数h(m)=e-m+m-e+1,求导得h'(m)=-e-m+1,令h'(x)=0,得m=0,由指数函数的性质得m∈(-∞,0)时,h'(m)<0,h(m)为减函数,m∈(0,+∞)时,h'(m)>0,h(m)为增函数.h(-1)=0,h(1)=2+-e<0,不妨设h(m2)=0,则m2>1,画出h(m)=e-m+m-e+1的大致图象,如图2所示,得h(m)≤0的解集为(-1,m2).综上,m∈(-1,1).点拨此题起点低,落点高,第(1)问是大家熟悉的利用导数研究函数的单调性问题,一定要注意导函数的零点问题,再根据系数m对导函数的正负影响分类讨论;第(2)问处理恒成立问题,运用等价转化思想,转化为不等式组之后,又根据函数的单调性和分类讨论、数形结合的数学思想解题,以函数为载体,以导数为工具,以图形为航标,以综合运用数学思想方法为核心来考查考生的数学素养.1.已知函数f(x)=e x-e-x-2x.设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求实数b的最大值.典例2 已知函数f(x)=e x-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m≤2时,证明: f(x)>0.解析(1)f '(x) =e x-.由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0,所以m=1.于是f(x)=e x-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f'(x)=e x-.函数f'(x)=e x-在(-1,+∞)上单调递增,且f'(0)=0,因此当x∈(-1,0)时, f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时, f'(x)>0.所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)证明:当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)>0.当m=2时,函数f '(x)=e x-在(-2,+∞)上单调递增.又f '(-1)<0, f '(0)>0,故f '(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实根x0,且x0∈(-1,0).当x∈(-2,x0)时, f '(x)<0;当x∈(x0,+∞)时, f '(x)>0,从而当x=x0时, f(x)取得极小值,也是最小值.f '(x)、 f(x)的大致图象如图.由f '(x0)=0得=,即ln(x0+2)=-x0,故f(x)≥f(x0)=+x0=>0.所以当m≤2时, f(x)>0.点拨图形虽然简单,但它就像灯塔一样,指引着解题的方向.几乎所有的函数解答题的答案中都没有图形,因为只能画草图,根本画不出精确的图形.经过观察,发现数学成绩优良的学生与数学成绩一般的学生最大的差别有两点:(1)擅长画图,利用数形结合的方法解题;(2)擅长等价转化问题,把不熟悉、陌生的数学问题等价转化为熟悉的、已解决过的问题.2.设函数f(x)=-k(k为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数).(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.难点4 解答导数零点不可求问题的三种方法导数是研究函数的有力工具,其核心是由导数值的正、负确定原函数的单调性.用导数研究函数f(x)=0的单调性,往往需要解方程f '(x)=0.当该方程不易求解时,如何继续解题呢?1.猜——猜出方程f '(x)=0的根典例1 设f(x)=.(1)若函数f(x)在(a,a+1)上有极值,求实数a的取值范围;(2)若关于x的方程f(x)=x2-2x+k有实数解,求实数k的取值范围.解析(1)f '(x)=-,令f '(x)=0,得x=1.由f(x)在(a,a+1)上有极值,得即0<a<1.所以实数a的取值范围是(0,1).(2)方程f(x)=x2-2x+k,即f(x)-x2+2x=k.设g(x)=f(x)-x2+2x,可得所求实数k的取值范围,即函数g(x)的值域.g'(x)=2(1-x)+.接下来,需求函数g(x)的单调区间,所以需解不等式g'(x)≥0及g'(x)≤0,因而需解方程g'(x)=0,但此方程不易求解,所以我们可以先猜后解.易得g'(1)=0,且当0<x<1时,g'(x)>0,当x>1时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故g(x)max=g(1)=2.进而可得函数g(x)的值域是(-∞,2],所以所求实数k的取值范围是(-∞,2].点拨当所求函数的解析式中出现ln x时,常猜x=1;当函数解析式中出现e x时,常猜x=0或x=ln x 0.求函数f(x)=e x+x2-(2+ln 2)x的最小值.2.设——设出方程f '(x)=0的根典例2 设函数f(x)=e2x-aln x.(1)讨论f(x)的导函数f '(x)零点的个数;(2)证明:当a>0时, f(x)≥2a+aln.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=2e2x-(x>0).当a≤0时, f '(x)>0, f '(x)没有零点;当a>0时,因为y=e2x单调递增,y=-单调递增,所以f '(x)在(0,+∞)上单调递增.又f '(a)>0,当b满足0<b<且b<时, f '(b)<0,故当a>0时, f '(x)存在唯一零点.(2)证明:设f '(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时, f '(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f '(x)>0.故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于2-=0,所以f(x0)=+2ax0+aln≥2a+aln,当且仅当x0=时取“=”.故当a>0时, f(x)≥2a+aln.点拨本题第(2)问的解题思路是求函数f(x)的最小值,因此需要求f'(x)=0的根,但是f'(x)= 2e2x-=0的根无法求解,故设出f '(x)=0的根为x0,通过f(x)在(0,x0)和(x0,+∞)上的单调性知f(x)min=f(x0)=+2ax0+aln,进而利用基本不等式证得结论,这种解决方法类似解析几何中的设而不求.设函数f(x)=e x-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0,求k的最大值.3.证——证明方程f '(x)=0无根典例3 已知m∈R,函数f(x)=mx--ln x,g(x)=+ln x,h(x)=,若∃x0∈[1,e],使得f(x0)- g(x0)>h(x0),求实数m的取值范围.解析由题意知关于x的不等式f(x)-g(x)>h(x)在[1,e]上有解,即关于x的不等式<m(1<x≤e)有解.设u(x)=(1<x≤e),下面求函数u(x)的最小值.u'(x)=(1<x≤e),不易求解方程u'(x)=0.可大胆猜测方程u'(x)=0无解,证明如下:由1<x≤e,可得-(2x2+2)lnx<0;2x2-4ex-2=2(x-e)2-2e2-2<0,所以u'(x)<0.所以u(x)在(1,e]上是减函数,所以函数u(x)的值域是,进而可得所求实数m的取值范围是.点拨当利用导数求函数f(x)在区间[a,b]、[a,b)或(a,b]上的最值时,可首先考虑函数f(x)在该区间上是否单调,若单调,则f(x)在区间的端点处取得最值.若存在x使不等式>成立,求实数m的取值范围.难点5 “二次求导”在解题中的应用1.“二次求导”与函数单调性典例1 若函数f(x)=,0<x1<x2<π.设a=f(x1),b=f(x2),试比较a,b的大小.解析由f(x)=得f '(x)=,令g(x)=xcos x-sin x,∴g'(x)=-xsin x+cos x-cos x=-xsin x,∵0<x<π,∴g'(x)<0,即函数g(x)在(0,π)上是减函数,∴g(x)<g(0)=0,因此f '(x)<0,故函数f(x)在(0,π)上是减函数,∴当0<x1<x2<π时,有f(x1)>f(x2),即a>b.点拨为了得出f(x)的单调性,需判断f '(x)的符号,而f '(x)=的分母为正,只需判断分子xcos x-sin x的符号,引入新的函数g(x)=xcos x-sin x,再通过证g'(x)=-xsin x<0,得到g(x)是(0,π)上的单调递减函数,且知g(x)<0,从而得出f '(x)<0.通过二次求导,我们判断出了一次导函数的符号,并最终解决了问题.已知函数f(x)满足f(x)=f '(1)e x-1-f(0)x+x2,求f(x)的解析式及单调区间.2.“二次求导”与不等式的证明典例2 (2017课标全国Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明: f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2< f(x0)<2-2.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞).设g(x)=ax-a-ln x,则f(x)=xg(x), f(x)≥0等价于g(x)≥0.因为g(1)=0,g(x)≥0,故g'(1)=0,而g'(x)=a-,g'(1)=a-1,得a=1.若a=1,则g'(x)=1-.当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)=0.综上,a=1.(2)证明:由(1)知f(x)=x2-x-xln x, f '(x)=2x-2-ln x.设h(x)=2x-2-ln x,则h'(x)=2-.当x∈时,h'(x)<0;当x∈时,h'(x)>0.所以h(x)在单调递减,在单调递增.又h(e-2)>0,h<0,h(1)=0,所以h(x)在有唯一零点x0,在有唯一零点1,且当x∈(0,x0)时,h(x)>0;当x∈(x0,1)时,h(x)<0;当x∈(1,+∞)时,h(x)>0.因为f '(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点.由f '(x0)=0得ln x0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0).由x0∈(0,1)得f(x0)<.因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,由e-1∈(0,1), f '(e-1)≠0得f(x0)>f(e-1)=e-2,所以e-2<f(x0)<2-2.点拨本题是应用导数证明不等式.证明的关键在于构造适当的函数,然后在相应区间上用二次求导的办法判断导数的符号,获得导函数的单调性,再利用单调性证明不等式.已知函数f(x)=me x-ln x-1.(1)当m=0时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(2)当m≥1时,证明: f(x)>1.3.“二次求导”与函数的极值(最值)典例3 设k∈R,函数f(x)=e x-(1+x+kx2)(x>0).(1)若k=1,试求函数f(x)的导函数f '(x)的极小值;(2)若对任意的t>0,存在s>0,使得当x∈(0,s)时,都有f(x)<tx2,求实数k的取值范围.解析(1)当k=1时,函数f(x)=e x-(1+x+x2)(x>0),则f '(x)=e x-(1+2x),令g(x)=f '(x),则g'(x)=e x-2,令g'(x)=0,得x=ln 2,当0<x<ln 2时,g'(x)<0;当x>ln 2时,g'(x)>0,从而f '(x)在(0,ln 2)上递减,在(ln 2,+∞)上递增,故f '(x)的极小值为f '(ln 2)=1-2ln 2.(2)对任意的t>0,记函数F(x)=f(x)-tx2=e x-[1+x+(k+t)x2],x>0,根据题意得,存在s>0,使得当x∈(0,s)时,F(x)<0.易得F'(x)=e x-[1+2(k+t)x],令h(x)=F'(x),则h'(x)=e x-2(k+t).①若h'(x)≥0,因为h'(x)在(0,s)上递增,故当x∈(0,s)时,h'(x)>h'(0)≥0,于是F'(x)在(0,s)上递增,则当x∈(0,s)时,F'(x)>F'(0)=0,从而F(x)在(0,s)上递增.故当x∈(0,s)时,F(x)>F(0)=0,与已知矛盾;②若h'(x)<0,因为h'(x)在(0,s)上连续且递增,故存在s>0,使得当x∈(0,s)时,h'(x)<0,从而F'(x)在(0,s)上递减,于是当x∈(0,s)时,F'(x)<F'(0)=0,因此F(x)在(0,s)上递减.故当x∈(0,s) 时,F(x)< F(0)=0,满足已知条件.综上所述,对任意的t>0,都有h'(x)<0,即1-2(k+t)<0,亦即k>-t.已知函数f(x)=ax2-(a2+b)x+a ln x(a,b∈R).(1)当b=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a=-1,b=0时,证明:f(x)+e x>-x2-x+1(其中e为自然对数的底数).难点6 “两招”破解不等式的恒成立问题第一招:函数法典例1 (2017课标全国Ⅲ,21,12分)已知函数f(x)=x-1-aln x.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,…<m,求m的最小值.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞).①若a≤0,因为f=-+aln 2<0,所以不满足题意;②若a>0,由f '(x)=1-=知,当x∈(0,a)时, f '(x)<0;当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增.故x=a是f(x)在(0,+∞)上的唯一最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时, f(x)≥0.故a=1.(2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0.令x=1+,得ln<.从而ln+ln+…+ln<++…+=1-<1.故…<e.而>2,所以m的最小值为3.点拨(1)对a分类讨论,并利用导数研究f(x)的单调性,找出最小值点,从而求出a.(2)由(1)得当x>1时,x-1-ln x>0.令x=1+,换元后可求出…的范围.(2016广东肇庆第三次模拟,21)已知函数f(x)=x2+ln x,g(x)=f(x)-2ax.(a∈R)(1)当a=0时,求f(x)在区间上的最大值和最小值;(2)若∀x∈(1,+∞),g(x)<0恒成立,求a的取值范围.第二招:分离参数典例2 已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=aln x.(1)若f(x)在上的最大值为,求实数b的值;(2)若对任意的x∈[1,e],g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围. 解析(1)f '(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f '(x)=0,得x=0或x=.当x∈时, f '(x)<0,函数f(x)为减函数;当x∈时, f '(x)>0,函数f(x)为增函数;当x∈时, f '(x)<0,函数f(x)为减函数.∵f=+b, f=+b,∴f>f.∴f=+b=,∴b=0.(2)由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-ln x)a≤x2-2x,∵x∈[1,e],∴ln x≤1≤x,由于不能同时取等号,∴ln x<x,即x-ln x>0,∴a≤(x∈[1,e])恒成立.令h(x)=,x∈[1,e],则h'(x)=,当x∈[1,e]时,x-1≥0,x+2-2ln x=x+2(1-ln x)>0,从而h'(x)≥0,∴函数h(x)=在[1,e]上为增函数,∴h(x)min=h(1)=-1,∴a≤-1.点拨由不等式恒成立求解参数的取值范围问题,一般采用分离参数的方法,将其转化为求不含参数的函数的最值问题,如本例(2)转化为a≤,从而将问题转化为求函数h(x)=,x∈[1,e]的最小值问题.已知函数f(x)=2ln x+ax+(a∈R)的图象在x=2处的切线过点(-4,2ln 2).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式>m-恒成立,求实数m的取值范围.难点7 双变量的“任意性”与“存在性”问题1.“存在=存在”型∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在D1上的值域A与函数g(x)在D2上的值域B 的交集不为空集,即A∩B≠⌀.其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.典例1 已知函数f(x)=x2-ax3,a>0,x∈R.g(x)=.若∃x1∈(-∞,-1],∃x2∈,使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.解析∵f(x)=x2-ax3,∴f '(x)=2x-2ax2=2x(1-ax).令f '(x)=0,得x=0或x=.∵a>0,∴>0,∴当x∈(-∞,0)时, f '(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1]上单调递减, f(x)在(-∞,-1]上的值域为.∵g(x)=,∴g'(x)==.∵当x<-时,g'(x)>0,∴g(x)在上单调递增,∴g(x)<g=,∴g(x)在上的值域为.若∃x1∈(-∞,-1],∃x2∈,使得f(x1)=g(x2),则1+<,a<.故实数a的取值范围是.已知函数f(x)=和函数g(x)=a·sin x-a+1(a>0),若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是( )A. B.[1,2) C. D.2.“任意=存在”型∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在D1上的值域A是函数g(x)在D2上的值域B 的子集,即A⊆B.其等价转化的基本思想:函数f(x)的任意一个函数值都与函数g(x)的某一个函数值相等,即f(x)的函数值都在g(x)的值域之中.典例2 已知函数f(x)=,x∈[0,1].(1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若对于任意的x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.解析(1)f '(x)==-,x∈[0,1].令f '(x)=0,解得x=或x=(舍去).当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表所示:x 0 1f '(x) - 0 +↘-4 ↗-3f(x)-所以f(x)的递减区间是,递增区间是.f(x)min=f=-4,又f(0)=-, f(1)=-3,所以f(x)max=f(1)=-3.故当x∈[0,1]时, f(x)的值域为[-4,-3].(2)“对于任意的x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立”等价于“在x∈[0,1]上,函数f(x)的值域B是函数g(x)的值域A的子集,即B⊆A”.因为a≥1,且g'(x)=3(x2-a2)<0,所以当x∈[0,1]时,g(x)为减函数,所以g(x)的值域A=[1-2a-3a2,-2a].由B⊆A,得1-2a-3a2≤-4且-2a≥-3,又a≥1,故1≤a≤.已知函数f(x)=x2-ax3(a>0),x∈R.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1.求a的取值范围.3.“任意≥(≤、>、<)任意”型∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)恒成立,等价于f(x)min>g(x)max,或等价于f(x)>g(x)max恒成立,或等价于f(x)min>g(x)恒成立.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任何一个函数值均大于函数g(x)的任何一个函数值.∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)<g(x2)恒成立,等价于f(x)max<g(x)min,或等价于f(x)<g(x)min恒成立,或等价于f(x)max<g(x)恒成立.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任何一个函数值均小于函数g(x)的任何一个函数值.∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)-g(x2)>k恒成立,等价于[f(x1)-g(x2)]min>k恒成立,也等价于f(x)min-g(x)max>k.∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)-g(x2)<k恒成立,等价于[f(x1)-g(x2)]max<k恒成立,也等价于f(x)max-g(x)min<k.典例3 设函数f(x)=x3-x2-3.(1)求f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)=+xln x,如果对任意的x1,x2∈,都有f(x1)≤g(x2)成立,求实数a的取值范围.解析(1)f'(x)=3x2-2x.f'(x)>0时,x<0或x>,f'(x)<0时,0<x<.所以, f(x)的递增区间是(-∞,0),;递减区间是.(2)由(1)知,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,而f=-, f(2)=1,故f(x)在区间上的最大值f(x)max=f(2)=1.“对任意的x1,x2∈,都有f(x1)≤g(x2)成立”等价于“对任意的x∈,g(x)≥f(x)max恒成立”,即当x∈时,g(x)=+xln x≥1恒成立,即a≥x-x2ln x恒成立,记u(x)=x-x2ln x,则有a≥u(x)max.u'(x)=1-x-2xln x,可知u'(1)=0.当x∈时,1-x>0,2xln x<0,则u'(x)>0,所以u(x)在上递增;当x∈(1,2)时,1-x<0,2xln x>0,则u'(x)<0,所以u(x)在(1,2)上递减.故u(x)在区间上的最大值u(x)max=u(1)=1,所以实数a的取值范围是[1,+∞).点拨(1)∀x 1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)恒成立,通常等价转化为f(x)min>g(x)max.这是两个独立变量——双变量问题,不等式两边f(x1),g(x2)中自变量x1,x2可能相等,也可能不相等;(2)对任意的x∈[m,n],不等式f(x)>g(x)恒成立,通常等价转化为[f(x)-g(x)]min>0.这是单变量问题,不等式两边f(x),g(x)的自变量x相等.函数f(x)=+1(m≠0),g(x)=x2e ax(a∈R).(1)直接写出函数f(x)的单调区间;(2)当m>0时,若对于任意的x1,x2∈[0,2], f(x1)≥g(x2)恒成立,求a的取值范围.4.“任意≥(≤、>、<)存在”型∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)>g(x2)成立,等价于f(x)min>g(x)min.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任意一个函数值大于函数g(x)的某一个函数值,但并不要求大于函数g(x)的所有函数值.∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)<g(x2)成立,等价于f(x)max<g(x)max.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任意一个函数值小于函数g(x)的某一个函数值,但并不要求小于函数g(x)的所有函数值.∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)>k成立,等价于f(x)min-g(x)min>k.∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)<k成立,等价于f(x)max-g(x)max<k.典例4 函数f(x)=ln x-x+-1,g(x)=x2-2bx+4,若对任意的x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,求实数b的取值范围.解析“对任意的x 1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立”等价于“f(x)在(0,2)上的最小值不小于g(x)在[1,2]上的最小值,即f(x)min≥g(x)min(*)”.f '(x)=--=,当x∈(0,1)时, f '(x)<0, f(x)单调递减;当x∈(1,2)时, f '(x)>0, f(x)单调递增.故当x∈(0,2)时, f(x)min=f(1)=-.又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2],①当b<1时,g(x)min=g(1)=5-2b>3,此时与(*)矛盾;②当b∈[1,2]时,g(x)min=g(b)=4-b2≥0,同样与(*)矛盾;③当b∈(2,+∞)时,g(x)min=g(2)=8-4b,由8-4b≤-,得b≥.综上,实数b的取值范围是.已知函数f(x)=x3+x2+ax.(1)若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求a的最小值;(2)若g(x)=,∀x1∈,∃x2∈,使得f '(x1)≤g(x2)成立,求a的取值范围.5.“存在≥(≤、>、<)存在”型若∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)>g(x2)成立,等价于f(x)max≥g(x)min.其等价转化的基本思想是函数f(x)的某一个函数值大于函数g(x)的某一个函数值,即只要有这样的函数值即可.若∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)<g(x2)成立,等价于f(x)min<g(x)max.其等价转化的基本思想是函数f(x)的某一个函数值小于函数g(x)的某一个函数值,即只要有这样的函数值即可.若∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)>k成立,等价于[f(x1)-g(x2)]max>k,也等价于f(x)max-g(x)min>k.若∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)<k成立,等价于[f(x1)-g(x2)]min<k,也等价于f(x)min-g(x)max<k.典例5 已知函数f(x)=4ln x-ax+(a≥0).(1)直接写出函数f(x)的单调区间;(2)当a≥1时,设g(x)=2e x-4x+2a,若存在x1,x2∈,使f(x1)>g(x2),求实数a的取值范围.解析(1)当a=0时,函数f(x)的递减区间为,递增区间为.当0<a<1时,函数f(x)的递减区间为,,递增区间为.当a≥1时, f(x)的递减区间为(0,+∞).(2)“存在x1,x2∈,使f(x1)>g(x2)”等价于“当x∈时, f(x)max>g(x)min”.由(1)知,当x∈时,f(x)max=f=-4ln 2+a+6,由g'(x)=2e x-4>0,得x>ln 2,所以g(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,故当x∈时,g(x)min=g(ln 2)=4-4ln 2+2a,由f(x)max>g(x)min,得-4ln 2+a+6>4-4ln 2+2a,又a≥1,所以1≤a<4.设函数f(x)=-ax.(1)若函数f(x)在(1,+∞)上为减函数,求实数a的最小值;(2)若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f '(x2)+a成立,求实数a的取值范围.难点8 “不规则”几何体的三视图问题1.放置方式的“不规则”典例1 (1)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.48B.32+8C.48+8D.80(2)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B. C. D.答案(1)C (2)B解析由三视图可得该几何体是一个直四棱柱.如图,直四棱柱ABCD-A 1B1C1D1.因为放置方式上的“不规则”,把直四棱柱的一个侧面放置在水平面上而不是把底面放置在水平面上,可能在脑海里会形成“不规则”几何体的形象,它实际上是一个常见的规则几何体.由三视图可得该直四棱柱的底面是一个上底边长为2,下底边长为4,高为4的等腰梯形,侧棱长是4,所以计算可得答案是C.(2)由三视图知该几何体是一个四棱锥,其直观图如图所示,△PAD为正三角形,四棱锥的底面是直角梯形ABCD,且平面PAD⊥平面ABCD,四棱锥的高为,∴所求体积V=××=,故选B.点拨以上两道题的难度虽然不大,但是如果不清楚几何体的放置方式,解决起来有一定的难度,所以同学们在平时学习中要从放置方式的变化上去认识一些规则几何体对应的三视图.1.某四面体的三视图如图所示,在该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是( )。
全国名校高中数学优质学案(附详解)专题1.2.2函数的表示法(2)
二、基础知识讲解 映射的概念 设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定 的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个元素 x，在 集合B中都有惟一确定的元素 y 与之对应，那么就称 对应 f: A→B 为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念： 设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应 关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中 都有惟一确定的数f(x)和它对应，就称 f: A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作: y=f(x) , x∈A
3、从集合A＝{a，b，c}到集合B={d，e}可建立不同 映射的个数是 （ ）D
A、2
B、4
C、5
D、8
六、课堂小结
通过本节课的学习
1、理解分段函数，能够写出分段函数的解析式和画出 图像 2、能掌握求分段函数的函数值的方法
3、要理解映射的概念，能够正确判断两个集合间的对 应是否是映射
四、例题分析
2 x ， f(x)＝ x－1，
x<1， 则 f[f(－4)]的值为( x≥1， C．－5 D．－15
)
B．16
解析：∵－4<1，∴f(－4)＝16，f(16)＝16－1＝15. 答案：A
课堂练习
2 设函数
1 x－1， 2 f(x)＝ 1 x，
x≥0， 若 f(a)>1，则实数 a x<0.
的取值范围是________．
1 解析：当 a≥0 时，f(a)＝2a－1>1，解得 a>4， 1 符合 a≥0；当 a<0 时，f(a)＝a>1，无解．
答案：(4，＋∞)
全国名校高中数学优质学案(附详解)全国名校高中数学优质学案(附详解)2.1
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：共面直线3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 ABCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD同理FG ∥BD 且FG=21BD因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算 导学案
立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算导学案全国名校高中数学优质学案专题汇编（经典问题附详解）立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算研究目标】1.理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念。
2.掌握各种距离的计算方法。
重点、难点】重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用。
难点：将空间距离转化为向量知识求解。
学法指导】空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离。
其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离，用向量法来求解。
预感知】1.两点间的距离的求法。
设$A(x_1,y_1,z_1)$，则$|A|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$，若 $B(x,y,z)$，则 $d_{AB}=|AB|=\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}$。
2.点到直线的距离的求法。
设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{s}$，直线上一点为$P(x_0,y_0,z_0)$，点 $A(x,y,z)$，则$d_{A,l}=\dfrac{|\overrightarrow{PA}\cdot\vec{s}|}{|\vec{s}|}=\ dfrac{|\vec{PA_{\perp}}|}{|\vec{s}|}$。
3.点到平面的距离的求法。
设平面 $\pi$ 的法向量为 $\vec{n}$，平面上一点为$P(x_0,y_0,z_0)$，点 $A(x,y,z)$，则$d_{A,\pi}=\dfrac{|\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|} =\dfrac{|\vec{PA_{\perp}}|}{|\vec{n}|}$。
预检测】1.已知直线 $l$ 过定点 $A(2,3,1)$，且方向向量为$\vec{n}=(0,1,1)$，则点 $P(4,3,2)$ 到 $l$ 的距离为$\dfrac{2}{\sqrt{2}}$。
全国名校高中数学优质学案五大考点经典讲解汇编
全国名校高中数学优质学案五大考点经典讲解汇编常考点1 最值问题的5大解法方法1 函数法(1)利用已知函数性质求最值根据已知的函数解析式,直接利用基本初等函数的性质(单调性、奇偶性等)是函数法的主要类型之一.典例1 函数y=cos 2x+2cos x的最小值是.答案-32解析y=cos 2x+2cos x=2cos2x+2cos x-1=2cos x+122-32≥-32,当且仅当cos x=-12时,函数取得最小值-32.(2)构建函数模型求最值很多最值问题需要先建立函数模型,然后利用函数性质求解.建立函数模型的关键是找到一个变量,利用该变量表示求解目标,变量可以是实数,也可以是角度(弧度制实际上也可以看作一个实数),还可以是变量不等式等,建立函数模型需要注意建立的函数模型的定义域.典例2 在△ABC中,点D满足BD=34BC,当点E在线段AD上移动时,若AE=λAB+μAC,则t=(λ-1)2+μ2的最小值是( )A.31010B.824C.910D.418答案 C解析设AE=x AD(0≤x≤1),因为AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(AC-AB)=14AB+34AC,所以AE=14x AB+34x AC,又AE=λAB+μAC,且AB,AC不共线,所以λ=14x,μ=34x,所以t=(λ-1)2+μ2=14x-12+34x2=18(5x2-4x+8),在x=25时取得最小值910.故选C.点评已知E点在线段AD上移动,利用共线向量定理设出变量x,建立求解目标关于x的函数关系后利用函数性质求解.方法2 不等式法(1)利用基本不等式求最值基本不等式是求最值的常用方法之一,使用基本不等式时要注意:①基本不等式的使用条件和等号是否能够成立;②变换已知不等式使之符合使用基本不等式的条件.典例3 已知圆O的半径为1,HM,HN为该圆的两条切线,M,N为两切点,那么HM·HN的最小值为.答案22-3解析连接OH,OM,ON,设∠OHM=∠OHN=θ,0<θ<π2,则|HM|=|HN|=1tanθ,所以HM·HN=|HM|·|HN|·cos 2θ=cos2θtanθ=co s2θcos2θsinθ=1+cos2θ2·cos2θ1-cos2θ=co s 22θ+cos2θ1-cos2θ=(1-cos2θ)2+3(cos2θ-1)+21-cos2θ=(1-cos 2θ)+21-cos2θ-3≥22-3,当且仅当1-cos 2θ=21-cos2θ,即cos 2θ=1-2时等号成立.(2)建立求解目标的不等式求最值把求解目标归入一个不等式,通过解不等式得出目标的最值,是求最值的常用方法之一.典例4 已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0),c>0,且c2=a2-b2.若圆C1,C2都在椭圆内,则椭圆离心率的最大值为.答案12解析由题意得2c≤a,c2a2+c2b2≤1,可得e≤12,e4-3e2+1≥0,结合e∈(0,1),可得0<e≤12.∴e的最大值为12.方法3 导数法(1)直接使用导数求最值三次函数、指数、对数与其他函数综合的函数,求最值时要利用导数法.基本步骤:确定单调性和极值,结合已知区间和区间的端点值确定最值.典例5 已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f '(n)的最小值是.思路点拨分别求出f(m), f '(n)的最小值相加即可.答案-13解析 f '(x)=-3x2+2ax,根据已知得f '(2)=0,得a=3,所以f '(x)=-3x2+6x,令f '(x)=0,得x=0或x=2,当x<0时, f '(x)<0, f(x)单调递减,当0<x<2时, f '(x)>0, f(x)单调递增,当x>2时, f '(x)<0, f(x)单调递减,所以f(m)在[-1,1]上的最小值为f(0)=-4,又f '(n)=-3n2+6n在[-1,1]上单调递增,所以f '(n)的最小值为f '(-1)=-9.故[f(m)+f '(n)]min=f(m)min+f '(n)min=-4-9=-13.(2)构造函数利用导数求最值不等式恒成立问题的一个基本处理方法是转化为函数最值问题,需要通过构造函数求函数最值,而求函数最值时导数方法是最有效的.注意使用导数求函数最值的基本步骤.典例6 已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.若存在x∈1e,e(e是自然对数的底数,e=2.718 28…)使不等式2f(x)≥g(x)成立,求实数a的最大值.解析由题意知2xln x≥-x2+ax-3,x∈1e ,e,即a≤2ln x+x+3x,x∈1e,e.令h(x)=2ln x+x+3x ,x∈1e,e,则h'(x)=2x+1-3x2=(x+3)(x-1)x2,当x∈1e,1时,h'(x)<0,此时h(x)单调递减;当x∈(1,e]时,h'(x)>0,此时h(x)单调递增.所以h(x)max=max ℎ1e,h(e),因为存在x∈1e,e,使2f(x)≥g(x)成立,所以a≤h(x)max,又h1e =-2+1e+3e,h(e)=2+e+3e,所以h1e -h(e)=-4+2e-2e>0,故h1e >h(e),所以a≤1e+3e-2.即a的最大值为1e+3e-2.点评2f(x)≥g(x)可变形为a≤2ln x+x+3x ,由题意可知,a小于或等于h(x)=2ln x+x+3x的最大值,从而将问题转化为求函数h(x)=2ln x+x+3x ,x∈1e,e的最大值问题.方法4 数形结合法(1)曲线上的点与直线上点的距离的最值求与直线不相交的曲线上的点与该直线上的点的距离的最值的最直观方法就是“平行切线法”(数形结合思想的具体体现).典例7 设点P在曲线y=x2+1(x≥0)上,点Q在曲线y=x-1(x≥1)上,则|PQ|的最小值为( )A.22B.324C.2D.322答案 B解析在同一坐标系中分别画出两个函数的图象(图略),可知两个函数的图象关于直线y=x对称.考虑函数y=x2+1(x≥0)图象上某点处斜率为1的切线的切点坐标,由y'=2x=1,得x=12,进而y=54,即函数y=x2+1(x≥0)图象上在点12,54处的切线斜率等于1,该点到直线x-y=0的距离为342=328,这个距离的二倍即为所求的最小值,即|PQ|的最小值为324.故选B.(2)根据求解目标的几何意义求最值把求解目标的代数表达式赋予几何意义,就可以把代数问题转化为几何问题、函数问题.常见的目标函数的几何意义有:两点连线的斜率、两点间的距离等.典例8 (1)(2016山东,4,5分)若变量x,y满足x+y≤2,2x-3y≤9,x≥0,则x2+y2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12(2)已知实数a,b,c,d满足a-2e ab =1-cd-1=1,其中e是自然对数的底数,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( )A.4B.8C.12D.18思路点拨(1)点(x,y)为平面区域内的动点,x2+y2的几何意义是动点到坐标原点的距离的平方.(2)将(a,b),(c,d)看作点的坐标,则这两个点各自在一条曲线与一条直线上,(a-c)2+(b-d)2的几何意义是曲线上的点与直线上的点的距离的平方.答案(1)C (2)B解析(1)作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界),x2+y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)与原点的距离最大,所以x2+y2的最大值是10,故选C.(2)由a-2e ab =1-cd-1=1,得b=a-2e a,d=-c+2.(a-c)2+(b-d)2的几何意义是曲线y=x-2e x上的点(a,b)与直线y=-x+2上的点(c,d)的距离的平方.对y=x-2e x求导,得y'=1-2e x,令1-2e x=-1,解得x=0,故曲线y=x-2e x在x=0处的切线的斜率等于-1,此时切点坐标为(0,-2),该点到直线y=-x+2的距离即为曲线y=x-2e x与直线y=-x+2上点距离的最小值,此时的最小距离为2=22,故所求的最小值为(22)2=8. 方法5 构造法(1)构造函数求最值对任意实数a,b,当b≠0时,一定存在实数λ,使得a=λb,用它可以把某些以比值形式出现的二元不等式转化为一元不等式.典例9 若不等式x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为( )A.2B.2+12C.32D.5+12思路点拨分离参数后转化为函数的最值问题,对含变量x,y的表达式构造函数,求函数最值. 答案 D解析 不等式x 2+2xy≤a(x 2+y 2)对于一切正数x,y 恒成立等价于a≥x 2+2xyx 2+y 2恒成立,即a≥ x 2+2xyx 2+y 2max.令y=tx,则x 2+2xy x 2+y 2=1+2t1+t 2. 令m=1+2t(m>1),则t=m -12, 则1+2t 1+t =4m4+(m -1)2=4mm -2m+5=4m +5m-2.4m +5-2≤2 5-2=1+ 52, 故a≥1+ 52.故a 的最小值为1+ 52,选D.(2)构造模型求最值根据求解目标的特点,通过联想已知知识构造恰当的模型(如正方形、正方体、函数、数列等)求解最值.典例10 函数y= x 2-2x +2+ x 2-6x +13的最小值为 .思路点拨 联想两点间的距离公式,构造平面直角坐标系中的一个图形模型,根据几何意义求解. 答案 13解析 将函数化为y= (x -1)2+(0-1)2+ (x -3)2+(0-2)2,则问题可以转化为在x 轴上找一点,使它到A(1,1),B(3,2)两点距离之和最小的几何模型问题.将点A(1,1)关于x 轴对称,得A'(1,-1),连接A'B 交x 轴于点P,则线段A'B 的长就是所求的最小值,即|A'B|= (1-3)2+(-1-2)2= 13.故填 13.常考点2 范围问题的6大解题妙招方法1 构建函数模型法选定一个变量建立求解目标的函数关系式,利用函数的性质得出其取值范围,这是求范围问题最为基本、应用最为广泛的方法.典例1 (1)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1,F2,两条曲线在第一象限的交点记为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1e2的取值范围是( )A.0,15B.15,35C.13,+∞ D.15,+∞(2)在锐角△ABC中,AC=6,B=2A,则BC的取值范围是.思路点拨(1)椭圆和双曲线的公共元素为半焦距c,以其为变量建立求解目标的函数关系式,然后求解;(2)求出角A的取值范围,以其为变量表示出BC,利用三角函数性质得出其范围.答案(1)C (2)(23,32)解析(1)根据已知可知|PF 2|=2c,在椭圆中,根据定义知2c+10=2a1,所以a1=c+5,则离心率e1=cc+5,在双曲线中,根据定义知10-2c=2a2,所以a2=5-c,则离心率e2=c5-c.由于P,F1,F2三点构成三角形,所以2c+2c>10,即c>52,根据10-2c=2a2>0可得0<c<5,故52<c<5,所以0<25c2-1<3,所以e1e2=c 225-c2=1252-1>13.故选C.(2)根据正弦定理,得ACsin B =BCsin A,又B=2A,所以6sin2A =BCsin A,所以BC=3cos A.由于△ABC为锐角三角形,所以B=2A<π2,即A<π4,又A+B=3A>π2,所以A>π6,所以π6<A<π4,所以22<cos A<32,所以233<1cos A<2,所以23<3cos A<32,即BC的取值范围为(23,32).方法2 分离参数法在方程有解、不等式恒成立等问题中求参数取值范围时,如果参数能够分离出来,即方程或不等式的一端为参数,另一端为某个变量的代数式,则只要研究其相应函数的性质即可根据问题的具体设问得出参数的取值范围.典例2 已知f(x)=(-x 2+x-1)e x ,g(x)=13x 3+12x 2+m,若y=f(x)与y=g(x)的图象有三个不同的交点,求实数m 的取值范围.思路点拨 函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程f(x)=g(x)有三个不同的实根,分离参数之后,即可将所求解的问题转化为直线y=-m 与某函数图象的交点问题,从而进行求解. 解析 函数y=f(x)与y=g(x)的图象有三个不同的交点等价于方程f(x)=g(x)有三个不同的实根,即-m=(x 2-x+1)e x +13x 3+12x 2有三个不同的实根,亦即直线y=-m 与函数h(x)=(x 2-x+1)e x +13x 3+12x 2的图象有三个不同的交点.对h(x)=(x 2-x+1)e x+13x 3+12x 2求导,得h'(x)=x(x+1)(e x+1),则函数h(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. 所以h(x)极大值=h(-1)=3e +16,h(x)极小值=h(0)=1, 结合图象知1<-m<3e +16,解得-3e -16<m<-1. 故实数m 的取值范围为 -3e -16,-1 .典例3 已知函数f(x)=12x 2+aln x(a∈R).当x>1时, f(x)>ln x 恒成立,求实数a 的取值范围. 思路点拨 分离参数后,转化为求函数的最值问题. 解析 依题意知f(x)-ln x>0,即12x 2+aln x-ln x>0,∴(a -1)ln x>-12x 2,∵x>1,∴ln x>0,∴a -1>-12x 2ln x, ∴a -1>-12x 2ln xmax.令g(x)=-12x 2ln x ,则g'(x)=-x ln x +12x (ln x )2,令g'(x)=0,解得x=e 12,当1<x<e 12时,g'(x)>0,g(x)在(1,e 12)上单调递增; 当x>e 1时,g'(x)<0,g(x)在(e 1,+∞)上单调递减. ∴g(x)max =g(e 1)=-e,∴a -1>-e,即a>1-e,即a 的取值范围是(1-e,+∞).方法3 参数与变量整体处理法当参数与变量交织在一起,分离参数不方便时,把参数视为常数,构成一个含参数的函数、不等式、方程等,根据问题的实际情况从整体上得出参数满足的条件,得出其取值范围.典例4 已知函数f(x)=x+3a 2x-2aln x在区间(1,2)内是增函数,则实数a的取值范围是. 思路点拨由题意知f '(x)≥0在(1,2)上恒成立,化为一元二次不等式在(1,2)上恒成立,结合函数图象分类讨论其成立时a的取值范围.答案-1,13解析 f '(x)=1-3a 2x2-2ax=x2-2ax-3a2x2.函数f(x)在区间(1,2)内是增函数等价于f '(x)≥0在(1,2)上恒成立,即x2-2ax-3a2≥0在(1,2)上恒成立.令g(x)=x2-2ax-3a2.当a≤1时,g(x)在(1,2)上单调递增,只要g(1)=1-2a-3a2≥0,解得-1≤a≤13; 当1<a<2时,只要g(a)=-4a2≥0,无解;当a≥2时,g(x)在(1,2)上单调递减,只要g(2)=4-4a-3a2≥0,即3a2+4a-4≤0,解得-2≤a≤23,与a≥2矛盾.综上可知,函数f(x)在区间(1,2)内是增函数时,a的取值范围是-1,13.方法4 数形结合法(1)直接使用数形结合法数形结合法是广泛使用的一种数学方法.在求参数范围问题中,使用数形结合的思想就是通过图形位置的变化找到满足题意的参数所需要的条件,进而得出参数的取值范围.典例5 已知函数f(x)=x2+3,x≥0,1+4x cos(2π-πx),x<0,g(x)=kx+1(x∈R),若函数y=f(x)-g(x)在x∈[-2,3]内有4个零点,则实数k的取值范围是( )A.22,113B.(22,+∞)C.22,113D.(23,4]思路点拨已知函数的零点个数求参数的取值范围,主要考查数形结合思想和分类讨论思想.本题先考虑x=0时的情形,再考虑x≠0时的情形:把函数有四个零点转化为方程有四个实根,化简,构造两个新函数,它们的图象有四个交点,画图得结论.答案 C解析当x=0时,显然有f(x)≠g(x),即x=0不是y=f(x)-g(x)的零点.当x≠0时,y=f(x)-g(x)在x∈[-2,3]内的零点个数即方程f(x)=g(x)(-2≤x≤3)的实根的个数.当0<x≤3时,有kx+1=x2+3,即k=x+2x;当-2≤x<0时,有kx+1=1+4xcos πx,即k=4cos πx.则y=f(x)-g(x)(-2≤x≤3)的零点个数等价于函数y=k与y=x+2x,0<x≤3,4cosπx,-2≤x<0的图象的交点个数,作出这两个函数的图象,如图所示,由图知2<k≤113,故选C.(2)根据几何意义构造图形给数学表达式赋予一定的几何意义,把“式”的问题转化为“几何图形”的问题,以形助数是数形结合法的一个重要方面.典例6 若不等式(x-a)2+(x-ln a)2>m对任意x∈R,a∈(0,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是( )A.-∞,12B.-∞,22C.(-∞,2)D.(-∞,2)思路点拨根据两点间的距离公式得出(x-a)2+(x-ln a)2的几何意义,然后求解.答案 A解析式子(x-a)2+(x-ln a)2的几何意义是直线y=x上的点(x,x)到曲线y=ln x上的点(a,ln a)的距离的平方.y=ln x的导函数为y'=1x ,令1x=1,得x=1,即曲线y=ln x上横坐标为1的点处的切线平行于直线y=x,此时切点(1,0)到直线y=x的距离最小,最小值为22,此即为曲线y=ln x上的点与直线y=x上点的距离的最小值,所以[(x-a)2+(x-ln a)2]min=12,不等式(x-a)2+(x-ln a)2>m对任意x∈R,a∈(0,+∞)恒成立,只需m<12,故m的取值范围是-∞,12.故选A.方法5 转化为参数与函数值比较法(1)参数与函数的最值比较求不等式恒成立、等式恒成立等问题中参数范围的主要方法之一就是转化为参数与函数最值的比较,得出参数满足的不等式,求得其范围.典例7 定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-2,当x∈(0,2]时, f(x)=x2-x,x∈(0,1), 1x,x∈[1,2],当x∈(0,4]时,t2-7t2≤f(x)≤3-t恒成立,则实数t的取值范围是( )A.[1,2]B.2,52C.1,52D.[2,+∞)思路点拨由题意知t2-72t≤f(x)min且f(x)max≤3-t. 答案 A解析易知函数f(x)在(0,2]上的值域为-14,0∪12,1.当x∈(2,4]时, f(x)=2f(x-2)-2,其中x-2∈(0,2],故函数f(x)在(2,4]上的值域为-52,-2∪[-1,0].综上可知,函数f(x)在(0,4]上的最小值为-52,最大值为1.不等式t2-7t2≤f(x)≤3-t对x∈(0,4]恒成立等价于t2-72t≤f(x)min且f(x)max≤3-t,即t2-72t≤-52且1≤3-t,即1≤t≤52且t≤2,即1≤t≤2.故实数t的取值范围是[1,2].故选A.(2)参数与函数值域的端点值比较在函数、数列问题中有些函数不存在最值,该类问题中参数值就要与值域的端点值进行比较,值得注意的是“等号”能否取得.典例8 已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,记数列1a n a n+1的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,不等式4T n<a2-a恒成立,则实数a的取值范围为.思路点拨求出4T n的范围,解不等式即可.答案(-∞,-1]∪[2,+∞)解析1a n a n+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,所以T n=121-13+13-15+…+12n-1-12n+1=121-12n+1<12,4T n<2,由4T n<a2-a,得2≤a2-a,解得a≤-1或a≥2,即所求实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[2,+∞).(3)参数与临界值比较已知函数零点个数求参数取值范围时,把函数分解为两个函数(其中一个不含参数,另一个含参数),利用数形结合法确定含参数的函数图象与不含参数的函数图象的位置,通过临界位置得出参数满足的条件,即可得出参数的取值范围.典例9 设f(x)=|lg x|,若函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,4)上有三个零点,则实数a的取值范围是( )A.0,1e B.lg22,lgeeC.lg22,e D.0,lg22思路点拨问题转化为函数y=f(x),y=ax的图象在(0,4)上有三个不同交点,作出图象,根据图象确定实数a的取值范围.答案 B解析在同一坐标系中分别作出函数y=f(x),y=ax的图象(如图),函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,4)上有三个零点等价于上述两个函数的图象在区间(0,4)上有三个交点,结合函数图象可知,只要直线y=ax的斜率a介于直线OA(A(4,2lg 2))与直线OB(B为切点)之间即可.直线OA的斜率为lg22,当x∈(1,4)时, f '(x)=lgex,设B(x0,lg x0),则直线OB的方程为y-lg x0=lgex0(x-x0),该直线过坐标原点,所以0-lg x0=lgex0(0-x0),解得x0=e,即直线OB的斜率为lgee,所以实数a的取值范围是lg22,lgee.故选B.方法6 不等式法(1)利用二次函数、二次不等式在导数中有一类问题可以化归为二次函数是否存在零点、二次不等式在某区间上恒成立等,可以利用“二次”函数问题得出参数满足的条件,求得参数的取值范围.典例10 已知|a|=2|b|,|b|≠0,且关于x的函数f(x)=13x3+12|a|x2+a·bx在R上有极值,则a与b的夹角的范围为( )A.0,π6B.π3,π C.π3,2π3D.π6,π思路点拨 f '(x)存在变号零点. 答案 B解析函数f(x)=13x3+12|a|x2+a·bx有极值的充要条件是其导数存在变号零点. f'(x)=x2+|a|x+a·b,则Δ=|a|2-4a·b>0,设a,b的夹角为θ,则4|b|2-4×2|b|·|b|·cos θ>0,即cos θ<12,由于θ∈[0,π],所以θ∈π3,π .故选B.典例11 若函数f(x)=x4-ax3+x2-2有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是. 思路点拨 f '(x)有且只有一个变号零点.答案-423,423解析 f '(x)=4x3-3ax2+2x=x(4x2-3ax+2),函数f(x)=x4-ax3+x2-2有且只有一个极值点的充要条件是函数y=4x2-3ax+2不存在变号零点,即9a2-32≤0,解得-423≤a≤423.(2)利用基本不等式基本不等式是求最值和范围问题最常用的工具之一,在使用时注意使用条件(一正、二定、三相等).典例12 若a>1,设函数f(x)=a x+x-4的零点为m,g(x)=log a x+x-4的零点为n,则1m +1n的取值范围是( )A.(3.5,+∞)B.[1,+∞)C.(4,+∞)D.(4.5,+∞)思路点拨利用指数函数与对数函数图象的特点,得出m+n=4,进行常数代换后利用基本不等式求解.答案 B解析直线y=x与直线y=4-x的交点坐标为(2,2),函数y=a x,y=log a x与直线y=4-x的交点关于点(2,2)对称,所以两个函数零点之和为4,即m+n=4,所以1m +1n=14(m+n)·1m+1n=142+nm+m n ≥14×(2+2)=1,其中当a=2时可以使m=n=2,故可以取得等号,即1m+1n的取值范围是[1,+∞).故选B.(3)建立求解目标的不等式(组)建立求解目标的不等式(组),通过解不等式(组)得出求解目标的取值范围是求解范围问题的一个基本方法,很多问题均可使用这个方法解决,如一元二次方程的实根问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题等.典例13 (1)已知实数x,y满足x≥1,x+y≤2,x-y≤2,若不等式ax-y≤3恒成立,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,4]B.-∞,32C.32,2 D.[2,4](2)双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,左顶点为A,以F为圆心,过点A的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,若|PQ|不小于双曲线的虚轴长,则该双曲线离心率的取值范围是.思路点拨(1)只要ax-y在不等式组表示的平面区域的顶点处的取值不大于3即可;(2)建立关于双曲线离心率的不等式求解即可.答案(1)B (2)(1,3]解析(1)不等式组x≥1,x+y≤2,x-y≤2表示的是平面直角坐标系中以点(1,1),(1,-1),(2,0)为顶点的三角形及其内部,由题意知,只要ax-y在上述三点处均不大于3即可,所以实数a满足不等式组a-1≤3, a+1≤3, 2a≤3,解得a≤32,即实数a的取值范围为-∞,32.故选B.(2)设F(c,0),则圆心坐标为(c,0),因为圆F过点A,所以半径为a+c,取双曲线的一条渐近线方程bx+ay=0,则圆心到该直线的距离d=b2+a2=b,则|PQ|=2(a+c)2-b2≥2b,故(a+c)2≥2b2,即c2-2ac-3a2≤0,即e2-2e-3≤0,解得-1≤e≤3,又e>1,所以所求的双曲线的离心率的取值范围是(1,3].常考点3 数列问题的5大常用技巧方法1 整体利用数列的性质等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量,解题中可以不必求出每个量,从整体上使用公式.典例1 (1)等比数列{a n}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为( )A.1B.2C.3D.5(2)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S6>S7>S5,则满足S k S k+1<0的正整数k= .思路点拨(1)可直接把a 1+a3看作一个整体,利用等比数列的性质求解公比,然后代入即可;也可直接将已知转化为首项和公比所满足的方程,求出公比后再求和.(2)利用等差数列的前n项和的性质. 答案(1)C (2)12解析(1)解法一:因为{a n}为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项,所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),故a 9+a 11=(a 5+a 7)2a 1+a 3=428=2.同理,a 9+a 11是a 5+a 7与a 13+a 15的等比中项, 所以(a 9+a 11)2=(a 5+a 7)(a 13+a 15), 故a 13+a 15=(a 9+a 11)2a5+a 7=224=1.所以a 9+a 11+a 13+a 15=2+1=3.解法二:设等比数列{a n }的公比为q, 则a 5=a 1q 4,a 7=a 3q 4, 所以q 4=a 5+a 7a 1+a 3=48=12.又a 9+a 11=a 1q 8+a 3q 8=(a 1+a 3)q 8=8× 122=2, a 13+a 15=a 1q 12+a 3q 12=(a 1+a 3)q12=8× 123=1,所以a 9+a 11+a 13+a 15=2+1=3. (2)依题意得a 6=S 6-S 5>0, a 7=S 7-S 6<0, a 6+a 7=S 7-S 5>0, 则S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6>0, S 12=12(a 1+a 12)2=12(a 6+a 7)2>0, S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7<0, 所以S 12S 13<0,即满足S k S k+1<0的正整数k=12.方法2 奇偶项分类当题中涉及(-1)n 或数列的奇数项和偶数项具有不同的规律时,按照n 为奇数和偶数分别求解,最后再整合求解结果.典例2 (1)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1·a n =2n (n∈N *),则S 2 016= . (2)若数列{a n }的通项公式为a n =22n+1,令b n =(-1)n-1·4(n +1)log 2a n log 2a n +1,则数列{b n }的前n 项和T n = .思路点拨(1)由已知数列的递推关系,利用累加法求出数列的通项公式,然后利用分组求和法进行求和.(2)分n为奇数和偶数分别求和.答案(1)3×21 008-3 (2)13-(-1)n12n+3解析(1)由a n+1·a n=2n,得a n+1·a n+2=2n+1,则a n+1·a n+2a n·a n+1=2,即a n+2a n=2,所以数列a1,a3,a5,…,a2k+1,…是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2k,…是以a2=2为首项,2为公比的等比数列,则S2 016=(a1+a3+a5+…+a2 015)+(a2+a4+a6+…+a2 016)=1-210081-2+2(1-21008)1-2=3×21008-3.(2)由题意得b n=(-1)n-14(n+1)log2a n log2a n+1=(-1)n-14(n+1)(2n+1)(2n+3)=(-1)n-112n+1+12n+3,当n为偶数时,T n=13+15-15+17+…+12n-1+12n+1-12n+1+12n+3=13-12n+3,当n为奇数时,T n=13+15-15+17+…-12n-1+12n+1+12n+1+12n+3=13+12n+3,所以T n=13-(-1)n12n+3.方法3 分裂通项裂项相消法是数列求和的基本方法之一,在通项为分式的情况下,注意尝试裂项,裂项的基本原则是a n=f(n)-f(n+1).典例3 已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=3,若数列{S n+1}是公比为4的等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=a n+1(a n+1-3)·S n+1,n∈N*,求数列{b n}的前n项和T n.思路点拨(1)先求S n,再利用a n=S n-S n-1(n≥2)求a n;(2)把通项分解为两项的差,再消项求和.解析(1)由题意知S n+1=(S1+1)·4n-1=4n,所以S n=4n-1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=3·4n-1,且a1=3满足上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=3·4n-1.(2)b n=a n+1(a n+1-3)·S n+1=4n(4n-1)(4n+1-1)=1 314n-1-14n+1-1,所以T n=b1+b2+…+b n=13×141-1-142-1+13×142-1-143-1+…+13×14n-1-14n+1-1=1 314-1-14-1=19-13(4-1).方法4 构造新数列当出现a n=a n-1+m(n≥2)时,构造等差数列;当出现a n=xa n-1+y(n≥2)时,构造等比数列.典例4 (1)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-4a n=3×2n+1,求数列{a n}的通项公式.(2)已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=a na n+3(n∈N*),求数列{a n}的通项公式.思路点拨(1)(2)构造新数列求解即可.解析(1)由a n+1-4a n=3×2n+1得,a n+12n+1-2a n2n=3,设b n=a n2n,则b n+1=2b n+3,设b n+1+t=2(b n+t),所以2t-t=3,解得t=3,所以b n+1+3=2(b n+3),所以b n+1+3b n+3=2,又b1+3=a12+3=1+3=4,所以数列{b n+3}是以4为首项,2为公比的等比数列,所以b n+3=4×2n-1=2n+1,所以b n=2n+1-3,所以a n=b n·2n=(2n+1-3)×2n=22n+1-3×2n.(2)因为a n+1=a na n+3(n∈N*),所以1a n+1=3a n+1,设1a n+1+t=31a n+t,所以3t-t=1,解得t=12,所以1 a n+1+12=31a n+12,又1a1+12=1+12=32,所以数列1a n+12是以32为首项,3为公比的等比数列,所以1 a n +12=32×3n-1=3n2,所以a n=23-1.方法5 归纳推理——周期性解数列问题时要注意归纳推理的应用,通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律.典例5 在数列{a n}中,已知a1=1,a n+1+(-1)n a n=cos[(n+1)π],记S n为数列{a n}的前n项和,则S2015= .思路点拨根据递推式计算数列的前面若干项,发现规律,然后求S 2 015的值.答案-1 006解析由a 1=1,a n+1+(-1)n a n=cos[(n+1)π],得a2=a1+cos 2π=1+1=2,a3=-a2+cos3π=-2-1=-3,a4=a3+cos 4π=-3+1=-2,a5=-a4+cos 5π=2-1=1,……由此可知,数列{a n}是以4为周期的周期数列,且a1+a2+a3+a4=-2,所以S2 015=503(a1+a2+a3+a4)+a2 013+a2 014+a2 015=503×(-2)+a1+a2+a3=-1 006.常考点4 立体几何问题的3大妙解方法1 模型法(1)模型法判断空间位置关系在进行空间线面位置关系的分析判断时,借助几何体模型能起到非常直观的作用,提高解题的准确率.典例1 已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题为真命题的序号是( )①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β;②若l⊂α,l∥β,α∩β=m,则l∥m;③若l∥α,α∥β,则l∥β;④若l⊥α,l∥m,α∥β,则m⊥β.A.①④B.①③C.②④D.②③思路点拨长方体中存在各种平行、垂直关系,以长方体为模型,结合选项,考虑线面位置的各种可能,作出判断.答案 C解析命题①,如图(1),显然不正确,排除选项A,B,根据选项C,D可知②一定正确,对于命题③,如图(2),有直线l在平面β内的可能,所以命题③不正确.综上可知,选C.(2)模型法还原几何体空间几何体均可以看作一个更大范围的几何体的一个部分,根据题目的实际情况,判断其可能是哪个几何体的一个部分,利用该几何体为模型,可以较为方便地判断出三视图表示的空间几何体.典例2 (1)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16B.13C.12D.23(2)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中最大的面积是( )A.2B.22C.3D.23思路点拨(1)(2)根据三视图可以判断该空间几何体都是正方体的一部分,先画出正方体,再根据三视图确定空间几何体.答案(1)A (2)D解析(1)该三棱锥的直观图如图,其体积为正方体体积的16,即三棱锥的体积为16×1×1×1=16.故选A.(2)如图,所求最大面积为△ABC的面积,为34×(2)2=2.故选D.方法2 割补法(1)分割法求空间几何体的体积把一个不规则的几何体分割成几个规则的几何体,求出每个规则几何体的体积,然后进行体积求和即可.典例3 如图所示,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.思路点拨该几何体为不规则几何体,可将其分割为规则几何体后求体积.解析解法一:如图(1),连接EB,EC,则该多面体的体积V=V 四棱锥E-ABCD+V三棱锥F-EBC.四棱锥E-ABCD的体积V四棱锥E-ABCD=13×42×3=16.∵AB=2EF,EF∥AB,∴S△EAB=2S△BEF.连接AC,有V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-EFB=12V三棱锥C-ABE=12V三棱锥E-ABC=12×12V四棱锥E-ABCD=4.故该多面体的体积V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥F-EBC=16+4=20.解法二:如图(2),设G,H分别为AB,DC的中点,连接EG,EH,HG,则EG∥FB,EH∥FC,GH∥BC,得三棱柱EGH-FBC和四棱锥E-AGHD.由题意得V四棱锥E-AGHD=13S矩形AGHD×3=13×4×2×3=8.连接CE,BE,BH,则V三棱柱EGH-FBC=3V三棱锥E-BGH=3×12V四棱锥E-GBCH=32V四棱锥E-AGHD=32×8=12.故该多面体的体积V=V四棱锥E-AGHD+V三棱柱EGH-FBC=8+12=20.(2)补形法求空间几何体的体积当求某些几何体的体积较困难时,可以将它放置在我们熟悉的几何体中,如正方体、长方体等对称性比较好的几何体,以此来求几何体的体积.常见情况如下:①将正四面体补为正方体,如图所示.②将对棱长相等的三棱锥补成长方体,如图所示.③将三条侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体或正方体,如图所示,PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC.④将三棱锥补成三棱柱或平行六面体,如图(1)(2)所示.⑤将三棱柱补成平行六面体,如图所示.⑥将台体补成锥体,如图所示.典例4 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.30思路点拨可将该几何体补为三棱柱后再求体积.答案 C解析由三视图可知,该几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的(如图所示).通过补形得到的三棱柱的体积为12×3×4×5=30,而补上的三棱锥的体积为13×12×3×4×3=6,所以该几何体的体积为30-6=24.方法3 函数法涉及空间几何体的体积、面积的最值问题时,常利用函数法求解,将求最值的量表示为某变量的函数,利用函数性质求最值,特别要注意变量的取值范围,避免求解错误.典例5 如图,在四面体ABCD中,AB=CD=2,AD=BD=3,AC=BC=4,点E,F,G,H分别在棱AD,BD,BC,AC上,若直线AB,CD都平行于平面EFGH,则四边形EFGH面积的最大值是( )A.12 B. 22 C.1 D.2 答案 C解析 ∵直线AB∥平面EFGH,AB ⊂平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=GH,∴HG∥AB.同理:EF∥AB,FG∥CD,EH∥CD,∴FG∥EH,EF∥HG,故四边形EFGH 为平行四边形.利用AD=BD,AC=BC,易证得AB⊥CD,∴EF⊥FG,所以四边形EFGH 为矩形.设BF∶BD=BG∶BC=FG∶CD=x(0≤x≤1),则FG=2x,HG=2(1-x),∴S 四边形EFGH =FG×HG=4x(1-x)=-4 x 2-x +14-14 =-4 x -12 2+1,根据二次函数的性质可知,当x=12时,S 四边形EFGH 取最大值,为1,故选C.常考点5 解决解析几何问题的7种通法方法1 中点问题点差法直线y=kx+m 与圆锥曲线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,其中点为M(x 0,y 0),这类问题最常用的方法是“点差法”,即A,B 在圆锥曲线上,坐标适合圆锥曲线方程,得两个方程作差,通过分解因式,然后使用中点坐标公式、两点连线的斜率公式建立求解目标方程,解方程解决问题. 典例1 已知椭圆E:x 2a +y 2b =1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E 的方程为( ) A.x 245+y 236=1 B.x 236+y 227=1 C.x 227+y 218=1 D.x 218+y 29=1 答案 D解析 由题意知直线AB 的斜率k=0-(-1)3-1=12, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 x 12a +y 12b =1, ①x 22a +y 22b =1, ②①-②整理得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x2y 1+y 2,即k=-b 2a 2·2-2,∴b 2a 2=12.又a 2-b 2=c 2=9,∴a 2=18,b 2=9.。
全国名校高考数学优质学案(附详解)专题2.2.1综合法和分析法(2)
2.2.1 综合法和分析法（二）
复习引入
综合法 一般地，利用已知条件和某些数学 定义、定理、公理等，经过一系列的推 理论证，最后推导出所要证明的结论成 立，这种证明方法叫做综合法.
综合法可用框图表示为：
P Q1 Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
2 2 2 2 2 2
课堂小结
分 析 法
一般地，从要证明的结论出发，逐 步寻求使它成立的成分条件，直至最后， 把要证明的结论归结为判定一个明显的 成立的条件（已知条件、定理、定义、 公理等）.这种证明的方法叫做分析法.
Q P1 P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的条件
课后作业
复习引入
ab ≥ ab (a 0, b 0). 引例. 证明： 2
新课讲授
分 析 法
一般地，从要证明的结论出发，逐 步寻求使它成立的成分条件，直至最后， 把要证明的结论归结为判定一个明显的 成立的条件（已知条件、定理、定义、 公理等）.这种证明的方法叫做分析法. 分析法可用框图表示为：
Q P1 P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的条件
新课讲授
例1. 求证： 3 7 2 5 .
新课讲授
例2.如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥ BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过 E作SC的垂线，垂足为F.求证AF⊥SC. S
E
F C
B
A
课堂练习
1. 求证： 6 2. 已知： 0 a ，证明 8. 2 a 1 2a
课堂练习
3. 已知 a ， b， c 成等差数列， 1 1 1 求证： ， ， 也成等差数列. bc ca ab
弦中点问题
方程．
（3）过点 A（2，1）引椭圆割线，求截得的弦的中
点轨迹方程；
2、交点思想 交点问题 （形）
方程（组）的解问题（数）
fy(=x，kxy＋)=m0＝＝＞ ax2＋bx＋c＝0
x 0= 中点
y 0=
x1＋x2 2
y1＋y2 2
韦达定理x0 = -2ba y0 =kx0＋m
弦长＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2来自弦长＝⊿ |a|
1＋k2
＝ 1＋k2| x1－x2|＝ 1＋k12 | x1－x2|
例、已知椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 交于 A，B
两点. |AB|=2 2 且 AB 中点 M 与椭圆中心连线的斜
率为
2 2
时，求椭圆的方程.
①“点差法”的要点是巧代斜率和中点坐标，
将 xy11－ －xy22，
x1＋x2，
y1＋y2 视为整体；
②“点差法”适用于：平行弦的中点轨迹；过定点的弦的 中点轨迹；过定点且被定点平分的弦所在的直线方程．
例：已知椭圆
x2 2
+ y2 = 1．
（1）求斜率为 2 的平行弦的中点的轨迹方程；
（2）求过点 P（12，21）且被 P 平分的弦所在的直线
全国名校高二数学优质学案专题汇编（附详解）
交点法 弦中点问题
1、点差法：
设曲线 f (x，y)＝0 上两点 A（x1，x2），B（y1，y2），弦
AB 的中点（x0，x0）．则
由f f
((xx12， ，yy12))＝ ＝00＝＝＞m（x1＋x2）＋n（y1＋y2）yx11－ －yx22＝0．
全国名校高中数学优质学案汇编(附详解)专题3.2.1抛物线及其标准方程
3.2.1 抛物线及其标准方程【学习目标】(1)掌握抛物线的定义．(2)会推导抛物线的标准方程．(3)初步掌握确定抛物线的标准方程的方法．【重点、难点】重点：抛物线的定义和标准方程．难点：抛物线的标准方程的推导．【学法指导】类比椭圆标准方程的求法，根据抛物线的定义求出抛物线的标准方程及p的几何意义【预习感知】通过对课本的自学研读，试完成下面问题1.同学们自主推导抛物线的标准方程（推导是必须有化简过程）2.抛物线的标准方程y2＝－2px(p x2＝－2py(p【预习检测】2．抛物线y 2＝8px (p >0)，F 为焦点，则p 表示( ) A ．F 到准线的距离 B ．F 到准线距离的14 C ．F 到准线距离的18 D ．F 到y 轴的距离[答案] B[解析] 设y 2＝2mx (m >0)，则m 表示焦点到准线的距离，又2m ＝8p ，∴p ＝m4. 3．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝2， ∴x 0＝74，∴y 0＝±72.4．一动点到点(3,0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线一支 D ．抛物线[答案] D5．(2014·新课标Ⅰ文)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8[答案] A[解析] 本题考查抛物线的定义及标准方程． 由抛物线的定义知：|AF |＝x 0＋14＝54x 0，∴x 0＝1.6．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为( )A ．48B ．56C ．64D ．72[答案] A[解析] 联立{ y 2＝4xy ＝x －3解得A (1，－2)，B (9,6)， 则|AP |＝2，|BQ |＝10，|PQ |＝8， S 梯形＝(2＋10)·82＝48.【合作探究】（根据抛物线的定义，标准方程，及p 的几何意义，试探究解决下列问题，例2有些难度，希望大家认真思考）例1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M (3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．[解析] 解法一：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0，由题设可得⎩⎨⎧m 2＝6pm 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 22＝5 解得{ p ＝m ＝26或{ p ＝m ＝－26.故抛物线方程为y 2＝8x ，m 的值为±2 6.解法二：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2.根据抛物线定义，点M 到焦点的距离等于5，也就是点M 到准线的距离等于5， 则3＋p2＝5，∴p ＝4， 因此抛物线方程为y 2＝8x .又点M (3，m )在抛物线上，于是m 2＝24， ∴m ＝±2 6.例2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)、A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． [分析] 根据两直线倾角互补，k P A ＝－k PB ，利用斜率公式求解． [解析] (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px . ∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ·1，得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ．则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)．∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB ． ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1.∴y 1＋2＝－(y 2＋2)．∴y 1＋y 2＝－4.由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②由①－②得直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－44＝－1(x 1≠x 2)．[总结反思] 解析几何问题要根据题中信息，结合题目特征，通过设而不求的方法进行解答． 【课堂检测】1．设抛物线y 2＝4x 的焦点弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝________________.[答案] 8[解析] 设焦点为F ，由p ＝2，利用焦半径公式， 得|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p2)＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.2．抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为________________；若P 为抛物线y 2＝8x 上一点，点M 的坐标是(4,2)，则|MP |＋|FP |的最小值为________________．[答案] (2,0) 6[解析] y 2＝2×4x ，所以焦点坐标为(2,0)．|PF |等于P 点到抛物线y 2＝8x 的准线的距离d ，所以|PF |＋|PM |的最小值等于M 到抛物线准线的距离d ′＝4＋2＝6.3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝______________.[答案] 2[解析] 本小题主要考查抛物线的性质、弦长等基础知识． 直线AB ：y ＝x －p2代入抛物线y 2＝2px ， 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，∴3p ＋p ＝8，∴p ＝2. 【课后训练】1．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能[答案] B[解析] 如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，则MD ＝MF ，ON ＝OF ，∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM 2＝DM 2＝MF2，∴这个圆与y 轴相切． 2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|P 1F |＋|P 2F |＝|P 3F |B ．|P 1F |2＋|P 2F |2＝|P 3F |2C ．2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |D ．|P 2F |2＝|P 1F |·|P 3F | [答案] C[解析] 因为P 1、P 2、P 3在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，两边同时加上p ，得2(x 2。
不等关系与不等式
am a am
a am a am (ii) > ; < (b-m>0). b bm b bm
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1.已知a>b,c>d,且c,d不为0,那么下列不等式一定成立的是 ( D ) A.ad>bc B.ac>bd
C.a-c>b-d
D.a+c>b+d
答案 D 由不等式的性质知,a>b,c>d⇒a+c>b+d.
全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解）
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第一节 不等关系与不等式
总纲目录
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总纲目录 教材研读
1.两个实数比较大小的方法 2.不等式的基本性质 3.不等式的一些常用性质
考点突破
考点一 比较代数式的大小 考点二 不等式的性质 考点三 不等式性质的应用
教材研读
栏目索引
教材研读
1.两个实数比较大小的方法
同向可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 可开方性
a b c d ⇒ a b 0 c d 0 ⇒
⇒ ⇒
a>b>0⇒
n
a >b
n
n
n
(n∈N,n≥1) 同正
a>b>0⇒ > (n∈N,n≥2)
a
b
教材研读
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3.不等式的一些常用性质
(1)倒数性质
2
a2+b2<b.
考点突破
栏目索引
考点突破
考点一
(
比较代数式的大小
典例1 (1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是 ) B.M>N C.M=N D.不确定 .
全国名校高中数学优质学案汇编(附详解)专题3.3.1双曲线及其标准方程导学案
(2)双曲线的焦点和焦距
双曲线定义中的两个定点F1、F2叫作________________，两焦点间的距离叫作______________．
2．双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F1__________，F2__________.
6．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离是 ，则a＋b＝________________.
二．预习检测
1．双曲线 － ＝1的焦距为()
A．3 B．4 C．3 D．4
2．已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为()
A．1B． C．2D．4
3．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是()
A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线
3.3.1双曲线及其标准方程
班级：姓名：小组：
【学习目标】
(1)了解双曲线的定义和标准方程．
(2)会推导双曲线的标准方程．
【重点难点】
重点：求双曲线的标准方程．
难点：应用双曲线的定义及标准方程解决简单的应用问题．
【学法指导】
有了椭圆的学习体验，在学习双曲线的定义及标准方程的推导时，通过类比来探究，充分发挥学生的主体作用，并通过引导学生比较椭圆与双曲线定义与标准方程的区别，深化对双曲线的认识，从而突出重点，化解难点．
C．充分必要条件D．既不充分也不必要件2．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线C上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线C的方程为()
全国名校高中数学优质学案汇编(附详解)专题3.1.1椭圆及其标准方程
3.1.1 椭圆及其标准方程班级： 姓名： 小组：【学习目标】(1)掌握椭圆的定义．(2)会推导椭圆的标准方程．(3)初步掌握求椭圆标准方程的方法． 【重点、难点】重点：椭圆的定义和标准方程． 难点：椭圆的标准方程的推导． 【学法指导】利用椭圆的定义推到椭圆的标准方程；特别要注意焦点的位置及其标准方程的不同。
【预习感知】1．椭圆的概念：平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于________(大于|F 1F 2|)的点的集合叫作________．这两个定点叫作椭圆的________，两焦点间的距离叫作椭圆的________．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是__________，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时________轨迹．2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为____________，焦点坐标为__________，焦距为________，其中c 2＝a 2－b 2；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________．答案：1．常数 椭圆 焦点 焦距 线段F 1F 2 不存在2.x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) 2c y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a>b>0) 3. 推到椭圆的标准方程。
【预习检测】1．已知椭圆x 216＋y 27＝1上一点P ，它到左焦点F 1的距离为2，则它到右焦点的距离为( )【解析】 由定义|PF 1|＋|PF 2|＝8，知|PF 2|＝6. 【答案】 B2．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点(52，－32)，则该椭圆的方程是( )A.y 28＋x 24＝1 B ．y 210＋x 26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D ．y 26＋x 210＝1【解析】 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则有⎩⎨⎧254a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋4，∴{ a 2＝10，b 2＝6.故选D ．【答案】 D3．若方程x 2k －4＋y 29－k ＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．【解析】 由题意得{ k －4＞0，－k ＞0，k －4≠9－k ，解得：4＜k ＜132或132<k <9. 【答案】 (4，132)∪(132，9) 【自主探究】例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别为(0，－2)、(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)． [解析] (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)， ∵c ＝4,2a ＝10，∴b 2＝a 2－c 2＝9， 所以所求的椭圆方程为x 225＋y 29＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆定义知 2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋(－32)2＋(52－2)2＝210.即a ＝10，又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝6， 所以所求椭圆的方程为y 210＋x 26＝1.例2．求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12的椭圆的标准方程．[解析] 设所求的椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0且A ≠B )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5B ＝4∴所求方程为5x 2＋4y 2＝1，即椭圆的标准方程为y 214＋x215＝1.方法小结1．椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的正常数． 2．运用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：(1)定位：确定椭圆的焦点在x 轴还是y 轴上，从而设出相应的标准方程的形式． (2)定量：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组，求出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．【课堂检测】1．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝______________；∠F 1PF 2的大小为________________．[答案] 2 120°[解析] 考查椭圆定义及余弦定理．由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝16＋4－2816＝－12. ∴∠F 1PF 2＝120°.2．动点P 到两定点A (0，－2)、B (0,2)距离之和为8，则点P 的轨迹方程为________________．[答案] y 216＋x 212＝1[解析] ∵|AB |＝4<8，∴P 点轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，∴c ＝2，又由条件知a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝12，∵焦点在y 轴上，∴椭圆方程为y 216＋x 212＝1.【课后训练】1．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是( )A ．b 2B ．bcC ．abD ．ac[答案] B[解析] S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y A －y B |，当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b ． ∴△ABF 面积的最大值为bc ．2．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A ．95B ．3C ．977D ．94[答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7. ∵△PF 1F 2为直角三角形．且b ＝3＞7＝c ． ∴P 是横坐标为±7的椭圆上的点．设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94. 3．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m ) D ．(±n －m ，0)[答案] C[解析] 椭圆方程mx 2＋ny 2＋mn ＝0可化为x 2－n ＋y2－m＝1，∵m <n <0，∴－m >－n ，椭圆的焦点在y 轴上，排除B 、D ，又n >m ，∴m －n 无意义，排除A ，故选C ．4．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍[答案] A[解析] 不妨设F 1(－3,0)，F 2(3,0)，由条件知P (3，±32)，即|PF 2|＝32，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43，|PF 1|＝732，|PF 2|＝32，即|PF 1|＝7|PF 2|. 二、填空题5．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________________. [答案] 3[解析] 本题考查椭圆的定义及整体代换的数学思想． 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，又∵PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3.6．已知方程x 2k ＋1＋y 23－k ＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________________[答案] 1＜k ＜3[解析] 因为方程x 2k ＋1＋y 23－k ＝1，k ∈R 表示焦点在x 轴上的椭圆.⎩⎪⎨⎪⎧3－k ＞0k ＋1＞0k ＋1＞3－k .⇒1＜k ＜3.。
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全国名校高中数学优质学案13难点经典讲解汇编难点1 构造法解f(x)与f'(x)均存在的问题高考中有一难点,即不给出具体的函数解析式,而是给出函数f(x)及其导数满足的条件,需要据此条件构造抽象函数,再根据条件得出构造函数的单调性,应用单调性解决问题的题目,该类题目具有一定的难度,下面总结其基本类型及其处理方法.类型一f'(x)g(x)±f(x)g'(x)型典例1 (1)设f '(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数, f(-1)=0,当x>0时,xf '(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)(2)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时, f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是.答案(1)A (2)(-∞,-3)∪(0,3)解析(1)令g(x)=(),则g'(x)= '()-(),由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0,∴g(1)=()=0,∴当x∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.又∵f(x)是奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上,所求x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).(2)借助导数的运算法则, f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0⇔[f(x)g(x)]'>0,所以函数y=f(x)g(x)在(-∞,0)上单调递增.又由分析知函数y=f(x)g(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称,且过点(-3,0),(0,0),(3,0).数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).点拨(1)对于不等式f '(x)+g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x);(2)对于不等式f '(x)-g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x);特别地,对于不等式f '(x)>k(或<k)(k≠0),构造函数F(x)=f(x)-kx.(3)对于不等式f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x);(g(x)≠0);(4)对于不等式f '(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=()()(5)对于不等式xf '(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x);(6)对于不等式xf '(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=()(x≠0).1.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意的x∈R都有f'(x)<,则不等式f(x2)>的解集为( )A.(1,2)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(-1,1)2.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf '(x)+f(x)≤0.对任意正数a,b,若a<b,则必有( )A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)3.已知f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数,且f(x)>xf '(x)恒成立,则x2f-f(x)>0的解集为.类型二xf '(x)±nf(x)型典例2 设函数f(x)在R上的导函数为f '(x),且2f(x)+xf '(x)>x2,则下列不等式在R上恒成立的是( )A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)>xD.f(x)<x答案 A解析解法一:令g(x)=x2f(x)-x4,则g'(x)=2xf(x)+x2f '(x)-x3=x[2f(x)+xf '(x)-x2],当x>0时,g'(x)>0,∴g(x)>g(0),即x2f(x)-x4>0,从而f(x)>x2>0;当x<0时,g'(x)<0,∴g(x)>g(0),即x2f(x)-x4>0,从而f(x)>x2>0;当x=0时,由题意可得2f(0)>0,∴f(0)>0.综上可知, f(x)>0.解法二:∵2f(x)+xf '(x)>x2,∴令x=0,则f(0)>0,故可排除B,D,不妨令f(x)=x2+0.1,则已知条件2f(x)+xf '(x)>x2成立,但f(x)>x不一定成立,故C也是错误的,故选A.点拨(1)对于xf '(x)+nf(x)>0型,构造F(x)=x n f(x),则F'(x)=x n-1[xf '(x)+nf(x)](注意对x n-1的符号进行讨论),特别地,当n=1时,xf '(x)+f(x)>0,构造F(x)=xf(x),则F'(x)=xf '(x)+f(x)>0;(2)对于xf '(x)-nf(x)>0(x≠0)型,构造F(x)=(),则F'(x)= '()-()(注意对x n+1的符号进行讨论),特别地,当n=1时,xf '(x)-f(x)>0,构造F(x)=(),则F'(x)= '()-()>0.1.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x),其导函数为f '(x),对任意正实数x满足xf '(x)>-2f(x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(x)<g(1)的解集是( )A.(-∞,1)B.(-1,1)C.(-∞,0)∪(0,1)D.(-1,0)∪(0,1)2.f(x)在(0,+∞)上的导函数为f'(x),xf'(x)>2f(x),则下列不等式成立的是( )A.2 0172f(2 018)>2 0182f(2 017)B.2 0172f(2 018)<2 0182f(2 017)C.2 017f(2 018)>2 018f(2 017)D.2 017f(2 018)<2 018f(2 017)类型三λf(x)±f '(x)(λ为常数)型典例3 (1)已知f(x)为R上的可导函数,且∀x∈R,均有f(x)>f '(x),则有( )A.e2 019f(-2 019)<f(0), f(2 019)>e2 019f(0)B.e2 019f(-2 019)<f(0), f(2 019)<e2 019f(0)C.e2 019f(-2 019)>f(0), f(2 019)>e2 019f(0)D.e2 019f(-2 019)>f(0), f(2 019)<e2 019f(0)(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+2f '(x)>0恒成立,且f(2)=(e为自然对数的底数),则不等式e x f(x)->0的解集为.答案(1)D (2)(2,+∞)解析(1)构造函数h(x)=(),则h'(x)= '()-()<0,即h(x)在R上单调递减,故h(-2 019)>h(0),即(-)->()⇒e2 019f(-2 019)>f(0);同理,h(2 019)<h(0),即f(2 019)<e2 019·f(0),故选D. (2)由f(x)+2f '(x)>0得2() '()>0,可构造h(x)=·f(x),则h'(x)=[f(x)+2f'(x)]>0,所以函数h(x)=·f(x)在R上单调递增,且h(2)=e·f(2)=1.不等式e x f(x)->0等价于f(x)>1,即h(x)>h(2)⇒x>2,所以不等式e x f(x)->0的解集为(2,+∞).点拨(1)对于不等式f'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=e x f(x);(2)对于不等式f'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=();(3)对于不等式f'(x)+kf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=e kx f(x);(4)对于不等式f'(x)-kf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=().已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f'(x),满足f'(x)<f(x),且y=f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式f(x)<e x的解集为.难点2 构造辅助函数求解导数问题1.“作差(商)法”构造函数当试题中给出简单的基本初等函数,例如f(x)=x3,g(x)=ln x,要证明在某个取值范围内不等式f(x)≥g(x)成立时,可以构造函数h(x)=f(x)-g(x)或φ(x)=g(x)-f(x),证明h(x)min≥0或φ(x)max≤0即可,在求最值的过程中,可以利用导数.此外,在能够说明g(x)>0(f(x)>0)的前提下,也可以构造函数h(x)=()()()()(),证明h(x)min≥1(0<φ(x)max≤1).典例1 已知函数f(x)=e x-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2<e x;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.解析(1)由f(x)=e x-ax得f '(x)=e x-a,则f '(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=e x-2x, f '(x)=e x-2,令f '(x)=0,得x=ln 2.所以,当x<ln 2时, f '(x)<0, f(x)单调递减;当x>ln 2时, f '(x)>0, f(x)单调递增.故当x=ln 2时, f(x)有极小值且极小值为f(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4, f(x)无极大值.(2)证明:令g(x)=e x-x2,则g'(x)=e x-2x,由(1)得g'(x)≥f(ln 2)>0,所以g(x)为增函数,因此,当x>0时,g(x)>g(0)=1>0,即x2<e x.(3)证明:首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有x3<e x.证明如下:令h(x)=x3-e x(x∈(0,+∞)),则h'(x)=x2-e x,由(2)知,当x>0时,x2<e x,从而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以h(x)<h(0)=-1<0,即x3<e x.取x0=,当x>x0时,有x2<x3<e x,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x. 点拨在本例第(2)问中,发现“x2,e x”具有基本初等函数的基因,故选择对要证明的“x2<e x”构造函数,得到“g(x)=e x-x2”;第(3)问中,必须结合第(2)问的结论,证明“x3<e x”,于是构造函数“h(x)=x3-e x”.函数f(x)=ln x+x2+ax(a∈R),g(x)=e x+x2,若对于任意的x∈(0,+∞),总有f(x)≤g(x)成立.求实数a的取值范围.2.“拆分法”构造函数当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时,如果对其直接求导,得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉.这时可以将原不等式合理拆分为f(x)≤g(x)的形式,进而证明f(x)max≤g(x)min即可,此时注意配合使用导数工具.在拆分的过程中,一定要注意合理性的把握,一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准.典例2 设函数f(x)=ae x ln x+-,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明: f(x)>1.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=ae x+-(-),依题意得(),'(),解得a=1,b=2.(2)证明:由(1)知f(x)=e x ln x+-,从而f(x)>1等价于xln x>xe-x-.构造函数g(x)=xln x(x>0),则g'(x)=1+ln x,所以当x∈,时,g'(x)<0,当x∈,∞时,g'(x)>0,故g(x)在,上单调递减,在,∞上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-.构造函数h(x)=xe-x-(x>0),则h'(x)=e-x(1-x),所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,故h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.点拨对于第(2)问的证明,若直接构造函数h(x)=e x ln x+-(x>0),求导以后不易分析,因此先将不等式“e x ln x+->1”合理拆分为“xln x>xe-x-”,再分别对左右两边构造函数,进而达到证明原不等式的目的.(2017山东,20,13分)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3, f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.3.“换元法”构造函数典例3 已知函数f(x)=ax2+xln x(a∈R)的图象在点(1, f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直.(1)求实数a的值;(2)求证:当n>m>0时,ln n-ln m>-.解析(1)因为f(x)=ax2+xln x,所以f '(x)=2ax+ln x+1,因为切线与直线x+3y=0垂直,所以切线的斜率为3,所以f '(1)=3,即2a+1=3,故a=1.(2)证明:要证ln n-ln m>-,即证ln>-,只需证ln-+>0.令=x,由已知n>m>0,得>1,即x>1,构造函数g(x)=ln x-+x(x>1),则g'(x)=++1.因为x∈(1,+∞),所以g'(x)=++1>0,故g(x)在(1,+∞)上单调递增.所以g>g(1)=0,即证得ln-+>0成立,所以命题得证.点拨将待证不等式等价变形为“ln -+>0”后,观察可知,对“”进行换元,进而构造函数“g(x)=ln x-+x(x>1)”来证明不等式,简化了证明过程中的运算.已知函数f(x)=x2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使t=f(s);(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当t>e2时,有<()<.4.二次(或多次)构造函数典例4 (2017课标全国Ⅱ,21,12分)设函数f(x)=(1-x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时, f(x)≤ax+1,求a的取值范围.解析(1)f '(x)=(1-2x-x2)e x.令f '(x)=0,得x=-1-或x=-1+.当x∈(-∞,-1-时, f '(x)<0;当x∈(-1-时, f '(x)>0;当x∈(-1+, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)上单调递减,在(-1-,-1+)上单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)e x.当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)e x,h'(x)=-xe x<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)单调递减,而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.当0<a<1时,设函数g(x)=e x-x-1,g'(x)=e x-1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)单调递增,而g(0)=0,故e x≥x+1.当0<x<1时, f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=--,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1. 当a≤0时,取x0=-,则x0∈(0,1), f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.综上,a的取值范围是[1,+∞).已知函数f(x)=ex-xln x,g(x)=e x-tx2+x,t∈R,其中e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若g(x)≥f(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求t的取值范围.5.“转化法”构造函数典例5 设函数f(x)=ln x+,m∈R.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的最小值;(2)讨论函数g(x)=f '(x)-零点的个数;<1恒成立,求m的取值范围.(3)若对任意的b>a>0,()-()-解析(1)当m=e时, f(x)=ln x+(x>0),则f '(x)=-,故当x∈(0,e)时, f '(x)<0, f(x)在(0,e)上单调递减,当x∈(e,+∞)时, f '(x)>0, f(x)在(e,+∞)上单调递增,故当x=e时, f(x)取到极小值,也即最小值, f(e)=ln e+=2,故f(x)的最小值为2.(2)g(x)=f '(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x≥0),则φ'(x)=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减,故x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,故φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象可知:①当m>时,函数g(x)无零点;②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点.<1等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立.(*)(3)对任意的b>a>0,()-()-设h(x)=f(x)-x=ln x+-x(x>0),故(*)等价于h(x)在(0,+∞)上单调递减.由h'(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,得m≥-x2+x=--+(x>0)恒成立,故m≥,当且仅当x=时等号成立,故m的取值范围为,∞.<1”等价转化为“f(b)-b<f(a)-a”,进而点拨本例第(3)问中,利用不等式的性质,将“()-()-构造函数“h(x)=f(x)-x”,通过研究函数的单调性求解实数m的取值范围.已知函数f(x)=x2+(1-a)x-aln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a<0,若∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.难点3 借助“草图”求解函数压轴题高考函数解答题一般是高考数学试卷的压轴题,其难度达到整份试卷的顶峰,相当一部分学生不会做或只做了第一问而不敢问津第二问或第三问.仔细琢磨、潜心思考问题形成的原因,难道学生不会求导?学生不会运用导数求解其单调性或最值?不会分类讨论?也许都不是.事实上,最主要是学生缺乏画草图的意识,想不到借助草图引领自己到达成功的彼岸.典例1 设函数f(x)=e mx+x2-mx.(1)证明: f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;(2)若对于任意的x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.解析(1)证明: f '(x)=m(e mx-1)+2x.若m≥0,则当x∈(-∞,0)时,e mx-1≤0, f '(x)<0;当x∈(0,+∞)时,e mx-1≥0, f '(x)>0.若m<0,则当x∈(-∞,0)时,e mx-1>0, f '(x)<0;当x∈(0,+∞)时,e mx-1<0, f '(x)>0.所以, f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)由(1)知,对任意的m, f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意的x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1成立的充要条件是()-()-, (-)-()-,由f(1)-f(0)≤e-1,得e m-m≤e-1,构造函数g(m)=e m-m-e+1,求导得g'(m)=e m-1,令g'(m)=0,得m=0,由指数函数的性质得m∈(-∞,0)时,g'(m)<0,g(m)为减函数,m∈(0,+∞)时,g'(m)>0,g(m)为增函数.g(1)=0,g(-1)=2+-e<0,不妨设g(m1)=0,则m1<-1,画出g(m)=e m-m-e+1的大致图象,如图1所示,得g(m)≤0的解集为(m1,1).由f(-1)-f(0)≤e-1得,e-m+m≤e-1,构造函数h(m)=e-m+m-e+1,求导得h'(m)=-e-m+1,令h'(x)=0,得m=0,由指数函数的性质得m∈(-∞,0)时,h'(m)<0,h(m)为减函数,m∈(0,+∞)时,h'(m)>0,h(m)为增函数.h(-1)=0,h(1)=2+-e<0,不妨设h(m2)=0,则m2>1,画出h(m)=e-m+m-e+1的大致图象,如图2所示,得h(m)≤0的解集为(-1,m2).综上,m∈(-1,1).点拨此题起点低,落点高,第(1)问是大家熟悉的利用导数研究函数的单调性问题,一定要注意导函数的零点问题,再根据系数m对导函数的正负影响分类讨论;第(2)问处理恒成立问题,运用等价转化思想,转化为不等式组之后,又根据函数的单调性和分类讨论、数形结合的数学思想解题,以函数为载体,以导数为工具,以图形为航标,以综合运用数学思想方法为核心来考查考生的数学素养.1.已知函数f(x)=e x-e-x-2x.设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求实数b的最大值.典例2 已知函数f(x)=e x-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m≤2时,证明: f(x)>0.解析(1)f '(x) =e x-.由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0,所以m=1.于是f(x)=e x-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f '(x)=e x-.函数f '(x)=e x-在(-1,+∞)上单调递增,且f '(0)=0,因此当x∈(-1,0)时, f '(x)<0;当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)证明:当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时, f(x)>0.当m=2时,函数f '(x)=e x-在(-2,+∞)上单调递增.又f '(-1)<0, f '(0)>0,故f '(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实根x0,且x0∈(-1,0).当x∈(-2,x0)时, f '(x)<0;当x∈(x0,+∞)时, f '(x)>0,从而当x=x0时, f(x)取得极小值,也是最小值.f '(x)、 f(x)的大致图象如图.由f '(x0)=0得=,即ln(x0+2)=-x0,故f(x)≥f(x0)=+x0=()>0.所以当m≤2时, f(x)>0.点拨图形虽然简单,但它就像灯塔一样,指引着解题的方向.几乎所有的函数解答题的答案中都没有图形,因为只能画草图,根本画不出精确的图形.经过观察,发现数学成绩优良的学生与数学成绩一般的学生最大的差别有两点:(1)擅长画图,利用数形结合的方法解题;(2)擅长等价转化问题,把不熟悉、陌生的数学问题等价转化为熟悉的、已解决过的问题.2.设函数f(x)=-k(k为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数).(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.难点4 解答导数零点不可求问题的三种方法导数是研究函数的有力工具,其核心是由导数值的正、负确定原函数的单调性.用导数研究函数f(x)=0的单调性,往往需要解方程f '(x)=0.当该方程不易求解时,如何继续解题呢?1.猜——猜出方程f '(x)=0的根典例1 设f(x)=.(1)若函数f(x)在(a,a+1)上有极值,求实数a的取值范围;(2)若关于x的方程f(x)=x2-2x+k有实数解,求实数k的取值范围.解析(1)f '(x)=-,令f '(x)=0,得x=1.由f(x)在(a,a+1)上有极值,得,,即0<a<1.所以实数a的取值范围是(0,1).(2)方程f(x)=x2-2x+k,即f(x)-x2+2x=k.设g(x)=f(x)-x2+2x,可得所求实数k的取值范围,即函数g(x)的值域.g'(x)=2(1-x)+-.接下来,需求函数g(x)的单调区间,所以需解不等式g'(x)≥0及g'(x)≤0,因而需解方程g'(x)=0,但此方程不易求解,所以我们可以先猜后解.易得g'(1)=0,且当0<x<1时,g'(x)>0,当x>1时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故g(x)max=g(1)=2.进而可得函数g(x)的值域是(-∞,2],所以所求实数k的取值范围是(-∞,2].点拨当所求函数的解析式中出现ln x时,常猜x=1;当函数解析式中出现e x时,常猜x=0或x=ln x0.求函数f(x)=e x+x2-(2+ln 2)x的最小值.2.设——设出方程f '(x)=0的根典例2 设函数f(x)=e2x-aln x.(1)讨论f(x)的导函数f '(x)零点的个数;(2)证明:当a>0时, f(x)≥2a+aln.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=2e2x-(x>0).当a≤0时, f '(x)>0, f '(x)没有零点;当a>0时,因为y=e2x单调递增,y=-单调递增,所以f '(x)在(0,+∞)上单调递增.又f '(a)>0,当b满足0<b<且b<时, f '(b)<0,故当a>0时, f '(x)存在唯一零点.(2)证明:设f '(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时, f '(x)<0;当x∈(x0,+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时, f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于2-=0,所以f(x0)=+2ax0+aln≥2a+aln,当且仅当x0=时取“=”.故当a>0时, f(x)≥2a+aln.点拨本题第(2)问的解题思路是求函数f(x)的最小值,因此需要求f '(x)=0的根,但是f'(x)=2e2x-=0的根无法求解,故设出f '(x)=0的根为x0,通过f(x)在(0,x0)和(x0,+∞)上的单调性知f(x)min=f(x0)=+2ax0+aln,进而利用基本不等式证得结论,这种解决方法类似解析几何中的设而不求.设函数f(x)=e x-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0,求k的最大值.3.证——证明方程f '(x)=0无根典例3 已知m∈R,函数f(x)=mx---ln x,g(x)=+ln x,h(x)=,若∃x0∈[1,e],使得f(x0)-g(x0)>h(x0),求实数m的取值范围.解析由题意知关于x的不等式f(x)-g(x)>h(x)在[1,e]上有解,即关于x的不等式<m(1<x≤e)有解.-(1<x≤e),下面求函数u(x)的最小值.设u(x)=-u'(x)=---()(1<x≤e),不易求解方程u'(x)=0.(-)可大胆猜测方程u'(x)=0无解,证明如下:由1<x≤e,可得-(2x2+2)ln x<0;2x2-4ex-2=2(x-e)2-2e2-2<0,所以u'(x)<0.所以u(x)在(1,e]上是减函数,所以函数u(x)的值域是,∞,进而可得所求实数m的取值范围-,∞.是-点拨当利用导数求函数f(x)在区间[a,b]、[a,b)或(a,b]上的最值时,可首先考虑函数f(x)在该区间上是否单调,若单调,则f(x)在区间的端点处取得最值.若存在x使不等式->成立,求实数m的取值范围.难点5 “二次求导”在解题中的应用1.“二次求导”与函数单调性典例1 若函数f(x)=,0<x1<x2<π.设a=f(x1),b=f(x2),试比较a,b的大小.解析由f(x)=得f '(x)=-,令g(x)=xcos x-sin x,∴g'(x)=-xsin x+cos x-cos x=-xsin x,∵0<x<π,∴g'(x)<0,即函数g(x)在(0,π)上是减函数,∴g(x)<g(0)=0,因此f '(x)<0,故函数f(x)在(0,π)上是减函数,∴当0<x1<x2<π时,有f(x1)>f(x2),即a>b.点拨为了得出f(x)的单调性,需判断f '(x)的符号,而f '(x)=-的分母为正,只需判断分子xcos x-sin x的符号,引入新的函数g(x)=xcos x-sin x,再通过证g'(x)=-xsin x<0,得到g(x)是(0,π)上的单调递减函数,且知g(x)<0,从而得出f '(x)<0.通过二次求导,我们判断出了一次导函数的符号,并最终解决了问题.已知函数f(x)满足f(x)=f '(1)e x-1-f(0)x+x2,求f(x)的解析式及单调区间.2.“二次求导”与不等式的证明典例2 (2017课标全国Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明: f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2< f(x0)<2-2.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞).设g(x)=ax-a-ln x,则f(x)=xg(x), f(x)≥0等价于g(x)≥0.因为g(1)=0,g(x)≥0,故g'(1)=0,而g'(x)=a-,g'(1)=a-1,得a=1.若a=1,则g'(x)=1-.当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)=0.综上,a=1.(2)证明:由(1)知f(x)=x2-x-xln x, f '(x)=2x-2-ln x.设h(x)=2x-2-ln x,则h'(x)=2-.当x∈,时,h'(x)<0;当x∈,∞时,h'(x)>0.所以h(x)在,单调递减,在,∞单调递增.又h(e-2)>0,h<0,h(1)=0,。