空间向量及其加减数乘运算
空间向量及其加减、数乘和数量积运算
8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向 量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形， 设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点， 所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。
《空间向量的加减法与数乘运算》
②结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
2.空间向量的数乘运算
（1）数乘运算法则与平面向量类似，实数 与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作
a.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算，向量a的长度和方向满足：
① | a || || a |
②当 >0时，向量 a与向量a方向相同；当 <0时，向量a与向量a方向相反；当
（1）. AB AD AA'
（2）.DD AB BC （3）. AB AD 1 (DD' BC)
2
解 （1）. AB AD AA AC AA AC CC AC
（2）. DD AB BC BB BA
（3）设点M为CB'的中点，则AB
AC 1 CB AM
ADBC1(DBAD
设计意图
师生互动，通过教师讲解、学生板演等方式研究例题，突破重难点，提升学生的直观想 象、数学运算及逻辑推理核心素养.
学而优 · 教有方
归纳小结
教学内容
1.基本知识 （1）空间向量的加减法运算法则； （2）加法运算律； （3）空间向量的数乘运算及其运算律； （4）共线向量基本定理. 2.数学核心素养 （1）直观想象； （2）数学运算； （3）逻辑推理.
学而优 · 教有方
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
归纳小结
师生互动
教师引导学生分组回答，小组评价.
设计意图
培养学生的概括总结能力.
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布置作业
教学内容
教材第100页练习第1，2题.
师生互动
学生独立完成，教师批改.
空间向量及其加减数乘运算(北师大版选修2-1)
D1 A1 G D A B C B1
C1
M
解：) AB BC AC; (1 ＝
(2) AB AD AA AC AA AC CC1 AC1 1 1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F1=10N
F2=15N
思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
C
A
Aห้องสมุดไป่ตู้
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法 数乘 运算 运 算 律
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a k b ＋
C
B
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D C
B
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列
各式中的x,y.
E
A
D
C
(1) AC x( AB BC CC )
' '
B
(2) AE AA x AB y AD
空间向量
1一、空间向量及其加减与数乘运算1.定义：在 ，我们把 ，叫做空间向量.____________叫做向量的长度或模.2.几个概念：零向量、单位向量、相反向量、相等的向量 3.向量的运算1、类似于平面向量，定义空间向量的加法运算如下：三角形法则、平行四边形法则推广:. 2.实数λ与a 的积仍然是一个向量，记作 ,称为向量的数乘.长度与方向规定为： (1)长度是 .(2)方向：当λ>0时， ；当λ<0时， ;当λ=0时， . 二．【典例分析】 例1.判断下列命题的真假（1）若空间向量||||=，则b a =（2）零向量没有方向。
（3）零向量与任意向量共线。
（4) 若空间中向量,,，满足//,//，则//（5）若空间向量,,,p n m 满足p n n m ==,，则p m= （6）若0 =a λ，则0=λ或0 =a例2.已知平行六面体ABC D －D C B A '''',化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.①AB BC AA '+- ； ② AB AD AA '++；③12AB AD CC '++ ； ④ 1()3AB AD AA '++例3. M ，N 分别是四面体ABCD 的棱AB ，CD 的中点，求证：1()2MN AD BC →→→=+变式：在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD ，△BCD 的重心为G ，求证：1()3AG AB AC AD =++ .=++++-n n A A A A A A A A 14332212二、空间向量基本定理（一）、共线向量：表示空间向量的基线________或_______的向量.共线向量定理:对空间任意、(≠0), ∥两个向量的充要条件是存在实数λ,使_________.（二）、共面向量：平行于__________平面的向量.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,则向量与向量a ,b 共面的充要条件是存在______的一对实数x,y ，使___________.（三）推论空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对（x,y ）,使得AC y AB x AP +=;或对于空间任意一点O,有AC y AB x OA OP ++=. （四）空间向量分解定理如果三个向量,,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使______________。
向量及其加减法,向量与数的乘法
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始 要使点，a则b终点a构 b成成__立__，__向__量_a__,_b_应__满__足_____；_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_；立，向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形 .
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b
空间向量的加减和数乘运算
分配律
$k(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) = koverset{longrightarrow}{a} + koverset{longrightarrow}{b}$。
单调性
当$k > 0$时，数乘会使向量增大；当$k < 0$时，数乘会使向量缩小。
在线性代数中，向量组的线性组合可以通过数乘运算来实现，从而研究向量组之间的关系。
向量组的线性组合
向量空间是由向量构成的集合，通过向量的加减和数乘运算可以研究向量空间的结构和性质。
向量空间
04
空间向量加减和数乘运算的注意事项
01
02
零向量的特殊性
零向量与任意向量数乘，结果仍然是零向量。
零向量与任意向量相加或相减，结果仍然是该任意向量。
解析
根据空间向量加法和减法的定义，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b})$的坐标等于两个向量的对应坐标相加和相减。即，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b}) = ( - 1 + 3,5 + ( - 1),2 + 4) = (2,4,6)$。
计算方法
根据定义，数乘的计算方法为将向量的每个分量分别乘以该实数。
空间向量及其加减运算
㈦巩固： 1。已知空间向量四边形ABCD，连接AC、BD，设M，G分别 是BC、CD的中点，化间下列各表达式，并标出化间结果的向量 A （1）AB+BC+CD； （2）AB+1/2（BD+BC） （3）AG – ½（AB+AC）
解： （1）AB+BC+CD =AD
B （2）AB+1/2（BD+BC）=BG （3）AG – ½ （AB+AC）= MG M C
a
b
a
b
c
c
③数乘分配律：λ（a + b ）=λa +λb
（由同学自已证明）
㈥平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨 迹所形成的几何体，叫做平行六面体。
D1 A1 a A B1 C1 A1 D A B
D1 B1
C1
D
B
C
C
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每 个面的边叫做平行六面体的棱。
浙江省玉环县楚门中学吕联华
㈠向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
·
D A C B
a
·
·
D1 A1 C1
B1
a=“自西向东平移4个单位”
这个”平移“就是一个向量
㈡向量的表示方法： 空间向量可用有向线段表示 a B 记作：向量a、b。
b
A
㈢向量的相等:当两个向量大小相等，方向相同时两向量相等。 两个向量不能比较大小，因为决定向量的两个因素是大小 和方向，其中方向不能比较大小 ∴ OA=a AB= b
㈣空间向量加法、减法与数乘向量运算： a b B O
α
空间向量及其加减运算和数乘运算
详细描述
向量减法满足交换律和结合律，即 $overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD} = overset{longrightarrow}{CD} overset{longrightarrow}{AB}$，并且 $(overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD}) overset{longrightarrow}{EF} = overset{longrightarrow}{AB} (overset{longrightarrow}{CD} + overset{longrightarrow}{EF})$。
总结词
向量加法是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量。
详细描述
向量加法是向量运算中的基本运算之一，其定义是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向 量的终点的向量。在二维空间中，向量加法可以通过平行四边形的法则进行计算；在三维空间中，向量加法可以 通过三角形法则进行计算。
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在空间中的相对位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义可以理解为表示两个向量在空间中的相对位置关系。具体来说，如果有一个向量 $overset{longrightarrow}{AB}$和另一个向量$overset{longrightarrow}{CD}$，那么 $overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{CD}$表示向量$overset{longrightarrow}{AB}$和向 量$overset{longrightarrow}{CD}$在空间中的相对位置关系。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算a21
解析:(2)①( AB + BC )+ CC1 = AC + CC1 = AC1 ; ②( AA1 + A1D1 )+ D1C1 = AD1 + D1C1 = AC1 ; ③( AB + BB1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 ; ④( AA1 + A1B1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 .
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算
课标要求:1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程,了解空间向量的 概念.2.掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.3.理解空间共线向量和共 面向量定理及推论.
自主学习 课堂探究
知识探究
自主学习
1.空间向量及其长度的定义 与平面向量一样,在空间,我们把 具有大小和方向的量 叫做空间向量,
解析:容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.故
选D.
2.空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是
(D)
(A)a=b
(B)a+b为实数0
(C)a与b方向相同
(D)|a|=3
3.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是( C )
(A) OM =3 OA -2 OB - OC (B) OM + OA + OB + OC =0
§3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算、数乘运算
第一章空间向量与立体几何§3.1.1-3.1.2空间向量及其加减运算、数乘运算班级：_____姓名：__________ 编号：_____学习目标1、掌握空间向量单位向量、相反向量的定义2、用空间向量的运算意义及运算律解决问题3、掌握空间向量的数乘运算4、理解共线向量、共面向量的定理及推论5、用数乘运算把未知向量用已知向量表示自主预习（预习课本自主掌握以下概念和原理）1、空间向量的有关概念（1）定义：在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量;（2）长度：向量的___叫做向量的长度或__（3）表示法：①几何表示法：空间向量用_____表示②字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作_____，其模记为_____或_____。
4、空间向量的数乘运算：实数λ与空间向量的乘积____，成为向量的数乘运算。
5、向量a与向量λa的关系（1）分配律：λ（a+b)=________（2）结合律：()______aλμ=7、共线向量与直线的方向向量（1）共向向量的概念：表示空间向量的有向线段所在的直线______共线向量也叫______（2）两向量共线（平行）的充要条件：对于空间任意两个向量,(0)a b b≠，则a b的充要条件是存在实数λ，使______（3)直线的方向向量：如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OA OP ta=+①，其中a叫做直线l的______8、共面向量（1）共面向量的定义：平行于______的向量（2）三个向量共面的充要条件：如果两个向量,a b______，那么向量p与向量,a b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,),x y使____p=【突破·核心知识】【知识梳理】【题型归纳】【随堂∙自我测评】1、对于空间非零向量AC BC AB ,,下列各式一定不成立的是（ ）A 、AB →+BC →=AC → B 、AB →-AC →=BC →C 、AB →+BC →=CA →D 、AB →-AC →=CB →2、设有四边形ABCD 中，o 为空间任意一点，且OCDO AO →→→→+=+OB ，则四边形ABCD 是A 、平行四边形B 、空间四边形C 、等腰梯形D 、矩形 3、→→→≠=ba，且ba →→、不共线时ba →→+与ba →→-的关系是（ ）A 、共面B 、不共面C 、共线D 、无法确定4、已知两个非零向量21,e e不共线，如21A B e e =+ ，2128AC e e =+ ，2133AD e e =- 求证：,,,A B C D 共面．5已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠ ，若//a b，求实数,x y 的值6.已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC=++，试判断：点P与,,A B C 是否一定共面？【课后∙知能提升】1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式：①(111A D A A - )－AB； ② (1BC BB + )－11D C ；③ (1A D A B - )+1DD ； ④ (111B D A A -)－1DD，其中运算结果为向量11B D的是（ ） A 、①② B 、③④ C 、②④ D 、①③2．在空间四边形ABCD 中，设AB a =，AD b =，M 点是BD 的中点，则下列对应关系正确的是( )A ．1()2MA a b =+B ．1()2MC a b =+C ．1()2MD b a =- D ．1()2MB b a =-3．空间四边形ABCD 中，AB a =，，，BC b AD c == 则CD =( )A ．a b c +-B ．c a b --C ．a b c --D ．b a c -+4.在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，向量AB '、AD ' 、BD是( )A .有相同起点的向量B .等长的向C .共面向量D .不共面向量5、向量,,a b c两两夹角都是60 ，||1,||2,||3a b c === ，则||a b c ++= 。
空间向量的计算公式
空间向量的计算公式
空间向量是指在三维空间中的向量，可以通过坐标表示。
假设有两个空间向量a和b，它们的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，那么它们的计算公式如下：
1.向量的加法：
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
2.向量的减法：
ab=(a1b1,a2b2,a3b3)
3.向量的数乘：
k*a=(k*a1,k*a2,k*a3)，其中k为实数
4.向量的数量积（点积）：
a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b3
5.向量的向量积（叉积）：
a×b=(a2*b3a3*b2,a3*b1a1*b3,a1*b2a2*b1)
6.向量的模长（长度）：
||a||=√(a1^2+a2^2+a3^2)
这些公式可以用于求解空间向量的基本运算，通过这些公式可以计算出向量之间的加减、数乘、数量积、向量积和模长等
属性。
在实际问题中，可以应用这些公式来处理空间向量的计算和分析。
3.1空间向量的加减法及数乘运算
AB
a
长度为0的向量，记为 0 ；
单位向量：长度为1的向量. 相等向量： 相反向量： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量（共线向量）.
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，首尾连 C ab b
A
2.向量加法平行四边形法则:
B
a
a b b
C 特点:共起点
b
a
'
'
AB BC CC '
x 1
A
E C
D
B
A B
(2) AE AA AE
1 x y 2
1 AA ( AB AD ) 2
,
'
D
C
G
D
.
C B
AG．
A
练习1.已知平行六面体ABCD A ' B ' C ' D '，化简 1 AB AD CC '，并标出化简结果的向量： 2
解：设M是线段CC’的中点，则
1 AB AD CC ' 2
D’ C’ B’ M
AC CM
A’
AM
D A B
C
练习2.已知平行六面体ABCD A ' B ' C ' D '， 用AB， AD， AA '，表示向量BD ' 和 BC '
结论：始点相同的三个不共面的向量之和，等于 以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始 点的对角线所示向量。——平行六面体法则
1 (3) ( AB AD AA' )． 3
设G是线段AC’靠近点A的 三等分点，则
1 ( AB AD AA' ) 3 1 AC ' 3
空间向量加减运算和数乘运算
ur r r
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
ur
r b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
r
Aa
B
p
P
如图r ,r平面 为经过已知点 A 且平行两不共线的非零向 量 a 、b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P 呢?
uuur r r ⑴∵ AP与a 、b 共面,
ur
r b
C
r
Aa
B
p
uuur
P
rr
∴ 唯一有序实数对(x, y),
段互相平行或重合；
r
r
实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量.
r
r
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同;
r
r
⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反;
r
⑶当 0 时, a 是零向量.
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c)
数乘分配律： (a b) a＋b 数乘结合律： (a) ()a
⒉平面向量的加减法运算 ⑴向量的加法：
b
a
a
平行四边形法则 ⑵向量的减法
三角形法则(首尾相连)
三角形法则
b a
减向量终点指向被减向量终点
推广:
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起 点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1An A1An
11
思考： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
uuur uuur uuur uuur
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
空间向量及其运算
关键提示：利用空间向量基本定理将所求向量表示成 已知向量的形式．
立体设计·走进新课堂
第九章 立体几何初步
→ → → → 解：OB′＝OA＋AB＋BB′＝a＋b＋c， → → → → O′B＝O′O＋OA＋AB＝－c＋a＋b＝a＋b－c， → → → → AC′＝AB＋BB′＋B′C′ → → → ＝OC＋OO′＋AO＝b＋c－a， → → → → → GH＝GB＋BA＋AA′＋A′H 1 → → ＋OO′＋1A′C′ → → ＝ C′B＋CO 2 2 1 → → ＋OO′＋1AC → → ＝ O′A＋CO 2 2 1 → → )＋CO＋OO′＋1(AO＋OC) → → → → ＝ (O′O＋OA 2 2 1 1 ＝ c－ b. 2 2
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第九章 立体几何初步
考点一 空间向量基本定理的应用 【案例1】 如图，长方体OABC—O′A′B′C′中， G、H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，若 → → → OA ＝a， OC ＝b， OO′ ＝c，用a、b、c表示如下向量： → → → → OB′、O′B、AC′、GH.
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第九章 立体几何初步
4．在空间直角坐标系中，若点P的坐标为(x，y，z)， → 则向量OP的坐标为(x，y，z)． 二、空间向量的坐标运算 1．一条直线的方向向量有无数个． 2．所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的 向量，一个平面的法向量也有无数个． 3．若直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法 向量是v＝(a2，b2，c2)，则有：
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第九章 立体几何初步
【即时巩固2】 如图所示，在60°的二面角α－AB－β
中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、 B，已知AB＝AC＝BD＝a，求线段CD的长．
空间向量及其加减、数乘运算
A1C , BD1, DB1 .
D1
C1
A1C AB AD AA1
Hale Waihona Puke A1B1BD1 AA1 AD AB
DB1 AB AA1 AD
D
C
始点相同的三个不共A面向量之和，B 等于以 这三个向量为棱的平行六面体的以公共始 点为始点的对角线所示向量
向量的数乘运算
在平面上，实数 与向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，
(C)若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线
(D)若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.已知点M在平面ABC内，并且对平面ABC外任意一点
O，OM
xOA
＋
1 3
OB ＋
1 3
OC
, 则x的值为(
1
D
)
( A)1
(B) 0
(C)3 (D)
3
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，MC=2AM，A1N=2ND，
O
O
a a
b +c
A
CA
C
bBc
bBc
空间向量加法结合律
(a O b) c a (b c)O
a
a
b +c
A b
B
C c
A b
C Bc
D1 A1
C1 B1
a
D
C
A
B
平行六面体：平行四边形ABCD按向量a 平移到
A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.记做ABCD-A1B1C1D1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，用 AB, AD, AA1 表示
在一的有序实数组x, y, z 使 p xa yb zc .
空间向量及其加减与数乘运算
（1）AB CD BC
（2） AP MN
平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a到 ABC D 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记 作ABCD— ABC D ．
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
A1
D1 B1 C1
D
C B
A
变式训练1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
（四）空间向量加法运算律
⑴加法交换律： a b b a ⑵加法结合律： a b c a (b c) （ ）
a b
a c c
b
空间向量的数乘运算满足分配律及结 合律
即： (a b) a b （ ） a a a ( a) ( )a 其中、是实数。
⑴向量的加法：
b a 平行四边形法则 ⑵向量的减法 三角形法则 b a 三角形法则
a
（三）空间向量的数乘运算 与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量. 其长度和方向 规定如下： (1)|λ a |＝|λ|| a | (2) 当 0 时 , a 与向 量 a 的方 向相 同; 当 0 时, a 与向量 a 的方向相反; 当 0 时, a 是零向量.
(五)典型例题
例1、给出以下命题： （ ）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； 1 （2）若空间向量a, b, 满足 a b , 则a =b （3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有 AC A1C1 （4）若空间向量 m, n, p, 满足 m n， p，则 m p n （5）空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是（ A.1 B2 C.3 D4 ）
空间向量及其加减与数乘运算解读
b
a
a
三角形法则
平行四边形法则
加法交换律： a + b = b + a； 加法结合律： (a + b) + c =a + (b + c)；
⑵向量的减法 三角形法则
b a
a
b
a
c
b
c
（3）向量的数乘运算 a，其模长是a 的| | 倍 a 与 a 同向 当 0 时，
a 与 当 0 时，
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
A1 D1 B1 C1
D
C B
A
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
⒈定义：空间中既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法： 用有向线段表示；
用字母a、b等或者用有向线段 字母表示法：
的起点与终点字母 AB 表示． 相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
零向量、单位向量、相反向量； 空间任意两个向量都是共面向量.
⒉空间向量的加减法与数乘运算
⑴向量的加法：
1 AB ( BD BC ) （ 2） 2 1 AF ( AB AC ) （ 3） 2
4．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M,N分别 1 1 在对角线BD,AE上，且 BM BD, AN AE 3 3 求证：MN//平面CDE E F
N A B M C
选修2-1教案 3.1空间向量及其运算
§3.1.1 空间向量及其加减与数乘运算教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：由平面向量类比学习空间向量．教学过程：一、复习引入1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0 . 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.→ 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．→ 讨论：空间任意两个向量是否共面？2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+ =a +b ， AB OB OA =- （指向被减向量）， OP = λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？）3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) +c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ． 4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++= ； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++= ；⑶空间平行四边形法则．5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC + ⑴； 'AB AD AA ++ ⑵；1(3)'2AB AD CC ++ ； 1(')3AB AD AA ++ ⑷． 师生共练 → 变式训练6. 练习：课本P 927. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）三、巩固练习： 作业：P106 A 组 1、2题.教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．教学过程：一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。
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长度为0的向量
模为1的向量
长度相等方向相反
长度相等方向相同
表示向量的有向线段 所在直线平行或重合
3.平面向量的线性运算
b
a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
a b a
向量减法的三角形法则
ka ka
(k>0) (k<0)
5
向量的数乘
推广:
1. A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An A1 An
2.本节课用到了那些数学思想？
类比思想，数形结合思想
40
作业
《同步学案》 3.1.1---3.1.2
41
新课标高中数学选修2-1第三章空 间向量与立体几何
空间向量及其加减数 乘运算
1
第一部分 空间向量的基本概念与 线性运算
2
1.复习引入
问题： 物体重500kg已知三个作用力的大小
都是200kg，这三个力两两之间的夹 角都为60度，能抬起物体吗？
F2 F1 F332.平面与空间向量的有关概念对比
平面向量 定义 表示法 向量的模 零向量 单位向量 相反向量 相等向量 共线向量 空间向量
uuu r uuu r uuu r 若OP = xOA + yOB
，则点P、A、B
共线的充要条件是x＋y＝1；
22
• 注：对共线向量的理解 • (1)当向量a，b共线时，表示a，b的两条有向 线段所在直线什么位置关系？ 平行或重合 • (2)零向量和空间任一向量是共线向量．
• (3)向量共线的充要条件中的b≠0能不能去掉？ 不能，否则实数λ可能不唯一． • (4)共线向量定理可以用来判断空间三点P、A、 B是否共线．
23
2.例题
1. 已知 e1， e2 为不共线的非零向量， 如果 a＝4e1 2 1 － e2，b＝e1－ e2，试判断 a，b 是否共线． 5 10
24
2.如图所示，在正方体 ABCDA1 B1 C1 D1 中，E 在 A1 D1 上，且A1 E＝2ED1 ，F 在对角线 A1 C 上，且 2→ A 1F＝ FC.求证：E，F，B 三点共线． 3 → → →
② 证明三个向量共面的常用方法： (1) 设
法证明其中一个向量可表示成另两个向量
的线性组合； (2) 寻找平面 α ，证明这些向
量与平面α 平行．
35
4.自主练习
1．下列命题中正确的个数是( ) ①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线． ②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面． ③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb. A．1 B．2 C．3 D．0
31
推论2
空间任意一点P与不共线三点A,B,C共面的 充要条件是存在实数x,y,z使得
OP=xOA+yOB+zOC (x+y+z=1)
32
3.例题 1. 已知,两个非零向量a,b不共线，如 果AB=a+b,AC=2a+8b,AD=3a-3b
求证：四点A,B,C,D共面。
变式. 已知i,j,k是三个不共面的向量，
AB=i-2j+2k,BC=2i+j3k,CD=mi+3j-5k，且A,B,C,D四点共
面，求m.
33
2. 如图，正方体 ABCDA1B1 C1D1 中， E、 F → → 分别为 BB1 和 A1D1 的中点． 证明： 向量A1B、 B1 C、 → EF 是共面向量．
34
题后反思
① 用向量法证明四点共面，实质上是证明 的向量共面问题
28
探究：
对空间任意两个不共线的向量 a,b如果p=xa+yb,那么向量p与向量 a,b有什么位置关系？
反过来，向量p与向量a,b有什么 位置关系时， p=xa+yb
29
2.空间共面向量定理
如果向量a，b不共线，则向量p与a，b共 面的充要条件是：存在惟一的有序实数对 (x，y)，使p＝xa＋yb.
30
推论1
空间一点P位于平面ABC内
C P
Û 存在有序实数对(x，y)，使A
uuu r uuu r uuu r A P = xA B + yA C
B
uuu r ? OP uuu r ? OP uuu r ? OP
O uuu r uuu r uuu r OA = xA B + yA C r uuu r uuu uuu r OA + xA B + yA C uuu r uuu r uuu r (1 - x - y )OA + xOB + yOC
思考： ① 定理的主要作用是什么？
② 空间中两个向量有类似的结论吗？
19
1.空间向量共线定理
对空间任意两个向量a, b(b 0), a / / b 存在实数，使得a b.
20
点P在直线l上
a
A
Û
?
?
uuu r r 存在实数t，使A P = ta
√
2． 在下列条件中， 使 M 与 A、 B、 C 一定共面的是( → → → → A.OM＝3OA－2OB－OC → → → → B．OM＋OA＋OB＋OC＝0
)
√
C． MA＋MB＋MC＝0 → 1→ → 1→ D．OM＝ OB－OA＋ OC 4 2
→
→
→
36
3．已知 A、B、P 三点共线，O 为空间任意一点，
A A1
D1 B1
C1
D B
C
13
练习 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下 列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
D1 B1 C1
x 1
A1
D A B
C
14
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
x 1
D1 A1 B1 C1
D A B
C
D A B A1 G C
D1 B1
M
C1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 12 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
变式：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
在平面，具有大小 和方向的量
有向线段 a | a | | AB | AB
在空间，具有大小 和方向的量 有向线段 a AB | a | | AB | 长度为0的向量
模为1的向量 长度相等方向相反 长度相等方向相同
表示向量的有向线段 4 所在直线平行或重合
15
(3) AC AB1 AD1 x AC1
x2
D1 A1 B1 C1
D A B
C
16
第二部分 空间向量共线与共面
17
(一) 空间向量共线
18
复习平面向量共线定理
对平面中任意两个向量a, b(b 0), a / / b 存在实数，使得a b.
P
? l B
O
?
uuu r uuu r r OP OA + ta uuu r uuu r uuu r OP OA + tA B uuu r uuu r uuu r uuu r OP OA + t (OB - OA ) uuu r uuu r uuu r OP (1 - t )OA + tOB
21
推论
2. A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
6
思考:
空间向量的线性运算是不是
有类似的运算法则呢？
7
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用
同一平面内的两条有向线段表示。 因此空间任意两个向量的问题，实际就是平面向 量问题 8
2. A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1
0
11
5.典型例题
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC (2) AB AD AA1 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 (4) AB AD CC1 2
(a b) c a (b c) k (a b) k a＋k b k (a b) k a＋k b
数乘分配律 数乘分配律
9
O
O
a
A C
a
b
b
+
c
B
c
B
A
C
b
c
( a + b )+ c = a +( b + c )
结论：空间向量满足结合律
10
推广:
空间中
1. A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An A1 An
25
题后反思
1. 判定向量共线就是充分利用已知条件找
到实数x，使a＝xb成立，或充分利用空
间向量的运算法则，结合具体的图形，
通过化简、计算得出a＝xb 2. 三点共线问题可以转化为两个有公共起点向
量共线问题。
26
(二) 空间向量共面
27
1.共面向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 空间任意两个向量是共面的吗？任意 三个向量呢？ 什么情况下空间三个向量共面？