分离变量法-2(定稿)
3-分离变量法-2
T0, j (r ) 0, j
2
0
在区域R内 ，( j=0,1,2,…,s )
i
T0, j ni
i, j
hiT0, j i , j f i
在边界Si上 ，i=1，2，…，s
1i j 0i j
一个以温度T s+1(r,τ)定义的齐次飞稳态导热问题
0 x
0
0＜x＜a，0<y<b
x＝0 x=a y=0 y＝b
q q H H ( 0 a 2 0 a A) x 2 H
0 y
A
q H H ( 0 x 2 A) y 2
§3.5 一般问题的分离变量法
含有内热源的、多非齐次边界条件的非稳态导热
区域R内，τ>0 边界Si处，τ>0 区域R内，τ=0
(r,0, ' ) F (r)
§3.7 杜哈美尔定理
辅助问题：
1 ( r , , ' ) 1 2 ' T ( r, , ) qV ( r, ' ) a ( r, , ' ) i h( r, , ' ) fi ( r, ' ) ni
T h2T 0 x T h3T 0 y
T h4T 0 y T F ( x, y) F1 ( x) F2 ( y)
T F ( x, y, )
T1 h1T1 0 x
y
T1 F1 ( x)
T1 h2T1 0 x
在区域R内 在边界Si上
i 1,2,, s j 1,2, s
T hi T f i ni
数理方程第二章分离变量法
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
第二章分离变量法
第⼆章分离变量法第⼆章分离变量法§2.1 有界弦的⾃由振动为了了解什么是分离变量法以及使⽤分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的⾃由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题。
讨论两端固定的弦的⾃由振动，归结求解下列定解问题：22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)(),(),0 (2.3)x x l t t u u a x l t t x u u t uu x x x l t ?ψ=====<<>??==>?==≤≤这个定解问题的特点是：偏微分⽅程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。
求解这样的问题，可以运⽤叠加原理。
我们知道，在求解常系数线性齐次常微分⽅程的初值问题时，是先求出⾜够多个特解（它们能构成通解），再利⽤叠加原理作这些特解的线性组合，使满⾜初始条件。
这就启发我们，要解问题（2.1～2.3），先寻求齐次⽅程（2.1）的满⾜齐次边界条件（2.2）的⾜够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利⽤它们作线性组合使满⾜初始条件（2.3）。
这种思想⽅法，还可以从物理模型得到启⽰。
从物理学知道乐器发出的声⾳可以分解成各种不同频率的单⾳，每种单⾳，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t ，即每个单⾳可以表⽰成(,)()sin u x t A t x ω=的形式，这种形式的特点是：u (x ,t )中的变量x 与t 被分离出来。
根据上⾯的分析，现在我们就试求⽅程（2.1）的分离变量形式(,)()()u x t X x T t =的⾮零解，并要求它满⾜齐次边界条件（2.2），式中X (x )，T （t ）分别表⽰仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数。
由(,)()()u x t X x T t =得2222()(),()()u u X x T t X x T t x t''''== 代⼊⽅程（2.1）得2()()()()X x T t a X x T t ''''=或2()()()()X x T t X x a T t ''''= 这个式⼦左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，只有它们均为常数时才能相等。
数学物理方程--- 2 分离变量法
n1
n1
比较系数有
Tn(t) a2nTn (t) fn (t)
由
u(x,t)
Tn (t) X n (x)
n1
Tn (t)sin
n1
n
l
x
(5)
令t=0，有
u(x,0)
(x)
Tn (0) X n (x)
n1
n
n1
sin
n
l
x
比较系数，有
Tn (0) n , n 1
同理
ut (x,0)
下面讨论二阶
线性微分算子
A
d2 dx2
的特征值问题。边界条件 X (0) X (l) 0 ，设 X (x) 是A
的特征函数，即 X (x) 0 且满足
AX (x) X (x)
等价于
X (x) X (x) 0,0 x l
X
(0)
X
(l)
0
(7)
对此特征值问题求解。
首先 非负。
Tn(t) a2nTn (t) 0
其通解为
Tn
(t
)
c1
cos
n
l
a
t
c2
sin
n
l
a
t
c1 y1 c2 y2
对应的非齐次方程
Tn(t) a2nTn (t) fn (t)
利用常数变易法，其解具有这样的形式
Tn (t) c1y1 c2 y2 y1
t 0
y2 y1
fn ( )
y2
d
证因明 为
X (x)X (x) X 2(x) 0
积分得
l
X (x) X (x)dx
l X 2 (x)dx 0
分离变量法二
当作零,从而写出边界条件
(8.2.1) )
在"无限远"处的静电场仍然保持为匀强的 无限远" 由于选取了 轴平行于 ,所以在无限远处, 所以在无限远处,
因而还有一个非齐次的边界条件 (8.2.2) )
于是定解问题可以描述为
x2+y2>a2
(8.2.3) )
【解】以变量分离形式的试探解
代入拉普拉斯方程 代入拉普拉斯方程, 得 拉普拉斯方程
解题分析:首先需要把这个物理问题表示为定解
问题.取圆柱的轴为 轴 如果圆柱"无限长" 问题.取圆柱的轴为Z轴.如果圆柱"无限长", 那么,这个静电场的电场强度,电势显然与Z坐 那么,这个静电场的电场强度,电势显然与 坐 标无关,我们只需在XY 平面上加以研究就行 标无关,我们只需在 画出了XY 平面上的静电场分布,圆柱 平面上的静电场分布, 了.图8.2画出了 画出了 面在 XY平面的剖口是圆 平面的剖口是圆
本征值问题: 问题:
(8.2.13) 8.2.13)
(8.2.14)
求解(8.2.13)～(8.2.14)本征值问题,对 )～(8.2.14) 问题, 求解(8.2.13)～( 进行讨论: 进行讨论:
,类同于前面的讨论,只能得到无意义的解; 类同于前面的讨论, 类同于前面的讨论 (2) 若 ,则方程(8.2.13)的解为 则方程( )
物理模型: 例 8.2.1 物理模型:
带电的云与大地之间的静电场近似是匀强静电场, 带电的云与大地之间的静电场近似是匀强静电场,其 是竖直的,方向向下. 电场强度 是竖直的,方向向下.水 平架设的输电线处于这个静电场之 中,输电线是导体圆柱,柱面由于静 输电线是导体圆柱, 电感应出现感应电荷,圆柱邻近的静 电感应出现感应电荷, 电场也就不再是匀强的了,如图8.2所 电场也就不再是匀强的了,如图8.2所 示.不过离圆柱"无远限远"处的静 不过离圆柱"无远限远" 电场仍保持为匀强的.现在研究导体 电场仍保持为匀强的. 圆柱怎样改变了匀强静电场, 圆柱怎样改变了匀强静电场,求出柱外 的电势分布. 的电势分布.
07分离变量法-2非齐次方程
λ
= ωk2, ωk
= (k + 12)π
/
L,
k
= 0,1, 2,
Xk = sinωk x
Xk = cosωk x
第三类齐次边值问题
10/26/2015
DENG S.H
7/16
10:57:17
物理学院 邓胜华
第 7 章 分离变量法
2、对于一般的两端固定弦的强迫振动：
utt
- a 2uxx
µn
=
−(
nπ)2 l
,
n
=
1,
2,
...
X
n(
x)
=
Cnsin
nπx l
∑ ∴
u( x,t)
=
∞
Tn ( t )sin
n=1
nπ x l
(5)
2、求解 Tn (t )
代(5)入 (1)及初始条件 (3) 得：
10/26/2015
∑
∞ n=1
[Tn″
(
t
)
+
(
anπ l
)
2
Tn
(t
)]sin
u x=0 = 0,
u =0 x=l
u
|t
=0
=
ϕ
(
x
),
ut t=0 = ψ ( x)
？
已 知
utt - a2uxx = f ( x, t )
vtt − a2vxx = 0
u |t=0 = 0
→
v |t=τ = 0
ut | t=0 = 0
冲量原理法 vt |t=τ = f ( x,τ )
分离变量法2
分离变量法解题步骤
（一）将偏微分方程化为常微分方程
－－（方程齐次）
（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解
－－（边界条件齐次）
（三）将特征值代入另一常微分方程， 得到
（四）将 un
x, t 叠加，利用初始条件确定系数
Tn (t )、un x, t
要点：
分离变量法适用范围： 偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。
n n , n 1,2,3, l
2 2 n
n n , n 1,2,3, l n X n Bn sin x l
2 2 n
T a 2T 0
a 2 n 2 2 Tn Tn 0 2 l
X n ( x) Bn sin n x
n n2 , n 1,2,3,
T ' a 2T 0
T 'n n2a2Tn 0
Tn Cne
n 2 a 2t
X n ( x) Bn sin n x
un X nTn Cn Bn e
0
2
l
1 Cm ( x)sin m xdx sin m xdx 0 0 Ln
( x)sin
0
l
m
xdx
例1 求下列定解问题: 长为l的细杆，两端温度为零，初始时刻温度分布为f（x）
u 2u a2 2 , 0 x l , t 0 齐次偏微分方程 x t 齐次边界条件（第一类） u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, t 0 u ( x,0) ( x), 0 xl 解： 令 u( x, t ) X ( x)T (t )
数学物理方程-第二章分离变量法
第二章 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论.§21 特征值问题⋅2．1.1 矩阵特征值问题在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设为一阶实矩阵，A n 可视为到自身的线性变换。
该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）A n R 即是求方程：，,n Ax x x R λ=∈（1.1）的非零解，其中为待定常数. 如果对某个，问题（1.1）有非零解C λ∈λ，则就称为矩阵的特征值(eigenvalue)，相应的称为矩阵n x R λ∈λA n x R λ∈的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于个相A n 异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一阶矩阵都有个线性无n n 关的广义特征向量，以此个线性无关的广义特征向量作为的一组新基，矩n n R 阵就能够化为标准型.Jordan 若为一阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正A n 交矩阵使得T ， 1T AT D -=（1.2）其中diag 为实对角阵. 设，为矩阵的第列D =12(,,...,)n λλλ12[ ... ]n T T T T =i T T i 向量，则式（1.2）可写为如下形式(1)i n ≤≤ ，1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =或, 1.i i i A T T i n λ=≤≤（1.3）上式说明，正交矩阵的每一列都是实对称矩阵的特征向量，并且这T A 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定n 理的形式给出.定理1.1 设为一阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题A n ，,n Ax x x R λ=∈则的所有特征值为实数，且存在个特征向量，它们是相互正交的A n ,1i T i n ≤≤（正交性orthogonality ），可做为的一组基（完备性completeness ）.n R 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之.为简单起见，在下面两个例子中取为阶非奇异实矩阵，故的所有特A n A 征值非零，并且假设有个线性无关的特征向量 相应的特征值为A n ,i T ., 1i i n λ≤≤例1.1 设，求解线性方程组 .n b R ∈Ax b =解 由于向量组线性无关，故可做为的一组基. 将按此{1}i T i n ≤≤n R ,x b 组基分别展开为，则等价于11 ,nni i i i i i x x T b bT ====∑∑Ax b =，11nni ii ii i x AT bT ===∑∑或，11nni i ii ii i x T bT λ===∑∑比较上式两边的系数可得i T ，1, 1i i i x b i n λ-=≤≤便是原问题的解.12( ... )n x x x x T =例1.2 设,. 求解非齐次常微0n x R ∈12()((),(),...,()), 0n n f t x t x t x t R t T =∈>分方程组， 0(), (0)dxAx f t x x dt=+=（1.4）其中 . '''12((),(),...,()),0n dx x t x t x t t dtT =>解 类似于上例，将按基分别展开为0,,()x x f t {1}i T i n ≤≤ .0111, , ()()nn n i i i ii i i i i x x T x x T f t f t T ======∑∑∑则（1.4）等价于，0111()() +(), (0), 1n n ni i i i i i i i i i i dx t T x t AT f t T x x i n dt =====≤≤∑∑∑或，011()(()()), (0),1nni i i i i i i i i i dx t T x t f t T x x i n dt λ===+=≤≤∑∑比较上式两边的系数可得i T . 0()()(), (0), 1i i i i i i dx t x t f t x x i n dtλ=+=≤≤（1.5）（1.5）是个一阶线性方程的初始值问题，很容易求出其解.请同学们给出解n 的具体表达式.(),1i x t i n ≤≤2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题在这一小节，我们讨论在本章常用的一些特征值问题. 代替上节的有限维线性空间和阶实对称矩阵，在这儿要用到线性空间的某个子空间n R n A [0,]C l 和该子空间上的二阶线性微分算子. 一般地取H A在满足齐次边界条件.2{()[0,]()H X x C l X x =∈0,x l =}（1.6）下面我们讨论二阶线性微分算子的特征值问题. 先取边界条件为22d A dx=-，设是的特征函数，即且满足(0)0,()0X X l ==()X x H ∈A ()0X x ≠.()()AX x X x λ=此问题等价于是下面问题的非零解()X x "()()0, 0(0)()0 .X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩（1.7）（1.7）便是二阶线性微分算子的特征值问题，即要找出所有使22d A dx=-得该问题有非零解的. 下面求解特征值问题（1.7）.λ首先证明要使（1.7）具有非零解，必须非负.λ设是相应于的一个非零解，用乘（1.7）中的方程，并在)(x X λ)(x X 上积分得[]l ,0，0)()()()("=+x X x X x X x X λ，0)()()( 0 2 0 "=+⎰⎰dx x X dx x X x X llλ.0)())(()()( 0 2 0 2'0'=+-⎰⎰dx x X dx x X x X x X lll λ由于，故有0)()0(==l X X ，2'2 0()(())llX x dx X x dx λ=⎰⎰.'22 0(())()0llX x dxX x dx λ=≥⎰⎰（1.8）当时，方程的通解为. 利用边界条件0λ=0)()("=+x X x X λ12()X x c c x =+可得，即. 因此，不是特征值.0)()0(==l X X 120c c ==()0X x =0λ=当时，方程的通解为0λ>0)()("=+x X x X λ. （1.9x C x C x X λλsin cos )(21+=）利用边界条件确定常数如下0)()0(==l X X 21,C C , ,10C =l C l C λλsin cos 021+=或.0sin 2=l C λ由于要求（1.7）中齐次微分方程的非零解，故不能为零. 故有2C .0sin =l λ，从而有0> ， ,πλn l =1n ≥， .2)(ln n πλ=1n ≥将代入到（1.8）中，并略去任意非零常数得n C C λ,,212C ， .x ln x X n πsin)(=1n ≥故特征值问题（1.7）的解为， ， 2(l n n πλ=x ln x X n πsin )(=1n ≥（1.10）注1 特征值问题是分离变量法的理论基础. 上面已求出特征值问题（1.7）的解为. 在高等数学中知道，在一定条件下区间{ sin 1 }n x n lπ≥的任一函数可按特征函数系展开为Fourier 级数. 换言[0 , ]l { sin 1 }n x n lπ≥之，特征函数系是区间上满足一定条件的函数所成无穷维空间的一组基，{ sin 1 }n x n lπ≥[0 , ]l 而且还是该空间上的一组正交基，即有. 特征函0sinsin 0 , ln m x n m l lππ=≠⎰数系的这两个根本性质：正交性和完备性（基），和定理1.1{ sin1 }n x n lπ≥有限维空间中相应结论很相似，只是现在的特征值和特征函数是无穷个. 另n R 外，若改变（1.7）中的边界条件，其相应的特征值和特征函数也会有所变化.如将边界条件变为，则特征值和特征函数分别为(0)0,'()0X X l ==. 2(21)(21)(),()sin ,022n n n n X x x n l lππλ++==≥该特征函数系也具有和特征函数系类似(21){ sin1 }2n x n l π+≥{ sin 1 }n x n lπ≥的性质，既正交性和完备性.此类问题的一般结果便是著名的Sturm—Liouville定理，有兴趣的同学可参阅参考文献.[1][4]-将以上的结果以定理的形式给出.定理1.2 考虑二阶线性微分算子的特征值问题[1],[4]22d A dx=- "()()()()0 , 0 ,(0)0,()0 .k m X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩（1.11）其中. 则该问题的特征值非负，且满足0,1k m ≤≤.120......n λλλ≤<<<<→∞相应的特征函数系在上是相互正交的. 且对于任一在区间上1{()}n n X x ≥[0,]l [0,]l 分段光滑的函数，可按特征函数系展开为如下的级数()f x 1{()}n n X x ≥Fourier ，1()()n n n f x f X x ∞==∑其中系数为Fourier .20()(), 1()l nn lnf x Xx dxf n Xx dx =≥⎰⎰为后面需要，下面再求解二阶线性微分算子带有周期边界条件的22d A dx=-特征值问题. 在偏微分方程教材中，习惯上用表示周期函数，即考虑下面()θΦ二阶线性微分算子的周期边值问题22d A dx=- "()()0, () (2), .θλθθθπθθ⎧Φ+Φ=-∞<<+∞⎨Φ=Φ+-∞<<+∞⎩（1.12）可证（1.12）和以下问题等价"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩（1.13）和（1.8）的证明相似易得（1.13）中的特征值.当时，0≥λ0λ=, 由周期边界条件可得. 所以为特征函数.12()c c θθΦ=+20c =0()1θΦ=当时，方程通解为0λ>,θλθλθsin cos )(21c c +=Φ求导得.'()c c θΦ=-+由周期边界条件可得112cos(2sin(2c c c c c c ππ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩或1212[1cos(2sin(20sin(2[1cos(20.c c c c ππ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩（1.14）由于要求非零解，故不能同时为零. 因此，齐次方程组（1.14）的系数矩12,c c 阵行列式必为零，即 .解之可得1cos(20-=，2n n =λ()cos sin .n n n c n d n θθθΦ=+此时对每个正特征值，特征函数有二个，既，. 总结所得2n n =λθn cos θn sin 结果为如下定理.定理1.3 考虑二阶线性微分算子带有周期边界条件的特征值问22d A d θ=-题"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩则该问题的特征值和特征函数分别为，.00,λ=0()1;θΦ=2n n =λ(){cos ,sin }, 1n n n n θθθΦ=≥§22 分离变量法⋅本节结合具体定解问题的求解来介绍分离变量法（method of separation of variables ）. 所举例子仅限于一维弦振动方程，一维热传导方程混合问题以及平面上一些特殊区域上的位势方程边值问题. 对高维问题的处理放在其它章节中介绍.以下多数例子均假定定解问题带有齐次边界条件. 否则,可利用边界条件齐次化方法转化之. 我们以弦振动方程的一个定解问题为例介绍分离变量法.2．2.1 弦振动方程定解问题例2.1求解两端固定弦振动方程的混合问题2(,), 0, 0 (2.1)(0,)0, (,)0, 0 (2.2)(,0)(), (,0)(),0. tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ-=<<>==≥==≤≤ (2.3)⎧⎪⎨⎪⎩解 分四步求解.第一步 导出并求解特征值问题. 即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该定解问题的特征值问题并求解.令，并代入到齐次方程中得)()(),(t T x X t x u =,0)()()()(''2''=-t T x X a x X t T 或.''''2()()()()X x T t X x a T t =上式左端是的函数而右端是的函数，要二者相等，只能等于同一常数.x t 令此常数为-，则有λ ， ，λ-=)()("x X x X "2()()T t a T t λ=-上面的第一个方程为.0)()("=+x X x X λ利用齐次边界条件（2.2），并结合得0)(≠t T .0)()0(==l X X 由此便得该定解问题的特征值问题为"()()0, 0(0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩其解为特征值：特征函数： 2() , 1 ;n n n lπλ=≥()sin, 1 .n n X x x n lπ=≥第二步 正交分解过程. 即将初值和自由项按特征函数系展成{}1()n n X x ≥Fourier 级数，并将也用特征函数表出.),(t x u {}1()n n X x ≥ ,11()()sinn n n n n n x X x x lπϕϕϕ∞∞====∑∑（2.4）, 11()()sinn n n n n n x X x x lπψψψ∞∞====∑∑（2.5）, 11(,)()()()sinn n n n n n f x t f t X x f t x lπ∞∞====∑∑（2.6）（2.711(,)()()()sinn n n n n n u x t T t X x T t x lπ∞∞====∑∑）这里，和分别为，和的Fourier 系数，具体表示如n ϕn ψ)(t f n )(x ϕ)(x ψ),(t x f 下,02()sin l n n d l l πϕϕααα=⎰,02()sin l n n d l l πψψααα=⎰,02()(,)sin l n n f t f t d l lπααα=⎰而为待定函数.)(t T n 第三步 待定系数法. 即先将和的Fourier 级数代入到（2.1）),(t x f ),(t x u 中，导出关于满足的常微分方程. 再利用初值条件（2.3）得出满足)(t T n )(t T n 的初始条件.假设(2.7)中的级数可逐项求导，并将（2.6）和（2.7）代入到（2.1）中得,"2"111()()()()()()nnnnn n n n n T t Xx aT t Xx f t X x ∞∞∞===-=∑∑∑,"2111()()()(())()()nnn nnn n n n n T t Xx aT t Xx f t X x λ∞∞∞===--=∑∑∑ . （2.8"211(()())()()()nn n n n n n n T t a T t X x f t X x λ∞∞==+=∑∑）由于Fourier 展式是唯一的，比较（2.8）两端系数得)(x X n（2.9"2()()(), 1.n n n n T t a T t f t n λ+=≥）在（2.7）中令并结合（2.4）得0=t （2.10()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑）比较（2.10）两端系数得)(x X n(0), 1.n n T n ϕ=≥（2.11）类似地可得'(0), 1.n n T n ψ=≥（2.12）结合（2.9），（2.11）和（2.12）便得出关于满足的二阶常系数非齐)(t T n (1)n ≥次方程初始值问题"2'()()(), 0(0), (0).n n n n n n n n T t a T t f t t T T λϕψ⎧+=>⎪⎨==⎪⎩（2.13）第四步 求解关于的定解问题（2.13），并将其结果代入到（2.7）中)(t T n 即可.为简单起见，我们设. 将代入到（2.13）中可得方程的通()0,1n f t n =≥n λ解为， t lan d t l a n c t T n n n ππsin cos)(+=利用初始条件确定常数如下,n n c d.'(0), (0)n n n n nn aT c T d lπϕψ====故有. ()cossin n n n l n a n a T t t t l n a lψππϕπ=+最后将上式代入到（2.7）中便得定解问题（2.1）—（2.3）的解为12(,)()sin cos sin l n n n a n u x t d t xlll lπππϕααα∞==∑⎰ (2.14)012()sin sin sin l n n n a n d t x n a l l l πππψαααπ∞=+∑⎰注1 利用分离变量法求解（2.1）—（2.3），需要假设在（2.7）中可通过无穷求和号逐项求导. 而通过号求导要对无穷级数加某些条件，在这里就∑∑不做专门讨论了. 今后遇到此类问题，我们均假设一切运算是可行的，即对求解过程只作形式上的推导而不考虑对问题应加什么条件. 通常称这样得出的解为形式解. 验证形式解是否为真解的问题，属于偏微分方程正则性理论的范围. 一般地讲，偏微分方程定解问题的解大多数是以无穷级数或含参变量积分形式给出的. 对这两类函数可微性的研究需要较深的数学知识，也有一定的难度，有兴趣的同学可查阅参考文献和. 我们约定：本书只求定解问题的形式解.[1][2]注2 当时，由（2.14）可以看出：两端固定弦振动的解是许多(,)0f x t =简单振动的叠加，当时，对任意的(,)()sinn n n u x t T t x l π=(11)k klx x k n n==≤≤-时刻，，即在振动的过程中有个点永远保持不动，所t (,)0n k u x t =(,)n u x t (1)n +以称这样的振动为驻波,而称为该驻波的节点.显然当k x 时，在这些点上振幅最大，称这些点为驻波的21(11)2k x l k n n+=≤≤-sin 1x =腹点. 因此，求特征函数实际上就是求由偏微分方程及边界条件所构定的系统所固有的一切驻波. 利用由系统本身所确定的简单振动来表示一些复杂的振动，便是分类变量法求解波动问题的物理解释.注3 例2.1的求解方法也叫特征函数法（eigenfunction method ），现已成为固定模式，也具有普适性. 初学者似乎会感到有些繁琐，但随着进一步的学习，同学们就会熟练掌握这一方法. 特征函数法的关键之处是求解偏微分方程定解问题相应的特征值问题，而基本思想就是笛卡尔（Descartes ）坐标系的思想.如在三维空间中，每个向量可由基的线性组合表出，两个向量3R {,,}i j k 111222 , a i b j c k a i b j c kαβ=++=++相等当且仅当在基下两个向量的坐标相等. 既.{,,}i j k121212 , , a a b b c c ===与此相类似，在例2.1求解中也是比较方程或初始条件两边的系数而得()n X x 到（2.13）. 与三维空间相比较，例2.1中特征函数系相当3R { sin1 }n x n lπ≥于3R 中的基，而也就相当于上面的，即定解问题的解{,,}i j k{ T () 1 }n t n ≥111{,,}a b c 关于基函数的坐标. 因此，在具有可数基的无穷维空间中，特{ sin1 }n x n lπ≥征函数法也称为待定系数法.例2.2 设有一均匀细弦，其线密度为. 若端为自由端，端固ρ0x =x l =定.初始速度和初始位移分别为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为. 求此弦的振动. sin t ω 解 所求定解问题为（2.1521 sin , 0, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x t u a u t x l t u t u l t t u x u x x l ρω-⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩）利用特征函数法求解该问题.情形1 非共振问题，即.22, 0n a n ωλ≠≥ 该定解问题的特征值问题为(2.16)"'()()0, 0(0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩其解为， ， 2(21)()2n n l πλ+=(21)()cos 2n n X x x lπ+=0n ≥将按特征函数展开成Fourier 级数得1sin t ρω-{}0)(≥n n x X , （2.17)11sin ()()n n n t f t X x ωρ∞==∑.021214()sin sin sin sin 2(21)l n n n f t t d t f t l l n ωπααωωρπρ+===+⎰令(,)()()n n n u x t T t X x ∞==∑（2.18）完全类似例2.1的求解过程可得，对于任意满足下面问题0, ()n n T t ≥（2.19"2'()()sin , 0(0)0, (0)0.n n n n n n T t a T t f t t T T λω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩）初值问题(2.19)中齐次方程的通解为，12()cos sin n T t c c =+而非齐次方程的一个特解为.22()sin nn n f T t t a ωλω=-因此，（2.19）的通解为. 1222()cos sin sin nn n f T t c c t a ωλω=++-（2.20）由初始条件可确定出120, c c ==最后将所得到的代入到（2.18）中便得（2.15）的解.()n T t 情形2 共振问题，即存在某个 使得.0,n ≥22n a ωλ=不妨假设.此时，在情形1中求解所得到的不变.220a ωλ={ T () 1 }n t n ≥当时，要求解以下问题0n = "2000'00()()sin , 0(0)0, (0)0.T t T t f t t T T ωω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩（2.21）（2.21）中齐次方程通解为.012()cos sin T t c t c t ωω=+为求得非齐次方程的一个特解，要将（2.21）中方程的自由項换为，而求0i t f e ω以下问题的一个特解"2000()().i t T t T t f e ωω+=令并代入到上面非齐次方程中可得 ，故有()i t T t Ate ω=02f iA ω=-，00()sin cos 22f t f tT t t i t ωωωω=-取其虚部便得（2.21）中方程的一个特解为. 00()Im(())cos 2f tT t T t t ωω==-结合以上所得结果便可得到（2.21）中方程的通解为，0012()cos sin cos 2f tT t c t c t t ωωωω=+-由初始条件确定出 ，由此可得01220, 2fc c ω==.0002()sin cos 22f f tT t t t ωωωω=-将代入到（2.18）中便得在共振条件下（2.15）的解为()n T t 000102112(,)()()()()()()(sin cos )cos ()()222 (,)(,) .n n n n n n n n n u x t T t X x T t X x T t X x f f t t t x T t X x l u x t u x t πωωωω∞=∞=∞===+=-+=+∑∑∑可以证明: 是有界的. 而在的表达式中取 ，则2(,)u x t 1(,)u x t 2k k t πω=中的基本波函数的振幅当逐渐变大时将趋于无穷大，最1(,)u x t cos2x lπ0()k T t k 终要导致弦线在某一时刻断裂，这种现象在物理上称为共振. 注意到在上面求解过程中我们取周期外力的频率等于系统的第一固有频率ω波函数分量上发生共振. 一般地讲，当周期外力的频率很接近或等于系统的ω某个固有频率时，系统都会有共振现象发生，即弦线上一些点的振幅将随着时间的增大而不断变大，导致弦线在某一时刻断裂.2．2.2 热传导方程定解问题例2.3 求解下面热方程定解问题（2.2220, 0, 0 (0,), (,)sin , 0(,0)0, 0.t xx x u a u x l t u t u u l t t t u x x l ω⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩）解 利用特征函数法求解(2.22).首先将边界条件齐次化,取，并令，则0(,)sin w x t u x t ω=+w u v -=（2.22）转化为（2.2320cos , 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0), 0.t xx x v a v x t x l t v t v l t t v x u x l ωω⎧-=-<<>⎪==≥⎨⎪=-≤≤⎩）利用分离变量法可得（2.23）的特征值问题为"()()0, 0(0)0, '()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩特征值和特征函数分别为,2(21)()2n n lπλ+=0≥n .(21)()sin 2n n X x x lπ+=0≥n 将，按特征函数展成Fourier 级数(,)cos f x t x t ωω=-0)(u x -=ϕ{}0)(≥n n x X 得， (2.24)cos ()()n n n x t f t X x ωω∞=-=∑,02(21)()(1)cos sin cos 2l n n n f t t d f t l lπωαωααω+=-=⎰其中. 1228(1)(12)n n l f n ωπ+-=+ ， (2.25)00n n n u X ϕ∞=-=∑其中.00042(21)()sin 2(12)l n u n u d l l n πϕααπ-+=-=+⎰令(2.26)(,)()(), n n n v x t T x X x ∞==∑并将（2.26）代入到（2.23）中的方程得,'2"()()()()cos ()nnnnn n n n n T t Xx aT t Xx f tX x ω∞∞∞===-=∑∑∑.'2(()())()cos ()nn nnn n n n T t a T t Xx f tX x λω∞∞==+=∑∑在（2.26）中令并结合（2.25）得0=t .()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑比较上面两式中特征函数的系数便得()n X x（2.27'2()()cos , 0(0).n n n n n n T t a T t f t t T λωϕ⎧+=>⎪⎨=⎪⎩）（2.27）是一阶常系数常微分方程初值问题.齐次方程通解为.t a n n Ce t T λ2)(-=令，并利用待定系数法求特解可得()cos sin n T t A t B t ωω=+ ,2242242()cos sin n n nn n na f f T t t t a a λωωωωλωλ=+++故有（2.2822242242()cos sin n a tn n nn n na f f T t Cet t a a λλωωωωλωλ-=++++）在上式中代得0t =,2242n nn na f C a λϕωλ=++ . 2242n nn na f C a λϕωλ=-+最后将(2.28)代入到(2.26)中便得(2.23)的解为.0(21)(,)()sin2n n n v x t T t x lπ∞=+=∑故（2.21）的解为),(),(),(t x w t x v t x u +=0 (,)sin v x t u x t ω=++其中由（2.28）给出. )(t T n2．2.3 平面上位势方程边值问题考虑矩形域上Poisson 方程边值问题1212(,), , (,)(), (,)(), (,)(), (,)(), .xx yy u u f x y a x b c y d u a y g y u b y g y c y d u x c f x u x d f x a x b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2.29）我们假设或. 否则，利用边界条件齐次化方法0)()(21==x f x f 0)()(21==y g y g 化非齐次边界条件为齐次边界条件. 当然，也可以利用叠加原理将（2.29）分解为二个问题，其中一个关于具有齐次边界条件，而另一个关于具有齐次边x y 界条件.例2.4 求解Dirichlet 问题（2.300, 02, 0 1 (0,)0, (2,)0, 01(,0)1, (,1)(1), 0 2.xx yy u u x y u y u y y u x u x x x x +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==-≤≤⎩）解 令并将其代入到（2.29）中齐次方程得)()(),(y Y x X y x u =,0)()()()(""=+y Y x X y Y x X ,λ-=-=)()()()(""y Y y Y x X x X （2.31"()()0, 0 2(0)0, (2)0.X x X x x X X λ⎧+=<<⎨==⎩）0)()("=-y Y y Y λ（2.32）（2.31）便是（2.30）的特征值问题，其解为， ， .2)2(πλn n =x n x X n 2sin)(π=1≥n 将代入到（2.32）中得n λ ，0)()("=-y Y y Y n λ（2.33）该方程有两个线性无关解，. 由于，也是（2.33）的y n e2πy n e2π-2n shy π2n ch y π解且线性无关，故（2.33）通解为.y n ch d y n shc y Y n n n 22)(ππ+=令(2.34)11(,)()()()sin 222n n n n n n n n n u x y X x Y y c shy d ch y x πππ∞∞====+∑∑则满足（2.30）中方程和关于的齐次边界条件. 利用关于的边界条),(y x u x y 件可如下确定，，n c n d ,∑∞==12sin1n n x n d π . （2.35))1(1(22sin12220n n n d n d --=⨯=⎰πααπ）,x n n ch d n shc x x n n n ∑∞=+=-12sin )22()1(πππ . 22))1(1(22)1(416)1(163322ππππππn sh n chn n sh n n c n nnn -------=（2.36）故（2.30）解为（2.371(,)()sin ,222n n n n n n u x y c shy d ch y x πππ∞==+∑）其中，由（2.36）和（2.35）确定.n c n d 对于圆域，扇形域和圆环域上的Poisson 方程边值问题，求解方法和矩形域上的定解问题无本质区别，只是在此时要利用极坐标.同学们自己可验证：令，作自变量变换，则有θρcos =x θρsin =y .θθρρρρρu u u u u yy xx 211++=+令，将其代入到极坐标下的Laplace 方程中得)()(),(θρθρΦ=R u 222330216(1)164(1)(1)sin ,2222n nn n n n n n c sh d ch d n ππππααααπ----+=-=⎰,"'"211()()()()()()0R R R ρθρθρθρρΦ+Φ+Φ=,"'"211(()())()()()0R R R ρρθρθρρ+Φ+Φ=,"'"21()()()1()()R R R ρρθρλθρρ+Φ=-=-Φ故有, （2.380)()("=Φ+Φθλθ）. （2.390)()()('"2=-+ρλρρρρR R R ）方程（2.38）结合一定的边界条件便得相应定解问题的特征值问题,而（2.39）是欧拉（Euler ）方程. 对（2.39）作自变量变换可得s e =ρ ， ,s e =ρρln =s ,'1s dR dR ds R d ds d ρρρ==.2222'''2222211()ss s d R d R ds dR d s R R d ds d ds d ρρρρρ=+=-将以上各式代入到（2.39）得. （2.40''0ss R R λ-=）例2.5 求下面扇形域上Dirichlet 问题（2.4122220, 0, 0, 4(,0)0, 0 2(0,)0, 0 2 (,), 4. xx yy u u x y x y u x x u y y u x y xy x y ⎧+=>>+<⎪=≤≤⎪⎨=≤≤⎪⎪=+=⎩）的有界解.解 令，作自变量变换，（2.41）转化为θρcos =x θρsin =y（2.42）2110, 0, 0 2 2(,0)0, (,0, 022(2,)2sin 2, 0.2u u u u u u ρρρθθπθρρρπρρρπθθθ⎧++=<<<<⎪⎪⎪==≤≤⎨⎪⎪=≤≤⎪⎩令代入到（2.42）中的方程，并结合边界条件可得)()(),(θρθρΦ=R u"()()0, 0<</2(0)0, (/2)0.θλθθππ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ=⎩（2.43）. （2.440)()()('"2=-+ρλρρρρR R R ）（2.43）便是（2.42）的特征值问题.求解特征值问题（2.43）可得， ， .224)2/(n n n ==ππλθθn n 2sin )(=Φ1≥n 将代入到（2.44）中，并令作自变量变换可得n λs e =ρ,"240ss R n R -=.2222()ns ns n n n n n n n R c e d e c d ρρρ--=+=+由于是求（2.42）的有界解，故有，即. 从而有∞<)0(R 0=n d .n n n c R 2)(ρρ= 上面求出的对每个都满足（2.42）中的方程和齐(,)()()n n n u R ρθρθ=Φ1n ≥次边界条件，由叠加原理得, （2.45∑∑∞=∞==Φ=1212sin )()(),(n n n n n n n c R u θρθρθρ）也满足（2.42）中的方程和齐次边界条件.为使（2.42）中的非齐次边界条件得以满足，在（2.45）中令得(2,)2sin u θθ=2ρ= ，212sin 22sin 2n n n c n θθ∞==∑（2.46）比较上式两边特征函数的系数得θθn n 2sin )(=Φ ， .112c =1)( 0≠=n c n 将，代入到（2.45）中便得（2.42）的解为1c 1)(≠n c n . θρθρ2sin 21),(2=u 例2.6 求解圆域上Dirichlet 问题2110, 0, 02(,)(), 02.u u u a u a ρρρθθρθπρρθϕθθπ⎧++=<<≤<⎪⎨⎪=≤≤⎩（2.47）解 圆域上的函数相当于关于变量具有周期. 令(,)u ρθθ2π并代入到（2.46）中的方程可得)()(),(θρθρΦ=R u（2.48"()()0() (2).θλθθπθ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ+⎩）. （2.490)()()('"2=-+ρλρρρρR R R ）（2.48）是定解问题（2.47）的特征值问题. 由定理1.3知（2.48）的解为.2, ()cos sin , 0n n n n n c n d n n λθθθ=Φ=+≥将代入到（2.49）中可得(要利用自然边界条件)n λ(0,)u θ<∞,，00)(c R =ρn n n c R ρρ=)(1≥n 利用叠加原理可得（2.47）的如下形式解.∑∞=++=10)sin cos (),(n n n n n d n c c u θθρθρ（2.50）根据边界条件得)(),(θϕθ=a u ,01()(cos sin )n n n n c a c n d n ϕθθθ∞==++∑其中,2001()2c d πϕττπ=⎰,⎰=πτττϕπ20cos )(1d n a c n n .⎰=πτττϕπ20sin )(1d n a d n n 将以上各式代入到（2.50）中便得（2.47）的解为2 2 0 0111(,)()()(()cos cos 2n n u d n d n a ππρρθϕττϕτττθππ∞==+∑⎰⎰ .)sin sin )(12 0 ⎰+πθτττϕπn d n （2.51）注4 利用等式可将（2.51）化为如下形)Re()(cos 1)(1∑∑∞=-∞==-n in n n n e c n c τθτθ式（2.522222201()()(,),22cos()a u d a a πρϕτρθτπρρθτ-=+--⎰）式（2.52）称为圆域上调和函数的Poisson 公式. 在后面学习中还将用其它方法导出它. 注5 在例2.5和例2.6中，如果方程中自由项不为零，若),(θρf 特殊，可用函数代换将自由项化为零而转化齐次方程. 对于一般的),(θρf ，要利用特征函数方法求解.),(θρf 注6 上面例2.3—例2.6几个定解问题的求解思想和主要过程，是伟大的数学家和物理学家Fourier 给出的，详细内容见参考文献. 在这部著名论著[5]中，Fourier 首次利用偏微分方程来研究热问题，并系统地介绍了分离变量法的基本思想和主要步骤. 结合本节所举例子，请同学们小结一下在本章所学过的特征值问题，二阶常系数非齐次常微分方程和欧拉方程的求解方法. 习 题 二1. 设有如下定解问题2(,), 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩利用分离变量法导出该定解问题的特征值问题并求解.2.求解下列特征值问题 （1） "''()()0, 0 (0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩ （2） "()()0, 1 1 (1)0,(1)0X x X x x X X λ⎧+=-<<⎨-==⎩ （3） "()()0, 0 '(0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩ （4） "()()0, 02 (0)(2), '(0)'(2).X x X x x l X X l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩3 考虑下面特征值问题*"()()0, 0 (0)0, '()()0.X x X x x l X X l X l λ⎧+=<<⎨=+=⎩（1）证明一切特征值0.λ>（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的.（3）求出所有的特征值和相应的特征函数.4． 设在区间一阶连续可导且 考虑如下特(),()p x q x [0,]l ()0,()0.p x q x >≥征值问题[()()]()()(), 0 (0)0, ()0.d d p x X x q x X x X x x l dx dx X X l λ⎧-+=<<⎪⎨⎪==⎩（1）证明一切特征值0.λ≥（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的.5．求解下列弦振动方程的定解问题（1）20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx x x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x l ⎧-=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩ （2） 20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 035(,0)sin , (,0)sin , 0.22tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l l l ππ⎧⎪-=<>⎪==≥⎨⎪⎪==≤≤⎩（3） 240, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0), (,0)0, 0 1.tt xx t u u u x t u t u t t u x x x u x x ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=-=≤≤⎩（4） 242sin , 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x x t u u u x x t u t u t t u x u x x πππ⎧--=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（5） 22, 0, 0 (0,) (,)0, 0(,0)0, (,0), 0.tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x u x A x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩6．求解下列热传导方程的定解问题（1） 2cos , 0<, 02(0,)1, (,), 0(,0)0, 0<.t xx x x u a u x t u t u t t u x x ππππ⎧-=<>⎪⎪==≥⎨⎪=<⎪⎩（2） 22, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0)sin , 0< 1.t xx x u a u u x t u t u t t u x x x π⎧-=<>⎪==≥⎨⎪=<⎩（3） 220, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx u a u b u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（4） 2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)1, 0.t xx x x u a u xt x l t u t u l t t u x x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩7. 求解下面位势方程定解问题（1） , 0, 0 (,0)0, (,)0, 0(0,)0, (,), 0.xx yy y y u u x x a y b u x u x b x a u y u a y Ay y b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2）22220, 0, , 4 (,0)0, 02, (,)0, 0(,), 4.xx yy u u y x y x y u x x u x x x u x y x y x y ⎧+=>>+<⎪⎪=≤≤=≤≤⎨⎪=++=⎪⎩（3） 22220, 4 (,)1, 4.xx yy u u x y u x y x x y ⎧+=+<⎪⎨=++=⎪⎩（4） 222222, 1< 4 (,)0, 1 (,), 4.xx yy u u xy x y u x y x y u x y x y x y ⎧+=+<⎪⎪=+=⎨⎪=++=⎪⎩8 设在区间的Fourier 展开式为 *()x ϕ[0,]l 1()sin ,k k k x x c l πϕ∞==∑（6.1）其部分和为 求解或证明以下结果.1()sin ,n n k k k x S x c l π==∑（1）设，求.()[0,]x C l ϕ∈20[()()]l n x S x dx ϕ-⎰（2）证明下面贝塞尔（Bessel ）不等式 22012().l k k c x dx l ϕ∞=≤∑⎰（6.2）（3）设，的二阶导数的Fourier 展开式为2()[0,]x C l ϕ∈()x ϕ1''()sin ,n n n x x d l πϕ∞==∑如果 ，利用分部积分法证明(0)()0l ϕϕ==2, 1,n n d An c n =≥（6.3）其中为正常数.A （4）利用（6.2）和（6.3）证明（6.1）中的三角级数在区间上一致[0,]l 收敛，并且可以逐項求导.9 考虑如下定解问题* 2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（1）给出该定解问题的物理解释.（2）当经过充分长的时间后，导热杆上的温度分布如何？(,)u x t （3）求极限.lim (,)t u x t →+∞10 考虑如下定解问题*2, 0, 0 (0,), (,), 0(,0)(), 0.t xx x u a u x l t u t A u l t B t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（1）给出该定解问题的物理解释.（2）求极限.lim (,)t u x t →+∞11 考虑下面定解问题 *20, 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx t t u u u u x t u t u t t u x x u x x πππ-++=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（1）解释该定解问题方程中各项的物理意义.（2）推导出问题的特征值问题并求解.（3）写出该问题解的待定表示式并求出表达式中第一特征函数的系数.12 考虑下面定解问题 * (,), 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x x t u u f x t x t u t u t t u x x u x x x ππϕψπ-=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（12.1）（1）写出该定解问题的特征值和特征函数 ,(),0.n n X x n λ≥（2）如果，而，求解该定解问题.()0,()0x x ϕψ==(,)f x t t =（3）如果，证明 ，下面等式(,)0f x t =0τ∀>，222200[(,)(,)][()()]l l t x x u x u x dx x x dx ττψϕ+=+⎰⎰（12.2）成立，解释该等式的物理意义.（4）证明（12.1）的解是唯一的.。
常微分方程分离变量法
常微分方程分离变量法
常微分方程是指只包含一个未知函数及其导数的方程。
分离变量法是求解常微分方程的一种常用方法。
下面介绍具体步骤：
1. 将方程移项，将未知函数和导数分别归到等式的两边。
2. 将方程两边除以包含未知函数的项，将未知函数和导数分开。
3. 将未知函数的导数乘以一个系数（可以是任意实数），将等式两边分别积分。
4. 对于积分后的表达式，解释其含义得到未知函数的解。
5. 若原方程中包含初值条件，则通过代入初值条件求解得到特定的解。
需要注意的是，在进行分离变量的时候，应该考虑到未知函数的定义域以及可能的不可导点。
这只是一种常用的求解常微分方程的方法，对于特定的方程可能还存在其他更适用的方法。
此外，对于某些特殊的微分方程，分离变量法可能无法解决，需要采用其他的方法，如变量代换法、常系数线性齐次方程等。
第二章 分离变量法2
( n m )sin( n m )l ( n m )sin( n m )l 2( n m )( n m )
m sin nl cos ml n cos nl sin ml 0 ( n m )( n m )
0
l
x
解：
ut a2uxx 0
u( x, t ) x0 0
第一类边界条件 第二类边界条件
ux ( x, t ) xl 0
u t 0 u0
分离变量：
u( x, t ) X ( x)T (t )
XT ' 'a 2 X ' ' T 0
X (0)T (t ) 0
X ' (l )T (t ) 0
(2k 1)x u ( x,0) Ck sin u0 ; 2l k 0
2 (2k 1) Ck u0 sin d l 0 2l
l
'' 2 X ( x) X ( x) 0, ' X (0) 0, X (l ) hX (l ) 0.
第二步：求解特征值问题
方程的通解形式为 X ( x) A cos x B sin x
A 0, 由边界条件得 cos l h sin l 0 tan l . h 1 令 l , tan hl 上方程的解可以看作曲线y1 tan ，y2 交点的横坐标，显然他们
(第一类边界条件）
(第二类边界条件）
X '' ( x) X ( x) 0 X (0) X (l )+hX (l ) 0
分离变量法的步骤
分离变量法的步骤
嘿，咱今儿个就来说说这分离变量法的步骤哈！这分离变量法啊，
就像是解开一道复杂谜题的钥匙呢！
首先呢，咱得把那个复杂的方程给定住咯，就像抓住一只调皮的小
猴子，别让它乱跑。
然后呢，咱试着把能分离开的变量给它分离开来，这就好比把一堆混杂在一起的糖果给分拣出来一样。
比如说有个方程，一边是关于 x 的式子，另一边是关于 y 的式子，
咱就得想法子让它们各在各的一边呆着，井水不犯河水。
这可不是件
容易事儿啊，得有点耐心，有点技巧。
接下来，就该对分离开的两边分别进行处理啦！该积分的积分，该
化简的化简。
这就好像给分开的糖果们穿上漂亮的包装纸一样。
等把两边都处理得差不多了，嘿，神奇的事情可能就发生了，答案
说不定就呼之欲出啦！这感觉，就像是在黑暗中突然找到了那盏明灯
一样，让人兴奋不已呀！
咱再想想，这不就跟咱生活中很多事情一样嘛！有时候遇到个麻烦
事儿，咱也得把它给拆解开来，一步一步地去解决。
不能一股脑儿地
瞎干，得有方法，有策略。
分离变量法不就是教我们怎么有条理地去解决问题嘛！你看，数学
里的这些方法啊，其实都是有大智慧在里面的呢。
咱要是能把这分离变量法掌握得透透的，那以后再遇到类似的问题，还怕啥呀！就像咱有了一把万能钥匙，啥锁都能给它打开咯！
所以啊，大家可别小瞧了这分离变量法的步骤，一步一步走稳了，
才能在数学的道路上越走越远，越走越顺溜呀！这可是咱探索数学奥
秘的重要法宝呢！大家可得好好琢磨琢磨，多练练手，把它变成自己
的拿手好戏！加油吧！。
分离变量法
第二章 分离变量法一 齐次偏微分方程的分离变量法1 有界弦的自由振动（1） 考虑两端固定的弦振动方程的混合问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<∂∂=∂∂==)(|),(|0),(),0(0,0,01022222x u x u t l u t u t l x x u a t u t t φϕ ① 这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。
求解这样的方程可用叠加原理。
类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。
所谓),(t x u 具有分离变量的形式，即)()(),(t T x X t x u =把)()(),(t T x X t x u =带入方程①中，可得到常微分方程定解为：),(t x u ＝∑∞=1),(n n t x u ＝l x n l t an D l t an C n n n πππ∑∞=+1sin )sin cos (其中：⎰=l n dx l x n x l C 0sin )(2πϕ，⎰=l n dx lx n x an D 0sin )(2πφπ 2离变量法的解题步骤可以分成三步：(一) 首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。
(二) 确定特征值与特征函数。
(三) 求出特征值和特征函数后，再解其它的常微分方程，将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解。
3 有限长杆上的热传导设有一均匀细杆，长为l ，比热为c ，热传导系数为k ，杆的侧面是绝缘的，在杆的一端温度保持为0度，另一端杆的热量自由散发到周围温度是0的介质中，杆与介质的热交换系数为0k ，已知杆上的初温分布为)(x ϕ，求杆上温度的变化规律，也就是要考虑下列问题：0,0,22222><<∂∂=∂∂t l x xu a t u (2.18) 0),(,0),0(=+∂∂=t l hu xt l u t u ），（ (2.19) )()0,(x x u ϕ= (2.20) 其中ρc k a =2，00>=k k h注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的，因此仍用分离变量法来求解。
第三章分离变量法2
第三章分离变量法2第三章贝塞尔函数对两个自变量的偏微分方程，我们在第二章中比较系统地介绍了分离变量法的基本思想以及求解相应定解问题的主要步骤。
本章讨论多于两个自变量的情形，其求解过程和两个自变量情形基本相同，区别仅在于特征值问题的求解要用到一类特殊函数—贝塞尔（Bessel ）函数。
首先对二阶常微分方程解的性质和幂级数解法做一简单回顾，为学习贝塞尔方程提供一些必要的基础知识。
节3.2讨论贝塞尔方程的幂级数解法及贝塞尔方程的特征值问题。
由贝塞尔方程解引入的贝塞尔函数（方程的特定形式的解）是一类重要的特殊函数，在其它一些学科也有广泛应用。
但限于篇幅，我们仅列举了贝塞尔函数的一些基本性质，并未加以证明。
节3.3介绍含多于两个自变量方程的定解问题的分离变量法。
§3?1 二阶线性常微分方程的幂级数解法3.1.1 常系数线性方程的基解组熟知，对于常系数线性常微分方程，只要求出其特征方程的根，就很容易写出齐次方程的基解组，并由此求得齐次方程通解表达式。
例3.1 求解下列齐次微分方程 (1) '''320y y y -+=。
(2) '''4130y y y ++=。
(3) '''440y y y ++=。
解 (1) 微分方程的特征方程为2320λλ-+= 特征根为121,2,λλ== 故方程的基解组为2{, }x x e e ，通解为2x x y ce de =+，其中c 、d 为任意常数。
（2）特征方程为24130λλ++= 特征根为1223, 23i i λλ=-+=--，是一对共轭复数，由此知方程（2）的基解组为(23)(23){, }i x i x e e -+--。
注意到2(23)(23)1cos3 (+ )2x i x i x e x e e --+--=2(23)(23)1sin 3 ( )2x i x i x e x e e i--+--=-所以实值函数22cos3, sin 3x x e x e x --也是方程（2）的解,且线性无关，因此22{cos3, sin 3}x x e x e x --构成方程（2）的实基解组。
数理方程-分离变量法(2)
n Tn (0) cos l x 0 n 1
n0
T0 ' (t ) A sin t T0 (0) 0
T0 (t ) A (1 cos t )
n0 n a 2 Tn ' (t ) ( ) Tn (t ) 0 l Tn (0) 0
§2.1
分离变量
引例： 有界弦的自由振动 研究两端固定弦的自由振动. 定解问题为：
2 2u 2 u 0, 0 x l , t 0 2 a 2 x t t0 u x 0 0, u x l 0, u ( x ), u ( x ), 0 x l t 0 t t 0
二阶常系数非齐次线性方程解法
方程 解法
y py qy f ( x )
待定系数法。
(1)
f ( x ) e x Pm ( x ) 型
设 y x k e x Qm ( x ) ,
0 k 1 2
不是特征方程的根 是特征方程单根 是特征方程重根
.
常数变异法，令
Fourier级数 法
n u ( x, t ) Tn (t ) cos x 代入泛定方程有 l n 0 n a 2 n [Tn ' (t ) ( l ) Tn (t )] cos l x A sin t n 0
代入初始条件 有
u( x,0) 0
二、解的物理意义
驻波叠加
初位相
角频率
⑴弦上各点的角频率 和初位相 有波形的传播现象。 n x=x0时：
un ( x0 , t ) An sin l
都相同，因而没
第二节 分离变量法
一阶微分方程包括：
可分离变量的微分方程 齐次方程 一阶线性微分方程
1
第七章
微分方程
一阶微分方程
第二节
可以写成 或
可分离变量的微分方程
y f ( x ) g( y ) 的形式, 可分离变量的方程
7
一阶微分方程
例 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔 流出, 小孔横截面积为1平方厘米 (如图). 开始时 容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里 水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律.
解 由力学知识 得,水从孔口 流出的流量为 dV Q 0.62 S 2 gh dt 流量系数 孔口截面面积 重力加速度
1. 分离变量,把方程化为 ( y )dy ( x )dx 的形式； 2. 将上式 两边积分
( y )dy ( x )dx C ;
其中C为任意常数. 由上式确定的函数 y y( x , C ) 就是方程的通解 (隐式通解).
这种解方程的方法称为 分离变量法.
3
一阶微分方程
2x
2x f ( x ) Ce 两边积分 ln f ( x ) 2 x lnC
f ( x)
由原关系式 f (0) ln 2 C ln 2, 得
f ( x习题7-2(304页) 1.(6)(8) 2.(1)(3)(5) 6.
11
例 求方程 x(1 y 2 )dx y(1 x 2 )dy 0 的通解. y x 解 分离变量 2 dy 2 dx 1 y 1 x 两端积分
高中数学解题方法之分离变量法(含标准答案)
分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.定理2 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.定理3 方程()()f x g a =有解⇔()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组：1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。
2、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。
第二章分离变量法
第二章分离变量法1.6.1 ：线性叠加原理本章将研究求解某些典型区域上定解问题的一种经典方法——分离变量法。
这一方法的理论根据是线性叠加原理， 为讨论这一原理， 现介绍一些相关概念。
一、算子与线性算子一般的 n 自变量的二阶偏微分方程可写为naijx2unb i ucu f ------(a)i , j 1xj i 1 xii其中 a ,b , c, f 均为 (x , x ,L , x ) 的函数。
iji12 n如：一维波动方程2ua 22uf (t, x) ；t 2x2二维场位方程2u2uf (x, y) ；t 2x2三维热传导方程2ua 22ua 22ua 22uf (t, x, y, z) ，等。
t 2x2y2z2(a) 式可进一步简写为 Lu f ，n2n其中 Laijx xb i xc ，称为二阶微分算子。
i , j 1ij i 1i算子 T 把数域 上的一类函数映射为另一类函数。
若对 中任意 1,2 ，有 T( 1u 1 2u 2) 1Tu 1 2Tu 2 ，称 T 为线性算子。
显然，上述算子 L 为线性微分算子。
二、 ( 线性 ) 叠加原理根据情况的不同，叠加原理可有不同的表达方式：uur定理 1.6.1 ：设 L 为关于 x( x 1, x 2,L , x n ) 的任意线性微分算子，则uur (1) 有限叠加原理：若 u j ( x)uur满足 Lu j ( x)uurf j ( x) ( j 1,2,L , m) ，则uurmuuruurmuuru(x)j u j (x) 满足 Lu (x)j f j ( x) ( j) 。
j 1j 1uur(2) 级数叠加原理：若 u j ( x)uuruur满足 Lu j ( x) f j ( x) ( j 1,2,L , m) ，则uuruuruuruur) 。
u(x) j u j (x) 满足 Lu (x)j f j ( x) ( j j 1j 1uuruur(3) 积分叠加原理：若 u(x , ) 满足 Lu(x ,uuv( ) uuv )满足uuvU ( )( x dLU ( x )Vuur) f ( x , )( V ) ，则uuv( ) f (x ; )d。
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微分方程：不但含有未 知函数，而且还含有未 知函数的导函数的方程 。 常微分方程：只有一个 自变量的微分方程。
齐次微分方程：特指仅 仅含有未知函数，以及 未知函数的导函数的微 分方程。 非齐次微分方程：特指 不仅含有未知函数，以 及未知函数的导函数， 而且还含有 自变量（包括非零常数 ）的微分方程。
u x0 0 X (0)T (t ) 0 u x l 0 X (l ) T (t ) 0
其中， T ( t ) 0 。盖由于 T ( t ) 0 ，则 u( x , t ) 0 , 所涉及的解，显然
不是我们所需要的（零解！！！）。 由此可见，只有 X (0) X ( l ) 0 。将此结果与所得到的常微分方 程
2 2 其中 An C n Dn
(n 1,2,3)
分析方法：先固定时间 变量 t ，观察在任意指定时刻 波的形状；
, n
n a l
, n arc tan
Dn Cn
讨论：（）当时间t 取确定值 t0 时，得 1 n un ( x , t 0 ) An sin x l 其中 An An cos( n t 0 n ) 是一个确定值。
X ( x ) X ( x ) 0
X (0) X (l ) 0
确定λ 取何值时 ，方程 X ( x ) X ( x ) 0 有满足条件
λ——本征值
X (0) X (l ) 0 的非零解；
求出这个非零解 X ( x ) 。
λ——本征值 问题
λ——本征函数
u 中的变量 x , t
被形式上分离为 振幅-关于时间t 位相-关于坐标x
一、对此，试探性提出方程组
中第一个方程的分离变量 形式的非零解（特解）
u ( x, t ) X ( x ) T ( t )
上式分别对 x 、 t 求偏导
2 2u 2 u , 0 x l ,t 0 2 a t x2 u | x 0 0 , u | x l 0 , t 0 u | ( x ) ; u ( x ) , 0 x l . t 0 t t 0
这里表明，在任一确定 时刻t0 ，波 u( x, t0 ) 的形状都是一些正弦波 ， 只是振幅 An 随时间 t 0 的选取不同而变化。
un ( x , t ) An cos( n t n ) sin
中的第二个方程（关于X ）联立
X ( x ) X ( x ) 0
X (0) X (l ) 0
T (t ) a 2T (t ) 0
X ( x ) X ( x ) 0
三、在右列方程组中，解出非零的 X ( x ) 以下的任务：
。
n x. l
( n 1,2,3)
名词解析
u ( x, t ) X ( x ) T ( t )
X ( x ) T ( t ) 2 X ( x) a T (t )
本征值 本征函数
n 2 2 n 2 l
(1)
n x. l ( n 1,2,3)
X n ( x ) Bn sin
A B0
即 X ( x ) 0 ，不符合非零解的要求，再舍去！
（3）. 设 λ> 0 . 并令λ=β2 (β为非零实数),此时方程
X ( x ) X ( x ) 0 的通解为
X ( x ) A cos x B sin x
由边界条件 X (0) X ( l ) 0 得
2 2u 2 u , 0 x l ,t 0 2 a t x2 u | x 0 0 , u | x l 0 , t 0 u | ( x ) ; u ( x ) , 0 x l . t 0 t t 0
l
解的物理意义
a n a n n un ( x, t ) C n cos t Dn sin t sin x l l l
再固定弦上之一点x ，观察该点的振动规律 。
数学处理：将括号内的 三角函数，行“和差化 积”，可得 n un ( x , t ) An cos( n t n ) sin x l
偏微分方程
定解条件
求满足它们的解（定解问题）
在微积分学中: 多元函数的 微分 积分 (转化为) 一元函数的 微分 积分
分离变量法: 偏微分方程 (转化为)
(定解问题)
常微分方程的求解
§2.1
什么是分离变量法?
有界弦的自由振动
运用分离变量法所应该具备的条件? 如何应用分离变量法解定解问题? 以弦振动为例 . (两端固定) 定解问题为:
通解——一般地讲，一阶常微分方程含有 一个任意常数的解，称之为通解。
特解——确定了任意常数的解，称之为特 解。一般来说，当初始条件给定之后，满 足初始条件的特解只有一个。
齐次方程：一个齐次多项式等于零的方 程，例如
2 x 2 5 xy 7 y 2 0
《辞海》（ 1979 年版）P .1913
若要两边恒等，只有 都等于一个常数。
这样，变量被分离了，
同时得到两个常微分方程！
T (t ) a 2T (t ) 0 X ( x ) X ( x ) 0
二、捆绑边界条件
由于 u ( x, t ) X ( x ) T (t ) 将其与方程组中的边界条件 捆绑 由 由
四、回过头来求函数 T (t ) 以本征值 n
n l2
2 2
T (t ) a 2T (t ) 0
X ( x ) X ( x ) 0
代入右边第一式， 得
a 2 n 2 2 Tn ( t ) Tn ( t ) 0 2 l
显然，其通解为
Tn ( t ) C n cos
2u 2u X ( x ) T ( t ) ; X ( x ) T ( t ) 2 2 x t
上面的结果，反回去代入原方程，得
X ( x)T (t ) a 2 X ( x)T (t )
或
X ( x ) T ( t ) 2 X ( x) a T (t )
以下，针对 λ ，分三种情况来讨论： （1）. 设 λ< 0 . 此时方程 X ( x ) X ( x ) 0 的通解为
X ( x) Ae
x
Be
x
由边界条件 X (0) X ( l ) 0 得
Ae
联立求解得
A B 0 l Be l 0
( 2)
由此可见，在分离变量 法的过程之中，所引入 的常数 ，既不能为负，
也不能为零，甚至还不 能是任意的正数。它必 须取（）式所给定的特定数值 1 ！ 方才可能从泛定方程和 定解条件中，得到有意 义的解！
除此之外，只能得到恒 等于零的、没有意义的 解！常数 的特定数值，
被叫作本征值（特征值 ）；相应的解（），被叫作本征函数（ 2 特征函数） .
( n 1,2,3)
都可以对 x ， t 逐项微分 2 次；
也满足原偏微分方程和边界条件。
任务: 选择适当的 Cn 、 n ，使 u（x，t） 满足 D 初始条件 . 为此，必须有
2 2u 2 u , 0 x l ,t 0 2 a x2 t u | x 0 0 , u | x l 0 , t 0 u | ( x ) ; u ( x ) , 0 x l . t 0 t t 0
启发：
求出足够多的, 满足边界条件的, 具有变量分离形式的特解.
线性组合这些足够多的特解
使之满足初始条件 从物理学知，乐器发出的声音，可以分解为各种不同频率的单音，每种 单音振动时所形成的正弦曲线，其振幅依赖于时间 t 。 为此，特解可表示为
u( x, t ) A(t ) sin x
特点:
的形式.
A B0
即 X ( x ) 0 ，不符合非零解的要求，舍去！
（2）. 设 λ= 0 . 此时方程 X ( x ) X ( x ) 0 的通解为
X ( x) A x B
由边界条件 X (0) X ( l ) 0 得
Ae
联立求解又得
A B 0 l Be l 0
，分别是 ( x ) , ( x )
l 完备的三角函数系 sin n x 展开的傅立叶级数的展开系数 . 也就是
2 n C n ( x ) sin xd x l 0 l l 2 n Dn ( x ) sin xd x a n 0 l
A0 B sin l 0
由于 B 不能为零(否则 X ( x ) 0
n l
),所以只有sin x 0 ,即
( n 1,2,3)
从而有:
n 2 2 2 . l
n 2 2 n 2 l
由此，求出了关于 X ( x ) 的本征值问题.
X n ( x ) Bn sin
u( x , t ) t 0
n u( x , 0) C n sin x ( x) l n 1
u a n n Dn sin x ( x) t t 0 n 1 l l
a n 原来， C n , Dn l
反过来,回头看, 这正是一种展 开式!
2 2u 2 u , 0 x l ,t 0 2 a 2 x t u | x 0 0 , u | x l 0 , t 0 u | ( x ) ; u ( x ) , 0 x l . t 0 t t 0
泛定方程