2015年江苏省南京市、盐城市高三一模考试数学试题与答案

南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ▲ . 答案：1 2．若复数a iz i+=（其中为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = ▲ . 答案：－13．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的方差是 ▲ . 答案：654．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 ▲ . 答案：0.3解读：为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。

5．若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a = ▲ .答案：26．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲ . 答案：42解读：此题的答案容易错为22。

7．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 ▲ .答案：88．若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ .9．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2x π∈，则0x = ▲.第6题图答案：512π 10．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 ▲ .答案：411．设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 答案：必要不充分12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ▲ .13．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数2()2g x x x m =-+. 如果对于1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围是 ▲ .答案：[5,2]--14．已知数列{}n a 满足11a =-，21a a >，*1||2()n n n a a n N +-=∈，若数列{}21n a -单调递减，数列{}2n a 单调递增，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ .答案：(2)13n --（ 说明：本答案也可以写成21,321,3n nn n ⎧--⎪⎪⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数）二、解答题：15．在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+. （1）求函数()f α的值域；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C =a =1c =，求b .解：（1）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， ………4分所以()sin cos )4f παααα=+=+， ………………6分因为(,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故((1,2]f α∈. ………………8分 （2）因为()2s i n )24f C π=+，又(0,)2C π∈，所以4C π=， ………………10分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2122b =+-， 解得1b =. ………………14分（说明：第（2）小题用正弦定理处理的，类似给分）16．(本小题满分14分)如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,O E 分别为1,B D AB 的中点. （1）求证：//OE 平面11BCC B ； （2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE . 证明（1）：连接1BC ，设11BC B C F =，连接OF ， ………2分因为O ，F 分别是1B D 与1B C 的中点，所以//OF DC ，且12OF DC =，又E 为AB 中点，所以//EB DC ，且12EB DC =， 从而//,OF EB OF EB =，即四边形OEBF 是平行四边形， 所以//OE BF ， ……………6分 又OE ⊄面11BCC B ，BF ⊂面11BCC B ，所以//OE 面11BCC B . ……………8分 （2）因为DC ⊥面11BCC B ，1BC ⊂面11BCC B ，所以1BC DC ⊥， ………… 10分 又11BC B C ⊥，且1,DC B C ⊂面1B DC ，1DC B C C =，所以1BC ⊥面1B DC ，…………12分而1//BC OE ，所以OE ⊥面1B DC ，又OE ⊂面1B DE ， 所以面1B DC ⊥面1B DE . ………14分17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右B A CD B 1 A 1C 1D 1EFO BA CDB 1A 1C 1D 1 E第16题图O CD B 1A 1C 1D 1第17题图准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F 的直线经过点A ，且点F到直线的距离为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P三点共线时，试确定直线的斜率.解：（1）由题意知，直线的方程为2()y x a =-，即220x y a --=， ……………2分∴右焦点F到直线的距离为=，1a c ∴-=， ……………4分又椭圆C 的右准线为4x =，即24a c =，所以24a c =，将此代入上式解得2,1a c ==，23b ∴=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=； ……………6分 （2）由（1）知(3)B ，(1,0)F ， ∴直线BF 的方程为(1)y x =-， ……………8分联立方程组221)143y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得85x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍），即8(,)5P ， …………12分∴直线的斜率0(5825k -==- ……………14分 其他方法：方法二: 由（1）知(0,B ，(1,0)F ， ∴直线BF的方程为1)y x =-，由题(2,0)A ，显然直线的斜率存在，设直线的方程为(2)y k x =-，联立方程组1)(2)y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆解得：k =或k =，又由题意知，0y =>得0k >或k <k =. 方法三：由题(2,0)A ，显然直线的斜率存在，设直线的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222431616120k x k x k +-+-=，221643A P k x x k +=+， 所以2222168624343P k k x k k -=-=++,21243P k y k -=+，当,,B F P 三点共线时有，BP BF k k =，即22212438643kk k k -+=-+，解得k =k =，又由题意知，0y =>得0k >或k <k =18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t （025t <≤，单位：米）；曲线BC 是抛物线250(0)y ax a =-+>的一部分；CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径. 假定拟建体育馆的高50OB =米.（1）若要求30CD =米，AD=求与a 的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围； （3）若125a =，求AD 的最大值.（参考公式：若()f x =()f x '=）解：（1）因为0t -=，解得20t =. …………… 2分此时圆222:(20)30E x y +-=，令0y =，得AO =所以250145O D A D =-，将点(5,30)C 代入250(0)y a x a =-+>中， 解得149a =. ………… 4分第18题-甲第18题-乙（2）因为圆E 的半径为50t -，所以50CD t =-，在250y ax =-+中令50y t =-，得OD =则由题意知5075FD t =-≤对(0,25]t ∈恒成立， ………… 8分≤=，即25t =取最小值10，故10≤，解得1100a ≥. ………… 10分 （3）当125a =时，OD =E 的方程为222()(50)x y t t +-=-，令0y =，得x =±，所以AO =从而()A D==， ………… 12分 又因为2)()f t '==，令()0f t '=，得5t =， ………… 14分当(0,5)t ∈时，()0f t '>，()f t 单调递增；当(5,25)t ∈时，()0f t '<，()f t 单调递减，从而当5t = 时，()f t 取最大值为答：当5t =米时，AD 的最大值为25米. …………16分（说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）19．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m la a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++13246n n +=⋅--，且集合*|,n n b M n n N a λ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围.解：（1）数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴215364a a a ==，38a ∴=，又5348S S -=，2458848a a q q ∴+=+=，2q ∴=，3822n n n a -∴=⋅=； ………… 4分 （2）（ⅰ）必要性：设5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列，①若25k m l a a a ⋅=+，则10222k m l ⋅=+，1022m k l k --∴=+，11522m k l k ----∴=+，1121,24m k l k ----⎧=⎪∴⎨=⎪⎩13m k l k =+⎧∴⎨=+⎩. ………… 6分 ②若25m k l a a a =+，则22522m k l ⋅=⋅+，1225m k l k +--∴-=，左边为偶数，等式不成立，③若25l k m a a a =+，同理也不成立，综合①②③，得1,m k l k =+=+，所以必要性成立. …………8分（ⅱ）充分性：设1m k =+，3l k =+，则5,,k m l a a a 这三项为135,,k k k a a a ++，即5,2,8k k k a a a ，调整顺序后易知2,5,8k k ka a a 成等差数列，所以充分性也成立. 综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. …………10分 （3）因为11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--++++=⋅--，即123112122223246n n n n n b b b b n +--++++=⋅--，（*） ∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----++++=⋅--，（**） 则（**）式两边同乘以2，得2341123122223284n n n n n b b b b n +---++++=⋅--，（***） ∴（*）－（***），得242n b n =-，即21(2)n b n n =-≥， 又当1n =时，21232102b =⋅-=，即11b =，适合21(2)n b n n =-≥，21n b n ∴=-.………14分 212n n n b n a -∴=，111212352222n n n n nn n b b n n n a a ------∴-=-=， 2n ∴=时，110n n n n b b a a --->，即2121b ba a >； 3n ∴≥时，110n n n n b b a a ---<，此时n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减， 又1112b a =，2234b a =，3358b a =，44716b a =，71162λ∴<≤. ……………16分 20．已知函数()x f x e =，()g x mx n =+.（1）设()()()h x f x g x =-.① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围；（2）设函数1()()()nxr x f x g x =+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥. 解：（1）由题意，得()(()())()x x h x f x g x e mx n e m '''=-=--=-，所以函数()h x 在0x =处的切线斜率1k m =-， ……………2分又(0)1h n =-，所以函数()h x 在0x =处的切线方程(1)(1)y n m x --=-，将点(代入，得2m n +=. ……………4分（2）方法一：当0n =，可得()()x x h x e mx e m ''=-=-，因为1x >-，所以1xe e>，①当1m e≤时，()0x h x e m '=->，函数()h x 在(1,)-+∞上单调递增，而(0)1h =，所以只需1(1)0h m e -=+≥，解得1m e≥-，从而11m e e-≤≤. ……………6分 ②当1m e>时，由()0xh x e m '=-=，解得ln (1,)x m =∈-+∞，当(1,ln )x m ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.所以函数()h x 在(1,)-+∞上有最小值为(ln )ln h m m m m =-，令ln 0m m m ->，解得m e <，所以1m e e<<. 综上所述，1[,)m e e∈-. ……………10分 方法二：当0n =，xe mx = ①当0x =时，显然不成立；②当1x >-且0x ≠时，x e m x =，令x e y x =，则()221xx x e x e x e y x x --'==，当10x -<<时，0y '<，函数x e y x =单调递减，01x <<时，0y '<，函数xe y x=单调递减，当1x >时，0y '>，函数xe y x=单调递增，又11x e y =-=-，1x y e ==，由题意知1[,)m e e∈-.（3）由题意，1114()()()4x x n xnx xm r x n f x g x e e x x m=+=+=+++， 而14()14x xr x e x =+≥+等价于(34)40x e x x -++≥， 令()(34)4x F x e x x =-++， ……………12分则(0)0F =，且()(31)1xF x e x '=-+，(0)0F '=，令()()G x F x '=，则()(32)xG x e x '=+，因x ≥， 所以(G x '>， ……………14分 所以导数()F x '在[0,)+∞上单调递增，于是()(0)0F x F ''≥=，从而函数()F x 在[0,)+∞上单调递增，即()(F x F ≥=. ……………16分附加题答案21. A 、（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知点P 为Rt ABC ∆的斜边AB 的延长线上一点，且PC 与Rt ABC ∆的外接圆相切，过点C 作AB 的垂线，垂足为D ，若18PA =，6PC =，求线段CD 的长. 解：由切割线定理，得2PC PA PB =⋅，解得2PB =，所以16AB =，即Rt ABC ∆的外接圆半径8r =，……5分 记Rt ABC ∆外接圆的圆心为O ，连OC ，则OC PC ⊥，在Rt POC ∆中，由面积法得OC PC PO CD⋅=⋅，解得245CD =. ………………10分 B 、（选修4—2：矩阵与变换）求直线10x y --=在矩阵22M -⎢⎥=⎥⎥⎦的变换下所得曲线的方程. CAB D P第21-A 题图解：设(,)P x y 是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为(,)Q x y ''，则22x y x x y y ''-=⎪⎪''+=，解得()2)x x y y y x ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩， ………………5分 代入10x y ''--=中，得()()1022x y y x +---=，化简可得所求曲线方程为x =. ………………10分 C 、（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆2cos ρθ=的圆心到直线2sin()13πρθ+=的距离.解：将圆2c o s ρθ=化为普通方程为2220x y x +-=，圆心为(1,0)， ………………4分又2sin()13πρθ+=，即12(sin )122ρθθ+=， 所以直线的普通方程为10y +-=， ………………8分 故所求的圆心到直线的距离12d =. ………………10分 D 、解不等式124x x ++-<.解：当1x <-时，不等式化为124x x --+-<，解得312x -<<-； ………………3分 当12x -≤≤时，不等式化为12x x ++-<，解得12x -≤≤； ………………6分当2x >时，不等式化为12x x ++-<，解得522x <<； ………………9分所以原不等式的解集为35(,)22-. ………………10分 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，动点P 满足1(0)CP CC λλ=>，当12λ=时，1AB BP ⊥. （1）求棱1CC 的长；（2）若二面角1B AB P --的大小为3π，求λ的值. 解：（1）以点A 为坐标原点，1,,AB AC AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设1CC m =，则1(3,0,)B m ，(3,0,0)B ，(0,4,)P m λ， 所以1(3,0,)AB m =，(3,4,)PB m λ=--，(3,0,0)AB =， ………………2分当12λ=时，有11(3,0,)(3,4,)02AB PB m m ⋅=⋅--=解得m =，即棱1CC 的长为………………4分 （2）设平面PAB 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则由1100AB n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30340x x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩，即040x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1z =，则4y =-，所以平面PAB 的一个法向量为1(0,,1)4n =-，………………6分又平面1ABB 与y 轴垂直，所以平面1ABB 的一个法向量为2(0,1,0)n =，因二面角1B AB P --的平面角的大小为3π，所以121cos ,2nn ==，结合λ>，解得λ=………………10分 23．设集合{}*1,2,3,,(,2)S n n N n =∈≥L ，,A B 是S 的两个非空子集，且满足集合ACABPB 1C 1A 1第22题图中的最大数小于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对(,)A B 的个数为n P . （1）求23,P P 的值；（2）求n P 的表达式.解：（1）当2n =时，即{}1,2S =，此时{}1A =，{}2B =，所以21P =， ………………2分当3n =时，即{}1,2,3S =，若{}1A =，则{}2B =，或{}3B =，或{}2,3B =；若{}2A =或{}1,2A =，则{}3B =；所以35P =. ………………4分（2）当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合A 的其余元素可在1,2,,1k -中任取若干个（包含不取），所以集合A 共有012111112k k k k k k C C C C ------++++=种情况， ………………6分此时，集合B 的元素只能在1,2,,k k n ++中任取若干个（至少取1个），所以集合B 共有12321n k n k n k n k n k n kC C C C ------++++=-种情况， 所以，当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合对(,A B 共有112(21)k n k n-----=-对， ………………8分当k 依次取1,2,3,,1n -时，可分别得到集合对(,)A B 的个数， 求和可得1(1)2n n n n P n n---=-⋅-L . ………………10分。